電磁場の共変的量子化(補遺)

さて,すぐ前に「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書き

ましたが,こうした唐突な主題の記事を全く何の脈絡もなく書く

はずもなく,実は電磁場の共変的量子化におけるＥ関数の意味を

明確にするための公式を得るという目的がありました。

電磁場の共変的量子化では,４次元交換関係などを表現するために,

不変デルタ関数として,

Ｄ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²)

{exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)},

および,

Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)

{exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}

を与えました。

このうち,Ｄ関数Ｄ(ｘ)はD'Alembert方程式□Ｄ＝0 の解であり,

右辺のFourier因子のδ(ｐ²)は有限な関数ｆ(ｐ²)との積として,

非特異な関数としての意味を持ちます。

しかし,Ｅ関数Ｅ(ｘ)のFourier因子(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)は有限な

関数ｆ(ｐ²)との積としても,なお特異な関数です。

ただ,ｐ²ｆ(ｐ²)のような関数との積としては意味を持つ超関数

です。

ところで,中西さんの教科書「場の量子論」で与えられているＥ関数

の定義は,私が直感的考察で与えた表現:

Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)

{exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}

とは若干異なる形をしています。

すなわち,Δ(ｘ,ｍ²)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²)

{exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}に対して,

Ｅ(ｘ)≡－[∂Δ(ｘ,ｍ²)/∂ｍ²]_m=0

＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²)

{exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}

で定義されています。

これら２つのＥ(ｘ)の表現が実は等価であることを見るために,

先の「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書いたのです。

この記事では,1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ)なる公式を

得ましたが,これにｘ＝ｐ²を代入すると,

1/(ｐ²＋iε)＝Ｐ(1/ｐ²)－iπδ(ｐ²)となります。

移項すると,積分核としてのデルタ関数の別の表現として,

iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)なる等式を得ます。

両辺を(ｐ²＋iε)で割ると,iπ(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)

＝Ｐ(1/ｐ²)/(ｐ²＋iε)－1/(ｐ²＋iε)²となります。

一方, iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)の両辺をｐ²で微分

すると,iπδ'(ｐ²)＝－Ｐ{1/(ｐ²)²}＋1/(ｐ²＋iε)²

となります。

そこで,ε→＋0 の極限では,超関数の意味で,

(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)＝－δ'(ｐ²)なる等式が成立することが

わかります。

　したがって,超関数の意味でＥ関数の表現:

　Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)

　{exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}と,

　Ｅ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²)

　{exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}が等価であることが

　示されました。

　(以上)

参考文献:中西襄 著「場の量子論」(培風館)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」

　サブマネージャーです。

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