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2009年6月 5日 (金)

電磁場の共変的量子化(1)(中西-Lautrap理論)

ちょっと息抜きで,電磁場を共変的に量子化する

「中西-Lautrap理論」の概略でも書いてみます。

 

自然単位系c=hc1 (ただしhc≡(h/(2π))での,自由電磁場

μ(φ,)の単独のLagrangian密度は,EM=-(1/4)Fμνμν

μν≡∂μν-∂νμで与えられます。

 

理論が有するゲージ変換の自由度を消して,ゲージを固定するため,

補助場Bというものを導入して,

EM=-(1/4)Fμνμν+B(∂μμ)+(1/2)αB2

としてみます。

 

これに対する,Euler-Lagrange方程式:

ν(∂EM/∂(∂νμ))-∂EM/∂μ0 ,

および∂ν(∂EM/∂(∂ν))-∂EM/∂B=0 から,

 

運動方程式として,∂ννμ-∂μB=0:

μ-∂μνν-∂μB=0 ,

および,∂μμ+αB=0 を得ます。

 

μに対する運動方程式:□μ-∂μνν-∂μB=0 に,

μを掛けると,□B=0 を得ますから,補助場Bも質量がゼロ

のスカラー粒子を表わす場です。

 

そして,Bに対する運動方程式:∂μμ+αB=0 をAμに対する

運動方程式:□μ-∂μνν-∂μB=0 に代入すると,

μ(1-α)∂μB=0 が得られます。

 

 それ故,α=0 のときにのみ,∂μμ+αB=0 がLorenz条件:

 ∂μμ0 に一致し,

 α=1のときにのみ,Aμに対する運動方程式:

 □μ(1-α)∂μB=0 がD'Alembert方程式:□μ0

 に一致します。

 

これらの特別なゲージ,α=0 をLandau(ランダウ)ゲージ,

α=1をFeynman(ファインマン)ゲージと呼びます。

 

ただし,□∂μμ0,□2μ0 はαの値に無関係に成立

します。

 

 さて,EM=-(1/4)Fμνμν+B(∂μμ)+(1/2)αB2によ,

正準運動量は,πk=∂EM /∂(∂0k)=-∂0kk0

=-F0k(=Ek),π0=∂EM /∂(∂00)=B となります。

 

そして,同時刻における通常の正準交換関係:

[μ(x0,),πν(x0,)]=iημνδ3(),

[μ(x0,),Aν(x0,)]=[πμ(x0,),πν(x0,)]=0

を設定します。

 

 これから,

 [μ(x0,),∂0k(x0,)]=iδμkδ3(),

 [μ(x0,),B(x0,)] =-iημ0δ3(),

 [μ(x0,),Aν(x0,)]=0,

 

 [∂0j(x0,),∂0k(x0,)]=0,

 [∂0k(x0,),B(x0,)]=0,

 [B(x0,),B(x0,)]=0

 

 が得られます。

 

必要なもののうち,∂000Bだけが現われていませんが,

これらのうち∂00は,∂μμ+αB=0 により,

00kkk)-αB,

 

そしてまた,∂0Bは,□μ-∂μνν-∂μB=0 により,

0B=□0-∂0ννkk(∂0k)}-△0

と表現できます。

 

よって,これらの同時刻交換関係は,計算で得ることができます。

例えば,[B(x0,),∂0B(x0,)]=0 です。

 

Hamiltonian:HEMをHEM=∫d3EM~(x)と書けば,その密度は

EM~(x)=πμ0μEM(x)

=(-Σk0k0k)+B∂00(1/4)Fμνμν

-B(∂μμ)-(1/2)αB2

 

(1/2)Σk(F0k)2+Σj,k(1/4)(Fjk)2(1/2)αB2

+∂kΣk[F0k0+BAk]-Σk[(∂k0k)A0(∂k)Ak]

 

で与えられます。

 

運動方程式ννμ-∂μB=0 によれば,Σkk0k0

ですから,EM(x)=(1/2)Σk(F0k)2

+Σj,k(1/4)(Fjk)2(∂0)A0-Σk[(∂k)Ak]-(1/2)αB2

とおけば,EM~(x)=EM(x)+∂kΣk[F0k0+BAk]

と書けます。

 

空間積分においては,kΣk[F0k0+BAk]の項は効かないので,

この項を省いても同じですから,EM=∫d3EM(x)となります。

 

この新しいEM(x)の方をHamiltonian密度と解釈します。

 

補助場B(x)は,D'Alembert方程式:□B=0 の解ですが,

電磁場Aμ(x)は運動方程式:□μ(1-α)∂μB=0

を満たします。

 

そこで,Aμは,□2μ0 の解ですが,α=1以外では,

D'Alembert方程式:□Aμ0 の解ではありません。

 

したがって,Aμ(x)=(2π)-3/2∫d4pθ(p0){aμ(p)exp(-ipx)

+aμ(p)exp(ipx)}と4次元的運動量表示をしても,一般には,

□Aμ0 のため,p20 以外でもaμ(p)がゼロでない意味を持つ

ことになります。

 

すなわち,質量がゼロのp20 の近傍でのみ,aμ(p)が意味を持つ

という付帯条件を付けることなどが必要になります。

 

あるいは,p20 のaμ(p)をどう解釈するか?を指示しないと,

この運動量表示は不完全です。

 

以下では,こうしたことを明確にするための準備をします。

 

まず,□B=0 の解のB(x)を求めるために,DAlembert演算子

の逆演算子:□-1を求める必要があります。

 

□D(x)=δ4(x)を満たす,Grren関数□-1δは,一般に不変D関数

と呼ばれ,Fourier積分の形では,D(x)≡Dret(x)-Dadv(x)

=i∫d4(2π)-3θ(k0)δ(k2){exp(-ikx)-exp(ikx)}

と表わされます。

 

ただし,Dret(x),Dadv(x)は,それぞれ,遅延(retarded)Green関数,

先進(advanced)Grreen関数です。 

(↑※2006年12/16の過去記事:

電流によって発生する光子の個数分布参照)

 

DAlembert方程式:□B=0 の解は,

B(x)=∫d3[{∂D(x-z)/∂x0}B(z)

+D(x-z)∂B(z)/∂z0] の積分形で書けます。

(↑※2006年10/3の記事「ホイヘンスの原理の正当性」を参照)

 

もしも,非同次方程式:□ψ=ρの解ψを表現するのであれば,

ψ(x)=C(x)+∫d4zD(x-z)ρ(x), □C=0 と書いて

いいのでしょうが,Bは同次方程式の解なので,初期値問題に対

するKirchhoff表示に書きました。

 

ということは,□μ(1-α)∂μB=0 は,

μ(x)=Cμ(x)

+(1-α)∫d4zD(x-z){∂B(z)/∂zμ},□Cμ0

という表現もできますね

 

これに意味があるかどうか?は知らないけれど。。

 

一方,電磁場Aμ(x)は,□2μ0 の解なので,□2の逆演算子:

(□2)-1が存在するなら,それに相当する□2のGreen関数E(x)も

求めておきましょう。

 

すなわち,□2(x)=δ4(x)を満たすLorentz不変な関数:

E(x)を求めます。

 

安易な道を取るなら,(x)=δ4(x)なので,D(x)=□E(x)

なるE(x)を求めれば,□2(x)=δ4(x)となるはずですから,

E=-1Dを利用して形式的には直ちにE(x)が得られるはずです

 

そして,D(x)=Dret(x)-Dadv(x)ですから,

ret(x)=□Eret(x),Dadv(x)=□Eadv(x),により,

E(x)=Eret(x)-Eadv(x)を満たすEret(x),Eadv(x)

も得られるはずです。

 

いかにも途中ですが,今日はここで終わります。

 

後で書き直すかもしれないけど。。。

 

参考文献:中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

 

PS:冤罪が晴れて無実が証明された菅家さん。

 

 それでも,不幸中の幸い?でした。

 死刑が確定しているような事件で執行されていれば取り返しがつき

 ません。

 

 (彼の今の外見から20年前の事件当時の人物像を推し量ることはでき

 ません。

 

 私は,その温厚で人格者のような外見は,長年の理不尽な扱いに対する

 諦観等で培われてきたところが大きいと思うからです。

 

 穏やかな人でも,何らかの事情(例えば正当防衛に似たもの)で,止むを

 得ず,殺傷するような人はいるでしょう。

 

 しかし,当時,恐らく個人的性癖とかの理由だと思いますが,それで

 幼女を殺すような人物に見えたのでしょうか? 

 

 私には疑問です。)

 

 本当に17年もの長い間,放っておいてゴメンナサイ。。。

 

 心から謝罪します。。。。

 

 (世の中に,理不尽がまかり通っていることを許している責任の一端

 は,私を含めあらゆる人にあるはずです。)

 

 そういえば,狭山事件の石川一雄さんはどうなったんだろう。。

 (↑※2006年6/10の記事「 狭山差別裁判 」参照)

 

PS2:長崎のじゃがいもを貰ったのですが,肉とか他の食材がないので

 昨日(6/6)は「イモの煮っころがし」と「ジャガイモとワカメの

 入った味噌汁」を作りました。

 

 前者は追いガツオなどもやりましたが,レシピ通りに味付けすると

 どうも甘すぎるようです。

 

 前に玉子焼きも味付けをレシピに頼ると甘すぎたので,このレシピ

 の著者(甘党?)の味覚は私には合わないと思います。

 

 これからは,砂糖は半分以下に減らすつもりです。

 

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」

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コメント

ごめんなさい、妃鶴のママの携帯電話番語を教えて、いただけますか?よろしくお願いいたします。

投稿: れいな | 2009年6月10日 (水) 13時16分

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