水の波(5)(群速度,波のエネルギー)

　ちょっと間があきましたが,水の波の続きです。

　群速度が波群の進行速度を表わすことは既に述べましたが,ここでは波群の運動学の立場から群速度を概観してみます。

　一般に分散性媒質中では,任意の初期状態から出発した波の場は時間が経つにつれて分散が進み,長時間の後には,局所的には１つの波数と振動数の単色波になるという状態が実現します。

　こうした状態においては,波の場の振動的構造を無視して,場全体を波数,振動数,振幅などの特性量の場として大局的に記述することが可能になります。

　これは波の場を波群の運動学として記述するもので,いわば波動光学に対する幾何光学に対応しています。

　局所的に単色波である波の場では,もはや波の分裂や合体は起こらないので,波数,および振動数の保存則が成り立つと考えられます。

　今,ｘ軸の方向に長さδｘを取り,δｘは波数ｋの空間的変化の尺度に比べればきわめて小さいが,その中には多数の波を含むとします。

　同様に,時間間隔δｔを取り,δｔは振動数ωの時間的変化の尺度に比べれば十分短かいが,中に多数の振動を含むとします。

　ｘ軸の正の向きに進む水の波を考えると,δｔ内にｘ,およびｘ＋δｘを通過する波の数は,それぞれω(ｘ,ｔ)δｔ,およびω(ｘ＋δｘ,ｔ)δｔです。

そこで,区間(ｘ,ｘ＋δｘ)内には,差し引きω(ｘ,ｔ)δｔ－ω(ｘ＋δｘ,ｔ)δｔ＝－(∂ω/∂ｘ)δｘδｔだけの波が残ります。

ところが波数の保存側によって,これはこの区間δｘ内において,時間δｔ内における波数の増加(∂ｋ/∂ｔ)δｘδｔに等しくなければなりません。

したがって,∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 です。位相速度ｃ＝ω/ｋを代入すると∂ｋ/∂ｔ＋∂(ｃｋ)/∂ｘ＝0 と書けますが,これは明らかに波数ｋに対する連続の方程式を表わしています。

この記述では,波の位相速度ｃが波数ｋの伝播速度を与えることを示しています。

他方,群速度がｃ_g＝ｄω/ｄｋで与えられることから,∂ω/∂ｘ＝(ｄω/ｄｋ)(∂ｋ/∂ｘ)なので,波数の保存式∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 は∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ＝0 なることを意味します。

あるいは,∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘ＝0 です。ωはｋを通じてｘ,ｔに依存しているとしています。

そして,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gならｄｋ/ｄｔ＝∂ｋ/∂ｔ＋(∂ｋ/∂ｘ)(ｄｘ/ｄｔ)＝∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ,かつｄω/ｄｔ＝∂ω/∂ｔ＋(∂ω/∂ｘ)(ｄｘ/ｄｔ)＝∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘです。

それ故,波数の保存式∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 は,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gなる道筋に沿って波数ｋと振動数ωが一定なることを示しています。

つまり,波の群速度ｃ_gは,波数ｋ,または振動数ωが一定である点の移動速度を与えます。

ωはｋのみの関数で,ｃ_gもまたｋのみの関数と考えることができるのでｋ＝一定の道筋の上では,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gの解は,ｘ－ｃ_gｔ＝一定なる直線,つまり等速運動になります。

そこで,一定の波数,または振動数の波群は,一定の群速度で進行することがわかります。

媒質が不均一である場合には,ωはｋだけでなくｘにも依存するため,∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ＝0 または∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘ＝0 は成立しません。

しかし,この場合も局所的な群速度を,ｘを固定した偏微分で,ｃ_g≡(∂ω/∂ｋ)_xで定義します。

(∂ω/∂ｋ)_x(∂ｋ/∂ｔ)_x＝(∂ω/∂ｔ)_xを考慮すれば,再びωに対する方程式:(∂ω/∂ｔ)_x＋ｃ_g(∂ω/∂ｘ)_x＝0 が得られます。

したがって,不均一な媒質においても一定振動数の波群は群速度ｃ_gで進行します。

ただし,この場合,群速度ｃ_gは一定ではなく,道筋もまた直線的(等速運動)ではありませんが,ｃ_gはωとｘの関数であり,ωは道筋に沿って一定ですから,ｃ_gはｘのみの関数となります。

次に波のエネルギーを考察します。

ｘ軸とそれに直角なｙ軸方向にそれぞれ単位長さの幅を持ち,鉛直ｚ方向には水底ｚ＝－ｈから水面ｚ＝ηまでの立体Ｖを取り,Ｖの中の水のエネルギーを考えます。

水の密度をρ＝一定とすると,渦なしの流れの場合,水の速度ｕは速度ポテンシャルΦによってｕ＝∇Φと表わされるので,運動エネルギーＫはＫ＝∫_V(ρｕ²/2)ｄＶ＝(ρ/2)∫_V|∇Φ|²ｄＶで与えられます。

一方,位置エネルギーＰはＰ＝ρｇ∫_VｚｄＶです。

したがって,全エネルギーはＥ＝Ｋ＋Ｐ＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ}ｄＶで与えられます。

これを微小振幅波について具体的に計算してみます。

体積Ｖとしてｙ方向の幅は単位長さとしていますが,ｘ方向の長さをδｘを考えると,まず運動エネルギーはＫδｘ＝(ρ/2)∫₀^δxｄｘ∫_-h⁰ｄｚ{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}と表わされます。ここでｚ積分の上限は線形近似でη＝0 としました。

既に求めたように微小振幅波の速度ポテンシャルはΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)です。

これを,Ｋδｘの表現に代入し位相速度がｃ＝ｃ(ｋ)＝ｋ/ω＝ｆλ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2を用います。

すると,Ｋδｘ＝(ρ/2){Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}²∫₀^δxｄｘ∫_-h⁰ｄｚ[sin²(ｋｘ－ωｔ)＋sinh²{ｋ(ｚ＋ｈ)}]＝(ρ/2){(ｇＡ²ｋ)tanh(ｋｈ)/sinh²(ｋｈ)}}δｘ[ｈ/2＋{sinh(2ｋｈ)/(2ｋ)－ｈ}/2]＝ρｇＡ²δｘ/4,すなわち,Ｋ＝ρｇＡ²/4を得ます。

また,位置エネルギーは水面の高さが意味を持つので,ηを復活させてη＝η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)とすると,Ｐδｘ＝ρｇ∫₀^δxｄｘ∫_-h^ηｚｄｚ＝(ρｇ/2)∫₀^δx(η²－ｈ²)ｄｘ＝(ρｇ/2)∫₀^δx{Ａ²sin² (ｋｘ－ωｔ)－ｈ²}ｄｘ＝(ρｇδｘ/2)(Ａ²/2－ｈ²)です。

よってＰ＝ρｇＡ²/4－ｈ²/2です。

したがって,全エネルギーはＥ＝Ｋ＋Ｐ＝ρｇＡ²/2－ｈ²/2です。

ところが右辺の定数項:－ｈ²/2はＡ＝0 で波がなく静止しているときにも存在する水の位置エネルギーですから,これを基準としたエネルギーを改めて波のエネルギーとしてＫ_w,Ｐ_w,Ｅ_w＝Ｋ_w＋Ｐ_wを定義すれば,Ｋ_w＝Ｐ_w＝ρｇＡ²/4,Ｅ_w＝ρｇＡ²/2となります。

これらのエネルギーは,いずれも波数や振動数に無関係であり,水面波ηの振幅Ａだけで決まる量です。そして,今の場合,運動エネルギーと位置エネルギーの等分配則が成立しています。

一般的には,波のエネルギーはＥ＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ}ｄＶから,水の静止エネルギー∫_V0ρｇｚｄＶを引いたＥ_w＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2]ｄＶ＋∫_VρｇｚｄＶ－∫_V0ρｇｚｄＶで定義できます。

ただし,Ｖ₀は水面波ηがない場合の立体体積です。

次に,波のエネルギーの時間変化ｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔを考えます。特にエネルギー密度をε≡ ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚとおけば,Ｅ＝∫_VεｄＶであり,ｄＥ/ｄｔ＝∫_V(∂ε/∂ｔ)ｄＶ＋∫_S(εｖ_n)ｄＳです。

ここで,ＳはＶの表面を表わし,ｖ_nはＳの面要素ｄＳの動く速度ｖの外向き法線成分を表わします。

ここで,圧力方程式∂Φ/∂ｔ＋Ｐ/ρ＋|∇Φ|²/2＋ｇｚ＝ｆ(ｔ)≡Ｐ₀/ρ(広義のベルヌーイの定理)を考慮すると,ε＝ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ＝－ρ(∂Φ/∂ｔ)－(Ｐ－Ｐ₀)と表現できます。

そこでｄＥ/ｄｔ＝ρ∫_V[∇Φ∇(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ－∫_S[{ρ(∂Φ/∂ｔ)＋(Ｐ－Ｐ₀)}ｖ_n]ｄＳと書けます。

ところが,∇²Φ＝0 ですから,∫_V[∇Φ∇(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ＝∫_V[∇{∇Φ(∂Φ/∂ｔ)}－∇²Φ(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ＝∫_V[∇{∇Φ(∂Φ/∂ｔ)}ｄＶ＝∫_S(∂Φ/∂ｎ)(∂Φ/∂ｔ)ｄＳです。

したがって,ｄＥ/ｄｔ＝∫_S{ρ(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ－ｖ_n)＋(Ｐ－Ｐ₀)ｖ_n}ｄＳと書けます。

ところでＶの表面Ｓは４つの鉛直な側面と水面,水底面から成りますが,水面では∂Φ/∂ｎ－ｖ_n＝0,かつＰ－Ｐ₀＝0 です。

そしてｘ軸に平行な一対の側面では∂Φ/∂ｎ＝ｖ_n＝0です。またｘ軸に垂直な一対の側面ではｖ_n＝0 ですが,一般に∂Φ/∂ｎ≠0 です。

それ故,ｘ軸に垂直な側面をＳ_nとすると,ｄＥ/ｄｔ＝ρ∫_Sn(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)ｄＳなる式が得られます。これは波のエネルギー保存則を意味します。

ところで,Ｓ_n上でｕ_n≡∂Φ/∂ｎと定義し,エネルギー密度の表現:ε＝－ρ(∂Φ/∂ｔ)－(Ｐ－Ｐ₀)を用いると,上式はｄＥ/ｄｔ＝－ρ∫_Sn(εｕ_n)ｄＳ－∫_Sn{(Ｐ－Ｐ₀)ｕ_n}ｄＳと書けます。

これは,右辺第１項が体積Ｖ内へのエネルギーの流入率,第２項が大気と流体の圧力差によってＶ内の流体が受ける仕事率を表わすというエネルギー保存の典型的な形式になっています。

ここで,体積Ｖとしてｘ軸方向に長さδｘを有するものを取り,座標ｘ,ｘ＋δｘにおける境界面Ｓ_nを,それぞれＳ(ｘ),Ｓ(ｘ＋δｘ)と書けば,エネルギー保存式は,(ｄＥ/ｄｔ)δｘ＝ρ[∫_S(x+δx)－∫_S(x)][(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)]ｄＳとなります。

そこで,ｄＥ/ｄｔ＝ρ(∂/∂ｘ){∫_S(x)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)ｄＳ}となります。これは波のエネルギー保存則の微分形で,波のエネルギー方程式を与えるものとなっています。

とりあえず,今日はここまでにします。

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)　

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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