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2009年5月

2009年5月27日 (水)

超弦理論(23)(2-12)

 超弦理論(superstring theory)の続きです。

 

 ずいぶん間が空きましたが,またまた,超弦理論でツナギです。

 

 前記事の最後で述べたゼータ関数正則化の幾分発見的な手法の示すところは,光錐(light-cone)定式化のローレンツ共変性が,a=1,D=26なる条件を要求することでした。

 以下では,ローレンツ生成子Jμνの体系的研究により,こうした条件a=1,D=26が実際にローレンツ不変性にとって必要十分であることを厳密に証明します。

さて,D次元の"ローレンツ生成子=角運動量演算子":Jμνは以前に次の形で定義しました。  

すなわち「超弦理論(15)(2-4)」において,μν=lμν+Eμν,

μν=xμν-xνμ, Eμν=-iΣn=1[(α-nμαnν-α-nναnμ)/n]と定義しました。

今の,光錐ゲージではゲージがローレンツ不変でないので,座標へのローレンツ変換の効果はゲージに敏感なものでなければなりません。

変換の幾つかは,+方向を他の方向に回転し,そこでゲージ条件を復元するためには,再パラメータ化(これもゲージ変換です)を実行する必要があります。

 

これを補償再パラメータ化と呼びます。

ゲージ条件に影響する変換はJ+-とJi-によって生成されるはずです。そして,これらは潜在的にアノマリーを有する変換であろうと予期されます。

 

このアノマリーを相殺させることが,aとDにある種の制限を与えると予想されます。

 

残りの,ローレンツ生成子Jij(i,j=1,2,...,D-2)は,光錐ゲージの持つ明白な対称性であるSO(D-2)を生成する横波空間に関連したものです。

まず,任意の再パラメータ化ξα(σ,τ)を許しながら,古典論での座標への無限小ローレンツ変換に対する一般的表現を考えます。

 

これはδXμ(σ,τ)=aμνν(σ,τ)+ξα(σ,τ)∂αμ(σ,τ)です。ただし,ξαはゲージ条件hαβ=ηαβと両立するように制限されています。

この制限は,既に述べたように,ξαが∂αξβ+∂βξα=Ληαβを満足すべきことを意味します。 

一方,ゲージ条件X(σ,τ)=x+pτは,新座標系でもこれが保持されるために,δX=aνν+aνντ=aν(xν+pντ)に従って変換されることを要求します。

なぜなら,ゲージ条件X=x+pτはδX=δx+δpτなら保持されますが,δxμ=aμνν,δpμ=aμννより,δx=aνν,δp=aννですから,δX=δx+δpτはδX=aν(xν+pντ)を意味するからです。

一方,δXμ=aμνν+ξααμより,δX=aνν+ξ00+ξ10=aνν+ξ0δpです。

 

そこで,δX=aν(xν+pντ)はaνν+ξ0=aν(xν+pντ)=aνν(τ)となります。ただし,xμ(τ)≡xμ+pμτです。

したがって0=aν{xν(τ)-Xν(σ,τ)}/pによって変換のパラメータ成分ξ0が決まります。

 

そして,∂αξβ+∂βξα=Ληαβより∂0ξ1-∂1ξ0=0 ですから,ξ1=∫τdτ'(∂ξ0/∂σ)によりξ1も決まります。

これらの,座標Xνの1次関数であるξαの表現をδXμ(σ,τ)=aμνν(σ,τ)+ξα(σ,τ)∂αμ(σ,τ)に代入すると,非共変なゲージ固定を考慮したローレンツ変換の作用形式が得られます。

新しい重要な特徴はαがXνについて1次なので,aiを伴なうそうしたローレンツ変換が横座標Xiに非線形に作用することです。

 

量子論では,そうした双線形項はローレンツ代数でアノマリー源となる可能性があり,それを正規順序(normal-ordering)等で処理する必要があるかどうか?という繊細な争点を生み出します。

それ故,Jμν=lμν+Eμν,lμν=xμν-xνμ,Eμν=-iΣn=1[(α-nμαnν-α-nναnμ)/n]なる表現の生成子が,本当に正しくローレンツ代数:[Jμν,Jρλ]=iηνρμλ-iημρνλ-iηνλμρ+iημλνρを生成するかどうか?をチェックすることが重要になります。

交換子のほとんどは直線的にチェックできて,如何なるDに対しても正しい答を与えることがわかります。

しかし,Ji-の変換については注意が必要であると予期されます。

 

特に交換子:[Ji-,Jj-]はローレンツ不変性が成り立つなら消えてゼロとなる必要があります。しかし,特殊な制限下を除いてアノマリーに導きます。

(訳注51):[Jμν,Jρλ]=iηνρμλ-iημρνλ-iηνλμρ+iημλνρをが成立するとします。

 

 まず,Ji-=(Ji0-Ji,D-1)/21/2ですから,1≦i,j≦D-2 に対して[Ji-,Jj-]=(1/2)[Ji0-Ji,D-1,Jj0-Jj,D-1]=(1/2){[Ji0,Jj0]+[Ji,D-1,Jj,D-1]}となります。

 

(なぜなら,[Ji0,Jj,D-1]=[Ji,D-1,Jj0]=0 です。)

そして,[Ji0,Jj0]=-iη00ij=-iJij,[Ji,D-1,Jj,D-1]=-iηD-1,D-1ij=iJijです。

 

そこで,確かに[Ji-,Jj-]=0 となることが必要です。

 

(訳注51終わり)※

さて,光錐ゲージではEμ+=E+μ=0 です。

 

一方,Ei-はαnの光錐ゲージでの展開:αn=(1/p)[(1/2){Σi=1D-2Σm=-∞n-miαmi:}-aδn]を代入すると,横波振動子について3次式になります。

結果として,交換子[Ji-,Jj-]は6次ですが,高次の項は相殺されて,[Ji-,Jj-]=-(1/p)2Σm=1m-miαmj-α-mjαmi)}(係数Δmはc-数)なる形になり,振動子の2次の項で表わせることがわかります。

(訳注52):(証明)Ji-=li-+Ei-=xi-xi-iΣn=1[(α-niαn-α-nαni)/n], αn=(1/p)[(1/2){Σi=1D-2Σm=-∞n-miαmi:}-aδn],p=α0です。

そして,[Ji-,Jj-]=[li-,lj-]+[li-,Ej-]+[Ei-,lj-]+[Ei-,Ej-]です。

 特に,4つ以上の振動子を含んで6次の項となるのは交換子[Ei-,Ej-]です。

これは,[Ei-,Ej-]=-Σn,m=1({1/(nm)}[α-niαn-α-nαni-miαm-α-mαmi])=-(1/p)2Σn,m=1({1/(4nm)}[Σs=-∞Σk=1D-2-nin-skαsk:-:αn-skαsk: α-ni},Σt=-∞Σl=1D-2-mjm-tlαtl:-:αm-tlαtl-mj}]です。

 

これは,確かにαniの6次の項になります。

特に,[Ei-,Ej-]=-(1/p)2Σn,m=1({1/(nm)}[α-niαn-pα-nαni-miαm-pα-mαmi])と書きます。

既に,[pαm,pαn]=(m-n)pαm+n+A(m)δm+nであり[pαnmj]=-mαn+mj,or [αni,pαm]=nαn+miであることを知っています。

 

交換子の恒等式:[AB,CD]=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]BD+C[A,D]Bを使用します。

そうして,具体的に[Ei-,Ej-]を計算すると,[Ei-,Ej-]=-(1/p)2Σn,m=1({1/(nm)}[mα-niαn-mjαm+(n-m)α-niαm+n-nα-miαm-njαm+pα-nnαn-miαmjp+

 

(m-n)pα-n-mαmjαni-pα-mmαm-njαni-α-ni{(n+m)pαn-m+A(n)δn-mmj+αniα-mmαn+mj

 

nαn+miαmjαn+pα-mαnnδm-nδij-nδn-mδijα-nαm-pα-nα-mjnαn+mi-mα-n-mjαmαni+αmj{(n+m)pαm-n+A(m)δm-nni])となります。

i-=-n=1[(α-niαn-α-nαni)/n]=(-i/2)Σn≠0[(:α-niαn:-:α-nαni:)/n]と書けるので,αnとα-nの順序を気にせずnと-nの変換が許されます。

 

また,n-m→-mなどの変換も,n,mが単なるパラメータなので許されます。

そこで,pαの添字をpαm+niをα-niにαjをα-mjにそれぞれ添字を統一すると,{-(p)2][Ei-,Ej-]=Σn,m≠0{(1/m)(pαm+nα-niα-mj+α-mjα-niαm+n-α-niαm+nα-mj-α-mjαm+nα-mj)}-Σn0{A(n)(α-niαnj-α-njαni)/n2]と書けます。

さらに,{-(p)2][Ei-,Ej-]=-Σn≠0{A(n)(α-niαnj-α-njαni)/n2]+Σn,m≠0{(n/m)(α-miαmj-α-mjαmi)}です。

 

よって,結局αniの高次の項は消えて2次の項だけが残りアノマリーの形も決まります。(まだ,正規順序を考慮していないのでこれで最終形ではありません。)

そこで,[Ji-,Jj-]=-(1/p)2Σm=1m-miαmj-α-mjαmi)}と書けるはずです。係数Δmはc-数です。

 

(訳注52終わり)※

短いですが,今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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2009年5月25日 (月)

今日も今日とて無責任な極楽トンボ

 大天才(天災?)のT.真理子!,飲み屋でショーツ一枚になって歌うなよな。。

 思わず俺も上半身裸になって,醜い手術跡のある貧相なもの見せてしまったじゃねえかよ。。。

 イヤ。。負けた。。負けた。。本能には勝てねえよ。

 負けた方がしあわせだけど。。。

 うらやましいなあ。。

 本気のジェラシー。。(プライド?親心?)

 久しぶりの男と男の大喧嘩。。俺も人間に戻りたい。。。

  おやすみ。。。

PS:おはようございます。

 草薙くんではないけど。。素面でやったら尊敬しちゃいます。ほんの1時間ほど非日常的空間が存在していました。。。

PS:北朝鮮を非難するのはいいけどほどほどにしとけよ。。どこかのバカが日本の在日朝鮮人の女子高生をイジめたりするから。。。

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2009年5月20日 (水)

水の波(4)(波群,群速度)

水の波のつづきです。今日は,波群と群速度の話題です。

一般にある波源から出る波は単一正弦波ではなく,無数の異なる波長の正弦波から成ると考えられます。

媒質が分散性である場合,ある時間の後にこれら正弦波の内の伝播速度の速い成分は遠方まで到達し,遅い成分は近くに取り残されます。

 

こうした成分波の分散は,時間と共にますます著しくなり,波源から遠いところは速い成分波,近いところは遅い成分波で占有されます。

したがって,分散が十分進んだ後には,空間内のある場所には,ある波数と振動数の成分波だけが存在し,その分布の模様は時間と共に変化します。

このような波の場を全体として眺めたとき,波数と振動数を場所と時間の関数と考えることができます。

 

また,媒質が不均質な場合,波の伝播速度は場所と共に変化するので,上述のような扱いがなおさら必要です。こうした波の場の大局的記述には群速度の概念が有効です。

例として,振幅,波数,振動数がほぼ等しい2つの正弦波,η1=Asin(kx-ωt),η2(A+δA)sin{(k+δk)x-(ω+δω)t}が共存している場合を考えます。もちろん,δA<<A,δk<<k,δω<<ωです。

このとき,η≡η1+η2=Asin(kx-ωt)+(A+δA)sin{(k+δk)x-(ω+δω)t}=2Acos[{(δk)x-(δω)t}/2]sin{(k+δk/2)x-(ω+δω/2)t}+δAsin{(k+δk)x-(ω+δω)t}~ 2Acos[{(δk)x-(δω)t}/2]sin(kx-ωt)となります。

この波形は,δk<<k,δω<<ωなる仮定により,η1=Asin(kx-ωt)とほぼ同じ波数kと振動数ωを持つ正弦波ですが,振幅が空間的,時間的に非常に緩やかに変形するというものです。

 

これは,うなりの現象として知られていますが,電気通信の分野の言葉では,搬送波と振幅変調に相当しています。

合成波の振幅の包絡線である2Acos[{(δk)x-(δω)t}/2]は,それ自身,基本正弦波に比べて,はるかに長い波長(4π/δk)と周期(4π/δω)を持つ進行正弦波です。

 

これは上記のの振幅変調によって,基本正弦波を長さ(2π/δk)の波群に区切っています。そして,この波群の進行速度は明らかにcg=(δω/δk)で与えられます。この速度cgを群速度(group velocity)といいます。

さらに一般的な例として,ある波数kを中心として,その近傍の波数を連続的に含む波を考えます。

 

振幅の波数に対する分布を正規分布形に取れば,波形はη=A(α/π)1/2-∞exp{-α(k'-k)2}sin{k'x-ω(k')t}dk'の形に表わされます。

 

ただし,α>0 は定数です。α>>1のとき,被積分関数はk'=kの近傍でのみゼロでない値を持つため, ω(k')=ω(k)+(dω/dk)(k'-k)と近似できます。

この近似の下ではη ~ Aexp[{-1/(4α)}{x-(dω/dk)}2]sin{kx-ω(k)t}となります。

 

これを証明します。

(証明)sin{k'x-ω(k')t}~ sin[(k'-k){x-(dω/dk)t}+kx-ω(k)t]={1/(2i)}{exp(i[(k'-k){x-(dω/dk)t}+kx-ω(k)t])+exp(-i)[(k'-k){x-(dω/dk)t}+kx-ω(k)t}])}です。

 

 そこで,∫-∞exp{-α(k'-k)2}exp(±i[(k'-k){x-(dω/dk)t}}dk'= ∫-∞exp(-α[-(k'-k)±i/(2α){x-(dω/dk)t}]2-{1/(4α)}{x-(dω/dk)t}2)dk'={(π/α)1/2exp[-{1/(4α)}{x-(dω/dk)t}2]を得ます。(証明終わり) 

これは,先のη≡η1+η22Acos[{(δk)x-(δω)t}/2]sin(kx-ωt)とは異なり,x=(dω/dk)tの場所に最大の振幅を持つ単独の波群を表わしています。

 

この波群は速度(dω/dk)で進行します。

 

一般的には,この速度で群速度cgを定義します。

 

すなわち,cg≡dω/dk=d(ck)/dk=c+kdc/dk=c-λdc/dλです。

 

非分散性媒質においては,dc/dk=dc/dλ=0 なので群速度cgは位相速度cと一致します。

また,例えば,水深一定の進行正弦波について,表面張力をも考慮した最も一般的な分散関係は,ω={k(g+γk2)tanh(kh)}1/2で与えられます。

そこで,これの群速度はcg=dω/dk=(1/2){(g+γk2)tanh(kh)+(g+γk2)(kh)sech2(kh)+(2γk2/ρ)tanh(kh)}{k(g+γk2)tanh(kh)}-1/2=c[1-(1/2)(λ2-λm2)/(λ2+λm2)+(2πh/λ)cosech(4πh/λ)]となります。

 

ここで,c=ω/k={(g+γk2)tanh(kh)/k}1/2は位相速度で,λmはλm2π{γ/(ρg)}1/2で与えられる波長です。

長波 or 浅水波のときにはλ>>h,kh<<1ですから,g~ c,かつtanh(kh)~ khです。そこで,c~ (gh)1/2ですから,長波ではg=c=(gh)1/2と表わせます。

 

一方,深水重力波のときはλm<λ<<hですから(2πh/λ)cosech(4πh/λ)~0より, cg<cです。特に,λm/λ→ ∞ の極限では,g=c/2=(1/2){gλ/(2π)}1/2となります。

 

表面張力波 or さざ波なら,λ<λmですから,cg>cです。特にλm/λ→ 0 の極限では,g3c/2=(3/2){2πγ/(ρλ)}1/2です。

群速度の概念が有効なのは,振幅スペクトルの広がりが,かなり小さく,波の振幅,波数,振動数の空間的,時間的変化がかなり緩やかな場合,光学の言葉で言えば準単色の波に対してのみです。

途中で短かいですが,今日はここまでにします

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)

 

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2009年5月15日 (金)

カルネアデスの舟板

 「究極の選択」,あるいは「正当防衛」の例として「カルネアデスの舟板」というのがあります。概ね次のようなものですね。これはこの通りの題名の松本清張氏の著書もあります。

 「1人の人が1枚の舟板をつかんでかろうじて漂流しながら生きている。その板は2人が乗ったりつかまったりすると沈んでしまうけれど,1人だけならつかまっていても沈まないので,彼はそれにつかまっていれば生き延びられる。

 ところが,そこへもう一人の人が流れてきてその舟板につかまろうとしたとき,どちらかが相手を蹴落として1人だけ生き残った場合,生き残った側の相手を蹴落としたという行為を罪に問うことが出来るだろうか?」という問題です。

 普通の民主的な地域での裁判であれば,彼は「正当防衛」とされて無罪放免とされるはずです。カンダダ(蜘蛛の糸)にも似てますね。。

 これを初めて知った昔から,私の頭の中に何故かこの課題が残っているのは,相手を蹴落とすという話とは逆のことで,偽善と慈善の判別に関連していて,自分を犠牲にしても他人を助ける行為の方です。

 カナヅチに毛の生えたような自分ですが,相手を殺して生き残るのは確かに世間の評価では無罪であっても,私にとっては有罪なのでできたら左の頬を差し出したい気分なのですね。

 自分が飢え死にするのを覚悟で微々たるものでも財産の大部分を施すのが慈善,2人以上つかまっても大丈夫だからとつかませる余裕の部分を施すのは偽善に近いかなという意味です。ま。。どうでもイイ話ですが。。。

PS:いや,実は慈善,偽善よりもっと大きな描像である「食物連鎖」あるいは「弱肉強食」のことも考えていました。資本主義経済で言うなら単なる「自由競争」ですが。。。  (キリスト教なら原罪?)

 舟板が大きく立派で漂流者全員がつかまっても沈まない。。。。国全体,イヤ地球全体(全世界)に全員がつかまって生きていける程の十分な「生産性」があれば本来振り落とされて沈む人はいないはずなんですが。。。

(自民から民主に変わっても同じだとかブツブツ言わずに,取りあえず1回でも政権交代させてみろよ!。。。

 同じような店だろうと何だろうと,お店が2つ以上あって競争相手になるようでなけりゃ,商品の安売り合戦とかサービス合戦なんてのは決して起きっこないんだぞ。。。)

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2009年5月13日 (水)

水の波(3)(定在波,定常波)

水の波のつづきです。今日は,まず定在波を考えます。

 これまで主として考えてきた波は,速度ポテンシャルがΦ(x,z,t)=φ(z)cos(kx-ωt)で与えられ,x方向に位相速度c=ω/kで伝わる単一正弦波でした。

 

 ここでは,位相速度cが正のc=ω/k>0 の正弦波と,位相速度が-c<0 の進行方向が正反対の波を重ね合わせたもの:Φ(x,z, t)=φ1(z)cos(kx-ωt)+φ2(z)cos(kx+ωt)を考えます。

 

 これもこれまでの単一正弦波と同じkを持つ∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂z20 の解です。そして,φ1(z),およびφ2(z)はd2φ1/dz2-k2φ10,およびd2φ2/dz2-k2φ20 の解です。

水面波の形η(x,t)はη(x,t)=-g-1(∂Φ/∂t)=0で与えられます。

 

前の記事では,これにΦ(x,z,t)=φ(z)cos(kx-ωt),φ(z)=Ccosh{k(z+h)}を代入して,η(x,t)=Asin(kx-ωt),A≡-Cg-1ωcosh(kh)を得ました。

今の重ねあわせポテンシャルΦ(x,z,t)=φ1(z)cos(kx-ωt)+φ2(z)cos(kx+ωt)では,正負の向きの波の振幅が同一:φ1(z)=-φ2(z)=Ccosh{k(z+h)}で,A/2≡-Cg-1ωcosh(kh)と仮定して代入すると,η(x,t)=(A/2){sin(kx-ωt)+sin(kx+ωt)}=Asin(kx)cos(ωt)となります。

 そして,このときには速度ポテンシャルΦもΦ(x,z,t)=Ccosh{k(z+h)}{cos(kx-ωt)-cos(kx+ωt)}={Ac/sinh(kh)}cosh{k(z+h)}sin(kx)sin(ωt)と書けて,空間と時間が分離した関数形になります。

ここで,A/2=-Cg-1ωcosh(kh),かつω={gktanh(kh)}1/2により,正負の向きの2つの正弦波の共通の位相速度の大きさcがc=ω/k={(g/k)tanh(kh)}1/2>0 で与えられますから,2C=-Ag/{ωcosh(kh)}=-A/{sinh(kh)}{(g/k)tanh(kh)}1/2=-Ac/{sinh(kh)}となることを用いました。

そして,水の運動方程式はdx/dt=u=∂Φ/∂x={Ack/sinh(kh)}cosh{k(z+h)}cos(kx)sin(ωt),dz/dt=w=∂Φ/∂z={Ack/sinh(kh)}sinh{k(z+h)}sin(kx)sin(ωt)sin(ωt)となります。

前の記事と同じく,動点の座標(x,z)を,その1周期での平均値(x0,z0)を用いてx=x0(x-x0),z=z0(z-z0)と書き,そこからの差(x-x0),(z-z0)の2次以上の微小量を無視した微小振幅波の近似をします。この近似ではA自身も1次の微小量です。

この近似で運動方程式を解いて水の運動を求めると,x=x0{A/sinh(kh)}cosh{k(z0+h)}cos(kx0)cos(ωt),z=z0{A/sinh(kh)}sinh{k(z0+h)}sin(kx0)cos(ωt)となります。

一方,水面の運動は式η(x,t)=Asin(kx)cos(ωt)により,x=nπ/k(nは整数)の点で振幅がゼロとなり,x=(n+1/2)π/k(nは整数)の点で振幅が最大になります。

この水面波での振幅がゼロの点を波の節,振幅が最大の点を波の腹といいます。

 

波の波長をλとすると,波数はk=2π/λで与えられますから,波の節のx座標はx=nπ/k=nλ/2,腹のx座標はx=(n+1/2)π/k=(n+1/2)λ/2とも書けます。

いずれにしても,これら節や腹を含め振幅が一定であるような点は,一般の進行波のように空間的に移動せず定位置にあります。このような波を定在波と呼びます。

そして,水中の水の運動はx-x0[A/sinh(kh)]cosh{k(z0+h)}cos(kx0)cos(ωt),z-z0{A/sinh(kh)}sinh{k(z0+h)}sin(kx0)cos(ωt)ですから,波の節の位置x0=nπ/k(nは整数)では水平運動だけ,波の腹の位置x0(n+1/2)π/k(nは整数)では鉛直運動だけです。

 

また,節でも腹でもない一般のx=x0の位置の付近では,ある一定の傾きで直線的な単振動をします。

波の腹に対応する鉛直面x=(n+1/2)π/k=(n+1/2)λ/2において水は鉛直運動のみを行なうことから,腹の鉛直面を固体平面の境界で置き換えても,この境界の上での完全流体の境界条件un=0 は定在波によって自動的に満足され波の形は乱されません。

 そこで,この定在波はx=(n+1/2)λ/2の位置にある2枚の鉛直固体壁と水底の水平面で仕切られた容器の中の水の振動と同一視することができます。

それ故,容器中にx方向の定在波が存在し得るためには容器のx方向の幅が波の半波長λ/2の自然数倍であればいいことになります。

 

あるいは,逆に容器の幅がLで与えられたなら,この中では波長がλ=2L/n(nは自然数)で与えられる定在波のみが存在可能です。

こうした定在波をこの容器での固有振動と呼びます。この振動の波長λ=2L/nを固有波長と呼びます。

 

これに対応する角振動数ω=2πfは,k=2π/λ=nπ/L=ω/cより,ω={gktanh(kh)}1/2{(nπg/L)tanh(nπh/L)}1/2となります。このωを固有角振動数,f=ω/(2π)を固有振動数といいます。

定在波としては,上述のような1次元の波に限らず,y軸を復活させてxy平面内の任意の閉曲線Cで囲まれた領域内における2次元の波を考えることができます。

この2次元波の問題は,xy平面の閉曲線Cの固体壁と水底z=-h(x,y)で与えられる容器の境界面の上での境界条件unun=∂Φ/∂n=0 ,および自由水面上:z=0 での境界条件2Φ/∂t2+g(∂Φ/∂z)=0 を満たすラプラス方程式∇2Φ=∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂y2+∂2Φ/∂z20 の解を求める問題に帰着します。

これを一般的なケースについて解くのは面倒ですが,水深z=-h(x,y)が一定の長波(浅水波)の場合には取り扱いが著しく簡単になります。

長波(浅水波)の近似では,h<<λですから∇2Φ=∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂y2+∂2Φ/∂z20 を-h≦z≦0 にわたってzで定積分する際,zの微分を含まない項はzに依らず一定と考えられます。

そして,水底z=-hでの境界条件:unun=∂Φ/∂n=0 は(∂Φ/∂z)z=-h0 を意味します。それ故,ラプラス方程式をzで定積分した結果として,(∂Φ/∂z)z=0=-h(∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂y2)が得られます。

これに,水面z=0 での境界条件∂2Φ/∂t2+g(∂Φ/∂z)=0を代入すると,∂2Φ/∂t2=c2(∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂y2),c≡(gh)1/2が得られます。最後の式においては,もはや速度ポテンシャルΦはzに依らず,Φ=Φ(x,y,t)と書いてよいと考えています。

得られた方程式:∂2Φ/∂t2=c2(∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂y2)は2次元の波動方程式であり,これに対する境界条件はxy平面内の閉曲線Cの上で∂Φ/∂n=0です。ただし,はC上のの各点におけるCの法線方向です。

そこで,Φの定在波解をΦ(x,y,t)≡φ(x,y)cosωtと置いて波動方程式∂2Φ/∂t2=c2(∂2Φ/∂x2+∂2Φ/∂y2)に代入すると,∂2φ/∂x2+∂2φ/∂y2+k2φ=0,k≡ω/cを得ます。

 

これは2次元のヘルムホルツ(Helmholtz)方程式です。これは閉曲線Cの形に応じた座標系での変数分離で解けます。

Cが簡単な長方形境界の場合,その中心を原点に取ってCを示す辺をx=±a/2,y=±b/2(a,b>0)で表わせば,境界条件はx=±a/2で∂φ/∂x=0,y=±b/2で∂φ/∂y=0となり,このときの解はφ(x,y)=Amnsin(x)sin(y)で与えられます。

ただし,k2x2y2,x(2m+1)π/a,y(2n+1)π/bです。m,nは自然数,Amnは任意定数です。(x2y2)1/2≡kmn≡π[{(2m+1)π/a}2+{(2n+1)π/b}2]1/2(m,n=1,2,...)は波数の固有値を与えます。

この開口が長方形の容器内の一般的な2次元長波(浅水波)は,Φmn(x,y,t)≡φmn(x,y)cosωmnt=mnsin(x)sin(y)cosωmnmn≡ckmn (c=(gh)1/2)なる個々の固有振動の全ての重ね合わせで与えられます。

自然現象としては,湖水や港湾における固有振動は,"静振"として知られています。また津波や潮汐も有限な平面形を持つ海洋内の長波,または定在長波として扱うことができます。

次に定常波について考察します。

一定の位相速度cで進行する波を静止系に対して速度U=cで動く座標系から見た場合,水面波の形は静止しています。

同じ,静止波形は静止系で波の伝播の向きとは逆にU=-cで流れる水の上においても現われます。このように波形が時間的に静止した波を定常波と呼びます。

もちろん,定常波においても水の運動まで止まっているわけではなく,水は進行波の運動と一定速度Uの一様流が重なって運動しています。

,一定速度Uで流れる水の中に微小な物体,例えばz軸に平行な細い円柱を置いたとすると,この物体の起こす微小な撹乱により微小な波が発生すると考えられます。

 

この波を構成する無数の正弦波のうち,位相速度c=-Uの波だけが定常波としてそこに留まり,他の波は上流,または下流に向かって流れ去ると思われます。

例として表面張力の働く深水波を考えると,位相速度cには波長λ=λm≡2π{γ/(ρg)}1/2)における最小値c=cm≡(4γg/ρ)1/4が存在します。そこで,もしもU>-cm(cm>-U)なら定常波は存在不可能です。

一方,U<-cmなら,2種類の波が定常波として存在し得ます。その1つは表面張力波でλ<λmです。他方は重力波でλ>λmです。

ところが,これらの2つの定常波が水面上の同じところに同時に現われるかといえば,そうではなく現実には物体より上流に表面張力波,下流に重力波がそれぞれ分かれて定常波として現われます。

このことは,直ちに理解することは難しいかも知れませんが後で述べる群速度の概念を用いると説明できます。

物体をx=0 の位置に置き,一様な流れ速度をU<0 とします。物体が発生する波のうちで定常波条件c=-U(>0)を満たす波の群は群速度cg(>0)でx軸の正の向きに進むと同時に流速:U(<0)によって負の向きに運ばれます。

したがって,時間tの後にはx=0 で発生した波はx=(cg+U)t=(cg-c)tの位置にあることになります。それ故,c<cgの波はx>0,つまり物体の上流側に,c>cgの波はx<0,つまり物体の下流側に位置を占めることになります。

そこで,後述する群速度の計算式から深水波での重力波λ>λmの場合にはc>cgなので,その定常波は下流側,表面張力波λ<λmの場合にはc<cgより,定常波は上流側に現われるというわけです。

このような流れの中に置かれた2次元物体による定常波の構造は,定性的には,3次元物体によって作られる2次元波についても同様に成り立つことが示されて,この場合でも上流側が表面張力波,下流側が重力波で占められます。

今日はここまでにします

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)

 

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私信

 昨夜,飲み屋でお会いしブログ記事を2,3(数枚)印刷したものをお見せした(まだお会いしたのが2回目の) I村さんが,記事の内容ではなく体裁についてかなりお怒りだったのは,実は事前にこのブログをお読みになっていたのでは?と思いました。

 (イヤ非難しているのではなく,読んで頂けるだけでも有り難いことです。)

 そうではないと,辻褄が合わないことがかなりあると感じたので。。それともアレだけで全体を察せられるほど鋭い方なのかな?

 (前にブログのURLの入った名刺をお渡ししたので,読まれても不思議はないのですが大抵の方はほとんど興味を持たれないので。。。)

 数枚の記事は科学とは無関係な記事なのに何故か科学的内容が書かれているブログであるとおわかりのようでしたし,内容が希望のない後ろ向きの暗いものであることがあの数枚の印刷内容でわかるとは思えなかったのです。

 ,文章が下手で読み手が疲れるというのもそのとおりでしょうが,果たして数枚で疲れるのでしょうか?何か私の文章が関係者に害をおよぼしているのかな?と邪推しました。

 ともあれ,あの場では迷惑がっていましたが貴重なアドヴァイスを頂き,なるほどその通りであると感じました。聞いたとき面前では否定して,後で何気なくパクルというのはよくやる手です。

 私のブログも単なる個人的日記で「読んで疲れるなら読まなくていい」という,その場限りの傲慢な垂れ流しです。

 自動書記的に書きなぐったものもたくさんありますが,少しは読者を意識したものに少しずつ手直ししていこうと思います。

 手始めに,3年前(2006年3月)の最初の自己紹介記事から簡単に修正可能なものから順に,できるだけ行間が多く1文章が短かくなるようにという鉄則に従って直しています。

 後,必要と感じた初出の専門用語以外の英語表記は極力やめます。(でも先は長そうです。)

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2009年5月 9日 (土)

超弦理論(22)(2-11)

 超弦理論(superstring theory)の続きです。

 

 これまでは共変ゲージαβ=ηαβで物理的状態になるべき補助条件としてヴィラソロ条件(Virasoro条件)を課して自由ボソン弦の量子化を調べてきました。

 しかし,以前に指摘したように計量(metric)をhαβ=ηαβと固定した後に,なお特殊な弦の座標選択を可能にするゲージ対称性が残っています。

 実際,特殊な非共変選択をすることによってヴィラソロ拘束方程式を陽に解き,物理的自由度のみを記述するフォック空間の理論を展開できるようになります。

 以下で述べる自発的に破れたゲージ理論のユニタリゲージに類似した定式化は元々1973年にGoddard,Goldstone,Rebbi,Thornによって展開されたものです。

 これは光錐(光円錐)定式化(light-cone定式化)と呼ばれるものです。この定式化は明白に共変なわけではありませんが明白にゴースト・フリー(ghost-free)です。

 

 逆に,ゴースト・フリーではないけれど明白に共変な共変定式化とこれの同等性を証明することによって,「ゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)」の厳密な証明を得ることができます。

 光錐定式化を,ここで述べるのには他にも多くの理由があります。 

歴史的には,双対模型(dual model)が弦理論であるということを確立させたのも光錐量子化でした。

 

光錐描像は非常に物理的なものです。そしてまた,多くの計算やa=1,D=26という選択の必要性を理解する上で有益な理論的枠組みを与えるものです。

 さて,既に見たように,共変ゲージhαβ=ηαβで開弦の境界条件を満たす弦座標:Xμ(μ=0,1,..,D-1)は,Xμ(σ,τ)=xμ+pμτ+iΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)なるモード展開の形で表わされます。

 そして,これがヴィラソロ補助条件T++=T--=0 を満足することにも留意しておきましょう。

 

 さらに,世界面の再パラメータ化:σα→σα+δσα (δσα=ξα)において,∂αξβ+∂βξα=Ληαβを満たす任意の変換,または生成子V≡ξ)(∂/∂σ),V≡ξ)(∂/∂σ)で生成される変換に対応するゲージ対称性が残っていることを見ました。

この残りの対称性を追加のゲージ条件として用いるわけです。これは非共変ですがとても便利なものです。 

まず,時空において光錐座標として,,X導入することから始めます。

 

,XをX≡(X0+XD-1)/21/2,X≡(X0-XD-1)/21/2で定義します。これらは,以前弦の世界面に導入した光錐座標σ±に似ていますが大きな違いがあります。

時空においては,D個の座標があり,それらの中で2つ,X0とXD-1を任意の非共変な方法で選抜することを伴ないます。

 

一方,世界面上では,元々たった2つしか座標がなく,σ±を定義する選択に何の任意性の余地もありません。

さて,光錐座標ではD個の時空座標はX±と残りの横波の空間座標Xi(i=1,2,..,D-2)です。

 

ここでミンコフスキー計量(Minkowski metric)ημνのゼロでない成分はη+-=η-+=1,ηii=-1 (i=1,2,..,D-2)です。

この座標系では,任意のベクトルVμの成分もV±=(V0±VD-1)/21/2とVi (i=1,2,..,D-2)になります。

 

2つのベクトルVとWの内積はVW=V+V-Viiで与えられます。また,反変⇔共変の添字の上げ下げは,V=V,V=V,Vi=-Viなるルールに従います。

それでは,残るゲージ対称性からは,どのような簡単化が可能なのでしょうか?

これに関し,2009年3/14の過去記事「超弦理論(14)(2-3)」において,以下のような記述があります。

 

"共変ゲージの典型的な形としてhαβ=ηαβと置くだけではまだゲージ自由度を完全には使い尽くしていません。

 

αξβ+∂βξα=Ληαβを満たす任意の組合わせに対する再パラメータ化:σα→σα+δσα (δσα=ξα)をすれば,この(再パラメータ化)+(ワイルスケーリング:Weil-scaling)の後で,なお特殊な共変ゲージ選択hαβ=ηαβが保持されます。

このとき,∂τξ0=∂σξ1=Λ/2,∂τξ1=∂σξ0より∂τ0+ξ1)=∂σ0+ξ1),∂τ0-ξ1)=∂σ1-ξ0)です。

 

これは,ξ±=ξ0±ξ1なる光錐系の言葉では,∂ξ=0 ,∂ξ=0 なること,つまりξはσ=τ+σの任意関数であり,ξはσ=τ-σの任意関数であることを意味します。"

すなわち,世界面の光錐座標σ±=τ±σで表現すると,残りのゲージ不変性は任意の再パラメータ化の可能性:σ→σ~),σ→σ~)に対応します。

 

閉弦ではσとσは独立に再パラメータ化されますが開弦の場合には両者は境界条件でつながっています。

つまり,τ=(σ+σ)/2 → τ~=[σ~(τ+σ)+σ~(τ-σ)]/2,σ=(σ-σ)/2 → σ~=[σ~(τ+σ)-σ~(τ-σ)]/2なる再パラメータ化が許されます。

  

これはτ~が質量のない自由な波動方程式:(∂2/∂σ2-∂2/∂τ2)τ~=0 の任意の解であることを意味しますから,τ~が決まればσ~も完全に決まります。

では質量のない自由な波動方程式の解τ~を選ぶ自然な方法とはどんなものでしょうか?

τ~について唯一要求される条件は,それが自由な波動方程式:(∂2/∂σ2-∂2/∂τ2)τ~=0 の解であることです。

 

この方程式は以前に見た共形ゲージ(conformalゲージ)で,時空座標Xμ(σ,τ)が従うべき方程式:□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 と全く同じ形をしています。

そこで,残るゲージ自由度は,望むならパラメータτ~が正確に弦の座標Xμの1つに一致するように再パラメータ化してもよい,という事実に対応します。

 

これは,光錐ゲージではτ~=X/p+const.と選んでもよいことを意味します。通常これはX(σ,τ)=x+pτなる光錐ゲージ選択をすることで表現されます。

このことは古典的記述において,n≠0 の振動子座標αnを全てゼロと置くことに相当します。

 

弦座標のX成分は弦が無限大運動量で運動するような系で見られる時間座標に対応します。このゲージ選択ではXがσに依存しないので,弦のあらゆる点が同じ時間での値を取るという概念的な利点を有します。

そこで,X(σ,τ)=x+pτによってX(σ,τ)を固定することにします。

 

このとき,ヴィラソロ拘束方程式(d±')2=0 はX-d±X'={Σi=1D-2(Xid±Xi')2}/(2p)となります。

この式から簡単に陽に解くことができて,これをXiと未知の積分定数で表わせることがわかります。

 

つまり光錐ゲージでは,XとXの両方を消去できて,横波の振動子Xiのみが残ります。

(訳注48):すぐ前で参照した「超弦理論(14)(2-3)」にあるように,世界面光錐座標でのエネルギー運動量のゼロでない成分はT++=-∂,T--=-∂です。

 

 ∂=∂LLd,∂=∂RRdですから,これらはT++=-(Ld)2,T--=-(Rd)2と書けます。

そこで,拘束条件:T--=T++=0 は(Rd)2=(Ld)2=0 なることを意味します。

 

逆に,(Rd)2=(Ld)2=0 は∂X==0 であり,∂±=(∂τ±∂σ)/2 ですから,元の拘束条件は(d±')2=0 とも表現できます。

 

(訳注48終わり)※

開弦のXのモード展開は,Xμ=xμ+pμτ+n≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)]から,X=x+pτ+iΣn≠0[(αn/n)exp(-inτ)cos(nσ)]となります。

 

そこで,X-d±X'={Σi=1D-2(Xid±Xi')2}/(2p)から得られるαnの陽な解は,αn=(1/p)[(1/2){Σi=1D-2Σm=-∞n-miαmi:}-aδn]となります。

 

ここで共変的扱いとしてα0に未知の正規順序(normal-ordering)定数:aを導入しました。

(訳注49):X-d±X'={Σi=1D-2(Xid±Xi')2}/(2p)にX=x+pτ+iΣn≠0[(αn/n)exp(-inτ)cos(nσ)]を代入すると,p+Σn≠0nexp{-in(τ±σ)}]=[Σi=1D-2Σm,n=-∞αm-niαniexp{-im(τ±σ)}]/(2p)となります。

そこで,この式の左辺のn=0 と右辺のm=0 の項を比較して等置すると,α0=p={Σi=1D-2Σm=-∞α-miαmi}/(2p)=(1/p)[(1/2){Σi=1D-2Σm=-∞-miαni:}-a]を得ます。

 

左辺のn≠0 の項からはαn={Σi=1D-2Σm=-∞n-miαmi}/(2p)=(1/p)[(1/2){Σi=1D-2Σm=-∞n-miαni:}が得られます。

 

(訳注49終わり)※

光錐ゲージではα0とpを同一視することは質量殻条件そのものを意味します。

 

実際,α0=p=(1/p)[(1/2){Σi=1D-2Σm=-∞n-miαmi:}-a]から,Mを質量としてM2=2p-Σi=1D-2ii=2(N-a),N=Σi=1D-2Σn=1α-niαniが得られます。

以下では,縮約の規則を採用し,必要がある場合を除いてΣi=1D-2iiをpiiと書くことにします。こうすれば,質量殻条件はM2=2p-pii=2(N-a),N=Σn=1α-niαniと簡単になります。

また,この式は22p-pii=-2a+2Σn=1α-niαniと表現できますから,先に共変的扱いで見出されたM2=-2a-2Σn=1α-nαn (ただしα-nαnα-nμαnμ)と同じ質量殻条件です。

 

もっとも今の場合,N=Σn=1α-niαniには横波振動子のみが寄与するという違いがあります。(「超弦理論(17)(2-6)」参照) 

ところで,量pαn=(1/2){Σm=-∞n-miαmi:}-aδnはヴィラソロ代数を満足します。

 

すなわち,交換関係:[pαm,pαn]=(m-n)pαm+n+[{(D-2)/12}(m3-m)+2am]δm+nが成立します。

 

これを得るための計算は共変量子化でのヴィラソロ代数の論議と正確に同じです。これは光錐量子化における基本公式と考えられます。

(訳注50):[pαm,pαn]=(m-n)pαm+n+A(m)δm+nと書けば超弦理論(18)(2-7)」と同様にして,(m)=c33+c1mですが,[pα1,pα-1]=2pα0+c3+c1で,かつ2pα0= 2p=pii-2a+2Σn=1α-niαniです。

n≠0 なら,pαn=(1/2){Σm=-∞n-miαmi:}ですから,0=<0;0|[pα1,pα-1]|0;0>=-2a+c3+c1です。

 

また,[pα2,pα-2]=4pα0+8c3+2c1より(D-2)/2=<0;0|[pα2,pα-2]|0;0>=-4a+8c3+2c1を得ます。

それ故,c1=-(D-2)/12+2a,c3=(D-2)/12が得られます。すなわち,A(m)={(D-2)/12}(m3-m)+2amです。

 

(訳注50終わり)※

さて,理論がこの光錐ゲージで本当にローレンツ共変かどうかを調べたいと思います。

 

素朴に考えると,そうあるはずです。

 

なぜなら,これはローレンツ共変性が基本にあるゲージ不変な理論において,単にゲージを1つに固定することによって得られたものであるからです。

aとDの幾つかの値に対して理論に何か不都合があるとすれば,それはローレンツ不変性が陽には維持されない光錐ゲージにおいて,具体的にローレンツ不変性の欠如を示す良い機会を与えると考えられます。

さて,光錐ゲージにおいては,全ての弦の励起は横波振動子αniによって生成されます。

 

例えば,第1励起状態はα-1i|0;p>で与えられます。これは横波による(D-2)次元回転群SO(D-2)の(D-2)成分のベクトル表現です。

横に偏極した運動量ベクトルでも,質量がゼロでないなら一般にローレンツ変換によって縦の偏極成分を獲得します。

 

これは,"質量のある粒子のスピンはSO(D-1)の既約表現で分類され,一方,質量の無い粒子はSO(D-2)の既約表現に対応する。"というよく知られた事実の言明です。

 

(ただし今はボーズ粒子の弦ですが,フェルミ粒子の話なら,これをカバーする群であるスピン群:Spin(D-1)とSpin(D-2)を回転群SO(D-1)とSO(D-2)の代わりに用いる必要があります。)

したがって,もしもベクトル状態:α-1i|0;p>が質量の無い粒子状態でないなら光錐ゲージにおいてローレンツ共変な弦理論を与えることができないことは明らかです。

 

それ故,理論がローレンツ共変であるためには,状態α-1i|0;p>に対するM2=2p-pii=2(N-a)の固有値がゼロであることが要求されます。

 

そこで,N=Σn=1α-niαniからNα-1i|0;p>=1より,結局a=1でなければならないと結論されます。

次に時空次元Dに対する制限を理解するというより困難な問題に向かいます。

最初に,たった今得たローレンツ共変な弦理論であるための必要条件:a=1を用いた発見的な議論をします。

そのために,正規順序定数aを直接計算で求めることを試みます。

まず,[αmμnν]=-mδm+nημνより,横波成分については[αminj]=mδm+nδijですから,[αn-n]=[αni-ni]=n(D-2)が得られます。

 

そこで,(1/2){Σn=-∞α-niαni}=(1/2){Σn=-∞-niαni:}+{(D-2)/2}{Σn=-1n}です。

 

もちろん第2項の和は発散するので何らかの正則化がなされる必要があります。

  その正則化の1つの方法として,一般的な場の理論でも同様な正規順序の問題でよく用いられる'ゼータ関数正則化'を使用してみます

一般的な和n=-1-sを考えます。Res>1に対しては,この和はリーマンのゼータ関数ζ(s)として知られている関数に収束します。

 

そしてゼータ関数ζ(s)の方は点s=-1にも一意的に解析接続できて,ζ(-1)=-1/12となります。

そこでn=-1-sにおいてs=-1とおいた和:Σn=-1nに,このζ(-1)の値-1/12を強引に'代入する'と{(D-2)/2}{Σn=-1n}=-(D-2)/24なる式が得られます。

 

(これは,もちろん正しい等式ではありませんが,"くりこみ"における擬似等式ではそれは承知の上です。)

ところで,我々は既にα0=(1/2){Σn=-∞α-niαni}=(1/2){Σn=-∞-niαni:}-aの定数aが1であるべきことを知っているので,(D-2)/24=1と等置することから,時空次元Dが26であることが示唆されます。

こうしたゼータ関数正則化は幾らか形式的なものですが,後章で零点エネルギーを正則化するという,より物理的な方法からも同じ答を得ることになります。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

PS:しかし,ビーチバレーの報道でよく思うのですが,浅尾・西堀ペアのスポーツニュースではいつも浅尾さんばかりがクローズアップされるのが少し不満です。

 

 私は昔から双子の西堀姉妹のお姉さん?の方の「西堀健実」さんの方がはるかに好みのタイプです。

  http://ameblo.jp/takemi0820/  

 

 まあ「浅尾美和」さんの方が圧倒的に人気があるのかも知れませんが,ペアの勝敗などのニュースでも,浅尾さん1人だけのインタビューや1人だけの映像でニュースが終わってしまうのには,個人的にいつも不満に思っています。

 

 西堀さんの方は,なんとなく私の姪の「N子=ハンドル名:いくよくるよ」や,ときどきここにコメントくれる「れな(れい)ちゃん」にも似ているようで親しみを感じますしね。。。

 

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2009年5月 7日 (木)

明日朝東京に帰ります。(PS:帰京しました)

 今日5月7日の夜行バスで東京に帰ります。5月8日朝8時ごろ新宿に到着予定です。。

 まずは報告まで。。。ブログのコメント対応などネット環境の安定した東京にて対応します。ではでは。。。

PS:5月8日午後9時です。

 今回は転倒もせず,本日朝無事8時5分過ぎに自宅に帰り着きました。

 昨夜23時20分梅田の桜橋口発のJR西日本の高速バス青春中央ドリーム号新宿行きでしたが,夜中のたった1回約30分のトイレ休憩が岐阜県(長野県?)の「養老パーキング」であったところをみると,どうもこのバスは中央高速を通ったみたいでGWの帰省ピークを過ぎた平日とはいえ渋滞などは全くなく,10分くらいも早く朝7時半には新宿駅に着きました。

 いや,最近炎上事故が頻発して有名な2階建バスでしたが私以外の全員が2階席で10席しかない1階席を一人占め状態でした。青春切符ということで料金は格安の5000円ですが,しかも私は身障者1種なのでJRの100キロ以上は障害者割引で運賃のみは半額ということで2500円でした。

(行きはJRが満杯で「奈良交通」の6800円(身障者割引なし)でした。。。)

 調べると,青春ドリーム号という東京-大阪間が3900円(隔日で往復)というバスもありましたから,半額で片道1950円ならバスでの長時間の旅が苦にならないなら,閑散期では大阪東京往復で3900円でガラガラ席の旅でしょう。

 ヒマなら,大阪付近で一泊して,もっと西まででもチョクチョク行ける程度の低運賃だなと思いました。

 今回は席に関してはガラガラでぜいたくでしたが逆に話し相手もなくて寂しかったという意味もありました。

 もしも付き添いという名目で誰か連れがいたとしても,付き添い1人までは障害者本人と同じく半額料金なので,見知らぬ人にでも声をかけて半額より少し高い料金で売れば商売ができるかもしれませんね。

 結局,椅子を2つリクライニングにして窓側にもたれ,就眠剤を飲んだ後ヘッドホンでずっと好きな曲を聞きながらウツラウツラしていました。やはり本格的には眠れませんね。

 何故か外人の客が多かったけれどみんな2階なのは夜中ですし肉眼で景色が見えるわけでもないのに「バカは高いところが好き?」なのか,それとも車輪やエンジンの音が小さくて寝やすいのか,もの珍しかったのかもしれませんね。

 帰宅してから眠かったけれど先月に今日朝10時に予約してあった帝京大病院に定期的な診察に行きました。

 何と病院が新館と呼ばれる新しい建物に変わっていて,板橋駅から向かった病院のバス停から歩いて外来受付がかなり遠くなっていて少し迷ったので予定時刻に30分ほど遅刻していまいました。

 丁度,今日8日から外来診療の新装開店だったみたいで,先月4/24の血管検査の結果のデータがまだ新館のコンピュータに来てないとかの不備もあってこの結果については次回診察のの7/3に再検討ということになりました。

 診察後薬を待つ間に病院で昼食を取り,薬局で次回までの56日分の薬をもらって帰宅したのが14時頃で,それから先ほどの21時頃まで爆睡していて目が覚めてこれを書いています。

 これでまもなく元の生活に戻ります。とはいっても週末の夜ですから。みやげを持って近くに飲みにいこうかな? 

 5/1に転倒した際にかばい手で少し捻挫した右手首がまだ痛いなあ。。

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2009年5月 3日 (日)

無事?西宮に到着しました。

 5月1日の夜9時頃,よせばいいのに近くのスナック「若大将」でつい一杯飲んでバスの集合時間に遅れそうになり,新宿駅西口から集合場所のセンタービルに急ぐ途中で,まわりが暗かったせいもあって,歩道と車道の境目の段差に足を取られて派手に転倒してしまいました。

 とっさに一番,骨が固そうな左顔面頭頂部で「受け身?」をして,したたか額を打ち,高い?鼻をこすり左目の左側の額部分を切って少し脳震盪を起こしてしまいました。

 親切な人はいるもので,たまたま通りかかっていた若い男性の1人と女性1人に「大丈夫ですか?」と声をかけて頂き,血が流れていたらしくお2人はティッシュを下さいました。

 女性が「車道側に倒れていると危ないです。起きられますか?」というので起きてみたら何ということはなかったので,お礼を言ってから額の血をティッシュで押さえながら,集合場所に急ぎました。

 GWで結構,待ち人がたくさんいて迷いましたが,「ケガまでしたのに乗り遅れたら大変だ。」と思っていました。

 結局4台あったバスのうち15番の「奈良交通」のバスにたどりついて20分遅れで23時10分に新宿西口を出発しました。客はほとんど若い人でした。

 「隣はネエチャンの方がいいな」と期待していましたが,窓側の隣は「草なぎ剛(つよぽん)」を少し若くハンサムにしたようなイケメンでした。

 例によってオシャベリな私が矢継ぎ早に話しかけるとイヤな顔もせず,「次の休憩で血のついた顔洗ったほうがいいですよ。」と言ってくれました。

 夜中を過ぎて彼はさすがに寝るというので,会話はやめて私も寝ようと努力しましたがなかなか寝付けませんでした。

 夜間のせいでしょうか?高速道路はずい分すいていてバスはスムーズに走行し,ペットボトルのお茶とスナック菓子を食べてウツラウツラしているうち1時45分頃,1回目の10分間トイレ休憩のどこかわからないパーキング(おそらく神奈川県と静岡県の間,足柄かな?)に着き,トイレで初めて鏡で自分の顔を見てビックリしました。

 夜中だから目立たなかったものの結構派手なケガ人面になってましたね。

 「ま・いっか」と顔の血やリンパ液らしきものを洗い流し,あったかいコーヒーを1本飲んでバスに戻り,次の休憩4時10分の「峠の茶屋=内津峠」に着くまでは寝たフリをしてました。。

 まあ,普段は飲み屋のハシゴで20時間以上も起きてるくらいでも平気なので「寝られなきゃ寝られなくてもイイや」と思っていました。

 明け方はよくわからなかったけれど,関が原付近の峠を通過した後,朝6時半にほぼ予定通り京都駅に着いて半分近くの人が降りていきました。

 隣の若い彼は関西学院大学4回生ということで宝塚に戻るとのことでしたが,ここからがヒドい渋滞で予定は大阪駅着7時でしたが,結局8時7分に大阪駅に着きました。

 ここが終点だろうと思ってゆっくり構えてると,運転手が「これからまだ三宮に向かう」と言うので熟睡中の隣人を起こしあわてて降りました。

 JR大阪梅田駅で降車後は阪急電車の特急で西宮北口に向かいました。

 例によって関西のエスカレータは関東と左右が逆のマナーであることを思い出しました。

 西宮北口駅に着くと電話とメールで呼び出していた姪が車で迎えにきていましたが,事情はメールで伝えていたのにも関わらず,顔を見て少し驚いたようでした。とにかく姉のうちに到着したのは朝9時ころでした。

 軽食を取って,10時ころまでユッタリしてから2階の関東で仕事をしているらしい甥の部屋で2,3時間寝て昼過ぎに起きて,姉や姪と積もる話をして夜はチューハイなど飲んでくつろいでいるうちに飲酒してるにも関わらず何だか寒気がしてきました。

 熱を測ると平熱でしたが,「ひょっとして頭の中で内出血していて20時間くらいたったので出血多量で寒いのでは?」と素人考えで心配になり救急車を呼びました。

 近くの明和病院に運ばれて事情を告げると,「もしそうだとしたら6時間以上経っていればCTでわかる。」というのでCTスキャンを取ったら何でもないらしく,それを聞いたらなぜか寒気もおさまりました。メデたし。メデたし。。

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