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2009年4月

2009年4月30日 (木)

5月第1週関西に行きます。

 GWに人並みに関西に遊びに行きます。5月1日か2日の夜に明朝に着く東名高速深夜バスで大阪まで行って,まず西宮に住んでいる実姉にやっかいになる予定です。(その先,岡山の倉敷には88歳になった母親が健在のはずですが。。)

 可能なら1週間前後,大阪近辺に滞在します。業務連絡のようなもの?かな。。。最近,私のことを「棺桶が近いから」とかよく言われますから思い残すことないように。。。いろいろやっておかなきゃね。。。

PS:それにしても定額給付金,別にアテにしてなかったけど貰えるモノは貰おうってことで,4/12に申請書が送られてきたからイのイチ番で申請しました。4月下旬から順次振り込むとあったけどまだですね。

 台湾じゃ商品券らしいけど旧正月前に支給して結構経済効果が大きかったと聞きました。

 台湾とは時期が違って正月は遠いけれど日本でも早いところは早いらしいしせっかくGWがあるのだから,その前に一斉に支給していれば多少経済効果が上がると素人的には思うんですけど,まあ選挙目当てのバラマキじゃ,そんな表向きの意図などは全く関係ないんでしょうね。

PS:5/1(金)高速バス当日予約取れました。新宿駅23時頃出発,大阪駅に翌7時到着予定です。

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2009年4月28日 (火)

水の波(2)(浅水波,深水波,表面張力波)

 水の波のつづきです。微小振幅波を近似して分類します。

微小振幅波の位相速度cと波数k or 波長λとの関係,つまり分散関係はc=ω/k={(g/k)tanh(kh)}1/2{gλtanh(2πh/λ)/(2π)}1/2で与えられます。

 

これは,一見しただけではよくわからない関数形をしていますが,波長λが水深hに対して極めて大きい波,または水深hの方がλに対して極めて小さい波に対しては分散関係は簡単になります。

すなわち,h/λ<<1では,tanh(kh)=tanh(2πh/λ)~ kh=2πh/λなる近似が成り立つので,位相速度cもc~ (gh)1/2と近似できます。この場合,波の速さcは深さの平方根:h1/2に比例します。

 

cが波長λに依らないので波は非分散的です。

h/λ<<1はkh<<1を意味しますから,今の場合には速度ポテンシャルΦも,Φ(x,z,t)=-{Ac/sinh(kh)}cosh{k(z+h)}cos(kx-ωt)の正弦波の係数が,sinh(kh)~ kh,cosh{k(z+h)~ 1と近似できて,Φ(x,z,t)~ {-Ac/(kh)}cos(kx-ωt)と簡単になります。

これによって,dx/dt=u=∂Φ/∂x=(Ac/h)sin(kx-ωt),dz/dt=u=∂Φ/∂z={-Ack(z+h)/h}cos(kx-ωt)が得られます。

 

そこで前に求めた近似軌道はx=x0[A/(kh)]cos(kx0-ωt),z=z0[A(z0+h)/h]sin(kx0-ωt)と簡単になります。

これは,楕円軌道:(x-x0)2/a2(z-z0)2/b21における長半径aがa=A/(kh),短半径bがb=A(z0+h)/hとなってa>>bを意味します。

 

そこで,z方向の振幅b=A(z0+h)/hは無視できて,水の運動は事実上,水平方向の単振動x=x0+acos(kx0-ωt),z=z0と見なせます。 

そして振幅a=A/(kh)は深さz=z0に依存しませんから,同じx0の位置にある水の鉛直層は一体になって水平に往復運動をするという描像になります。

 

その水平運動の速度はu=dx/dt=A(g/h)1/2sin(kx-ωt)となりますが,これは水面の波形(高さ):η(x,t)=Asin(kx-ωt)と全く同位相なので水面の山では正の向き,谷では負の向きに動くことになります。

このような波は,波長λが長いか,深さhが小さい場合の波なので,長波,または浅水波(shallow water wave)と呼ばれます。

 

そして,これを導くために用いた上述の近似を,長波近似,または浅水波近似といいます。

一方,逆に波長λが深さhに対して極めて短かい波,あるいはhがλに比べて極めて大きい場合,深い場合の近似を考えることもできます。

この場合はkh=2πh/λ>>1なのでtanh(kh)~ 1と近似できます。そこで,位相速度c=ω/k={(g/k)tanh(kh)}1/2{gλtanh(2πh/λ)/(2π)}1/2の近似はc~ (g/k)1/2{gλ/(2π)}1/2となります。

 

そこで,これの極限での波は分散的です。

このkh>>1の場合,sinh(kh)=(1/2){exp(kh)-exp(-kh)}~ (1/2)exp(kh),cosh{k(z+h)}=(1/2)[exp{k(z+h)}+exp{-k(z+h)}] ~ (1/2)exp{k(z+h)}と近似できます。

 

そこで,Φ(x,z,t)=-{Ac/sinh(kh)}cosh{k(z+h)}cos(kx-ωt)も,近似的にΦ(x,z,t)~-Acexp(kz)cos(kx-ωt)と書けます。

したがって,dx/dt=u=∂Φ/∂x~ Ackexp(kz)sin(kx-ωt),dz/dt=w=∂Φ/∂z~-Ackexp(kz)cos(kx-ωt)ですから,水の運動もx~x0+Aexp(kz0)cos(kx0-ωt),z~ z0+Aexp(kz0)sin(kx0-ωt)となります。

前に,x=x0[Acosh{k(z0+h)}/sinh(kh)]cos(kx0-ωt),z=z0[Asinh{k(z0+h)}/sinh(kh)]sin(kx0-ωt)によって,楕円軌道:(x-x0)2/a2(z-z0)2/b21,a≡Acosh{k(z0+h)}/sinh(kh),b≡Asinh{k(z0+h)}/sinh(kh)を求めました。

 

これは,今の近似では,a=b=Aexp(kz0)なので,水の運動は(x-x0)2(z-z0)2=A2exp(2kz0)となり,(x0,z0)を中心とする半径がAexp(kz0)の円運動になります。

半径Aexp(kz0)は深さ|z0|の増加に連れて指数関数的に減少するため,水面の波による水の運動は実質的にある有限深さまでに限られ,それより下方には及びません。

 

その有限深さ|z0|の値はk|z0|=2π|z0|/λのオーダーで決まるため,波の波長λに比例しますから,波長が短くなると共に小さく浅くなることがわかります。

このように,水深に比べて波長が極めて短かい波を短波,または深水波(deep-water wave)と呼び,これを導くために用いた近似を短波近似,または深水波近似といいます。これが成立するのは,tanh(kh)~ 1の近似が許される場合です。

例えば,1-tanh(kh)≦0.01となるのはkh=2πh/λ≧2.65のときですから,λ≦2.4h,すなわち水深の約2倍の波長に対して短波近似は相対誤差1%以内で成立します。

さて,これまでの扱いでは,水面に働く表面張力を考慮しませんでしたが表面張力の影響は特に波長の短かい波に対しては無視できません。

表面張力を考慮する場合でも,元々の境界値問題:=∇Φ,∇2Φ=0,∂Φ/∂z=∂η/∂t+(∂Φ/∂x)(∂η/∂x)+(∂Φ/∂y)(∂η/∂y),∂Φ/∂t+p/ρ+(∇Φ)2/2+gz=f(t)は,そのまま成立します。

そして,大気と接している水面上の大気圧をp0とするとき,前には∂Φ/∂t+p/ρ+(∇Φ)2/2+gz=f(t)なる圧力方程式で,任意関数f(t)をf(t)≡p0/ρと置き,z=ηでp=p0として,η=-g-1(∂Φ/∂t)-(2g)-1(∇Φ)2なる式を得ました。

 

しかし,表面張力による圧力差δp>0 があれば水面での水の圧力pは大気圧p0と同じではなくて,p0+δpに等しくなります。 

そこで,この場合は同じ(t)=p0/ρに対しz=ηでの圧力としてp=p0+δpを代入すれば,水面での境界条件はη=-g-1(∂Φ/∂t)-(2g)-1(∇Φ)2δp/(ρg)となります。

ところで,1つの曲面をその法線を含む平面で切ると,切り口の曲線の曲率半径Rは一般に平面の方向によって異なります。

 

このときのRの極大値をR1,極小値をR2とするとき,それぞれを与える平面の方向を主方向,κ11/R121/R2を主曲率,H≡(κ1+κ2)/2を平均曲率といいます。

γを表面張力とすると,これが働いている曲面を隔てての圧力差は,δp=γ[(1/R1)+(1/R2)]=γ(κ1+κ2)=2γHで与えられます。

ところで水面に限らず一般的な空間曲面の性質については,過去に2008年7/30の記事「相対論の幾何学(第Ⅰ部-4:空間曲面(1))」,および2008年8/3の記事「相対論の幾何学(第Ⅰ部-5:空間曲面(2))」において詳しく論じています。

 

この中では,滑らかな曲面をある定義域Dにある2つのパラメータ(u,v)∈Dのベクトル値関数として(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))で定義しています。

 

そして,この曲面の曲率に関して得られる平均曲率H≡(κ1+κ2)/2 はu,vの6つの関数E,F,G,L,M,Nによって,H=(EN+GL-2FM)/{2(EG-F2)}なる式で与えられることが示されています。

ただし,E,F,Gは,u≡∂/∂u,v≡∂/∂vに対しE≡u2,F≡uvvu,G≡v2で定義されます。

 

また,L,M,Nはuu≡∂2/∂u2,uv≡∂2/∂u∂v,vv≡∂2/∂u2に対し,L≡(uu,),M≡(uv,),N≡(vv,)で定義されます。

 

ただし,≡(u×v)/|u×v|は曲面(u,v)の法線単位ベクトルです。

 

これらの関数を今の(x,y)をパラメータとして水面の高さを表わす式z=η(x,y),またはこれの曲面ベクトルの表現(x,y)=(x,y,η(x,y))で表わすと,E=1+(∂η/∂x)2,F≡(∂η/∂x)(∂η/∂y),G=1+(∂η/∂y)2です。

 

それ故,EG-F21+(∂η/∂x)2(∂η/∂y)2となります。

  

そして,L=-∂2η/∂x2,M=-∂2η/∂x∂y,N=-∂2η/∂y2ですから,EN+GL-2FM=-(∂2η/∂x2){1+(∂η/∂x)2}-(∂2η/∂y2){1+(∂η/∂y)2}+2(∂2η/∂x∂y)(∂η/∂x)(∂η/∂y)が得られます。

 

そこで,微小振幅波近似を採用してηの2次以上の項を無視すると,平均曲率はH~(-1/2)(∂2η/∂x2+∂2η/∂y2)/2となります。

 

したがって,表面張力による圧力差はδp=γ[(1/R1)+(1/R2)]=2γH~-γ(∂2η/∂x2+∂2η/∂y2)と近似表現されます。

 

そこで,δpを考慮した方程式:η=-g-1(∂Φ/∂t)-(2g)-1(∇Φ)2δp/(ρg)においてηとΦの2次以上の項を無視した微小振幅波では,η=-g-1(∂Φ/∂t){γ/(ρg)}(∂2η/∂x2+∂2η/∂y2)が得られます。

 

これと,水面z=ηにおける運動学的境界条件∂Φ/∂z=∂η/∂t+(∂Φ/∂x)(∂η/∂x)+(∂Φ/∂y)(∂η/∂y)の微小振幅波近似∂Φ/∂z=∂η/∂t(z~0)から,z=0で成立すべき式:2Φ/∂t2[g-(γ)(∂2/∂x2+∂2/∂y2)](∂Φ/∂z)=0 を得ます。

 

これは,前の記事でz=0で∂2Φ/∂t2+g(∂Φ/∂z)=0,とz=-hで∂Φ/∂z=0 なる境界条件の下でラプラス方程式∇2Φ=0 を解いて近似解を得た際のz=0で∂2Φ/∂t2+g(∂Φ/∂z)=0 という境界条件に代わる式です。

 

ラプラス方程式∇2Φ=∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂z20 の変数分離解がΦ(x,z,t)=Ccosh{k(z+h)}cos(kx-ωt),η(x,t)=Asin(kx-ωt) (ただし,A≡-Cωcosh(kh))で与えられるのは前と同じです。

 

違うのはωやcをk,またはλと関係付ける分散式です。

 

これは解Φの陽な式を,"z=0 で2Φ/∂t2[g-(γ)(2/∂x2)](∂Φ/∂z)=0 が成り立つ"という境界条件式に代入すれば得られて-ω2cosh(kh)+k(g+γk2)sinh(kh)=0 となります。

 

これから,ω={k(g+γk2)tanh(kh)}1/2,あるいはc=ω/k={(g/k+γk/ρ)tanh(kh)}1/2[{gλ/(2π)+2πγ/(ρλ)}tanh(2πh/λ)]1/2を得ます。

  

しかし,長波,または浅水波;kh=2πλ<<1の場合はtanh(kh)~kh,(γk/ρ)tanh(kh)~γ2/ρ<<ghより,c~(gh)1/2と近似されて,表面張力を考慮しない場合と全く同じです。

 

つまり,長波,または浅水波には表面張力の影響は現われません。

これに対して,短波,または深水波;kh=2πλ>>1の場合には,tanh(kh)~1によって,c~(g/k+γk/ρ)1/2{gλ/(2π)+2πγ/(ρλ)}1/2となります。表面張力γは速度cにもろに影響します。

 

ここで,c2=gλ/(2π)+2πγ/(ρλ)をλで微分してゼロと置くと,dc2/dλ=g/(2π)-2πγ/(ρλ2)=0 です。

 

そこで,λm≡2π{γ/(ρg)}1/2と置けば,位相速度cは波長λ=λmにおいて,最小値cm≡(4γg/ρ)1/4をとることになります。

 

短波の中でも比較的波長が短かくλ<λmの場合には,c~(g/k+γk/ρ)1/2{gλ/(2π)+2πγ/(ρλ)}1/2の右辺の括弧の中の第2項の表面張力項が優越します。

 

このような波を表面張力波,あるいは"さざ波"といいます。表面張力波では波長λが小さいほど位相速度cは大きく速い波で,λが増すにつれて遅い波になります。

 

一方,比較的波長が長くてλ>λmの場合には,第1項/k=gλ/(2π)が優越します。このような波を重力波といいます。この場合には表面張力がない場合と同じく,波長λの増減と共にcも増減します。

  

今日はここまでにします。

 

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館),小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房)

  

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2009年4月24日 (金)

水の波(1)(微小振幅波)

非圧縮性完全流体における波動(wave),特に水の波(water wave)について数回にわたって記述します。

これを書こうと思ったのは,持ってはいても今まで読んでいなかった戸田盛和 著「非線形波動とソりトン」(日本評論社)を偶々本棚から取って見るとはなしにパラパラとめくっているうちに,ある素人的アイデアが浮かんだからです。

場の量子論では,自発的対称性の破れを生ぜしめ,結果として粒子が質量を獲得するヒッグスメカニズム(Higgs mechanism)と関わるモデルとして,自由スカラー場に余分なφ4に比例する非線形項の存在を仮定するφ4模型やシグマ模型と呼ばれる単純なものがあります。

一方,流体力学の水面波を記述する方程式として発見されたKdV方程式(Kortveig-de Vries方程式):∂η/∂τ+{3c0/(2h)}{η(∂η/∂ξ)}=-(c02/6)(∂3η/∂ξ3)という非線形な方程式があります。

 

これは安定な孤立波の解としてソリトン(soliton)という際立ったパルス的特徴の解を持つことがわかっています。

 

そして,上記の自由スカラー粒子の場にφ4に比例する自己相互作用の存在を仮定する単純φ4-Higgs模型でも,スカラー場φはKdV方程式に似た非線形構造を持つ波動方程式に従います。

 

そこで,このφ4-モデルのスカラー場φについても,水面波のソリトン解と同様に,安定したパルス(粒子)としての性質を持つ解が存在すると予想されます。

  

これらのことから,こうした非線形解はかなり合理的な"くりこみ(renormalization)における正則化(regularization)の手法"を与えるのではないか?,

 

あるいは正則化というような一種の対症療法や有効理論としてではなく,より本質的な意味で紫外発散の除去を可能とするのではないか?とふと考えたのが本記事を書く気になった動機です。

そもそも,ソリトンは戸田盛和氏の戸田格子のような非線型格子と大いに関係あるようです。

 

最近の格子ゲージ理論(lattice-gauge theory)など格子を利用した数値計算手法とも関係するようですから,単に私が知らなかっただけで,既に場の理論での類似した試み,あるいは,はるかに進んだ理論があるのかもしれません。

線形な波動であれば,それは正弦波の重ね合わせで構成されますから,最初は波束という孤立したパルスのような波形を持っていても放置すれば自然にくずれ拡がって,常に減衰してゆきます。(分散現象)

しかし,波が非線形波動であれば,ローレンツアトラクタ(Lorentz atractor)によるカオス(chaos)の発生例にも見られるように,減衰するのでなく,ときには逆に自励発振して自然に増幅したりもします。

 

孤立的なソリトンが安定で有り続けることが可能なのも,そうした理由のためでしょう。

自由な実スカラー場φのLagrangian密度:=(1/2)∂μφ∂μφ-(1/2)μ2φ2に,微小な摂動項-λφ4/4!を加えた模型を考えます。

 

こうすれば,からEuler-Lagrange方程式:∂μ{∂/∂(∂μφ)}-∂/∂φ=0 によって得られる場の方程式は,通常の自由スカラー場が従う線形なKlein-Gordon方程式:(□+μ2)φ=0 から,非線形な方程式;(□+μ2)φ=-(λ/6)φ3に変わります。

唐突ですが,私のかつてのサラリーマン時代の本業は,さして優秀でもないコンピュータによる数値シミュレーションの技術屋でした。

 

そのころの拙い経験から考えると,微分方程式や差分方程式の解の性質を支配するのは,方程式の最高次の次数です。

 

もしも,方程式(□+μ2)φ+λφ3/3!=0 の解を求めたいのであれば,λが如何に小さくλφ3/3!が無視できる程度のオーダーであろうと,この非線形項がφの最大次数の項として解の安定性等にとって本質的な意味を持つと考えられます。

これは線形な数値計算であれば,いわゆる丸め誤差とか累積誤差と呼ばれるものに類似するのですが,線形の場合誤差とはいえ数値計算ではこの扱いを間違うと致命的です。

時空の中に自分自身しか存在しない自由粒子の場であっても,背景時空のプランク時間やプランク長さのオーダーよりも小さい規模の領域に関わる計算では時空の曲がりとか,本質的に非線形な重力場の効果とかを無視できないはずです。

こうした非線型な効果が,自由Klein-Gordon場に通常のスケールでは無視できる程の非線形項を付加することで抽象されると考えられます。

 

従来の素朴な自由線形場で展開された摂動計算では無限大に発散するFeynman積分も,その計算で線形場の代わりに自由非線形場を代入すると,まるでソリトンのように結果が発散せず有限な計算値として得られる可能性があると予想されます。

つまり,λ=0での計算結果は無限大に発散しても,λ≠0での有限な計算結果がλ→0 の極限で有限に留まるかもしれない,極限をとる順序を変えると異なる結果を得ることも可能では?と考えたわけです。

というわけで,そうした動機も含めてKdV方程式のソりトン解やそれに関連して逆散乱法等にも興味が湧いたので,取りあえず15年くらい前の流体力学のノートから,水面波に対してKdV方程式を求める部分の復習から始めようという気になったわけです。

 

さて,本題に入ります。

まず,流体の密度をρ,流速を=(u,v,w)とすると,その質量の保存を示す連続方程式は∂ρ/∂t+∇(ρ)=Dρ/Dt+ρ∇=0 で与えられます。

 

非圧縮性流体ではDρ/Dt=0 なので連続方程式は∇=0 と簡単になります。D/DtはLagrange微分:D/Dt≡∂/∂t+∇です。

特に流れが渦無し:∇×=0 であるとし,速度ポテンシャル:Φ=Φ(,t)が存在して流速が=∇Φと表わせる場合を仮定します。

 

上記の連続方程式∇=0 はΦに対するLaplace方程式:∇2Φ=0 になります。したがって,Φは調和関数です。

また,通常,水底の深さhは時間によらず一定ですから,鉛直上向きをz軸の正の向きとするxyz座標系:=(x,y,z)を取り,水底のz座標がz=-h(x,y)で与えられるとします。

また,水面高さのz座標はz=η(x,y,t)で与えられるとします。

 

水底z=-h(x,y)での完全流体の流速の境界条件は流束の垂直成分がゼロであること,つまりunun=∂Φ/∂n=0 です。ここでは水底面の法線ベクトルです。

一方,水面のz座標がz=η(x,y,t)であること,または水面がz-η=0 を満たすという性質は時間的に不変なので,これからD(z-η)/Dt=0 という運動学的境界条件を得ます。

 

これは,Dz/Dt=wより,w=∂η/∂t+u(∂η/∂x)+v(∂η/∂y) or ∂Φ/∂z=∂η/∂t+(∂Φ/∂x)(∂η/∂x)+(∂Φ/∂y)(∂η/∂y)なる式の成立を意味します。

一方,完全流体の運動方程式であるEulerの方程式はρ(D/Dt)=-∇p+ρです。ここにpは圧力,ρは外力を示しています。

 

ただし,流体全体に働く外力は重力のような密度ρに比例する体積力ρの形を仮定しました。

 

さらに熱力学の状態方程式のような関係式によって,ρがρ=ρ(p)のように圧力pだけの関数で表わせるなら,P≡∫dp/ρなる量Pを定義するとdP=dp/ρと書けるので,Eulerの運動方程式はρを消去した形:D/Dt=-∇P+と書けます。

これはEuler微分による表現では,(∂/∂t)+(∇)=-∇P+となります。

 

さらに外力が保存力なら,ポテンシャルΩが存在して=-∇Ωと書けます。

 

これと=∇Φを運動方程式に代入すれば,(∇)=(∇Φ∇)∇Φ=∇{(∇Φ)2/2}となるので,∇[∂Φ/∂t+P+(∇Φ)2/2+Ω)=0 なる式を得ます。

これから,結局,圧力方程式と呼ばれる方程式:∂Φ/∂t+P+(∇Φ)2/2+Ω=f(t)が得られます。(これは拡張されたベルヌーイの定理(Bernoulliの定理)です。)

 

そして,もしも流体が非圧縮の上にさらに密度が一様:ρ=ρ(p)=一定なら,P=p/ρとなるので圧力方程式は∂Φ/∂t+p/ρ+(∇Φ)2/2+Ω=f(t)となります。

 

また,外力の場が地球上の一様な重力場であれば重力の加速度をgとして,Ω=gz+const.と書けますから,∂Φ/∂t+p/ρ+(∇Φ)2/2+gz=f(t)-const.となります。

そこで,水面z=ηに接する大気の圧力をp0=p0(t)とすれば,その位置z=ηでの圧力の連続性から∂Φ/∂t+p0(t)/ρ+(∇Φ)2/2+gη=f(t)-const.を得ます。

 

tの任意関数f(t)がf(t)=p0(t)/ρ+const.となるように選択すれば速度ポテンシャルΦ=Φ(,t)が満たす方程式は∂Φ/∂t+(∇Φ)2/2+gη=0 です。

結局,Laplace方程式:∇2Φ=0 を満たす速度ポテンシャルΦ=Φ(,t)によって,水面の高さη=η(x,y,t)を表わす式η=-g-1(∂Φ/∂t)-(2g)-1(∇Φ)2が得られました。

 

ただし,右辺のΦ(,t)では微分した後で=(x,y,z)のzをz=ηと置きます。

特に水面の高さηの運動で与えられる水面波が,ηの小さい微小振幅波であると仮定してΦとηに関しての2次の項を無視すれば,z=ηでη=-g-1(∂Φ/∂t)-(2g)-1(∇Φ)2なる式は,η=-g-1(∂Φ/∂t)に帰着します。

一方,水面z=ηでの境界条件は∂Φ/∂z=∂η/∂t+(∂Φ/∂x)(∂η/∂x)+(∂Φ/∂y)(∂η/∂y)ですが,同じくΦとηに関して2次の項を無視すれば,これは単に∂Φ/∂z=∂η/∂tとなります。

これらの式からηを消去すれば,z=ηで∂2Φ/∂t2+g(∂Φ/∂z)=0 という式になります。

 

ところが速度ポテンシャルをz=0 の周りでηのベキ級数に展開すると,Φ(,t)=Φ(x,y,η,t)=Φ(x,y,0,t)+(∂Φ/∂z)z=0η+O(Φη2)です。

 

Φとηに関して2次以上の微小量を無視する近似ではz=η近傍でΦ(x,y,z,t)=Φ(x,y,0,t)としても同じです。

結局,問題はz=0 で∂2Φ/∂t2+g(∂Φ/∂z)=0,およびz=-h(x,y)で∂Φ/∂n=0 という2つの境界条件の下で,Laplace方程式:∇2Φ=0 を解くという問題に帰することがわかりました。

ここでさらに簡単化して,水底z=-h(x,y)を与えるhは(x,y)に無関係な一定値であるとし,Φはy方向には一定で流れがx,z面内の"運動=波"の場合であると考えます。この場合,波はx方向にのみ伝播するので1次元の波です。

また,Laplace方程式:∇2Φ=0 は∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂z20 となります。境界条件もz=0 で∂2Φ/∂t2+g(∂Φ/∂z)=0,z=-hで∂Φ/∂z=0 と簡単になります。

 

そして水面波の形はη=-g-1(∂Φ/∂t)=0で与えられます。

解を求めるステップに向かいます。

 

Φ(x,z,t)=φ(z)cos(kx-ωt)という変数分離形を仮定して∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂z20 に代入するとd2φ/dz2-k2φ=0 となります。

 

そこで,k>0 としてφ(z)の一般解:φ(z)=C1exp(kz)+C2exp(-kz)(C1,C2は定数)が得られます。

 

つまり,Φ(x,z,t)={C1exp(kz)+C2exp(-kz)}cos(kx-ωt)です。

ここで,z=-hでは∂Φ/∂z=0 なので,kC1exp(-kh)-kC2exp(kh)=0 です。

 

1exp(-kh)=C2exp(kh)=C/2と置けば,Φ(x,z,t)=Ccosh{k(z+h)}cos(kx-ωt)となります。

それ故,水面波の形η=η(x,y,t)をη(x,t)と書くとη(x,t)=-g-1(∂Φ/∂t)=0=Asin(kx-ωt),A≡-Cg-1ωcosh(kh)となります

Φ(x,z,t)=Ccosh{k(z+h)}cos(kx-ωt)に,さらにz=0 で∂2Φ/∂t2+g(∂Φ/∂z)=0 なる境界条件を課すと-ω2cosh(kh)+gksinh(kh)=0 です。

 

そこで,ω>0 とすれば,ω={gktanh(kh)}1/2です。または,波の位相速度をcとするとc=ω/k={(g/k)tanh(kh)}1/2{gλtanh(2πh/λ)/(2π)}1/2を得ます。

これは,位相速度cが波数k,あるいは波長λと共に変化することを示しています。つまり,位相速度cはkh=2πh/λの増加と共に緩やかに減少していきます。

一般には任意波形のη=η(x,t)はそれが従う方程式が線形で境界条件も線形故,Fourier級数に展開できることから,η(x,t)は無数の正弦波の重ね合わせから成ると考えられます。

今の場合の水の微小振幅波について要約します。

 

水の微小振幅波の解は境界条件も線形なのでその波を構成する個々の正弦波は互いに独立であり,個々の正弦波の挙動は速度ポテンシャルΦ(x,z,t)=Ccosh{k(z+h)}cos(kx-ωt)で全て決定され,流速=(u,w)は=∇Φによって与えられます。

 

u=∂Φ/∂x=-Ckcosh{k(z+h)}sin(kx-ωt),w=∂Φ/∂z=Cksinh{k(z+h)}cos(kx-ωt)です。

そして,水面波は波高をηとして,η(x,t)=Asin(kx-ωt) (ただしA≡-Cωcosh(kh))で与えられることになります。

 

ただし,境界条件が満たされるためには波数k=2π/λと角振動数ω=2πf(fは振動数)の間にω={gktanh(kh)}1/2なる関係が成り立つことが要求されます。

 

それ故,個々の正弦波の位相速度c=c(k)はc(k)=k/ω=fλ={(g/k)tanh(kh)}1/2{gλtanh(2πh/λ)/(2π)}1/2となって,kまたはλの関数として与えられることになります。

異なる波長の正弦波が異なる速度で進むため,無数の正弦波から成る全体の波の形は時々刻々に変化します。このことを波の分散(dispersion)といい,こうした分散を生ぜしめる媒質を分散性媒質といいます。

 

今の場合のc={(g/k)tanh(kh)}1/2{gλtanh(2πh/λ)/(2π)}1/2のように,位相速度cと波数 or波長との関係を分散関係といいます。

一方,もしも位相速度cが波数k or 波長λに無関係で常に一定であるような媒質中では任意の波は形の変形を受けることなく進みます。このような波を与える媒質を非分散性媒質といいます。

さて,A=-Cg-1ωcosh(kh),ω={gktanh(kh)}1/2なのでC=-Ag/{ωcosh(kh)}=-A{(g/k)1/2/{tanh(kh)1/2cosh(kh)}=-{A/sinh(kh)}{(g/k)tanh(kh)}1/2,結局C=-Ac/sinh(kh)です。

 

それ故,Φ(x,z,t)=-{Ac/sinh(kh)}cosh{k(z+h)}cos(kx-ωt)と書けます。

そこで,水の微小振幅波において水と共に動く1点の流体素片の座標を(x,z)とすると,その点の軌道:(x,z)=(x(t),z(t))は運動方程式dx/dt=u=∂Φ/∂x={Ack/sinh(kh)}cosh{k(z+h)}sin(kx-ωt),dz/dt=w=∂Φ/∂z={Ack/sinh(kh)}sinh{k(z+h)}cos(kx-ωt)の解として与えられます。

ところが,この方程式は右辺にtの未知関数:x=x(t),z=z(t)についての超越関数を含む非線形方程式で,これを厳密に解くことは困難です。

しかし,波による水の運動は周期的と考えられるので動点の座標(x,z)の1周期での平均値を(x0,z0)と表わすと,今問題としている微小振幅波では(x-x0),(z-z0)もΦ,ηやと同程度の微小量です。

 

そこで,dx/dt={Ack/sinh(kh)}cosh{k(z+h)}sin(kx-ωt),dz/dt={-Ack/sinh(kh)}sinh{k(z+h)}cos(kx-ωt)の右辺にx=x0(x-x0),z=z0(z-z0)を代入すれば,A自身も1次の微小量ですから右辺で(x-x0),(z-z0)による寄与は2次以上の微小量となってこの近似では無視できます。

以上から微小振幅波の近似では,x,zの時間経過tに伴なう運動はx=x0[Acosh{k(z0+h)}/sinh(kh)]cos(kx0-ωt),z=z0[Asinh{k(z0+h)}/sinh(kh)]sin(kx0-ωt)で与えられることがわかります。

tを消去すれば,点の軌道が(x-x0)2/a2(z-z0)2/b21,a≡Acosh{k(z0+h)}/sinh(kh),b≡Asinh{k(z0+h)}/sinh(kh)で与えられることになります。

 

これは明らかに長半径がa,短半径がbの楕円です。

 

すなわち,水はこの楕円軌道の上を負の向き,つまり時計回りに回転運動をすることがわかります。

楕円の厚みの比:b/a=tanh{k(z0+h)}は水深(-z0)と共に減少し,水底z0=-hではb/a=0 となります。

 

つまり,水底では水は水平方向に単振動します。a=Acosh{k(z0+h)}/sinh(kh)自身も水深:(-z0)と共に減少します。

ただし,楕円の焦点間の距離2(a2-b2)1/22/sinh(kh)ですから,これは水深(-z0)に依らず一定です。

 

また,b=Asinh{k(z0+h)}/sinh(kh)は,水面z00 ではAに等しくなります。当然水面での波η(x,t)=Asin(kx-ωt)の振幅に一致します。

 

そして,水の運動の水平速度成分dx/dtはsin(kx-ωt)に比例しますからz,またはηと同位相であり,それ故,水面波は山のところではxの正の向きに谷のところではxの負の向きに動きます。

 

今日はここまでにします。

 

参考文献:巽友正 著「流体力学」(培風館),戸田盛和 著「非線形波動とソリトン」(日本評論社)

  

PS:「草なぎ剛(つよぽん)」は本当に偉い!! ← 尊敬のまなざし。。  (2006年3/24「 インモラルと人間の解放 」参照。。)

 

「公然わいせつ罪」とか言ってるけど草薙くんの裸というか,人間の裸を見て「わいせつ」と思う奴がいるなら,そいつがイチバン「わいせつな存在」だろう。。。

 

もっとも「わいせつ」というのが「いたづらに性欲を掻き立てる」という意味であれば,異性の裸を見てそう思うのは動物として全く健康な証拠であり,決して非難さるべきことではない,と思うけど。。。

   

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2009年4月22日 (水)

和歌山カレー裁判について

 和歌山カレー事件での「最高裁の再審却下=林真須美被告の死刑確定」には正直言って驚きました。

 イヤ,むしろやはりそうか。。という気持ちもありました。

 証拠が全て情況証拠というのは全くの冤罪である可能性もあるわけです。例えば三浦和良事件もそうでした。死刑か無罪か。。イヤ,ひどい話です。

 イヤ,確かに実際に当該被告が殺人の意図をもって殺人を犯したかもしれません。そうであれば刑としては現行法では死刑相当でしょう。

 また,被告が金銭を得るためには保険金詐欺をやるというような別件については有罪の可能性のほうが強いという印象は持っています。

 しかし,本件は被告が金銭的に得るものがあるのでしょうか?

 保険金詐欺の方には知能犯的色彩が強いですが,偏見なしで見ると近隣とのトラブルや恨みで不特定多数に死ぬ可能性もあるという未必の故意でヒ素カレーなるものを食べさせるような人間には見えません。

 むしろ,銭勘定ができて詐欺で楽な暮らしようと"冷静に"考えられるような責任能力がある人間なら,そんな分別のないことはしないでしょう。

 情況証拠の最大のものは警察,検察側がカレーに混入していたと発表している100グラム程度のヒ素で,それが被告の家のシロアリ駆除の薬剤のヒ素と同種だというものですが,いまどきその気になれば100グラム程度のシロアリ駆除用のヒ素など誰でも入手できるでしょう。

 後は当日カレー鍋の側にいたという目撃証言くらいですが,体形が似ている被告の娘と誤認した可能性もあるらしいです。

 誤認でないとしても,カギがかかっていて誰も近づけないというならともかく,カレー鍋の側にいたからというのが重大な証拠になるのでしょうか?

 いまどき,警察,検察が言うことだから正しいなどとは誰も思わないでしょう。ましてや「ヤラセ」の得意なマスコミ報道などを鵜呑みにはできません。

 10年も拘置されていれば,犯罪をやってなくてもやったと言いたくなる環境の中みたいですから,本人自白でさえ信用できませんが,まだ無実を訴えておられるようですから真犯人だとしたらある意味でいい根性してるのか?強い精神力を持っているようですね。

 新聞のインタビューで本人がヒ素なんかさわったこともない,と言ったらしいけれども,後で台所で見つかったり髪の毛の中にも検出されたから,まわりではウソだとか,被告は平気でウソをつくとか評しているようです。

 しかし,台所にあったそれは表向きはシロアリ駆除薬なわけです。成分を調べようとしたらヒ素だとわかるでしょうけど,皆さんはこの事件前から,シロアリ駆除薬の主成分がヒ素であることをご存知でしたか?

 台所の薬が"カレーに混入していたのと同じ薬物=ヒ素"であることを本人がちゃんと認知していないなら,その言動はウソにはなりません。

 それはともかく,日本(民主国家)での裁判は推定無罪が原則で,証拠不十分は無罪のはずなんですよ。

 つまり,本人が無罪を主張しているからといって,本人が犯行をやってないことを立証する必要はなく,むしろ犯行をやったということが立証されないという推定段階では原則無罪なんです。

 "疑わしきは被告の利益に"ですね。まあ,恐らくは建前だけで実態は逆なんでしょうけど。。。

 まあ,何が言いたいのかというと数人の裁判官の主観で生殺与奪が決まるという制度の危険性ですね。

 彼女が事件の真犯人かどうかはもちろん私にはわかりません。

 この事件そのものについて,私に何らかの確信があるわけではないので,積極的に当該の林被告を死刑にしろとか,逆にイヤ冤罪だとか被告擁護の主張をする気もありません。

 ただ,事件の被害者であれば憎むべき相手の犯人が明確にいた方がいいと思うのは人情でしょうし,現在の日本の風土では逮捕起訴されたらもう犯人と確信され,被害者でなくても彼,彼女を憎悪するようになるという感じですから,それが10年も続けば,被害者が真犯人だと確信するのは仕方ないでしょう。

 しかし,司法制度は現行の政府,体制の鑑である,というか。。

 当該検察官や裁判官は,私が昔貧乏学生の頃,交通違反で小額の罰金を払わされたときでも,少しでも払えないという態度を示すと,「この極悪人めが。。」という露骨な態度が見られた当時の検察の若造たちよりは,まだましだろうとは思いますが。。

 恐らくは,現行の法律社会の庇護の下で,社会の在り様に疑問を抱いたこともなく養成されてきた階層が牛耳っているのが,司法社会です。

 これに属する勝ち組裁判官たちが負け組の命まで奪う権利を持っている階級裁判的色彩のある制度の中で,状況証拠などはいくらでも捏造される可能性があるわけです。

 これだけを材料とした裁判で,有罪だ無罪だというのを決めるのに有罪の方が声が大きいからという理由で,例えば痴漢にされて社会的に抹殺されたり,世論の後押しで殺されたりしてはたまらないな。。と思うだけです。

 死刑か無罪かという重大な判断をするのに風評や見かけで人を判断するなということが言いたいのです。

 もっとも,今のところは私は単なるヤジ馬で,こうした裁判などはただの「対岸の火事」です。

 恐らく選ばれることはないと思うけど裁判員なんて真っ平御免ですね。他人を裁くなんてのは,人間様のやるべきテリトリーの中にはないですからね。。。 ← ふん。。また責任逃れかよ。。本当,女房も子供もいなくてよかったね。。

PS:"不孝者"のユッコ。。。自殺したらしい。。。

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2009年4月21日 (火)

超弦理論(21)(2-10)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

物理的状態を解析するという現在の目的にとって明確な共形次元を持つ演算子の導入が有益な理由は,こうした演算子はその作用によって古い物理的状態から新しい物理的状態を作るという作業に使用可能であるということです。

実際,|φ>が物理的状態である,つまり(Lm-aδm)|φ>=0 (m≧0)を満たすとき,演算子A(τ)が明確な共形次元J=1を持つなら,定義式[Lm,An]={m(J-1)-n}Am+nにJ=1を代入すると,[Lm,An]=-nAm+nとなりますから[Lm,A0]=0 となることがわかります。

 

このことから,|φ'>≡A0|φ>もまた(Lm-aδm)|φ'>=0 (m≧0)を満たすので,|φ'>も物理的状態の条件を満たします。

 反応1→1'+2における質量固有状態2の放出と関わる頂点演算子は,物理的始状態1を物理的終状態1'に写すべきなので,上の|φ'>≡A0|φ>による|φ>→|φ'>の物理的状態間の移行規則は,開弦放出の頂点演算子の共形次元が1であるべきことを示唆しています。

既に記術した記事「超弦理論(1)~(11)」の序章(introduction)においては,開弦の頂点演算子が次元1の局所演算子であるべきことを別の方法で学びました。

すなわち,2009年1/6の記事「超弦理論(10)(開弦とチャン・パトン因子)子)」において,"外粒子の開弦は世界面の境界にのみ挿入されているため,V=∫dτ[hττ1/2U(τ)]の形の頂点演算子の挿入で記述されるはずです。

ここでのτは単に世界面の境界上の1つのパラメータを示しているだけです。そしてhττ→ (expφ)hττなる計量(metric)の共形的再縮尺の下での演算子Vの不変性は開弦の場合にはU=U(τ)の次元が1であるべきことを要求します。"と書きました。

さて,ある時刻τとσ=0 で運動量が(-kμ)の物理的粒子の放出,または運動量がkμの物理的粒子の吸収に対する頂点演算子:V(k,τ)≡V(k,0,τ)は,その演算子が如何なる運動量状態に作用するときでも,運動量の総量をkμだけ増加させる必要があります。

それ故,弦の波動の質量中心座標への依存性は,exp{-ikμμ(τ)}のようである必要があります。

 

ここでxμ(τ)=xμ+pμτであり,これは時刻τにおける弦の質量中心のD次元時空内での位置を示しています。

弦という環境の下で,これを実現するための明確なやり方はV(k,τ)にexp{-ikμμ(0,τ)}なる因子を持たせることです。

 

実際,世界面パラメータ(σ,τ)=(0,τ)に対応する時空位置Xμ(0,τ)において運動量kμの質量固有状態を吸収する弦がexp{-ikμμ(0,τ)}なる因子で修正された波動関数を持つのは当然です。

もしも,吸収または放出される粒子としての弦が,状態として運動量の他には個を区別する量子数を全く持たないなら,頂点演算子V(k,τ)は単にV(k,τ)=exp{-ikμμ(0,τ)}で与えられるとしてもいいと思われます。

 

実際には,これだけではダメで正規順序による表現を併用することも必要です。

開弦ではXμ(σ,τ)=xμ+pμτ+iΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)]より,Xμ(0,τ)=xμ(τ)+iΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)]です。

 

それ故,V(k,τ)=:exp{-ikμμ(0,τ)}:≡exp(-kΣn=1[(α-n/n)exp(inτ)]exp{-ikμμ(τ)}exp(kΣn=1[(αn/n)exp(-inτ)]と定義します。

この定義式での指数関数の指数は"正規順序=::"を取らなかった場合の値とは,発散する総和項α'k2Σn(1/n)だけ異なっています。

 

(それ故,k2=0 の特別なケースには正規順序の効果は無しです。)

(訳注42):線型演算子A,Bの交換子:[A,B]が[A,[A,B]]=0,または[B,[A,B]]=0 を満たすなら,expA・expB=exp(A+B+[A,B]/2)なる公式が成立します。

 

(これについては2006年10/27のブログ過去記事「量子力学の交換関係の問題(その2)」を参照ください。)

 そして,A=-lkΣn=1[(α-n/n)exp(inτ),B=lkΣn=1[(αn/n)exp(-inτ)とおけば,[αmn]=-mδm+nより,[A,B]=-l22Σmn[{1/(mn)}[α-mn]exp{-i(m-n)τ}]=2α'k2Σn(1/n)となって,A,Bの交換子:[A,B]は無限大に発散します。

 

 それでも,ともかく[A,B]は単なるc-数ですから,expA・expB=exp(A+B+[A,B]/2)が成立します。

それ故,:exp(A+B):≡expA・expB=exp(A+B)exp([A,B]/2)なる等式が得られます。

 

これは,exp(A+B)の正規順序を取らなかった場合と,因子にしてexp([A,B]/2),指数にして[A,B]/2=α'k2Σn(1/n)だけ異なります。

 

(訳注42終わり)※

そして,正規順序で定義した頂点演算子V(k,τ)の共形次元を計算してみます。

先に示したように,Xμ(τ)は共形次元J=0 を持つので,Xμ(τ)Xν(τ)のような積や,より一般のXμ(τ)の任意関数f(Xμ(τ))のような形の合成演算子もまた共形次元:J=0 を持つと予想されます。

実際,演算子A(τ)がA(τ)=Σm=-∞m exp(-imτ)なる形にモード展開が可能なとき,[Lm,An]={m(J-1)-n}Am+nが成立すればA(τ)が明確な共形次元Jを持つという性質があります

 

これを直接用いると,もしも2つの演算子A1(τ),A2(τ)がそれぞれ共形次元J1,J2を持つなら,積A1(τ)A2(τ)は共形次元(J1+J2)を持つことを示すことができます。

(訳注43):A1(τ)=Σm=-∞1mexp(-imτ),A2(τ)=Σm=-∞2mexp(-imτ)と展開されるとき,B(τ)=Σn=-∞n exp(-inτ)≡A1(τ)A2(τ)=Σj,k[A1j2kexp{-i(j-k)τ}]とすれば,Bn=Σj+k=n1j2kと書けます。

 そして,[Lm,A1n]={m(J1-1)-n}A1,m+n,[Lm,A2n]={m(J2-1)-n}A2,m+nと仮定します。

 

 このとき,[Lm,A1j2k]=[Lm,A1j]A2k+A1j[Lm,A2k]={m(J1-1)-j}A1,m+j2k+{m(J2-1)-k}A1j2,m+kですから,[Lm,Bn]=Σj+k=n[Lm,A1j2k]=Σj+k=n[{m(J1-1)-j}A1,m+j2k+{m(J2-1)-k}A1j2,m+k]=Σk[{m(J1-1)-(n-k)}A1,m+n-k2k+Σj[{m(J2-1)-(n-j)}A1j2,m+n-j]=Σj[{m(J1-1)-(j-m)+m(J2-1)-(n-j)}A1j2,m+n-j]が得られます。

それ故,B(τ)=A1(τ)A2(τ)のフーリエ・モード:Bnに対し形式的には,[Lm,Bn]=Σj[{m(J1+J2-1)-n}A1j2,m+n-j]=Σj+k=m+n[{m(J1+J2-1)-n}A1j2k]={m(J1+J2-1)-n}Bm+nが成立します。

 

(訳注43終わり)※

これは,演算子A1(τ)とA2(τ)を別々に定義するために必要とされるもの以外には,どんな"引き算"や"くりこみ"といった曖昧な手続きなしに積A1(τ)A2(τ)が明確に定義されて,well-definedな場合,

 

言い換えると,2点演算子積A1(τ)A2(τ')がτ'→τの極限で如何なる近距離特異性も持たない場合には,いつでも真なる性質です。

実際には,:Xμ(τ)Xν(τ):のような典型的な正規順序積は明確な共形次元を持ちません。

 

しかし,V(k,τ)=:exp{-ikμμ(τ)}:はゼロでない明確な共形次元を持つことがわかります。

(k,τ)において演算子の順序を変える効果の足跡を保持することに留意すれば,直接的に各振動子項の操作から[Lm,V(k,τ)]を計算することで,(k,τ)の共形次元を決定することができます。

(k,τ)=exp[-kΣn=1{(α-n/n)exp(inτ)}]exp{-ikμμ(τ)}exp[kΣn=1{(αn/n)exp(-inτ)}]に対して[Lm,V(k,τ)]を評価するためには,まず[αpμ,exp(-kα-n)]=pδp-nμexp(-kα-n)なる式が成立することに着目します。

(※これはp=0 のときにも成り立つ式です。これの証明については,2006年10/16のブログ過去記事「量子力学の交換関係の問題 を参考にしてください。)

pμ,exp(-kα-n)]=pδp-nμexp(-kα-n)とヴィラソロ演算子Lmの表現式Lm=(-1/2)Σqαm-qαqを用いると,[Lm,exp(-kα-n)]=(-1/2)Σqm-qq,exp(-kα-n)]+[αm-q,exp(-kα-n)]αq}=(-1/2)Σq{nkαm-n,exp(-kα-n)}となります。

 

ただし,最右辺の括弧の記号{ , }は反交換子:{A,B}≡AB+BAを意味します。

これを,V(k,τ)=exp[-kΣn=1{(α-n/n)exp(inτ)}]exp{-ikμμ(τ)}exp[kΣn=1{(αn/n)exp(-inτ)}]に対して,[Lm,V(k,τ)]を評価するのに用いるに際して,m>0と仮定します。(m<0 の場合にも論旨は同じです。)

フーリエ・モードに頼らない表現では,演算子A(τ)が共形次元Jを持つという性質は[Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)で与えられます。

 

そして,もしも"正規順序という論点を無視するなら"計算結果からは頂点演算子V(k,τ)が共形次元J=0 を持つという結果:[Lm,V(k,τ)]=(-i)exp(imτ)(dV/dτ)を得ます。

(訳注44):正規順序を無視して頂点演算子を,V(k,τ)≡exp{-ikμμ(τ)}=exp[-kμΣn≠0{(α-nμ/n)exp(inτ)-ikμμ(τ)}]と定義するなら,(-i)(dV/dτ)=-kμΣnα-nμexp(inτ)V(k,τ)が得られます。

 

 一方,[Lm,V(k,τ)]=-kμΣnαm-nμexp(inτ)V(k,τ)=-kμΣnα-nμexp{i(m+n)τ}V(k,τ)=exp(imτ)[-kμΣnα-nμexp(inτ)V(k,τ)]より,確かに[Lm,V(k,τ)]=(-i)exp(imτ)(dV/dτ)が成立します。

 

 (訳注44終わり)※

しかし,実際には頂点演算子V(k,τ)は,正規順序表現V(k,τ)=:exp{-ikμμ(τ)}:で定義され,これはVの微分dV/dτもまた自動的に正規順序であることを意味します。

しかし,交換子[Lm,V(k,τ)]を得るために,[Lm,exp(-kα-n)]=(-1/2)Σq{nkαm-n,exp(-kα-n)}を用いると,こちらの方はV(k,τ)が正規順序でも一般には正規順序ではない表現を得ます。

すなわち,V(k,τ)=exp[-kΣn=1{(α-n/n)exp(inτ)}]exp{-ikμμ(τ)}exp[kΣn=1{(αn/n)exp(-inτ)}]の無限積の各項に対する[Lm,exp(-kα-n)]=(-1/2)Σq{nkαm-n,exp(-kα-n)}の右辺の寄与のうち,有限個については正規順序の形になりません。

それら個々の項は,V(k,τ)において,モードを下げる(消滅)演算子を上げる(生成)演算子の左側に持ちます。

 

それは,[(-1/2)Σn=1mkαm-nexp(inτ)]V(k,τ)です。

 

これらは,正規順序表現での値に加えて,別に交換子の寄与[(-1/2)Σn=1mkαm-nexp(inτ),V(k,τ)]=(-1/2)Σn=1m2 exp(imτ)V(k,τ)=(-1/2)mk2exp(imτ)V(k,τ)を与えます。

(訳注45):[αm-n,exp{-(kα-l/l)exp(ilτ)}]=(m-n)δm-n-l(kμ/l)exp{-(kα-j/l)exp(ilτ)}ですから,[(-1/2)Σn=1mkαm-nexp(inτ),exp{-kΣl-l/l)exp(ilτ)}]=(-kμ/2)kμexp(inτ)exp{i(m-n)τ}exp{-kΣl-l/l)exp(ilτ)}=[(-1/2)Σn=1m2exp(imτ)]exp{-kΣl-l/l)exp(ilτ)}を得ます。

 

 (訳注45終わり)※

 こうして,結局[Lm,V(k,τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)-mk2/2}V(k,τ)なる評価式が得られます。

 

 これを演算子A(τ)が共形次元Jを持つという定義式[Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)と比較すると,頂点演算子V(k,τ)の共形次元JがJ=-k2/2で与えられることが導かれます。

序章では2点関数の計算によって,同じ演算子exp(-ikμμ)の異常次元を計算しました。

 

そして,閉弦境界へ挿入したときには,この演算子はJ=-k2/4,開弦境界へ挿入したときには,J=-k2/2の異常次元を与えるという結果を得ました。

 

(2008年12/14の記事「超弦理論(9)(タキオン(続き)と重力子の散乱振幅)」,および,2009年1/6の記事 「超弦理論(10)(開弦とチャン・パトン因子)」を参照)

一方,たった今振動子による方法から得た値:J=-k2/2が,序章において開弦について得た結果と完全に一致することに着目すると,これまでの弦についての手法の正当性に関して心強いものがあります。

 以上から,もしもk2=-2ならJ=1が得られ,V(k,τ)=Σm=-∞m(k)exp(-imτ)と展開したときの係数について,共形次元がJ=1で[Lm,V0(k)]=0 を満たす物理的な頂点演算子V0(k)を与えることがわかります。

 

 これは具体的には平方質量を試験的にM2=-2と割り当てた基底状態タキオン(tachyon)の放出に対する頂点演算子です。

 V(k,τ)が正規順序を要求しない唯一の場合はk2=0 の場合です。

 この場合はV(k,τ)=:exp(-ikX):の共形次元Jはゼロです。

 

 しかしk2=0 の条件は,質量がゼロのベクトル・メソンに対してのみ正しい条件ですから,この場合には頂点演算子としては共形次元のJ=0 は不適切な次元です。

 

 (※なぜなら,質量殻条件は,-α'k2-Σn=1α-nαn=L0=a=1によりα'k2=n-1ですから,質量殻の上にある物理的粒子でk2=0 ならこれはn=1(ベクトル)を意味します。)

 前に述べたように,dXμ/dτの共形次元は1なので,Vξ(k,τ)≡-ξμ(dXμ/dτ)exp(-ikX)が偏極ξμ(k)を持つゼロ質量のベクトル中間子放出に対する頂点演算子と解釈するのが自然です。

 

 そして,このようにVξ(k,τ)が,{ξμ(dXμ/dτ)}とexp(-ikX)の演算子積から成ることは,kξ=kμξμ=0 なら,Vξ(k,τ)の共形次元Jが1になることを保証します。

 

 また,これらには近距離特異性もありません。

 質量がゼロのベクトル粒子には制限があって,許される偏極は限られているというのはQED(量子電磁力学)ではお馴染みの事実であり,前に物理的状態スペクトルの解析でも遭遇しました。

 

 ここでのこうした出現は,共形次元が1の頂点演算子が物理的状態と1対1対応するという事実の実例です。

 スペクトルにおいて出現する他の状態に対応する頂点演算子は,より複雑です。

 

 質量殻条件α'2=n-1を満たす物理的粒子状態に対応する頂点演算子は,一般に:f(Xd,X2d,..,)exp(-ikX):なる形をしています。

 

 ここでfの中にあるXのτ微分の総数がnとなります。しかし,J=1なる完全な状態を得るためには,さらに付加的制限が必要です。

 次に,ゼロノルム状態に対する頂点演算子は次のように記述されることがわかります。

 まず,W(k,τ)が因子:exp(-ikX):を含む共形次元がゼロの演算子であるとすれば,V(k,τ)≡-i{dW(k,τ)/dτ}=[L0,W(k,τ)]の共形次元はJ=1で与えられます。

(訳注46):なぜなら,Lmはτによらない演算子なので,[Lm,W(k,τ)]=(-i){exp(imτ)(dW/dτ)}により,[Lm,V(k,τ)]=[Lm,-i{dW(k,τ)/dτ}]=(-i)(d/dτ)(-i)exp(imτ)(dW/dτ)=(-i)exp(imτ)(dV/dτ)+m・exp(imτ)Vです。

 

 [Lm,V(k,τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+m}V(k,τ)です。

 

 (訳注46終わり)※

 そして,例えばk2=0 のW(k,τ)=exp(-ikX)なるJがゼロの演算子を取り上げれば,V(k,τ)=-i{dW(k,τ)/dτ}は縦偏極:ξμ=kμを持つゼロ質量中間子の放出に対する頂点演算子を与えると考えられます。

 実際にWがJ=0 を持つときのV(k,τ)=-i(dW/dτ)の形の演算子は,常にゼロノルム状態の放出を記述します。

 

(なぜなら,V(k,τ)=-i(dW/dτ)の偏極は,必ず縦偏極kμであり,J=-k2/2=0 からk2=0ですが偏極がkμであることと合わせうとこれはノルムがゼロなることを意味します。)

 論旨がかなり先の話まで飛躍することを承知で,ゼロノルム状態が分離される理由を述べると,V=-i(dW/dτ)は1つのτによる全微分項であるため,物理的状態|φ>を物理的状態V0|φ>に移すVのゼロ振動数成分V0は消えるという事実にその理由があることです。

 さらなる例として,α'k2=1を持つ第2励起レベルの状態の放出についての頂点を考えます。

 

 この場合,因子V0(k)はJ=-1を持ち,それ故ξμνμdνd:exp(-ikX):は,もしもこの演算子積に近距離特異性がないならJ=1を持ちます。そして,これはkμξμν=Trξ=0 (トレースレス=対角和がゼロ)のケースです。

 

 これらは,ξμν(k)が質量を持つスピンが2の状態の偏極テンソル:SO(D-1)の対称トレースレステンソルとなるための条件です。

 同じ質量レベルでスピン1と偏極ημの物理的状態に対する頂点演算子Yk,η=ημ(dXμd/dτ)exp(-ikX)の存在も仮定できます。

 

 しかし,ημμ=0 ならημμd:exp(-ikX):のτによる全微分(-i)[d{ημμd:exp(-ikX):}/dτ]={-iημ(dXμd/dτ)-ημμdννd}:exp(-ikX):の記述するところは,L-1ημα-1μ|0;k>で表わされるゼロノルム状態の放出と,Yの(D-1)個の可能な成分を説明します。

(訳注47):先に述べたように,J=0 のWに対して-i(dW/dτ)は常にゼロノルム状態の放出を意味します。

 

 W=ημμd:exp(-ikX):とすると,Wはημα-1μ|0;k>の頂点ですから,この物理的状態に対して,これの最も簡単なゼロノルム状態はL-1ημα-1μ|0;k>です。

 

 一方, (-i)[d{ημμd:exp(-ikX):}/dτ]={-iημ(dXμd/dτ)-ημμdννd}:exp(-ikX):の右辺第1項はημμ=0 の条件1つを持つ1個の頂点演算子Yk,ηです。(訳注47終わり)※

 それ故,Yのこれらの成分はξμνμdνd:exp(-ikX):の形の表現とゼロノルムに対応する成分だけ異なっており,残りの偏極はημ=kμに対応しています。

 D=26のケースには,これは新しい物理的状態の放出を与えません。

 

 なぜなら,こうしたYは,ξμνμdνd:exp(-ikX):の形の状態の放出とゼロノルム状態:{L-2+(3/2)L-12}|0;k>の放出の線型結合に対応しているからです。

 

 それ故,26次元の第2励起質量レベルでは,総じて唯一の適切な開弦頂点演算子はξμνμdνd:exp(-ikX):の形です。

 

 これはスピン2の質量のある粒子(k2=1/α’),すなわち,SO(25)の対称トレースレス2階テンソルとして変換する粒子の放出,または吸収を記述します。

今日はここまでにして,次回からは共変ゲージではなく,電磁場ならクーロンゲージに相当する光(円)錐(light-cone)ゲージの定式化について述べる予定です。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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2009年4月18日 (土)

超弦理論(20)(2-9)

超弦理論(superstring theory)の続きです。取りあえずここまで来たら,行き詰まるところまで行きましょうか。

この時点で序文(introduction)で紹介した弦のグラフにおける頂点演算子について考察します。

開弦の相互作用はツリーグラフでは基本的に単一の弦が2つに分岐したり,逆に2つの弦が結合して1つになるというプロセスと見ることができます。これらは3つの開弦の世界面が真ん中で連結したグラフになります。

一般的な相互作用としては,こうした過程に関係する3つの開弦の全てが質量殻の上にはないと予期しますが,特に3つの開弦のうちの1つは物理的な質量殻の固有状態であるような場合について考察します。

3つの開弦の状態を1,1',2と名付けて1→1'+2という反応過程を考え,特に2は質量固有状態であるとします。1と1'については質量固有状態にあるかもしれないしそうでないかもしれません。

 

弦の質量固有状態というのは量子力学的概念であって,古典的概念ではありません。単位としてプランク定数"hc=h/(2π)"を復活させるなら質量固有状態はhcのオーダーの幅と平方質量を持つはずです。

 

それ故,古典的極限では弦の如何なる質量固有状態もある意味では点粒子に類似していると言えます。

質量殻状態2の放出を伴なう1→1'の遷移過程では,弦1'の量子状態は,ある線型変換によって弦1の量子状態と関連付けられる必要があります。

 

そして,この線形変換は弦2の状態に依存するはずです。変換が線型であるのは量子力学を論じているからです。

2が質量固有状態であり従って点状であることから,弦1'は弦1から2が放出された端点において,ある局所演算子の作用によって得られると考えるのが自然です。

 

この局所演算子は質量殻状態2の放出に対する頂点演算子ですが,状態2と関わる頂点の演算子なので通常V2と表記します。

発見的議論の導くところによれば,序章で異なるやり方で論じたように任意の質量殻状態|φ>には適切な頂点演算子Vφを結び付けるべきであろうと推察されます。

頂点演算子を論じるに当たって,我々がここで目指すゴールは実際に相互作用を解析して具体的に計算することではありません。これは後章での課題です。

 

今の目的は取りあえず物理的状態のスペクトルを解析できる道具を開発することです。

以下で論じる話は序章で述べたことへの有用な補完となるはずです。ここでの目的のためには,議論の対象を開弦のみに集中することで十分であると思われます。

 

頂点演算子は閉弦理論においても重要であることに変わりはないですが,ここで開弦について論じることは閉弦に直線的に流用できます。

さて,開弦状態を与えるヒルベルト空間の元に作用する一般の局所演算子A(σ,τ)を考察します。ここでは,特にσ=0 とおいて弦の端点での演算子A(0,τ)を調べます。簡単のためにA(0,τ)を単にA(τ)と書くことにします。

物理的状態であるための拘束条件を与える開弦の"エネルギー運動量テンソルTのフーリエ・モード=ヴィラソロ(Virasoro)演算子"Lmの第ゼロ成分(周波数によらない部分)(L0-a)はハミルトニアンHに等しいので,局所演算子A(τ)はA(τ)=exp(iτH)A(0)exp(-iτH)=exp(iτL0)A(0)exp(-iτL0)と表現されます。

我々が関心あるのはヴィラソロ代数によって自分自身に変換される演算子A(τ)です。

 

演算子A(τ)は,変数τの任意の変換τ→τ'(τ)の下でA(τ)→ A'(τ')=(dτ/dτ')JA(τ)なる変換を受けるとき,そのときに限って共形次元Jを持つと定義されます。

 

ここでの共形次元という概念は,以前2008年12/14の記事「超弦理論(9)(タキオン(続き)と重力子の散乱振幅))」において論じた閉弦における頂点演算子exp{-ikX(z)}の"異常次元=アノーマリー次元"と同じものです。

この記事では,閉弦での頂点演算子:exp(-ikX)の異常次元を求める際,スケール不変な理論では次元がpを持つ演算子Yの2点関数が<Y(z)Y+(0)>=C|z|-2pとなるべきであるという論旨から,exp(-ikX)は異常次元として-k2/4を持つべきことが導かれ,

 

別の論点からexp(-ikX)の次元は2であるべきという要求があることと合わせて閉弦の基底状態のタキオン(tachyon)の質量がm2=k2=-8であると結論されました。

また,2009年1/6の記事「超弦理論(10)(開弦とチャン・パトン因子:Chan-Paton factor)」において,開弦では頂点演算子exp{-ikX(x)}の座標変数が1次元の実変数xになることから,これの異常次元が-k2/2で与えられ,一方別の論点からexp(-ikX)の次元は1であるべきという要求があることと合わせて開弦の基底状態タキオンの質量はm2=k2=-2であると結論されています。

さて,τの変換が無限小変換τ→ τ'=τ+ε(τ)であるケースを考えると,共形次元がJの場A(τ)の変換規則:A(τ)→ A'(τ)=A(τ)+δAはδA=-ε(dA/dτ)-JA(dε/dτ)で与えられます。

(訳注38):無限小変換:τ→ τ'=τ+ε(τ)においてはdτ'/dτ=1+dε/dτですから,(dτ/dτ')J=1-J(dε/dτ)です。

 

 そこで,共形次元Jの定義によればA'(τ')=(dτ/dτ')JA(τ)=A(τ)-JA(dε/dτ)です。

 

 一方,場の変分δAはδA≡A'(τ)-A(τ)で定義されます。

それ故,A'(τ')-A(τ)=A'(τ')-A'(τ)+δAですが,τ→ τ'=τ+ε(τ)はε(τ)が無限小の無限小変換なので,A'(τ')-A'(τ)=A(τ')-A(τ)=ε(dA/dτ)が成立します。

 

そこで,A'(τ')-A(τ)=ε(dA/dτ)+δA=-JA(dε/dτ)となりますから,結局δA=-ε(dA/dτ)-JA(dε/dτ)が得られます。

 

(訳注38終わり)※

ヴィラソロ演算子mはε(τ)=exp(imτ)に対して,τ→ τ'=τ+ε(τ)なる変換を生成します。すなわち,共形次元Jを持つ任意の演算子A(τ)に対して[Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)を成立させます。

(訳注39):δA=-ε(dA/dτ)-JA(dε/dτ)にε=exp(imτ)を代入すると,δA=-exp(imτ)(dA/dτ)-imexp(imτ)JA=(-i)exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)となります。

一方,演算子Lmが変換を生成するということはA(τ')=A(τ)+δA(τ)=exp(-iLm)A(τ)exp(iLm)を意味しますが,これはもしも(iLm)が無限小なら(1-iLm)A(τ)(1+iLm)=A(τ)+δA(τ),または[Lm,A(τ)]=iδA(τ)と解釈されます。

しかし,これでは私は納得できません。

 

私が腑に落ちないのは前の論旨では変換τ→ τ'=τ+ε(τ)が無限小変換であると仮定していたのに,今のε(τ)=exp(imτ)という設定では,右辺の絶対値が常に1なのでε(τ)は無限小では有り得ないということです。

そこで,通常仮定するようにεm>0 を任意の無限小定数のパラメータとし,ε(τ)=exp(imτ)ではなくε(τ)≡εm exp(imτ)とします。

すると,前の一連の式は単にεがεm倍されるに過ぎないので,δA(τ)=-ε(dA/dτ)-JA(dε/dτ)=(-iεm)exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)となります。

そして,通常の生成子の定義のように,LmをA(τ)+δA(τ)=exp(-iLmεm)A(τ)exp(iLmεm)を与える演算子とすれば,(iLmεm)は確かに無限小なので,exp(-iLmεm)A(τ)exp(iLmεm)=A(τ)-iεm[Lm,A(τ)]となります。

 

そこで,δA(τ)=(-iεm)exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)をexp(-iLmεm)A(τ)exp(iLmεm)-A(τ)=-iεm[Lm,A(τ)]に等置すれば,前と同じ式:[Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)が得られます。

 

私は,こちらの解釈の方が辻褄が合うと思うので,そう解釈します。

 

 (訳注39終わり)※

さて,この局所演算子A(τ)がフーリエ・モード展開:A(τ)=Σm=-∞m exp(-imτ)を有するなら,上の関係式[Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)はフーリエ・モードの係数演算子に対する式:[Lm,An]={m(J-1)-n}Am+nに帰着します。

これは容易に証明できて,ヴィラソロ代数やヤコービ恒等式などと共立します。

(訳注40):実際,[Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)にA(τ)=Σm=-∞m exp(-imτ)を代入すると,Σn=-∞[Lm,An]exp(-inτ)=Σn=-∞exp{i(m-n)τ}{-n+mJ}Anです。

 

 そこで,右辺のnをn→m+nとシフトすれば,Σn=-∞exp{i(m-n)τ}{-n+mJ}An=Σn=-∞exp(-inτ){m(J-1)-n}Am+nとなり,確かに[Lm,An]={m(J-1)-n}Am+nが得られます。

 

 (訳注40終わり)※

 [Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ),または[Lm,An]={m(J-1)-n}Am+nによる演算子A(τ)の共形次元Jの定義によれば,例えば弦座標Xμ(τ)は次元J=0 を持ち,運動量演算子(係数略)Xμd(τ)≡dXμ(τ)/dτは次元J=1を持つことがわかります。

(訳注41):開弦の座標のフーリエ展開はXμ(τ)=Xμ(0,τ)=xμ+l2μτ+ilΣn≠0{(αnμ/n)exp(-inτ)} 0μ=lpμ)なので,Xnμ≡ilαnμ/n(n≠0)と置けば,Xμ(τ)=xμ+lα0μτ+Σn≠0nμexp(-inτ)となります。

そして,Xnμd≡lαnμと定義すれば,Xμd(τ)=dXμ(τ)/dτ=lα0μ+lΣn≠0αnμexp(-inτ)=Σn=-∞nμdexp(-inτ)と書けます。

 一方,Lm=(-1/2)Σk=-∞αm-kαkですから,[AB,C]=ABC-CAB=A[B,C]+[A,C]B,および[αmn]=-mδm+nを用いると,[Lmn]=(-1/2)Σk=-∞m-kkn]+[αm-knk)=-nαm+n,つまり[Lmn]=-nαm+nを得ます。

 そこで,[Lm,Xn]=-ilαm+n=-(m+n)Xm+n (n≠0),および [Lm,Xnd]=-nlαm+n=-nXm+ndが成立します。

 

 これらは,次元Jの定義式[Lm,An]={m(J-1)-n}Am+nにおいて,An=Xn,J=0 ,およびAn=Xnd,J=1を代入したものです。

ただし,Xnのn=0 の項:X0については定義されていませんが,n→ 0 の極限でXnμexp(-inτ)→ X0μ(1-inτ)=xμ+lα0μτとなるとでも考えれば,X0μ≡xμ=lim n→0(ilαnμ/n)とか何とかで定義可能と思えます。

 

しかし,[Lmn]=-nαm+nを用いると,n→ 0 の極限を先に取るか後で取るか次第で,[Lm,X0]=-ilαm=-mXmであると考えるべきか,[Lm,X0]=0 であると考えるべきか微妙ですね。

 

(訳注41終わり)※

(後で,ゲージ固定に必要なFPゴースト(Fadeev-Popov ghost)を論じる際には,ゴーストcの座標はJ=-1を反ゴーストbのそれはJ=2を持つことを見ることになります。)

 

ある明確なJの値について,[Lm,A(τ)]=exp(imτ){-i(d/dτ)+mJ}A(τ)のように変換する演算子は一定の共形次元を持つといわれますが,それらはヴィラソロ代数の下で"うまく"変換するものです。

 

(一般には,このように一定の共形次元を持つ演算子の方がむしろ特殊であり珍しいものです。)

 

短かいですが今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

PS:別にP&Gという会社のまわしものじゃないですが,ここのところ「ジョイ」という台所用洗剤を使ってみて,今まで使っていた洗剤と比べてかなり気に入りました。。。

 

 ここは個人の日記ですからCMではないし,万人にとっていいかどうかはわかりませんが,ウソじゃなく私がいいと思ったものをいいと書いて文句を言われる筋合いはないですね。。←何突っ張ってるんだ?ソデの下でも当てにしてんのかい?

 

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2009年4月16日 (木)

多項式の判別式と終結式について

2009年3/11の数論関係の記事「フェルマー(Fermat)の定理と類体論(1) の続きとして楕円曲線の群構造について書こうとしていましたが,参考書を読んでいると証明抜きで代数幾何学の定理を応用したものなどが出てきました。

こういうものは見過ごせば,付け焼刃的に理解することはできますが,私の悪い癖で数論よりも代数幾何学の中の射影幾何学などにも興味が湧きました。

 

そこで自分の本棚を探してみると,唯一持ってはいても読んだことのない「代数幾何入門」(上野健璽著(岩波書店))という本を見つけたので,それを最初から勉強することにしてそれが終わってから数論に戻ろうかとか思いをめぐらしました。

代数幾何学というのは,歴史的には式で定義された図形の幾何学などを意味し,デカルト・フェルマー(Descartes-Fermat)に始まる座標幾何学,または解析幾何学の導入と共に誕生したものらしいです。

しかし,いきなり一般論に入るのはやめて,ペル方程式のようなディオファントスの方程式の例題でも考えようとして「数論入門講義(数と楕円曲線)」(J.S.Chahel著;織田進訳(共立出版))を見つけて読んでいると,次のような終結式や判別式に関する項目が出てきました。

2つの多項式をf(x)=a0+a1x+a22+...+ann (degf=n),g(x)=b0+b1x+b22+...+bmm (degg=m)とするとき,係数(a0,a1,a2,..an)を1列ずつずらしてm行並べ,その下に(b0,b1,b2,..bm)を1列ずつずらしてn行並べた(m+n)×(m+n)の行列式をf(x),g(x)の終結式と呼び,R(f,g)と書く。

ただし,ここではf(x),g(x)はある体kの上の多項式環k[x]の元とし,degf,deggはそれぞれf,gの次数を表わすとする

また,f(x),g(x)の最大公約数(g.c.d)をd(x)≡(f(x),g(x))と書くことにする。このとき,次の定理が成り立つ。

[定理1]:d(x)=(f(x),g(x))とする。このとき,degd≧1であるための必要十分条件はR(f,g)=0 である。

(証明)d=(f,g)なので,f=df1,g=dg1と書けばfg1=f1g=df11が成立します。そこで,degd≧1であるための必要十分条件はdegf1<degf,degg1<degg,かつfg1=f1gを満たすf1(x),g1(x)が存在することです。

(x)=a0+a1x+a22+...+ann (degf=n),g(x)=b0+b1x+b22+...+bmm (degg=m)と書きます。

 

degf1<degf,degg1<deggを満たすf1,g1が存在してfg1=f1gなる恒等式(identity)が成立するならdegf1≦n-1,degg1≦m-1ですから,f1(x)=α1+α2x+...+αnn-1,g1(x)=β1+β2x+...+βmm-1とすると,fg1=f1gは両辺の係数を等置する(m+n)個の等式:a0β1=b0α1,a1β1+a0β2=b1β1+b0β2,...,αnm=βmnが成立することを意味します。

 この(m+n)個の等式はα12,...,αnのn個のf1(x)の係数の組をn成分の列ベクトルαt12,...,αn)で,β12,..,βmのm個のg1(x)の係数の組をn成分の列ベクトルβt12,...,βm)で表現すると,(a0,0)β=(b0,0)α,(a1,a0,0)β=(b1,b0,0)α,(a2,a1,a0,0)β=(b2,b1,b0,0)α,...,となります。

 

 ここで,(a0,0),(a1,a0,0),(a2,a1,a0,0),...はm成分の行ベクトル(row vector),(b0,0),(b1,b0,0),(b2,b1,b0,0),...はn成分の行ベクトルで,これら(m+n)個の式の両辺はそれぞれベクトルの内積の形になっています。

そこで,さらにβと-αを並べた(m+n)成分の列ベクトル:γt12,...,βm,-α1,-α2,...,-αn)を作れば,上の(m+n)個の等式は(a0,0,b0,0)γ=0,(a1,a0,0,b1,b0,0)γ=0,(a2,a1,a0,0,b2,b1,b0,0)γ=0 ...となります。

 

 この表現では,係数(a0,0,b0,0),(a1,a0,0,b1,b0,0),(a2,a1,a0,0,b2,b1,b0,0)も(m+n)成分の行ベクトルです。

 

結局,(m+n)個の等式は係数の行ベクトルを(m+n)行並べたものを(m+n)×(m+n)の正方行列Aと考えれば,等式系はAγ0 なる行列形式の斉次連立方程式になることがわかります。

このとき,行列Aの転置tAは,明らかにそれの行列式として終結式R(f,g)を与える行列に一致しています。

 

したがって,R(f,g)=detA=0 なる等式の成立がAγ0 γt12,...,βm,-α1,-α2,...,-αn)の自明でない解を持つための必要十分条件になります。つまり,R(f,g)=0 がdegd≧1 であるための必要十分条件です。(証明終わり)

[定義]:f(x)=a0+a1x+a22+...+ann (an≠0)をk[x]における多項式とするとき,Δ(f)≡(-1)n(n+1)/2R(f,f')/anをf(x)の判別式という。

 

 ただし,f'(x)はf(x)の導多項式と呼ばれる多項式でf'(x)≡a1+2a2x+...+nann-1で定義される。

 特にf(x)=ax2+bx+cならf'(x)=2ax+bより,R(f,f')=ab2-4a2cですから,Δ(f)=b2-4acです。また,f(x)=x3+Ax+Bならf'(x)=3x2+Aより,R(f,f')=4A3-27B2ですから,Δ(f)=-4A3+27B2です。

(x)が重根を持つのはf(x)とf'(x)が1次以上の共通因数を持つときですから,[定理1]によりこれはR(f,f')=0,すなわちΔ(f)=0 と同値です。

[定理2]:f(x),g(x)をk[x]における多項式とする。このときk[x]の中に多項式F(x),G(x)が存在してR(f,g)=F(x)f(x)+G(x)g(x)が成り立つ。

(証明)f(x)=a0+a1x+a22+...+ann (an≠0),g(x)=b0+b1x+b22+...+bmm (bm≠0)とします。

 

 R(f,g)=0 ならfg1=f1gなる1次以上の多項式f1,g1が存在するので,F(x)≡g1(x),G(x)≡-f1(x)とおけば, 0=R(f,g)=F(x)f(x)+G(x)g(x)となります。

そこで,R(f,g)≠0 と仮定してr(x)≡R(f,g)と置きます。

 

そうして,連立方程式系xif(x)=a0i+a1i+1+a2i+2+...+ani+n (i=0,1,...,m-1),xjg(x)=b0j+b1j+1+b2j+2+...+bmj+m (j=0,1,...,n-1)を考えます。

 

t(1,x,x2,...,xm+n-1),t(f(x),xf(x),...,g(x),xg(x),...)なるベクトル表現を採用すれば,これは(m+n)次の正方行列Aを係数とする行列形式の(m+n)元連立1次方程式:Aとなります。                        

このとき,明らかにR(f,g)=det(A)=r≠0 です。

 

det(A)≠0 ですから,Aの逆行列:A-1が存在します。これは,Aの余因子Aijを成分とする行列を(adjA)として,A-1=(adjA)/rと書けますから,これをAの左から掛けて解として=(adjA)/rが得られます。

 

そして,=(adjA)/rの第1行目の式は1=[(Σj=1m1jj-1)f(x)+(Σj=m+1m+n1jj-m-1)g(x)]/r(x)となります。

 

そこでF(x)≡Σj=1m1jj-1,G(x)≡Σj=m+1m+n1jj-m-1と置けばr(x)=F(x)f(x)+G(x)g(x)が得られます。(証明終わり)

などなどと続いていきますが,ここで私がかつて学生時代に読んだ「代数学講義」(高木貞治 著(岩波書店))とは判別式,終結式の定義が全然違っているので,果たして同じものだろうか?という疑問が湧きました。

しかし,上で見たように上述の定義での判別式Δ(f)は,fがf(x)=ax2+bx+cの2次式ならΔ(f)=b2-4ac,f(x)=x3+Ax+Bの3次式ならΔ(f)=-4A3+27B2で,これは両者の定義で全く同じですから,恐らく同じものなのでしょうが,本当に同じであることかどうかを証明しようという気になりました。

従来から知っていた多項式の判別式,終結式の定義は次のようなものでした。

まず,n個の変数x1,x2,...,xnがあるとき,差積PをP≡(x1-x2)(x1-x3)...(x1-xn)(x2-x3)...(x2-xn)...(xn-1-xn)で定義します。このPは対称式ではなくて交代式ですが,P2は対称式です。

 

そして判別式の定義は「f(x)=a0+a1x+a22+...+annのn個の根をx1,x2,...,xnとしてこれらの差積をPで表わすとき,D≡an2(n-1)2を方程式f(x)=0,または多項式f(x)の判別式という。」というものです。

 

上記の別の定義ではfの判別式はΔ(f)と表記されていましたが,ここではDです。

また,終結式の定義は「f(x)=a0+a1x+a22+...+ann (an≠0),およびg(x)=b0+b1x+b22+...+bmm (bm≠0)の根をそれぞれα12,...,αn,およびβ12,...,βmとするとf(x)=anΠμ=1n(x-αμ),g(x)=bmΠν=1m(x-βν)ですが,R≡anmmnΠμ,νμ-βν)をf(x),g(x)の終結式と呼ぶ。」という形で与えられています。

 

別の定義ではf,gの終結式はR(f,g)と表記されています。

そして,f(x)=a0+a1x+a22+...+ann (an≠0)に対して導多項式はf'(x)≡a1+2a2x+...+nann-1で与えられますから,f'(x)=anΠν=1n-1(x-βν)と書けばf'(αμ)=anΠν=1n-1μ-βν)となります。

 

それ故,この場合従来から知っていた定義でのfとf'の終結式はR=R(f,f')=an2n-1Πμ,νμ-βν)=ann-1Πμf'(αμ)となることがわかります。

ところが,f(x)=anΠμ=1n(x-αμ)のときf'(x)/f(x)=Σμ=1n{1/(x-αμ)}ですから,f'(x)=Σμ=1n{f(x)/(x-αμ)}と表現できます。

 

それ故,f'(αμ)=Πμν≠μnν-αμ)}と表現できます。

 

したがって,従来の終結式はR=R(f,f')=ann-1Πμf'(αμ)=an2n-1Πν{μ≠νμ-αν)}となります。

一方,従来の定義でのf(x)の判別式DはP=(α1-α2)(α1-α3)..(α1-αn)(α2-α3)...(α2-αn)...(αn-1-αn)としてD=an2(n-1)2で与えられますから,D=an2(n-1)μ<νμ-αν)}2=(-1)n(n+1)/2n2(n-1)Πμ≠νμ-αν)です。

ここで,最右辺に符号の係数(-1)n(n+1)/2があるのは,次のようにして示されます。

 

もしもα12,...,αnの中に1組でも重根があればP=0 によりD=0 なので符号係数などは関係ないです。

 

そうでない場合には全ての根が異なるため,αμ<αν,つまり(αμ-αν)の符号がマイナスになる(αμν)の対の数はn個の中から2個を取り出す組み合わせの数n(n+1)/2に等しいからです。

したがって,R=R(f,f')=an2n-1Πμ≠νμ-αν),D=(-1) n(n+1)/2n2(n-1)Πμ≠νμ-αν)によって,D=(-1) n(n+1)/2R(f,f')/anとなることがわかりました。

これは,先に与えた別の定義での終結式R(f,g)による判別式Δ(f)の定義:Δ(f)≡(-1)n(n+1)/2R(f,f')/anと全く同じ形です。

したがって,終結式R(f,g)の2つの定義が同じものであることを証明しさえすれば,判別式については自動的にD=Δ(f)であることになります。

(証明)f(x)=a0+a1x+a22+...+ann (an≠0),およびg(x)=b0+b1x+b22+...+bmm (bm≠0)の根をそれぞれα12,...,αn,およびβ12,...,βmとすると,f(x)=anΠμ=1n(x-αμ),g(x)=bmΠν=1m(x-βν)です。

 そして根と係数の関係としてa0/an,a1/an,...,an-1/anは全てf(x)=0 の根α12,...,αnの基本対称式,b0/bm,b1/bm,...,bm-1/bmは全てg(x)=0 の根β12,...,βmの基本対称式で表わされますから,行列式で定義された方のR(f,g)はan,bmおよびα12,...,αn12,...,βmの関数です。

 

 つまり,R(f,g)はR(an,bm12,...,αn12,...βm)なる形の関数です。

一方,[定理2]の証明では(m+n)元の連立方程式系xif(x)=a0i+a1i+1+a2i+2+...+ani+n (i=0,1,...,m-1),xjg(x)=b0j+b1j+1+b2j+2+...+bmj+m(j=0,1,...,n-1)を想定しました。

 

そして,この方程式の解の組:1,x,x2,...,xm+n-1を列ベクトルt(1,x,x2,...,xm+n-1)で,右辺の関数の組:f(x),xf(x),...,g(x),xg(x),...を列ベクトルt(f(x),xf(x),...,g(x),xg(x),...)で表わせば,係数を(m+n)次の正方行列Aとして元の方程式を行列形式の1次方程式:Aの形に書くことができて,係数Aの行列式が終結式R(f,g)に等しいことを見ました。

この連立一次方程式Aにおいて,仮に代数方程式f(x)=0 とg(x)=0 に共通根x=γが存在すれば,γt(1,γ,γ2,...,γm+n-1)と書くとγではAγ0 となるので斉次方程式A0 に自明でない解γが存在することになり,そのときにはR(f,g)=det(A)=0 です。

そこで,先に書いたan,bm,およびαμν(μ=0,1,2,...,n,ν=0,1,2,...,m)の関数としてのR(f,g)の表現式:R(f,g)=R(an,bm12,...,αn12,...,βm)にαμ=βν=γを代入するとR(f,g)=0 となることがわかります。

 

すなわち,同じことですがαμにβνを代入するとR(f,g)=0 となります。

これは,R(f,g)=R(an,bm12,...,αn12,..,βm)が全ての対(μ,ν)に関して因数(αμ-βν)を持つことを意味します。

 

それ故,R(f,g)はΠμ,νμ-βν)pなる因子を持つはずです。

 

因子(αμ-βν)pのベキpが共通の値であるとしたのはR(f,g)が根の対称式だからです。

また,R(f,g)は係数(a0,a1,a2,...an)を1列ずつずらしてm行並べ,その下に(b0,b1,b2,...,bm)を1列ずつずらしてn行並べた(m+n)×(m+n)の行列式ですが,a0,a1,a2,...,anの各々はα12,...,αnの対称式のan倍,b0,b1,b2,...bmの各々はβ12,..,βmの対称式のbm倍ですから,R(f,g)はα12,...,αnの対称式,β12,...,βmの対称式に係数anmmnを掛けたもので与えられることがわかります。

一方,f(x)=a0+a1x+a22+...+ann=anΠμ=1n(x-αμ)により,両辺の1,x2,x,...,xnの係数を比較すればa0=anΠμ=1nαμ,a1=-anΣν=1nΠμ=1nαμ)/αν...etc.が得られますから,ak/anのαμによる次数は(n-k)です。

 

同様に,bl/bmのβνによる次数は(m-l)です。

 

これから,m行の(a0,a1,a2,...,an)とn行の(b0,b1,b2,...,bm)からなる成るR(f,g)の行列式のゼロでない全ての展開項の根αμνによる次数はmnであることがわかります。

したがって,行列式R(f,g)の根の対称式因子Πμ,νμ-βν)pは高々mn次の式である必要があるため,(αμ-βν)pのベキ指数pは1であると結論されます。

 

すなわち,R(f,g)=Πμ,νμ-βν)×(根αμνを全く含まない因子)です。

以上から,行列式で定義されたR(f,g)はanmmnΠμ,νμ-βν)の定数倍であることまでわかりました。

 

後は定係数を決めるだけですが,既に2次式と3次式の判別式について2つの定義が一致することがわかっているので後は手抜きで定係数=1だということで証明を終わりにします。(証明終わり)

なお,上述の証明に際しては, 勝手に以下のホームページ(HP)を参照させて頂きました。感謝!です。

 

終結式の行列式表現 (「青空学園数学科(書庫)」)

イヤ,単なるパクリかな?ちょっと手抜き記事でした。。。

 

(別に,演習問題を解くことで勉強しなければいけないような学生ではないので,今のように読んでも理解がかなり困難であるわけでもなく簡単明瞭な証明が既にあるならワザワザ最初から証明する必要も無いという安易なジジィです。。)

 

参考文献:J.S.Chahel著;織田進 訳「数論入門講義(数と楕円曲線)」(共立出版),高木貞治 著「代数学講義」(岩波書店)

 

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2009年4月14日 (火)

天下の悪法 「入管法」

 丁度 一月前の2009年3/13の記事「選抜高校野球 」のPSで書いた次の話が現実に親子を別離させるということになったらしい。ひどいものだ。。

 ※(再掲記事) そういえば,約1年前の2008年2/6の記事「 某マスコミ達の暴挙!日常茶飯事lで強制送還に関連して,私が「天下の悪法である」と断じた「入管法(入国管理法)」によって苦しんでいる人がいるらしい。。。  

 全く,同じことが結構何度も繰り返されていて当事者にとっては深刻なのに記事としてはマスコミは,無視したり問題視したりイイカゲンなもんです。。。(再掲終わり)※

 日本人は特に南紀の街などでは昔から南米などに移民していました。

 まあ,その意図は経済難民というよりも,むしろ侵略的色彩を帯びていたかもしれませんが。。。。

 院生時代には隣の物性理論研究室にフォンさんというベトナム難民?の1年先輩がいました。

 当時ベトナムに帰れる状況ではなく,フランス語ができるので卒業後はフランスに渡ると言っていました。

 まあ日本や日本人はアジア人には冷たいので居辛かったのでしょうねえ。。

 今回の強制送還の件では,日本人民が冷たいのではなく日本の官憲が冷たいのです。(イヤイヤ,カルデロンのりこちゃん,カワいい顔してますね。。。)

 別に偉いとは思いませんが,日本人には一般的な中国国内の人民などのように国が非難されたら自分自身が非難されていると感じるようなある程度教育感化洗脳されたと思える感情とは異なる感性があるようです。

 しかし,例えば北朝鮮の話になるととたんに将軍様とその一派を非難しているのか,朝鮮人民を非難しているのかわからなくなり,経済制裁しろとか兵糧攻めにしろとか大合唱する傾向もあるようです。

 まあ,民主国家の形態であれば国の所業について人民が多大な責任を負うのもいたしかたないところがありますから,"罪がない誰だれなのに”とかいった神を冒涜する言葉などを吐くこともできませんが。。。

PS:関係ないですが最近,料理のレパートリーが増えました。と言っても前からできた卵料理全部(目玉焼き,ゆで卵,いり卵(スクランブルエッグ),玉子焼き(オムレツ))やインスタント食品を温めるだけを含めてたった10個くらいですが。。

 熱しやすくて醒めやすいこともあり,趣味は将棋の他には読書(物理,数学,その他)や音楽,映画鑑賞など受動的なものを中心にそれこそ数え切れないほどあるのですが,これらに新しく料理が加わりそうです。

 だいたい,醒めやすいのですが趣味に限らず夢中になると一時期はとことんのめり込んで地獄まで行ってしまうかも。。という偏執的な面が強いです。

 元々学生時代も貧乏で外食よりは経済的なので共同台所で恥ずかしかったけど他人がいない隙に見よう見まねで簡単な料理(カレーや野菜炒めなど)を結構やっていました。

 就職後は外食してもいい身分になり,また今の住居は一応古い電化住宅でガスが来てなくてIHでもない火力が弱いヒーターのようなものしかないのでヤル気なくしてました。

 ところが,作ってみるとレシピに書いてあるのとは時間が違うだけで,何でもできるみたいです。

 玉子焼きというかオムレツとか野菜炒め(昔と違って肉野菜炒め)も自己流ではなくレシピ通りにやると形も味も少し違うみたいで新鮮でした。

 元々できた料理は後は,カレーとチャーハンとかサラダ(料理じゃない?)くらいですが,新しいのは肉じゃがとインスタントではないみそ汁とか少しずつ進化しています。

 そうそう,お上から頂くのが嫌いなこともあって1つも持ってない資格なのですが,それがないとできない仕事もあるらしく,気まぐれなのですがこの歳で保育士の資格を取ろうかと思って調べたら,ピアノがバイエル程度までできなければダメらしいので,ヒョッとしたら次の趣味としてピアノを練習するかも。。。

 エレクトーンならできるらしい「りくちゃん」に教えてもらうとタダだし。。。

 ギターとヴァイオリンなら学生時代に齧ったことがありますが。。

(私のような「アラ還世代以上」の人々と付き合っていると,ヤレ,パソコンはダメ,機械はダメ,携帯は持たない主義だ,クレジットカードも嫌いだ,ロックは受け付けないとか,カラオケなら「演歌以外は唄じゃないよ,進駐軍の歌唄うな!」とか,

 逆に日本語の歌は唄わずパット・ブーンやニール・セダカなどばかりとか屈折していて,食わず嫌いやモットーなど色々なクセやタブーが邪魔している人達が多いです。

 それらは個人の60年以上の経験に根ざしていたり,むしろ趣味嗜好に属することなので外野がアレコレ干渉することじゃないのですが,付き合う際に各人に合わせてそれなりに気を使う必要があって私的には面倒くさいです。

 しかし,私の場合は,自慢ですが幸か不幸か結婚したこともなく生活感が乏しくて,そうしたことに見放されている極楽トンボのせいか,歳や体力などに関係なく興味があったら,ロリコンとか近親相姦も含めて,タブーほとんど無しのバチ当たりの見境無し野郎です。)

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2009年4月13日 (月)

超弦理論(19)(2-8)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

 

ツナギ,ツナギと言いながら,ずーっとこればっかしですみません。今は丁度季節的に「木の芽どき」でもあり,なぜか精神に余裕がなくブログも滞りがちです。

 さて,ヴィラソロ条件(Virasoro-condition)(Lm-aδm0)|φ>=0 (m≧0)が課された場合,負ノルムの物理的状態が全く存在しないことを保証するような定数パラメータaと時空次元Dの満たすべき条件について予備的な検査をしてみます。

結果として,aとDのある領域では負ノルム状態が存在し,他の領域では負ノルム状態は全く存在しないという結論が得られます。

 

以下,その内容を詳述します。

 物理的ヒルベルト空間に全く負ノルム状態がないようなパラメータaとDの領域を記述するためには,ゼロノルムの物理的状態を探すことが非常に有用な手段になります。

物理的ヒルベルト空間が非負定値ノルムを持つ領域から負ノルムを持つ領域までを横切ってaとDを変動させれば,それら2つの領域間の境界にはゼロノルムを与える物理的領域が存在すると考えられます。

 そして後述する理由のために,これらある意味では余分のゼロノルム状態が重要な物理的原理に関連付けられ,最も関心のある物理的ヒルベルト空間が発展する際のゴースト状態の縁にある臨界の場合に相当するという結論を得ることになります。

 以下の理論展開では開弦のみを対象にしますが,振動子とヴィラソロ条件を二重にすれば,閉弦の話もほとんど同じです。

 

 実際,拘束Σn=1α-nαn=Σn=1α~-nα~nを除けば,閉弦のn番目の質量レベルは左移動演算子から作られる物理的状態のヒルベルト空間の元と,右移動演算子から作られる物理的状態のヒルベルト空間の元のテンソル積で表現されます。

したがって,左移動と右移動の物理的状態は開弦の物理的状態と全く同等ですから,負ノルム状態を探すという今の論題においても開弦と同等であり,開弦のみが対象の理論展開は,そのまま閉弦にも当てはまるといえます。

さて,運動量kμを持つ開弦の基底状態を|0;k>で記述します。

 

このとき,L0=(-1/2)Σ-∞α-nαn=-α'p2-Σn=1α-nαn,およびp2|0;k>=k2,かつαn|0;k>=0 によって,質量殻条件(L0-a)|0;k>=0,またはL0=aは,α'k2=-aなる等式を意味します。

 

(パラメータα'は後に1/2と置きます。)

基底状態|0;k>からの第1励起レベルの状態ξα-1|0;k>を考えます。ここで,ξ=ξμ(k)はゲージ拘束を考慮する前には,D個の独立成分を持つ偏極ベクトルであり,ξα-1|0;k>なる状態は,詳しく表現すればξμ(k)α-1μ|0;k>です。

この第1励起状態に対して,質量殻条件L0=-α'p2-Σn=1α-nαn=aは-α'k2=a-1を与えます。

 

また,L1補助条件L1(ξα-1)|0;k>=0 は,L1=(-1/2)Σ-∞α1-nαnによって,ξk=ξμμ=0 を与えます。

 

後者のξk=ξμμ=0 は,ゲージ拘束条件であり,D個の成分を持つ一般のベクトルξ=(ξμ)において,実際に許される独立な偏極の数は(D-1)個であることを示しています。

状態:ξα-10;k>のノルムは,-ξ2=-ξμξμです。そこで,特に,ベクトルk=(kμ)が(0,1)平面内にある,つまりk=(kμ)=(k0,k1,0,0,..,0)であるような座標系を選択すれば,kに垂直で空間的な偏極を持つ(D-2)個の状態は正のノルムを持ちます。

例えば,ξ=μ)=(0,0,1,0,0,..,0),(0,0,0,1,0,..,0),..,(0,0,0,0,0,..,1)のような(D-2)個の空間的偏極ベクトルを考えることができます。

そして,もしも状態がk2=M2<0 のタキオンなら,ベクトルkは空間的なので時間成分k0がゼロであるようにkの座標を選ぶことができます。すると,最後の(D-1)個目の状態の偏極ξ=(ξμ)は時間的(time-like)であり,-ξ2=-ξμξμ<0 となってノルムは負になります。

すなわち,ξk=ξμμ=0 を与える最後の偏極ベクトルとして例えば,ξ=(ξμ)=(1,0,0,0,0,..,0)と取ることができるわけです。

一方,もしもk2=M2>0 なら最後の(D-1)個目の状態のξも他の(D-2)個の状態と同じく空間的で,偏極ξは-ξ2=-ξμξμ>0 を満たし正のノルムを持ちます。(例えばξ=(ξμ)=(0,1,0,0,0,..,0)と選べます。)

最後に質量がゼロ,つまりk2=M2=0 (光的)なら(0,1)平面内のベクトルkの成分はk0=±k1となります。

 

このとき,ξμμ=ξ00-ξ11=0 なる必要条件から,(D-1)個目の偏極ベクトルはξ=(ξμ)=(ξ01,0,0,..,0),ξ0=±ξ1,例えばξ=(ξμ)=(1,1,0,0,0,..,0)と選ぶことができて,-ξ2=-ξμξμ=0 となり,この状態のノルムはゼロです。

以上から,-ξ2=-ξμξμ<0 によって負ノルムが生じない条件はベクトルkが空間的または光的であること,つまりk2=M2≧0 であることが必要と考えられます。

 

この条件は,等式-α'k2=a-1 により,a-1≦0 を意味します。よって,ゴーストが存在しないための最初の条件:a≦1が得られます。

特に,この条件の境界のa=1 の場合には,スカラー基底状態|0;k>はα'k2=-a=-1 により,k2=M2=-1/α'<0 のタキオン状態ですが,最初の励起状態であるξα-1|0;k>ではk2=M2=0 となるので,これの示すベクトル粒子の質量はゼロです。

質量がゼロのベクトル粒子のケースにはL1補助条件:L1(ξα-1)|0;k>=0 ,またはξk=ξμμ=0 は丁度質量がゼロの光子(電磁場Aμ)のQED(量子電磁力学)における共変ゲージ条件∂μμ=0 に対応しています。

そして,丁度,QEDの共変グプタ・ブロイラー(Gupta-Bleuler )量子化での∂μμ=0 と同じように,L1補助条件ξk=ξμμ=0 は"横偏極を持つ(D-2)個の正ノルム状態=(D-2)個の横波状態"と1個のゼロノルムの縦波状態:ξμ=kμを許される偏極として残します。

そして,観測にかかるS行列からは最後の縦波のゼロノルム状態が解離することを示す必要があります。

場の理論では縦波ゼロノルム状態の解離はゲージ不変性とカレントの保存から導かれましたが,弦理論でもこのことを具体的に証明することは可能です。

 

(第1章序文(introduction)では重力のワード・高橋恒等式(Ward-Takahashi identity)の項目の議論で,これを証明する1つのアプローチをスケッチしました。)

しかし,我々は今のところ明らかにされているより深い構造について不完全な理解にしか到達していません。

aが臨界値a=1を取るときの最初の励起レベルξα-1|0;k>は,一般には無限個存在する"ゼロノルム状態=ヌル状態"の最初の例を与えています。この特殊な励起状態に関して見出される結果は,以下の考察によって一般化することができます。

任意の状態|φ>は,それが拘束:Lm|φ>=0 (m>0),かつ(L0-a)|φ>=0 を満たすなら物理的状態と呼ばれます。

 

一方,(L0-a)|ψ>=0 に従う状態|ψ>が,あらゆる物理的状態|φ>と直交するとき,すなわち,|ψ>が全ての物理的状態|φ>に対して<φ|ψ>=0 を満たすなら,これは"擬似状態"であるといわれます。

任意の擬似状態|ψ>は,(L0-a+n)|χn>=0 に従う状態|χn>を用いて,常に|ψ>=Σn>0-nn>と表わすことができることがわかります。

(訳注30):(L0-a)L-nn>={[L0,L-n]+L-n(L0-a)}|χn>=L-n(L0-a+n)|χn>=0 より,|ψ>=Σn>0-nn>なら(L0-a)|ψ>=0 であって,|φ>が物理的状態なら,n>0 のときLn|φ>=0 ですから,<φ|L-nn>=<χn|Ln|φ>*=0 となります。

 

 そこで,|ψ>=Σn>0-nn>と表わせることは|ψ>が擬似状態であるための十分条件になっています。

 

 (訳注30終わり)※

|ψ>=Σn>0-nn>の右辺の無限級数は実際にはn≧3 に対する項:L-nn>のL-nをL-1とL-2の交換子の繰り返しによって表現することができることがわかります。

すなわち,例えばL-3~[L-1,L-2]なる同一視が可能であり,L-4はL-1,L-2,L-3で表現できるので,|ψ>=Σn>0-nn>は右辺を短縮して切り取った表現として|ψ>=L-11>+L-22>,(L0-a+1)|χ1>=0,(L0-a+2)|χ2>=0 と簡単に書くことができるわけです。

(訳注31):(L0-a+3)|χ3>=0 を満たす|χ3>に対して|χ1>≡L-23>,|χ2>≡-L-13>と置けば,(L0-a+1)|χ1>=0,(L0-a+2)|χ2>=0 が満たされ,L-11>+L-22>=[L-1,L-2]|χ3>=L-33>が成立します。

そこで,L-33>はL-33>=L-11>+L-22>なる形で表現されることがわかります。

 

そして,n≧4のL-nn>もこうした [L-1,L-2],[[L-1,L-2],L-1]etc.のような交換子の繰り返しの組み合わせによってL-nn>=L-11>+L-22>なる形に表現可能であると予想されます。

 

(訳注31終わり)※

|ψ>=Σn>0-nn>,あるいは|ψ>=L-11>+L-22>は確かに全ての物理的状態|φ>と直交します。なぜなら,<φ|ψ>=Σm=12<φ|L-mm>=Σm=12<χm|Lm|φ>*=0 となるからです。

任意の擬似状態|ψ>が(L0-a+n)|χn>=0 に従う状態|χn>を用いて|ψ>=Σn>0-nn>と表わすことができること,したがって(L0-a+1)|χ1>=0,(L0-a+2)|χ2>=0 に従う状態|χ1>,|χ2>を用いて|ψ>=L-11>+L-22>の形に表現できることを見るために,|ψ>が|ψ>=Σn>0-nn>の形なら演算子:O≡|ψ><ψ|があらゆる物理的状態を消滅させることに着目します。

(既に,|ψ>=Σn>0-nn>が擬似状態であるための十分条件であることは示しましたが必要条件であることを示します。)

(訳注32):(訳注30)で既に示したように,任意の物理的状態|φ>について<φ|L-nn>=<χn|Ln|φ>*=0 が成立しますから,O|φ>=Σm,n>0-mm><χn|Ln|φ>=0 です。

 

 つまり演算子O≡|ψ><ψ|は,全ての物理的状態を消滅させます。

 

 (訳注32終わり)※

一般的な物理的状態に対する唯一の制限はm>0 の任意のLmによって消滅させられることですから,Oが任意の物理的状態を消滅させるということは演算子群:X-nを係数としてO=Σn>0-nnと展開できることを意味します。

O=|ψ><ψ|なので,これは任意の擬似状態|ψ>が(L0-a+n)|χn>=0 に従う状態|χn>を用いて|ψ>=Σn>0-nn>と表わせることを示しています。

(訳注33):|ψ><ψ|=Σn>0-n-nより,<x|ψ>≠0 なる任意の状態|x>に対し<x|ψ><ψ|=Σn>0<x|X-nnです。これのエルミート共役を取ると,<ψ|x>|ψ>=Σn>0-n-n|x>です。故に|ψ>=Σn>0-n-n|x>/<ψ|x>です。

そこで,|χn>≡X-n|x>/<ψ|x>と定義すれば,|ψ>=Σn>0-nn>となります。さらに,(L0-a)|ψ>=0 なる仮定によって(L0-a+n)|χn>=0 が成立することもわかります。

 

(訳注33終わり)※

さて,擬似状態|ψ>が物理的状態でもあるときには,何か特別のことが生じます。|ψ>は擬似状態なので全ての物理的状態|φ>と直交しますから<φ|ψ>=0 ですが,物理的状態でもあるので,Lm|ψ>=0(m>0),(L0-a)|ψ>=0 を満たします。

それ故,特に自分自身とも直交しますから<ψ|ψ>=0 です。あるいは|ψ>=Σn>0-nn>と表わせば,<ψ|ψ>=Σm>0<χm|Lm|ψ>=0 です。

 

よって,こうした擬似状態かつ物理的状態である状態|ψ>はゼロノルムを持つことがわかります。これらをヌル物理的状態と呼びます。

特に,Lm|χ~>=0 (m>0),(L0-a+1)|χ~>=0 を満たす任意の状態|χ~>によって|ψ>≡L-1|χ~>なる形の擬似状態を作ると,これのノルムは<ψ|ψ>=<χ~|L-1|ψ>=0 となるので,これはゼロノルム状態となっています。

|χ~>は演算子α0μの固有状態としてはゼロ運動量状態:|0;0>であることも可能ですが,任意の状態はpμだけシフトできます。

|ψ>≡L-1|χ~>はさらに擬似状態であることに加えて,L1|ψ>=0なるL1補助条件を除いて物理的状態であるためのあらゆる条件を満足しています。

 

そして,アノマリーを含むヴィラソロ代数[Lm,Ln]=(m-n)Lm+n+(D/12)(m3-m)δm+nを用いると,L1|ψ>=L1-1|χ~>=2L0|χ~>=2(a―1)|χ~>となります。そこで,a=1ならL1|ψ>=0 も満足されます。

しかし,D=26次元ではゼロノルム状態の数はもっと劇的に増加します。これは,|ψ>≡(L-2+γL-12)|χ~>なる構造を持つ擬似状態を考えることで発見できます。ただし,a=1とし|χ~>は(L0-a+2)|χ~>=(L0+1)|χ~>=0 を満足するとします。

 

これから,擬似状態であるための条件であり物理的状態であるための条件の1つである(L0-a)|ψ>=(L0-1)|ψ>=0 が確かに満たされていることがわかります。

さらに,|ψ>は明らかにm≧3のLmによっては消滅されるので,アノマリーを含むヴィラソロ代数:[Lm,Ln]=(m-n)Lm+n+(D/12)(m3-m)δm+nを用いて,|ψ>が残りの条件L1|ψ>=0,L2|ψ>=0 をも満足することが可能かどうかを調べます。

簡単な計算によって,これら2つの条件は3-2γ=0 とD/2-(4+6γ)=0 を与えることがわかります。これから,γ=3/2,D=26が得られます。

(訳注34):L1|ψ>=(L1-2+γL1-12)|χ~>=(3L-1+2γL-10)|χ~>=(3-2γ)L-1|χ~>=0より3-2γ=0 です。また,L2|ψ>=(L2-2+γL2-12)|χ~>=(4L0+D/2+6γL0)|χ~>={D/2-(4+6γ)}|χ~>=0 よりD/2-(4+6γ)=0を得ます。

 

 (訳注34終わり)※

そこで,|ψ>={L-2+(3/2)L-12}|χ~>とすれば,これは擬似状態かつ物理的状態ということになります。もちろん,<ψ|ψ>=<χ~|L2+(3/2)L12|ψ>=0 となっています。

こうして,a=1,D=26の場合には|ψ>={L-2+(3/2)L-12}|χ~>の形のはるかに多くのゼロノルム物理的状態が存在することがわかりました。

 

前の|ψ>=L-1|χ~>のゼロノルム物理的状態とは異なり,この2番目のタイプの状態のノルムはD=26のときに限ってゼロになります。

|ψ>={L-2+(3/2)L-12}|χ~>の形の最初の例としては,{L-2+(3/2)L-12}|0;p>なる形が考えられます。

 

計算すると,これは|ψ>={L-2+(3/2)L-12}|0;p>={-(1/2)α-1α-1-(5/2)pα-2+(3/2)(pα-1)2}|0;p>と書けます。

 

ただし,a=1であり|χ~>=|0;p>は(L0+1)|0;p>=(-p2/2+1)|0;p>=0 を満たすのでp2=2です。この|ψ>のノルムは(D-26)/2となるので,予期したようにD=26で消えます。

(訳注36):L-2=(-1/2)Σn=-∞α-2-nαn,L-1=(-1/2)Σn=-∞α-1-nαnです。そこで,L-2の右辺の級数で状態L-2|0;p>にゼロでない寄与をする項はn=0,-1,-2の項だけです。

 

 それ故,L-2|0;p>=(-1/2)(α-2α0+α-1α-1+α0α-2)|0;p>={-(1/2)α-1α-1-α-2α0}|0;p>={-(1/2)α-1α-1-pα-2}|0;p>となります。

 一方,L-1の右辺の級数の項でL-12|0;p>にゼロでない寄与をするのはn=0,1,-1,-2の項だけです。

 

 L-12|0;p>=(1/4)(α-1α0+α-2α1+α0α-1+α1α-2)(α-1α0+α-2α1+α0α-1+α1α-2)|0;p>=(1/4)(α-1α0+α-2α1+α0α-1+α1α-2)(α-1α0+α0α-1)|0;p>=(α-1α0)2-α-2α0)|0;p>={(pα-1)2-pα-2}|0;p>となります。

 そして,|ψ>={-(1/2)α-1α-1-(5/2)pα-2+(3/2)(pα-1)2}|0;p>より,|ψ>のノルムは<ψ|ψ>=(1/4)<0;p|α1μαα-1να-1ν|0;p>+(25/4)p2<0;p|α2α-2|0;p>+(9/4)pμνρσ<0;p|α1μα1να-1ρα-1σ|0;p>-2(3/4)<0;p|α1μανα-1νρα-1ρ|0;p>となります。

 この式の右辺の第1項は,(1/4)<0;p|α1μαα-1να-1ν|0;p>=-(1/2)ημν<0;p|α1μα-1ν |0;p>=(1/2)ημνημν=(1/2)Dとなり,第2項は(25/4)p2<0;p|α2α-2|0;p>=-(25/2)p2=-25となります。

 

 また,第3項は(9/4)pμνρσ<0;p|α1μα1να-1ρα-1σ|0;p>=(9/2)(p2)2=18,第4項は-2(3/4)<0;p|α1μανα-1νρα-1ρ|0;p>=-3p2=-6 となりますから,結局<ψ|ψ>=(1/2)D-25+18-6=(1/2)D-13=(D-26)/2 です。

 

 (訳注36終わり)※

 時空次元が26より小さいとき,すなわちD<26のときには,|ψ>のノルム:<ψ|ψ>=(D-26)/2が負になるという事実は重要ではありません。というのは,D<26の場合には|ψ>={L-2+(3/2)L-12}|0;p>はL1|ψ>=0 を満足しないので物理的状態ではないからです。

 現実に負ノルムの物理的状態が出現するのはD>26の場合です。例として|φ>={c1α-1α-1+c2pα-2+c3(pα-1)2}|0;p>なる形の状態|φ>を考えます。ただし,(L0-a)|φ>=(L0-1)|φ>=0 が満たされるようにp2=2とします。

 簡単な計算から,この状況で状態|φ>がL1|φ>=L2|φ>=0 に従うのは,c2=c1(D-1)/5,c3=c1(D+4)/10 のときであることがわかります。

(訳注37):α02=p2=2 とすると,0α-1α-1|0;p>={(-1/2)α02-α1α-1-1α-1|0;p>=(-1+2)α-1α-1|0;p>=α-1α-1|0;p>です。

 

 それ故,L0(pα-1)2|0;p>=(pα-1)2|0;p>も成立します。また,L0α-2|0;p>={(-1/2)α02-α2α-2-2|0;p>=α-2|0;p>も成立します。

 

 以上から,p2=2 で|φ>={c1α-1α-1+c2pα-2+c3(pα-1)2}|0;p>なら,0|φ>=|φ>なる等式が成立し,確かに(L0-1)|φ>=0 なる条件が満たされることがわかります。

次に,L1=(-1/2)Σn=-∞α1-nαnなので,L1α-1α-1|0;p>=-α0α1α-1α-1|0;p>=2α0α-1|0;p>=2(pα-1)|0;p>です。

 

同様に,L1(pα-1)2|0;p>=-α0α1(pα-1)(pα-1)|0;p>=2p2(pα-1)|0;p>=4(pα-1)|0;p>,L1(pα-2)|0;p>=-α-1α2(pα-2)|0;p>=2(pα-1)|0;p>です。

そこで,L1|φ>=0 なる条件が満たされるためには2c1+2c2+4c3=0,すなわちc1+c2+2c3=0 が成立する必要があります。

一方,L2=(-1/2)Σn=-∞α2-nαnですから,L2α-1α-1|0;p>=(-1/2)α1α1α-1α-1|0;p>=-D|0;p>,L2(pα-1)2|0;p>=(-1/2)α1α1(pα-1)(pα-1)|0;p>=p2|0;p>=2|0;p>,L2(pα-2)|0;p>=-α0α2(pα-2)|0;p>=2p2|0;p>=4|0;p>ですから-c1D+4c2+2c3=0 を得ます。

そして,連立方程式:c1+c22c3=0,-c1D+4c2+2c3=0 を解けば,c2=c1(D-1)/5,c3=c1(D+4)/10 が得られます。

 

(訳注37終わり)※

この場合,|φ>={c1α-1α-1+c2pα-2+c3(pα-1)2}|0;p>のノルムを計算すると,<φ|φ>=2c12D-4c22+8c32-8c13=2c12(D-1)(26-D)となります。

 

それ故,D>26の場合には物理的スペクトルの中にゴーストが存在することになります。

後に証明される一般的規則では,a=1,かつD=26,またはa≦1,かつD≦25であれば物理的状態のスペクトルはゴーストを持たないということがわかります。

a=1,かつD=26の場合には多くの余分なゼロノルム状態が存在し,物理的状態のスペクトルはα振動子の"(D-2)個=24個"のセットによって生成されるものと同数の伝播モードを持ちます。

 

一方,後者のa≦1,かつD≦25の場合にはゼロノルム状態ははるかに少なく,物理的状態のスペクトルは"(D-1)個≦24個"のセットから生成されます。

また,a=1,かつD=26の場合には弦は横波励起のみを持ち,一方,a≦1,かつD≦25の場合には横波だけでなく縦波モードも有するともいえます。こうした事実は「ゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)」の証明に関連して出現してきます。

ここでの定式化での自由理論の研究だけからは時空次元が26に等しくなければならないと結論付けることはできません。

その理由は,理論がD=26に対してゴーストを持たないなら,そのαnμ振動子(μ=0,1,2,..,25)が例えばμ=25の基底状態,つまり成分αn25がゼロの状態から成るD=25の部分空間もまたゴーストを持たないからです。

この定式化においてツリーレベルで示すのが可能と思われる最大のことは,D=26の空間が最も自然であり,D<26の空間は全体の26次元空間に属しそれから任意に切り取った部分空間であろうということです。

D=26のみに存在する余分なゼロノルム状態の発見が,このことの第一のしるしです。というのは,このゼロノルム状態は非常に便利な意味を持つからです。

前に述べた質量がないベクトルメソンの縦波モード状態の解離のように,物理的に有意な理論においてはゼロノルム状態は場の理論のゲージ不変性に類似したある根底的な原理によってS行列から分離される必要があります。

そこで,D=26に対して余分なゼロノルム状態が発生することは,この理論が拡張されたゲージ不変性を持ち,最も興味深い可能性を含む理論であることを示唆していると思われます。

 

同様に,正確にa=1に対してゼロノルム状態の無限個の連鎖があることも,これが最も興味深いケースであることを暗示しています。

そこで,以下に続く節では,試しに開弦の基底状態をa=1に対応した平方質量が-2のタキオンと考え,第1励起レベルを質量がゼロのベクトルメソンと考えます。

 

こうした質量がゼロのゲージ粒子の存在は臨界次元における弦理論の非常に特別な性質の1つの側面を示していると言えます。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」Cambridge University Press)

 

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2009年4月 9日 (木)

超弦理論(18)(2-7)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

実はツナギとしてアップしようと軽く考えていたのですが,ノートにある約10年前にやった計算の間違いに気付いたので,やや手間取っていました。

 

種本の計量(metric)と私が常用しているBjorken-Drellのテキストの計量では符号が逆なので,ときどき混乱することがあるのでした。

 さて,既に説明したように,ボソン弦(Bosonic string)の振動するαmμ(とα~mμ)で作られるフォック空間は,時間成分の交換関係における負の計量のために正定値ではありません。

一方,物理的状態の空間は,m≧0 に対して(Lm-aδm0)|φ>=0 なるヴィラソロ条件(Virasoro condition)を満足する状態:|φ>で作られる上記フォック空間の部分空間に対応します。

 

(閉弦における演算子L~m,α~mについての話も,mmについてのそれとほぼ同じなので,ここでは余計な煩雑さを避けるために開弦のLmmだけについて話を進めます。)

 そして,ヴィラソロ条件は時間的(time-like)な負ノルムの振動子と1対1に対応するため,丁度正定値な部分フォック空間を残すのに十分な条件を与えます。

 これを理解するために,ヴィラソロ演算子が,Lm~ -pμαmμ+(振動子の2次の項)と表わせることに着目します。

(訳注27):記事「超弦理論(16)(2-5)」で示したように,開弦では,Lm=(-1/2)Σn=-∞αm-n,μαnμですが,α'=1/2ならα0μ=lpμ=pμより,Lm=(-1/2)Σn=-∞αm-n,μαnμ=(-1/2)(αm,μα0μ+α0,μαmμ)+(-1/2)Σn≠0,mαm-n,μαnμ=-pμαmμ+(-1/2)Σn≠0,mαm-n,μαnμとなります。

 

 (訳注27終わり)※

この近似式から,もしも振動子の2次の項がないなら,条件Lm|φ>=0 はpμαmμ|φ>=0 と同値になることがわかります。

そして,一般に粒子がタキオン(tachyon)でないなら,その運動量は時間的(p2=pμμ=M2>0),または光的(p2=M2=0)なので,pμ=(M,0)という静止系を取れば,pμαmμ|φ>=0 はαm0|φ>=0,あるいはam^0|φ>=0 を意味します。

静止系でなくとも高エネルギーなら,pμ=(p0,-)でE=p0>>||ですから,pμαmμ|φ>=0 は近似的にαm0|φ>=0,またはam^0|φ>=0 と同値です。

 

とにかく,ヴィラソロ条件は負ノルム振動子と1対1に対応します。

 そこで,静止系での物理的状態は,振動子ベクトルαm=(αm0,αm)=(αm0m1m2,..,αmD-1)のうち,(D-1)次元の空間成分ベクトルαm≡(αm1m2,..,αmD-1)だけで生成されます。

 

 これは,条件の個数をカウントすることからヴィラソロ条件(Lm-aδm0)|φ>=0 (m≧0)が,ゴーストを分離するのに十分であることを示しています。

しかし,振動子の2次の項も重要な役割を有していて,真理は,はるかに精緻で興味深いものです。

 以下では,ゴーストのないスペクトルは先に述べた定数aと時空の次元Dのある値においてのみ可能であることを示します。

 

 より綿密に調べるためには,ヴィラソロ演算子の代数を研究することが必要です。

 既に,記事「超弦理論(16)(2-5)」で,ヴィラソロ代数が古典形式ではポアソン括弧(Poisson括弧)[ , ]P.B.によって,[Lm,Ln]P.B.=-i(m-n)Lm+nなる形で与えられることを見ました。

 

 これは量子論ではポアソン括弧を交換子[ , ]に置き換えた[Lm,Ln]=(m-n)Lm+nなる表現に変わります。

 古典形式では,Lm(-1/2)Σn=-∞αm-nαn=0,[αmn]P.B.=imδm+nから,[Lm,Ln]P.B.=(1/4)Σk,lm-kαkn-lαl]P.B.=(i/2)[Σkkαm-kαk+n+Σk(m-k)αm-k+nαk]と変形しましたが,ポアソン括弧[ , ]P.B.を交換子[ , ]の(-i)倍で置き換えれば,ここまでの変形過程は量子論でもそのまま正しいと考えられます。

そして,右辺第1項をΣkkαm-kαk+n=Σk(k-n)αm-k+nαkと変数変換することも,m+n≠0 の場合なら,量子論でも全く問題ないので,m+n≠0 ならΣkkαm-kαk+n+Σk(m-k)αm-k+nαk=Σk(k-n)αm-k+nαk+Σk(m-k)αm-k+nαk=(m-n)Σkαm-k+nαk)としてもいいです。

しかし,m+n=0 に対しては右辺の2つの無限和の各々が量子レベルで正規順序による無限大の不明瞭さを伴なうことがわかります。

Σkkαm-kαk+n+Σk(m-k)αm-k+nαkの2つの無限和の項は,各々がill-defined(定義がまずい)ですから,古典論で[Lm,Ln]P.B.=-i(m-n)Lm+n,量子論で[Lm,Ln]=(m-n)Lm+nを得るために,2つの無限和のうちの1つの和において和を施す添字をシフトする操作はきわめて危険です。

しかし,こうして,m+n=0 に対して[Lm,Ln]=(m-n)Lm+nを示す過程で生じるかもしれない如何なる正規順序の曖昧さも,単にc-数を加減することに帰着するので,[Lm,Ln]=(m-n)Lm+nなる式はA(m)をmに依存するあるc-数として [Lm,Ln]=(m-n)Lm+n+A(m)δm+nなる形に修正さるべきであることが保証されます。

そこで,[Lm,Ln]=(m-n)Lm+n+A(m)δm+nを仮定します。

 

この式でm+n=0 なる関係を保存したまま,m→-mとすればA(-m)=-A(m)を得ます。また,A(0)=0であることもわかります。

 

それ故,正のmについてA(m)を決めれば,全てのmについてのA(m)が決まります。

しかしながらkkαm-kαk+n=Σk(k-n)αm-k+nαkとする仮定での右辺の2つの無限和の正規順序を直接調べることから,A(m)を求めるのは驚くほど扱いにくい作業です。

そこで,とりあえず別の簡単なアプローチでA(m)を求めます。

まず,ヤコービの恒等式:0=[Lk,[Ln,Lm]]+[Ln,[Lm,Lk]]+[Lm,[Lk,Ln]]において,k+m+n=0 とすると(n-m)A(k)+(m-k)A(n)+(k-n)A(m)=0 を得ます。

※なぜなら,0=-[Lk,(n-m)Ln+m]-[Ln,(m-k)Lm+k]-[Lm, (k-n)Lk+n]ですからk+m+n=0 とすると(n-m)A(k)+(m-k)A(n)+(k-n)A(m)=0 です。※

ここで,k=1,m=-n-1を代入すると(2n+1)A(1)-(n+2)A(n)+(n-1)A(n+1)ですからA(n+1)={(n+2)A(n)-(2n+1)A(1)}/(n-1)です。

 

この漸化式はA(1)とA(2)を決めれば,全てのA(n)が決まることを示しています。そこで,A(n)の一般形は2つの未知係数によって決まるはずです。

実際,上の漸化式の一般解はc1,c3を未知定数としてA(m)=c33+c1mで与えられることがわかります。

(訳注27):A(n)=anと書けば,漸化式は(n-1)an+1=(n+2)an-(2n+1)a1です。

 まず,A(0)=0よりa0=0です。そこでan≡nbnとして,これ代入すると,(n-1)(n+1)bn+1=n(n+2)bn-(2n+1)a1です。

 

 そこで,さらにun≡bn/{(n-1)(n+1)}とおくとun-un=-(2n+1)a1/{(n-1)n(n+1)(n+2)}=-a1[1/{(n-1)n(n+1)}+1/{n(n+1)(n+2)}]です。

 

 右辺はさらに(-a1/2)[1/{(n-1)n}-[1/{n(n+1)}]+(-a1/2)[1/{n(n+1)}-[1/{(n+1)(n+2)}]となります。

両辺の階差数列を加えるとun-u2=(-a1/2)[1/2-1/{(n-1)n}]+(-a1/2)[1/6-1/{n(n+1)}]を得ます。

n=bn/{(n-1)(n+1)}を代入すると,bn/{(n-1)(n+1)}-b2/3=-a1/3+(a1/2)[1/{(n-1)n}+1/{n(n+1)}],結局bn=(b2-a1)(n2-1)/3+a1です。

n=nbnを代入し返すと,an=(2a2-a1)(n3-n)/3+na1=c33+c1n,c3=(2a2-a1)/3,c1=(2a2-a1)/3+a1と書けることがわかりました。a1,a2が任意なのでc1,c3も任意です。

 さらに,このA(m)=c33+c1mを(n-m)A(k)+(m-k)A(n)+(k-n)A(m) に代入すれば,(n-m)A(k)+(m-k)A(n)+(k-n)A(m)=-c3(n-m)(m-k)(k-n)(n+m+k)を得るので,(n+m+k)=0 なら(n-m)A(k)+(m-k)A(n)+(k-n)A(m)=0 は確かに満足されています。

 (訳注27終わり)※

 A(m)=c33+c1mの定数c1はL0の定義を定数だけシフトさせることによって変化し得る定数です。これはその他にはヴィラソロ代数を乱さない操作です。

0を定数だけシフトさせることは,また(L0-a)|φ>=0 の定数aをもシフトさせます。それ故,それはaとc1の間の唯一の意味を持つ関係です。

さて,LmとL-mの交換子を非常に注意深く評価することで,正しくアノマリー(異常項)の寄与を得ることができます。特に,c1とc3を決める最も簡単で最も安全な方法は適切な状態での[Lm,L-m]の期待値を計算することです。

これに供する最も便利な状態の選択は,pμ=0 の振動子基底状態|0;0>です。運動量がゼロの状態|0;μ>=|0;0>の選択は,特にα0μ|0;pμ>=α0μ)|0;0>=0 を意味します。

特に,m=1に対しては,<0;0|[L1,L-1]|0;0>=0 を見出します。

 

なぜなら,L1やL-1の全ての項は0-運動量の基底状態を消滅させるからです。

(訳注28):何故なら,[Lm,Ln]=(1/4)Σk,lm-kαkn-lαl]から,<0;0|[L1,L-1]|0;0>=(1/4)Σk,l<0;0|[α1-kαk-1-lαl]|0;0>ですが,α-1-lαl=αlα-1-lです。

 

 l≧0 ならαl|0;0>=0 によってα-1-lαl|0;0>=0,l<0,すなわち-1-l≧0 なら,α-1-l|0;0>=0 によりαlα-1-l|0;0>=0 です。同様に,k≧0 ならαk|0;0>=0,k<0 なら1-k>1>0 より,α1-k|0;0>=0,ですから-1-l≧0 なら<0;0|[α1-kαk-1-lαl]|0;0>=0です。

 

 (訳注28終わり)※

m=2からは,<0;0|[L2,L-2]|0;0>=<0;0|L2-2|0;0>=1/4Σk,l<0;0|[α2-kαk-2-lαl]|0;0>=1/4<0;0|α1,μα-1μα1,να-1ν|0;0>=-(1/2)ημν<0;0|α1μα-1ν|0;0>=(1/2)ημνημν=(1/2)Dを見出します。

     (訳注29):[α2-kαk-2-lαl]=[α2-k,μαkμ-2-l,ναlν]に

恒等式:[AB,CD]=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]

B+C[A,D]Bを適用します。

mμnν]=-mδm+nημνを用いると,第1,4項では交換子がゼロでないのは,k-l=2のときのみで[B,C]=[αkμ-2-l,ν]=-kδμν,[A,D]=[α2-k,μlν]=-(2-k)δμνです。

 

また,第2,3項ではk+l=0 のときのみで,[B,D]=[αkμlν]=-kημν,[A,C]=[α2-k,μ-2-lν]=-(2-k)ημνです。

第1項:A[B,C]Dでは,k-l=2の項を状態|0;0>で挟むと<0;0|A[B,C]D|0;0>=-k<0;0|α2-k,μαk-2μ|0;0>ですが,これはk≧2ではゼロ,k<2では積を交換してゼロにすると,交換子項だけ残って<0;0|A[B,C]D|0;0>=-k<0;0|αk-2μα2-k,μ+[α2-k,μαk-2μ]|0;0>=k(2-k)となります。

一方,第4項C[A,D]Bでは,k-l=2の項を状態|0;0>で挟むと<0;0|C[A,D]B|0;0>=-(2-k)<0;0|α-k,μαkμ|0;0>ですが,これはk≧0ではゼロ,k<0では-k(2-k)の寄与になります。

よって,k≧2に対しては第1,4項の寄与は共にゼロで,k<0では両項の寄与であるk(2-k)と-k(2-k)が相殺されてゼロとなりますから,結局これらからはk=1,l=-1の第1項-<0;0|α1μα-1,μ|0;0>だけがゼロでない寄与を与えます。

第2,3項は,k+l=0の項を状態|0;0>で挟むと<0;0|AC[B,D]|0;0>=-k<0;0|αkμαk-2,μ|0;0>,<0;0|[A,C]DB|0;0>=-(2-k)<0;0|αk-2,μαkμ|0;0>です。そこで,k-2+k=0のときのk=1,l=-1の第2項-<0;0|α1μα-1,μ|0;0>以外はゼロです。

結局k,l<0;0|[α2-kαk-2-lαl]|0;0>=-2<0;0|α1μα-1,μ|0;0>=2ημμ=2δμμ=2Dを得ます。(∵ <0|α1μα-1,μ|0>=<0|a1^μ1^μ|0>=-ημμ)

 

(訳注29終わり)※

得られた2つの値:A(1)=<0;0|[L1,L-1]|0;0>=0,A(2)=<0;0|[L2,L-2]|0;0>=D/2は一般項:A(m)=c33+c1mの係数c1,c3を決めるには十分です。

 

実際に計算することから,c3=-c1=D/12を得ます。つまり,A(m)=(D/12)(m3-m)です。

したがって,アノマリーを含むヴィラソロ演算子の代数は[Lm,Ln]=(m-n)Lm+n+(D/12)(m3-m)δm+nとなることがわかります。

特に,こうしたヴィラソロ代数とアノマリーの構造はL1,L0,L-1だけを生成子とする閉部分代数をリー代数とする線形リー群:SU(1,1)またはSL(2,R)と同型であることに注意しておきます。

途中ですが今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

PS:畠山鈴香さんが「無期は絶対イヤ」と控訴するらしいのは「死刑の方がまだマシ」という意味も含まれていますよね?

 

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2009年4月 3日 (金)

超弦理論(17)(2-6)

超弦理論(superstring theory)の続きです。   

 さて,ボソン弦(Bosonic string)を量子化します。この量子化に際しては既存の理論の中に多くの異なる手続きが見られますが,正しい量子化であれば,それらは全て等価なはずです。

 

 各々の手続きには,それぞれ利点がありますが,それらの関係は必ずしも自明なものではありません。そこで,それら全てに精通することが望ましいと思われます。

 ボソン弦量子化の最初のもの(最古のもの)はヴィラソロ拘束条件(Virasoro constraint)に対応する物理的フォック空間への制限のみを有するXμ座標による記述に基づいています。

そして,このヴィラソロ拘束による制限は量子電磁力学(QED)におけるグプタ・ブロイラー条件(Gupta-Bleuler条件)に類似しています。

量子電磁力学(QED)のグプタ・ブロイラー量子化では古典的拘束:μμ0 が,これの左辺の"∂μμに対応する量子場の演算子の正振動数成分が物理的光子状態を消すべきである"という要求に置き換えられています。

すなわち,古典論での条件∂μμ=0 は量子論では物理的状態|phys>が満たすべき補助条件:∂μμ(+)|phys>=0 に置き換えられています。

現在の共変量子化のアプローチでは,より深い幾何学的基礎があります。それはFPゴースト(Faddeev-Popov ghost)の導入とBRST対称性カレント(BRST symmetry)の確認を含んでいます。そうした方法については次の章で記述する予定です。

 これまでの古典的弦のゲージ固定においては世界面の計量(metric):hαβを平坦な2次元ミンコフスキー(Minkowski)計量ηαβにセットするような再パラメータ化とワイルスケーリング(Weil-scaling)対称性を用いました。

量子論では,この手続きの正当性について,より注意深く考える必要があります。ワイルスケーリング対称性は,hαβに関して作用を変化させるエネルギー運動量テンソルTαβのトレース(対角和)がゼロということに責任があります。

 

そして,一般に量子論ではTαβのトレースにアノマリー(異常値)を生じます。

そして,このアノマリーは非常に特殊な条件下でのみ相殺されます。

 

歴史的には,この問題への最初のアプローチは"如何にすればアノマリーに苦しむことなくhαβ=ηαβと置くことができるか?"という問題を伴なっていました。

 

それに続く解析は,多くの骨折りの後に,時空の次元Dと基底状態の質量に,ある矛盾のない要請を課したときにのみ,満足のいく理論の出現が可能なことを示しました。

 アノマリーを避ける方法としては光(円)錐量子化という手法もあります。これは計量hαβ=ηαβからスタートして,さらにゲージの制限を課す非常に物理的なアプローチです。

 

 この手法でも,結局は質量と時空の次元Dに対して同じ制限に導かれます。これの詳細についても後述する予定です。

 また,別の共変的アプローチによれば,時空次元Dと質量パラメータaに課されるこの同じ条件はトレース・アノマリーの相殺のための条件と解釈することが可能なことを示しています。

 我々は最も伝統的なアプローチから始めます。まず,量子論において計量をhαβ=ηαβとおくことからスタートし,それからそれの導くところを探究してゆきます。

すぐ前の記事では,このゲージにおける古典弦の力学が作用積分S=-(T/2)∫d2σααによって記述されることを示しました。

 

そして,これは拘束条件:T++=T--=0 に対応する補助条件(d±')2=0 と適切な開弦,または閉弦の境界条件によって補完されていました。

 古典物理学から量子物理学へと移行する標準的な方法はポアソン括弧(Posson)括弧:[ ]P.B.を交換子括弧(commutator):[ ]に置き換えることでなされます。

 

 すなわち,[ ]P.B.→-i[ ]とするわけです。これは,[ ]P.B.~ -i[ ],または[ ]~ i[ ]P.B.の読み換えを意味します。

以前の記事ではXμに共役な運動量はPτμ=TXμdで与えられることを見ました。これは厳密には運動量カレントのτ成分です。

 

そこで,古典論の正準ポアソン括弧は[Xμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=[Xμd(σ,τ),Xνd(σ',τ)]P.B.=0 ,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1ημνδ(σ-σ')Xμとなります。

 

μを量子演算子と解釈して,これを量子論での正準交換関係に読み換えます。

すなわち,Pτμ=TXμdにより,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1δ(σ-σ')ημνは,[Pτμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=δ(σ-σ')ημνを意味しますが,これは量子論では[Pτμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]=iδ(σ-σ')ημνに置き換わります。

さらに,[pμ,xν]=iημνなので,モード展開の係数の調和振動子の代数は古典論では,開弦で[αmμnν]P.B.=imδm+nημν,閉弦で[αmμnν]P.B.=[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημν,[αmμ,α~nν]P.B.=0 ですが,

 

量子論では,[ ]=i[ ]P.B.とすることにより,開弦では[αmμnν]=-mδm+nημν,閉弦では[αmμnν]=[α~mμ,α~nν]=-mδm+nημν,[αmμ,α~nν]=0 と変わります。

 この,αmmμ}に対する交換関係:[αmn]=-mδm+nから,これらの演算子αm={αmμ}は自然にmの負,正に応じてmを上げ下げする調和振動子の昇降演算子であると解釈できます。

 

 つまり,各々のm>0 についてαmμ-mμは規格化された調和振動子の昇降演算子am^μ,am^+μと,αmμ≡m1/2m^μ-mμ≡m1/2m^+μによって関連付けられると考えるわけです。

 

 振動子の基底状態:|0>は,全てのm>0 のαmμによって消滅さるべき状態であると定義されます。

 

 ただし,実際には振動子が基底状態にあることを指定するだけでは,弦の状態は決定されません。

後の表記では,状態がm>0 のαmμによって消滅さるべき状態であることに特に言及したいときには,それの持つ重心運動量をpμとして|0;pμ>などと表わします。

 

このときに,根本的に重要な点は基底状態:|0>に生成演算子am^+μを作用させて得られるフォック空間は正定値ではないことです。

 

つまり,[αm0-m0]=-mによって時間成分の交換関係は通常とは異なるマイナス符号を取り,[am^0,am^+0]=-1となります。

 

そこで,am^+0|0>の形の状態は<0|am^0m^+0|0>=-1となって負のノルムを持つわけです。

許される弦の状態だけで構成される物理的空間は,負ノルムも含んだ完全なフォック空間の部分空間であると考えます。

 

この部分空間はある補助条件によって指定されますが,矛盾のない因果的理論を得るためには,この物理的部分空間には通常ゴ-ストと呼ばれる母空間の負ノルム状態が含まれないことが必要です。

ところで,古典論における補助条件(拘束条件)はエネルギー運動量の成分++とT--がゼロになって消えることでした。

 

そして,T++,T--の周波数展開での"フーリエ・モード=展開係数"はヴィラソロ(Virasoro)生成子:Lmを与え,補助条件はLmが消えることと同等であることがわかりました。

ヴィラソロ生成子は,開弦ではLm(T/2)∫0πdσ[exp(imσ)T+++exp(-imσ)T--]で定義され,閉弦ではLm≡(T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)T--]=(-T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)(Rd)2],L~m≡(T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)T++]=(-T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)(Ld)2]dσで定義されます。

そして,これらの量のモード展開は,開弦ではLm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn,閉弦ではLm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn,L~m=(-1/2)Σn=-∞α~m-nα~nとなります。

 古典論では,αmμは単なる数なので,αm-n,μαnνのような積は全て可換で,αm-n,μαnν=αnναm-n,μとなることなどは当然として計算しました。

 

 しかし,量子論ではαmμを演算子と考えるので,積の順序に曖昧さが存在することを解決する必要があります。

古典論から得られたLm(-1/2)Σn=-∞αm-nαnなる表現を,量子論に読み換えるとき,交換関係:[αmn]=-mδm+nが成立することを考慮すると,右辺各項αm-nαnの因子αm-nはm=0 以外では因子αnと交換するので,積の順序の曖昧さが生じるのはL0における表現のみであることがわかります。

 そして,今のところは,L0の表現における曖昧さを解消する自然な方法を全く考えられない段階なので,L0は単に正規順序表現で与えられると定義します。

すなわち,古典論の表現L0=(-1/2)Σn=-∞α-nαnにおいて,右辺のn<0 のα-nαnの項をαnα-nで置き換えて,量子論ではL0≡(-1/2)α02-Σn=1α-nαnと定義します。

 

このとき,正規順序を取ったせいで,L0の値に任意定数の不明瞭さが存在し得るので,L0を含むあらゆる式に,この仮想定数(実はゼロの可能性もある)を加える必要があります。

古典論ではL0を含む拘束の重要な例は,許される弦の運動に対してL0が消えねばならないという要請ですが,この要請の最も素朴な量子力学的アナロジーはL0が物理的状態を消滅させるという命題であろうと考えられます。

しかし,上に述べたように,量子論ではL0は正規順序の不明瞭さのために未決定の定数aを含みます。 

 

そこで,この要請は,"物理的状態:|φ>であれば条件:(L0-a)|φ>=0 を満たさねばならない"という要請になります。

古典論で行なったL0のモード展開では,開弦ではL0(-1/2)Σ-∞α-nαn=-l22/2-Σn=1α-nαn=-α'M2-Σn=1α-nαnとなること,およびL0=0 となるという拘束条件から,弦の平方質量M2について,M2=(-1/α')Σn=1α-nαnを満たすべきであるという重要な等式でした。

今の量子論の場合には,拘束条件は(L0-a)|φ>=0 です。これはL0=aを意味するので,特にα'≡1/2とすると,平方質量M2が満たすべき等式は,M2=-2a-2Σn=1α-nαnと変更されます。

 

この式の右辺第2項の(-Σn=1α-nαn)の固有値は明らかに非負の整数なので,これは開弦の基底状態の平方質量が-2aであり,そこからの励起は-2aより2の倍数だけ大きい任意の値の平方質量を持つことを意味します。

一方,閉弦では,|φ>が物理的状態であるための条件は(L0-a)|φ>=0,かつ(L~0-a)|φ>=0 となります。

 

α'≡1/2では,a=L0=-M2/8-Σn=1α-nαn,かつa=L~0=-M2/8-Σn=1α~-nα~nですから,M2=-8a-8Σn=1α-nαn,かつM2=-8a-8Σn=1α~-nα~nなる等式を得ます。

閉弦の平方質量が開弦のそれの4倍であるという事実は,第1章では別の方法で説明しました。

 

すなわち,スピンがゼロのタキオンの頂点演算子exp(-ikX)は閉弦では次元2を持つべきですが,これの異常次元は-k2/4で与えられ,開弦ではこれは次元1を持つべきですが,異常次元は-k2/2であるという事実からこれが説明されました。

これは,2008年12/14の記事「超弦理論(9)(タキオン(続き)と重力子の散乱振幅)」,および2009年1/6の記事「超弦理論(10)(開弦とチャン・パトン因子)」において記述しています。

 

そして,閉弦においてはM2=-8a-8Σn=1α-nαnから,M2=-8a-8Σn=1α~-nα~nを引き算する,または,同じことですが(L0-L~0)|φ>=0 なる拘束を課せば,Σn=1α-nαn=Σn=1α~-nα~nであることがわかります。

 

他の,m≠0 のヴィラソロ生成子Lm,L~mはT++,T--の明確なゼロでない周波数の項に対応していますが,これも量子電磁力学(QED)におけるグプタ・ブロイラーの扱いと同じく,古典論でこれらが消えることは量子論では正振動数成分が物理的状態を消滅させるというより弱い要請に置き換えられます。

すなわち,Lm|φ>=0,m=1,2,..なる要請です。

これらの条件は,適切な積の順序の規約で正と負の両方のmに対して演算子(m-aδm0)を物理的状態のペアで挟んだ行列要素が全てゼロになることを保証するには十分です。

これを見るために,|φ>,|χ>を(L0-a)|φ>=0,(L0-a)|χ>=0,Lm|φ>=0,Lm|χ>=0,m=1,2,..に従う任意の状態であるとして<χ|Ln1n2..Lnp|φ>なる表現を考えます。

 

ただし,Ln1,Ln2,..,Lnpの添字n1,n2,..,npのうちの1つのnkがnk=0 なら対応するL0はL0-aで置き換えることにします。

一般にLnは交換しないので,行列要素<χ|Ln1n2.Lnp|φ>の値は演算子:Ln1,Ln2,..,Lnpの順序に依存します。

 

しかし,もしも演算子Lnkの添字nkが正の数のときのLnkは右側に,nkが負の数のときのLnkは左側に配置されるよう規定すれば,|φ>,|χ>が物理的状態であるための規約:(L0-a)|φ>=0,(L0-a)|χ>=0,Lm|φ>=0,Lm|χ>=0,m=1,2,..とエルミート性L-m=Lmのおかげで,全ての行列要素<χ|Ln1n2..Lnp|φ>はゼロになる:消えることがわかります。

これは,量子レベルで許される"弦の古典運動に対してLnが全てゼロになる"という古典命題へと到達できる最近接の命題です。

しかし,異常な交換関係が存在するなら,これら全てのLnによって消滅させられる状態を見出すことは不可能となります。

0の交換関係から生じるアノマリーに向かう前に,ここで積の順序の曖昧さが全くない弦の角運動量演算子についても,まとめておきます。

以前の記事「超弦理論(15)(2-4)」で見たように,弦の角運動量はJμν=T∫0πdσ[{Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)}|τ=0]で与えられます。

そして,lμν=xμν-xνμを弦の重心の角運動量とするとき,角運動量のモード展開は,開弦ではJμν=lμν+Eμν,Eμν=-iΣn=1{(α-nμαnν-α-nναnμ)/n},閉弦ではJμν=lμν+Eμν+E~μν,Eμν=-iΣn=1{(α-nμαnν-α-nναnμ)/n},E~μν=-iΣn=1{(α~-nμα~nν-α~-nνα~nμ)/n}となることを見ました。

開弦での表現では,Jμν=xμν-xνμn=1{(α-nμαnν-α-nναnμ)/n}ですが,一見してこれには順序の曖昧さがないので明瞭な量子演算子と解釈できます。

正準交換関係を用いて,次のポアンカレ代数が満足されることを証明するのはそれほどむずかしいことではありません。

 

ポアンカレ代数は,[Pμ,Pν]=0,[Pμ,Jνρ]=iημνρ,[Jμν,Jρλ]=iηνρμλ-iημρνλ-iηνλμρ+iημλνρです。

(訳注25):上のポアンカレ代数の最後の交換関係[Jμν,Jρλ]の表式のみ証明しておきます。

交換子[Jμν,Jρλ]にモード展開を代入すると[Jμν,Jρλ]=[xμν-xνμ-iΣm=1{(α-mμαmν-α-mναmμ)/m},xρλ-xλρ-iΣn=1{(α-nραnλ-α-nλαnρ)/n}]=[xμν-xνμ,xρλ-xλρ]-Σm=1Σn=1{1/(mn)}[α-mμαmν-α-mναmμ-nραnλ-α-nλαnρ]となります。

そして,[xμν,xρλ]=xμ[pν,xρ]pλ+xρ[xμ,pλ]pν=iηνρμλ-iημλνρ=より,[xμν-xνμ,xρλ-xλρ]=iηνρ(xμλ-xλμ)+iημλ(xνρ-xρν)-iηνλ(xμρ-xρμ)-iημρ(xνλ-xλν)です。

また,[α-mμαmν-nραnλ]=α-mμmν-nρnλ+α-nρ-mμnλmν=-mδm-nνρα-mμαnλ-ημλα-nραmν)なので,Σm,n=1{1/(mn)}[α-mμαmν-α-mναmμ-nραnλ-α-nλαnρ]=(-i)Σn=1(1/n){iηνρ-nμαnλ-α-nλαnμ)-iημρ-nναnλ-α-nλαnν)-iηνλ-nμαnρ-α-nραnμ)+iημλ-nναnρ-α-nραnν)}です。

結局, [Jμν,Jρλ]=[xμν-xνμ,xρλ-xλρ]-Σm,n=1{1/(mn)}[α-mμαmν-α-mναmμ-nραnλ-α-nλαnρ]=iηνρ{xμλ-xλμ-iΣn=1(1/n)(α-nμαnλ-α-nλαnμ)}-iημρ{xνρ-xρν-iΣn=1(1/n)(α-nναnλ-α-nλαnν)}-iηνλ{xμρ-xρμ-iΣn=1(1/n)(α-nμαnρ-α-nραnμ)}+iημλ{xνρ-xρν-iΣn=1(1/n)(α-nναnρ-α-nραnν)}=iηνρμλ-iημρνλ-iηνλμρ+iημλνρが得られます。(訳注25終わり)※

 ネーター・カレントから得られたポアンカレ生成子の構成が(ポアソン括弧による)ポアンカレ代数を満たすことは,古典的には保証されていますが,この代数を量子力学的にチェックすることで,アノマリーの存在の可能性を調べることができます。

 

 開弦で例示しましたが,閉弦の角運動量の交換子ももちろんアノマリー無しでポアンカレ代数を満足することがわかります。

 

 そして,[Lm,Jμν]=0 なので,物理的状態であるための条件はローレンツ変換の下で不変であり,それ故,物理的状態がローレンツ多重項を形成することが保証されます。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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2009年4月 2日 (木)

肉じゃがを作りました。

 カレーを作ったときの材料が残っていたので肉じゃがを2人前ほど作ってみました。ただし,にんじん無しで肉は牛バラ肉150gを買ってきました。

 冷蔵庫にみりんがなかったので砂糖,酒,しょうゆの味付けだけでしたが,つい水を入れすぎて,カレーじゃないんだとあわてて捨てましたが,それでも味が薄くなってしまいました。

 夕食のごはんのオカズには薄味でしたが,後で単独で夜食に食べたときには十分の味でしたね。。

 次は,私好みの味の濃いものを作りたいと思います。

PS:昨日4月1日は世間じゃ「エイプリル・フール」ですけど,丁度高校生になる昭和40年(1965年)の春4月1日が私の父親が46歳で亡くなった日なので,その15歳の春からは,「エイプリル・フール」という感覚より,父の命日という感覚のほうが強くなりました。

 そういえば,丁度その日は平松投手を擁して父の母校が選抜高校野球で優勝した日でもあります。

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