電磁場の共変的量子化(3)(中西-Lautrap理論)

　電磁場の共変的量子化(2)(中西理論:不変デルタ関数)」の続きです。

　前回は,共変ゲージでの電磁場Ａ_μ(ｘ),補助場Ｂ(ｘ)の一般的

　４次元交換関係が[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝0,

　[Ａ_μ(ｘ),Ａ_ν(ｙ)]＝－iη_μνＤ(ｘ－ｙ)

　＋i(1－α)∂^x_μ∂^x_νＥ(ｘ－ｙ)で与えられる,

　というところまで書きました。

　これは,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ),

　Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)

　＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)]

　なる表現に基づくものです。

　忘れていましたが,４次元交換関係[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]

　をまだ計算していませんでした。

これも,Ｂ(ｙ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)を代入した式:

[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z₀^⇔[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｚ)]

を利用すれば計算できます。

右辺の被積分関数はｚ⁰に依存しないので,ｚ⁰＝ｘ⁰とおけば,

これは,[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｚ)]と,[Ａ_μ(ｘ),∂^z₀Ｂ(ｚ)]の同時刻

交換関係から計算できます。

まず,μ＝ｉなら,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 によって,

[Ａ_i(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝－∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)[Ａ_i(ｘ),∂^z₀Ｂ(ｚ)]

と書けます。

ところが,∂_μＢ＝□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^νですから,

∂₀Ｂ＝□Ａ₀－∂₀∂_νＡ^ν＝Σ_k∂_k(∂₀Ａ^k)－∇²Ａ₀

です。

そして,同時刻では,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0

ですから,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∇_y²Ａ₀(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

また,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝－iδ_i^kδ³(ｘ－ｙ)より,

[Ａ_j(ｘ⁰,ｘ),Σ_k∂^y_k(∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ))＝－iΣ_k∂^y_kδ_i^kδ³(ｘ－ｙ)

＝－i∂^y_iδ³(ｘ－ｙ)なので,

[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝－i∂^y_iδ³(ｘ－ｙ)

を得ます。

それ故,[Ａ_i(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝i∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z_iδ³(ｘ－ｚ)

＝－i∂^x_iＤ(ｙ－ｘ)＝i∂^x_iＤ(ｘ－ｙ)

となります。

(※何故なら,Ｄ(ｙ－ｘ)＝－Ｄ(ｘ－ｙ)です。)

一方,同時刻で[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),∇_y²Ａ₀(ｘ⁰,ｙ)]＝0 なること

は明らかです。

また,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 ですから,

[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ), Σ_k∂^y_k(∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

よって,[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝0

が得られます。

一方,[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ)ですから

[Ａ₀(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝－i∫ｄ³ｚ∂^z₀Ｄ(ｙ－ｚ)δ³(ｘ－ｚ)

＝－i∂^x₀Ｄ(ｙ－ｘ)＝i∂^x₀Ｄ(ｘ－ｙ) です。

　以上から,４次元の共変的交換関係:

　[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝i∂^x_μＤ(ｘ－ｙ)

　も得られました。

　補助場Ｂ(ｘ)はD'Alembert方程式:□Ｂ＝0 の解なので,

　運動量表示は,

　Ｂ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｐ(2|ｐ|)^-1/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)

　{ｂ^(ｐ)exp(－i|ｐ|ｔ＋iｐｘ)＋ｂ^^＋(ｐ)exp(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)}},

　あるいは,

　Ｂ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²)

　{ｂ^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ｂ^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}と,よく知られた形

　に表現して何の問題もありません。

　そして,これらの逆変換として,

　ｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2(2|ｐ|)^-1/2

∫ｄ³ｘ[(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)]]∂₀^⇔Ｂ(ｘ)],

　あるいは,ｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)

　∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]

　を得ます。

　そこで,ｂ^(ｐ)＝θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)(2|ｐ|)^1/2ｂ^(ｐ)

　です。

　しかし,□Ａ^μ＝0 ではないので,

　Ａ^μ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｐ(2|ｐ|)^-1/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)

　{ａ^μ^(ｐ)exp(－i|ｐ|ｔ＋iｐｘ)

  ＋ａ^μ^^＋(ｐ)exp(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)}}

　＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ａ^μ^(ｐ)exp(－iｐｘ)

　　＋ａ^μ^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)

　と書くことはできません。

　これが,この問題のネックなのです。

Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ),および,

Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)

＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)]

なるKirchhoffの表示式,

そして,Ｄ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²)

{exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)},

Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰){1/(ｐ²＋iε)}

δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}なる表現式,

ｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)

∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)] なる逆表現から類推して,

ａ^μ^(ｐ)≡－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)

[∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ａ^μ(ｘ)

－(1－α){1/(ｐ＋iε)²}exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]

と定義してみます。

Ｂ(ｘ)の正振動数部分をＢ^＋(ｘ)と書けば,

Ｂ^＋(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－iｐｘ)

です。

同様に,Ａ^μ(ｘ)の正振動数部分をＡ^μ＋(ｘ)と書けば,

Ａ^μ＋(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²)ａ^μ^(ｐ)exp(－iｐｘ)

です。

こうすれば,運動方程式,□Ｂ＝0 ,

□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 ,

∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 は,

それぞれ,ｐ²ｂ^(ｐ)＝0 ,

ｐ²ａ^μ^(ｐ)＝i(1－α)ｐ^μｂ(ｐ),

ｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ)

となります。

また,交換関係は,

[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0,

[ａ^μ^(ｐ),ａ^ν＋(ｑ)]＝δ⁴(ｐ－ｑ)

×[－η^μνδ(ｐ²)＋(1－α)ｐ^μｐ^νｐ^-2δ(ｐ²)],　

[ａ^μ^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)ｐ^μδ(ｐ²)

と書けます。

Gupta-Bleulerの方法では,物理的状態を|phys＞と表記すると,

その条件は,∂_μＡ^μ＋(ｘ)|phys＞＝0 とされています。

これは,α＝0 のLandauゲージ以外では,ｂ(ｐ)|phys＞＝0

と同値です。

そこで,逆に物理的状態であるための条件を,ｂ(ｐ)|phys＞＝0

であることと定義します。

さて,運動量がｐ^μの１光子状態は,ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞と,

ｂ^^＋(ｐ)|0＞であるとします。

ただし,ｐ_μａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－iαｂ^＋(ｐ)|0＞なる条件が

ありますから,このうち独立な偏光成分は４つだけです。

これら１光子状態は,ｐ²ｂ^(ｐ)＝0 より,ｐ²ｂ^^＋(ｐ)|0＞＝0

を満たし,ｐ²ａ^μ^(ｐ)＝i(1－α)ｐ^μｂ(ｐ)より,

ｐ²ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－i(1－α)ｐ^μｂ^^＋(ｐ)|0＞

を満たすことがわかります。

ここで,簡単のために,

ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝(Ｅ,0,0,Ｅ)(Ｅ≠0)なる座標系

を取ります。

これは,光子の運動方向をｚ軸方向に取るというだけの意味です

から,決して一般性を失なうものではありません。

このとき,ｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ)は,１光子としては,

Ｅ(ａ⁰^^＋(ｐ)－ａ^3＋(ｐ)|0＞＝iαｂ^＋(ｐ)|0＞なることを

意味します。

さらに,スカラー光子を,|ｐ,Ｓ＞≡ｂ^^＋(ｐ)|0＞,

縦波光子を,|ｐ,Ｌ＞≡ａ³^^＋(ｐ)|0＞,

横波光子を,|ｐ,Ｔ^j＞≡ａ^j^^＋(ｐ)|0＞(ｊ＝1,2)

と定義・表記しておきます。

すると,ｐ²ｂ^^＋(ｐ)|0＞＝0,

ｐ²ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－i(1－α)ｐ^μｂ^^＋(ｐ)|0＞は,

ｐ²|ｐ,Ｓ＞＝ｐ²|ｐ,Ｔ^j＞＝0 ,かつ,

ｐ²|ｐ,Ｌ＞＝－i(1－α)Ｅ|ｐ,Ｓ＞

を意味します。

そこで,スカラー光子:|ｐ,Ｓ＞と横波光子:ｐ,Ｔ^j＞は,

固有値ｐ²＝0 に属するｐ²の固有状態ですから,

これらは質量がゼロの粒子状態を表わしています。

しかし,縦波光子:|ｐ,Ｌ＞はα＝1の場合を除いて,

ｐ²の固有状態ではありません。

しかし,(ｐ²)²|ｐ,Ｌ＞＝0 を満たすので,

謂わゆる双極ゴースト(dipole ghost)です。

さらに,[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0 により,

＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｓ＞＝0 です。

また,[ａ^μ^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)ｐ^μδ(ｐ²)により,

＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｔ^j＞＝0,

＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｌ＞＝－δ⁴(ｑ－ｐ)Ｅδ(ｐ²)

です。

そして,[ａ^μ^(ｐ), ａ^ν＋(ｑ)]

＝δ⁴(ｐ－ｑ)[－η^μνδ(ｐ²)＋(1－α)ｐ^μｐ^νｐ^-2δ(ｐ²)]

により,＜ｑ,Ｌ|ｐ,Ｌ＞＝δ⁴(ｐ－ｑ)δ(ｐ²)

＋(1－α)Ｅ²ｐ^-2δ(ｐ²)]　です。

さらに,＜ｑ,Ｔ^j|ｐ,Ｌ＞＝0,

＜ｑ,Ｔ^k|ｐ,Ｔ^j＞＝δ^kjδ(ｐ²)δ⁴(ｐ－ｑ)

であることもわかります。

また,再び,[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0 により,

ｂ^(ｑ)|ｐ,Ｓ＞＝0 です。

そして,[ａ^j^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝0 (ｊ＝1.2)によって,

ｂ^(ｑ)|ｐ,Ｔ^j＞＝0 です。

一方,[ａ³^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)Ｅδ(ｐ²)なので,

ｐ²＝0,かつ,ｑ＝ｐなら|ｂ(ｑ)|ｐ,Ｌ＞≠0 です。

そこで,双極ゴースト粒子の縦波光子は非物理的状態であり,

観測可能な状態ではないことがわかります。

したがって,スカラー光子と横波光子のみが物理的状態となる

条件を満たす物理的粒子です。

ただし,スカラー光子のノルム:＜ｐ,Ｓ|ｐ,Ｓ＞

は常にゼロです。

それ故,スカラー光子は,確かに質量がゼロの物理的粒子ですが,

観測される確率はゼロという意味で閉じ込められるため,実光子

ではなく仮想光子と呼ばれます。

さて,自由場を離れて相互作用(４元電流密度)がある場合

には,運動方程式は,□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ

＝□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝－j_μ(ｘ)

となります。

特に静電場なら,j₀(ｘ)＝j₀(ｘ,ｔ)＝ρ(ｘ)(電荷密度)だけが

ゼロでない成分で,時間変動はありませんから,∂₀＝∂/∂ｔ＝0

を代入すると,－∇²Ａ₀＝ρ,および,

∇²Ａ_k＝－(1－α)∂_kＢとなります。

－∇²Ａ₀＝ρは,Ａ₀をΦと書けば,∇²Φ＝－ρです,

これから,静電ポテンシャルは,

Φ(ｘ)＝－∫ｄ³ｙ[ρ(ｙ)/(4π|ｘ－ｙ|)]で,

静電場はＥ(ｘ)＝－∇Φ(ｘ)で与えられます。

そこで補助場Ｂ(ｘ)の存在に関係なく,

静電場のCoulombの法則は確かに成立します。

補助場Ｂ(ｘ)の存在は,単にゲージ変換の自由度と同等な

意味しか持たないわけです。

そして,－∇²Ａ₀＝ρは,運動量表示では,ｐ²ａ⁰^(ｐ)＝ρ^(ｐ)

と同等です。

同じく,∇²Ａ_k＝－(1－α)∂_kＢは,

ｐ²ａ^k^(ｐ)＝－i(1－α)ｐ^kｂ^(ｐ)と同等です。

∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 より,ｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ)です。

あるいは,

ｐ²＝0 でｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝(Ｅ,0,0,Ｅ)(Ｅ≠0)

なら,ｐ²＝Ｅ²で,Ｅ{ａ⁰^(ｐ)－ａ³^(ｐ)}＝－iαｂ^(ｐ)

です。

そして,Ｅ²ａ³^(ｐ)＝－i(1－α)Ｅｂ^(ｐ)です。

これらの式から,ａ³^(ｐ)を消去すると,

ａ⁰^(ｐ)＝iｂ^(ｐ)/Ｅを得ます。

同様にａ⁰^^＋(ｐ)＝－iｂ^^＋(ｐ)/Ｅ

となります。

そこで,Φ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)

{δ(ｐ²)＋(ｐ＋iε)^-2δ(ｐ²)}

{ａ⁰^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ａ⁰^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}

において,

ａ⁰^(ｐ),ａ⁰^^＋(ｐ)を,それぞれ,iｂ^(ｐ)/Ｅ,－iｂ^^＋(ｐ)/Ｅ

に置き換えたものが,静電場のCoulombポテンシャルに相当する

ことがわかります。

それ故,Coulomb相互作用は,閉じ込められていて観測されない

質量ゼロのスカラー光子(仮想光子)の媒介によるという描像が

得られました。

ちょっと,詳細を省いていますが,理論の概略としては,こうした

話であると理解しました。

今日はここで終わります。

参考文献:J.D.Bjorken,S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」(McGraw-Hill),中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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