水の波(2)(浅水波,深水波,表面張力波)

　水の波のつづきです。微小振幅波を近似して分類します。

微小振幅波の位相速度ｃと波数ｋ or 波長λとの関係,つまり分散関係はｃ＝ω/ｋ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2で与えられます。

これは,一見しただけではよくわからない関数形をしていますが,波長λが水深ｈに対して極めて大きい波,または水深ｈの方がλに対して極めて小さい波に対しては分散関係は簡単になります。

すなわち,ｈ/λ＜＜1では,tanh(ｋｈ)＝tanh(2πｈ/λ)～ ｋｈ＝2πｈ/λなる近似が成り立つので,位相速度ｃもｃ～ (ｇｈ)^1/2と近似できます。この場合,波の速さｃは深さの平方根:ｈ^1/2に比例します。

ｃが波長λに依らないので波は非分散的です。

ｈ/λ＜＜1はｋｈ＜＜1を意味しますから,今の場合には速度ポテンシャルΦも,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)の正弦波の係数が,sinh(ｋｈ)～ ｋｈ,cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)～ 1と近似できて,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)～ {－Ａｃ/(ｋｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)と簡単になります。

これによって,ｄｘ/ｄｔ＝ｕ＝∂Φ/∂ｘ＝(Ａｃ/ｈ)sin(ｋｘ－ωｔ),ｄｚ/ｄｔ＝ｕ＝∂Φ/∂ｚ＝{－Ａｃｋ(ｚ＋ｈ)/ｈ}cos(ｋｘ－ωｔ)が得られます。

そこで前に求めた近似軌道はｘ＝ｘ₀＋[Ａ/(ｋｈ)]cos(ｋｘ₀－ωｔ),ｚ＝ｚ₀＋[Ａ(ｚ₀＋ｈ)/ｈ]sin(ｋｘ₀－ωｔ)と簡単になります。

これは,楕円軌道:(ｘ－ｘ₀)²/ａ²＋(ｚ－ｚ₀)²/ｂ²＝1における長半径ａがａ＝Ａ/(ｋｈ),短半径ｂがｂ＝Ａ(ｚ₀＋ｈ)/ｈとなってａ＞＞ｂを意味します。

そこで,ｚ方向の振幅ｂ＝Ａ(ｚ₀＋ｈ)/ｈは無視できて,水の運動は事実上,水平方向の単振動ｘ＝ｘ₀＋ａcos(ｋｘ₀－ωｔ),ｚ＝ｚ₀と見なせます。 

そして振幅ａ＝Ａ/(ｋｈ)は深さｚ＝ｚ₀に依存しませんから,同じｘ₀の位置にある水の鉛直層は一体になって水平に往復運動をするという描像になります。

その水平運動の速度はｕ＝ｄｘ/ｄｔ＝Ａ(ｇ/ｈ)^1/2sin(ｋｘ－ωｔ)となりますが,これは水面の波形(高さ):η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)と全く同位相なので水面の山では正の向き,谷では負の向きに動くことになります。

このような波は,波長λが長いか,深さｈが小さい場合の波なので,長波,または浅水波(shallow water wave)と呼ばれます。

そして,これを導くために用いた上述の近似を,長波近似,または浅水波近似といいます。

一方,逆に波長λが深さｈに対して極めて短かい波,あるいはｈがλに比べて極めて大きい場合,深い場合の近似を考えることもできます。

この場合はｋｈ＝2πｈ/λ＞＞1なのでtanh(ｋｈ)～ 1と近似できます。そこで,位相速度ｃ＝ω/ｋ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2の近似はｃ～ (ｇ/ｋ)^1/2＝{ｇλ/(2π)}^1/2となります。

そこで,これの極限での波は分散的です。

このｋｈ＞＞1の場合,sinh(ｋｈ)＝(1/2){exp(ｋｈ)－exp(－ｋｈ)}～ (1/2)exp(ｋｈ),cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}＝(1/2)[exp{ｋ(ｚ＋ｈ)}＋exp{－ｋ(ｚ＋ｈ)}] ～ (1/2)exp{ｋ(ｚ＋ｈ)}と近似できます。

そこで,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)も,近似的にΦ(ｘ,ｚ,ｔ)～－Ａｃexp(ｋｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)と書けます。

したがって,ｄｘ/ｄｔ＝ｕ＝∂Φ/∂ｘ～ Ａｃｋexp(ｋｚ)sin(ｋｘ－ωｔ),ｄｚ/ｄｔ＝ｗ＝∂Φ/∂ｚ～－Ａｃｋexp(ｋｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)ですから,水の運動もｘ～ｘ₀＋Ａexp(ｋｚ₀)cos(ｋｘ₀－ωｔ),ｚ～ ｚ₀＋Ａexp(ｋｚ₀)sin(ｋｘ₀－ωｔ)となります。

前に,ｘ＝ｘ₀＋[Ａcosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)]cos(ｋｘ₀－ωｔ),ｚ＝ｚ₀＋[Ａsinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)]sin(ｋｘ₀－ωｔ)によって,楕円軌道:(ｘ－ｘ₀)²/ａ²＋(ｚ－ｚ₀)²/ｂ²＝1,ａ≡Ａcosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ),ｂ≡Ａsinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)を求めました。

これは,今の近似では,ａ＝ｂ＝Ａexp(ｋｚ₀)なので,水の運動は(ｘ－ｘ₀)²＋(ｚ－ｚ₀)²＝Ａ²exp(2ｋｚ₀)となり,(ｘ₀,ｚ₀)を中心とする半径がＡexp(ｋｚ₀)の円運動になります。

半径Ａexp(ｋｚ₀)は深さ|ｚ₀|の増加に連れて指数関数的に減少するため,水面の波による水の運動は実質的にある有限深さまでに限られ,それより下方には及びません。

その有限深さ|ｚ₀|の値はｋ|ｚ₀|＝2π|ｚ₀|/λのオーダーで決まるため,波の波長λに比例しますから,波長が短くなると共に小さく浅くなることがわかります。

このように,水深に比べて波長が極めて短かい波を短波,または深水波(deep-water wave)と呼び,これを導くために用いた近似を短波近似,または深水波近似といいます。これが成立するのは,tanh(ｋｈ)～ 1の近似が許される場合です。

例えば,1－tanh(ｋｈ)≦0.01となるのはｋｈ＝2πｈ/λ≧2.65のときですから,λ≦2.4ｈ,すなわち水深の約２倍の波長に対して短波近似は相対誤差１％以内で成立します。

さて,これまでの扱いでは,水面に働く表面張力を考慮しませんでしたが表面張力の影響は特に波長の短かい波に対しては無視できません。

表面張力を考慮する場合でも,元々の境界値問題:ｕ＝∇Φ,∇²Φ＝0,∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ),∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋(∇Φ)²/2＋ｇｚ＝ｆ(ｔ)は,そのまま成立します。

そして,大気と接している水面上の大気圧をｐ₀とするとき,前には∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋(∇Φ)²/2＋ｇｚ＝ｆ(ｔ)なる圧力方程式で,任意関数ｆ(ｔ)をｆ(ｔ)≡ｐ₀/ρと置き,ｚ＝ηでｐ＝ｐ₀として,η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²なる式を得ました。

しかし,表面張力による圧力差δｐ＞0 があれば水面での水の圧力ｐは大気圧ｐ₀と同じではなくて,ｐ₀＋δｐに等しくなります。 

そこで,この場合は同じｆ(ｔ)＝ｐ₀/ρに対しｚ＝ηでの圧力としてｐ＝ｐ₀＋δｐを代入すれば,水面での境界条件はη＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²－δｐ/(ρｇ)となります。

ところで,１つの曲面をその法線を含む平面で切ると,切り口の曲線の曲率半径Ｒは一般に平面の方向によって異なります。

このときのＲの極大値をＲ₁,極小値をＲ₂とするとき,それぞれを与える平面の方向を主方向,κ₁≡1/Ｒ₁,κ₂≡1/Ｒ₂を主曲率,Ｈ≡(κ₁＋κ₂)/2を平均曲率といいます。

γを表面張力とすると,これが働いている曲面を隔てての圧力差は,δｐ＝γ[(1/Ｒ₁)＋(1/Ｒ₂)]＝γ(κ₁＋κ₂)＝2γＨで与えられます。

ところで水面に限らず一般的な空間曲面の性質については,過去に2008年７/30の記事「相対論の幾何学(第Ⅰ部-4:空間曲面(1))」,および2008年８/３の記事「相対論の幾何学(第Ⅰ部-5:空間曲面(2))」において詳しく論じています。

この中では,滑らかな曲面をある定義域Ｄにある２つのパラメータ(ｕ,ｖ)∈Ｄのベクトル値関数としてｒ(ｕ,ｖ)＝(ｘ(ｕ,ｖ),ｙ(ｕ,ｖ),ｚ(ｕ,ｖ))で定義しています。

そして,この曲面の曲率に関して得られる平均曲率Ｈ≡(κ₁＋κ₂)/2 はｕ,ｖの６つの関数Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｌ,Ｍ,Ｎによって,Ｈ＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}なる式で与えられることが示されています。

ただし,Ｅ,Ｆ,Ｇは,ｒ_u≡∂ｒ/∂ｕ,ｒ_v≡∂ｒ/∂ｖに対しＥ≡ｒ_u²,Ｆ≡ｒ_uｒ_v＝ｒ_vｒ_u,Ｇ≡ｒ_v²で定義されます。

また,Ｌ,Ｍ,Ｎはｒ_uu≡∂²ｒ/∂ｕ²,ｒ_uv≡∂²ｒ/∂ｕ∂ｖ,ｒ_vv≡∂²ｒ/∂ｕ²に対し,Ｌ≡(ｒ_uu,ｅ),Ｍ≡(ｒ_uv,ｅ),Ｎ≡(ｒ_vv,ｅ)で定義されます。

ただし,ｅ≡(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|は曲面ｒ(ｕ,ｖ)の法線単位ベクトルです。

これらの関数を今の(ｘ,ｙ)をパラメータとして水面の高さを表わす式ｚ＝η(ｘ,ｙ),またはこれの曲面ベクトルの表現ｒ(ｘ,ｙ)＝(ｘ,ｙ,η(ｘ,ｙ))で表わすと,Ｅ＝1＋(∂η/∂ｘ)²,Ｆ≡(∂η/∂ｘ)(∂η/∂ｙ),Ｇ＝1＋(∂η/∂ｙ)²です。

それ故,ＥＧ－Ｆ²＝1＋(∂η/∂ｘ)²＋(∂η/∂ｙ)²となります。

そして,Ｌ＝－∂²η/∂ｘ²,Ｍ＝－∂²η/∂ｘ∂ｙ,Ｎ＝－∂²η/∂ｙ²ですから,ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ＝－(∂²η/∂ｘ²){1＋(∂η/∂ｘ)²}－(∂²η/∂ｙ²){1＋(∂η/∂ｙ)²}＋2(∂²η/∂ｘ∂ｙ)(∂η/∂ｘ)(∂η/∂ｙ)が得られます。

そこで,微小振幅波近似を採用してηの２次以上の項を無視すると,平均曲率はＨ～(－1/2)(∂²η/∂ｘ²＋∂²η/∂ｙ²)/2となります。

したがって,表面張力による圧力差はδｐ＝γ[(1/Ｒ₁)＋(1/Ｒ₂)]＝2γＨ～－γ(∂²η/∂ｘ²＋∂²η/∂ｙ²)と近似表現されます。

そこで,δｐを考慮した方程式:η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²－δｐ/(ρｇ)においてηとΦの２次以上の項を無視した微小振幅波では,η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)＋{γ/(ρｇ)}(∂²η/∂ｘ²＋∂²η/∂ｙ²)が得られます。

これと,水面ｚ＝ηにおける運動学的境界条件∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)の微小振幅波近似∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ(ｚ～0)から,ｚ＝0で成立すべき式:∂²Φ/∂ｔ²＋[ｇ－(γ/ρ)(∂²/∂ｘ²＋∂²/∂ｙ²)](∂Φ/∂ｚ)＝0 を得ます。

これは,前の記事でｚ＝0で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0,とｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0 なる境界条件の下でラプラス方程式∇²Φ＝0 を解いて近似解を得た際のｚ＝0で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 という境界条件に代わる式です。

ラプラス方程式∇²Φ＝∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 の変数分離解がΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ),η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ) (ただし,Ａ≡－Ｃωcosh(ｋｈ))で与えられるのは前と同じです。

違うのはωやｃをｋ,またはλと関係付ける分散式です。

これは解Φの陽な式を,"ｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋[ｇ－(γ/ρ)(∂²/∂ｘ²)](∂Φ/∂ｚ)＝0 が成り立つ"という境界条件式に代入すれば得られて－ω²cosh(ｋｈ)＋ｋ(ｇ＋γｋ²/ρ)sinh(ｋｈ)＝0 となります。

これから,ω＝{ｋ(ｇ＋γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)}^1/2,あるいはｃ＝ω/ｋ＝{(ｇ/ｋ＋γｋ/ρ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝[{ｇλ/(2π)＋2πγ/(ρλ)}tanh(2πｈ/λ)]^1/2を得ます。

しかし,長波,または浅水波;ｋｈ＝2πλ＜＜1の場合はtanh(ｋｈ)～ｋｈ,(γｋ/ρ)tanh(ｋｈ)～γｋ²ｈ/ρ＜＜ｇｈより,ｃ～(ｇｈ)^1/2と近似されて,表面張力を考慮しない場合と全く同じです。

つまり,長波,または浅水波には表面張力の影響は現われません。

これに対して,短波,または深水波;ｋｈ＝2πλ＞＞1の場合には,tanh(ｋｈ)～1によって,ｃ～(ｇ/ｋ＋γｋ/ρ)^1/2＝{ｇλ/(2π)＋2πγ/(ρλ)}^1/2となります。表面張力γは速度ｃにもろに影響します。

ここで,ｃ²＝ｇλ/(2π)＋2πγ/(ρλ)をλで微分してゼロと置くと,ｄｃ²/ｄλ＝ｇ/(2π)－2πγ/(ρλ²)＝0 です。

そこで,λ_m≡2π{γ/(ρｇ)}^1/2と置けば,位相速度ｃは波長λ＝λ_mにおいて,最小値ｃ_m≡(4γｇ/ρ)^1/4をとることになります。

短波の中でも比較的波長が短かくλ＜λ_mの場合には,ｃ～(ｇ/ｋ＋γｋ/ρ)^1/2＝{ｇλ/(2π)＋2πγ/(ρλ)}^1/2の右辺の括弧の中の第２項の表面張力項が優越します。

このような波を表面張力波,あるいは"さざ波"といいます。表面張力波では波長λが小さいほど位相速度ｃは大きく速い波で,λが増すにつれて遅い波になります。

一方,比較的波長が長くてλ＞λ_mの場合には,第１項ｇ/ｋ＝ｇλ/(2π)が優越します。このような波を重力波といいます。この場合には表面張力がない場合と同じく,波長λの増減と共にｃも増減します。

今日はここまでにします。

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館),小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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