水の波(8)(有限振幅の波:非線形波３)

水の波の続きです。

 このシリーズは今日で終わりますが,非線形波やソリトンに

ついての話はまた別の題名でアップする予定です。

 前回最後では,Ｋ-ｄＶ方程式:

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

の定常波の解を求めるために,

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ(ζ),ζ≡ｘ－σｔとして.

３階常微分方程式：

－σ(ｄｕ/ｄζ)＋ｕ(ｄｕ/ｄζ)＋μ(ｄ³ｕ/ｄζ³)＝0

に変形し,これの積分を求めました。

　すなわち,１回積分すると,

μ(ｄ²ｕ/ｄζ²)＝－ｕ²/2＋σｕ＋2Ａ(Ａは積分定数)となり,

さらに,両辺にｄｕ/ｄζを掛けて積分すると

(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ

(Ａ,Ｂは積分定数)　となります。

　この両辺を６倍して右辺をｆ(ｕ)とすると,これは

3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³＋3σｕ²＋6Ａｕ＋6Ｂ≡ｆ(ｕ)

です。そして,この方程式が物理的に意味があるｕの実数解

を持つのは,明らかにｆ(ｕ)≧0 の範囲でのみです。

　実係数の３次代数方程式:ｆ(ｕ)＝0 は,必ず,１実根,または

３実根を持ちますが,この方程式が１実根のみを持つ場合には,

ｆ(ｕ)≧0 を値域とする解:ｕが有界でないため,

これは."有限範囲での振動＝波"を表わす解ではありません。

そこで,ここでの考察では１実根のケースは対象外とします。

　さて,ｆ(ｕ)＝0 が３実根を持つとして,それらを

ｕ₁,ｕ₂,ｕ₃ (ｕ₁≦ｕ₂≦ｕ₃)と書くと,

ｆ(ｕ)＝(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)です。

ｆ(ｕ)＝－ｕ³＋3σｕ²＋6Ａｕ＋6Ｂ　より,

σ＝(ｕ₁＋ｕ₂＋ｕ₃)/3,Ａ＝－(ｕ₁ｕ₂＋ｕ₂ｕ₃＋ｕ₃ｕ₁)/6,

Ｂ＝ｕ₁ｕ₂ｕ₃ /6　が成立します。

　ｕ₂≦ｕ≦ｕ₃でｆ(ｕ)≧0ですから,

3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝ｆ(ｕ)なる式はｕのこの区間を往復する

非線形振動を表わすと思われます。

　そこで,

　3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝ｆ(ｕ)＝(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)

　の解で,ｕ＝ｕ₃でζ＝0 となるものを求めます。

　つまり,方程式:

　ｄζ/(3μ)^1/2＝ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2

　を解きます。

　まず,ｋ²≡(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)とします。

さらに,ｔ＝{(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2とおくと

ｄｔ＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₂)^-1/2(ｕ₃－ｕ)^-1/2ｄｕ　です。

1－ｔ²＝1－(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)＝(ｕ－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₂),

1－ｋ²ｔ²＝1－ｋ²(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)

＝1－(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₁)＝(ｕ－ｕ₁)/(ｕ₃－ｕ₁)　です。
 

故に,ｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2

＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₂)^-1/2(ｕ₃－ｕ)^-1/2ｄｕ

(ｕ₃－ｕ₂)^1/2(ｕ₃－ｕ₁)^1/2/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)}^1/2

＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₁)^1/2ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2

です。

　そこで,方程式:

ｄζ/(3μ)^1/2＝ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2は,

－{(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ｄζ＝ｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2

を意味します。

したがって,楕円積分Ｆ(ｘ,ｋ)を用いて

{(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ＝Ｆ({(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2,ｋ)

なる解の表式を得ます。

それ故,

sn({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝{(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2

です。そこで,

cn²({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)

＝1－sn²({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝(ｕ－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₂)

です。

　※(注8-1):snはヤコービ(Jacobi)の楕円関数:

sn(ｕ,ｋ)＝Ｆ^-1(ｕ,ｋ)＝ｘ≡sinφです。または,

ｕ＝Ｆ(ｘ,ｋ)です。

　Ｆ(ｘ,ｋ)は第１種の楕円積分で,

　Ｆ(ｘ,ｋ)≡∫₀^xｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2

　＝∫₀^φｄθ/(1－ｋ²sin²θ)^1/2で定義されます。

特に,Ｋ(ｋ)≡Ｆ(π/2,ｋ)は第１種の完全楕円積分と呼ばれ

4Ｋ(ｋ)は楕円関数:snの２つの周期のうちの１つです。
 

さらに,sn(ｕ,ｋ)＝ｘ＝sinφに対応して関数:cnを

cn(ｕ,ｋ)≡cosφ＝{1－sn²(ｕ,ｋ)}^1/2で定義します。

これもJacobiの楕円関数と呼ばれています。

(注8-1終わり)※

　さて,振動区間をＵ≡ｕ₃－ｕ₂とおけば,上に得られた解は

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕcn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2(ｘ－σｔ),ｋ)

と書けます。

ここで,σ＝(ｕ₁＋ｕ₂＋ｕ₃)/3＝ｕ₂＋(ｕ₁＋ｕ₃－2ｕ₂)/3

＝ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3　です。

以上から,

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕcn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2[ｘ

－{ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3}ｔ],ｋ)　と書けます。

ただし,Ｕ＝ｕ₃－ｕ₂,ｋ²＝(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)　です。

この解は,周期関数cnで表現される定常波形を持つ波列を

表わしており,この意味でクノイド波(cnoidal wave)と

呼ばれます。

　 クノイド波:

　ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕ・cn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2

　[ｘ－{ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3}ｔ],ｋ) は,

　速度ｕ₂の一様流の上に振幅がＵの周期波cn²が重なった形

　をしており,周期波は一様流に相対的に位相速度:

　(2－ｋ^-2)Ｕ/3で進行するという様を表わしています。

　波形:cn²(ｓ,ｋ)は,パラメータｋ(0≦ｋ≦1)の値に応じて,

　cn²(ｓ,0)＝cos²(s)からcn²(ｓ,1)＝sech²(ｓ)まで

　変化します。

cnの周期は4Ｋですから,これに応じて波長λを

{Ｕ/(12μｋ²)}^1/2λ≡4Ｋで定義すると,

これはλ＝8Ｋ(3μｋ²/Ｕ)^1/2 なる式で与えられます。

　以上では,前提なしで３実根ｕ₁,ｕ₂,ｕ₃ が全て異なる:

　ｕ₁＜ｕ₂＜ｕ₃と仮定しましたが,特にｕ₂→ｕ₁の極限:

　ｕ₁＝ｕ₂の重根の場合を想定すると,

　ｋ²≡(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁) より ｋ＝1です。

そこで,cn(ｓ,ｋ)＝cn(ｓ,1)＝sechｓより,この定常進行波

はｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₁＋Ｕsech²[{Ｕ/(12μ)}^1/2{ｘ－(ｕ₁＋Ｕ/3)ｔ}],

Ｕ＝ｕ₃－ｕ₁ となります。

この場合,解は波列でなく,定常波形がsech²の孤立波を

表わします。

　この孤立波は振幅Ｕの平方根に反比例した拡がりを持ち,

一様流ｕ＝ｕ₁に相対的に,位相速度:Ｕ/3で進行します。

いま１つの極限:ｕ₃→ｕ₂,つまりｕ₂＝ｕ₃の重根の場合は

ｋ＝0,かつＵ＝0 なので.波はｕ＝ｕ₃の一様流に

帰着します。

　　ただし,その重根の極限の近傍のｋ～0,Ｕ～0では,

Ｕ/ｋ²＝ｕ₃－ｕ₁より,定常解は,

ｕ(ｘ,ｔ)～ｕ₂＋(ｕ₃－ｕ₂)cos²[{Ｕ/(12μｋ²)}^1/2(ｘ－ｕ₁ｔ)]

＝ｕ₃＋2ｕ₂sin[{(ｕ₃－ｕ₁)/(3μ)}^1/2(ｘ－ｕ₁ｔ)]

となって微小振幅の正弦波となります。

　こうして,"Korteweg-deVries方程式＝Ｋ-ｄＶ方程式"で記述

される有限振幅の長波のうちの定常進行波は,クノイド波,

または孤立波になることがわかりました。

　しかし,一般に任意の初期条件から出発した非定常の波が,

　これらの定常解に漸近するとは限りません。

Ｋ-ｄＶ方程式,および類似の非線形発展方程式の研究は

近年急速な発展を遂げ,特にＫ-ｄＶ方程式については,

かなり多くのことがわかっているようです。

ここでは孤立波に関する２,３の結果を紹介します。

初期条件が三角関数:ｕ(ｘ,0)＝cosπｘのＫ-ｄＶ方程式:

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

の初期値問題はZabuskyとKruskal(1965)によって数値的

に解かれました。

特にμ＝0 なら,数値計算に頼らずとも,解は

ｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]　となることがわかります。

※(注8-2):ｕ(ｘ,ｔ)≡cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]

とおけば,これは,ｕ(ｘ,0)＝cosπｘ　を満たします。

そして,

∂ｕ/∂ｔ＝π{σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ}sin[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}],

∂ｕ/∂ｘ＝π{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}sin[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]

ですから,

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＝0 は,
  σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ

＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]＝0

となります。

  これから,ｔ＝0 ではσ＝cosπｘ＝ｕ(ｘ,0)を得ます。

すなわち,σ(ｘ,0)＝ｕ(ｘ,0)です。

  そこで,σ＝ｕ＝cos[π(ｘ－σｔ)]とおいてみると,

σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ

＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]

＝σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}σ

＝{∂σ/∂ｔ＋σ(∂σ/∂ｘ)}ｔ＝0 となります。

よって,解の一意性から解はｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]です。

(注8-2終わり)※

  μ＝0 の解:ｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]では,

∂ｕ/∂ｘ＝π{－1＋(∂ｕ/∂ｘ)ｔ}sin[π(ｘ－ｕｔ)]より,

[1－πｔsin[π(ｘ－ｕｔ)]](∂ｕ/∂ｘ)＝－πsin[π(ｘ－ｕｔ)]

となります。

　この解は,ｔ＝ｔ_B＝1/πに点ｘ＝1/2の付近で突っ立ち:

|∂ｕ/∂ｘ|＝∞という現象を呈し,その点以後のｘでは

解は多価となって,物理的意味を持たなくなります。

ZabuskyとKruskal(1965)の数値計算は,μ^1/2＝0.022 に

おいて実行され,その結果得られた数値解は,やはり

ｔ＝ｔ_B付近で突っ立ちに近い状態を示します。

しかし,この場合はゼロでない分散項の効果により,波の重なり

は起こらず,逆に連続的な波が,いくつかの孤立波に分散します。

ｔ＝3.6ｔ_Bでは,波形はほぼ完全に分離した孤立波の連なり

となりますが,これらの孤立波は,先に得られた定常波:

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₁＋Ｕsech²[{Ｕ/(12μ)}^1/2{ｘ－(ｕ₁＋Ｕ/3)ｔ}],

Ｕ＝ｕ₃－ｕ₁と同じものであることが,その振幅,幅,進行速度

の関係から確かめられます。

　Ｋ-ｄＶ方程式に従う有限振幅波がある場合に,いくつかの

孤立波の集まりになってしまうとすれば,これらの孤立波の

間には,どのような相互作用が働くでしょうか？

孤立波の位相速度は振幅に比例するので,ある時刻に大振幅

の波を左に,小振幅の波を右にして,互いに十分遠く離して

おいたとすれば,大振幅波が小振幅波に近づき,ついには

追いつくと予想されます。

Zabusky(1967)は初期条件として,ｕ_j(ｘ,0)＝Ｕ_jsech²(ｘ/Ｄ_j),

Ｄ_j≡(12μ/Ｕ_j)^1/2の形を持つ２つの孤立波:ｕ_j(ｘ,ｔ)

(ｊ＝1,2)を取り,それぞれの振幅をＵ₁＝180,Ｕ₂＝80として,

初期に距離を12Ｄ₁(Ｄ₁＝(12μ/Ｕ₁)^1/2＝(μ/15)^1/2)だけ

隔てて置きました。

　そして,小振幅の方の波が静止するように,さらに

ｕ₁＝－26＋2/3　の一様流を加えました。

　 数値計算の結果として得られた２つの波は,重なる以前は

互いに独立に運動しますが,

  驚くべきことに衝突以後に再び分離して,衝突前と同じ

大きさと形と位相速度で運動を続けます。
 

衝突の影響は,僅かに両者の位相の変化となって残るだけです。

２つの波が初期と同じ間隔12Ｄ₁だけ離れたときの振幅の変化

は,僅かにΔＵ₁/Ｕ₁＜0.07％,ΔＵ₂/Ｕ₂＜0.5％なることが

見出されました。

   このように,Ｋ-ｄＶ方程式の孤立波解が,あたかも独立の

粒子であるかのように挙動するという結果から,この孤立波

をソリトン(soliton)と名付けました。

　非線形波動の現象は,水の波に限らずプラズマ振動,

さらに,素粒子のモデルなどと関連して研究者の興味を

集めており,非線形現象の解明と数学的理論の開発の

両面にわたってその発展が期待されます。

 水の波の話から自然にソリトンを紹介するという所期

の目的が達せられたので,水の波の記事シリーズを

これで終わります。

(参考文献):巽友正著「流体力学」(培風館)
 

http://folomy.jp/heart/

現在:「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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