超弦理論(19)(2-8)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

ツナギ,ツナギと言いながら,ずーっとこればっかしですみません。今は丁度季節的に「木の芽どき」でもあり,なぜか精神に余裕がなくブログも滞りがちです。

　さて,ヴィラソロ条件(Virasoro-condition)(Ｌ_m－ａδ_m0)|φ＞＝0 (ｍ≧0)が課された場合,負ノルムの物理的状態が全く存在しないことを保証するような定数パラメータａと時空次元Ｄの満たすべき条件について予備的な検査をしてみます。

結果として,ａとＤのある領域では負ノルム状態が存在し,他の領域では負ノルム状態は全く存在しないという結論が得られます。

以下,その内容を詳述します。

　物理的ヒルベルト空間に全く負ノルム状態がないようなパラメータａとＤの領域を記述するためには,ゼロノルムの物理的状態を探すことが非常に有用な手段になります。

物理的ヒルベルト空間が非負定値ノルムを持つ領域から負ノルムを持つ領域までを横切ってａとＤを変動させれば,それら２つの領域間の境界にはゼロノルムを与える物理的領域が存在すると考えられます。

　そして後述する理由のために,これらある意味では余分のゼロノルム状態が重要な物理的原理に関連付けられ,最も関心のある物理的ヒルベルト空間が発展する際のゴースト状態の縁にある臨界の場合に相当するという結論を得ることになります。

　以下の理論展開では開弦のみを対象にしますが,振動子とヴィラソロ条件を二重にすれば,閉弦の話もほとんど同じです。

　実際,拘束Σ_n=1^∞α_-nα_n＝Σ_n=1^∞α~_-nα~_nを除けば,閉弦のｎ番目の質量レベルは左移動演算子から作られる物理的状態のヒルベルト空間の元と,右移動演算子から作られる物理的状態のヒルベルト空間の元のテンソル積で表現されます。

したがって,左移動と右移動の物理的状態は開弦の物理的状態と全く同等ですから,負ノルム状態を探すという今の論題においても開弦と同等であり,開弦のみが対象の理論展開は,そのまま閉弦にも当てはまるといえます。

さて,運動量ｋ^μを持つ開弦の基底状態を|0;ｋ＞で記述します。

このとき,Ｌ₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_n,およびｐ²|0;ｋ＞＝ｋ²,かつα_n|0;ｋ＞＝0 によって,質量殻条件(Ｌ₀－ａ)|0;ｋ＞＝0,またはＬ₀＝ａは,α'ｋ²＝－ａなる等式を意味します。

(パラメータα'は後に1/2と置きます。)

基底状態｜0;ｋ＞からの第１励起レベルの状態ξα_-1｜0;ｋ＞を考えます。ここで,ξ＝ξ^μ(ｋ)はゲージ拘束を考慮する前には,Ｄ個の独立成分を持つ偏極ベクトルであり,ξα_-1｜0;ｋ＞なる状態は,詳しく表現すればξ_μ(ｋ)α_-1^μ｜0;ｋ＞です。

この第１励起状態に対して,質量殻条件Ｌ₀＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_n＝ａは－α'ｋ²＝ａ－1を与えます。

また,Ｌ₁補助条件Ｌ₁(ξα_-1)|0;ｋ＞＝0 は,Ｌ₁＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_1-nα_nによって,ξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 を与えます。

後者のξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 は,ゲージ拘束条件であり,Ｄ個の成分を持つ一般のベクトルξ＝(ξ^μ)において,実際に許される独立な偏極の数は(Ｄ－1)個であることを示しています。

状態:ξα_-1｜0;ｋ＞のノルムは,－ξ²＝－ξ_μξ^μです。そこで,特に,ベクトルｋ＝(ｋ^μ)が(0,1)平面内にある,つまりｋ＝(ｋ^μ)＝(ｋ⁰,ｋ¹,0,0,..,0)であるような座標系を選択すれば,ｋに垂直で空間的な偏極を持つ(Ｄ－2)個の状態は正のノルムを持ちます。

例えば,ξ＝(ξ^μ)＝(0,0,1,0,0,..,0),(0,0,0,1,0,..,0),..,(0,0,0,0,0,..,1)のような(Ｄ－2)個の空間的偏極ベクトルを考えることができます。

そして,もしも状態がｋ²＝Ｍ²＜0 のタキオンなら,ベクトルｋは空間的なので時間成分ｋ⁰がゼロであるようにｋの座標を選ぶことができます。すると,最後の(Ｄ－1)個目の状態の偏極ξ＝(ξ^μ)は時間的(time-like)であり,－ξ²＝－ξ_μξ^μ＜0 となってノルムは負になります。

すなわち,ξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 を与える最後の偏極ベクトルとして例えば,ξ＝(ξ^μ)＝(1,0,0,0,0,..,0)と取ることができるわけです。

一方,もしもｋ²＝Ｍ²＞0 なら最後の(Ｄ－1)個目の状態のξも他の(Ｄ－2)個の状態と同じく空間的で,偏極ξは－ξ²＝－ξ_μξ^μ＞0 を満たし正のノルムを持ちます。(例えばξ＝(ξ^μ)＝(0,1,0,0,0,..,0)と選べます。)

最後に質量がゼロ,つまりｋ²＝Ｍ²＝0 (光的)なら(0,1)平面内のベクトルｋの成分はｋ⁰＝±ｋ¹となります。

このとき,ξ_μｋ^μ＝ξ⁰ｋ⁰－ξ¹ｋ¹＝0 なる必要条件から,(Ｄ－1)個目の偏極ベクトルはξ＝(ξ^μ)＝(ξ⁰,ξ¹,0,0,..,0),ξ⁰＝±ξ¹,例えばξ＝(ξ^μ)＝(1,1,0,0,0,..,0)と選ぶことができて,－ξ²＝－ξ_μξ^μ＝0 となり,この状態のノルムはゼロです。

以上から,－ξ²＝－ξ_μξ^μ＜0 によって負ノルムが生じない条件はベクトルｋが空間的または光的であること,つまりｋ²＝Ｍ²≧0 であることが必要と考えられます。

この条件は,等式－α'ｋ²＝ａ－1 により,ａ－1≦0 を意味します。よって,ゴーストが存在しないための最初の条件:ａ≦1が得られます。

特に,この条件の境界のａ＝1 の場合には,スカラー基底状態|0;ｋ＞はα'ｋ²＝－ａ＝－1 により,ｋ²＝Ｍ²＝－1/α'＜0 のタキオン状態ですが,最初の励起状態であるξα_-1|0;ｋ＞ではｋ²＝Ｍ²＝0 となるので,これの示すベクトル粒子の質量はゼロです。

質量がゼロのベクトル粒子のケースにはＬ₁補助条件:Ｌ₁(ξα_-1)|0;ｋ＞＝0 ,またはξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 は丁度質量がゼロの光子(電磁場Ａ^μ)のQED(量子電磁力学)における共変ゲージ条件∂^μＡ^μ＝0 に対応しています。

そして,丁度,QEDの共変グプタ・ブロイラー(Gupta-Bleuler )量子化での∂^μＡ^μ＝0 と同じように,Ｌ₁補助条件ξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 は"横偏極を持つ(Ｄ－2)個の正ノルム状態＝(Ｄ－2)個の横波状態"と１個のゼロノルムの縦波状態:ξ^μ＝ｋ^μを許される偏極として残します。

そして,観測にかかるＳ行列からは最後の縦波のゼロノルム状態が解離することを示す必要があります。

場の理論では縦波ゼロノルム状態の解離はゲージ不変性とカレントの保存から導かれましたが,弦理論でもこのことを具体的に証明することは可能です。

(第１章序文(introduction)では重力のワード・高橋恒等式(Ward-Takahashi identity)の項目の議論で,これを証明する１つのアプローチをスケッチしました。)

しかし,我々は今のところ明らかにされているより深い構造について不完全な理解にしか到達していません。

ａが臨界値ａ＝１を取るときの最初の励起レベルξα_-1|0;ｋ＞は,一般には無限個存在する"ゼロノルム状態＝ヌル状態"の最初の例を与えています。この特殊な励起状態に関して見出される結果は,以下の考察によって一般化することができます。

任意の状態|φ＞は,それが拘束:Ｌ_m|φ＞＝0 (ｍ＞0),かつ(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0 を満たすなら物理的状態と呼ばれます。

一方,(Ｌ₀－ａ)|ψ＞＝0 に従う状態|ψ＞が,あらゆる物理的状態|φ＞と直交するとき,すなわち,|ψ＞が全ての物理的状態|φ＞に対して＜φ|ψ＞＝0 を満たすなら,これは"擬似状態"であるといわれます。

任意の擬似状態|ψ＞は,(Ｌ₀－ａ＋ｎ)|χ_n＞＝0 に従う状態|χ_n＞を用いて,常に|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞と表わすことができることがわかります。

※(訳注30):(Ｌ₀－ａ)Ｌ_-n|χ_n＞＝{[Ｌ₀,Ｌ_-n]＋Ｌ_-n(Ｌ₀－ａ)}|χ_n＞＝Ｌ_-n(Ｌ₀－ａ＋ｎ)|χ_n＞＝0 より,|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞なら(Ｌ₀－ａ)|ψ＞＝0 であって,|φ＞が物理的状態なら,ｎ＞0 のときＬ_n|φ＞＝0 ですから,＜φ|Ｌ_-n|χ_n＞＝＜χ_n|Ｌ_n|φ＞^*＝0 となります。

　そこで,|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞と表わせることは|ψ＞が擬似状態であるための十分条件になっています。

　(訳注30終わり)※

|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞の右辺の無限級数は実際にはｎ≧3 に対する項:Ｌ_-n|χ_n＞のＬ_-nをＬ_-1とＬ_-2の交換子の繰り返しによって表現することができることがわかります。

すなわち,例えばＬ_-3～[Ｌ_-1,Ｌ_-2]なる同一視が可能であり,Ｌ_-4はＬ_-1,Ｌ_-2,Ｌ_-3で表現できるので,|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞は右辺を短縮して切り取った表現として|ψ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞,(Ｌ₀－ａ＋1)|χ₁＞＝0,(Ｌ₀－ａ＋2)|χ₂＞＝0 と簡単に書くことができるわけです。

※(訳注31):(Ｌ₀－ａ＋3)|χ₃＞＝0 を満たす|χ₃＞に対して|χ₁＞≡Ｌ_-2|χ₃＞,|χ₂＞≡－Ｌ_-1|χ₃＞と置けば,(Ｌ₀－ａ＋1)|χ₁＞＝0,(Ｌ₀－ａ＋2)|χ₂＞＝0 が満たされ,Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞＝[Ｌ_-1,Ｌ_-2]|χ₃＞＝Ｌ_-3|χ₃＞が成立します。

そこで,Ｌ_-3|χ₃＞はＬ_-3|χ₃＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞なる形で表現されることがわかります。

そして,ｎ≧4のＬ_-n|χ_n＞もこうした [Ｌ_-1,Ｌ_-2],[[Ｌ_-1,Ｌ_-2],Ｌ_-1]etc.のような交換子の繰り返しの組み合わせによってＬ_-n|χ_n＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞なる形に表現可能であると予想されます。

(訳注31終わり)※

|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞,あるいは|ψ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞は確かに全ての物理的状態|φ＞と直交します。なぜなら,＜φ|ψ＞＝Σ_m=1²＜φ|Ｌ_-m|χ_m＞＝Σ_m=1²＜χ_m|Ｌ_m|φ＞^*＝0 となるからです。

任意の擬似状態|ψ＞が(Ｌ₀－ａ＋ｎ)|χ_n＞＝0 に従う状態|χ_n＞を用いて|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞と表わすことができること,したがって(Ｌ₀－ａ＋1)|χ₁＞＝0,(Ｌ₀－ａ＋2)|χ₂＞＝0 に従う状態|χ₁＞,|χ₂＞を用いて|ψ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞の形に表現できることを見るために,|ψ＞が|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞の形なら演算子:Ｏ≡|ψ＞＜ψ|があらゆる物理的状態を消滅させることに着目します。

(既に,|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞が擬似状態であるための十分条件であることは示しましたが必要条件であることを示します。)

※(訳注32):(訳注30)で既に示したように,任意の物理的状態|φ＞について＜φ|Ｌ_-n|χ_n＞＝＜χ_n|Ｌ_n|φ＞^*＝0 が成立しますから,Ｏ|φ＞＝Σ_m,n>0Ｌ_-m|χ_m＞＜χ_n|Ｌ_n|φ＞＝0 です。

　つまり演算子Ｏ≡|ψ＞＜ψ|は,全ての物理的状態を消滅させます。

　(訳注32終わり)※

一般的な物理的状態に対する唯一の制限はｍ＞0 の任意のＬ_mによって消滅させられることですから,Ｏが任意の物理的状態を消滅させるということは演算子群:Ｘ_-nを係数としてＯ＝Σ_n>0Ｘ_-nＬ_nと展開できることを意味します。

Ｏ＝|ψ＞＜ψ|なので,これは任意の擬似状態|ψ＞が(Ｌ₀－ａ＋ｎ)|χ_n＞＝0 に従う状態|χ_n＞を用いて|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞と表わせることを示しています。

※(訳注33):|ψ＞＜ψ|＝Σ_n>0Ｘ_-nＬ_-nより,＜ｘ|ψ＞≠0 なる任意の状態|ｘ＞に対し＜ｘ|ψ＞＜ψ|＝Σ_n>0＜ｘ|Ｘ_-nＬ_nです。これのエルミート共役を取ると,＜ψ|ｘ＞|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-nＸ_-n^＋|ｘ＞です。故に|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-nＸ_-n^＋|ｘ＞/＜ψ|ｘ＞です。

そこで,|χ_n＞≡Ｘ_-n^＋|ｘ＞/＜ψ|ｘ＞と定義すれば,|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞となります。さらに,(Ｌ₀－ａ)|ψ＞＝0 なる仮定によって(Ｌ₀－ａ＋ｎ)|χ_n＞＝0 が成立することもわかります。

(訳注33終わり)※

さて,擬似状態|ψ＞が物理的状態でもあるときには,何か特別のことが生じます。|ψ＞は擬似状態なので全ての物理的状態｜φ＞と直交しますから＜φ|ψ＞＝0 ですが,物理的状態でもあるので,Ｌ_m|ψ＞＝0（ｍ＞0),(Ｌ₀－ａ)|ψ＞＝0 を満たします。

それ故,特に自分自身とも直交しますから＜ψ|ψ＞＝0 です。あるいは|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞と表わせば,＜ψ|ψ＞＝Σ_m>0＜χ_m|Ｌ_m|ψ＞＝0 です。

よって,こうした擬似状態かつ物理的状態である状態|ψ＞はゼロノルムを持つことがわかります。これらをヌル物理的状態と呼びます。

特に,Ｌ_m|χ~＞＝0 (ｍ＞0),(Ｌ₀－ａ＋1)|χ~＞＝0 を満たす任意の状態|χ~＞によって|ψ＞≡Ｌ_-1|χ~＞なる形の擬似状態を作ると,これのノルムは＜ψ|ψ＞＝＜χ~|Ｌ_-1|ψ＞＝0 となるので,これはゼロノルム状態となっています。

|χ~＞は演算子α₀^μの固有状態としてはゼロ運動量状態:|0;0＞であることも可能ですが,任意の状態はｐ^μだけシフトできます。

|ψ＞≡Ｌ_-1|χ~＞はさらに擬似状態であることに加えて,Ｌ₁|ψ＞＝0なるＬ₁補助条件を除いて物理的状態であるためのあらゆる条件を満足しています。

そして,アノマリーを含むヴィラソロ代数[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋(Ｄ/12)(ｍ³－ｍ)δ_m+nを用いると,Ｌ₁|ψ＞＝Ｌ₁Ｌ_-1|χ~＞＝2Ｌ₀|χ~＞＝2(ａ―1)|χ~＞となります。そこで,ａ＝１ならＬ₁|ψ＞＝0 も満足されます。

しかし,Ｄ＝26次元ではゼロノルム状態の数はもっと劇的に増加します。これは,|ψ＞≡(Ｌ_-2＋γＬ_-1²)|χ~＞なる構造を持つ擬似状態を考えることで発見できます。ただし,ａ＝１とし|χ~＞は(Ｌ₀－ａ＋2)|χ~＞＝(Ｌ₀＋1)|χ~＞＝0 を満足するとします。

これから,擬似状態であるための条件であり物理的状態であるための条件の１つである(Ｌ₀－ａ)|ψ＞＝(Ｌ₀－1)|ψ＞＝0 が確かに満たされていることがわかります。

さらに,|ψ＞は明らかにｍ≧3のＬ_mによっては消滅されるので,アノマリーを含むヴィラソロ代数:[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋(Ｄ/12)(ｍ³－ｍ)δ_m+nを用いて,|ψ＞が残りの条件Ｌ₁|ψ＞＝0,Ｌ₂|ψ＞＝0 をも満足することが可能かどうかを調べます。

簡単な計算によって,これら２つの条件は3－2γ＝0 とＤ/2－(4＋6γ)＝0 を与えることがわかります。これから,γ＝3/2,Ｄ＝26が得られます。

※(訳注34):Ｌ₁|ψ＞＝(Ｌ₁Ｌ_-2＋γＬ₁Ｌ_-1²)|χ~＞＝(3Ｌ_-1＋2γＬ_-1Ｌ₀)|χ~＞＝(3－2γ)Ｌ_-1|χ~＞＝0より3－2γ＝0 です。また,Ｌ₂|ψ＞＝(Ｌ₂Ｌ_-2＋γＬ₂Ｌ_-1²)|χ~＞＝(4Ｌ₀＋Ｄ/2＋6γＬ₀)|χ~＞＝{Ｄ/2－(4＋6γ)}|χ~＞＝0 よりＤ/2－(4＋6γ)＝0を得ます。

　(訳注34終わり)※

そこで,|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|χ~＞とすれば,これは擬似状態かつ物理的状態ということになります。もちろん,＜ψ|ψ＞＝＜χ~|Ｌ₂＋(3/2)Ｌ₁²|ψ＞＝0 となっています。

こうして,ａ＝1,Ｄ＝26の場合には|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|χ~＞の形のはるかに多くのゼロノルム物理的状態が存在することがわかりました。

前の|ψ＞＝Ｌ_-1|χ~＞のゼロノルム物理的状態とは異なり,この２番目のタイプの状態のノルムはＤ＝26のときに限ってゼロになります。

|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|χ~＞の形の最初の例としては,{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|0;ｐ＞なる形が考えられます。

計算すると,これは|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|0;ｐ＞＝{－(1/2)α_-1α_-1－(5/2)ｐα_-2＋(3/2)(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞と書けます。

ただし,ａ＝１であり|χ~＞＝|0;ｐ＞は(Ｌ₀＋1)|0;ｐ＞＝(－ｐ²/2＋1)|0;ｐ＞＝0 を満たすのでｐ²＝2です。この|ψ＞のノルムは(Ｄ－26)/2となるので,予期したようにＤ＝26で消えます。

※(訳注36):Ｌ_-2＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_-2-nα_n,Ｌ_-1＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_-1-nα_nです。そこで,Ｌ_-2の右辺の級数で状態Ｌ_-2|0;ｐ＞にゼロでない寄与をする項はｎ＝0,－1,－2の項だけです。

　それ故,Ｌ_-2|0;ｐ＞＝(－1/2)(α_-2α₀＋α_-1α_-1＋α₀α_-2)|0;ｐ＞＝{－(1/2)α_-1α_-1－α_-2α₀}|0;ｐ＞＝{－(1/2)α_-1α_-1－ｐα_-2}|0;ｐ＞となります。

　一方,Ｌ_-1の右辺の級数の項でＬ_-1²|0;ｐ＞にゼロでない寄与をするのはｎ＝0,1,－1,－2の項だけです。

　Ｌ_-1²|0;ｐ＞＝(1/4)(α_-1α₀＋α_-2α₁＋α₀α_-1＋α₁α_-2)(α_-1α₀＋α_-2α₁＋α₀α_-1＋α₁α_-2)|0;ｐ＞＝(1/4)(α_-1α₀＋α_-2α₁＋α₀α_-1＋α₁α_-2)(α_-1α₀＋α₀α_-1)|0;ｐ＞＝(α_-1α₀)²－α_-2α₀)|0;ｐ＞＝{(ｐα_-1)²－ｐα_-2}|0;ｐ＞となります。

　そして,|ψ＞＝{－(1/2)α_-1α_-1－(5/2)ｐα_-2＋(3/2)(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞より,|ψ＞のノルムは＜ψ|ψ＞＝(1/4)＜0;ｐ|α₁^μα_1μα_-1^να_-1ν|0;ｐ＞＋(25/4)ｐ²＜0;ｐ|α₂α_-2|0;ｐ＞＋(9/4)ｐ_μｐ_νｐ_ρｐ_σ＜0;ｐ|α₁^μα₁^να_-1^ρα_-1^σ|0;ｐ＞－2(3/4)＜0;ｐ|α₁^μα_1μｐ^να_-1νｐ^ρα_-1ρ|0;ｐ＞となります。

　この式の右辺の第１項は,(1/4)＜0;ｐ|α₁^μα_1μα_-1^να_-1ν|0;ｐ＞＝－(1/2)η_μν＜0;ｐ|α₁^μα_-1^ν |0;ｐ＞＝(1/2)η_μνη^μν＝(1/2)Ｄとなり,第２項は(25/4)ｐ²＜0;ｐ|α₂α_-2|0;ｐ＞＝－(25/2)ｐ²＝－25となります。

　また,第３項は(9/4)ｐ_μｐ_νｐ_ρｐ_σ＜0;ｐ|α₁^μα₁^να_-1^ρα_-1^σ|0;ｐ＞＝(9/2)(ｐ²)²＝18,第４項は－2(3/4)＜0;ｐ|α₁^μα_1μｐ^να_-1νｐ^ρα_-1ρ|0;ｐ＞＝－3ｐ²＝－6 となりますから,結局＜ψ|ψ＞＝(1/2)Ｄ－25＋18－6＝(1/2)Ｄ－13＝(Ｄ－26)/2 です。

　(訳注36終わり)※

　時空次元が26より小さいとき,すなわちＤ＜26のときには,|ψ＞のノルム:＜ψ|ψ＞＝(Ｄ－26)/2が負になるという事実は重要ではありません。というのは,Ｄ＜26の場合には|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|0;ｐ＞はＬ₁|ψ＞＝0 を満足しないので物理的状態ではないからです。

　現実に負ノルムの物理的状態が出現するのはＤ＞26の場合です。例として|φ＞＝{ｃ₁α_-1α_-1＋ｃ₂ｐα_-2＋ｃ₃(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞なる形の状態|φ＞を考えます。ただし,(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝(Ｌ₀－1)|φ＞＝0 が満たされるようにｐ²＝2とします。

　簡単な計算から,この状況で状態|φ＞がＬ₁|φ＞＝Ｌ₂|φ＞＝0 に従うのは,ｃ₂＝ｃ₁(Ｄ－1)/5,ｃ₃＝ｃ₁(Ｄ＋4)/10 のときであることがわかります。

※(訳注37):α₀²＝ｐ²＝2 とすると,Ｌ₀α_-1α_-1|0;ｐ＞＝{(－1/2)α₀²－α₁α_-1}α_-1α_-1|0;ｐ＞＝(－1＋2)α_-1α_-1|0;ｐ＞＝α_-1α_-1|0;ｐ＞です。

　それ故,Ｌ₀(ｐα_-1)²|0;ｐ＞＝(ｐα_-1)²|0;ｐ＞も成立します。また,Ｌ₀α_-2|0;ｐ＞＝{(－1/2)α₀²－α₂α_-2}α_-2|0;ｐ＞＝α_-2|0;ｐ＞も成立します。

　以上から,ｐ²＝2 で|φ＞＝{ｃ₁α_-1α_-1＋ｃ₂ｐα_-2＋ｃ₃(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞なら,Ｌ₀|φ＞＝|φ＞なる等式が成立し,確かに(Ｌ₀－1)|φ＞＝0 なる条件が満たされることがわかります。

次に,Ｌ₁＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_1-nα_nなので,Ｌ₁α_-1α_-1|0;ｐ＞＝－α₀α₁α_-1α_-1|0;ｐ＞＝2α₀α_-1|0;ｐ＞＝2(ｐα_-1)|0;ｐ＞です。

同様に,Ｌ₁(ｐα_-1)²|0;ｐ＞＝－α₀α₁(ｐα_-1)(ｐα_-1)|0;ｐ＞＝2ｐ²(ｐα_-1)|0;ｐ＞＝4(ｐα_-1)|0;ｐ＞,Ｌ₁(ｐα_-2)|0;ｐ＞＝－α_-1α₂(ｐα_-2)|0;ｐ＞＝2(ｐα_-1)|0;ｐ＞です。

そこで,Ｌ₁|φ＞＝0 なる条件が満たされるためには2ｃ₁＋2ｃ₂＋4ｃ₃＝0,すなわちｃ₁＋ｃ₂＋2ｃ₃＝0 が成立する必要があります。

一方,Ｌ₂＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_2-nα_nですから,Ｌ₂α_-1α_-1|0;ｐ＞＝(－1/2)α₁α₁α_-1α_-1|0;ｐ＞＝－Ｄ|0;ｐ＞,Ｌ₂(ｐα_-1)²|0;ｐ＞＝(－1/2)α₁α₁(ｐα_-1)(ｐα_-1)|0;ｐ＞＝ｐ²|0;ｐ＞＝2|0;ｐ＞,Ｌ₂(ｐα_-2)|0;ｐ＞＝－α₀α₂(ｐα_-2)|0;ｐ＞＝2ｐ²|0;ｐ＞＝4|0;ｐ＞ですから－ｃ₁Ｄ＋4ｃ₂＋2ｃ₃＝0 を得ます。

そして,連立方程式:ｃ₁＋ｃ₂＋2ｃ₃＝0,－ｃ₁Ｄ＋4ｃ₂＋2ｃ₃＝0 を解けば,ｃ₂＝ｃ₁(Ｄ－1)/5,ｃ₃＝ｃ₁(Ｄ＋4)/10 が得られます。

(訳注37終わり)※

この場合,|φ＞＝{ｃ₁α_-1α_-1＋ｃ₂ｐα_-2＋ｃ₃(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞のノルムを計算すると,＜φ|φ＞＝2ｃ₁²Ｄ－4ｃ₂²＋8ｃ₃²-8ｃ₁ｃ₃＝2ｃ₁²(Ｄ－1)(26－Ｄ)となります。

それ故,Ｄ＞26の場合には物理的スペクトルの中にゴーストが存在することになります。

後に証明される一般的規則では,ａ＝1,かつＤ＝26,またはａ≦1,かつＤ≦25であれば物理的状態のスペクトルはゴーストを持たないということがわかります。

ａ＝1,かつＤ＝26の場合には多くの余分なゼロノルム状態が存在し,物理的状態のスペクトルはα振動子の"(Ｄ－2)個＝24個"のセットによって生成されるものと同数の伝播モードを持ちます。

一方,後者のａ≦1,かつＤ≦25の場合にはゼロノルム状態ははるかに少なく,物理的状態のスペクトルは"(Ｄ－1)個≦24個"のセットから生成されます。

また,ａ＝1,かつＤ＝26の場合には弦は横波励起のみを持ち,一方,ａ≦1,かつＤ≦25の場合には横波だけでなく縦波モードも有するともいえます。こうした事実は「ゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)」の証明に関連して出現してきます。

ここでの定式化での自由理論の研究だけからは時空次元が26に等しくなければならないと結論付けることはできません。

その理由は,理論がＤ＝26に対してゴーストを持たないなら,そのα_n^μ振動子(μ＝0,1,2,..,25)が例えばμ＝25の基底状態,つまり成分α_n²⁵がゼロの状態から成るＤ＝25の部分空間もまたゴーストを持たないからです。

この定式化においてツリーレベルで示すのが可能と思われる最大のことは,Ｄ＝26の空間が最も自然であり,Ｄ＜26の空間は全体の26次元空間に属しそれから任意に切り取った部分空間であろうということです。

Ｄ＝26のみに存在する余分なゼロノルム状態の発見が,このことの第一のしるしです。というのは,このゼロノルム状態は非常に便利な意味を持つからです。

前に述べた質量がないベクトルメソンの縦波モード状態の解離のように,物理的に有意な理論においてはゼロノルム状態は場の理論のゲージ不変性に類似したある根底的な原理によってＳ行列から分離される必要があります。

そこで,Ｄ＝26に対して余分なゼロノルム状態が発生することは,この理論が拡張されたゲージ不変性を持ち,最も興味深い可能性を含む理論であることを示唆していると思われます。

同様に,正確にａ＝1に対してゼロノルム状態の無限個の連鎖があることも,これが最も興味深いケースであることを暗示しています。

そこで,以下に続く節では,試しに開弦の基底状態をａ＝1に対応した平方質量が－2のタキオンと考え,第１励起レベルを質量がゼロのベクトルメソンと考えます。

こうした質量がゼロのゲージ粒子の存在は臨界次元における弦理論の非常に特別な性質の１つの側面を示していると言えます。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」Cambridge University Press)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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