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2009年6月19日 (金)

電磁場の共変的量子化(3)(中西-Lautrap理論)

 電磁場の共変的量子化(2)(中西理論:不変デルタ関数)」の続きです。

 

 前回は,共変ゲージでの電磁場Aμ(x),補助場B(x)の一般的

 4次元交換関係が[B(x),B(y)]=0,

 [Aμ(x),Aν(y)]=-iημνD(x-y)

 +i(1-α)∂xμxνE(x-y)で与えられる,

 というところまで書きました。

 

 これは,B(x)=∫d3D(x-z)∂z0B(z),

 Aμ(x)=∫d3[D(x-z)∂z0μ(z)

 +(1-α)E(x-z)∂z0zμB(z)]

 なる表現に基づくものです。

 

 忘れていましたが,4次元交換関係[Aμ(x),B(y)]

 をまだ計算していませんでした。

 

これも,B(y)=∫d3D(y-z)∂z0B(z)を代入した式:

[Aμ(x),B(y)]=∫d3D(y-z)∂z0[Aμ(x),B(z)]

を利用すれば計算できます。

 

右辺の被積分関数はz0に依存しないので,z0=x0とおけば,

これは,[Aμ(x),B(z)]と,[Aμ(x),∂z0B(z)]の同時刻

交換関係から計算できます。

 

まず,μ=iなら,[i(x0,),B(x0,)]=0 によって,

[Ai(x),B(y)]=-∫d3D(y-z)[Ai(x),∂z0B(z)]

と書けます。

 

ところが,∂μB=□μ-∂μννですから,

0B=□0-∂0νν=Σkk(∂0k)-∇20

です。

 

そして,同時刻では,[μ(x0,),Aν(x0,)]=0

ですから,[i(x0,),∇y20(x0,)]=0 です。

 

また,[i(x0,),∂0k(x0,)]=-iδikδ3()より,

[j(x0,),Σkyk(∂0k(x0,))=-iΣkykδikδ3()

=-i∂yiδ3()なので,

 

[i(x0,),∂0(x0,)]=-i∂yiδ3()

を得ます。

 

それ故,[Ai(x),B(y)]=i∫d3D(y-z)∂ziδ3()

=-i∂xi(y-x)=i∂xi(x-y)

となります。

 

(※何故なら,D(y-x)=-D(x-y)です。)

 

一方,同時刻で[0(x0,),∇y20(x0,)]=0 なること

は明らかです。

 

また,[μ(x0,),∂0k(x0,)]=0 ですから,

[i(x0,), Σkyk(∂0k(x0,)]=0 です。

  

よって,[A0(x0,),∂0k(x0,)]=0

が得られます。

 

一方,[0(x0,),B(x0,)]=-iδ3()ですから

[A0(x),B(y)]=-i∫d3z0D(y-z)δ3()

=-i∂x0D(y-x)=i∂x0D(x-y) です。

 

 以上から,4次元の共変的交換関係:

 [Aμ(x),B(y)]=i∂xμ(x-y)

 も得られました。

 

 補助場B(x)はD'Alembert方程式:□B=0 の解なので,

 運動量表示は,

 B(x)=(2π)-3/2∫d3(2||)-1/2θ(p0)δ(p2)

 {b^()exp(-i||t+ipx)+b^()exp(i||t-ipx)}},

 

 あるいは,

 B(x)=(2π)-3/2∫d4pθ(p0)δ(p2)

 {b^(p)exp(-ipx)+b^(p)exp(ipx)}と,よく知られた形

 に表現して何の問題もありません。

 

 そして,これらの逆変換として,

 b^()=-i(2π)-3/2(2||)-1/2

 ∫d3[(i||t-ipx)]]∂0B(x)],

 

 あるいは,b^(p)=-i(2π)-3/2θ(p0)δ(p2)

 ∫d3[exp(ipx)∂0B(x)]

 を得ます。

 

 そこで,b^(p)=θ(p0)δ(p2)(2||)1/2b^()

 です。

 

 しかし,□Aμ=0 ではないので,

 

 Aμ(x)=(2π)-3/2∫d3(2||)-1/2θ(p0)δ(p2)

 {aμ^()exp(-i||t+ipx)

  +aμ^()exp(i||t-ipx)}}

 =(2π)-3/2∫d4pθ(p0)δ(p2){aμ^(p)exp(-ipx)

  +aμ^(p)exp(ipx)

 と書くことはできません。

 

 これが,この問題のネックなのです。

 

(x)=∫d3D(x-z)∂z0B(z),および,

μ(x)=∫d3[D(x-z)∂z0μ(z)

+(1-α)E(x-z)∂z0zμB(z)]

なるKirchhoffの表示式,

 

そして,D(x)=-i(2π)-3/2∫d4pθ(p0)δ(p2)

{exp(-ipx)-exp(ipx)},

 

E(x)=i(2π)-3/2∫d4pθ(p0){1/(p2+iε)}

δ(p2){exp(-ipx)-exp(ipx)}なる表現式,

 

^(p)=-i(2π)-3/2θ(p0)δ(p2)

∫d3[exp(ipx)∂0B(x)] なる逆表現から類推して,

 

μ^(p)≡-i(2π)-3/2θ(p0)δ(p2)

[∫d3[exp(ipx)∂0μ(x)

-(1-α){1/(p+iε)2}exp(ipx)∂0B(x)]

と定義してみます。

 

(x)の正振動数部分をB(x)と書けば,

(x)=(2π)-3/2∫d4pθ(p0)δ(p2){b^(p)exp(-ipx)

です。

  

同様に,Aμ(x)の正振動数部分をAμ+(x)と書けば,

μ+(x)=(2π)-3/2∫d4pθ(p0)δ(p2)aμ^(p)exp(-ipx)

です。

 

こうすれば,運動方程式,□B=0 ,

μ(1-α)∂μB=0 ,

μμ+αB=0 は,

 

それぞれ,p2b^(p)=0 ,

2μ^(p)=i(1-α)pμb(p),

μμ^(p)=-iαb(p)

となります。

 

また,交換関係は,

[b^(p),b^(q)]=0,

[aμ^(p),aν+(q)]=δ4(p-q)

×[-ημνδ(p2)+(1-α)pμν-2δ(p2)], 

[aμ^(p),b(q)]=-δ4(p-q)pμδ(p2)

と書けます。

 

Gupta-Bleulerの方法では,物理的状態を|phys>と表記すると,

その条件は,∂μμ+(x)|phys>=0 とされています。

 

これは,α=0 のLandauゲージ以外では,b(p)|phys>=0

と同値です。

 

そこで,逆に物理的状態であるための条件を,b(p)|phys>=0

であることと定義します。

 

さて,運動量がpμの1光子状態は,aμ^(p)|0>と,

b^(p)|0>であるとします。

 

ただし,pμμ^(p)|0>=-iαb(p)|0>なる条件が

ありますから,このうち独立な偏光成分は4つだけです。

 

これら1光子状態は,p2^(p)=0 より,p2b^(p)|0>=0

を満たし,p2μ^(p)=i(1-α)pμb(p)より,

2μ^(p)|0>=-i(1-α)pμb^(p)|0>

を満たすことがわかります。

 

ここで,簡単のために,

μ(p0,p1,p2,p3)=(E,0,0,E)(E≠0)なる座標系

を取ります。

 

これは,光子の運動方向をz軸方向に取るというだけの意味です

から,決して一般性を失なうものではありません。

  

このとき,pμμ^(p)=-iαb(p)は,1光子としては,

E(a0^(p)-a3+(p)|0>=iαb(p)|0>なることを

意味します。

 

さらに,スカラー光子を,|p,S>≡b^(p)|0>,

縦波光子を,|p,L>≡a3^(p)|0>,

横波光子を,|p,Tj>≡aj^(p)|0>(j=1,2)

と定義・表記しておきます。

 

すると,p2b^(p)|0>=0,

2μ^(p)|0>=-i(1-α)pμb^(p)|0>は,

 

2|p,S>=p2|p,Tj>=0 ,かつ,

2|p,L>=-i(1-α)E|p,S>

を意味します。

 

そこで,スカラー光子:|p,S>と横波光子:p,Tj>は,

固有値p2=0 に属するp2の固有状態ですから,

これらは質量がゼロの粒子状態を表わしています。

 

しかし,縦波光子:|p,L>はα=1の場合を除いて,

2の固有状態ではありません。

 

しかし,(p2)2|p,L>=0 を満たすので,

謂わゆる双極ゴースト(dipole ghost)です。

 

さらに,[b^(p),b^(q)]=0 により,

<q,S|p,S>=0 です。

 

また,[aμ^(p),b(q)]=-δ4(p-q)pμδ(p2)により,

<q,S|p,Tj>=0,

<q,S|p,L>=-δ4(q-p)Eδ(p2)

です。

 

そして,[aμ^(p), aν+(q)]

=δ4(p-q)[-ημνδ(p2)+(1-α)pμν-2δ(p2)]

により,<q,L|p,L>=δ4(p-q)δ(p2)

+(1-α)E2-2δ(p2)] です。

 

さらに,<q,Tj|p,L>=0,

<q,Tk|p,Tj>=δkjδ(p24(p-q)

であることもわかります。

 

また,再び,[b^(p),b^(q)]=0 により,

b^(q)|p,S>=0 です。

 

そして,[aj^(p),b(q)]=0 (j=1.2)によって,

b^(q)|p,Tj>=0 です。

 

一方,[a3^(p),b(q)]=-δ4(p-q)Eδ(p2)なので,

2=0,かつ,q=pなら|b(q)|p,L>≠0 です。

 

そこで,双極ゴースト粒子の縦波光子は非物理的状態であり,

観測可能な状態ではないことがわかります。

 

したがって,スカラー光子と横波光子のみが物理的状態となる

条件を満たす物理的粒子です。

 

ただし,スカラー光子のノルム:<p,S|p,S>

は常にゼロです。

 

それ故,スカラー光子は,確かに質量がゼロの物理的粒子ですが,

観測される確率はゼロという意味で閉じ込められるため,実光子

ではなく仮想光子と呼ばれます。

 

さて,自由場を離れて相互作用(4元電流密度)がある場合

には,運動方程式は,μ-∂μνν-∂μ

=□μ(1-α)∂μB=-jμ(x)

となります。

 

特に静電場なら,j0(x)=j0(,t)=ρ()(電荷密度)だけが

ゼロでない成分で,時間変動はありませんから,∂0=∂/∂t=0

を代入すると,-∇20=ρ,および,

2k=-(1-α)∂kとなります。

  

-∇20=ρは,0をΦと書けば,∇2Φ=-ρです,

 

これから,静電ポテンシャルは,

Φ()=-∫d3y[ρ()/(4π||)]で,

静電場は(x)=-∇Φ()で与えられます。

 

そこで補助場B(x)の存在に関係なく,

静電場のCoulombの法則は確かに成立します。

 

補助場B(x)の存在は,単にゲージ変換の自由度と同等な

意味しか持たないわけです。

 

そして,-∇20=ρは,運動量表示では,20^(p)=ρ^(p)

同等です。

 

同じく,∇2k=-(1-α)∂kは,

2k^(p)=-i(1-α)pkb^(p)と同等です。

 

μμ+αB=0 より,pμμ^(p)=-iαb(p)です。

 

あるいは,

2=0 でpμ=(p0,p1,p2,p3)=(E,0,0,E)(E≠0)

なら,2=E2で,E{a0^(p)-a3^(p)}=-iαb^(p)

です。

 

そして,E23^(p)=-i(1-α)Eb^(p)です。

 

これらの式から,a3^(p)を消去すると,

0^(p)=ib^(p)/Eを得ます。

 

同様にa0^(p)=-ib^(p)/E

となります。

 

そこで()=i(2π)-3/2∫d4pθ(p0)

{δ(p2)+(p+iε)-2δ(p2)}

{a0^(p)exp(-ipx)+a0^(p)exp(ipx)}

において,

 

0^(p),a0^(p)を,それぞれ,ib^(p)/E,-ib^(p)/E

に置き換えたものが,静電場のCoulombポテンシャルに相当する

ことがわかります。

 

それ故,Coulomb相互作用は,閉じ込められていて観測されない

質量ゼロのスカラー光子(仮想光子)の媒介によるという描像が

得られました。

 

ちょっと,詳細を省いていますが,理論の概略としては,こうした

話であると理解しました。

 

今日はここで終わります。

 

参考文献:J.D.Bjorken,S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」(McGraw-Hill),中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

 

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コメント

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★6月11日、議員連盟「公共放送のあり方について考える議員の会」が発足。
(ブログ「イケイケ赤池!赤池まさあき(衆議院議員)」)
(06/11 22:21)
・第一回の会合が国会内で開かれた(議員等60人)。
「多くの国民があの番組は必要最小限のルールを守ったのかと疑問を抱いている以上、それに応えるのが国会議員の仕事だ」
「NHKという公共放送が恣意的につくられており、看過できない、許されない問題です。NHKの番組は冒頭“未来を見通すカギは、過去にある”というテーマを掲げています。このNHKの番組のつくり方では、日本の未来はないと確信します。」
(06/17 16:49)
・6月16日、第二回の会合が開かれた(議員約30名)。
「NHK“JAPANデビューアジアの一等国”の内容には、全部で116項目の間違いがあり、すべてこの番組は歪曲、捏造であると結論付けられる。」
・6月12日、総務省がNHKに「事実関係とそれを編集する考え方、放送法との関連を可能な限り調べて報告するように」と事実照会。

★近い将来に危機感を抱く一般の人々も、行動を始めました。
NHK「JAPANデビュー」
の放送法違反,偏向・捏造放送に抗議する国民大行動。
(この行動に声援されている、NHK内部の方もいる、とのこと)

① 第一弾(5月16日、東京,名古屋,大阪,福岡,青森,台湾の台北)
② 第二弾(5月30日に東京・名古屋・大阪、 6月6日に札幌)
③ 第三弾(6月20日に東京、27日に大阪、28日に名古屋)
④ 第四弾
6月27日に東京で、
NHK放送センターへのデモ行進後、「NHKの大罪」の文字を掲げ、山手線で都心を一周する。
- - - - - - - - - - - - - - - - -
これほどの人々が、怒りを表明し、海外メディアは報道。
これほどの規模のデモに、日本の新聞・テレビは「沈黙」。
抗議は、「無かった」ことに。

★第三弾では、
NHKは公共放送局でありながら、法律をも踏み躙る行為を行った。
NHKが打った手が、何とバスの運行妨害だったのだ。
バス会社も事態を重く見た。
バスの都合など度外視するNHKの「勝利」で終わったわけだが、その代価は大きかった。
何しろ自己個利益の擁護のためなら不法行為も辞さない特権意識が白日の下にさらされてしまったからだ。
(ブログ「台湾は日本の生命線」06/22)
http://mamoretaiwan.blog100.fc2.com/

★謀略電波『中共デビュー』…アジアの“三等TV局” (ブログ「東アジアの黙示録」)
(05/19 04:02)
・巨費が投じられたNHKの暗黒プログラムが始動した。
・驚愕の反日番組『JAPANデビュー アジアの“一等国”』…その真の制作統括者とは?
・これは捏造歪曲・偏向を越えた壮大な電波ジャック事件だ。
(06/21 08:17)
・反日番組をめぐる大規模抗議の第3弾が挙行された。
・デモ終了後、NHK側は民間バスの進行をも止める横暴ぶりを発揮。NHK側の判断で、民間バスの通常ルートを封鎖したのである。
・「偏向なし」と主張する公共放送は、奇怪な弁明でも嘘を重ねる。まるで「赤い統制国家」にいる気分だった。
・河野伸洋に作為があったのは明らかだ。
・「『アジアの“一等国”』の説明」は連中の嘘を如実に物語る貴重な“新資料”でもある。
・国民有志のあらゆるレベル、そして、あらゆる手法でNHKを追い詰める必要がある。

★「報道拒否」(ブログ「新世紀のビッグブラザー」)
(05/28 10:56:33)
・「困ったものです」では済まない状況になりつつありますので、わたし以外にも大勢の日本人が動き出したのです。
(06/07 11:06:59)
・国民に情報を提供するという「特権」に胡坐をかき、限りある国の電波の一部など、権益を独占し、寡占構造に守られながら「低品質」の商品(情報)を供給するというスタイルですから、叩かれて当たり前です。
群を抜く存在であるのが、言うまでもなくNHKです。
そんなNHKに、日本国民からのペナルティの刃が突きつけられようとしています。
(06/21 11:47:26)
・日本の問題は、政治も経済も、社会保障も教育も、全ては情報の問題に過ぎないのです。
インターネットが無い時代であっても、マスメディアに対抗し、「情報の脅威」と戦おうとした人たちがいます。情報統制や歴史修正が「何事もなかったかのごとく」行われる、恐怖の・・・社会を描いたジョジ・オーウェルです。
しかし、現代の日本人はインターネットに代表される、「マスメディア」以外のコミュニケーション手段を手に入れました。
わたしたちは、すでに武器を手に入れたのです。
(06/22 10:27:28)
まさに前代未聞の集団訴訟です。
今回の場合、かなりの数の政治家が動いていますので、NHKは「日本国民の怒りを、間違いなく背負った政治家たち」を相手にしなければならないわけです。
これに政治家が目をつけないはずがありません。インターネットは、冗談抜きに日本を、いや世界を変える可能性のあるツールなのです。
一度、NHKが責任を取らされれば、・・・一般の名もなき日本国民が、大手新聞社やテレビ局の報道を監視し、ちょっとした反日であっても大騒ぎになる「文化」が、次第に産まれてくるでしょう。
本来の意味での「国民運動」が、産まれることになります。

★「主張 日本を悪と言う民主党」と、真実を書いてしまった稲毛新聞(6/6)
http://www.chiba-shinbun.co.jp/news_10.html
(ブログ「日本が好きなだけなんだよ」06/11 )

★「NHKは日本人だけの所有物ではない(NHKコールセンター)」
NHKには反省と言うシステムは有りません。やっぱ壊して作り直すべきです。
遠回りなようですが、それが一番近道だと思います。
(ブログ「ケシクズ」05/20 )

★何故!!
・大衆の「政治参加」とマスメディアの沈黙
(ブログ「日本よ何処へ」05/18 09:46)

★マスコミが隠す反日の実態
(マスコミが今、最も隠したがるサイト「国民が知らない反日の実態」)

★政治家や評論家には見えない視点で(ブログ「中韓を知りすぎた男」)
(06/17 13:29:47)
・当時(17年ほど前)の中国で(日本の)中小企業の合弁企業の100%近くが失敗していました。(日本の)マスコミはほとんど報道しませんでした。
(06/22 11:19:40)
・「あそこにきれいな月がある」と人指しゆびを指すと、テレビに登場するコメンテーターたちは大事な月を見ないで、直ぐ目の前にある指をみる。その指を見てお前の指は太いの細いのと指の詮索で終わっています。

★NHKのOBたちも「NHKを正す会代表」を、発足。
「どうしてあんな変なものを作ったのか。あのまま行けば誰も見なくなり、NHKは倒産してしまう」
OBが絶望するNHKの体質と内部の問題点。
(ブログ「台湾は日本の生命線」05/26)
http://mamoretaiwan.blog100.fc2.com/blog-entry-765.html

★NHKの海老沢勝二元会長も、あの番組を批判し、糾弾を激励した。
・元会長
「いまのNHKの経営陣は、アサヒだ。(朝日新聞を意味するのか、アサヒビールかは不明)とんでもない左翼だ。」
「私も言うが、君たちが外部からもっと糾弾しないとな。まだまだ糾弾姿勢が弱いよ。私は、あいつらの糾弾と徹底的に戦った。」
(日台交流教育会顧問の藤田裕行氏のインタビュー 06/05)

★大切にしたい日本人の心。
「悪神」は、つねに「善」を偽装し、「友愛」を偽装しながらやってくる。
「悪」が、まさに巧言令色を用いながら、日本を、日本人を侵食しようとしている。
負けちゃあいられません。
(ブログ「ねずきちのひとりごと」06/20)

★様々な場所で、様々な日本人が自分にできる事を始めました。
・6月30日、撃論ムック最新敢『NHKの正体』発売。
・「報道監視まとめWIKI」の作成。
・「偏向報道にはスポンサー問合せ まとめ@wiki」の作成。
・「地上波 政府広報テレビの開設を求める請願」の開始。
・「放送法改正でNHK受信契約を自由契約に」の全国署名運動が始動。
・NHKは『取材した台湾人の方々から抗議は受けていない』という回答を繰り返しているため、その方々が、抗議と訂正の要求書を提出。
・マスメディアによる歴史捏造は、国民に対する「危険な情報犯罪」。
これまで「犯人」を放置してきた戦後社会は間違っていた!
今こそみんなで立ち上がらなくては!未来の日本の子供たちのために!!

6月25日に、司法記者クラブの記者会見で、「集団訴訟」発表予定。
(6月20日現在、原告者数5,000人突破。6000人に達する見込み。)
http://www.youtube.com/watch?v=aJVtl1tDGkE&feature=channel_page

6000名の、何ら組織的繋がりを持たない日本国民から一斉に訴訟されたとき、
NHKは果たしてどうするのでしょうか。
そして、日本の他の大手マスメディアは、沈黙を守っていられるのでしょうか。
マスメディア界に、明るい将来はあるのでしょうか。
***************************
≪あな方は、どのような選択をされますか≫

投稿: 未来の選択 | 2009年6月23日 (火) 22時52分

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