ＴＶ朝日「朝まで生テレビ」の感想

　今日(６/26(金))のＴＶ朝日の月イチの深夜番組「朝まで生テレビ(朝までナメてれば？)」は,失業,貧困がテーマでしたが,比較的政治を含むパフォーマンスも少なく,敵味方も満遍なく揃っていて,それほど興奮して極端な無茶を言う登場人物もいませんげした。(それはそれで別の意味で面白いこともあるけど)

　久しぶりに,まともに面白いと感じたので,途中でチャンネルを変えることもなく最後まで冷静に見てしまいました。

　しかし,いつも思うのですが,あの金さんて方(在日台湾人？)は,暖かそうな顔をしてるのに,いわゆる弱者である障がい者や現に貧困な人々に対して何故あんなに冷たいピントはずれな意見を述べるのだろう？

　恐らく,余りにも衣食足りていることが当たり前の世界にいるので,自分では冷たいことに気付いてないだけなんだろうとは思いますが。。

「取り合えず,お金の借りられる友人や身内はいないの？」とか,そして「そういう困ったときに助けてくれる人がいないのも自分のせいじゃないの？」とかのご意見でした。

　それじゃ,「パンをよこせ」という民衆に「パンが無ければケーキ(お菓子)を食べればいいじゃないか？」と言ったといわれるマリー・アントアネットと同じじゃないですか。

　イヤー,金さんって,そこまで生まれも育ちもいいのでしょうか。。。

　もっとも,マリー・アントアネットがそんなことを言ったという史実はないらしく,彼女を断頭台に送った正当な理由付けのために後世で創作された話らしいですが。。。

　まあ,勧善懲悪の時代劇でも,最後に正義が悪人をブッタ斬る(死刑？ですよね)という設定を正当化するために,ブッタ斬る予定の相手にワザワザ必要の無い人殺しなどをさせるという理由付けをしますよね。。

　別のお金持ちの方(カツラの似合う堀さん)は,「たかが６千円がないから」とか,また「ギリギリになってセーフティネットに頼ってきたらしいけど,それまでネット・カフェで暮らしてる余裕があった間に,つまり何故もっと早く手遅れになる前にセーフティネットや,他の誰かに頼るような道を模索しなかったのか？」という内容のことを述べておられました。

　ここは,さすがにチョッと腹が立ちました。

　イジめられてギリギリになって自殺した,または自殺未遂の中学生に対して,「何故もっと早くなんとかしなかったのか？」とか「死ぬ気になれば何でもできるのに」とか抜かしてるのとほぼ同じです。子供を助けるべき時に何もできない大人と同じことを言ってるのですよ。

　お二人とも,困ったときにどうすればいいか？という知恵が働かないような人間を作った教育が悪い,あるいは,現代は困ったときは助け合いという昔ながらの向こう三軒両隣的な大家族時代の人情が少ない,生活に困ったときのノウハウがわからないという意味で,頭が悪いのも原因だ。。みたいなご意見でした。

　これも,もちろん要因の１つでしょうが,頭を使えば何とかなるという貧困のレベルかどうか？をご理解されてないようです。

　貧乏人の側の「お金を借りるとか,金がからむ関係になると,友人関係さえ壊れる。」という意見が理解できないはずはないでしょう。。

　それに対して「それは本当の友人じゃない。困ったときに助け合えるのが友人というものだ。」というご意見でした。

　イヤー私なら両方共もっともなご意見で,実はほとんど同じことを別表現で述べているに過ぎないと思えます。

　それに対して,ファニー・フェースでコメディアンが合うとも見える自民党の大村さんが,この件に限っては意外と,まともだと思いました。。(ひょっとして選挙前だけのお得意のポーズ？)

　まあ,必ずしも政治のせいだけではないので,弁解する必要はないのに,結果的には片山氏も含めて,本題である将来の対策よりもむしろ,現行の党や政府の政策の弁解に終始してました。

　立場上仕方ないのでしょうかね。

　小池という共産党の医者？も,この件については意外とまともでしたが,民主党のお二人は真面目には見えるけどアガっていたのかな？。。

　とにかく身につまされる話なので,最近の国内外のデータを交えた話だけは,ずい分参考になりました。

ＰＳ：いくら有名になって大金持ちになっても,白人コンプレックスだけはどうしても消せなくて,そういう意味ではマイケル・ジャクソンも不幸でした。

　白人に対するコンプレックスさえなければ。。(これの原因は人種差別なんでしょうけどね)

　ファラ・フォーセットが亡くなったニュースもかすみましたね。。

　肛門ガンというのも,エイズで友人にも見放されて最後は不遇のうちに亡くなったロック・ハドソンと同様,スターにとっては,不名誉なことで可哀想ですね。

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水の波(5)(群速度,波のエネルギー)

　ちょっと間があきましたが,水の波の続きです。

　群速度が波群の進行速度を表わすことは既に述べましたが,ここでは波群の運動学の立場から群速度を概観してみます。

　一般に分散性媒質中では,任意の初期状態から出発した波の場は時間が経つにつれて分散が進み,長時間の後には,局所的には１つの波数と振動数の単色波になるという状態が実現します。

　こうした状態においては,波の場の振動的構造を無視して,場全体を波数,振動数,振幅などの特性量の場として大局的に記述することが可能になります。

　これは波の場を波群の運動学として記述するもので,いわば波動光学に対する幾何光学に対応しています。

　局所的に単色波である波の場では,もはや波の分裂や合体は起こらないので,波数,および振動数の保存則が成り立つと考えられます。

　今,ｘ軸の方向に長さδｘを取り,δｘは波数ｋの空間的変化の尺度に比べればきわめて小さいが,その中には多数の波を含むとします。

　同様に,時間間隔δｔを取り,δｔは振動数ωの時間的変化の尺度に比べれば十分短かいが,中に多数の振動を含むとします。

　ｘ軸の正の向きに進む水の波を考えると,δｔ内にｘ,およびｘ＋δｘを通過する波の数は,それぞれω(ｘ,ｔ)δｔ,およびω(ｘ＋δｘ,ｔ)δｔです。

そこで,区間(ｘ,ｘ＋δｘ)内には,差し引きω(ｘ,ｔ)δｔ－ω(ｘ＋δｘ,ｔ)δｔ＝－(∂ω/∂ｘ)δｘδｔだけの波が残ります。

ところが波数の保存側によって,これはこの区間δｘ内において,時間δｔ内における波数の増加(∂ｋ/∂ｔ)δｘδｔに等しくなければなりません。

したがって,∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 です。位相速度ｃ＝ω/ｋを代入すると∂ｋ/∂ｔ＋∂(ｃｋ)/∂ｘ＝0 と書けますが,これは明らかに波数ｋに対する連続の方程式を表わしています。

この記述では,波の位相速度ｃが波数ｋの伝播速度を与えることを示しています。

他方,群速度がｃ_g＝ｄω/ｄｋで与えられることから,∂ω/∂ｘ＝(ｄω/ｄｋ)(∂ｋ/∂ｘ)なので,波数の保存式∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 は∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ＝0 なることを意味します。

あるいは,∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘ＝0 です。ωはｋを通じてｘ,ｔに依存しているとしています。

そして,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gならｄｋ/ｄｔ＝∂ｋ/∂ｔ＋(∂ｋ/∂ｘ)(ｄｘ/ｄｔ)＝∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ,かつｄω/ｄｔ＝∂ω/∂ｔ＋(∂ω/∂ｘ)(ｄｘ/ｄｔ)＝∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘです。

それ故,波数の保存式∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 は,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gなる道筋に沿って波数ｋと振動数ωが一定なることを示しています。

つまり,波の群速度ｃ_gは,波数ｋ,または振動数ωが一定である点の移動速度を与えます。

ωはｋのみの関数で,ｃ_gもまたｋのみの関数と考えることができるのでｋ＝一定の道筋の上では,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gの解は,ｘ－ｃ_gｔ＝一定なる直線,つまり等速運動になります。

そこで,一定の波数,または振動数の波群は,一定の群速度で進行することがわかります。

媒質が不均一である場合には,ωはｋだけでなくｘにも依存するため,∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ＝0 または∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘ＝0 は成立しません。

しかし,この場合も局所的な群速度を,ｘを固定した偏微分で,ｃ_g≡(∂ω/∂ｋ)_xで定義します。

(∂ω/∂ｋ)_x(∂ｋ/∂ｔ)_x＝(∂ω/∂ｔ)_xを考慮すれば,再びωに対する方程式:(∂ω/∂ｔ)_x＋ｃ_g(∂ω/∂ｘ)_x＝0 が得られます。

したがって,不均一な媒質においても一定振動数の波群は群速度ｃ_gで進行します。

ただし,この場合,群速度ｃ_gは一定ではなく,道筋もまた直線的(等速運動)ではありませんが,ｃ_gはωとｘの関数であり,ωは道筋に沿って一定ですから,ｃ_gはｘのみの関数となります。

次に波のエネルギーを考察します。 

ｘ軸とそれに直角なｙ軸方向にそれぞれ単位長さの幅を持ち,鉛直ｚ方向には水底ｚ＝－ｈから水面ｚ＝ηまでの立体Ｖを取り,Ｖの中の水のエネルギーを考えます。

水の密度をρ＝一定とすると,渦なしの流れの場合,水の速度ｕは速度ポテンシャルΦによってｕ＝∇Φと表わされるので,運動エネルギーＫはＫ＝∫_V(ρｕ²/2)ｄＶ＝(ρ/2)∫_V|∇Φ|²ｄＶで与えられます。

一方,位置エネルギーＰはＰ＝ρｇ∫_VｚｄＶです。

したがって,全エネルギーはＥ＝Ｋ＋Ｐ＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ}ｄＶで与えられます。

これを微小振幅波について具体的に計算してみます。 

体積Ｖとしてｙ方向の幅は単位長さとしていますが,ｘ方向の長さをδｘを考えると,まず運動エネルギーはＫδｘ＝(ρ/2)∫₀^δxｄｘ∫_-h⁰ｄｚ{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}と表わされます。ここでｚ積分の上限は線形近似でη＝0 としました。 

既に求めたように微小振幅波の速度ポテンシャルはΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)です。

これを,Ｋδｘの表現に代入し位相速度がｃ＝ｃ(ｋ)＝ｋ/ω＝ｆλ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2を用います。

すると,Ｋδｘ＝(ρ/2){Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}²∫₀^δxｄｘ∫_-h⁰ｄｚ[sin²(ｋｘ－ωｔ)＋sinh²{ｋ(ｚ＋ｈ)}]＝(ρ/2){(ｇＡ²ｋ)tanh(ｋｈ)/sinh²(ｋｈ)}}δｘ[ｈ/2＋{sinh(2ｋｈ)/(2ｋ)－ｈ}/2]＝ρｇＡ²δｘ/4,すなわち,Ｋ＝ρｇＡ²/4を得ます。

また,位置エネルギーは水面の高さが意味を持つので,ηを復活させてη＝η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)とすると,Ｐδｘ＝ρｇ∫₀^δxｄｘ∫_-h^ηｚｄｚ＝(ρｇ/2)∫₀^δx(η²－ｈ²)ｄｘ＝(ρｇ/2)∫₀^δx{Ａ²sin² (ｋｘ－ωｔ)－ｈ²}ｄｘ＝(ρｇδｘ/2)(Ａ²/2－ｈ²)です。

よってＰ＝ρｇＡ²/4－ｈ²/2です。

したがって,全エネルギーはＥ＝Ｋ＋Ｐ＝ρｇＡ²/2－ｈ²/2です。

ところが右辺の定数項:－ｈ²/2はＡ＝0 で波がなく静止しているときにも存在する水の位置エネルギーですから,これを基準としたエネルギーを改めて波のエネルギーとしてＫ_w,Ｐ_w,Ｅ_w＝Ｋ_w＋Ｐ_wを定義すれば,Ｋ_w＝Ｐ_w＝ρｇＡ²/4,Ｅ_w＝ρｇＡ²/2となります。

これらのエネルギーは,いずれも波数や振動数に無関係であり,水面波ηの振幅Ａだけで決まる量です。そして,今の場合,運動エネルギーと位置エネルギーの等分配則が成立しています。

一般的には,波のエネルギーはＥ＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ}ｄＶから,水の静止エネルギー∫_V0ρｇｚｄＶを引いたＥ_w＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2]ｄＶ＋∫_VρｇｚｄＶ－∫_V0ρｇｚｄＶで定義できます。

ただし,Ｖ₀は水面波ηがない場合の立体体積です。

次に,波のエネルギーの時間変化ｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔを考えます。特にエネルギー密度をε≡ ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚとおけば,Ｅ＝∫_VεｄＶであり,ｄＥ/ｄｔ＝∫_V(∂ε/∂ｔ)ｄＶ＋∫_S(εｖ_n)ｄＳです。

ここで,ＳはＶの表面を表わし,ｖ_nはＳの面要素ｄＳの動く速度ｖの外向き法線成分を表わします。

ここで,圧力方程式∂Φ/∂ｔ＋Ｐ/ρ＋|∇Φ|²/2＋ｇｚ＝ｆ(ｔ)≡Ｐ₀/ρ(広義のベルヌーイの定理)を考慮すると,ε＝ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ＝－ρ(∂Φ/∂ｔ)－(Ｐ－Ｐ₀)と表現できます。

そこでｄＥ/ｄｔ＝ρ∫_V[∇Φ∇(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ－∫_S[{ρ(∂Φ/∂ｔ)＋(Ｐ－Ｐ₀)}ｖ_n]ｄＳと書けます。

ところが,∇²Φ＝0 ですから,∫_V[∇Φ∇(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ＝∫_V[∇{∇Φ(∂Φ/∂ｔ)}－∇²Φ(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ＝∫_V[∇{∇Φ(∂Φ/∂ｔ)}ｄＶ＝∫_S(∂Φ/∂ｎ)(∂Φ/∂ｔ)ｄＳです。

したがって,ｄＥ/ｄｔ＝∫_S{ρ(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ－ｖ_n)＋(Ｐ－Ｐ₀)ｖ_n}ｄＳと書けます。

ところでＶの表面Ｓは４つの鉛直な側面と水面,水底面から成りますが,水面では∂Φ/∂ｎ－ｖ_n＝0,かつＰ－Ｐ₀＝0 です。

そしてｘ軸に平行な一対の側面では∂Φ/∂ｎ＝ｖ_n＝0です。またｘ軸に垂直な一対の側面ではｖ_n＝0 ですが,一般に∂Φ/∂ｎ≠0 です。

それ故,ｘ軸に垂直な側面をＳ_nとすると,ｄＥ/ｄｔ＝ρ∫_Sn(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)ｄＳなる式が得られます。これは波のエネルギー保存則を意味します。

ところで,Ｓ_n上でｕ_n≡∂Φ/∂ｎと定義し,エネルギー密度の表現:ε＝－ρ(∂Φ/∂ｔ)－(Ｐ－Ｐ₀)を用いると,上式はｄＥ/ｄｔ＝－ρ∫_Sn(εｕ_n)ｄＳ－∫_Sn{(Ｐ－Ｐ₀)ｕ_n}ｄＳと書けます。

これは,右辺第１項が体積Ｖ内へのエネルギーの流入率,第２項が大気と流体の圧力差によってＶ内の流体が受ける仕事率を表わすというエネルギー保存の典型的な形式になっています。

ここで,体積Ｖとしてｘ軸方向に長さδｘを有するものを取り,座標ｘ,ｘ＋δｘにおける境界面Ｓ_nを,それぞれＳ(ｘ),Ｓ(ｘ＋δｘ)と書けば,エネルギー保存式は,(ｄＥ/ｄｔ)δｘ＝ρ[∫_S(x+δx)－∫_S(x)][(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)]ｄＳとなります。

そこで,ｄＥ/ｄｔ＝ρ(∂/∂ｘ){∫_S(x)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)ｄＳ}となります。これは波のエネルギー保存則の微分形で,波のエネルギー方程式を与えるものとなっています。

とりあえず,今日はここまでにします。

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)　

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電磁場の共変的量子化(3)(中西-Lautrap理論)

　電磁場の共変的量子化(3)(中西-Lautrap理論)」の続きです。

　前回は,共変ゲージでの電磁場Ａ_μ(ｘ),補助場Ｂ(ｘ)の一般的４次元交換関係が[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝0,[Ａ_μ(ｘ),Ａ_ν(ｙ)]＝－iη_μνＤ(ｘ－ｙ)＋i(1－α)∂^x_μ∂^x_νＥ(ｘ－ｙ)で与えられるというところまで書きました。

　これは,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ), Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)]なる表現に基づくものです。

　忘れていましたが,４次元交換関係[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]をまだ計算していませんでした。

これも,Ｂ(ｙ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)を代入した式,[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z₀^⇔[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｚ)]を利用すれば計算できます。

右辺の被積分関数はｚ⁰に依存しないので,ｚ⁰＝ｘ⁰とおけば,これは[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｚ)]と[Ａ_μ(ｘ), ∂^z₀Ｂ(ｚ)]の同時刻交換関係から計算できます。

まず,μ＝ｉなら,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 によって[Ａ_i(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝－∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)[Ａ_i(ｘ),∂^z₀Ｂ(ｚ)]と書けます。

ところが,∂_μＢ＝□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^νですから,∂₀Ｂ＝□Ａ₀－∂₀∂_νＡ^ν＝Σ_k∂_k(∂₀Ａ^k)－∇²Ａ₀です。 

そして,同時刻では,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0 ですから[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∇_y²Ａ₀(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

また,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝－iδ_i^kδ³(ｘ－ｙ)より,[Ａ_j(ｘ⁰,ｘ),Σ_k∂^y_k(∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ))＝－iΣ_k∂^y_kδ_i^kδ³(ｘ－ｙ)＝－i∂^y_iδ³(ｘ－ｙ)なので,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝－i∂^y_iδ³(ｘ－ｙ)を得ます。

それ故,[Ａ_i(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝i∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z_iδ³(ｘ－ｚ)＝－i∂^x_iＤ(ｙ－ｘ)＝i∂^x_iＤ(ｘ－ｙ)となります。

(なぜなら,Ｄ(ｙ－ｘ)＝－Ｄ(ｘ－ｙ)です。)

一方,同時刻で[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),∇_y²Ａ₀(ｘ⁰,ｙ)]＝0 なることは明らかです。また,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 ですから,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ), Σ_k∂^y_k(∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

よって,[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 が得られます。

一方,[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ)ですから,[Ａ₀(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝－i∫ｄ³ｚ∂^z₀Ｄ(ｙ－ｚ)δ³(ｘ－ｚ)＝－i∂^x₀Ｄ(ｙ－ｘ)＝i∂^x₀Ｄ(ｘ－ｙ)です。

　以上から,４次元の共変的交換関係:[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝i∂^x_μＤ(ｘ－ｙ)も得られました。

　補助場Ｂ(ｘ)はダランベール方程式:□Ｂ＝0 の解なので,運動量表示は,Ｂ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｐ(2|ｐ|)^-1/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－i|ｐ|ｔ＋iｐｘ)＋ｂ^^＋(ｐ)exp(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)}},

　あるいは,Ｂ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ｂ^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}と,よく知られた形に表現して何の問題もありません。

　そして,これらの逆変換としてｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2(2|ｐ|)^-1/2∫ｄ³ｘ[(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)]]∂₀^⇔Ｂ(ｘ)],あるいはｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]を得ます。

　ｂ^(ｐ)＝θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)(2|ｐ|)^1/2ｂ^(ｐ)です。

　しかし,□Ａ^μ＝0 ではないので,Ａ^μ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｐ(2|ｐ|)^-1/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ａ^μ^(ｐ)exp(－i|ｐ|ｔ＋iｐｘ)＋ａ^μ^^＋(ｐ)exp(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)}}＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ａ^μ^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ａ^μ^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)と書くことはできません。

　これが,この問題のネックなのです。

Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ),およびＡ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)]なるキルヒホッフの表示式,

そして,Ｄ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)},Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}なる表現式,

ｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]なる逆表現から類推して,ａ^μ^(ｐ)≡－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)[∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ａ^μ(ｘ)－(1－α)(ｐ＋iε)^-2exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]と定義してみます。

Ｂ(ｘ)の正振動数部分をＢ^＋(ｘ)と書けば,Ｂ^＋(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－iｐｘ)です。

同様に,Ａ^μ(ｘ)の正振動数部分をＡ^μ＋(ｘ)と書けばＡ^μ＋(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²)ａ^μ^(ｐ)exp(－iｐｘ)です。

こうすれば,運動方程式,□Ｂ＝0 ,□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 ,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 は,それぞれｐ²ｂ^(ｐ)＝0 ,ｐ²ａ^μ^(ｐ)＝i(1－α)ｐ^μｂ(ｐ),ｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ)となります。

また,交換関係は[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0,[ａ^μ^(ｐ),ａ^ν＋(ｑ)]＝δ⁴(ｐ－ｑ)[－η^μνδ(ｐ²)＋(1－α)ｐ^μｐ^νｐ^-2δ(ｐ²)],[ａ^μ^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)ｐ^μδ(ｐ²)です。

グプタ・ブロイラーの方法では,物理的状態を|phys＞と表記すると,その条件は,∂_μＡ^μ＋(ｘ)|phys＞＝0 とされています。これはα＝0 のランダウゲージ以外では,ｂ(ｐ)|phys＞＝0 と同値です。

そこで,逆に物理的状態であるための条件をｂ(ｐ)|phys＞＝0 であることと定義します。

さて,運動量がｐ^μの１光子状態は,ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞とｂ^^＋(ｐ)|0＞であるとします。ただし,ｐ_μａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－iαｂ^＋(ｐ)|0＞なる条件がありますから,このうち独立な偏光成分は４つだけです。

これら１光子状態は,ｐ²ｂ^(ｐ)＝0 より,ｐ²ｂ^^＋(ｐ)|0＞＝0 を満たし,ｐ²ａ^μ^(ｐ)＝i(1－α)ｐ^μｂ(ｐ)より,ｐ²ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－i(1－α)ｐ^μｂ^^＋(ｐ)|0＞を満たすことがわかります。

ここで,簡単のために,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝(Ｅ,0,0,Ｅ)(Ｅ≠0)なる座標系を取ります。これは,光子の運動方向をｚ軸方向に取るというだけの意味ですから,決して一般性を失なうものではありません。

このとき,ｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ)は,１光子としては,Ｅ(ａ⁰^^＋(ｐ)－ａ^3＋(ｐ)|0＞＝iαｂ^＋(ｐ)|0＞なることを意味します。 

さらに,スカラー光子を|ｐ,Ｓ＞≡ｂ^^＋(ｐ)|0＞,縦波光子を|ｐ,Ｌ＞≡ａ³^^＋(ｐ)|0＞,横波光子を|ｐ,Ｔ^j＞≡ａ^j^^＋(ｐ)|0＞(ｊ＝1,2)と表記しておきます。

すると,ｐ²ｂ^^＋(ｐ)|0＞＝0,ｐ²ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－i(1－α)ｐ^μｂ^^＋(ｐ)|0＞は,ｐ²|ｐ,Ｓ＞＝ｐ²|ｐ,Ｔ^j＞＝0 ,かつｐ²|ｐ,Ｌ＞＝－i(1－α)Ｅ|ｐ,Ｓ＞を意味します。

そこで,スカラー光子|ｐ,Ｓ＞と横波光子|ｐ,Ｔ^j＞は固有値ｐ²＝0 に属するｐ²の固有状態ですから,これらは質量がゼロの粒子状態を表わしています。

しかし,縦波光子|ｐ,Ｌ＞はα＝1の場合を除いて,ｐ²の固有状態ではありません。しかし,(ｐ²)²|ｐ,Ｌ＞＝0 を満たすので,いわゆる双極ゴースト(dipole ghost)です。

さらに,[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0 により,＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｓ＞＝0 です。また,[ａ^μ^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)ｐ^μδ(ｐ²)により,＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｔ^j＞＝0,＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｌ＞＝－δ⁴(ｑ－ｐ)Ｅδ(ｐ²)です。

そして,[ａ^μ^(ｐ), ａ^ν＋(ｑ)]＝δ⁴(ｐ－ｑ)[－η^μνδ(ｐ²)＋(1－α)ｐ^μｐ^νｐ^-2δ(ｐ²)]により,＜ｑ,Ｌ|ｐ,Ｌ＞＝δ⁴(ｐ－ｑ)δ(ｐ²)＋(1－α)Ｅ²ｐ^-2δ(ｐ²)]です。

さらに,＜ｑ,Ｔ^j|ｐ,Ｌ＞＝0,＜ｑ,Ｔ^k|ｐ,Ｔ^j＞＝δ^kjδ(ｐ²)δ⁴(ｐ－ｑ)であることもわかります。

また,再び[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0 により,ｂ^(ｑ)|ｐ,Ｓ＞＝0 です。そして,[ａ^j^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝0 (ｊ＝1.2)によって,ｂ^(ｑ)|ｐ,Ｔ^j＞＝0 です。

一方,[ａ³^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)Ｅδ(ｐ²)なので,ｐ²＝0,かつｑ＝ｐなら|ｂ(ｑ)|ｐ,Ｌ＞≠0 です。

そこで,双極ゴースト粒子の縦波光子は非物理的状態であり,観測可能な状態ではないことがわかります。

したがって,スカラー光子と横波光子のみが物理的状態となる条件を満たす物理的粒子です。

ただし,スカラー光子のノルム＜ｐ,Ｓ|ｐ,Ｓ＞は常にゼロです。

それ故,スカラー光子は,確かに質量がゼロの物理的粒子ですが,観測される確率はゼロという意味で閉じ込められるため,実光子ではなく仮想光子と呼ばれます。

さて,自由場を離れて相互作用(４元電流密度)がある場合には,運動方程式は,□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝－j_μ(ｘ)となります。

特に静電場なら,j₀(ｘ)＝j₀(ｘ,ｔ)＝ρ(ｘ)(電荷密度)だけがゼロでない成分で,時間変動はありませんから,∂₀＝∂/∂ｔ＝0 を代入すると,－∇²Ａ₀＝ρ,∇²Ａ_k＝－(1－α)∂_kＢとなります。

－∇²Ａ₀＝ρは,Ａ₀をφと書けば∇²φ＝－ρです,

これから,静電ポテンシャルはφ(ｘ)＝－∫ｄ³ｙ[ρ(ｙ)/(4π|ｘ－ｙ|)]で,静電場はＥ(ｘ)＝－∇φ(ｘ)で与えられます。

そこで補助場Ｂ(ｘ)の存在に関係なく,静電場のクーロンの法則は確かに成立します。補助場Ｂ(ｘ)は単にゲージ変換と同等な意味しか持たないわけです。

そして,－∇²Ａ₀＝ρは,運動量表示では,ｐ²ａ⁰^(ｐ)＝ρ^(ｐ)と同等です。同じく,∇²Ａ_k＝－(1－α)∂_kＢはｐ²ａ^k^(ｐ)＝－i(1－α)ｐ^kｂ^(ｐ)です。

∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 よりｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ),あるいはｐ²＝0でｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝(Ｅ,0,0,Ｅ)(Ｅ≠0)なら,ｐ²＝Ｅ²でＥ{ａ⁰^(ｐ)－ａ³^(ｐ)}＝－iαｂ^(ｐ)です。

そしてＥ²ａ³^(ｐ)＝－i(1－α)Ｅｂ^(ｐ)です。これらの式から,ａ³^(ｐ)を消去すると,ａ⁰^(ｐ)＝iｂ^(ｐ)/Ｅを得ます。同様にａ⁰^^＋(ｐ)＝－iｂ^^＋(ｐ)/Ｅとなります。

そこで,φ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰){δ(ｐ²)＋(ｐ＋iε)^-2δ(ｐ²)}{ａ⁰^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ａ⁰^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}のａ⁰^(ｐ),ａ⁰^^＋(ｐ)を,それぞれiｂ^(ｐ)/Ｅ,－iｂ^^＋(ｐ)/Ｅに置き換えたものが静電場のクーロンポテンシャルに相当することがわかります。

それ故,クーロン相互作用は,閉じ込められていて観測されない質量ゼロのスカラー光子の媒介によるという描像が得られました。

ちょっと,詳細を省いていますが,理論の概略としてはこの程度です。

今日はここで終わります。

参考文献:J.D.Bjorken,S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」(McGraw-Hill),中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

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電磁場の共変的量子化(2)(中西理論;不変デルタ関数)

「電磁場の共変的量子化(中西-Lautrap理論)」の続きです。ＰＣトラブルで,ちょっと間があきました。

今日は,一般的な不変デルタ関数を考察します。

無用な煩雑さを避けるため,素朴な質量ｍのクライン・ゴルドン方程式に従う１成分の自由な中性スカラー場φ(ｘ)の考察から始めます。

(簡単のため,ｃ＝ｈ/(2π)＝1の自然単位を採用します。)

自由な中性スカラー場φ(ｘ)のラグランジアン密度Ｌ₀はＬ₀(φ,∂_μφ)＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－ｍ²φ)で与えられます。

(ただし,∂_μφ≡∂φ/∂ｘ^μetc.です。)

φの変分δφに対して,作用Ｓ＝∫Ｌ₀(φ,∂_μφ)ｄ⁴ｘの変分δＳが停留値を取るべきであるという作用原理から,場の運動方程式はオイラー・ラグランジュ方程式∂_μ{∂Ｌ₀/∂(∂_μφ)}－∂Ｌ₀/∂φ＝0 で与えられます。

当然ながら,これは素朴なクライン・ゴルドン方程式(□＋ｍ²)φ(ｘ)＝0 に一致します。ここに□≡∂_μ∂^μ＝∂²/∂ｔ²－∇²で,これはダランベルシャン(d'Alembertian)と呼ばれる微分演算子です。∇²はラプラス演算子(Laplacian)です。

正準共役な運動量密度演算子はπ(ｘ)＝∂Ｌ₀/∂(∂₀φ)＝∂⁰φ＝∂₀φで与えられます。

そこで,同時刻の正準交換関係は,[π(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝－iδ³(ｘ－ｙ),および[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝[π(ｘ),π(ｙ)]|_x0=y0＝0 となります。

そして,φ(ｘ)の自由平面波によるフーリエ(Fourier)展開式はφ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1/2{ａ^(ｋ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ)exp(iｋｘ)}と書けます。

ただし,ω_k≡(ｋ²＋ｍ²)^1/2＞0 であり,exp(－iｋｘ)＝exp(－iω_kｔ＋iｋｘ),exp(iｋｘ)＝exp(iω_kｔ－iｋｘ)です。また,ａ^^＋(ｋ)はａ^(ｋ)のエルミート共役です。

同時刻の正準交換関係[π(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝－iδ³(ｘ－ｙ),[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝[π(ｘ),π(ｙ)]|_x0=y0＝0 から,ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ)の交換関係[ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]＝δ³(ｋ－ｋ'),[ａ^(ｋ),ａ^(ｋ')]＝[ａ^^＋(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]＝0 が得られます。

これらａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ)の交換関係から,同時刻とは限らない一般の場の交換関係のフーリエ積分表示として,[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}＋exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]を得ます。

これをiΔ(ｘ－ｙ)と定義します。

特に,質量ｍの関数であることを強調したいときには,Δ(ｘ)の代わりにΔ(ｘ,ｍ²)と表記します。Δ(ｘ),またはΔ(ｘ,ｍ²)は座標ｘ^μのローレンツ変換に対して不変なので,不変デルタ関数と呼ばれます。

　そして,iΔ(ｘ－ｙ)＝[φ(ｘ),φ(ｙ)]ですから,Δ(ｙ－ｘ)＝－Δ(ｘ－ｙ)であり,また,(□＋ｍ²)φ(ｘ)＝0 ですから,(□＋ｍ²)Δ(ｘ)＝0 を満たします。

　前記事の電磁場について,不変デルタ関数として与えたＤ(ｘ)は－Δ(ｘ,0)であり,□Ｄ(ｘ)＝0 の解です。

不変デルタ関数は,交換子[φ(ｘ),φ(ｙ)]で与えられる上記の関数だけではなく,(□＋ｍ²)Δ(ｘ)＝0 ,または(□＋ｍ²)Δ(ｘ)＝±δ⁴(ｘ)を満たすローレンツ不変な関数Δ(ｘ)は全て,クライン・ゴルドン演算子(□＋ｍ²)に対する不変デルタ関数と呼ばれるようです。

　同時刻交換関係[π(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝[∂₀φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝－iδ³(ｘ－ｙ)から,このΔ(ｘ)は∂₀Δ(ｘ)|_x0=0＝－δ³(ｘ)を満たします。

　そして,[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝0 から,ｘとｙが空間的(space-like)に離れているとき,すなわち(ｘ－ｙ)²＜0なら[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝iΔ(ｘ－ｙ)＝0 が得られます。

　空間的(ｘ－ｙ)²＝(ｘ⁰－ｙ⁰)²－(ｘ－ｙ)²＜0 の場合,適当なローレンツ変換によって,２つの事象ｘ,ｙが同時刻:ｘ⁰＝ｙ⁰となるような座標系を取ることが可能です。

　その座標系では同時刻なので[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝0 ですが,これはローレンツ変換に対して不変な関係ですから,[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝iΔ(ｘ－ｙ)＝0 と結論されます。

　そういうわけで,(ｘ－ｙ)²＜0 (空間的)なら[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝0 が成立します。これは理論が相対論的な微視的因果律を満たす十分条件になっています。

　さて,簡単な計算によって,ω_k≡(ｋ²＋ｍ²)^1/2＞0とｋの任意関数ｆ(ω_k,ｋ)に対し,公式∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1ｆ(ω_k,ｋ)＝∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)ｆ(ｋ⁰,ｋ)が成立することがわかります。

ただし,θ(τ)はヘヴィサイド関数(階段関数)でθ(τ)≡1(τ＞0),0(τ＞0)によって定義され,常にθ(τ)＋θ(－τ)＝1を満たします。

　これを用いると,iΔ(ｘ)＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)]より,Δ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)[exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)ε(ｋ⁰)exp(－iｋｘ)と書けます。

　ここで,ε(τ)はε(τ)≡1(τ＞0),－1(τ＞0)でθ(τ)＝(1/2){ε(τ)＋1}で定義される符号関数です。

　一方,(□＋ｍ²)Δ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)を満たすグリーン関数として,よく知られた伝播関数(propagator)Δ_F(ｘ)があります。

　これは,Ｔ積の真空期待値:iΔ_F(ｘ－ｙ)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ(ｙ)))|0＞＝θ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞で与えられるグリーン関数です。

　φ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1/2{ａ^(ｋ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ)exp(iｋｘ)}を代入すると,＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1exp{－iｋ(ｘ―ｙ)},＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1exp{iｋ(ｘ―ｙ)}です。

この＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞,＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞を示す関数を,それぞれΔ_＋(ｘ－ｙ),Δ_－(ｘ－ｙ)と書けば,iΔ_F(ｘ)＝θ(ｘ⁰)Δ_＋(ｘ)＋θ(－ｘ⁰)Δ_－(ｘ)と書けます。

一般に,Δ_ret(ｘ)≡θ(ｘ⁰)Δ_＋(ｘ)は遅延グリーン関数と呼ばれ,Δ_adv(ｘ)≡－θ(－ｘ⁰)Δ_－(ｘ)は先進グリーン関数と呼ばれます。

そこで,伝播関数iΔ_F(ｘ)は,iΔ_F(ｘ)＝Δ_ret(ｘ)－Δ_adv(ｘ)とも表現されます。

一方,iΔ(ｘ－ｙ)＝[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝＜0|[φ(ｘ),φ(ｙ)]|0＞＝＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞－＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞＝Δ_＋(ｘ－ｙ)－Δ_－(ｘ－ｙ)です。よって,iΔ(ｘ)＝Δ_＋(ｘ)－Δ_－(ｘ)です。

Δ_ret(ｘ)≡θ(ｘ⁰)Δ_＋(ｘ),およびΔ_adv(ｘ)≡－θ(－ｘ⁰)Δ_－(ｘ),用いると,iΔ(ｘ)もiΔ(ｘ)＝θ(ｘ⁰)Δ_ret(ｘ)＋θ(－ｘ⁰)Δ_adv(ｘ)と表現することができます。

いずれにしても,ｘ⁰＞0 の未来では,iΔ(ｘ)＝iΔ_F(ｘ)＝Δ_ret(ｘ)＝Δ_＋(ｘ)となりますから,iΔ(ｘ)もiΔ_F(ｘ)も遅延グリーン関数として同じ意味を持ちます。

したがって,Δ(ｘ)を用いてもΔ_F(ｘ)を用いても,全く同じように初期値問題のキルヒホッフ表示が可能です。

なお,(□＋ｍ²)Δ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)から,Δ_F(ｘ)のフーリエ変換をΔ_F(ｘ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｋΔ~_F(ｋ)exp(－iｋｘ)と書けば,(ｋ²－ｍ²)Δ~_F(ｋ)＝1となります。

そこで,iΔ_F(ｘ)＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]は,別の表示として(2π)^-4∫ｄ⁴ｋ[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²－ｍ²＋iε)]を持ちます。

これは,ヘヴィサイド関数θ(τ)がθ(τ)＝{－/(2πi)}∫_-∞^∞ｄω[exp(－iωτ)(ω＋iε)^-1]と表わせることからも簡単に示せます。

Δ(ｘ),Δ_F(ｘ)を,それぞれΔ(ｘ,ｍ²),Δ_F(ｘ,ｍ²)と表記して質量ｍがゼロの場合のΔ(ｘ,ｍ²),Δ_F(ｘ,ｍ²)を,それぞれＤ(ｘ)≡Δ(ｘ,0),Ｄ_F(ｘ)≡Δ_F(ｘ,0)と定義します。

(□＋ｍ²)Δ(ｘ,ｍ²)＝0,(□＋ｍ²)Δ_F(ｘ,ｍ²)＝－δ⁴(ｘ)でしたから,□Ｄ(ｘ)＝0,□Ｄ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)です。

Ｄ(ｘ)のフーリエ積分表示は,Ｄ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)θ(ｋ⁰)[exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)ε(ｋ⁰)exp(－iｋｘ)であり,∂₀Ｄ(ｘ)|_x0=0＝－δ³(ｘ)です。

また,ｘが空間的:ｘ²＜0ならＤ(ｘ)＝0です。

一方,Ｄ_F(ｘ)のフーリエ積分表示は,Ｄ_F(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｋ(ｘ―ｙ)}]＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｋ[exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}/(ｋ²＋iε)]です。

さらに,Ｅ関数は□Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)を満たす関数であるとすると,□²Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)です。

Ｄ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)ε(ｋ⁰)exp(－iｋｘ)でしたから,形式上はＥ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)ε(ｋ⁰)ｋ^-2exp(－iｋｘ)です。

しかし,被積分関数がｋ²＝0 に特異性を持つので何らかの特異点を避ける処理が必要です。ｋ²をｋ²＋iεで置き換えて,積分後にε→＋0 の極限を取ることにします。

細かいことは後にして,,電磁場の共変的量子化を考えます。

すぐ前の記事では,Ｄ(ｘ)は∂₀Ｄ(ｘ)|_x0=0＝δ³(ｘ)を満たすと書いていることからもわかるように,前記事でのＤ(ｘ)は－Δ(ｘ,0)を意味していました。

そこでは,補助場Ｂ(ｘ)がダランベール方程式□Ｂ(ｘ)＝0 を満たすので,キルヒホッフの積分表示がＢ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｘ⁰}Ｂ(ｚ)＋Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ⁰]で与えられるとしていました。

しかし,ここではＤ(ｘ)＝Δ(ｘ,0)としているので,キルヒホッフの表示式はＢ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｚ⁰}Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ⁰]となります。

ここで,記号∂₀^⇔をｆ∂₀^⇔ｇ≡{∂ｆ(ｘ)/∂ｘ⁰}ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)∂ｇ(ｘ)/∂ｘ⁰によって定義すると,Ｂ(ｘ)の積分表示は,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)と簡単になります。

右辺の積分式はｚ⁰に依存するように見えますが,左辺のＢ(ｘ)がｚ⁰に依存しないので,右辺をｚ⁰で偏微分してもゼロのはずです。

実際,□Ｂ＝0 を用いると確かに∂[∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)]/∂ｚ⁰＝∫ｄ³ｚ[∇²Ｄ(ｘ－ｚ)Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀²Ｂ(ｚ)]＝0 となります。

４次元交換関係[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]にＢ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{∂^z₀Ｄ(ｘ－ｚ)Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀Ｂ(ｚ)}を代入すると,[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝∫ｄ³ｚ{∂^z₀Ｄ(ｘ－ｚ)[Ｂ(ｚ),Ｂ(ｙ)]－Ｄ(ｘ－ｚ)[∂^z₀Ｂ(ｚ),Ｂ(ｙ)]}が得られます。

右辺のｚ⁰は何でもいいので,ｚ⁰＝ｙ⁰とおくと,既知の同時刻交換関係[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0,[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 から,[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝0 が得られます。

一方,運動方程式:□Ａ_μ＝(1－α)∂_μＢ＝0 から,前記事では,Ａ_μ(ｘ)＝Ｃ_μ(ｘ)＋(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ^μ},□Ｃ_μ＝0 なる表現ができるはずと書きました。

特に,□Ｃ_μ＝0 を満たすＣ_μ(ｘ)を,Ｃ_μ(ｘ)≡∫ｄ³ｚ{∂^z₀Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)}とします。

残りの非同次の部分:(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ^μ}は,前記事ではＤ(ｘ)の符号が違うので,これを－Ｄ(ｘ)に変更します。

すると,Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)}－(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z_μＢ(ｚ)となります。

さらに,□∂_μＢ＝0 ですから,∂_μＢ＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)}とキルヒホッフ表示式で表現できます。

そこで,Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ){∂－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)}－(1－α)∫ｄ⁴ｙ∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｙ)Ｄ(ｙ－ｚ)∂^z_μＢ(ｚ)となります。

ところが,□Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)から,Ｅ(ｘ)はＥ(ｘ)＝－∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ)Ｄ(ｚ)なる表現を持ちますから,∫ｄ⁴ｙ∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｙ)Ｄ(ｙ－ｚ)＝Ｅ(ｘ－ｚ)と書けます。

したがって,結局Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)}なる表現を得ます。

これから,[Ａ_μ(ｘ),Ａ_ν(ｙ)]＝－iη_μνＤ(ｘ－ｙ)＋i(1－α)∂^x_μ∂^x_νＥ(ｘ－ｙ)なる４次元交換関係の表現が得られます。

最後の部分の詳細についてはは次回にして今日はここで終わります。

参考文献：J.D.Bjorken,S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」McGraw-Hill,中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

ＰＳ：(6/17(水)早朝記す。) 何？「大政奉還すべきだ。」という主張の意味がわからない？だって。。発想が貧困だなあ。。

「別に政権を朝廷に返せ」などというアナクロな意味じゃないよ。。

これは,「政治を本来の主人＝主権者に返還するべきだ。」という意味だろう？

いつまでも姑息な延命をはかるんじゃなくて,早く主権者に返して少なくとも審判を仰げ。。という素朴な意味だぜ。。

ＰＳ２:どうも,この記事はCatFalconさんのブログの記事「不変デルタ関数」http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/29567993.html とほぼ,かぶっているようです。

CatFalconさんの方が,時期的に少し前で,かなり似ているようですが参考文献が同じ中西さんの本なのでそうなりますね。。

ヒョッとしたら,記事を見かけてブログネタとして参考にしたかもしれませんが,内容をコピーしたわけではありません。

悪気はないので,よろしくです。。＞CatFalconさん

なお,「電磁場の共変的量子化(2)」の続きは今執筆中です。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　TOSHI

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PCクラッシュで数日間アクセス不可能でした。

　去る６月８日朝,急にシステムがない(Ｎｏ System)というエラーでＰＣに内蔵のＯＳの入ったハードディスク(Ｃ,およびＤ)を認識しなくなり,数日間全くＰＣのない生活を強いられました。

　数ヶ月前なら,このメインのＰＣである2004年４月ＨＰ製のデスクトップの他にＤｅｌｌのノートＰＣと富士通製の１０年以上前の中古で買った仕事用のデスクトップの計３つのマシンがあったのですが,先月ノートは身内にプレゼントしたし,富士通も必要なくなったので,数ヶ月前に近くの飲み屋に寄贈して,今はメインのＨＰ(Ｃompaq）製のデスクトップＰＣしかなかったので,このクラッシュで困りました。

　ＨＤを認識できないので,データを犠牲にしてリカバリーすることももできません。ネット喫茶などに行けばアクセスだけはできますが,自分への200通/日程度のメールと,mixiメッセージなどは確認できません。

　メールはほとんどが商用宣伝のものなので別に数日くらいはどうってことはないし,偶々ネットオークションなどに参加してる最中ではなかったので,そういう意味では運がよかったです。

　必要なデータ類は,主要なものがはほとんど外付けの３つのＨＤに入っていたし,ブログの原稿も１ヶ月前に関西に出かける前に16GBのUSBスティックにバックアップを取っていて,それ以後もここのホームページにあるので,とりあえず問題なしでした。

　しかし,ほんの少しの間でも自宅にＰＣのない生活になってみて,自分が如何にＰＣ,あるいはネット依存して暮らしているかを思い知りました。最初は少し落ち着きませんでした。

　まあ,2007年の１月には１週間,３月下旬から４月下旬までの１ヶ月病気で入院中は確かにＰＣともネットとも無縁でしたから無ければ無いで,ＰＣ(ネット)中毒というほどではありませんが。。。

　しかし,私は常にプラス志向で「災い転じて福をなす。」というわけで,読みかけで放り投げていた本を４冊くらい読了しました。病気で入院したときも10年くらい積読だったものをかなり消化したし,心臓病のおかげでそうした障害がある人の苦労を勉強することができたという思いもあります。

　最近は貧乏なおかげで料理が趣味の１つに加わりました。

　結局,昨夜近くの飲み屋に寄贈していた実は私以外,誰も使用していないしネットにもつながっていないＰＣを旧種でパフォーマンスも低いですが,自宅に新ＰＣを入れることができるまで,貸してもらうことにして今朝,セットして久しぶりにアクセスしたわけです。

　使っていたマシンで,ほとんどイジってなかったのでソフトなどはほぼそのまま入っていたのでつないですぐ使用できました。まずメール820通あまりをチェックした後これを書いています。今晩までには以前とほぼ同じ状態に復活する予定です。まずは報告までです。　　　　　　　　　　ＴＯＳＨＩ

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電磁場の共変的量子化(中西-Lautrap理論)(1)

ちょっと息抜きで,電磁場を共変的に量子化する「中西-Lautrap理論」の概略でも書いてみます。

自然単位系ｃ＝ｈ_c＝1 (ただしｈ_c≡(ｈ/(2π))での,自由電磁場Ａ^μ＝(φ,Ａ)の単独のラグランジアン密度は,Ｌ_EM＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν,Ｆ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μで与えられます。

理論が有するゲージ変換の自由度を消して,ゲージを固定するため,補助場Ｂというものを導入して,Ｌ_EM＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν＋Ｂ(∂_μＡ^μ)＋(1/2)αＢ²としてみます。

これに対する,オイラーラグランジュ方程式∂_ν(∂Ｌ_EM/∂(∂_νＡ^μ))－∂Ｌ_EM/∂Ａ^μ＝0 ,および∂_ν(∂Ｌ_EM/∂(∂_νＢ))－∂Ｌ_EM/∂Ｂ＝0 から,運動方程式として,∂_νＦ^ν_μ－∂_μＢ＝0,すなわち,□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 ,および∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 を得ます。

Ａ^μに対する運動方程式:□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 に,∂^μを掛けると,□Ｂ＝0 を得ますから,補助場Ｂも質量がゼロのスカラー粒子を表わす場です。

そして,Ｂに対する運動方程式:∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 をＡ^μに対する運動方程式:□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 に代入すると,□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 が得られます。

　それ故,α＝0 のときにのみ,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 がローレンツ条件:∂_μＡ^μ＝0 に一致し,α＝1のときにのみ,Ａ^μに対する運動方程式□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 がダランベール方程式:□Ａ_μ＝0 に一致します。

これらの特別なゲージ,α＝0 をランダウ(Landau)ゲージ,α＝1をファインマン(Feynman)ゲージといいます。

ただし,□∂_μＡ_μ＝0,□²Ａ_μ＝0 はαの値に無関係に成立します。

　さて,Ｌ_EM＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν＋Ｂ(∂_μＡ^μ)＋(1/2)αＢ²により,正準運動量は,π_k＝∂Ｌ_EM /∂(∂₀Ａ^k)＝－∂₀Ａ_k＋∂_kＡ₀＝－Ｆ_0k(＝Ｅ^k),π₀＝∂Ｌ_EM /∂(∂₀Ａ⁰)＝Ｂとなります。

そして,同時刻における通常の正準交換関係:[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),π_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝iη_μνδ³(ｘ－ｙ),[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝[π_μ(ｘ⁰,ｘ),π_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0 を設定します。

　これから,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝iδ_μkδ³(ｘ－ｙ),[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)] ＝－iη_μ0δ³(ｘ－ｙ),[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0,[∂₀Ａ_j(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝0,[∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0,[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 が得られます。

必要なもののうち,∂₀Ａ₀と∂₀Ｂだけが現われていませんが,これらのうち∂₀Ａ₀は,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 により,∂₀Ａ₀＝(Σ_k∂_kＡ_k)－αＢ,そしてまた,∂₀Ｂは□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 により,∂₀Ｂ＝□Ａ₀－∂₀∂_νＡ^ν＝{Σ_k∂_k(∂₀Ａ_k)}－△Ａ₀と表現できます。

よって,これらの同時刻交換関係は,計算で得ることができます。例えば[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

ハミルトニアンＨ_EMをＨ_EM＝∫ｄ³ｘＨ_EM^(ｘ)と書けば,その密度はＨ_EMM^(ｘ)＝π_μ∂₀Ａ^μ－Ｌ_EM(ｘ)＝(－Σ_kＦ_0k∂₀Ａ^k)＋Ｂ∂₀Ａ₀＋(1/4)Ｆ_μνＦ^μν－Ｂ(∂_μＡ^μ)－(1/2)αＢ²＝(1/2)Σ_k(Ｆ_0k)²＋Σ_j,k(1/4)(Ｆ_jk)²－(1/2)αＢ²＋∂_kΣ_k[Ｆ_0kＡ₀＋ＢＡ_k]－Σ_k[(∂_kＦ_0k)Ａ₀＋(∂_kＢ)Ａ_k]で与えられます。

運動方程式∂_νＦ^ν_μ－∂_μＢ＝0 によれば,Σ_k∂_kＦ_0k＝∂₀Ｂですから,Ｈ_EM(ｘ)＝(1/2)Σ_k(Ｆ_0k)²＋Σ_j,k(1/4)(Ｆ_jk)²－(∂₀Ｂ)Ａ₀－Σ_k[(∂_kＢ)Ａ_k]－(1/2)αＢ²と置けば,Ｈ_EM^(ｘ)＝Ｈ_EM(ｘ)＋∂_kΣ_k[Ｆ_0kＡ₀＋ＢＡ_k]と書けます。

空間積分においては,∂_kΣ_k[Ｆ_0kＡ₀＋ＢＡ_k]の項は効かないので,この項を省いても同じですから,Ｈ_EM＝∫ｄ³ｘＨ_EM(ｘ)となります。この新しいＨ_EM(ｘ)の方をハミルトニアン密度と解釈します。

補助場Ｂ(ｘ)は,ダランベール方程式□Ｂ＝0 の解ですが,電磁場Ａ_μ(ｘ)は運動方程式:□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 を満たします。そこで,Ａ_μは,□²Ａ_μ＝0 の解ですが,α＝１以外では,ダランベール方程式□Ａ_μ＝0 の解ではありません。

したがって,Ａ_μ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰){ａ_μ(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ａ_μ^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}と４次元的運動量表示をしても,一般には,□Ａ_μ≠0 のため,ｐ²＝0 以外でもａ_μ(ｐ)がゼロでない意味を持つことになります。

すなわち,質量がゼロのｐ²＝0 の近傍でのみ,ａ_μ(ｐ)が意味を持つという付帯条件を付けることなどが必要になります。

あるいは,ｐ²≠0 のａ_μ(ｐ)をどう解釈するか？を指示しないと,この運動量表示は不完全です。

以下では,こうしたことを明確にするための準備をします。

まず,□Ｂ＝0 の解のＢ(ｘ)を求めるために,ダランベール演算子の逆演算子:□^-1を求める必要があります。

□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たす,グリーン関数□^-1δは,一般に不変Ｄ関数と呼ばれ,フーリエ(Fourier)積分の形では,Ｄ(ｘ)≡Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ)＝ｉ∫ｄ⁴ｋ(2π)^-3θ(ｋ⁰)δ(ｋ²){exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)}と表わされます。

ただし,Ｄ_ret(ｘ),Ｄ_adv(ｘ)はそれぞれ遅延グリ－ン関数,先進グリーン関数です。

(2006年12/16の記事「電流によって発生する光子の個数分布」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/12/post_a73e.html を参照)

ダランベール方程式□Ｂ＝0 の解は,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｘ⁰}Ｂ(ｚ)＋Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ⁰]の積分形で書けます。

(2006年10/３の記事「ホイヘンスの原理の正当性」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/huygens_8c9a.html を参照)

もしも,非同次方程式:□ψ＝ρの解ψを表現するのであれば,ψ(ｘ)＝Ｃ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ)ρ(ｘ), □Ｃ＝0 と書いていいのでしょうが,Ｂは同次方程式の解なので,初期値問題に対するキルヒホッフ表示に書きました。

ということは,□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 は,Ａ_μ(ｘ)＝Ｃ_μ(ｘ)＋(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ^μ},□Ｃ_μ＝0 という表現もできますね。意味あるかどうかは知らないけど。。

一方,電磁場Ａ_μ(ｘ)は□²Ａ_μ＝0 の解なので,□²の逆演算子(□²)^-1が存在するのなら,それに相当する□²のグリーン関数Ｅ(ｘ)も求めておきましょう。

すなわち,□²Ｅ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たすローレンツ不変な関数Ｅ(ｘ)を求めます。

安易な道を取るなら,□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)なので,Ｄ(ｘ)＝□Ｅ(ｘ)なるＥ(ｘ)を求めれば,□²Ｅ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)となるはずですから,Ｅ＝□^-1Ｄを利用して形式的には直ちにＥ(ｘ)が得られるはずです。

そして,Ｄ(ｘ)＝Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ)ですから,Ｄ_ret(ｘ)＝□Ｅ_ret(ｘ),Ｄ_adv(ｘ)＝□Ｅ_adv(ｘ),により,Ｅ(ｘ)＝Ｅ_ret(ｘ)－Ｅ_adv(ｘ)を満たすＥ_ret(ｘ),Ｅ_adv(ｘ)も得られるはずです。

　いかにも途中ですが,今日はここで終わります。あとで書き直すかもしれないけど。。。

参考文献：中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

ＰＳ:冤罪が晴れて無実が証明された菅家さん。それでも,不幸中の幸い？でした。死刑が確定しているような事件で執行されていれば取り返しがつきません。

(彼の今の外見から20年前の事件当時の人物像を推し量ることはできません。私は,その温厚で人格者のような外見は,長年の理不尽な扱いに対する諦観等で培われてきたところが大きいと思うからです。

　穏やかな人でも,何らかの事情(例えば正当防衛に似たもの)で,止むを得ず,殺傷するような人はいるでしょう。

　しかし,当時,恐らく個人的性癖とかの理由だと思いますが,それで幼女を殺すような人物に見えたのでしょうか？　私には疑問です。)

　本当に17年もの長い間ほうっておいてゴメンナサイ。。。

　心から謝罪します。。。。

(世の中に,理不尽がまかり通っていることを許している責任の一端は,私を含めあらゆる人にあるはずです。)

　そういえば,狭山事件の石川一雄さんはどうなったんだろう。。。

　(2006年６/９の記事「狭山差別裁判」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/06/post_c46a.html 参照)

ＰＳ２:長崎のじゃがいもを貰ったのですが,肉とか他の食材がないので,昨日(６/６)は「イモの煮っころがし」と「ジャガイモとワカメの入った味噌汁」を作りました。

　前者は追いガツオなどもやりましたが,レシピ通りに味付けするとどうも甘すぎるようです。

　前に玉子焼きも味付けをレシピに頼ると甘すぎたので,このレシピの著者(甘党？)の味覚は私には合わないと思います。これからは,砂糖は半分以下に減らすつもりです。

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極楽トンボの変態の悪人だ。

　自慢だけど,財布に67円しかないのに,４件はしごしました。１件は初めての店でした。ウィー。。。。

　(もちろん,他人のフンドシであり,１銭もツケなどしてはいません。そもそも金がないなら,ほぼ100％自分から外で飲酒することなどありません。。)

PS:コメントついたから削除できないよ。。。

　帰りのタクシーのお釣りと,朝,銀行で端数の小銭を下ろしたので,今日は1000円くらいあります。。またセブン・イレブンのナムコカードもあったので,今日は財産が増えました。

　久しぶりにTVで,「ハイヒールのモモコ」を見たら,エラくきれいになってる。。歳は取ったはずなのに。。髪型？化粧のせい？。。。

　うん。髪をアップでなくて,下ろしたせいやな。。俺のツボにグッときたな。。

超弦理論(24)(2-13)

　　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　前回は,アノマリー(ゴースト)を生みだす可能性のある交換関係[Ｊ^i－,Ｊ^j－]が,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}なる形に表現できる,というところまで書きました。

　今日は,これの右辺の係数Δ_mの具体的な形を計算して,非共変な光錐ゲージを採用した場合も,弦理論がゲージ不変な理論として本質的にはローレンツ共変であるための条件:[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝0 ,あるいはΔ_m＝0 を満たすために,Ｄとａに課せられる条件を決定します。

　そのために,Ｊ^i－＝ｌ^i－＋Ｅ^i－＝ｘⁱｐ^－－ｘ^－ｐⁱ＋Ｅ^i－,Ｊ^j－＝ｌ^j－＋Ｅ^j－＝ｘ^jｐ^－－ｘ^－ｐ^j＋Ｅ^j－と分解して,各項ごとの交換関係を求めます。

　まず,[ｘ^－,1/ｐ^＋]＝i(ｐ^＋)^-2です。

※(訳注53) 正準交換関係:[ｘ^μ,ｐ^ν]＝－iη^μνから,[ｘ⁰,ｐ⁰]＝－i, [ｘ^D-1,ｐ^D-1]＝i,かつ,[ｘ⁰,ｘ^D-1]＝[ｐ⁰,ｐ^D-1]＝[ｘ⁰,ｐ^D-1]＝[ｘ^D-1,ｐ⁰]＝0 です。

　そして,ｘ^－＝(ｘ⁰－ｘ^D-1)/2^1/2,ｐ^＋＝(ｐ⁰＋ｐ^D-1)/2^1/2ですから,[ｘ^－,ｐ^＋]＝－iです。よって,ｐ^＋[ｘ^－,1/ｐ^＋]ｐ^＋＝ｐ^＋ｘ^－－ｘ^－ｐ^＋＝－[ｘ^－,ｐ^＋]＝iなので,[ｘ^－,1/ｐ^＋]＝i(ｐ^＋)^-2を得ます。

さらに,[ｘ^－,ｐ^－]＝i(ｐ^＋)^-1ｐ^－です。

これは質量殻条件:Ｍ²＝2ｐ^＋ｐ^－－Σ_k=1^D-2ｐ^kｐ^kにより,0＝[ｘ^－,ｐ^＋ｐ^－]＝[ｘ^－,ｐ^＋]ｐ^－＋ｐ^＋[ｘ^－,ｐ^－]＝－iｐ^－＋ｐ^＋[ｘ^－,ｐ^－]から得られます。(訳注53終わり)※

次に,Ｅ^j≡ｐ^＋Ｅ^j－によってＥ^jなる量を定義すると,[ｘⁱ,Ｅ^j]＝－iＥ^jjです。

※(訳注54)Ｅ^j＝ｐ^＋Ｅ^j－＝－iｐ^＋Σ_n=1^∞[(α_-nⁱα_n^－－α_-n^－α_nⁱ)/ｎ]＝－iΣ_n=1^∞[{1/(2ｎ)}{α_-nⁱ(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)－(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)α_n^j}]です。

そして,α₀^k＝ｐ^k故,[ｘⁱ,α₀^k]＝[ｘⁱ,ｐ^k]＝iδ^ikでｘⁱはこれ以外のα_n^kとは交換します。

Ｅ^j＝ｐ^＋Ｅ^j－＝－iΣ_n=1^∞[{1/(2ｎ)}{α_-nⁱ(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)－(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)α_n^j}]なので,[ｘⁱ,Ｅ^j]では,右辺のΣ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:で,ｘⁱとα_n-m^kα_m^kが交換しないｍ＝ｎとｍ＝0 の項だけに着目します。

これから,[ｘⁱ,Ｅ^j]＝i×(－i)Σ_n=1^∞[(α_-n^jα_nⁱ－α_-nⁱα_n^j)/ｎ]＝－iＥ^ijが簡単に得られます。(訳注54終わり)※

以上から,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(ｐ^＋)^-2Ｃ^ij,Ｃ^ij＝2iｐ^＋α₀^－Ｅ^ij－[Ｅⁱ,Ｅ^j]－iＥⁱｐ^j＋iＥ^jｐⁱ－iｐ^＋α₀^－l^ijが得られます。

※(訳注55)Ｊ^i－＝ｌ^i－＋Ｅ^i－＝ｘⁱｐ^－－ｘ^－ｐⁱ＋(ｐ^＋)^-1Ｅⁱですから,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝[ｘⁱ,Ｅ^j]ｐ^－(ｐ^＋)^-1－[ｘ^j,Ｅⁱ]ｐ^－(ｐ^＋)^-1＋(ｐ^＋)^-2[Ｅⁱ,Ｅ^j]－[ｘ^－,1/ｐ^＋]ｐⁱＥ^j＋[ｘ^－,1/ｐ^＋]ｐ^jＥⁱ－ｘⁱ[ｐ^－,ｘ^－]ｐ^j－ｘ^jｐⁱ[ｘ^－,ｐ^－]です。

これに,[ｘ^－,1/ｐ^＋]＝i(ｐ^＋)^-2,[ｘⁱ,Ｅ^j]＝－iＥ^jj,および[ｘ^－,ｐ^－]＝i(ｐ^＋)^-1ｐ^－を代入して最後にｐ^－をα₀^－と書きます。

そうすれば,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－2iＥ^jj(ｐ^＋)^-1α₀^－＋(ｐ^＋)^-2[Ｅⁱ,Ｅ^j]－i(ｐ^＋)^-2Ｅ^jｐⁱ＋i(ｐ^＋)^-2Ｅⁱｐ^j＋i(ｐ^＋)^-1α₀^－ｌ^jj＝－(ｐ^＋)^-2{2iｐ^＋α₀^－Ｅ^jj－[Ｅⁱ,Ｅ^j] －iＥⁱｐ^j＋iＥ^jｐⁱ－iｐ^＋α₀^－ｌ^jj}が得られます。(訳注55終わり)※

したがって,結局,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(ｐ^＋)^-2Ｃ^ij＝－(ｐ^＋)^-2Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}です。

それ故,Ｃ^ij＝Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)},かつＣ^ij＝2iｐ^＋α₀^－Ｅ^ij－[Ｅⁱ,Ｅ^j]－iＥⁱｐ^j＋iＥ^jｐⁱ－iｐ^＋α₀^－l^ijです。

Ｃ^ijの前者の表現と,[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+n(ｉ,ｊ＝1,2,...,Ｄ－2)により,簡単に＜0|α_m^kＣ^ijα_-m^l|0＞＝ｍ²Δ_m(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)が得られます。

一方,ｐ^＋α_n^－＝Σ_n=1^∞[(1/2){Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:－ａδ_n}および,[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+nから,[α_n^－,α_mⁱ]＝－ｍα_m+nⁱ/ｐ^＋,[α_mⁱ,α_n^－]＝ｍα_m+nⁱ/ｐ^＋を得ます。

そこで,＜0|α_m^kＣ^ijα_-m^l|0＞＝＜0|{2ｍ(ｍ－ａ)δ^ikδ^jl－ｍｐ^jｐ^lδ^ki＋ｍｐ^jｐ^kδ^il＋(δ^kiｐ^＋α_m^－－ｍΣ_n=1^∞α_m-n^kα_nⁱ)(ｍΣ_n=1^∞α_-n^jα_n-m^l－δ^jlｐ^＋α_-m^－)|0＞－(ｉ⇔ｊ)です。

以前の記事で計算したように,[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_n^－]＝(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_m+n^－＋[{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍ]δ_m+nですから,[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_-m^－]＝2ｍｐ^＋α₀^－＋{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍです。

そして＜0|ｐ^＋α₀^－|0＞＝－ａですから,特に(ｐ^＋)²＜0|α_m^－α_-m^－|0＞＝{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)が成立します。

また,ｐ^＋＜0|α_m^－Σ_n=1^∞α_-n^jα_n-m^l|0＞＝ｐ^jｐ^l＋Σ_n=1^m-1(ｍ－ｎ)δ^jl＝ｐ^jｐ^l＋δ^jlｍ(ｍ－1)/2も成り立ちます。

さらに,ｐ^＋＜0|α_m^－Σ_n=1^∞{(α_-n^kα_n-mⁱ)/ｎ}|0＞＝ｐ^kｐⁱ＋Σ_n=1^m-1(ｍ－ｎ)δ^ki＝ｐ^kｐⁱ＋δ^kiｍ(ｍ－1)/2,同様にｐ^＋＜0|α_m^－Σ_n=1^∞{(α_-n^jα_n-m^l)/ｎ}|0＞＝ｐ^jｐ^l＋δ^jlｍ(ｍ－1)/2です。

そして,＜0|Σ_n=1^m{(α_-n^kα_n-mⁱ)/ｎ}Σ_p=1^m{(α_-p^kα_p-mⁱ)/ｐ}|0＞＝－(ｍ－1)(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)です。

これらのことから,Δ_m＝{(26－Ｄ)/12}ｍ－{(Ｄ－26)/12＋2(1－ａ)}/ｍと書けることがわかります。

※(訳注56) 詳細な計算は,＜0|α_m^kＣ^ijα_-m^l|0＞＝2ｍ(ｍ－ａ)(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)－ｍｐ^jｐ^lδ^ki＋ｍｐ^jｐ^kδ^il＋ｍｐⁱｐ^lδ^jk－ｍｐⁱｐ^kδ^jl－(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il){(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ) ｍｐ^jｐ^lδ^ik＋ｍｐⁱｐ^kδ^jl－ｍｐⁱｐ^lδ^jk－ｍｐ^jｐ^kδ^il＋δ^ikδ^jlｍ(ｍ－1)/2＋δ^ikδ^jlｍ(ｍ－1)/2－δ^jkδ^jlｍ(ｍ－1)/2－δ^jkδ^ilｍ(ｍ－1)/2＋ｍ²(ｍ－1)(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)となります。

結局,ｍ²Δ_m(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)＝(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)[{(26－Ｄ)/12}ｍ³－{(Ｄ－26)/12＋2(1－ａ)}ｍ]が得られるわけです。(計算の詳細はかなり省略しています。)(訳注56終わり)※

したがって,最終的に[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)},Δ_m＝{(26－Ｄ)/12}ｍ－{(Ｄ－26)/12＋2(1－ａ)}/ｍなる詳細な表現が得られました。

そこで,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝0 ,あるいはΔ_m＝0 を要求すると,予期したように,Ｄ＝26,かつａ＝1が必要です。

短かいですが,今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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