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2009年4月21日 (火)

超弦理論(21)(2-10)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

物理的状態を解析するという現在の目的にとって明確な共形次元を持つ演算子の導入が有益な理由は,こうした演算子はその作用によって古い物理的状態から新しい物理的状態を作るという作業に使用可能であるということです。

実際,|φ>が物理的状態である,つまり(Lm-aδm)|φ>=0 (m≧0)を満たすとき,演算子A(τ)が明確な共形次元J=1を持つなら,定義式[Lm,An]={m(J-1)-n}Am+nにJ=1を代入すると,[Lm,An]=-nAm+nとなりますから[Lm,A0]=0 となることがわかります。

 

このことから,|φ'>≡A0|φ>もまた(Lm-aδm)|φ'>=0 (m≧0)を満たすので,|φ'>も物理的状態の条件を満たします。

 反応1→1'+2における質量固有状態2の放出と関わる頂点演算子は,物理的始状態1を物理的終状態1'に写すべきなので,上の|φ'>≡A0|φ>による|φ>→|φ'>の物理的状態間の移行規則は,開弦放出の頂点演算子の共形次元が1であるべきことを示唆しています。

既に記術した記事「超弦理論(1)~(11)」の序章(introduction)においては,開弦の頂点演算子が次元1の局所演算子であるべきことを別の方法で学びました。

すなわち,2009年1/6の記事「超弦理論(10)(開弦とチャン・パトン因子)子)」において,"外粒子の開弦は世界面の境界にのみ挿入されているため,V=∫dτ[hττ1/2U(τ)]の形の頂点演算子の挿入で記述されるはずです。

ここでのτは単に世界面の境界上の1つのパラメータを示しているだけです。そしてhττ→ (expφ)hττなる計量(metric)の共形的再縮尺の下での演算子Vの不変性は開弦の場合にはU=U(τ)の次元が1であるべきことを要求します。"と書きました。

さて,ある時刻τとσ=0 で運動量が(-kμ)の物理的粒子の放出,または運動量がkμの物理的粒子の吸収に対する頂点演算子:V(k,τ)≡V(k,0,τ)は,その演算子が如何なる運動量状態に作用するときでも,運動量の総量をkμだけ増加させる必要があります。

それ故,弦の波動の質量中心座標への依存性は,exp{-ikμμ(τ)}のようである必要があります。

 

ここでxμ(τ)=xμ+pμτであり,これは時刻τにおける弦の質量中心のD次元時空内での位置を示しています。

弦という環境の下で,これを実現するための明確なやり方はV(k,τ)にexp{-ikμμ(0,τ)}なる因子を持たせることです。

 

実際,世界面パラメータ(σ,τ)=(0,τ)に対応する時空位置Xμ(0,τ)において運動量kμの質量固有状態を吸収する弦がexp{-ikμμ(0,τ)}なる因子で修正された波動関数を持つのは当然です。

もしも,吸収または放出される粒子としての弦が,状態として運動量の他には個を区別する量子数を全く持たないなら,頂点演算子V(k,τ)は単にV(k,τ)=exp{-ikμμ(0,τ)}で与えられるとしてもいいと思われます。

 

実際には,これだけではダメで正規順序による表現を併用することも必要です。

開弦ではXμ(σ,τ)=xμ+pμτ+iΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)]より,Xμ(0,τ)=xμ(τ)+iΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)]です。

 

それ故,V(k,τ)=:exp{-ikμμ(0,τ)}:≡exp(-kΣn=1[(α-n/n)exp(inτ)]exp{-ikμμ(τ)}exp(kΣn=1[(αn/n)exp(-inτ)]と定義します。

この定義式での指数関数の指数は"正規順序=::"を取らなかった場合の値とは,発散する総和項α'k2Σn(1/n)だけ異なっています。

 

(それ故,k2=0 の特別なケースには正規順序の効果は無しです。)

(訳注42):線型演算子A,Bの交換子:[A,B]が[A,[A,B]]=0,または[B,[A,B]]=0 を満たすなら,expA・expB=exp(A+B+[A,B]/2)なる公式が成立します。

 

(これについては2006年10/27のブログ過去記事「量子力学の交換関係の問題(その2)」を参照ください。)

 そして,A=-lkΣn=1[(α-n/n)exp(inτ),B=lkΣn=1[(αn/n)exp(-inτ)とおけば,[αmn]=-mδm+nより,[A,B]=-l22Σmn[{1/(mn)}[α-mn]exp{-i(m-n)τ}]=2α'k2Σn(1/n)となって,A,Bの交換子:[A,B]は無限大に発散します。

 

 それでも,ともかく[A,B]は単なるc-数ですから,expA・expB=exp(A+B+[A,B]/2)が成立します。

それ故,:exp(A+B):≡expA・expB=exp(A+B)exp([A,B]/2)なる等式が得られます。

 

これは,exp(A+B)の正規順序を取らなかった場合と,因子にしてexp([A,B]/2),指数にして[A,B]/2=α'k2Σn(1/n)だけ異なります。

 

(訳注42終わり)※

そして,正規順序で定義した頂点演算子V(k,τ)の共形次元を計算してみます。

先に示したように,Xμ(τ)は共形次元J=0 を持つので,Xμ(τ)Xν(τ)のような積や,より一般のXμ(τ)の任意関数f(Xμ(τ))のような形の合成演算子もまた共形次元:J=0 を持つと予想されます。

実際,演算子A(τ)がA(τ)=Σm=-∞m exp(-imτ)なる形にモード展開が可能なとき,[Lm,An]={m(J-1)-n}Am+nが成立すればA(τ)が明確な共形次元Jを持つという性質があります

 

これを直接用いると,もしも2つの演算子A1(τ),A2(τ)がそれぞれ共形次元J1,J2を持つなら,積A1(τ)A2(τ)は共形次元(J1+J2)を持つことを示すことができます。

(訳注43):A1(τ)=Σm=-∞1mexp(-imτ),A2(τ)=Σm=-∞2mexp(-imτ)と展開されるとき,B(τ)=Σn=-∞n exp(-inτ)≡A1(τ)A2(τ)=Σj,k[A1j2kexp{-i(j-k)τ}]とすれば,Bn=Σj+k=n1j2kと書けます。

 そして,[Lm,A1n]={m(J1-1)-n}A1,m+n,[Lm,A2n]={m(J2-1)-n}A2,m+nと仮定します。

 

 このとき,[Lm,A1j2k]=[Lm,A1j]A2k+A1j[Lm,A2k]={m(J1-1)-j}A1,m+j2k+{m(J2-1)-k}A1j2,m+kですから,[Lm,Bn]=Σj+k=n[Lm,A1j2k]=Σj+k=n[{m(J1-1)-j}A1,m+j2k+{m(J2-1)-k}A1j2,m+k]=Σk[{m(J1-1)-(n-k)}A1,m+n-k2k+Σj[{m(J2-1)-(n-j)}A1j2,m+n-j]=Σj[{m(J1-1)-(j-m)+m(J2-1)-(n-j)}A1j2,m+n-j]が得られます。

それ故,B(τ)=A1(τ)A2(τ)のフーリエ・モード:Bnに対し形式的には,[Lm,Bn]=Σj[{m(J1+J2-1)-n}A1j2,m+n-j]=Σj+k=m+n[{m(J1+J2-1)-n}A1j2k]={m(J1+J2-1)-n}Bm+nが成立します。

 

(訳注43終わり)※

これは,演算子A1(τ)とA2(τ)を別々に定義するために必要とされるもの以外には,どんな"引き算"や"くりこみ"といった曖昧な手続きなしに積A1(τ)A2(τ)が明確に定義されて,well-definedな場合,

 

言い換えると,2点演算子積A1(τ)A2(τ')がτ'→τの極限で如何なる近距離特異性も持たない場合には,いつでも真なる性質です。

実際には,:Xμ(τ)Xν(τ):のような典型的な正規順序積は明確な共形次元を持ちません。

 

しかし,V(k,τ)=:exp{-ikμμ(τ)}:はゼロでない明確な共形次元を持つことがわかります。

(k,τ)において演算子の順序を変える効果の足跡を保持することに留意すれば,直接的に各振動子項の操作から[Lm,V(k,τ)]を計算することで,(k,τ)の共形次元を決定することができます。

(k,τ)=exp[-kΣn=1{(α-n/n)exp(inτ)}]exp{-ikμμ(τ)}exp[kΣn=1{(αn/n)exp(-inτ)}]に対して[Lm,V(k,τ)]を評価するためには,まず[αpμ,exp(-kα-n)]=pδp-nμexp(-kα-n)なる式が成立することに着目します。

(※これはp=0 のときにも成り立つ式です。これの証明については,2006年10/16のブログ過去記事「量子力学の交換関係の問題 を参考にしてください。)

pμ,exp(-kα-n)]=pδp-nμexp(-kα-n)とヴィラソロ演算子Lmの表現式Lm=(-1/2)Σqαm-qαqを用いると,[Lm,exp(-kα-n)]=(-1/2)Σqm-qq,exp(-kα-n)]+[αm-q,exp(-kα-n)]αq}=(-1/2)Σq{nkαm-n,exp(-kα-n)}となります。

 

ただし,最右辺の括弧の記号{ , }は反交換子:{A,B}≡AB+BAを意味します。

これを,V(k,τ)=exp[-kΣn=1{(α-n/n)exp(inτ)}]exp{-ikμμ(τ)}exp[kΣn=1{(αn/n)exp(-inτ)}]に対して,[Lm,V(k,τ)]を評価するのに用いるに際して,m>0と仮定します。(m<0 の場合にも論旨は同じです。)

フーリエ・モードに頼らない表現では,演算子A(τ)が共形次元Jを持つという性質は[Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)で与えられます。

 

そして,もしも"正規順序という論点を無視するなら"計算結果からは頂点演算子V(k,τ)が共形次元J=0 を持つという結果:[Lm,V(k,τ)]=(-i)exp(imτ)(dV/dτ)を得ます。

(訳注44):正規順序を無視して頂点演算子を,V(k,τ)≡exp{-ikμμ(τ)}=exp[-kμΣn≠0{(α-nμ/n)exp(inτ)-ikμμ(τ)}]と定義するなら,(-i)(dV/dτ)=-kμΣnα-nμexp(inτ)V(k,τ)が得られます。

 

 一方,[Lm,V(k,τ)]=-kμΣnαm-nμexp(inτ)V(k,τ)=-kμΣnα-nμexp{i(m+n)τ}V(k,τ)=exp(imτ)[-kμΣnα-nμexp(inτ)V(k,τ)]より,確かに[Lm,V(k,τ)]=(-i)exp(imτ)(dV/dτ)が成立します。

 

 (訳注44終わり)※

しかし,実際には頂点演算子V(k,τ)は,正規順序表現V(k,τ)=:exp{-ikμμ(τ)}:で定義され,これはVの微分dV/dτもまた自動的に正規順序であることを意味します。

しかし,交換子[Lm,V(k,τ)]を得るために,[Lm,exp(-kα-n)]=(-1/2)Σq{nkαm-n,exp(-kα-n)}を用いると,こちらの方はV(k,τ)が正規順序でも一般には正規順序ではない表現を得ます。

すなわち,V(k,τ)=exp[-kΣn=1{(α-n/n)exp(inτ)}]exp{-ikμμ(τ)}exp[kΣn=1{(αn/n)exp(-inτ)}]の無限積の各項に対する[Lm,exp(-kα-n)]=(-1/2)Σq{nkαm-n,exp(-kα-n)}の右辺の寄与のうち,有限個については正規順序の形になりません。

それら個々の項は,V(k,τ)において,モードを下げる(消滅)演算子を上げる(生成)演算子の左側に持ちます。

 

それは,[(-1/2)Σn=1mkαm-nexp(inτ)]V(k,τ)です。

 

これらは,正規順序表現での値に加えて,別に交換子の寄与[(-1/2)Σn=1mkαm-nexp(inτ),V(k,τ)]=(-1/2)Σn=1m2 exp(imτ)V(k,τ)=(-1/2)mk2exp(imτ)V(k,τ)を与えます。

(訳注45):[αm-n,exp{-(kα-l/l)exp(ilτ)}]=(m-n)δm-n-l(kμ/l)exp{-(kα-j/l)exp(ilτ)}ですから,[(-1/2)Σn=1mkαm-nexp(inτ),exp{-kΣl-l/l)exp(ilτ)}]=(-kμ/2)kμexp(inτ)exp{i(m-n)τ}exp{-kΣl-l/l)exp(ilτ)}=[(-1/2)Σn=1m2exp(imτ)]exp{-kΣl-l/l)exp(ilτ)}を得ます。

 

 (訳注45終わり)※

 こうして,結局[Lm,V(k,τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)-mk2/2}V(k,τ)なる評価式が得られます。

 

 これを演算子A(τ)が共形次元Jを持つという定義式[Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)と比較すると,頂点演算子V(k,τ)の共形次元JがJ=-k2/2で与えられることが導かれます。

序章では2点関数の計算によって,同じ演算子exp(-ikμμ)の異常次元を計算しました。

 

そして,閉弦境界へ挿入したときには,この演算子はJ=-k2/4,開弦境界へ挿入したときには,J=-k2/2の異常次元を与えるという結果を得ました。

 

(2008年12/14の記事「超弦理論(9)(タキオン(続き)と重力子の散乱振幅)」,および,2009年1/6の記事 「超弦理論(10)(開弦とチャン・パトン因子)」を参照)

一方,たった今振動子による方法から得た値:J=-k2/2が,序章において開弦について得た結果と完全に一致することに着目すると,これまでの弦についての手法の正当性に関して心強いものがあります。

 以上から,もしもk2=-2ならJ=1が得られ,V(k,τ)=Σm=-∞m(k)exp(-imτ)と展開したときの係数について,共形次元がJ=1で[Lm,V0(k)]=0 を満たす物理的な頂点演算子V0(k)を与えることがわかります。

 

 これは具体的には平方質量を試験的にM2=-2と割り当てた基底状態タキオン(tachyon)の放出に対する頂点演算子です。

 V(k,τ)が正規順序を要求しない唯一の場合はk2=0 の場合です。

 この場合はV(k,τ)=:exp(-ikX):の共形次元Jはゼロです。

 

 しかしk2=0 の条件は,質量がゼロのベクトル・メソンに対してのみ正しい条件ですから,この場合には頂点演算子としては共形次元のJ=0 は不適切な次元です。

 

 (※なぜなら,質量殻条件は,-α'k2-Σn=1α-nαn=L0=a=1によりα'k2=n-1ですから,質量殻の上にある物理的粒子でk2=0 ならこれはn=1(ベクトル)を意味します。)

 前に述べたように,dXμ/dτの共形次元は1なので,Vξ(k,τ)≡-ξμ(dXμ/dτ)exp(-ikX)が偏極ξμ(k)を持つゼロ質量のベクトル中間子放出に対する頂点演算子と解釈するのが自然です。

 

 そして,このようにVξ(k,τ)が,{ξμ(dXμ/dτ)}とexp(-ikX)の演算子積から成ることは,kξ=kμξμ=0 なら,Vξ(k,τ)の共形次元Jが1になることを保証します。

 

 また,これらには近距離特異性もありません。

 質量がゼロのベクトル粒子には制限があって,許される偏極は限られているというのはQED(量子電磁力学)ではお馴染みの事実であり,前に物理的状態スペクトルの解析でも遭遇しました。

 

 ここでのこうした出現は,共形次元が1の頂点演算子が物理的状態と1対1対応するという事実の実例です。

 スペクトルにおいて出現する他の状態に対応する頂点演算子は,より複雑です。

 

 質量殻条件α'2=n-1を満たす物理的粒子状態に対応する頂点演算子は,一般に:f(Xd,X2d,..,)exp(-ikX):なる形をしています。

 

 ここでfの中にあるXのτ微分の総数がnとなります。しかし,J=1なる完全な状態を得るためには,さらに付加的制限が必要です。

 次に,ゼロノルム状態に対する頂点演算子は次のように記述されることがわかります。

 まず,W(k,τ)が因子:exp(-ikX):を含む共形次元がゼロの演算子であるとすれば,V(k,τ)≡-i{dW(k,τ)/dτ}=[L0,W(k,τ)]の共形次元はJ=1で与えられます。

(訳注46):なぜなら,Lmはτによらない演算子なので,[Lm,W(k,τ)]=(-i){exp(imτ)(dW/dτ)}により,[Lm,V(k,τ)]=[Lm,-i{dW(k,τ)/dτ}]=(-i)(d/dτ)(-i)exp(imτ)(dW/dτ)=(-i)exp(imτ)(dV/dτ)+m・exp(imτ)Vです。

 

 [Lm,V(k,τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+m}V(k,τ)です。

 

 (訳注46終わり)※

 そして,例えばk2=0 のW(k,τ)=exp(-ikX)なるJがゼロの演算子を取り上げれば,V(k,τ)=-i{dW(k,τ)/dτ}は縦偏極:ξμ=kμを持つゼロ質量中間子の放出に対する頂点演算子を与えると考えられます。

 実際にWがJ=0 を持つときのV(k,τ)=-i(dW/dτ)の形の演算子は,常にゼロノルム状態の放出を記述します。

 

(なぜなら,V(k,τ)=-i(dW/dτ)の偏極は,必ず縦偏極kμであり,J=-k2/2=0 からk2=0ですが偏極がkμであることと合わせうとこれはノルムがゼロなることを意味します。)

 論旨がかなり先の話まで飛躍することを承知で,ゼロノルム状態が分離される理由を述べると,V=-i(dW/dτ)は1つのτによる全微分項であるため,物理的状態|φ>を物理的状態V0|φ>に移すVのゼロ振動数成分V0は消えるという事実にその理由があることです。

 さらなる例として,α'k2=1を持つ第2励起レベルの状態の放出についての頂点を考えます。

 

 この場合,因子V0(k)はJ=-1を持ち,それ故ξμνμdνd:exp(-ikX):は,もしもこの演算子積に近距離特異性がないならJ=1を持ちます。そして,これはkμξμν=Trξ=0 (トレースレス=対角和がゼロ)のケースです。

 

 これらは,ξμν(k)が質量を持つスピンが2の状態の偏極テンソル:SO(D-1)の対称トレースレステンソルとなるための条件です。

 同じ質量レベルでスピン1と偏極ημの物理的状態に対する頂点演算子Yk,η=ημ(dXμd/dτ)exp(-ikX)の存在も仮定できます。

 

 しかし,ημμ=0 ならημμd:exp(-ikX):のτによる全微分(-i)[d{ημμd:exp(-ikX):}/dτ]={-iημ(dXμd/dτ)-ημμdννd}:exp(-ikX):の記述するところは,L-1ημα-1μ|0;k>で表わされるゼロノルム状態の放出と,Yの(D-1)個の可能な成分を説明します。

(訳注47):先に述べたように,J=0 のWに対して-i(dW/dτ)は常にゼロノルム状態の放出を意味します。

 

 W=ημμd:exp(-ikX):とすると,Wはημα-1μ|0;k>の頂点ですから,この物理的状態に対して,これの最も簡単なゼロノルム状態はL-1ημα-1μ|0;k>です。

 

 一方, (-i)[d{ημμd:exp(-ikX):}/dτ]={-iημ(dXμd/dτ)-ημμdννd}:exp(-ikX):の右辺第1項はημμ=0 の条件1つを持つ1個の頂点演算子Yk,ηです。(訳注47終わり)※

 それ故,Yのこれらの成分はξμνμdνd:exp(-ikX):の形の表現とゼロノルムに対応する成分だけ異なっており,残りの偏極はημ=kμに対応しています。

 D=26のケースには,これは新しい物理的状態の放出を与えません。

 

 なぜなら,こうしたYは,ξμνμdνd:exp(-ikX):の形の状態の放出とゼロノルム状態:{L-2+(3/2)L-12}|0;k>の放出の線型結合に対応しているからです。

 

 それ故,26次元の第2励起質量レベルでは,総じて唯一の適切な開弦頂点演算子はξμνμdνd:exp(-ikX):の形です。

 

 これはスピン2の質量のある粒子(k2=1/α’),すなわち,SO(25)の対称トレースレス2階テンソルとして変換する粒子の放出,または吸収を記述します。

今日はここまでにして,次回からは共変ゲージではなく,電磁場ならクーロンゲージに相当する光(円)錐(light-cone)ゲージの定式化について述べる予定です。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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