« コーシーの主値(主値積分) | トップページ | ブログ編集作業終了 »

2009年7月 8日 (水)

電磁場の共変的量子化(補遺)

さて,すぐ前に「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書き

したが,こうした唐突な主題の記事を全く何の脈絡もなく書く

はずもなく,実は電磁場の共変的量子化におけるE関数の意味を

明確にするための公式を得るという目的がありました。

 

電磁場の共変的量子化では,4次元交換関係などを表現するために,

不変デルタ関数として,

 

D(x)=-i(2π)-3/2∫d4pθ(p0)δ(p2)

{exp(-ipx)-exp(ipx)},

 

および,

E(x)=i(2π)-3/2∫d4pθ(p0)(p2+iε)-1δ(p2)

{exp(-ipx)-exp(ipx)}

を与えました。

 

このうち,D関数D(x)はD'Alembert方程式□D=0 の解であり,

右辺のFourier因子のδ(p2)は有限な関数f(p2)との積として,

非特異な関数としての意味を持ちます。

 

しかし,E関数E(x)のFourier因子(p2+iε)-1δ(p2)は有限な

関数f(p2)との積としても,なお特異な関数です。

 

ただ,p2f(p2)のような関数との積としては意味を持つ超関数

です。

 

ところで,中西さんの教科書「場の量子論」で与えられているE関数

の定義は,私が直感的考察で与えた表現:

E(x)=i(2π)-3/2∫d4pθ(p0)(p2+iε)-1δ(p2)

{exp(-ipx)-exp(ipx)}

とは若干異なる形をしています。

 

すなわち,Δ(x,m2)=-i(2π)-3/2∫d4pθ(p0)δ(p2-m2)

{exp(-ipx)-exp(ipx)}に対して,

 

E(x)≡-[∂Δ(x,m2)/∂m2]m=0

=-i(2π)-3/2∫d4pθ(p0)δ'(p2)

{exp(-ipx)-exp(ipx)}

で定義されています。

 

これら2つのE(x)の表現が実は等価であることを見るために,

先の「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書いたのです。

 

この記事では,1/(x+iε)=P(1/x)-iπδ(x)なる公式を

得ましたが,これにx=p2を代入すると,

1/(p2+iε)=P(1/p2)-iπδ(p2)となります。

 

移項すると,積分核としてのデルタ関数の別の表現として,

iπδ(p2)=P(1/p2)-1/(p2+iε)なる等式を得ます。

 

両辺を(p2+iε)で割ると,iπ(p2+iε)-1δ(p2)

=P(1/p2)/(p2+iε)-1/(p2+iε)2となります。

 

一方, iπδ(p2)=P(1/p2)-1/(p2+iε)の両辺をp2で微分

すると,iπδ'(p2)=-P{1/(p2)2}+1/(p2+iε)2

となります。

 

そこで,ε→+0 の極限では,超関数の意味で,

(p2+iε)-1δ(p2)=-δ'(p2)なる等式が成立することが

わかります。

 

 したがって,超関数の意味でE関数の表現:

 E(x)=i(2π)-3/2∫d4pθ(p0)(p2+iε)-1δ(p2)

 {exp(-ipx)-exp(ipx)}と,

 E(x)=-i(2π)-3/2∫d4pθ(p0)δ'(p2)

 {exp(-ipx)-exp(ipx)}が等価であることが

 示されました。

 

 (以上)

 

参考文献:中西襄 著「場の量子論」(培風館)

 

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」

 サブマネージャーです。

人気blogランキングへ ← クリックして投票してください。(1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。)

にほんブログ村 科学ブログへ にほんブログ村 科学ブログ 物理学へクリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ-ムページームに跳びます。)

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン!メディエーター巣鴨店」

iconDell-個人のお客様ページ

(Dellの100円パソコン(Mini9)↓私も注文しました。)

デル株式会社

ベルーナネット(RyuRyu)  ベルーナネット

ヤーマン プラチナゲルマローラー 1日3分コロコロエステ!ローラー型プラチナ配合美顔器  

ブックオフオンライン 

お売りください。ブックオフオンラインのインターネット買取 展開へ! ▼コミック 尾田栄一郎 「ONE PIECE(52)」 icon ▼コミック 「ONE PIECE」をオトナ買い icon

三国志特集 ▼コミック 横山光輝 「三国志全巻セット」 icon 「三国志(文庫版)全巻セット」 icon  「三国志(ワイド版)全巻セット」 icon  ▼書籍 「三国志」/吉川英治 icon  「三国志」/北方謙三 icon  「三国志」/宮城谷昌光

iconオンライン書店 boople.com(ブープル)

|

« コーシーの主値(主値積分) | トップページ | ブログ編集作業終了 »

115. 素粒子論」カテゴリの記事

111. 量子論」カテゴリの記事

114 . 場理論・QED」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 電磁場の共変的量子化(補遺):

« コーシーの主値(主値積分) | トップページ | ブログ編集作業終了 »