水の波(7)(有限振幅の波:非線形波２): TOSHIの宇宙

2009年7月17日 (金)

水の波(7)(有限振幅の波:非線形波２)

水の波の続きです。

　水面ｚ＝ηでの速度ポテンシャルは,

Φ(ξ,η,τ)＝Φ(ξ,0,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(ξ,τ)

　＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)|_z=0η(ξ,τ)²＋..　のようにηの

　Taylor級数に展開できます。

　この級数展開と,先のεのベキ級数展開:

Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},

および,η(ｘ,ｔ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}

を,ｚ＝ηでの境界条件:

∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),および,

∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0

に代入します。

　まず,Φ(ξ,η,τ)＝Φ(ξ,0,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(ξ,τ)

＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)|_z=0η(ξ,τ)²＋..

を.ｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)

に代入します。

　すると,

Φ＝Φ(ξ,ｚ,τ)について(∂Φ/∂ｚ)＋(∂²Φ/∂ｚ²)η＋..

＝∂η/∂ｔ＋(∂/∂ｘ){Φ＋(∂Φ/∂ｚ)η

＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)η²＋..}(∂η/∂ｘ)

となります。

ただし,両辺の量は全てｚ＝0 における値です。

ξ≡ε^1/2(ｘ－ｃ₀ｔ),τ≡ε^3/2ｔですから,

∂/∂ｘ＝(∂ξ/∂ｘ)(∂/∂ξ)＝ε^1/2(∂/∂ξ),

∂/∂ｔ＝(∂ξ/∂ｔ)(∂/∂ξ)＋(∂τ/∂ｔ)(∂/∂τ)

＝－ｃ₀ε^1/2(∂/∂ξ)＋ε^3/2(∂/∂τ)

です。

　そこで,上で求めた境界条件のｚ＝0 での形は,

(∂Φ/∂ｚ)＋(∂²Φ/∂ｚ²)η＋..

＝－ｃ₀ε^1/2(∂η/∂ξ)＋ε^3/2(∂η/∂τ)

＋ε(∂/∂ξ)

×{Φ＋(∂Φ/∂ｚ)η＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)η²＋..}

×(∂η/∂ξ)　となります。

　これに,

Φ(ξ,ｚ,τ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},

η(ｘ,ｔ)＝η(ξ,τ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}

を代入して,ｚ＝0 で両辺の同じεのベキの係数を等置します。

　ηはΦよりε^1/2のオーダーだけ小さい量であると仮定した

展開ですから,ｚ＝0 でε^1/2の係数としては,

∂Φ⁽¹⁾/∂ｚ＝0 です。

そこで,ε^3/2の係数として∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ),

ε^5/2の係数として∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＋η⁽¹⁾(∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²)

＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

,..を得ます。

　一方,ｚ＝ηでのもう１つの動的境界条件:

∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0

は,－ｃ₀ε^1/2(∂Φ/∂ξ)＋ε^3/2(∂Φ/∂τ)

＋{ε(∂Φ/∂ξ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 　です。

　　これもｚ＝0 の近傍での展開:

Φ(ξ,ｚ,τ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},

η(ｘ,ｔ)＝η(ξ,τ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}

を代入して,εのベキの係数を等置します。

ｚ＝0では∂Φ⁽¹⁾/∂ｚ＝0なので,εの係数として,

－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0,ε²の係数として

∂Φ⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂Φ⁽²⁾/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²

＋ｇη⁽²⁾＝0 です。

　これらの関係式に,前記事で求めた境界条件を満たす

解の具体的形:

Φ⁽¹⁾＝Φ⁽¹⁾(ξ,τ),

Φ⁽²⁾＝(－1/2)(ｚ＋ｈ)²{∂²Φ⁽¹⁾(ξ,τ)/∂ξ²}＋ｆ₁(ξ,τ),

Φ⁽³⁾＝(1/24)(ｚ＋ｈ)⁴(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)

－(1/2)(ｚ＋ｈ)²(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｆ₂(ξ,τ),..

を代入して高次の項を消去します。

　結局,水面波形の第１近似η⁽¹⁾(ξ,τ)に対する方程式

として,

∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)　が得られます。

　同じ方程式は,水平速度の第１近似∂Φ⁽¹⁾/∂ξに対しても成立

します。

　こうして,第１近似解が得られれば,高次の近似解は機械的に

得られます。

※(注7-1):(証明)∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－(ｚ＋ｈ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²),

∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²＝－∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²,

∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＝(1/6)(ｚ＋ｈ)³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)

－(ｚ＋ｈ)(∂²ｆ₁/∂ξ²)　　です。

　　これにｚ＝0 を代入すると,

∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²),

∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²＝－∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²,

∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＝(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)

です。

　よって,∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,

① －ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

となります。

また,∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＋η⁽¹⁾(∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²)

＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)

＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,

　②(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)

－η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)

＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

　と書けます。

　一方,

③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0 はそのままで,

∂Φ⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂Φ⁽²⁾/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²

＋ｇη⁽²⁾＝0 の方は,Φ⁽²⁾＝(－1/2)ｈ²(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｆ₁

より,

④∂Φ⁽¹⁾/∂τ＋(1/2)ｃ₀ｈ² (∂³Φ⁽¹⁾/∂ξ³)

－ｃ₀(∂ｆ₁/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0

です。

　　ｃ₀²＝ｇｈなので,

①－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,

③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0

をξで微分すれば得られます。

　　他方,

④∂Φ⁽¹⁾/∂τ＋(1/2)ｃ₀ｈ²(∂³Φ⁽¹⁾/∂ξ³)

－ｃ₀(∂ｆ₁/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0

をξで微分してｈを掛けると,

ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂τ∂ξ)＋(1/2)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)

－ｃ₀ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｈ(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)

＋ｇｈ(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝0 となります。

　　左辺の最後の項ｇｈ(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝ｃ₀²(∂η⁽²⁾/∂ξ)

に,②(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)

－η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)

＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ) より得られる,

ｃ₀²(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)

＋ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

－(1/6)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)＋ｃ₀ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)

＋ｃ₀η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)
　を代入します。

　すると,

ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂τ∂ξ)＋(1/3)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)

＋ｈ(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)

＋ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

＋ｃ₀η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝0 　　　となります。

　最後に,③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0 より,

∂Φ⁽¹⁾/∂ξ＝ｇη⁽¹⁾/ｃ₀として,Φ⁽¹⁾を消去します。

すると,ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋(1/3)ｇｈ³(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)

＋(ｇ²ｈ/ｃ₀²)η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ²) ＋ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)

＋ｇｈη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇｈη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝0

です。

　したがって,2ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋(1/3)ｃ₀²ｈ²(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)

＋3ｇη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝0,

　つまり,∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)　が得られます。

∂Φ⁽¹⁾/∂ξ＝ｇη⁽¹⁾/ｃ₀なので,η⁽¹の代わりに∂Φ⁽¹⁾/∂ξ

を代入しても同じ非線形方程式を満たします。(証明終わり)

(注7-1終わり)※

　　たった今得られた有限振幅の非線形波に対する方程式:

　∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

　＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)

　　これは,既に19世紀末(1895)に,KortweigとdeVriesによって

上記とは別の方法で導かれており,これをKortweig-deVries方程式,

または,略してＫ-ｄＶ方程式と呼びます。

　Ｋ-ｄＶ方程式:

∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)は,適当な尺度(単位)

の取り方によって,

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

なる形に書くことができます。

係数μは正,負どちらでもいい形ですが,

変換:ｕ→－ｕ,ｘ→－ｘ,ｔ→ｔによって,

この方程式におけるμは,μ→ －μと変換されるので,

一般性を失なうことなく.μ＞0 とします。

　　さて,このＫ-ｄＶ方程式:

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

の解として,波形を変えず一定速度で伝播する定常波

が存在すると仮定し,以下,それを求めてみます。

　そのために,σを速度を表わす定数として

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ(ζ),ζ≡ｘ－σｔ　とします。

　こうすると,

∂ｕ/∂ｔ＝－σ(ｄｕ/ｄζ),∂ｕ/∂ｘ＝ｄｕ/ｄζ

です。

　そこで,∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

は,次の３階常微分方程式:

－σ(ｄｕ/ｄζ)＋ｕ(ｄｕ/ｄζ)＋μ(ｄ³ｕ/ｄζ³)＝0

に帰着します。

　これは,ζで１回積分すると,

μ(ｄ²ｕ/ｄζ²)＝－ｕ²/2＋σｕ＋2Ａ (Ａは積分定数)

となります。

さらに両辺にｄｕ/ｄζを掛けて,もう１度積分すると,

(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ

(Ａ,Ｂは積分定数)　です。

そこで,μＶ(ｕ)≡Ｅ－(－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ)と

置くと,これは,(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＋μＶ(ｕ)＝Ｅ

となります。

　それ故,ｕを質量μを持つ質点の位置座標,Ｖ(ｕ)をそれ

に働く力のポテンシャルと考えることができます。

もしも,ｕが位相速度一定の線形波の典型的な形である

正弦波であるとしたら,それは,ｕ＝Ｃsin(ωｔ－ｋｘ)

＝－Ｃsin(ｋζ),ζ≡ｘ－σｔ;σ≡ω/ｋ　

与えられます。

これについては,ｄｕ/ｄζ＝－ｋＣcos(ｋζ),

ｄ²ｕ/ｄζ²＝ｋ²Ｃsin(ｋζ)なので,

ｕ＝ｕ(ζ)が満たす方程式は,よく知られた形:

ｄ²ｕ/ｄζ²＝－ｋ²ｕ,ｋ^-2(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ²＋Ｃ²

です。

これは,

(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－(1/2)μｋ²ｕ²＋(1/2)μｋ²Ｃ²

と変形されますから,Ｖ(ｕ)＝(1/2)ｋ²ｕ²と置けば,

(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＋μＶ(ｕ)＝Ｅ (Ｅ≡(1/2)μｋ²Ｃ²)

となります。Ｖ(ｕ)はよく知られた線形調和振動子の

ポテンシャルですね

一方,非線形なＫｄＶ方程式のポテンシャル

(非調和振動子ポテンシャル)は,

μＶ(ｕ)≡Ｅ－(－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ)

で与えられます。

　これが,線形調和振動子のそれ:μＶ(ｕ)＝(1/2)μｋ²ｕ²

と決定的に違うのは,非線型調和振動子のポテンシャル

は,ｕの３次以上の項を含むことです。

定数項の差は,エネルギーの基準点の取り方の違いだけだし,

ｕの１次の項の差は完全平方によって２次の項に含めること

ができるので,これらは本質的な違いではぁりません。

　今日はここまでにします。

(参考文献):巽友正著「流体力学」(培風館)

ＰＳ:明日は毎年夏恒例の一泊二日の「将棋チェスネット」

主催の「関東お泊りオフ」別名「将棋合宿」に

行ってきます。今年は隔年の湯河原の杉の宿で開催の年

です。

　去年,2008年８/11の「将棋合宿」と同じく,何もなければ,

まず,明日朝,たいとさんが私の家に来られてて次に北島プロ,

柿木さんを拾って直接現地に向かう予定です。

１年に１回の道楽なので前から何もなければ生きているうちは

毎年参加することにしています。今年は女流プロは休場中の

バンカナと藤田綾初段が見えるそうですね。

(15年以上も前から,ときたま日程の都合で行けない場合を

除いて参加していたのですが,最近は2006,2007年病気入院

もあって参加できず,昨年復帰しました。

将棋は弱いくせに威張っています。)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」

サブマネージャーです。

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