超弦理論(23)(2-12): TOSHIの宇宙

2009年5月27日 (水)

超弦理論(23)(2-12)

　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　ずいぶん間が空きましたが,またまた,超弦理論でツナギです。

　前記事の最後で述べたゼータ関数正則化の幾分発見的な手法の示すところは,光錐(light-cone)定式化のローレンツ共変性が,ａ＝１,Ｄ＝26なる条件を要求することでした。

　以下では,ローレンツ生成子Ｊ^μνの体系的研究により,こうした条件ａ＝１,Ｄ＝26が実際にローレンツ不変性にとって必要十分であることを厳密に証明します。

さて,Ｄ次元の"ローレンツ生成子＝角運動量演算子":Ｊ^μνは以前に次の形で定義しました。　

すなわち「超弦理論(15)(2-4)」において,Ｊ^μν＝ｌ^μν＋Ｅ^μν,

ｌ^μν＝ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ, Ｅ^μν＝－iΣ_n＝1^∞[(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ]と定義しました。

今の,光錐ゲージではゲージがローレンツ不変でないので,座標へのローレンツ変換の効果はゲージに敏感なものでなければなりません。

変換の幾つかは,＋方向を他の方向に回転し,そこでゲージ条件を復元するためには,再パラメータ化(これもゲージ変換です)を実行する必要があります。

これを補償再パラメータ化と呼びます。

ゲージ条件に影響する変換はＪ^＋－とＪ^i－によって生成されるはずです。そして,これらは潜在的にアノマリーを有する変換であろうと予期されます。

このアノマリーを相殺させることが,ａとＤにある種の制限を与えると予想されます。

残りの,ローレンツ生成子Ｊ^ij(ｉ,ｊ＝1,2,...,Ｄ－2)は,光錐ゲージの持つ明白な対称性であるＳＯ(Ｄ－2)を生成する横波空間に関連したものです。

まず,任意の再パラメータ化ξ^α(σ,τ)を許しながら,古典論での座標への無限小ローレンツ変換に対する一般的表現を考えます。

これはδＸ^μ(σ,τ)＝ａ^μ_νＸ^ν(σ,τ)＋ξ^α(σ,τ)∂_αＸ^μ(σ,τ)です。ただし,ξ^αはゲージ条件ｈ_αβ＝η_αβと両立するように制限されています。

この制限は,既に述べたように,ξ^αが∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβを満足すべきことを意味します。

一方,ゲージ条件Ｘ^＋(σ,τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τは,新座標系でもこれが保持されるために,δＸ^＋＝ａ^＋_νｘ^ν＋ａ^＋_νｐ^ντ＝ａ^＋_ν(ｘ^ν＋ｐ^ντ)に従って変換されることを要求します。

なぜなら,ゲージ条件Ｘ^＋＝ｘ^＋＋ｐ^＋τはδＸ^＋＝δｘ^＋＋δｐ^＋τなら保持されますが,δｘ^μ＝ａ^μ_νｘ^ν,δｐ^μ＝ａ^μ_νｐ^νより,δｘ^＋＝ａ^＋_νｘ^ν,δｐ^＋＝ａ^＋_νｐ^νですから,δＸ^＋＝δｘ^＋＋δｐ^＋τはδＸ^＋＝ａ^＋_ν(ｘ^ν＋ｐ^ντ)を意味するからです。

一方,δＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^ν＋ξ^α∂_αＸ^μより,δＸ^＋＝ａ^＋_νＸ^ν＋ξ⁰∂₀Ｘ^＋＋ξ¹∂₀Ｘ^＋＝ａ^＋_νＸ^ν＋ξ⁰δｐ^＋です。

そこで,δＸ^＋＝ａ^＋_ν(ｘ^ν＋ｐ^ντ)はａ^＋_νＸ^ν＋ξ⁰ｐ^＋＝ａ^＋_ν(ｘ^ν＋ｐ^ντ)＝ａ^＋_νｘ^ν(τ)となります。ただし,ｘ^μ(τ)≡ｘ^μ＋ｐ^μτです。

したがって,ξ⁰＝ａ^＋_ν{ｘ^ν(τ)－Ｘ^ν(σ,τ)}/ｐ^＋によって変換のパラメータ成分ξ⁰が決まります。

そして,∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβより∂₀ξ¹－∂₁ξ⁰＝0 ですから,ξ¹＝∫^τｄτ'(∂ξ⁰/∂σ)によりξ¹も決まります。

これらの,座標Ｘ^νの１次関数であるξ^αの表現をδＸ^μ(σ,τ)＝ａ^μ_νＸ^ν(σ,τ)＋ξ^α(σ,τ)∂_αＸ^μ(σ,τ)に代入すると,非共変なゲージ固定を考慮したローレンツ変換の作用形式が得られます。

新しい重要な特徴は,ξ^αがＸ^νについて１次なので,ａ^＋_iを伴なうそうしたローレンツ変換が横座標Ｘⁱに非線形に作用することです。

量子論では,そうした双線形項はローレンツ代数でアノマリー源となる可能性があり,それを正規順序(normal-ordering)等で処理する必要があるかどうか?という繊細な争点を生み出します。

それ故,Ｊ^μν＝ｌ^μν＋Ｅ^μν,ｌ^μν＝ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ,Ｅ^μν＝－iΣ_n＝1^∞[(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ]なる表現の生成子が,本当に正しくローレンツ代数:[Ｊ^μν,Ｊ^ρλ]＝iη^νρＪ^μλ－iη^μρＪ^νλ－iη^νλＪ^μρ＋iη^μλＪ^νρを生成するかどうか？をチェックすることが重要になります。

交換子のほとんどは直線的にチェックできて,如何なるＤに対しても正しい答を与えることがわかります。

しかし,Ｊ^i－の変換については注意が必要であると予期されます。

特に交換子:[Ｊ^i－,Ｊ^j－]はローレンツ不変性が成り立つなら消えてゼロとなる必要があります。しかし,特殊な制限下を除いてアノマリーに導きます。

※(訳注51):[Ｊ^μν,Ｊ^ρλ]＝iη^νρＪ^μλ－iη^μρＪ^νλ－iη^νλＪ^μρ＋iη^μλＪ^νρをが成立するとします。

　まず,Ｊ^i－＝(Ｊⁱ⁰－Ｊ^i,D-1)/2^1/2ですから,1≦ｉ,ｊ≦Ｄ－2 に対して[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝(1/2)[Ｊⁱ⁰－Ｊ^i,D-1,Ｊ^j0－Ｊ^j,D-1]＝(1/2){[Ｊⁱ⁰,Ｊ^j0]＋[Ｊ^i,D-1,Ｊ^j,D-1]}となります。

(なぜなら,[Ｊⁱ⁰,Ｊ^j,D-1]＝[Ｊ^i,D-1,Ｊ^j0]＝0 です。)

そして,[Ｊⁱ⁰,Ｊ^j0]＝－iη⁰⁰Ｊ^ij＝－iＪ^ij,[Ｊ^i,D-1,Ｊ^j,D-1]＝－iη^D-1,D-1Ｊ^ij＝iＪ^ijです。

そこで,確かに[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝0 となることが必要です。

(訳注51終わり)※

さて,光錐ゲージではＥ^μ＋＝Ｅ^＋μ＝0 です。

一方,Ｅ^i－はα_n^－の光錐ゲージでの展開:α_n^－＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａδ_n]を代入すると,横波振動子について３次式になります。

結果として,交換子[Ｊ^i－,Ｊ^j－]は６次ですが,高次の項は相殺されて,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}(係数Δ_mはｃ-数)なる形になり,振動子の２次の項で表わせることがわかります。

※(訳注52):(証明)Ｊ^i－＝ｌ^i－＋Ｅ^i－＝ｘⁱｐ^－－ｘ^－ｐⁱ－iΣ_n=1^∞[(α_-nⁱα_n^－－α_-n^－α_nⁱ)/ｎ], α_n^－＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａδ_n],ｐ^－＝α₀^－です。

そして,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝[ｌ^i－,ｌ^j－]＋[ｌ^i－,Ｅ^j－]＋[Ｅ^i－,ｌ^j－]＋[Ｅ^i－,Ｅ^j－]です。

　特に,４つ以上の振動子を含んで６次の項となるのは交換子[Ｅ^i－,Ｅ^j－]です。

これは,[Ｅ^i－,Ｅ^j－]＝－Σ_n,m=1^∞({1/(ｎｍ)}[α_-nⁱα_n^－－α_-n^－α_nⁱ,α_-mⁱα_m^－－α_-m^－α_mⁱ])＝－(1/ｐ^＋)²Σ_n,m=1^∞({1/(4ｎｍ)}[Σ_s=-∞^∞Σ_k=1^D-2{α_-nⁱ:α_n-s^kα_s^k:－:α_n-s^kα_s^k: α_-nⁱ},Σ_t=-∞^∞Σ_l=1^D-2{α_-m^j:α_m-t^lα_t^l:－:α_m-t^lα_t^l:α_-m^j}]です。

これは,確かにα_nⁱの６次の項になります。

特に,[Ｅ^i－,Ｅ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_n,m=1^∞({1/(ｎｍ)}[α_-nⁱｐ^＋α_n^－－ｐ^＋α_-n^－α_nⁱ,α_-mⁱｐ^＋α_m^－－ｐ^＋α_-m^－α_mⁱ])と書きます。

既に,[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_n^－]＝(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_m+n^－＋Ａ(ｍ)δ_m+nであり[ｐ^＋α_n^－,α_m^j]＝－ｍα_n+m^j,or [α_nⁱ,ｐ^＋α_m^－]＝ｎα_n+mⁱであることを知っています。

交換子の恒等式:[ＡＢ,ＣＤ]＝Ａ[Ｂ,Ｃ]Ｄ＋ＡＣ[Ｂ,Ｄ]＋[Ａ,Ｃ]ＢＤ＋Ｃ[Ａ,Ｄ]Ｂを使用します。

そうして,具体的に[Ｅ^i－,Ｅ^j－]を計算すると,[Ｅ^i－,Ｅ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_n,m=1^∞({1/(ｎｍ)}[ｍα_-nⁱα_n-m^jｐ^＋α_m^－＋(ｎ－ｍ)α_-nⁱｐ^＋α_m+n^－－ｎα_-mⁱα_m-n^jｐ^＋α_m^－＋ｐ^＋α_-n^－ｎα_n-mⁱα_m^jｐ＋

(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_-n-m^－α_m^jα_nⁱ－ｐ^＋α_-m^－ｍα_m-n^jα_nⁱ－α_-nⁱ{(ｎ＋ｍ)ｐ^＋α_n-m^－＋Ａ(ｎ)δ_n-m}α_m^j＋α_nⁱｐ^＋α_-m^－ｍα_n+m^j＋

ｎα_n+mⁱα_m^jｐ^＋α_n^－＋ｐ^＋α_-m^－ｐ^＋α_n^－ｎδ_m-nδ^ij－ｎδ_n-mδ^ijｐ^＋α_-n^－ｐ^＋α_m^－－ｐ^＋α_-n^－α_-m^jｎα_n+mⁱ－ｍα_-n-m^jｐ^＋α_m^－α_nⁱ＋α_m^j{(ｎ＋ｍ)ｐ^＋α_m-n^－＋Ａ(ｍ)δ_m-n}α_nⁱ])となります。

Ｅ^i－＝－iΣ_n=1^∞[(α_-nⁱα_n^－－α_-n^－α_nⁱ)/ｎ]＝(－i/2)Σ_n≠0[(:α_-nⁱα_n^－:－:α_-n^－α_nⁱ:)/ｎ]と書けるので,α_nとα_-nの順序を気にせずｎと－ｎの変換が許されます。

また,ｎ－ｍ→－ｍなどの変換も,ｎ,ｍが単なるパラメータなので許されます。

そこで,ｐα^－の添字をｐ^＋α_m+n^－に,αⁱをα_-nⁱにα^jをα_-m^jにそれぞれ添字を統一すると,{－(ｐ^＋)²][Ｅ^i－,Ｅ^j－]＝Σ_n,m≠0{(1/ｍ)(ｐ^＋α_m+n^－α_-nⁱα_-m^j＋α_-m^jα_-nⁱｐ^＋α_m+n^－－α_-nⁱｐ^＋α_m+n^－α_-m^j－α_-m^jｐ^＋α_m+n^－α_-m^j)}－Σ_n0{Ａ(ｎ)(α_-nⁱα_n^j－α_-n^jα_nⁱ)/ｎ²]と書けます。