電磁場の共変的量子化(1)(中西-Lautrap理論)

ちょっと息抜きで,電磁場を共変的に量子化する

「中西-Lautrap理論」の概略でも書いてみます。

自然単位系ｃ＝ｈ_c＝1 (ただしｈ_c≡(ｈ/(2π))での,自由電磁場

Ａ^μ＝(φ,Ａ)の単独のLagrangian密度は,Ｌ_EM＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν

Ｆ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μで与えられます。

理論が有するゲージ変換の自由度を消して,ゲージを固定するため,

補助場Ｂというものを導入して,

Ｌ_EM＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν＋Ｂ(∂_μＡ^μ)＋(1/2)αＢ²

としてみます。

これに対する,Euler-Lagrange方程式:

∂_ν(∂Ｌ_EM/∂(∂_νＡ^μ))－∂Ｌ_EM/∂Ａ^μ＝0 ,

および∂_ν(∂Ｌ_EM/∂(∂_νＢ))－∂Ｌ_EM/∂Ｂ＝0 から,

運動方程式として,∂_νＦ^ν_μ－∂_μＢ＝0:

□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 ,

および,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 を得ます。

Ａ^μに対する運動方程式:□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 に,

∂^μを掛けると,□Ｂ＝0 を得ますから,補助場Ｂも質量がゼロ

のスカラー粒子を表わす場です。

そして,Ｂに対する運動方程式:∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 をＡ^μに対する

運動方程式:□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 に代入すると,

□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 が得られます。

　それ故,α＝0 のときにのみ,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 がLorenz条件:

　∂_μＡ^μ＝0 に一致し,

　α＝1のときにのみ,Ａ^μに対する運動方程式:

　□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 がD'Alembert方程式:□Ａ_μ＝0

　に一致します。

これらの特別なゲージ,α＝0 をLandau(ランダウ)ゲージ,

α＝1をFeynman(ファインマン)ゲージと呼びます。

ただし,□∂_μＡ_μ＝0,□²Ａ_μ＝0 はαの値に無関係に成立

します。

　さて,Ｌ_EM＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν＋Ｂ(∂_μＡ^μ)＋(1/2)αＢ²により,

正準運動量は,π_k＝∂Ｌ_EM /∂(∂₀Ａ^k)＝－∂₀Ａ_k＋∂_kＡ₀

＝－Ｆ_0k(＝Ｅ^k),π₀＝∂Ｌ_EM /∂(∂₀Ａ⁰)＝Ｂ となります。

そして,同時刻における通常の正準交換関係:

[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),π_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝iη_μνδ³(ｘ－ｙ),

[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝[π_μ(ｘ⁰,ｘ),π_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0

を設定します。

　これから,

　[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝iδ_μkδ³(ｘ－ｙ),

　[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)] ＝－iη_μ0δ³(ｘ－ｙ),

　[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0,

　[∂₀Ａ_j(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝0,

　[∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0,

　[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0

　が得られます。

必要なもののうち,∂₀Ａ₀と∂₀Ｂだけが現われていませんが,

これらのうち∂₀Ａ₀は,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 により,

∂₀Ａ₀＝(Σ_k∂_kＡ_k)－αＢ,

そしてまた,∂₀Ｂは,□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 により,

∂₀Ｂ＝□Ａ₀－∂₀∂_νＡ^ν＝{Σ_k∂_k(∂₀Ａ_k)}－△Ａ₀

と表現できます。

よって,これらの同時刻交換関係は,計算で得ることができます。

例えば,[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

Hamiltonian:Ｈ_EMをＨ_EM＝∫ｄ³ｘＨ_EM~(ｘ)と書けば,その密度は

Ｈ_EM~(ｘ)＝π_μ∂₀Ａ^μ－Ｌ_EM(ｘ)

＝(－Σ_kＦ_0k∂₀Ａ^k)＋Ｂ∂₀Ａ₀＋(1/4)Ｆ_μνＦ^μν

－Ｂ(∂_μＡ^μ)－(1/2)αＢ²

＝(1/2)Σ_k(Ｆ_0k)²＋Σ_j,k(1/4)(Ｆ_jk)²－(1/2)αＢ²

＋∂_kΣ_k[Ｆ_0kＡ₀＋ＢＡ_k]－Σ_k[(∂_kＦ_0k)Ａ₀＋(∂_kＢ)Ａ_k]

で与えられます。

運動方程式∂_νＦ^ν_μ－∂_μＢ＝0 によれば,Σ_k∂_kＦ_0k＝∂₀Ｂ

ですから,Ｈ_EM(ｘ)＝(1/2)Σ_k(Ｆ_0k)²

＋Σ_j,k(1/4)(Ｆ_jk)²－(∂₀Ｂ)Ａ₀－Σ_k[(∂_kＢ)Ａ_k]－(1/2)αＢ²

とおけば,Ｈ_EM~(ｘ)＝Ｈ_EM(ｘ)＋∂_kΣ_k[Ｆ_0kＡ₀＋ＢＡ_k]

と書けます。

空間積分においては,∂_kΣ_k[Ｆ_0kＡ₀＋ＢＡ_k]の項は効かないので,

この項を省いても同じですから,Ｈ_EM＝∫ｄ³ｘＨ_EM(ｘ)となります。

この新しいＨ_EM(ｘ)の方をHamiltonian密度と解釈します。

補助場Ｂ(ｘ)は,D'Alembert方程式:□Ｂ＝0 の解ですが,

電磁場Ａ_μ(ｘ)は運動方程式:□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0

を満たします。

そこで,Ａ_μは,□²Ａ_μ＝0 の解ですが,α＝１以外では,

D'Alembert方程式:□Ａ_μ＝0 の解ではありません。

したがって,Ａ_μ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰){ａ_μ(ｐ)exp(－iｐｘ)

＋ａ_μ^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}と４次元的運動量表示をしても,一般には,

□Ａ_μ≠0 のため,ｐ²＝0 以外でもａ_μ(ｐ)がゼロでない意味を持つ

ことになります。

すなわち,質量がゼロのｐ²＝0 の近傍でのみ,ａ_μ(ｐ)が意味を持つ

という付帯条件を付けることなどが必要になります。

あるいは,ｐ²≠0 のａ_μ(ｐ)をどう解釈するか？を指示しないと,

この運動量表示は不完全です。

以下では,こうしたことを明確にするための準備をします。

まず,□Ｂ＝0 の解のＢ(ｘ)を求めるために,DAlembert演算子

の逆演算子:□^-1を求める必要があります。

□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たす,Grren関数□^-1δは,一般に不変Ｄ関数

と呼ばれ,Fourier積分の形では,Ｄ(ｘ)≡Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ)

＝ｉ∫ｄ⁴ｋ(2π)^-3θ(ｋ⁰)δ(ｋ²){exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)}

と表わされます。

ただし,Ｄ_ret(ｘ),Ｄ_adv(ｘ)は,それぞれ,遅延(retarded)Green関数,

先進(advanced)Grreen関数です。　

(↑※2006年12/16の過去記事:

「電流によって発生する光子の個数分布」を参照)

DAlembert方程式:□Ｂ＝0 の解は,

Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｘ⁰}Ｂ(ｚ)

＋Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ⁰] の積分形で書けます。

(↑※2006年10/３の記事「ホイヘンスの原理の正当性」を参照)

もしも,非同次方程式:□ψ＝ρの解ψを表現するのであれば,

ψ(ｘ)＝Ｃ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ)ρ(ｘ), □Ｃ＝0 と書いて

いいのでしょうが,Ｂは同次方程式の解なので,初期値問題に対

するKirchhoff表示に書きました。

ということは,□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 は,

Ａ_μ(ｘ)＝Ｃ_μ(ｘ)

＋(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ^μ},□Ｃ_μ＝0

という表現もできますね。

これに意味があるかどうか？は知らないけれど。。

一方,電磁場Ａ_μ(ｘ)は,□²Ａ_μ＝0 の解なので,□²の逆演算子:

(□²)^-1が存在するなら,それに相当する□²のGreen関数Ｅ(ｘ)も

求めておきましょう。

すなわち,□²Ｅ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たすLorentz不変な関数:

Ｅ(ｘ)を求めます。

安易な道を取るなら,□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)なので,Ｄ(ｘ)＝□Ｅ(ｘ)

なるＥ(ｘ)を求めれば,□²Ｅ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)となるはずですから,

Ｅ＝□^-1Ｄを利用して形式的には直ちにＥ(ｘ)が得られるはずです。

そして,Ｄ(ｘ)＝Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ)ですから,

Ｄ_ret(ｘ)＝□Ｅ_ret(ｘ),Ｄ_adv(ｘ)＝□Ｅ_adv(ｘ),により,

Ｅ(ｘ)＝Ｅ_ret(ｘ)－Ｅ_adv(ｘ)を満たすＥ_ret(ｘ),Ｅ_adv(ｘ)

も得られるはずです。

いかにも途中ですが,今日はここで終わります。

後で書き直すかもしれないけど。。。

参考文献：中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

PS:冤罪が晴れて無実が証明された菅家さん。

　それでも,不幸中の幸い？でした。

　死刑が確定しているような事件で執行されていれば取り返しがつき

　ません。

　(彼の今の外見から20年前の事件当時の人物像を推し量ることはでき

　ません。

　私は,その温厚で人格者のような外見は,長年の理不尽な扱いに対する

　諦観等で培われてきたところが大きいと思うからです。

　穏やかな人でも,何らかの事情(例えば正当防衛に似たもの)で,止むを

　得ず,殺傷するような人はいるでしょう。

　しかし,当時,恐らく個人的性癖とかの理由だと思いますが,それで

　幼女を殺すような人物に見えたのでしょうか？　

　私には疑問です。)

　本当に17年もの長い間,放っておいてゴメンナサイ。。。

　心から謝罪します。。。。

　(世の中に,理不尽がまかり通っていることを許している責任の一端

　は,私を含めあらゆる人にあるはずです。)

　そういえば,狭山事件の石川一雄さんはどうなったんだろう。。

　(↑※2006年６/10の記事「 狭山差別裁判 」参照)

PS2:長崎のじゃがいもを貰ったのですが,肉とか他の食材がないので

　昨日(６/６)は「イモの煮っころがし」と「ジャガイモとワカメの

　入った味噌汁」を作りました。

　前者は追いガツオなどもやりましたが,レシピ通りに味付けすると

　どうも甘すぎるようです。

　前に玉子焼きも味付けをレシピに頼ると甘すぎたので,このレシピ

　の著者(甘党？)の味覚は私には合わないと思います。

　これからは,砂糖は半分以下に減らすつもりです。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」

　サブマネージャーです。

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