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2009年6月 1日 (月)

超弦理論(24)(2-13)

  超弦理論(superstring theory)の続きです。

 前回は,アノマリー(ゴースト)を生みだす可能性のある交換関係[Ji-,Jj-]が,[Ji-,Jj-]=-(1/p)2Σm=1m-miαmj-α-mjαmi)}なる形に表現できる,というところまで書きました。

 今日は,これの右辺の係数Δmの具体的な形を計算して,非共変な光錐ゲージを採用した場合も,弦理論がゲージ不変な理論として本質的にはローレンツ共変であるための条件:[Ji-,Jj-]=0 ,あるいはΔm=0 を満たすために,Dとaに課せられる条件を決定します。

 

 そのために,Ji-=li-+Ei-=xi-xi+Ei-,Jj-=lj-+Ej-=xj-xj+Ej-と分解して,各項ごとの交換関係を求めます。

 

 まず,[x,1/p]=i(p)-2です。

※(訳注53) 正準交換関係:[xμ,pν]=-iημνから,[x0,p0]=-i, [xD-1,pD-1]=i,かつ,[x0,xD-1]=[p0,pD-1]=[x0,pD-1]=[xD-1,p0]=0 です。

 

 そして,x=(x0-xD-1)/21/2,p=(p0+pD-1)/21/2ですから,[x,p]=-iです。よって,p[x,1/p]p=p-x=-[x,p]=iなので,[x,1/p]=i(p)-2を得ます。

 

さらに,[x,p]=i(p)-1です。

 

これは質量殻条件:M2=2p-Σk=1D-2kkにより,0=[x,p]=[x,p]p+p[x,p]=-ip+p[x,p]から得られます。(訳注53終わり)※

次に,Ej≡pj-によってEjなる量を定義すると,[xi,Ej]=-iEjjです。

※(訳注54)j=pj-=-ipΣn=1[(α-niαn-α-nαni)/n]=-iΣn=1[{1/(2n)}{α-nik=1D-2Σm=-∞n-mkαmk:)-(Σk=1D-2Σm=-∞n-mkαmk:)αnj}]です。

そして0k=pk故,[xi0k]=[xi,pk]=iδikでxiはこれ以外のαnkとは交換します。

 

jj-=-iΣn=1[{1/(2n)}{α-nik=1D-2Σm=-∞n-mkαmk:)-(Σk=1D-2Σm=-∞n-mkαmk:)αnj}]なので,[xi,Ej]では,右辺のΣm=-∞n-mkαmk:で,xiとαn-mkαmkが交換しないm=nとm=0 の項だけに着目します。

 

これから,[xi,Ej]=i×(-i)Σn=1[(α-njαni-α-niαnj)/n]=-iEijが簡単に得られます。(訳注54終わり)

以上から,[Ji-,Jj-]=-(p)-2ij,Cij=2ipα0ij-[Ei,Ej]-iEij+iEji-ipα0lijが得られます。

(訳注55)Ji-=li-+Ei-=xi-xi+(p)-1iですから,[Ji-,Jj-]=[xi,Ej]p(p)-1-[xj,Ei]p(p)-1+(p)-2[Ei,Ej]-[x,1/p]pij+[x,1/p]pji-xi[p,x]pj-xji[x,p]です。

これに,[x,1/p]=i(p)-2,[xi,Ej]=-iEjj,および[x,p]=i(p)-1を代入して最後にpをα0と書きます。

そうすれば,[Ji-,Jj-]=-2iEjj(p)-1α0+(p)-2[Ei,Ej]-i(p)-2ji+i(p)-2ij+i(p)-1α0jj=-(p)-2{2ipα0jj-[Ei,Ej] -iEij+iEji-ipα0jj}が得られます。(訳注55終わり)※

 

したがって,結局,[Ji-,Jj-]=-(p)-2ij=-(p)-2Σm=1m-miαmj-α-mjαmi)}です。

 

それ故,Cij=Σm=1m-miαmj-α-mjαmi)},かつCij=2ipα0ij-[Ei,Ej]-iEij+iEji-ipα0lijです。

ijの前者の表現と,[αminj]=mδijδm+n(i,j=1,2,...,D-2)により,簡単に<0|αmkijα-ml|0>=m2Δmikδjl-δjkδil)が得られます。

 

一方,pαn=Σn=1[(1/2){Σk=1D-2Σm=-∞n-mkαmk:-aδn}および,[αminj]=mδijδm+nから,[αnmi]=-mαm+ni/p,min]=mαm+ni/pを得ます。

そこで,<0|αmkijα-ml|0>=<0|{2m(m-a)δikδjl-mpjlδki+mpjkδil+(δkiαm-mΣn=1αm-nkαni)(mΣn=1α-njαn-ml-δjlα-m)|0>-(i⇔j)です。

以前の記事で計算したように,[pαm,pαn]=(m-n)pαm+n+[{(D-2)/12}(m3-m)+2am]δm+nですから,[pαm,pα-m]=2mpα0+{(D-2)/12}(m3-m)+2amです。

そして<0|pα0|0>=-aですから,特に(p)2<0|αmα-m|0>={(D-2)/12}(m3-m)が成立します。

 

また,p<0|αmΣn=1α-njαn-ml|0>=pjl+Σn=1m-1(m-n)δjl=pjl+δjlm(m-1)/2も成り立ちます。

さらに,p<0|αmΣn=1{(α-nkαn-mi)/n}|0>=pki+Σn=1m-1(m-n)δki=pki+δkim(m-1)/2,同様にp<0|αmΣn=1{(α-njαn-ml)/n}|0>=pjl+δjlm(m-1)/2です。

そして,<0|Σn=1m{(α-nkαn-mi)/n}Σp=1m{(α-pkαp-mi)/p}|0>=-(m-1)(δikδjl-δjkδil)です。

 

これらのことから,Δm={(26-D)/12}m-{(D-26)/12+2(1-a)}/mと書けることがわかります。

  

※(訳注56) 詳細な計算は,<0|αmkijα-ml|0>=2m(m-a)(δikδjl-δjkδil)-mpjlδki+mpjkδil+mpilδjk-mpikδjl-(δikδjl-δjkδil){(D-2)/12}(m3-m) mpjlδik+mpikδjl-mpilδjk-mpjkδil+δikδjlm(m-1)/2+δikδjlm(m-1)/2-δjkδjlm(m-1)/2-δjkδilm(m-1)/2+m2(m-1)(δikδjl-δjkδil)となります。

 

結局,m2Δmikδjl-δjkδil)=(δikδjl-δjkδil)[{(26-D)/12}m3-{(D-26)/12+2(1-a)}m]が得られるわけです。(計算の詳細はかなり省略しています。)(訳注56終わり)

 

したがって,最終的に[Ji-,Jj-]=-(1/p)2Σm=1m-miαmj-α-mjαmi)},Δm={(26-D)/12}m-{(D-26)/12+2(1-a)}/mなる詳細な表現が得られました。

 

そこで,[Ji-,Jj-]=0 ,あるいはΔm=0 を要求すると,予期したように,D=26,かつa=1が必要です。

短かいですが,今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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