毎年恒例の巣鴨盆踊り

　昨年の同じ時期にも書きました( http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/07/post_893d.html　2008年７/27の記事「恒例の巣鴨盆踊り」)が,今年も巣鴨駅南口ロータリーで巣鴨盆踊りが７/24(金),25(土),26(日)の夜18時半頃から夜21時半頃にかけて開催されました。

　今年も,懐には余裕なかったけれど,心に余裕があったのでカメラを持って毎日出かけてみました。

　今週の土曜日(８月１日)には,雨が降らなければ,都営三田線西台から歩いて15分くらいの場所で,恐らく無料で夜19時から21時頃まで見られる「いたばし花火大会」http://itabashihanabi.jp/ があります。

　たった一人では見に行く気にならないけど,誰か連れになってくれる人がいるなら,久しぶりに行きたいなという風流な気分もありますね。。。

　　

ＰＳ：新聞を取るのでも同じのをずっと取ってると何のサービスもないけど,３ヶ月か半年おきに交代で別のを取ると,その都度両方がサービスしてくれます。

　別にどちらの新聞がいいとかという評価はありません。

　選挙があるたびに,巷では"バラマキ"とも呼ばれているらしいサービス合戦があるのなら,選挙費用がかかって結局民にふりかかってきたりしないよう制度を変えて,しょっちゅう選挙があって,当選するのもカワリバンコの方がいいんじゃない？

　もっとも,両者に本心からハッキリとした優劣があって,一方が選挙とかに関係なくサービスしてくれるというなら,ときどき交代する必要もないし,ムダな選挙費用もいらないんだけどね。。。

("サービス＝奉仕(service)"です。そもそも"公務員(officer)＝役人(servant)"というのは名誉職ではなく主権者に奉仕するのが仕事のはず。。それとも,名誉職と主張するのならボランティア(volunteer)でいいはずですから報酬も利権もゼロでいいはず。。。

(他に糧を得る手段がないなら,生きていくための生活費と経費は取ってもいいんだよ。。)

　税金は起源はそうかもしれないが,別に年貢や小作料ではないんだよ。

PS2：馬鹿どもが!!　

　マニフェストなんて大まかな骨子だけでいいんだよ。

　たった40日足らずで日程だの財源だの細かいことを決めてもムダだろ。。

　年金だけでも,これまで当事者が不正をしたり十年以上もほったらかしにしてきた制度を,見直して総改革するとしても数年かかるだろうし,またかける必要があるだろう。

　必ずしも専門知識があるわけでもない政党の議員や議員候補がたった40日足らずで議論するよりも,選挙後に担当になった当事者が他党員であろうと関係なく専門的に分析できるスタッフを集めて効率的かつ適正に論じるのがベターな話だろう。

　選挙の争点だからと,守れるとは限らないイイカゲンな財源や日程でお茶を濁すなよ。細かい日程まで決めても予定が変わったり修正されたりするのはむしろ当然ではじめの見込みが間違うことは当たり前です。

　自分の方針の基になる思想,心情の中心となるもの(誰の利益を中心と考えるのか,誰に奉仕するのか？)さえマニフェストとして決まっていれば後はそれに忠実に進めると自ずと日程や財源も浮かんでくるだろう。。

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水の波(8)(有限振幅の波:非線形波３)

　水の波の続きです。

　このシリーズは今日で終わりますが,非線形波やソリトンについての話はまた別の題名でアップする予定です。

　前回の最後では,Ｋ-ｄＶ方程式:∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 の定常波の解をｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ(ζ),ζ≡ｘ－σｔとして３階常微分方程式：－σ(ｄｕ/ｄζ)＋ｕ(ｄｕ/ｄζ)＋μ(ｄ³ｕ/ｄζ³)＝0 を求め,これの積分を求めました。

すなわち,１回積分すると,μ(ｄ²ｕ/ｄζ²)＝－ｕ²/2＋σｕ＋2Ａ (Ａは積分定数)となり,さらに両辺にｄｕ/ｄζを掛けて,積分すると(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ(Ａ,Ｂは積分定数)となります。

両辺を６倍して右辺をｆ(ｕ)とすると,3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³＋3σｕ²＋6Ａｕ＋6Ｂ≡ｆ(ｕ)です。この方程式が物理的に意味があるｕの実数解を持つのは,明らかにｆ(ｕ)≧0 の範囲でのみです。

実係数の３次方程式ｆ(ｕ)＝0 は１実根,または３実根を持ちますが,この方程式が１実根のみを持つ場合には,ｆ(ｕ)≧0 を値域とする解ｕが有界でないため,これは"有限範囲での振動＝波"を表わす解ではないので,ここでの考察では対象外とします。

ｆ(ｕ)＝0 が３実根を持つとして,それらをｕ₁,ｕ₂,ｕ₃ (ｕ₁≦ｕ₂≦ｕ₃)と書くと,ｆ(ｕ)＝(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)です。

ｆ(ｕ)＝－ｕ³＋3σｕ²＋6Ａｕ＋6Ｂより,σ＝(ｕ₁＋ｕ₂＋ｕ₃)/3,Ａ＝－(ｕ₁ｕ₂＋ｕ₂ｕ₃＋ｕ₃ｕ₁)/6,Ｂ＝ｕ₁ｕ₂ｕ₃ /6です。

ｕ₂≦ｕ≦ｕ₃でｆ(ｕ)≧0ですから,3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝ｆ(ｕ)はｕのこの区間を往復する非線形振動を表わすと思われます。

　そこで,3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝ｆ(ｕ)＝(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)の解でｕ＝ｕ₃でζ＝0 となるものを求めます。

　つまり,方程式ｄζ/(3μ)^1/2＝ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2を解きます。

　まず,ｋ²≡(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)とします。さらに,ｔ＝{(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2とおくとｄｔ＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₂)^-1/2(ｕ₃－ｕ)^-1/2ｄｕです。

1－ｔ²＝1－(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)＝(ｕ－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₂),1－ｋ²ｔ²＝1－ｋ²(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)＝1－(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₁)＝(ｕ－ｕ₁)/(ｕ₃－ｕ₁)です。

故に,ｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₂)^-1/2(ｕ₃－ｕ)^-1/2ｄｕ(ｕ₃－ｕ₂)^1/2(ｕ₃－ｕ₁)^1/2/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)}^1/2＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₁)^1/2ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2です。

そこで,方程式ｄζ/(3μ)^1/2＝ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2は,－{(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ｄζ＝ｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2を意味します。

したがって,楕円積分Ｆ(ｘ,ｋ)を用いて{(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ＝Ｆ({(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2,ｋ)なる解の表式を得ます。

それ故,sn({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝{(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2です。そこで,cn²({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝1－sn²({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝(ｕ－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₂)です。

※(注):snはヤコービ(Jacobi)の楕円関数:sn(ｕ,ｋ)＝Ｆ^-1(ｕ,ｋ)＝ｘ≡sinφです。またはｕ＝Ｆ(ｘ,ｋ)です。

　Ｆ(ｘ,ｋ)は第１種の楕円積分で,Ｆ(ｘ,ｋ)≡∫₀^xｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2＝∫₀^φｄθ/(1－ｋ²sin²θ)^1/2で定義されます。

特に,Ｋ(ｋ)≡Ｆ(π/2,ｋ)は第１種の完全楕円積分と呼ばれ,4Ｋ(ｋ)は楕円関数:snの２つの周期のうちの１つです。

さらに,sn(ｕ,ｋ)＝ｘ＝sinφに対応して関数:cnをcn(ｕ,ｋ)≡cosφ＝{1－sn²(ｕ,ｋ)}^1/2で定義します。これもヤコービの楕円関数と呼ばれています。(注終わり)※

さて,振動区間をＵ≡ｕ₃－ｕ₂とおけば,上に得られた解はｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕcn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2(ｘ－σｔ),ｋ)と書けます。ここで,σ＝(ｕ₁＋ｕ₂＋ｕ₃)/3＝ｕ₂＋(ｕ₁＋ｕ₃－2ｕ₂)/3＝ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3です。

以上から, ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕcn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2[ｘ－{ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3}ｔ],ｋ)と書けます。ただし,Ｕ＝ｕ₃－ｕ₂,ｋ²＝(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)です。

この解は,周期関数cnで表現される定常波形を持つ波列を表わしており,この意味でクノイド波(cnoidal wave)と呼ばれます。

　クノイド波:ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕ・cn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2[ｘ－{ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3}ｔ],ｋ)は,速度ｕ₂の一様流の上に振幅がＵの周期波cn²が重なった形をしており,周期波は一様流に相対的に位相速度(2－ｋ^-2)Ｕ/3で進行するという様を表わしています。

　波形cn²(ｓ,ｋ)は,パラメータｋ(0≦ｋ≦1)の値に応じて,cn²(ｓ,0)＝cos²ｓからcn²(ｓ,1)＝sech²ｓまで変化します。

cnの周期は4Ｋですから,これに応じて波長λを{Ｕ/(12μｋ²)}^1/2λ≡4Ｋで定義すると,これはλ＝8Ｋ(3μｋ²/Ｕ)^1/2なる式で与えられます。

　以上では,前提なしで３実根ｕ₁,ｕ₂,ｕ₃ が全て異なる:ｕ₁＜ｕ₂＜ｕ₃と仮定しましたが,特にｕ₂→ｕ₁の極限:ｕ₁＝ｕ₂の重根の場合を想定すると,ｋ²≡(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)よりｋ＝1です。

そこで,cn(ｓ,ｋ)＝cn(ｓ,1)＝sechｓより,この定常進行波はｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₁＋Ｕsech²[{Ｕ/(12μ)}^1/2{ｘ－(ｕ₁＋Ｕ/3)ｔ}],Ｕ＝ｕ₃－ｕ₁となります。この場合,解は波列でなく,定常波形がsech²の孤立波を表わします。

この孤立波は振幅Ｕの平方根に反比例した拡がりを持ち,一様流ｕ＝ｕ₁に相対的に,位相速度Ｕ/3で進行します。

いま１つの極限ｕ₃→ｕ₂,つまりｕ₂＝ｕ₃の重根の場合はｋ＝0,かつＵ＝0 なので波はｕ＝ｕ₃の一様流に帰着します。　 

ただし,その重根の極限の近傍のｋ～0,Ｕ～0では,Ｕ/ｋ²＝ｕ₃－ｕ₁より,定常解はｕ(ｘ,ｔ)～ｕ₂＋(ｕ₃－ｕ₂)cos²[{Ｕ/(12μｋ²)}^1/2(ｘ－ｕ₁ｔ)]＝ｕ₃＋2ｕ₂sin[{(ｕ₃－ｕ₁)/(3μ)}^1/2(ｘ－ｕ₁ｔ)]となって微小振幅の正弦波となります。

　こうして,"Korteweg-deVries方程式＝Ｋ-ｄＶ方程式"で記述される有限振幅の長波のうちの定常進行波は,クノイド波,または孤立波になることがわかりました。

　しかし,一般に任意の初期条件から出発した非定常の波が,これらの定常解に漸近するとは限りません。

Ｋ-ｄＶ方程式,および類似の非線形発展方程式の研究は近年急速な発展を遂げ,特にＫ-ｄＶ方程式については,かなり多くのことがわかっているようです。

ここでは孤立波に関する２,３の結果を紹介します。

初期条件が三角関数:ｕ(ｘ,0)＝cosπｘのＫ-ｄＶ方程式∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 の初期値問題はZabuskyとKruskal(1965)によって数値的に解かれました。

特にμ＝0 なら,数値計算に頼らずとも,解はｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]となることがわかります。

※(注)ｕ(ｘ,ｔ)≡cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]とおけば,これはｕ(ｘ,0)＝cosπｘを満たします。

そして,∂ｕ/∂ｔ＝π{σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ}sin[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}],∂ｕ/∂ｘ＝π{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}sin[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]ですから,∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＝0 はσ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]＝0 となります。

これから,ｔ＝0 ではσ＝cosπｘ＝ｕ(ｘ,0)を得ます。すなわち,σ(ｘ,0)＝ｕ(ｘ,0)です。

そこで,σ＝ｕ＝cos[π(ｘ－σｔ)]とおいてみると,σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]＝σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}σ＝{∂σ/∂ｔ＋σ(∂σ/∂ｘ)}ｔ＝0 となります。

よって,解の一意性から解はｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]です。(注終わり)※

μ＝0 の解ｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]では,∂ｕ/∂ｘ＝π{－1＋(∂ｕ/∂ｘ)ｔ}sin[π(ｘ－ｕｔ)]より,[1－πｔsin[π(ｘ－ｕｔ)]](∂ｕ/∂ｘ)＝－πsin[π(ｘ－ｕｔ)]となります。

この解は,ｔ＝ｔ_B＝1/πに点ｘ＝1/2の付近で突っ立ち:|∂ｕ/∂ｘ|＝∞という現象を呈し,その点以後のｘでは解は多価となって物理的意味を持たなくなります。

ZabuskyとKruskal(1965)の数値計算は,μ^1/2＝0.022 において実行され,その結果得られた数値解は,やはりｔ＝ｔ_B付近で突っ立ちに近い状態を示します。

しかし,この場合はゼロでない分散項の効果により,波の重なりは起こらず,逆に連続的な波が,いくつかの孤立波に分散します。

ｔ＝3.6ｔ_Bでは,波形はほぼ完全に分離した孤立波の連なりとなりますが,これらの孤立波は,先に得られた定常波ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₁＋Ｕsech²[{Ｕ/(12μ)}^1/2{ｘ－(ｕ₁＋Ｕ/3)ｔ}],Ｕ＝ｕ₃－ｕ₁と同じものであることが,その振幅,幅,進行速度の関係から確かめられます。

Ｋ-ｄＶ方程式に従う有限振幅波がある場合に,いくつかの孤立波の集まりになってしまうとすれば,これらの孤立波の間には,どのような相互作用が働くでしょうか？

孤立波の位相速度は振幅に比例するので,ある時刻に大振幅の波を左に,小振幅の波を右にして,互いに十分遠く離しておいたとすれば,大振幅波が小振幅波に近づき,ついには追いつくと予想されます。

Zabusky(1967)は初期条件として,ｕ_j(ｘ,0)＝Ｕ_jsech²(ｘ/Ｄ_j),Ｄ_j≡(12μ/Ｕ_j)^1/2の形を持つ２つの孤立波ｕ_j(ｘ,ｔ)(ｊ＝1,2)を取り,それぞれの振幅をＵ₁＝180,Ｕ₂＝80として,初期に距離を12Ｄ₁(Ｄ₁＝(12μ/Ｕ₁)^1/2＝(μ/15)^1/2)だけ隔てて置きました。

そして,小振幅の方の波が静止するように,さらにｕ₁＝－26＋2/3の一様流を加えました。

数値計算の結果として得られた２つの波は,重なる以前は互いに独立に運動しますが,驚くべきことに衝突以後に再び分離して衝突前と同じ大きさと形と位相速度で運動を続けます。

衝突の影響は,僅かに両者の位相の変化となって残るだけです。

２つの波が初期と同じ間隔12Ｄ₁だけ離れたときの振幅の変化は,僅かにΔＵ₁/Ｕ₁＜0.07％,ΔＵ₂/Ｕ₂＜0.5％なることが見出されました。

　このように,Ｋ-ｄＶ方程式の孤立波解が,あたかも独立の粒子であるかのように挙動するという結果から,この孤立波をソリトン(soliton)と名付けました。

　非線形波動の現象は,水の波に限らずプラズマ振動,さらに素粒子のモデルなどと関連して研究者の興味を集めており,非線形現象の解明と数学的理論の開発の両面にわたって,その発展が期待されます。

　水の波の話から自然にソリトンを紹介するという所期の目的が達せられたので,水の波の記事シリーズをこれで終わります。

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)

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将棋オフに行ってきました。

　今年も,現在はもう無いパソコン通信ニフティ・サーブ時代の将棋フォーラム（FSHOGI）時代に企画されて以来15年以上毎年夏の盛りに実施されている「将棋チェスネット」http://www.shogi-chess.net/ 主催の関東お泊りオフ(別名:将棋夏合宿)に,例年通り参加してきました。

　今は,隔年で将棋,囲碁,麻雀の設備の整った湯河原の杉の宿で開催されています。

　今年はその年に該当するので,湯河原に行ったのですが,去年(2008年夏)は文十郎さんの幹事で彼の地元に近い知多半島の内海で開催され,ここ２年引越しや心臓病などもあって職を失ない休んでいたのですが久しぶりに参加して楽しんできました。http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/08/post_6026.html　

　かつては,将棋フォーラムはニフティのゲームフォーラム(FGAME)から独立したので,湯河原オフが始まった当初は囲碁フォーラムや麻雀フォーラムとの合同合宿もあって60人以上参加でワイワイやってた時代もありました。

　将棋フォーラムでも,将棋の対局がひと通り終ると,囲碁,麻雀,あとチェス,シャンチー,バックギャモンなどをやったり,私などは本格的に酒を飲みながら囲碁フォーラムに多かった女性たちを含めて,本館で夜中１時までは許されていたカラオケを歌いまくっていました。

　わざわざ,湯河原まで来て東京の飲み屋でやってるのと同じ遊びをする必要もないのに,つくづくバカですね。

　ところで,私は,元々有名人でもないのに自己顕示欲が強く,そのせいで過去には精神的病にもかかったほどですから,ブログの存在は渡りに船,水を得た魚という感じで格好の自己顕示の場を得たということで飛びついてしまいました。

　ブログは公開日記ですが,それを不特定多数が見る可能性があるといっても,所詮,私のような有象無象の書くものに興味を持たれるのはたかが知れていて,自己顕示の意味はないのですが,ある程度の自己満足は得られるので精神的マスターベーションの意味では悪くありません。

　というわけで,最近大病にかかる前にも羞恥心のような若さに特有の感性が失われていて,それなりに歳相応に,オシャベリ傾向だったのですが,なぜか,2007年４月に入院して心臓手術を受けて退院 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/04/post_0efb.html して以来,

　後遺症のように,シャベリだすと止まらない性格になってしまいました。本当に意識して自重しないと止まらず,酒を飲むと加速されて諸兄には迷惑をかけています。

　2007年７/31の記事「心臓バイパス手術の思い出」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/08/post_4e39.html には術後３ヶ月の回想も書いています。

　さて,夏合宿は７月19,20日の世間では３連休の旅行日和に湯河原で開催予定でした。

　今年も,たいと前名人の車に便乗して,私の巣鴨の自宅を朝８時過ぎに出発,途中,北島プロと柿木さんを拾って,高速に乗ったのが10時半前後で多少の渋滞もありましたが,１回パーキングで休憩後,湯河原の当地に予定より30分程度の遅れで12時40分頃着きました。

　今年は杉の宿の新館で対局,宿泊のようです。

　道々,色々話をしていて,このフォーラムでは私より古株のお２人柿木さんと主催者の浜崎医院 http://homepage3.nifty.com/hamasaki/ の浜崎先生のうち,隣の席にいいた柿木さんは見た目にも私より年下なのは明らかで,浜崎先生も少し年下であるらしいとの事でした。

　そして,私は前から元埼玉県名人のDECAさんが最年長だと思っていたのに,実は1つか２つ年下らしいと聞きました。

　いつのまにか,自分が最年長になっていたのにも気付かなかったようです。まあ,私は人並みに人生で苦労してないから,恐らく見た目は実際の歳よりも若く見えるのでしょうが。。

　自分のことばかりを書いてるようですが,これは私の日記ですから私の主観を書いてもいいでしょう。

　今年のメンバーは,レーティング順に北島プロ六段,藤田綾女流初段,坂東香菜子女流２級,たいと,DECA,島,ヒコ,TK,JIRO,浜崎卓,柿木,文十郎,Tei,関,TOSHI,夏の子の16名でした。

　このうち,初めてお会いしたのは,東海リーグで文十郎さんや,今回不参加のだにい(西田)さん,ふーたん(藤田)さんとお知り合いのTKさんと夏の子さん,その友人の島さん。。そして女流の坂東香菜子(バンカナ)さん,藤田綾さんです。

　　　(↓女流プロ(坂東さん)との対局風景です。)　

　　　

　正式な対局が始まる前に時計無しで,旧知のてい(Tei)ちゃんと平手を１局指したのですが,角交換振飛車というのを指されて,それとは別に飛車での銀取りを単に見落としたのが主要な敗因でしたが負けました。

　確か角交換振飛車というのは昨年もやられたと記憶していて,今回の賞品の中に鈴木大介八段著の解説本があったので,ああ,これもメジャーな戦法なんだ。。と思いました。

　正式な対局は午後１時頃から開始されました。

　結果の詳細は「将棋チェスネット」http://www.shogi-chess.net/  のオフの会議室（会員しか入れませんが,登録無料で,すぐにIDとパスワードが発行されます。会員になったこともスタッフ以外の会員にはわからず退会も自由ですから,実際上誰でも安全に閲覧可能です。）に柿木さんの報告があります。

　私自身は全７局対局して,１日目が３勝２敗,２日目が２敗の計３勝４敗で,プロも含むハンディ戦ですが,16名中８位タイでした。

　対局は全員のレーティング差次第で最大２枚落ちのハンデがあり,レーティングも旧ニフティ時代に登録して以来のアマ連のそれで,持ってないなら自己申告です。

　それに従って,柿木さんのソフトが自動的に対局相手と最大ハンデを決めて,元々一泊二日で全員リーグ戦は無理ですから,それまでの勝敗次第で次の相手が決まるというスタイルです。

　最終順位を決めるのもソルコフetc.で,自分が勝った相手の勝敗などを考慮して決めていたらしいのですが,今回は対局途中で到着した方もありプロは２面,３面指しの勝敗が全て考慮されるので単純に勝率で決めたので同率順位が多数出たようです。

　そして,久しぶりに私よりレーティング下で初対面の夏の子さんも恐らく棋力は私より上で,勝敗結果にはそれも反映されます。

　夏の子さんのお友達の島さんにも,私２枚落ち下手で勝たせて頂きましたが,お２人は何か将棋フリークとして有名な方らしく対局よりもプロの方との交流や,アマとの交流の方が主目的のようで勝敗にはこだわっておられないようでした。

　というわけで,プロとの指導対局も希望者次第ですから,本当に実力で強い上位の人を除けば,順位は本人の意思でかなり変動します。

　私のレ－ティングも,文十郎さんにそれ自体が過小申告の１つの作戦だと言われました。私のような正直者？にそれはないでしょう。

　私は,最近は対局時計(チェス・クロック)を使うのはせいぜい１年に１回で,初手から秒読みでもかまわないタイプですから,例によって押し忘れ連発で相手の考慮時間も込みの消費時間になってしまうことが多かったのですが,対局相手が優しくて余裕のある方ばかりでしたので,しょっちゅう押し忘れを指摘されました。

　最近,夢中になると,１つだけに集中して２つ以上のことには気が回らなくなるのです。ボケも近いのでしょうか。。

　おかげで,たいとさんとの２枚落ち下手では,時間切れ負けでした。時間切れの時点では,持ち時間20分の本当の消費時間は半分くらいでしたし形勢も互角くらいでしょうか？

　ただ,飛車,角２枚のハンデはやはり大きいもので,そのハンデは意識しなくても指運などで偶然,最後に攻めにも守りにも効いてくるようなものでした。

　以前には同じ手合いで私が負けた相手のDECAさんも,感想では平手感覚で優勢と過信しておられたとのことでした。今回は２枚落ち下手で１勝頂きました。

　まあ,私も昔より鉄面皮で定跡を少しはずされても,私自身下手必勝と言われる定跡自体をうろ覚えで,フィーリング指しになっていましたから,感想で指摘されるまで,はずされていることすらわからないという状況でした。

　２枚落ち下手で勝ったと自慢しても詮無いことでしょうが。。

　ただ,１局目の関西の強豪ヒコさんとの２枚落ち下手では,最初から手合い違いだと言われて,私が少しの駒損をしても何かヒコさんに元気が無く,勝負をあきらめておられたような感じで,そのまま最後投了されたのには私も少し反省しました。

　ヒコさんとは,毎年リレー将棋で同じ組で指していまして,結局後で述べる今年の組み分けでもそうでしたので,私の酔っ払った勢いでのリレーでの指し手を見て棋力を過大評価されていたのかと思います。

　勝敗も気になりますが,ハンデは最大のそれが決まっているだけで,勝ちにこだわらないなら,下手は最高で平手の先手までを選択可能なので,次回から手合い違いを真剣に主張され,面白くないと感じた場合には,もっときつい手合いを選ぼうと思います。

　第１日目の後１局は,TKさんとの飛車落ち下手でした。

　これは最大飛香落ちとの指定でしたが,私自身が香車が無い不備を突くような,恐らく玉と反対側の端攻め的戦法を知らないというか,やらないので,飛車落ちにしてもらったのです。

(昔,関口先生(関口勝雄六段)に飛香落ちを教えてもらったのですが,今から20年以上も前で忘れました。) http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/04/post_2e4f.html

　もっとも同じ相手だと,位を取られたら不利という程度でほとんど定跡を知らず,もっときつい角落ち下手の方が,飛車落ち下手の場合より,何故か私の勝率が高かったような気がします。

　結局,得意の無理攻めをして,金,銀の持ち駒だと成立しそうな飛車切りを銀２枚でもイイヤといい加減読みで,案の定切れてしまって順当負けしました。やはり,２枚落ちより下手１枚少ないので無理は無理だったようです。

　それにしても感想戦でTKさんとお話していて,彼のキャラが気に入りました。ちょっとだけ顔が渡辺竜王に似ておられます。当たりが柔らかい口調ですが逆に少し元気がない印象も受けました。

　１日目は,私だけ缶チューハイやりながらの対局でしたが勝ち越せて最下位を免れたので良しとしましょう。

　午後４時過ぎに浜崎さんと女流２人が見えて,どちらかというと将棋よりも興味が初対面の女性２人に移ってしまいました。

　生まれつきというか,私は性同一性障害でもないふつうの男ですからスケベなのも仕方ありません。。

　といっても,既にキモイ,クソジジィで,おまけに若い女性のお尻ばかり追いかけている変態ですが。。

　というわけで,指導対局の将棋を見ているようでいて,実はお姿をジロジロと拝観していました。（← 以上セクハラの最たるモノですね。)

　最初は藤田綾さん(ペコちゃん？)の方が健康的に見えて,あくまでも比較の問題ですが,どちらかというと"デブ専"傾向のある私の琴線に触れました。http://www.shogi.or.jp/player/joryu/huzita.html　　http://wapedia.mobi/ja/%E8%97%A4%E7%94%B0%E7%B6%BE

　メイド服で赤っぽいフレームのメガネをかけると,秋葉原当たりで「お帰りなさいご主人様」という姿になるのでは？というような不謹慎な想像をした変態ジジィは,心の中では明日はカメラ小僧に徹しようなどと思いました。

　藤田綾先生には,本館での夕食時にも毎年両手に花状態の浜崎センセの斜め向かいに座った私の対面だったので,恐縮にもお酌までして頂き歓談しました。

　綾という名前は女子プロゴルファーの岡本綾子さんから取ったとのことです。

　私は,例によって後ろのカラオケセットも気になっていました。

　しかし,元々美少女棋士と呼ばれていたらしい坂東香菜子(バンカナ)さんの方は,見た感じでは,昔の時代の女子高校生のように,ほぼスッピンのようです。http://bankana.cocolog-nifty.com/bankana/2008/03/index.html

　一見暗いのですが,逆に素人相手の対局なのに演技でなくエラク真剣なようで,２日目の文十郎さんとの対局に勝って喜んでいて表彰式でも準優勝でバンザイしてたので少なからず興味を覚えました。

　夜は,酒も入って８時からリレー将棋です。

　ここで,手抜きで「将棋チェスネット」から,柿木さんの結果報告をコピーします。

　■リレー将棋

組み分け
・北島六段,TK,JIRO,夏の子
・藤田初段,ヒコ,浜崎 卓,TOSHI
・坂東２級,島,柿木,関
・たいと,DECA,文十郎,Tei

１手40秒

・１回戦　
○北島－藤田×
×坂東－たいと○

・２回戦
○北島－たいと×
○藤田－坂東×

・３回戦
×北島－坂東○
○藤田－たいと×

　北島チーム：２勝１敗,藤田チーム：２勝１敗,坂東チーム：１勝２敗,たいとチーム：１勝２敗 でした。

　というわけで,私の入った藤田チームは同率２位？でしょうか。。

　最初の北島チームとの対局では,相手も強かったのですが,最初の手番の藤田初段が振飛車や穴熊がお好きなようだったのに,一番弱い私がどちらも嫌いなので２手損で飛車を元の居飛車に戻し,穴熊にし掛けた陣形を美濃囲いにしたのも敗因だったようです。

　しかし,今年は笑いを取るのが常の浜崎センセも割りと真剣で,例によって彼が最初に仕掛けるのがお得意でしたが,大体の意図が全員に伝わったようで,チームワークで後の２局は勝ちました。今年もヒコさんと同じチームでしたね。

　これが終わった夜11時頃,前夜朝５時頃まで全英ゴルフ中継を見ていて実はほとんど寝ていない私は勝手に一人で部屋に戻って爆睡しました。近頃は枕が変わっても気にならず,しかし睡眠不足でも丁度５時間で目覚めるので朝４時にさわやかに目覚めました。

　そうだ,お風呂入ってこよう。。と思って１階上の誰もいなくて薄暗い露天風呂につかってゆったりしました。体の真ん中にある大きい手術跡もこころもち消えてきました。

　低血圧でかつ貧血なので,まだ歩くと素面でも酔っ払いと間違えられるくらいヨロヨロします。実は,単にじっと立っているのも数分以上は無理です。

　ヨガのように不自然な姿勢の寝相だと傷口がまだ痛いので寝るのも大体正常位？です。

　また,未だに,思いっきりの背伸びは怖くてできないし結構不自由あるのですが,見栄を張るとまわりからはわからないと思います。

　しかし,これのせいで,普通の体を使う仕事は,アルバイトも断られるのは困ったものですね。

　イヤ－,また余談的な自己憐憫のもの思いに入ってしまっている。

　部屋に帰って,お茶飲んでいると携帯が入りました。。

　朝５時なのに自宅近くのスナックのママからです。夜中に何度もかけたけど出ないから倒れたかと心配したとか言ってましたが,彼女は別の店で飲んでる最中らしいです。

　携帯の着信履歴をみたら夜零時過ぎに１回だけ電話があったようですが爆睡中で気付かなかったのでしょう。

　３連休初日で不景気だから水商売は客がいないでしょうね。ともあれ,湯河原に行くなどとは教えてないし,心配してくれるのはいいけど眠くなったので後小１時間寝ました。

　本館で朝８時頃朝食,カメラ持っていきました。女流を中心にシャッターを切り続けました。対局時間になったので,まず北島先生と２枚落ちです。

　プロとの多面指しでは昔は時計は使わないので少し気になりましたが,北島先生と２枚落ちでは,過去確か１勝１敗か１勝２敗です。

　定跡通りでなくても,下手が待っていて上手から有効な攻め手はないと思うので,ワザワザ下手が攻めを急いで詰め道具を渡す必要もないのに,なぜ攻め急ぐのか自分の気持ちがわかりません。

　で,最後は反則負けでした。王手と角を成り込んだのが角筋ではなく,角の行けない場所でした数秒後指摘されるまで気付きませんでした。

　いやあ,１日目は缶チューハイ飲みながらでしたが今日は午後の紅茶でした。感想戦中に手がフルえたりしてたのでアル中なのかな？

　しかし,別に角成りで王手するのが予定の読み筋で,前の手を指したわけではなく,その場のフィーリングでつい反則王手を指したので,感想戦ということで,その続きを指しましたがどうも全然ダメみたいです。

　余談ですが,そもそも,将棋にはいい思い出はあまりないですね。小学生の頃,それほど強くも無い父親に２つ上の次兄と共に手ほどきを受けて,しばらくはよく兄弟で指しては大抵弟の私が負けて盤をひっくり返してケンカしてました。

　中学の頃には,もう将棋はやっていません。

　再び始めたのは大学で留年して５年生のときです。

　私は自分のせいもあってムラハチのイジメに遭い,完全にノイローゼ状態になってどうしようもないときでした。

　同じく留年していて友達もいなかっただろう難聴の障害を持っていたＭ君,以前からクラスメイトだったけれどほんの２,３回言葉をかわした程度の彼に,自室に誘われて,囲碁と将棋をするようになったのがきっかけでした。

　彼はどちらかというと囲碁がやりたかったらしく,実際囲碁は初段で将棋は１級と言ってましたが,私には入ってしまえばむしろやさしいと彼が主張する囲碁よりも,当時のノイローゼ状態では敷居が低くルールくらいは既に父親から教えられて知っていた将棋の方が楽だったので,現実逃避の手段として将棋の方を選びました。

　ですから,将棋というと過去の自分のノイローゼを連想するという面もあります。しかし,逆にノイローゼ状態のようなときに将棋の本を読んだり,詰将棋を解いたりしてると精神安定剤になったりもしました。

　で,結局は指将棋より詰将棋が好きになりました。囲碁も当時は詰め碁くらいはやってましたがもう忘れました。

　将棋は結局,詰み型にするには１手すき,２手すきはどうしたらいいかという発想から指将棋を考えるようになりました。

　会社の将棋部に入った頃にも序盤がかなりイイ加減で,１つくらい駒が足りなくてもヒョッとしたら詰め将棋のトリックのような奇抜な妙手があって駒が足りるのではないか？と考えたりするようになりました。

　考える前に行動するタイプで,そのときのフィーリングでやってみたけど,やっぱり足りないな,失敗だったな,まいっかということが多いですから,将棋には向いてないのでしょう。

　そもそも,ほんの偶にラッキーパンチが当たるフロックはあるけれど地道に対応されるとダメですね。

　というわけで,１局くらいは平手戦がやりたかったので,最後は女流プロの藤田綾初段に平手の先手を申し込んで,フェミニスト精神を発揮する必要もなくキッチリ順当に負かされました。メデタシメデタシ。。。

　実は,事前にネットで棋風を調べていたわけではないですがリレー将棋の雰囲気から振飛車,穴熊などを予想しましたが,相手は素人のジジィなので特に得意戦法で来られるかどうかもわかりませんでした。

　早石田の三間飛車でしたが,結局私は急戦を装った玉頭からの位取りで,右側の飛車付近が戦場になる前に何とかしたいというものでしたが,やはり息切れして,しかも王様の下に底歩を打つという発想をウッカリしていたのも大きくて,結局負かされました。

　柄にも無く投了前に大長考(３分くらい)して,男らしくないところもありました。

　ところで,忘れていましたが,関さんと会えたのは十年ぶりくらいで以前会った頃は,確か理科系の大学院生だったかオーバー・ドクターだったかの頃でしたね。

　今は,私の自宅の隣町の千石か白山にある大学の先生になられたようです。帰りのたいとさんの車の中で,そのうち,その近くに引っ越されるとお聞きしました。

　その際には連絡頂けるとのことで,引越し祝いに近くで飲もうという約束をしました。社交辞令ではないつもりなので楽しみです。

　帰る前の全体写真です。

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椿鬼奴!!

　昔からファンだった,といっても３,４年前に初めて存在を知ったのですが,BODYの増谷キートンとその相方の椿鬼奴さん, http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/01/post_458d.html　

　椿さんの方にはあまり注目していなかったのですが,最近メジャーになったのかよくTVで見かけます。

　こころもち,綺麗になったような気がします。心が輝いているのかな？

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湯河原将棋オフから帰ってきました。

　題記の通りです。19日の午後５時頃巣鴨の自宅に帰り,眠ったみたいで目が覚めたら夜８時頃でした。

　久しぶりの人,新しい人との出会いもあって楽しかったです。今日はまだブログにする余裕がないので詳細は後日書きます。。。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　TOSHI

　とりあえず帰る前の全体写真です。

水の波(7)(有限振幅の波:非線形波２)

　水の波の続きです。

　水面ｚ＝ηでの速度ポテンシャルは,Φ(ξ,η,τ)＝Φ(ξ,0,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(ξ,τ)＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)|_z=0η(ξ,τ)²＋..のようにηのテイラー級数に展開できます。

この級数展開と,先のεのベキ級数展開:Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},およびη(ｘ,ｔ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}を,ｚ＝ηでの境界条件:∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),および∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 に代入します。

まず,Φ(ξ,η,τ)＝Φ(ξ,0,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(ξ,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)|_z=0η(ξ,τ)²＋..をｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)に代入します。

すると,Φ＝Φ(ξ,ｚ,τ)について(∂Φ/∂ｚ)＋(∂²Φ/∂ｚ²)η＋.. ＝∂η/∂ｔ＋(∂/∂ｘ){Φ＋(∂Φ/∂ｚ)η＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)η²＋..}(∂η/∂ｘ)となります。

ただし,両辺の量は全てｚ＝0 における値です。

ξ≡ε^1/2(ｘ－ｃ₀ｔ),τ≡ε^3/2ｔですから,∂/∂ｘ＝(∂ξ/∂ｘ)(∂/∂ξ)＝ε^1/2(∂/∂ξ),∂/∂ｔ＝(∂ξ/∂ｔ)(∂/∂ξ)＋(∂τ/∂ｔ)(∂/∂τ)＝－ｃ₀ε^1/2(∂/∂ξ)＋ε^3/2(∂/∂τ)です。

そこで,上で求めた境界条件のｚ＝0 での形は,(∂Φ/∂ｚ)＋(∂²Φ/∂ｚ²)η＋.. ＝－ｃ₀ε^1/2(∂η/∂ξ)＋ε^3/2(∂η/∂τ)＋ε(∂/∂ξ){Φ＋(∂Φ/∂ｚ)η＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)η²＋..}(∂η/∂ξ)となります。

これに,Φ(ξ,ｚ,τ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},η(ｘ,ｔ)＝η(ξ,τ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}を代入して,ｚ＝0 で両辺の同じεのベキの係数を等置します。

ηはΦよりε^1/2のオーダーだけ小さい量であると仮定した展開ですから,ｚ＝0 でε^1/2の係数としては,∂Φ⁽¹⁾/∂ｚ＝0 です。

そこで,ε^3/2の係数として∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ),ε^5/2の係数として∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＋η⁽¹⁾(∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ),..を得ます。

一方,ｚ＝ηでのもう１つの動的境界条件:∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 は－ｃ₀ε^1/2(∂Φ/∂ξ)＋ε^3/2(∂Φ/∂τ)＋{ε(∂Φ/∂ξ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 です。

これもｚ＝0 の近傍での展開:Φ(ξ,ｚ,τ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},η(ｘ,ｔ)＝η(ξ,τ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}を代入して,εのベキの係数を等置します。

ｚ＝0では∂Φ⁽¹⁾/∂ｚ＝0なので,εの係数として,－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0,ε²の係数として∂Φ⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂Φ⁽²⁾/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0 です。

これらの関係式に,前記事で求めた境界条件を満たす解の具体的形:Φ⁽¹⁾＝Φ⁽¹⁾(ξ,τ),Φ⁽²⁾＝(－1/2)(ｚ＋ｈ)²{∂²Φ⁽¹⁾(ξ,τ)/∂ξ²}＋ｆ₁(ξ,τ),Φ⁽³⁾＝(1/24)(ｚ＋ｈ)⁴(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－(1/2)(ｚ＋ｈ)²(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｆ₂(ξ,τ),..を代入して高次の項を消去します。

結局,水面波形の第１近似η⁽¹⁾(ξ,τ)に対する方程式として,∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)が得られます。

同じ方程式は,水平速度の第１近似∂Φ⁽¹⁾/∂ξに対しても成立します。こうして,第１近似解が得られれば,高次の近似解は機械的に得られます。

(証明)∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－(ｚ＋ｈ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²),∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²＝－∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²,∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＝(1/6)(ｚ＋ｈ)³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－(ｚ＋ｈ)(∂²ｆ₁/∂ξ²)です。

これにｚ＝0 を代入すると,∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²),∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²＝－∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²,∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＝(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)です。

よって,∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,①－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)となります。

また,∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＋η⁽¹⁾(∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,②(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)－η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)と書けます。

一方,③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0 はそのままで,∂Φ⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂Φ⁽²⁾/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0 の方は,Φ⁽²⁾＝(－1/2)ｈ²(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｆ₁より,④∂Φ⁽¹⁾/∂τ＋(1/2)ｃ₀ｈ² (∂³Φ⁽¹⁾/∂ξ³)－ｃ₀(∂ｆ₁/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0 です。

ｃ₀²＝ｇｈなので,①－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0をξで微分すれば得られます。

他方,④∂Φ⁽¹⁾/∂τ＋(1/2)ｃ₀ｈ²(∂³Φ⁽¹⁾/∂ξ³)－ｃ₀(∂ｆ₁/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0 をξで微分してｈを掛けると,ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂τ∂ξ)＋(1/2)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｃ₀ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｈ(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｇｈ(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝0 となります。

左辺の最後の項ｇｈ(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝ｃ₀²(∂η⁽²⁾/∂ξ)に,②(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)－η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)より得られるｃ₀²(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)－(1/6)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)＋ｃ₀ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｃ₀η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)を代入します。

ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂τ∂ξ)＋(1/3)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)＋ｈ(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＋ｃ₀η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝0 です。

最後に,③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0 より,∂Φ⁽¹⁾/∂ξ＝ｇη⁽¹⁾/ｃ₀としてΦ⁽¹⁾を消去します。

すると,ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋(1/3)ｇｈ³(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)＋(ｇ²ｈ/ｃ₀²)η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ²) ＋ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋ｇｈη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇｈη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝0 です。

したがって,2ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋(1/3)ｃ₀²ｈ²(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)＋3ｇη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝0,つまり∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)が得られます。

∂Φ⁽¹⁾/∂ξ＝ｇη⁽¹⁾/ｃ₀なのでη⁽¹の代わりに∂Φ⁽¹⁾/∂ξを代入しても同じ非線形方程式を満たします。(証明終わり)

たった今得られら有限振幅の非線形波に対する方程式:∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)は,既に19世紀末(1895)に,KortweigとdeVriesによって上記とは別の方法で導かれており,これをKortweig-deVries方程式,または略してＫ-ｄＶ方程式と呼びます。

Ｋ-ｄＶ方程式∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)は,適当な尺度(単位)の取り方によって∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 なる形に書くことができます。

係数μは正負どちらでもいい形ですが,変換ｕ→－ｕ,ｘ→－ｘ,ｔ→ｔによって,この方程式におけるμはμ→－μと変換されますから,一般性を失なうことなくμ＞0 としていいです。

Ｋ-ｄＶ方程式∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 の解として,波形を変えず一定速度で伝播する定常波が存在するとして,それを求めてみます。

そのために,σを速度を表わす定数としてｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ(ζ),ζ≡ｘ－σｔとします。こうすると,∂ｕ/∂ｔ＝－σ(ｄｕ/ｄζ),∂ｕ/∂ｘ＝ｄｕ/ｄζです。

そこで,∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 は３階常微分方程式－σ(ｄｕ/ｄζ)＋ｕ(ｄｕ/ｄζ)＋μ(ｄ³ｕ/ｄζ³)＝0 に帰着します。

これは,ζで１回積分すると,μ(ｄ²ｕ/ｄζ²)＝－ｕ²/2＋σｕ＋2Ａ (Ａは積分定数)となります。

さらに両辺にｄｕ/ｄζを掛けて,もう１度積分すると,(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ (Ａ,Ｂは積分定数)です。

μＶ(ｕ)≡Ｅ－(－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ)と置くと,これは(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＋μＶ(ｕ)＝Ｅとなります。そこでｕを質量μを持つ質点の位置座標,Ｖ(ｕ)をそれに働く力のポテンシャルと考えることができます。

位相速度が一定の線形波の典型的な形である正弦波ならｕ＝Ｃsin(ωｔ－ｋｘ)＝－Ｃsin(ｋζ),ζ≡ｘ－σｔ;σ≡ω/ｋです。

ｄｕ/ｄζ＝－ｋＣcos(ｋζ),ｄ²ｕ/ｄζ²＝ｋ²Ｃsin(ｋζ)なので,ｕ＝ｕ(ζ)の満たす方程式はｄ²ｕ/ｄζ²＝－ｋ²ｕ,ｋ^-2(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ²＋Ｃ²です。

これは,(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－(1/2)μｋ²ｕ²＋(1/2)μｋ²Ｃ²ですからＶ(ｕ)＝(1/2)ｋ²ｕ²と置けば,(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＋μＶ(ｕ)＝Ｅ (Ｅ≡(1/2)μｋ²Ｃ²)であり,Ｖ(ｕ)は線形な調和振動子のポテンシャルです。

非線形なＫｄＶ方程式のポテンシャル(非調和振動子ポテンシャル)μＶ(ｕ)≡Ｅ－(－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ)が,線形な調和振動子のそれμＶ(ｕ)＝(1/2)μｋ²ｕ²と決定的に違うのは,非調和振動子のポテンシャルｕの３次以上の項を含むことです。

定数項の差はエネルギーの基準点の違いだけだし,ｕの１次の項の差は完全平方によって２次の項に含めることができます。

今日はここまでにします。

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)

ＰＳ:明日は毎年夏恒例の一泊二日の「将棋チェスネット」http://www.shogi-chess.net/ 主催の「関東お泊りオフ」別名「将棋合宿」に行ってきます。今年は隔年の湯河原の杉の宿で開催の年です。

　去年　http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/08/post_6026.html と同じく,何もなければ,まず,明日朝,たいとさんが私の家に来られてて,次に北島プロ,柿木さんを拾って直接現地に向かう予定です。

　１年に１回の道楽なので前から何もなければ生きているうちは毎年参加することにしています。今年は女流プロは休場中のバンカナと藤田綾初段が見えるそうですね。

　(15年以上も前から,ときたま日程の都合で行けない場合を除いて参加していたのですが,最近は2006,2007年病気入院もあって参加できず,昨年復帰しました。将棋は弱いくせに威張っています。)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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水の波(6)(有限振幅の波:非線形波１)

　水の波の続きです。

　かなり間が開きました。早く非線形波,ソリトンへと進んでいこうと思います。 

前回の最後では,ｘ軸とそれに直角なｙ方向に単位長さ,そして鉛直ｚ方向には水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)から水面η～ 0までの立体Ｖを取り,Ｖの中の水のエネルギーをＥ,波のエネルギーをＥ_wとして,波のエネルギーの時間変化について書きました。

そして,εを水のエネルギー密度とするとｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔ＝∫_V(∂ε/∂ｔ)ｄＶ＋∫_S(εｖ_n)ｄＳ,ε＝ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚと書けることから,"波のエネルギー保存則の微分形＝波のエネルギー方程式":ｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔ＝ρ(∂/∂ｘ){∫_S(ｘ)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｘ)ｄＳ}を得ました。

今日は,まず,微小振幅の線形波に対して,具体的に,この波のエネルギー方程式を計算します。

微小振幅波の速度ポテンシャルは,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)と書けることを既に見ました。ｃは位相速度で,ｃ＝ω/ｋ＝{ｇtanh(ｋｈ)/ｋ}^1/2です。

前と同じように,時間間隔δｔを取ります。δｔは波群の時間的変化の尺度に比べれば十分短かいけれど,その中には多数の振動を含むとします。

波のエネルギーＥ_wや水のエネルギーＥは,実際にはｔだけでなくｘの関数でもあるので,ｄＥ/ｄｔを∂Ｅ/∂ｔと書き,エネルギー方程式を∂Ｅ/∂ｔ＝∂ρ(∂/∂ｘ){∫_S(ｘ)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｘ)ｄＳ}と書き直します。

これに,上記の具体的な微小振幅波の速度ポテンシャルを代入して,(∂Ｅ/∂ｔ)δｔ＝ρ∫₀^δtｄｔ[(∂/∂ｘ){∫_-h⁰(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｘ)ｄｚ}]を計算します。

すると,(∂Ｅ/∂ｔ)δｔ＝ρ(∂/∂ｘ)[{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}²(－ｋω)∫₀^δtｄｔ∫_-h⁰ｄｚ cosh²{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin²(ｋｘ－ωｔ)]＝－ρ(∂/∂ｘ)[{Ａ²ｃ/sinh²(ｋｈ)}ｇｋtanh(ｋｈ){ｈ/2＋sinh(2ｋｈ)/(4ｋ)}]δｔ/2＝－δｔ(∂/∂ｘ)[(ρｇＡ²ｃ/2){1/2＋ｋｈsinh^-1(2ｋｈ)}]となります。

すなわち,∂Ｅ/∂ｔ＝－(∂/∂ｘ)[(ρｇＡ²ｃ/2){1/2＋ｋｈsinh^-1(2ｋｈ)}]です。

また,微小振幅線形波のエネルギーの表式は,Ｅ_w＝ρｇＡ²/2です。

そして,以前に書いた「水の波(4)」で与えたように,微小線形波の群速度の一般的な表式はｃ_g＝ｄω/ｄｋ＝ｃ[1－(1/2){1－(γｋ²)/(ρｇ)}{1＋(γｋ²)/(ρｇ)}＋ｋｈcosech(2ｋｈ)]です。

この式で,表面張力γを無視してこれをゼロと置くと,ｃ_g＝ｃ{1/2＋ｋｈsinh^-1(2ｋｈ)}となります。

これを用いると,波のエネルギー方程式は,∂Ｅ_w/∂ｔ＋∂(ｃ_gＥ_w)/∂ｘ＝0 となります。

この形は,３次元の流れ(波)では∂Ｅ_w/∂ｔ＋div(ｃ_gＥ_w)＝0 なる連続の方程式に相当します。このことは波の群速度ｃ_gが波群のエネルギーの伝播速度を与えることを示しています。

さて,もしも波の振幅が微小ではなく,有限な大きさであるとすると,この波は記事「水の波(1)」で書いたように,∇²Φ＝0 を満たす速度ポテンシャルΦ＝Φ(ｒ,ｔ)から得られる水面の高さη＝η(ｘ,ｙ.ｔ)を表わす式:η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²で記述されます。　 

ただし,右辺のΦ(ｒ,ｔ)では微分計算の後にｚ＝ηとします。

境界条件は,水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で∂Φ/∂ｎ＝0,および水面ｚ＝ηでは∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)です。 

水面の高さηが小さい微小振幅波であるという仮定の下では,Φとηに関する２次の項を無視して,η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²はη＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)とし,ｚ＝ηでの境界条件∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)は∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔで近似します。

これらの式からηを消去すれば,ｚ＝ηで∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 となります。

このときには,速度ポテンシャルをｚ＝0 の周りで展開すると,Φ(ｒ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)＋(∂Φ/∂ｚ)_z=0η＋Ｏ(Φη²)ですから,Φとηに関して２次以上の微小量を無視する近似ではΦ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)としても同じです。

結局,微小振幅近似ではｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0,およびｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で∂Φ/∂ｎ＝0 の境界条件の下で,ラプラス方程式∇²Φ＝0 を解くという問題に帰着することがわかりました。

有限振幅波では,渦無しの流れでは速度ポテンシャルΦは線形なラプラス方程式の解ですが,微小振幅近似をする前のｚ＝ηでの境界条件:∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/)∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)や,η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²は非線形です。

こうした非線形性のために,重ね合わせなどを利用した線形方程式の一般解法は全く適用できなくなります。 

このために,有限振幅のいわゆる非線形波は微小振幅の線形波に比べて,その取り扱いはきわめて難しく,研究も立ち遅れていました。 

有限振幅波を表わす厳密解として知られている唯一の解は19世紀初頭に得られたGerstnerのトロコイド波(Gerstner(1962))です。

これが深水波の円形軌道から出発してラグランジュの式記述による基礎方程式を厳密に解いて圧力場と波形を求めたものであり,波形がトコロイド曲線であることから,この名があります。

しかし,この波に伴なう水の運動は渦無しではなく,深さと共に指数関数的に減少する渦度を持ちます。

このため,この波は静止状態から保存力によって作り出すことはできませんが,初期に水面付近に風による吹送流があったと考えれば十分実現可能です。

有限振幅波に関するもう１つの注目すべき研究は,KortwegとdeVries(1895)による非線形長波の研究です。(ＫｄＶ方程式の研究)

彼らは,弱い有限振幅の長波について,波形の突っ立ちと分散効果とが釣り合う結果,定常波が形成されることを見出し,波列,および孤立波を表わす解を求めました。

非線形波動の研究は,その後,あまり著しい発展をみせませんでしたが,ZabuskyとKruskal(1965)が数値実験によって,有限振幅の孤立波がきわめて安定であり,あたかも１個の粒子のように挙動することを見出し,これをソリトン(soliton)と名づけたのを契機として,新しいそして目覚しい展開を見せるに至りました。

以下,その発端となった非線形分散波を中心に有限振幅の水の波について概観してみます。

簡単のため,水の深さｈは一定で,かつ波はｘ軸方向にのみ変化する１次元の波であるとします。

まず,波を支配するラプラス方程式∇²Φ＝0は∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 となります。

また,境界条件のうち,水底で∂Φ/∂ｎ＝0 はｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0 です。

ｚ＝ηでの境界条件:∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)は,ｙ方向が無関係なので∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/)∂ｘ)となります。

η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²も,∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 となります。

結局,有限振幅波の問題は,境界条件:ｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0, ｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),および∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 の下で,方程式∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 を解く問題に帰着します。

微小振幅の場合は,非線形境界条件:ｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),および∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 が,ηを消去してｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 の線形条件になります。

これの一定振動数ωの解は,既に見たようにΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)でη(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ) (ただしＡ≡－－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ))で,分散関係はｃ＝ω/ｋ＝{ｇtanh(ｋｈ)/ｋ}^1/2です。 

これは,浅水長波ｋｈ＜＜1の場合には,tanh(ｋｈ)～ｋｈ－(ｋｈ)³/3＋2(ｋｈ)⁵/15－..＝ｋｈ{1－(ｋｈ)²/3＋Ｏ[(ｋｈ)⁴]}よりｃ＝ω/ｋ～ｃ₀{1－ｈ²ｋ²/6＋Ｏ(ｋ⁴)}(ｃ₀≡√ｇｈ)と近似展開されます。

波がいくつかの正弦波から構成される場合, 波の分散はそれぞれの正弦波が異なる速度で進むため波形の変化を引き起こします。そして分散の強さは,浅水長波の場合ｃ＝ω/ｋ～ｃ₀{1－ｈ²ｋ²/6＋Ｏ(ｋ⁴)の右辺第２項の大きさε≡ｈ²ｋ²＜＜1で表現されます。

(ここではεはエネルギー密度ではなく速度ｃの分散です。)

一方,有限振幅波においては,波を構成する各正弦波が独立ではなく,その間に非線形相互作用が働くため,線形の分散効果と釣り合った場合には波形の変化が止まり,一定波形の定常波が出現することが期待されます。

そうした期待の下に,分散の強さεと同程度の大きさの振幅を持つ弱い非線形波を家庭します。

そして,線形近似の分散関係:ｃ＝ω/ｋ＝ｃ₀(1－ｈ²ｋ²/6) (ｃ₀≡√ｇｈ)の下では,波の位相はｋｘ－ωｔ＝ｋ(ｘ－ｃ₀ｔ)＋ｃ₀ｈ²ｋ³ｔ/6となります。

ｈｋ＝ε^1/2の小さい値に対して,波の時間的空間的変化を正しく記述するには,ｋｘ－ωｔ＝ｋ(ｘ－ｃ₀ｔ)＋ｃ₀ｈ²ｋ³/6の右辺の各項が,それぞれ１程度になるような変換ξ≡ε^1/2(ｘ－ｃ₀ｔ),τ≡ε^3/2ｔを施せばいいことがわかります。

こうすれば,ｋ(ｘ－ｃ₀ｔ)＝ｋε^-1/2ξ＝ξ/ｈ,ｃ₀ｈ²ｋ³ｔ/6＝ｃ₀ｈ²ｋ³ε^-3/2τ/6＝ｃ₀τ/(6ｈ)と書けます。

この変換は正方向に位相速度ｃ₀で動く座標系に乗ったことに相当しており,正方向の進行波を記述するのに適しています。

また,εに比例する小因子によって,ｘ座標と時間ｔが縮小されていることは,ｘ軸方向,および時間方向にきわめてゆるやかな変化を扱うことに相当しています。

例えば,1/Δτに対して,1/Δｔ＝(1/Δτ)(Δτ/Δｔ) ＝(1/Δτ)ε^3/2ｔ＜＜1/Δτです。

波の振幅についてはεと同程度の弱い非線形波を考えています。 

η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²より,η～ －ωｇ^-1Φ＝－(ｈ/ｇ)^1/2ｋΦ～ －ε^1/2Φです。

Φ,およびηは,それぞれεのベキ級数:Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},およびη(ｘ,ｔ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}の形に書けるものとします。

∂²Φ/∂ｘ²＝ε(∂²Φ/∂ξ²)ですから,上のΦのベキ展開式を∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 の左辺に代入して,εの各ベキの係数をゼロと置けば,∂²Φ⁽¹⁾/∂ｚ²＝0,∂²Φ⁽ⁿ⁾/∂ｚ²＋∂²Φ^(n-1)/∂ξ²＝0(ｎ≧2)が得られます。

また,境界条件ｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0 は,ｚ＝－ｈで∂Φ⁽ⁿ⁾/∂ｚ＝0(ｎ≧1)です。

そこで,境界条件を満たす解は,Φ⁽¹⁾＝Φ⁽¹⁾(ξ,τ),Φ⁽²⁾＝(－1/2)(ｚ＋ｈ)²{∂²Φ⁽¹⁾(ξ,τ)/∂ξ²}＋ｆ₁(ξ,τ),Φ⁽³⁾＝(1/24)(ｚ＋ｈ)⁴(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－(1/2)(ｚ＋ｈ)²(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｆ₂(ξ,τ),..,と表現されます。

ただし,ｆ₁,ｆ₂,..はξとτの任意関数です。

途中ですが今日はここまでにします。 

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)

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ブログ編集作業終了

　５月13日の記事「私信」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/05/post-4e51.html で書いた通り,このところ毎日のように2006年３月20日以来の本ブログの全記事を読みやすいように編集してきましたが,丁度２ヶ月で先ほど終了しました。

　この記事が丁度700個目の記事で,ワードのページ数にするとＡ４で2000ページをはるかに超える全文章をチェックするのは楽しくも苦しい作業でした。

　自分の文章や数式とはいえ,校正,編集という作業は取り憑かれると寝食を忘れて没頭してしまう麻薬のようなものですね。。。

　こういうのは締め切りがあれば妥協するかもしれませんが,全く時間の制約がないと修正しても修正しても見るたびに何かが目について気にするとキリがありません。

　まあ,編集の終了宣言,あるいは完了宣言をしたといっても,直す気になればいつでも直せるブログですから,こだわる必要はないし,最初に書いたものの内容まで完全に改変しては,当時書いた日記という意味が失なわれるのでそこまではやりません。

　この作業を行なうことと,６月初期のＰＣクラッシュによって書き溜めていた種々のテーマの草稿を幾つか失なったことが相俟って,このところ新規記事が滞りがちですが,徐々に元のペースに戻りたいと思っています。

PS:あと,ほんの一部の修正:2006年３月末の記事シリーズ:連載「サルにもわかる相対性理論④～⑥」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/03/post_1d17.html のフォント訂正など残っています。

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電磁場の共変的量子化(補遺)

さて,すぐ前に「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書きましたが,こうした唐突な主題の記事を全く何の脈絡もなく書くはずもなく,実は電磁場の共変的量子化におけるＥ関数の意味を明確にするための公式を得るという目的がありました。

電磁場の共変的量子化では,４次元交換関係などを表現するために,不変デルタ関数としてＤ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)},およびＥ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}を与えました。

このうち,Ｄ関数Ｄ(ｘ)はダランベール方程式□Ｄ＝0 の解であり,右辺のフーリエ因子のδ(ｐ²)は有限な関数ｆ(ｐ²)との積として非特異な関数としての意味を持ちます。

しかし,Ｅ関数Ｅ(ｘ)のフーリエ因子(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)は有限な関数ｆ(ｐ²)との積としてはなお特異な関数です。ただ,ｐ²ｆ(ｐ²)のような関数との積としては,意味を持つ超関数です。

ところで,中西さんの教科書「場の量子論」で与えられているＥ関数の定義は,私が直感的考察で与えた表現:Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}とは若干異なる形をしています。

すなわち,Δ(ｘ,ｍ²)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}に対して,Ｅ(ｘ)≡－[∂Δ(ｘ,ｍ²)/∂ｍ²]_m=0＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}で定義されています。

これら２つのＥ(ｘ)の表現が実は等価であることを見るために,先の「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書いたのです。

この記事では,1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ)なる公式を得ましたが,これにｘ＝ｐ²を代入すると1/(ｐ²＋iε)＝Ｐ(1/ｐ²)－iπδ(ｐ²)となります。

移項すると,積分核としてのデルタ関数の別の表現として,iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)なる等式を得ます。

両辺を(ｐ²＋iε)で割ると,iπ(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)/(ｐ²＋iε)－1/(ｐ²＋iε)²となります。

一方, iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)の両辺をｐ²で微分すると,iπδ'(ｐ²)＝－Ｐ{1/(ｐ²)²}＋1/(ｐ²＋iε)²となります。

そこで,ε→＋0 の極限では,超関数の意味で,(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)＝－δ'(ｐ²)なる等式が成立することがわかります。

　したがって,超関数の意味でＥ関数の表現:Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}と,Ｅ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}が等価であることが示されました。(以上)

参考文献:中西襄 著「場の量子論」(培風館)

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コーシーの主値(主値積分)

　　コーヒー・ブレイクとして,数学のショートトピックを考察してみます。

　ちょっと思い付きで,コーシー(Cauchy)の主値,あるいは主値積分と呼ばれているものを考えます。

　コーシーの主値というのは,実数の区間[ａ,ｂ]で定義された関数ｆ(ｘ)がａ＜ｃ＜ｂなるある点ｃで不連続なとき,Ｐ∫_a^ｂｆ(ｘ)ｄｘ≡lim_ε→+0[∫_a^c-εｆ(ｘ)ｄｘ＋∫_c+ε^bｆ(ｘ)ｄｘ]と定義して,これを主値(積分)(principal value)と呼ぶことを指します。

　これは,区間[ａ,ｂ]が無限区間(－∞,∞)で被積分関数がｆ(ｘ)/ｘ (ｆ(ｘ):連続関数)の場合には,Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＝lim_ε→+0[∫_|x|≧ε{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ]です。

　複素平面上の実軸を含む領域でｆ(ｚ)が正則なとき,主値Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘを,複素ｚ平面上のある経路Ｃにおける線積分∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚで近似することを考えます。

Ｃとしては,実軸上の－∞から－εまで真っ直ぐ進み,原点Ｏを回避するために,Ｏを中心として半径εの小円で点－εから点εまで時計回り(負の向き)にπだけ回る半円経路を加え,さらにεから∞までの直線経路を考えたものとします。

つまり,小半円の経路をγ^-とすると,全経路はＣ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)です。

すると,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚと書けます。

ところが,明らかに∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝i∫_π⁰ｆ(εexp(iθ))ｄθ＝－iπｆ(0)です。

　それ故,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0) なることがわかります。

　被積分関数ｆ(ｚ)/ｚに対し,その特異点であるｚ＝0 付近で上半平面方向に歪めた経路Ｃ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)を取る代わりに,通常の(－∞,∞)の経路のまま,被積分関数の方をｆ(ｚ)/ｚからｆ(ｚ)/(ｚ＋iε)に微修正して,特異点をｚ＝0 から下半平面のｚ＝－iεに移すのは,事実上,同等な操作であり,同じ積分値を与えるはずです。

　すなわち,∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ＋iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0)です。

　同様な考察から∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ－iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋iπｆ(0)も得られます。

　これらの公式を,形式的に1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ), 1/(ｘ－iε)＝Ｐ(1/ｘ)＋iπδ(ｘ)と書きます。

　主値積分については,コーシーの積分定理を意識して,上半平面や下半平面で,半径が∞の半円周を加えた閉じた経路を積分経路Ｃとする説明をよく見かけますが,それは半径が∞の半円周上で積分がゼロになるような特別な被積分関数形を要求します。

　留数などを考慮する必要がある場合なら,その方がいいでしょうが,上の考察では,関数ｆ(ｚ)がｚ→ ∞でゼロに急減衰すべきであるとかの条件は全く必要ないのがミソです。

　今日は記憶に頼った短かい覚え書きなので参考文献はありません。

ＰＳ:２ヶ月ぶりに帝京大病院に診察を受けに行きました。

　これまでは内科診療は心臓や血管が専門の主治医Ｉ先生だけでしたが持病の糖尿病がかなり悪化しているというので今回からＭという糖尿病が専門の女の先生の診療も受けることになりました。

　ところが,先に診察を受けた糖尿病の方で,12時直前に受けた診察で,朝９時半に検査した結果の糖尿病の指標であるヘモグロビン(HbA1C;正常値4.3～5.8）が,前回(５月８日)まで,11くらいもあったのに,8.6と劇的に軽減されていたので,当然インシュリン注射の指導をする予定だったらしい女医が,これまで通りの投薬で様子を見るということになりました。

　空腹時血糖値は200丁度でしたが,これも前回は確か250くらいだったので減っていたし,今日は朝８時頃おにぎりを食べてきたので完全に空腹というわけではありませんでしたた。

　別に何をしたというわけもなく,このところ金がなくて空腹続きだったのが良かったのでしょうか？

　最近,何かしましたか？生活が変わりましたか？等聞かれましたが,相変わらず薬はよく忘れて半分くらいは残っているし,別に,貧乏で肉類が少なく空腹だったくらいです。

　そういえば,先月初め,知り合いに紹介されて面接した秋葉原の「コタラヒムジャパン」http://kothalahim.blog110.fc2.com/blog-entry-9.html という会社が,偶然にも和名「コタラヒム」という名前の糖尿病に効くらしいスリランカの薬草を販売している会社でした。

　そのとき,対面したＳ会長に自分も長年糖尿病である旨を伝えたら,サンプル試供品の「コタラヒム」を20粒程度頂きました。これを思いついたときには食前２錠ずつ飲んでいたのを思い出しました。

　まだ,数粒残っているので,毎日飲んだわけではないようです。

　このことを言ったら,後で診察を受けた糖尿が専門ではない心臓病の主治医は少し興味を持ったようでしたが,糖尿病が専門の医者には「毒かもしれないから,変なものは飲まないように」と言われました。

　私のデータが改善された理由は,十分な比較サンプルもないので,もちろん何の効果かははっきりしないのでしょうが,そもそもインシュリン投与の対症療法しかない糖尿病だし,専門の立場からはイカガわしいもが多いという気持ちはわかりますが,別に私はその会社の回し者ではないので調べるくらいしてもいいのにと思いました。

　(理由は,何でも薬は効きさえすればいいのだと思う。。大きな副作用があれば別ですが。。)

　心臓,血管関係では,２年前のバイパス手術退院当時,上が85～90だった血圧が120と正常になってました。また,退院時52キロだった体重も61キロと戻ってきました。

　しかし,身長が176センチなので,まだまだやせていて太りたいのですが,ここ数年来摂取カロリーが成人標準の半分程度なので,やせるのも仕方ないでしょう。

　だからこそ,食事療法などは無駄だから,インシュリンを投与しろということらしかったのですが。。。

　また,これまで,フラフラして転びやすいのは,主に低血圧のせいと思っていたら,赤血球も正常下限値の８割しかなくて貧血もあるようでした。その他は腎臓が蛋白＋２で少し悪い以外は全て正常値でした。

　念のため,次回はほぼ全部の内臓の超音波(エコー)検査をすることになりました。

　また,４月末にやった両足首の動脈の検査結果から,足の動脈硬化らしいので薬ももらいましたが,来週下半身のＭＲＩ検査をして,場合によっては足の動脈のカテーテルか,バイパス手術もあるらしいです。

　そうだとしても,今度は心臓ではなく足なので危険度ははるかに少ないでしょう。

　糖尿病状態の急激な変化は,たとえ軽癒の場合でも眼底によくないとのことで,同じ日に久しぶりに眼科の診察も受けることになりました。

　こうした検査は人間ドック以上にお金がかかるだろうとはいえ,これまで定期的に受けてきた診察では何もなかったのに５月に病院の建物や施設が新しくなったとたんに,こう色々と出てくるのでは今までは一体何だったんだろう？と思ってしまいます。

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自分のブログにアクセスできませんでした。

　昨日,ココログ(@niftyの全ブログ)のメンテナンスが終わってもココログ・フリーのエラーが出て管理画面へ行けというメッセージが出るけど,どうしても管理画面も表示されなくてイライラしていました。

　実は６月最後の記事書く予定だったのに,どうしようもありませんでした。

　今朝になって,解決策をネット検索していると,前回にもあったとのことで,インターネット・オプションのセキュリティから,cookiesファイルを削除すれば解決されるとのこと。。やってみました。。

　おお,確かに管理画面が出ました。。

　しかし,以前とトップ画面が変わっている？そして,ｎｉｆｔｙのＩＤを入れろと出ているので,@niftyのIDを入れてログインすると,「このIDはブログに登録されていません。」と出ます。

　ウーン。。私は@nifty会員でもあるけれど,そもそもココログ・フリーは@nifty以外の会員が利用できて無料のはず。。

　いつ@nifty会員をやめてもいいように,フリーの方でブログやってるのでした。

　ははあ,@niftyのIDではなくて,今まで通り,ブログ会員のIDかなと入れてみたら通りました。。バカヤローって,やっぱ俺の方が馬鹿なのかな？。。。

PS:保育士の資格を取ろうと思って勉強していたのですが,どうも年齢制限があって,せいぜい29歳くらいまでということらしく,全く無理だとわかりました。

　しかし,発達心理学などには少し興味を感じたし.子供のケガ,病気に関する知識も僅かですが得られたので無駄ではないし,資格に関係なくこれからも続けようと思っています。

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