超弦理論(18)(2-7): TOSHIの宇宙

2009年4月 9日 (木)

超弦理論(18)(2-7)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

実はツナギとしてアップしようと軽く考えていたのですが,ノートにある約10年前にやった計算の間違いに気付いたので,やや手間取っていました。

種本の計量(metric)と私が常用しているBjorken-Drellのテキストの計量では符号が逆なので,ときどき混乱することがあるのでした。

　さて,既に説明したように,ボソン弦(Bosonic string)の振動するα_m^μ(とα~_m^μ)で作られるフォック空間は,時間成分の交換関係における負の計量のために正定値ではありません。

一方,物理的状態の空間は,ｍ≧0 に対して(Ｌ_m－ａδ_m0)|φ＞＝0 なるヴィラソロ条件(Virasoro condition)を満足する状態:|φ＞で作られる上記フォック空間の部分空間に対応します。

(閉弦における演算子Ｌ~_m,α~_mについての話も,Ｌ_m,α_mについてのそれとほぼ同じなので,ここでは余計な煩雑さを避けるために開弦のＬ_m,α_mだけについて話を進めます。)

　そして,ヴィラソロ条件は時間的(time-like)な負ノルムの振動子と１対１に対応するため,丁度正定値な部分フォック空間を残すのに十分な条件を与えます。

　これを理解するために,ヴィラソロ演算子が,Ｌ_m～－ｐ_μα_m^μ＋(振動子の２次の項)と表わせることに着目します。

※(訳注27):記事「超弦理論(16)(2-5)」で示したように,開弦では,Ｌ_m＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_m-n,μα_n^μですが,α'＝1/2ならα₀^μ＝ｌｐ^μ＝ｐ^μより,Ｌ_m＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_m-n,μα_n^μ＝(－1/2)(α_m,μα₀^μ＋α_0,μα_m^μ)＋(－1/2)Σ_n≠0,mα_m-n,μα_n^μ＝－ｐ_μα_m^μ＋(－1/2)Σ_n≠0,mα_m-n,μα_n^μとなります。

　(訳注27終わり)※

この近似式から,もしも振動子の２次の項がないなら,条件Ｌ_m|φ＞＝0 はｐ_μα_m^μ|φ＞＝0 と同値になることがわかります。

そして,一般に粒子がタキオン(tachyon)でないなら,その運動量は時間的(ｐ²＝ｐ_μｐ^μ＝Ｍ²＞0),または光的(ｐ²＝Ｍ²＝0)なので,ｐ_μ＝(Ｍ,0)という静止系を取れば,ｐ_μα_m^μ|φ＞＝0 はα_m⁰|φ＞＝0,あるいはａ_m^⁰|φ＞＝0 を意味します。

とにかく,ヴィラソロ条件は負ノルム振動子と１対１に対応します。

　そこで,静止系での物理的状態は,振動子ベクトルα_m＝(α_m⁰,α_m)＝(α_m⁰,α_m¹,α_m²,..,α_m^D-1)のうち,(Ｄ－1)次元の空間成分ベクトルα_m≡(α_m¹,α_m²,..,α_m^D-1)だけで生成されます。

　これは,条件の個数をカウントすることからヴィラソロ条件(Ｌ_m－ａδ_m0)|φ＞＝0 (ｍ≧0)が,ゴーストを分離するのに十分であることを示しています。

しかし,振動子の２次の項も重要な役割を有していて,真理は,はるかに精緻で興味深いものです。

　以下では,ゴーストのないスペクトルは先に述べた定数ａと時空の次元Ｄのある値においてのみ可能であることを示します。

　より綿密に調べるためには,ヴィラソロ演算子の代数を研究することが必要です。

　既に,記事「超弦理論(16)(2-5)」で,ヴィラソロ代数が古典形式ではポアソン括弧(Poisson括弧)[ , ]_P.B.によって,[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝－i(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nなる形で与えられることを見ました。

　これは量子論ではポアソン括弧を交換子[ , ]に置き換えた[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nなる表現に変わります。

　古典形式では,Ｌ_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_n＝0,[α_m,α_n]_P.B.＝iｍδ_m+nから,[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝(1/4)Σ_k,l[α_m-kα_k,α_n-lα_l]_P.B.＝(i/2)[Σ_kｋα_m-kα_k+n＋Σ_k(ｍ－ｋ)α_m-k+nα_k]と変形しましたが,ポアソン括弧[ , ]_P.B.を交換子[ , ]の(－i)倍で置き換えれば,ここまでの変形過程は量子論でもそのまま正しいと考えられます。

そして,右辺第１項をΣ_kｋα_m-kα_k+n＝Σ_k(ｋ－ｎ)α_m-k+nα_kと変数変換することも,ｍ＋ｎ≠0 の場合なら,量子論でも全く問題ないので,ｍ＋ｎ≠0 ならΣ_kｋα_m-kα_k+n＋Σ_k(ｍ－ｋ)α_m-k+nα_k＝Σ_k(ｋ－ｎ)α_m-k+nα_k＋Σ_k(ｍ－ｋ)α_m-k+nα_k＝(ｍ－ｎ)Σ_kα_m-k+nα_k)としてもいいです。

しかし,ｍ＋ｎ＝0 に対しては右辺の２つの無限和の各々が量子レベルで正規順序による無限大の不明瞭さを伴なうことがわかります。

Σ_kｋα_m-kα_k+n＋Σ_k(ｍ－ｋ)α_m-k+nα_kの２つの無限和の項は,各々がill-defined(定義がまずい)ですから,古典論で[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝－i(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n,量子論で[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nを得るために,２つの無限和のうちの１つの和において和を施す添字をシフトする操作はきわめて危険です。

しかし,こうして,ｍ＋ｎ＝0 に対して[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nを示す過程で生じるかもしれない如何なる正規順序の曖昧さも,単にｃ-数を加減することに帰着するので,[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nなる式はＡ(ｍ)をｍに依存するあるｃ-数として [Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋Ａ(ｍ)δ_m+nなる形に修正さるべきであることが保証されます。

そこで,[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋Ａ(ｍ)δ_m+nを仮定します。

この式でｍ＋ｎ＝0 なる関係を保存したまま,ｍ→－ｍとすればＡ(－ｍ)＝－Ａ(ｍ)を得ます。また,Ａ(0)＝0であることもわかります。

それ故,正のｍについてＡ(ｍ)を決めれば,全てのｍについてのＡ(ｍ)が決まります。

しかしながら,Σ_kｋα_m-kα_k+n＝Σ_k(ｋ－ｎ)α_m-k+nα_kとする仮定での右辺の２つの無限和の正規順序を直接調べることから,Ａ(ｍ)を求めるのは驚くほど扱いにくい作業です。

そこで,とりあえず別の簡単なアプローチでＡ(ｍ)を求めます。

まず,ヤコービの恒等式:0＝[Ｌ_k,[Ｌ_n,Ｌ_m]]＋[Ｌ_n,[Ｌ_m,Ｌ_k]]＋[Ｌ_m,[Ｌ_k,Ｌ_n]]において,ｋ＋ｍ＋ｎ＝0 とすると(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ)＝0 を得ます。

※なぜなら,0＝－[Ｌ_k,(ｎ－ｍ)Ｌ_n+m]－[Ｌ_n,(ｍ－ｋ)Ｌ_m+k]－[Ｌ_m, (ｋ－ｎ)Ｌ_k+n]ですからｋ＋ｍ＋ｎ＝0 とすると(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ)＝0 です。※

ここで,ｋ＝1,ｍ＝－ｎ－1を代入すると(2ｎ＋1)Ａ(1)－(ｎ＋2)Ａ(ｎ)＋(ｎ－1)Ａ(ｎ＋1)ですからＡ(ｎ＋1)＝{(ｎ＋2)Ａ(ｎ)－(2ｎ＋1)Ａ(1)}/(ｎ－1)です。

この漸化式はＡ(1)とＡ(2)を決めれば,全てのＡ(ｎ)が決まることを示しています。そこで,Ａ(ｎ)の一般形は２つの未知係数によって決まるはずです。

実際,上の漸化式の一般解はｃ₁,ｃ₃を未知定数としてＡ(ｍ)＝ｃ₃ｍ³＋ｃ₁ｍで与えられることがわかります。

※(訳注27):Ａ(ｎ)＝ａ_nと書けば,漸化式は(ｎ－1)ａ_n+1＝(ｎ＋2)ａ_n－(2ｎ＋1)ａ₁です。

　まず,Ａ(0)＝0よりａ₀＝0です。そこでａ_n≡ｎｂ_nとして,これ代入すると,(ｎ－1)(ｎ＋1)ｂ_n+1＝ｎ(ｎ＋2)ｂ_n－(2ｎ＋1)ａ₁です。

　そこで,さらにｕ_n≡ｂ_n/{(ｎ－1)(ｎ＋1)}とおくとｕ_n－ｕ_n＝－(2ｎ＋1)ａ₁/{(ｎ－1)ｎ(ｎ＋1)(ｎ＋2)}＝－ａ₁[1/{(ｎ－1)ｎ(ｎ＋1)}＋1/{ｎ(ｎ＋1)(ｎ＋2)}]です。

　右辺はさらに(－ａ₁/2)[1/{(ｎ－1)ｎ}－[1/{ｎ(ｎ＋1)}]＋(－ａ₁/2)[1/{ｎ(ｎ＋1)}－[1/{(ｎ＋1)(ｎ＋2)}]となります。

両辺の階差数列を加えるとｕ_n－ｕ₂＝(－ａ₁/2)[1/2－1/{(ｎ－1)ｎ}]＋(－ａ₁/2)[1/6－1/{ｎ(ｎ＋1)}]を得ます。

ｕ_n＝ｂ_n/{(ｎ－1)(ｎ＋1)}を代入すると,ｂ_n/{(ｎ－1)(ｎ＋1)}－ｂ₂/3＝－ａ₁/3＋(ａ₁/2)[1/{(ｎ－1)ｎ}＋1/{ｎ(ｎ＋1)}],結局ｂ_n＝(ｂ₂－ａ₁)(ｎ²－1)/3＋ａ₁です。

ａ_n＝ｎｂ_nを代入し返すと,ａ_n＝(2ａ₂－ａ₁)(ｎ³－ｎ)/3＋ｎａ₁＝ｃ₃ｎ³＋ｃ₁ｎ,ｃ₃＝(2ａ₂－ａ₁)/3,ｃ₁＝(2ａ₂－ａ₁)/3＋ａ₁と書けることがわかりました。ａ₁,ａ₂が任意なのでｃ₁,ｃ₃も任意です。

　さらに,このＡ(ｍ)＝ｃ₃ｍ³＋ｃ₁ｍを(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ) に代入すれば,(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ)＝－ｃ₃(ｎ－ｍ)(ｍ－ｋ)(ｋ－ｎ)(ｎ＋ｍ＋ｋ)を得るので,(ｎ＋ｍ＋ｋ)＝0 なら(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ)＝0 は確かに満足されています。

　(訳注27終わり)※

　Ａ(ｍ)＝ｃ₃ｍ³＋ｃ₁ｍの定数ｃ₁はＬ₀の定義を定数だけシフトさせることによって変化し得る定数です。これはその他にはヴィラソロ代数を乱さない操作です。

Ｌ₀を定数だけシフトさせることは,また(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0 の定数ａをもシフトさせます。それ故,それはａとｃ₁の間の唯一の意味を持つ関係です。

さて,Ｌ_mとＬ_-mの交換子を非常に注意深く評価することで,正しくアノマリー(異常項)の寄与を得ることができます。特に,ｃ₁とｃ₃を決める最も簡単で最も安全な方法は適切な状態での[Ｌ_m,Ｌ_-m]の期待値を計算することです。

特に,ｍ＝1に対しては,＜0;0|[Ｌ₁,Ｌ_-1]|0;0＞＝0 を見出します。

なぜなら,Ｌ₁やＬ_-1の全ての項は0-運動量の基底状態を消滅させるからです。

※(訳注28):何故なら,[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(1/4)Σ_k,l[α_m-kα_k,α_n-lα_l]から,＜0;0|[Ｌ₁,Ｌ_-1]|0;0＞＝(1/4)Σ_k,l＜0;0|[α_1-kα_k,α_-1-lα_l]|0;0＞ですが,α_-1-lα_l＝α_lα_-1-lです。

　(訳注28終わり)※

ｍ＝２からは,＜0;0|[Ｌ₂,Ｌ_-2]|0;0＞＝＜0;0|Ｌ₂Ｌ_-2|0;0＞＝1/4Σ_k,l＜0;0|[α_2-kα_k,α_-2-lα_l]|0;0＞＝1/4＜0;0|α_1,μα_-1^μα_1,να_-1^ν|0;0＞＝－(1/2)η_μν＜0;0|α₁^μα_-1^ν|0;0＞＝(1/2)η_μνη^μν＝(1/2)Ｄを見出します。