電磁場の共変的量子化(補遺)

さて,すぐ前に「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書きましたが,こうした唐突な主題の記事を全く何の脈絡もなく書くはずもなく,実は電磁場の共変的量子化におけるＥ関数の意味を明確にするための公式を得るという目的がありました。

電磁場の共変的量子化では,４次元交換関係などを表現するために,不変デルタ関数としてＤ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)},およびＥ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}を与えました。

このうち,Ｄ関数Ｄ(ｘ)はダランベール方程式□Ｄ＝0 の解であり,右辺のフーリエ因子のδ(ｐ²)は有限な関数ｆ(ｐ²)との積として非特異な関数としての意味を持ちます。

しかし,Ｅ関数Ｅ(ｘ)のフーリエ因子(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)は有限な関数ｆ(ｐ²)との積としてはなお特異な関数です。ただ,ｐ²ｆ(ｐ²)のような関数との積としては,意味を持つ超関数です。

ところで,中西さんの教科書「場の量子論」で与えられているＥ関数の定義は,私が直感的考察で与えた表現:Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}とは若干異なる形をしています。

すなわち,Δ(ｘ,ｍ²)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}に対して,Ｅ(ｘ)≡－[∂Δ(ｘ,ｍ²)/∂ｍ²]_m=0＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}で定義されています。

これら２つのＥ(ｘ)の表現が実は等価であることを見るために,先の「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書いたのです。

この記事では,1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ)なる公式を得ましたが,これにｘ＝ｐ²を代入すると1/(ｐ²＋iε)＝Ｐ(1/ｐ²)－iπδ(ｐ²)となります。

移項すると,積分核としてのデルタ関数の別の表現として,iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)なる等式を得ます。

両辺を(ｐ²＋iε)で割ると,iπ(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)/(ｐ²＋iε)－1/(ｐ²＋iε)²となります。

一方, iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)の両辺をｐ²で微分すると,iπδ'(ｐ²)＝－Ｐ{1/(ｐ²)²}＋1/(ｐ²＋iε)²となります。

そこで,ε→＋0 の極限では,超関数の意味で,(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)＝－δ'(ｐ²)なる等式が成立することがわかります。

　したがって,超関数の意味でＥ関数の表現:Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}と,Ｅ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}が等価であることが示されました。(以上)

参考文献:中西襄 著「場の量子論」(培風館)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ－ムページームに跳びます。）

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

Dell-個人のお客様ページ

(Dellの100円パソコン(Mini9)↓私も注文しました。)

 

ヤーマン　プラチナゲルマローラー　1日3分コロコロエステ！ローラー型プラチナ配合美顔器  

　

お売りください。ブックオフオンラインのインターネット買取 展開へ！ ▼コミック　尾田栄一郎 「ONE PIECE（52）」 ▼コミック 「ONE PIECE」をオトナ買い

三国志特集　▼コミック 横山光輝 「三国志全巻セット」 「三国志（文庫版）全巻セット」   「三国志（ワイド版）全巻セット」 　▼書籍 「三国志」/吉川英治   「三国志」/北方謙三   「三国志」/宮城谷昌光