水の波(3)(定在波,定常波)

水の波のつづきです。今日は,まず定在波を考えます。

　これまで主として考えてきた波は,速度ポテンシャルがΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝φ(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)で与えられ,ｘ方向に位相速度ｃ＝ω/ｋで伝わる単一正弦波でした。

　ここでは,位相速度ｃが正のｃ＝ω/ｋ＞0 の正弦波と,位相速度が－ｃ＜0 の進行方向が正反対の波を重ね合わせたもの:Φ(ｘ,ｚ,　ｔ)＝φ₁(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)＋φ₂(ｚ)cos(ｋｘ＋ωｔ)を考えます。

　これもこれまでの単一正弦波と同じｋを持つ∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 の解です。そして,φ₁(ｚ),およびφ₂(ｚ)はｄ²φ₁/ｄｚ²－ｋ²φ₁＝0,およびｄ²φ₂/ｄｚ²－ｋ²φ₂＝0 の解です。

水面波の形η(ｘ,ｔ)はη(ｘ,ｔ)＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)_ｚ=0で与えられます。

前の記事では,これにΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝φ(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ),φ(ｚ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}を代入して,η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ),Ａ≡－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ)を得ました。

今の重ねあわせポテンシャルΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝φ₁(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)＋φ₂(ｚ)cos(ｋｘ＋ωｔ)では,正負の向きの波の振幅が同一:φ₁(ｚ)＝－φ₂(ｚ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}で,Ａ/2≡－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ)と仮定して代入すると,η(ｘ,ｔ)＝(Ａ/2){sin(ｋｘ－ωｔ)＋sin(ｋｘ＋ωｔ)}＝Ａsin(ｋｘ)cos(ωｔ)となります。

　そして,このときには速度ポテンシャルΦもΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}{cos(ｋｘ－ωｔ)－cos(ｋｘ＋ωｔ)}＝{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ)sin(ωｔ)と書けて,空間と時間が分離した関数形になります。

ここで,Ａ/2＝－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ),かつω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2により,正負の向きの２つの正弦波の共通の位相速度の大きさｃがｃ＝ω/ｋ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＞0 で与えられますから,2Ｃ＝－Ａｇ/{ωcosh(ｋｈ)}＝－Ａ/{sinh(ｋｈ)}{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝－Ａｃ/{sinh(ｋｈ)}となることを用いました。

そして,水の運動方程式はｄｘ/ｄｔ＝ｕ＝∂Φ/∂ｘ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ)sin(ωｔ),ｄｚ/ｄｔ＝ｗ＝∂Φ/∂ｚ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ)sin(ωｔ)sin(ωｔ)となります。

前の記事と同じく,動点の座標(ｘ,ｚ)を,その１周期での平均値(ｘ₀,ｚ₀)を用いてｘ＝ｘ₀＋(ｘ－ｘ₀),ｚ＝ｚ₀＋(ｚ－ｚ₀)と書き,そこからの差(ｘ－ｘ₀),(ｚ－ｚ₀)の２次以上の微小量を無視した微小振幅波の近似をします。この近似ではＡ自身も１次の微小量です。

この近似で運動方程式を解いて水の運動を求めると,ｘ＝ｘ₀＋{Ａ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}cos(ｋｘ₀)cos(ωｔ),ｚ＝ｚ₀＋{Ａ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}sin(ｋｘ₀)cos(ωｔ)となります。

一方,水面の運動は式η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ)cos(ωｔ)により,ｘ＝ｎπ/ｋ(ｎは整数)の点で振幅がゼロとなり,ｘ＝(ｎ＋1/2)π/ｋ(ｎは整数)の点で振幅が最大になります。

この水面波での振幅がゼロの点を波の節,振幅が最大の点を波の腹といいます。

波の波長をλとすると,波数はｋ＝2π/λで与えられますから,波の節のｘ座標はｘ＝ｎπ/ｋ＝ｎλ/2,腹のｘ座標はｘ＝(ｎ＋1/2)π/ｋ＝(ｎ＋1/2)λ/2とも書けます。

いずれにしても,これら節や腹を含め振幅が一定であるような点は,一般の進行波のように空間的に移動せず定位置にあります。このような波を定在波と呼びます。

そして,水中の水の運動はｘ－ｘ₀＝[Ａ/sinh(ｋｈ)]cosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}cos(ｋｘ₀)cos(ωｔ),ｚ－ｚ₀＝{Ａ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}sin(ｋｘ₀)cos(ωｔ)ですから,波の節の位置ｘ₀＝ｎπ/ｋ(ｎは整数)では水平運動だけ,波の腹の位置ｘ₀＝(ｎ＋1/2)π/ｋ(ｎは整数)では鉛直運動だけです。

また,節でも腹でもない一般のｘ＝ｘ₀の位置の付近では,ある一定の傾きで直線的な単振動をします。

波の腹に対応する鉛直面ｘ＝(ｎ＋1/2)π/ｋ＝(ｎ＋1/2)λ/2において水は鉛直運動のみを行なうことから,腹の鉛直面を固体平面の境界で置き換えても,この境界の上での完全流体の境界条件ｕｎ＝0 は定在波によって自動的に満足され波の形は乱されません。

　そこで,この定在波はｘ＝(ｎ＋1/2)λ/2の位置にある２枚の鉛直固体壁と水底の水平面で仕切られた容器の中の水の振動と同一視することができます。

それ故,容器中にｘ方向の定在波が存在し得るためには容器のｘ方向の幅が波の半波長λ/2の自然数倍であればいいことになります。

あるいは,逆に容器の幅がＬで与えられたなら,この中では波長がλ＝2Ｌ/ｎ(ｎは自然数)で与えられる定在波のみが存在可能です。

こうした定在波をこの容器での固有振動と呼びます。この振動の波長λ＝2Ｌ/ｎを固有波長と呼びます。

これに対応する角振動数ω＝2πｆは,ｋ＝2π/λ＝ｎπ/Ｌ＝ω/ｃより,ω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2＝{(ｎπｇ/Ｌ)tanh(ｎπｈ/Ｌ)}^1/2となります。このωを固有角振動数,ｆ＝ω/(2π)を固有振動数といいます。

定在波としては,上述のような１次元の波に限らず,ｙ軸を復活させてｘｙ平面内の任意の閉曲線Ｃで囲まれた領域内における２次元の波を考えることができます。

この２次元波の問題は,ｘｙ平面の閉曲線Ｃの固体壁と水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で与えられる容器の境界面の上での境界条件ｕ_n＝ｕｎ＝∂Φ/∂ｎ＝0 ,および自由水面上:ｚ＝0 での境界条件∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 を満たすラプラス方程式∇²Φ＝∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 の解を求める問題に帰着します。

これを一般的なケースについて解くのは面倒ですが,水深ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)が一定の長波(浅水波)の場合には取り扱いが著しく簡単になります。

長波(浅水波)の近似では,ｈ＜＜λですから∇²Φ＝∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 を－ｈ≦ｚ≦0 にわたってｚで定積分する際,ｚの微分を含まない項はｚに依らず一定と考えられます。

そして,水底ｚ＝－ｈでの境界条件:ｕ_n＝ｕｎ＝∂Φ/∂ｎ＝0 は(∂Φ/∂ｚ)_z=-h＝0 を意味します。それ故,ラプラス方程式をｚで定積分した結果として,(∂Φ/∂ｚ)_z=0＝－ｈ(∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²)が得られます。

これに,水面ｚ＝0 での境界条件∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0を代入すると,∂²Φ/∂ｔ²＝ｃ²(∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²),ｃ≡(ｇｈ)^1/2が得られます。最後の式においては,もはや速度ポテンシャルΦはｚに依らず,Φ＝Φ(ｘ,ｙ,ｔ)と書いてよいと考えています。

得られた方程式:∂²Φ/∂ｔ²＝ｃ²(∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²)は２次元の波動方程式であり,これに対する境界条件はｘｙ平面内の閉曲線Ｃの上で∂Φ/∂ｎ＝0です。ただし,ｎはＣ上のの各点におけるＣの法線方向です。

そこで,Φの定在波解をΦ(ｘ,ｙ,ｔ)≡φ(ｘ,ｙ)cosωｔと置いて波動方程式∂²Φ/∂ｔ²＝ｃ²(∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²)に代入すると,∂²φ/∂ｘ²＋∂²φ/∂ｙ²＋ｋ²φ＝0,ｋ≡ω/ｃを得ます。

これは２次元のヘルムホルツ(Helmholtz)方程式です。これは閉曲線Ｃの形に応じた座標系での変数分離で解けます。

Ｃが簡単な長方形境界の場合,その中心を原点に取ってＣを示す辺をｘ＝±ａ/2,ｙ＝±ｂ/2(ａ,ｂ＞0)で表わせば,境界条件はｘ＝±ａ/2で∂φ/∂ｘ＝0,ｙ＝±ｂ/2で∂φ/∂ｙ＝0となり,このときの解はφ(ｘ,ｙ)＝Ａ_mnsin(ｋ_xｘ)sin(ｋ_yｙ)で与えられます。

ただし,ｋ²＝ｋ_x²＋ｋ_y²,ｋ_x≡(2ｍ＋1)π/ａ,ｋ_y≡(2ｎ＋1)π/ｂです。ｍ,ｎは自然数,Ａ_mnは任意定数です。ｋ＝(ｋ_x²＋ｋ_y²)^1/2≡ｋ_mn≡π[{(2ｍ＋1)π/ａ}²＋{(2ｎ＋1)π/ｂ}²]^1/2(ｍ,ｎ＝1,2,...)は波数の固有値を与えます。

この開口が長方形の容器内の一般的な２次元長波(浅水波)は,Φ_mn(ｘ,ｙ,ｔ)≡φ_mn(ｘ,ｙ)cosω_mnｔ＝Ａ_mnsin(ｋ_xｘ)sin(ｋ_yｙ)cosω_mnｔ,ω_mn≡ｃｋ_mn (ｃ＝(ｇｈ)^1/2)なる個々の固有振動の全ての重ね合わせで与えられます。

自然現象としては,湖水や港湾における固有振動は,"静振"として知られています。また津波や潮汐も有限な平面形を持つ海洋内の長波,または定在長波として扱うことができます。

次に定常波について考察します。

一定の位相速度ｃで進行する波を静止系に対して速度Ｕ＝ｃで動く座標系から見た場合,水面波の形は静止しています。

同じ,静止波形は静止系で波の伝播の向きとは逆にＵ＝－ｃで流れる水の上においても現われます。このように波形が時間的に静止した波を定常波と呼びます。

もちろん,定常波においても水の運動まで止まっているわけではなく,水は進行波の運動と一定速度Ｕの一様流が重なって運動しています。

今,一定速度Ｕで流れる水の中に微小な物体,例えばｚ軸に平行な細い円柱を置いたとすると,この物体の起こす微小な撹乱により微小な波が発生すると考えられます。

この波を構成する無数の正弦波のうち,位相速度ｃ＝－Ｕの波だけが定常波としてそこに留まり,他の波は上流,または下流に向かって流れ去ると思われます。

例として表面張力の働く深水波を考えると,位相速度ｃには波長λ＝λ_m≡2π{γ/(ρｇ)}^1/2)における最小値ｃ＝ｃ_m≡(4γｇ/ρ)^1/4が存在します。そこで,もしもＵ＞－ｃ_m(ｃ_m＞－Ｕ)なら定常波は存在不可能です。

一方,Ｕ＜－ｃ_mなら,２種類の波が定常波として存在し得ます。その１つは表面張力波でλ＜λ_mです。他方は重力波でλ＞λ_mです。

ところが,これらの２つの定常波が水面上の同じところに同時に現われるかといえば,そうではなく現実には物体より上流に表面張力波,下流に重力波がそれぞれ分かれて定常波として現われます。

このことは,直ちに理解することは難しいかも知れませんが後で述べる群速度の概念を用いると説明できます。

物体をｘ＝0 の位置に置き,一様な流れ速度をＵ＜0 とします。物体が発生する波のうちで定常波条件ｃ＝－Ｕ(＞0)を満たす波の群は群速度ｃ_g(＞0)でｘ軸の正の向きに進むと同時に流速:Ｕ(＜0)によって負の向きに運ばれます。

したがって,時間ｔの後にはｘ＝0 で発生した波はｘ＝(ｃ_g＋Ｕ)ｔ＝(ｃ_g－ｃ)ｔの位置にあることになります。それ故,ｃ＜ｃ_gの波はｘ＞0,つまり物体の上流側に,ｃ＞ｃ_gの波はｘ＜0,つまり物体の下流側に位置を占めることになります。

そこで,後述する群速度の計算式から深水波での重力波λ＞λ_mの場合にはｃ＞ｃ_gなので,その定常波は下流側,表面張力波λ＜λ_mの場合にはｃ＜ｃ_gより,定常波は上流側に現われるというわけです。

このような流れの中に置かれた２次元物体による定常波の構造は,定性的には,３次元物体によって作られる２次元波についても同様に成り立つことが示されて,この場合でも上流側が表面張力波,下流側が重力波で占められます。

今日はここまでにします

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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