超弦理論(24)(2-13): TOSHIの宇宙

2009年6月 1日 (月)

超弦理論(24)(2-13)

　　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　前回は,アノマリー(ゴースト)を生みだす可能性のある交換関係[Ｊ^i－,Ｊ^j－]が,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}なる形に表現できる,というところまで書きました。

　今日は,これの右辺の係数Δ_mの具体的な形を計算して,非共変な光錐ゲージを採用した場合も,弦理論がゲージ不変な理論として本質的にはローレンツ共変であるための条件:[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝0 ,あるいはΔ_m＝0 を満たすために,Ｄとａに課せられる条件を決定します。

　そのために,Ｊ^i－＝ｌ^i－＋Ｅ^i－＝ｘⁱｐ^－－ｘ^－ｐⁱ＋Ｅ^i－,Ｊ^j－＝ｌ^j－＋Ｅ^j－＝ｘ^jｐ^－－ｘ^－ｐ^j＋Ｅ^j－と分解して,各項ごとの交換関係を求めます。

　まず,[ｘ^－,1/ｐ^＋]＝i(ｐ^＋)^-2です。

※(訳注53) 正準交換関係:[ｘ^μ,ｐ^ν]＝－iη^μνから,[ｘ⁰,ｐ⁰]＝－i, [ｘ^D-1,ｐ^D-1]＝i,かつ,[ｘ⁰,ｘ^D-1]＝[ｐ⁰,ｐ^D-1]＝[ｘ⁰,ｐ^D-1]＝[ｘ^D-1,ｐ⁰]＝0 です。

　そして,ｘ^－＝(ｘ⁰－ｘ^D-1)/2^1/2,ｐ^＋＝(ｐ⁰＋ｐ^D-1)/2^1/2ですから,[ｘ^－,ｐ^＋]＝－iです。よって,ｐ^＋[ｘ^－,1/ｐ^＋]ｐ^＋＝ｐ^＋ｘ^－－ｘ^－ｐ^＋＝－[ｘ^－,ｐ^＋]＝iなので,[ｘ^－,1/ｐ^＋]＝i(ｐ^＋)^-2を得ます。

さらに,[ｘ^－,ｐ^－]＝i(ｐ^＋)^-1ｐ^－です。

これは質量殻条件:Ｍ²＝2ｐ^＋ｐ^－－Σ_k=1^D-2ｐ^kｐ^kにより,0＝[ｘ^－,ｐ^＋ｐ^－]＝[ｘ^－,ｐ^＋]ｐ^－＋ｐ^＋[ｘ^－,ｐ^－]＝－iｐ^－＋ｐ^＋[ｘ^－,ｐ^－]から得られます。(訳注53終わり)※

次に,Ｅ^j≡ｐ^＋Ｅ^j－によってＥ^jなる量を定義すると,[ｘⁱ,Ｅ^j]＝－iＥ^jjです。

※(訳注54)Ｅ^j＝ｐ^＋Ｅ^j－＝－iｐ^＋Σ_n=1^∞[(α_-nⁱα_n^－－α_-n^－α_nⁱ)/ｎ]＝－iΣ_n=1^∞[{1/(2ｎ)}{α_-nⁱ(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)－(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)α_n^j}]です。

そして,α₀^k＝ｐ^k故,[ｘⁱ,α₀^k]＝[ｘⁱ,ｐ^k]＝iδ^ikでｘⁱはこれ以外のα_n^kとは交換します。

Ｅ^j＝ｐ^＋Ｅ^j－＝－iΣ_n=1^∞[{1/(2ｎ)}{α_-nⁱ(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)－(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)α_n^j}]なので,[ｘⁱ,Ｅ^j]では,右辺のΣ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:で,ｘⁱとα_n-m^kα_m^kが交換しないｍ＝ｎとｍ＝0 の項だけに着目します。

これから,[ｘⁱ,Ｅ^j]＝i×(－i)Σ_n=1^∞[(α_-n^jα_nⁱ－α_-nⁱα_n^j)/ｎ]＝－iＥ^ijが簡単に得られます。(訳注54終わり)※

以上から,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(ｐ^＋)^-2Ｃ^ij,Ｃ^ij＝2iｐ^＋α₀^－Ｅ^ij－[Ｅⁱ,Ｅ^j]－iＥⁱｐ^j＋iＥ^jｐⁱ－iｐ^＋α₀^－l^ijが得られます。

※(訳注55)Ｊ^i－＝ｌ^i－＋Ｅ^i－＝ｘⁱｐ^－－ｘ^－ｐⁱ＋(ｐ^＋)^-1Ｅⁱですから,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝[ｘⁱ,Ｅ^j]ｐ^－(ｐ^＋)^-1－[ｘ^j,Ｅⁱ]ｐ^－(ｐ^＋)^-1＋(ｐ^＋)^-2[Ｅⁱ,Ｅ^j]－[ｘ^－,1/ｐ^＋]ｐⁱＥ^j＋[ｘ^－,1/ｐ^＋]ｐ^jＥⁱ－ｘⁱ[ｐ^－,ｘ^－]ｐ^j－ｘ^jｐⁱ[ｘ^－,ｐ^－]です。

これに,[ｘ^－,1/ｐ^＋]＝i(ｐ^＋)^-2,[ｘⁱ,Ｅ^j]＝－iＥ^jj,および[ｘ^－,ｐ^－]＝i(ｐ^＋)^-1ｐ^－を代入して最後にｐ^－をα₀^－と書きます。

そうすれば,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－2iＥ^jj(ｐ^＋)^-1α₀^－＋(ｐ^＋)^-2[Ｅⁱ,Ｅ^j]－i(ｐ^＋)^-2Ｅ^jｐⁱ＋i(ｐ^＋)^-2Ｅⁱｐ^j＋i(ｐ^＋)^-1α₀^－ｌ^jj＝－(ｐ^＋)^-2{2iｐ^＋α₀^－Ｅ^jj－[Ｅⁱ,Ｅ^j] －iＥⁱｐ^j＋iＥ^jｐⁱ－iｐ^＋α₀^－ｌ^jj}が得られます。(訳注55終わり)※

したがって,結局,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(ｐ^＋)^-2Ｃ^ij＝－(ｐ^＋)^-2Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}です。

それ故,Ｃ^ij＝Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)},かつＣ^ij＝2iｐ^＋α₀^－Ｅ^ij－[Ｅⁱ,Ｅ^j]－iＥⁱｐ^j＋iＥ^jｐⁱ－iｐ^＋α₀^－l^ijです。

Ｃ^ijの前者の表現と,[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+n(ｉ,ｊ＝1,2,...,Ｄ－2)により,簡単に＜0|α_m^kＣ^ijα_-m^l|0＞＝ｍ²Δ_m(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)が得られます。

一方,ｐ^＋α_n^－＝Σ_n=1^∞[(1/2){Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:－ａδ_n}および,[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+nから,[α_n^－,α_mⁱ]＝－ｍα_m+nⁱ/ｐ^＋,[α_mⁱ,α_n^－]＝ｍα_m+nⁱ/ｐ^＋を得ます。

そこで,＜0|α_m^kＣ^ijα_-m^l|0＞＝＜0|{2ｍ(ｍ－ａ)δ^ikδ^jl－ｍｐ^jｐ^lδ^ki＋ｍｐ^jｐ^kδ^il＋(δ^kiｐ^＋α_m^－－ｍΣ_n=1^∞α_m-n^kα_nⁱ)(ｍΣ_n=1^∞α_-n^jα_n-m^l－δ^jlｐ^＋α_-m^－)|0＞－(ｉ⇔ｊ)です。

以前の記事で計算したように,[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_n^－]＝(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_m+n^－＋[{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍ]δ_m+nですから,[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_-m^－]＝2ｍｐ^＋α₀^－＋{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍです。

そして＜0|ｐ^＋α₀^－|0＞＝－ａですから,特に(ｐ^＋)²＜0|α_m^－α_-m^－|0＞＝{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)が成立します。

また,ｐ^＋＜0|α_m^－Σ_n=1^∞α_-n^jα_n-m^l|0＞＝ｐ^jｐ^l＋Σ_n=1^m-1(ｍ－ｎ)δ^jl＝ｐ^jｐ^l＋δ^jlｍ(ｍ－1)/2も成り立ちます。

さらに,ｐ^＋＜0|α_m^－Σ_n=1^∞{(α_-n^kα_n-mⁱ)/ｎ}|0＞＝ｐ^kｐⁱ＋Σ_n=1^m-1(ｍ－ｎ)δ^ki＝ｐ^kｐⁱ＋δ^kiｍ(ｍ－1)/2,同様にｐ^＋＜0|α_m^－Σ_n=1^∞{(α_-n^jα_n-m^l)/ｎ}|0＞＝ｐ^jｐ^l＋δ^jlｍ(ｍ－1)/2です。

そして,＜0|Σ_n=1^m{(α_-n^kα_n-mⁱ)/ｎ}Σ_p=1^m{(α_-p^kα_p-mⁱ)/ｐ}|0＞＝－(ｍ－1)(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)です。

これらのことから,Δ_m＝{(26－Ｄ)/12}ｍ－{(Ｄ－26)/12＋2(1－ａ)}/ｍと書けることがわかります。

※(訳注56) 詳細な計算は,＜0|α_m^kＣ^ijα_-m^l|0＞＝2ｍ(ｍ－ａ)(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)－ｍｐ^jｐ^lδ^ki＋ｍｐ^jｐ^kδ^il＋ｍｐⁱｐ^lδ^jk－ｍｐⁱｐ^kδ^jl－(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il){(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ) ｍｐ^jｐ^lδ^ik＋ｍｐⁱｐ^kδ^jl－ｍｐⁱｐ^lδ^jk－ｍｐ^jｐ^kδ^il＋δ^ikδ^jlｍ(ｍ－1)/2＋δ^ikδ^jlｍ(ｍ－1)/2－δ^jkδ^jlｍ(ｍ－1)/2－δ^jkδ^ilｍ(ｍ－1)/2＋ｍ²(ｍ－1)(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)となります。