コーシーの主値(主値積分)

　コーヒー・ブレイクとして,数学のあるショートトピックを

　考察してみます。

　ちょっと思い付きで,コーシー(Cauchy)の主値,あるいは主値積分と

　呼ばれているものを考えます。

　Cauchyの主値というのは,

　実数の区間[ａ,ｂ]で定義された関数ｆ(ｘ)がａ＜ｃ＜ｂなるある点

　ｃで不連続なとき,

　Ｐ∫_a^ｂｆ(ｘ)ｄｘ≡lim_ε→+0[∫_a^c-εｆ(ｘ)ｄｘ＋∫_c+ε^bｆ(ｘ)ｄｘ]

　と定義し,これを主値(積分)(principal value)

　と呼ぶことを指します。

　これは,区間[ａ,ｂ]が無限区間(－∞,∞)で被積分関数が

　ｆ(ｘ)/ｘ (ｆ(ｘ):連続関数)の場合には,

　Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＝lim_ε→+0[∫_|x|≧ε{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ]

　です。

　複素平面上の実軸を含む領域でｆ(ｚ)が正則なとき,

　主値Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘを,複素ｚ平面上のある経路Ｃに

　おける線積分∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚで近似することを考えます。

　Ｃとしては,実軸上の－∞から－εまで真っ直ぐ進み,原点Ｏを回避

　するために,Ｏを中心として半径εの小円で点－εから点εまで時計

　回り(負の向き)にπだけ回る半円経路を加え,さらにεから∞までの

　直線経路を考えたものとします。

つまり,小半円の経路をγ^-とすると,全経路は,

Ｃ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)です。

すると,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ

＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ

と書けます。

ところが,明らかに,

∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝i∫_π⁰ｆ(εexp(iθ))ｄθ

＝－iπｆ(0)です。

それ故,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ

＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0)

なることがわかります。

　被積分関数ｆ(ｚ)/ｚに対し,その特異点であるｚ＝0 付近で

　上半平面方向に歪めた経路Ｃ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)を

　取る代わりに,

　通常の(－∞,∞)の経路のまま,被積分関数の方をｆ(ｚ)/ｚ

　からｆ(ｚ)/(ｚ＋iε)に微修正して,特異点をｚ＝0 から

　下半平面のｚ＝－iεに移すのは,事実上,同等な操作であり,

　同じ積分値を与えるはずです。

　すなわち,∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ＋iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ

　＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0)　です。

　同様な考察から∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ－iε)}ｄｘ

　＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋iπｆ(0)

　も得られます。

　これらの公式を,形式的に,

　1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ), 1/(ｘ－iε)

　＝Ｐ(1/ｘ)＋iπδ(ｘ)　と書きます。

　主値積分については,Cauchyの積分定理を意識して,上半平面や

　下半平面で,半径が∞の半円周を加えた閉じた経路を積分経路Ｃ

　とする説明をよく見かけますが,それは半径が∞の半円周上で積分

　がゼロになるような特別な被積分関数形を要求します。

　留数などを考慮する必要がある場合なら,その方がいいでしょうが,

　上の考察では,関数ｆ(ｚ)がｚ→ ∞でゼロに急減衰すべきであると

　かの条件は全く必要ないのがミソです。

　今日は記憶に頼った短かい覚え書きなので参考文献はありません。

PS:２ヶ月ぶりに帝京大病院に診察を受けに行きました。

　これまでは内科診療は心臓や血管が専門の主治医Ｉ先生だけでした

　が持病の糖尿病がかなり悪化しているというので,今回からＭという

　糖尿病が専門の女の先生の診療も受けることになりました。

　ところが,先に診察を受けた糖尿病の方で,12時直前に受けた診察

　で,朝９時半に検査した結果の糖尿病の指標であるヘモグロビン

　(HbA1C;正常値4.3～5.8）が,前回(５月８日)まで,11くらいもあっ

　たのに,8.6と劇的に軽減されていたので,

　当然インシュリン注射の指導をする予定だったらしい女医が,

　これまで通りの投薬で様子を見るということになりました。

　空腹時血糖値は200丁度でしたが,これも前回は確か250くらい

　だったので減っていたし,今日は朝８時頃おにぎりを食べてきた

　ので完全に空腹というわけではありませんでした。

　別に何をしたというわけもなく,このところ金がなくて空腹続き

　だったのが良かったのでしょうか？

　最近,何かしましたか？生活が変わりましたか？等聞かれましたが,

　相変わらず薬はよく忘れて半分くらいは残っているし,別に,貧乏で

　肉類が少なく空腹だったくらいです。

　そういえば,先月初め,知り合いに紹介されて面接した秋葉原の

「コタラヒムジャパン」という会社

　http://kothalahim.blog110.fc2.com/blog-entry-9.html 

　が,偶然にも和名「コタラヒム」という名前の糖尿病に効くらしい

　スリランカの薬草を販売している会社でした。

　そのとき,対面したＳ会長に自分も長年糖尿病である旨を伝えたら,

　サンプル試供品の「コタラヒム」を20粒程度頂きました。

　これを食前２錠ずつ飲んでいたのを思い出しました。

　まだ,数粒残っているので,毎日飲んだわけではないようです。

　このことを言ったら,後で診察を受けた糖尿が専門ではない

　心臓病の主治医は少し興味を持ったようでしたが,糖尿病が専門の

　医者には「毒かもしれないから,変なものは飲まないように」

　と言われました。

　私のデータが改善された理由は,十分な比較サンプルもないので,

　もちろん何の効果かははっきりしないのでしょうが,そもそも

　インシュリン投与の対症療法しかない糖尿病だし,

　専門の立場からは,イカガわしいモノが多い,という気持ちはわかり

　ますが,別に私はその会社の回し者ではないし,頭から拒否しない

　で調べるくらいしてもいいのに。。と思いました。

　(※その理由は,何でも薬は効きさえすればいいのだと思う。。

　もっとも,大きな副作用があれば別ですが。。)

　心臓,血管関係では,２年前のバイパス手術退院当時,上が85～90

　だった血圧が120と正常になってました。

　また,退院時52キロだった体重も61キロと戻ってきました。

　しかし,身長が176センチなので,まだまだやせていて太りたいの

　ですが,ここ数年来摂取カロリーが成人標準の半分程度なので,

　やせるのも仕方ないでしょう。

　だからこそ,食事療法などは無駄だから,インシュリンを投与しろ

　ということらしかったのですが。。。

　また,これまで,フラフラして転びやすいのは,主に低血圧のせいと

　思っていたら,赤血球も正常下限値の８割しかなくて貧血もあるよ

　うでした。

　その他は腎臓が蛋白＋２で少し悪い以外は全て正常値でした。

　念のため,次回はほぼ全部の内臓の超音波(エコー)検査をすること

　になりました。

　また,４月末にやった両足首の動脈の検査結果から,足の動脈硬化

　らしいので薬ももらいましたが,来週下半身のＭＲＩ検査をして,

　場合によっては足の動脈のカテーテルか,バイパス手術もあるらし

　いです。

　そうだとしても,今度は心臓ではなく足なので危険度ははるかに

　少ないでしょう。

　糖尿病状態の急激な変化は,たとえ軽癒の場合でも眼底によくな

　いとのことで,同じ日に久しぶりに眼科の診察も受けることにな

　りました。

　こうした検査は人間ドック以上にお金がかかるだろうとはいえ,

　これまで定期的に受けてきた診察では何もなかったのに,５月に

　病院の建物や施設が新しくなったとたんに,こう色々と出てくる

　のでは今までは一体何だったんだろう？と思ってしまいます。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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