水の波(4)(波群,群速度): TOSHIの宇宙

2009年5月20日 (水)

水の波(4)(波群,群速度)

水の波のつづきです。今日は,波群と群速度の話題です。

一般にある波源から出る波は単一正弦波ではなく,無数の異なる波長の正弦波から成ると考えられます。

媒質が分散性である場合,ある時間の後にこれら正弦波の内の伝播速度の速い成分は遠方まで到達し,遅い成分は近くに取り残されます。

こうした成分波の分散は,時間と共にますます著しくなり,波源から遠いところは速い成分波,近いところは遅い成分波で占有されます。

したがって,分散が十分進んだ後には,空間内のある場所には,ある波数と振動数の成分波だけが存在し,その分布の模様は時間と共に変化します。

このような波の場を全体として眺めたとき,波数と振動数を場所と時間の関数と考えることができます。

また,媒質が不均質な場合,波の伝播速度は場所と共に変化するので,上述のような扱いがなおさら必要です。こうした波の場の大局的記述には群速度の概念が有効です。

例として,振幅,波数,振動数がほぼ等しい２つの正弦波,η₁＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ),η₂＝(Ａ＋δＡ)sin{(ｋ＋δｋ)ｘ－(ω＋δω)ｔ}が共存している場合を考えます。もちろん,δＡ＜＜Ａ,δｋ＜＜ｋ,δω＜＜ωです。

このとき,η≡η₁＋η₂＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)＋(Ａ＋δＡ)sin{(ｋ＋δｋ)ｘ－(ω＋δω)ｔ}＝2Ａcos[{(δｋ)ｘ－(δω)ｔ}/2]sin{(ｋ＋δｋ/2)ｘ－(ω＋δω/2)ｔ}＋δＡsin{(ｋ＋δｋ)ｘ－(ω＋δω)ｔ}～ 2Ａcos[{(δｋ)ｘ－(δω)ｔ}/2]sin(ｋｘ－ωｔ)となります。

この波形は,δｋ＜＜ｋ,δω＜＜ωなる仮定により,η₁＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)とほぼ同じ波数ｋと振動数ωを持つ正弦波ですが,振幅が空間的,時間的に非常に緩やかに変形するというものです。

これは,うなりの現象として知られていますが,電気通信の分野の言葉では,搬送波と振幅変調に相当しています。

合成波の振幅の包絡線である2Ａcos[{(δｋ)ｘ－(δω)ｔ}/2]は,それ自身,基本正弦波に比べて,はるかに長い波長(4π/δｋ)と周期(4π/δω)を持つ進行正弦波です。

これは上記のの振幅変調によって,基本正弦波を長さ(2π/δｋ)の波群に区切っています。そして,この波群の進行速度は明らかにｃ_g＝(δω/δｋ)で与えられます。この速度ｃ_gを群速度(group velocity)といいます。

さらに一般的な例として,ある波数ｋを中心として,その近傍の波数を連続的に含む波を考えます。

振幅の波数に対する分布を正規分布形に取れば,波形はη＝Ａ(α/π)^1/2∫_-∞^∞exp{－α(ｋ'－ｋ)²}sin{ｋ'ｘ－ω(ｋ')ｔ}ｄｋ'の形に表わされます。

ただし,α＞0 は定数です。α＞＞1のとき,被積分関数はｋ'＝ｋの近傍でのみゼロでない値を持つため, ω(ｋ')＝ω(ｋ)＋(ｄω/ｄｋ)(ｋ'－ｋ)と近似できます。

この近似の下ではη ～Ａexp[{－1/(4α)}{ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}²]sin{ｋｘ－ω(ｋ)ｔ}となります。

これを証明します。

(証明)sin{ｋ'ｘ－ω(ｋ')ｔ}～ sin[(ｋ'－ｋ){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}＋ｋｘ－ω(ｋ)ｔ]＝{1/(2i)}{exp(i[(ｋ'－ｋ){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}＋ｋｘ－ω(ｋ)ｔ])＋exp(－i)[(ｋ'－ｋ){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}＋ｋｘ－ω(ｋ)ｔ}])}です。

　そこで,∫_-∞^∞exp{－α(ｋ'－ｋ)²}exp(±i[(ｋ'－ｋ){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}}ｄｋ'＝ ∫_-∞^∞exp(－α[－(ｋ'－ｋ)±i/(2α){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}]²－{1/(4α)}{ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}²)ｄｋ'＝{(π/α)^1/2exp[－{1/(4α)}{ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}²］を得ます。(証明終わり)

これは,先のη≡η₁＋η₂～2Ａcos[{(δｋ)ｘ－(δω)ｔ}/2]sin(ｋｘ－ωｔ)とは異なり,ｘ＝(ｄω/ｄｋ)ｔの場所に最大の振幅を持つ単独の波群を表わしています。

この波群は速度(ｄω/ｄｋ)で進行します。

一般的には,この速度で群速度ｃ_gを定義します。

すなわち,ｃ_g≡ｄω/ｄｋ＝ｄ(ｃｋ)/ｄｋ＝ｃ＋ｋｄｃ/ｄｋ＝ｃ－λｄｃ/ｄλです。

非分散性媒質においては,ｄｃ/ｄｋ＝ｄｃ/ｄλ＝0 なので群速度ｃ_gは位相速度ｃと一致します。

また,例えば,水深一定の進行正弦波について,表面張力をも考慮した最も一般的な分散関係は,ω＝{ｋ(ｇ＋γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)}^1/2で与えられます。

そこで,これの群速度はｃ_g＝ｄω/ｄｋ＝(1/2){(ｇ＋γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)＋(ｇ＋γｋ²/ρ)(ｋｈ)sech²(ｋｈ)＋(2γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)}{ｋ(ｇ＋γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)}^-1/2＝ｃ[1－(1/2)(λ²－λ_m²)/(λ²＋λ_m²)＋(2πｈ/λ)cosech(4πｈ/λ)]となります。