コーシーの主値(主値積分): TOSHIの宇宙

2009年7月 4日 (土)

コーシーの主値(主値積分)

　　コーヒー・ブレイクとして,数学のショートトピックを考察してみます。

　ちょっと思い付きで,コーシー(Cauchy)の主値,あるいは主値積分と呼ばれているものを考えます。

　コーシーの主値というのは,実数の区間[ａ,ｂ]で定義された関数ｆ(ｘ)がａ＜ｃ＜ｂなるある点ｃで不連続なとき,Ｐ∫_a^ｂｆ(ｘ)ｄｘ≡lim_ε→+0[∫_a^c-εｆ(ｘ)ｄｘ＋∫_c+ε^bｆ(ｘ)ｄｘ]と定義して,これを主値(積分)(principal value)と呼ぶことを指します。

　これは,区間[ａ,ｂ]が無限区間(－∞,∞)で被積分関数がｆ(ｘ)/ｘ (ｆ(ｘ):連続関数)の場合には,Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＝lim_ε→+0[∫_|x|≧ε{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ]です。

　複素平面上の実軸を含む領域でｆ(ｚ)が正則なとき,主値Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘを,複素ｚ平面上のある経路Ｃにおける線積分∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚで近似することを考えます。

Ｃとしては,実軸上の－∞から－εまで真っ直ぐ進み,原点Ｏを回避するために,Ｏを中心として半径εの小円で点－εから点εまで時計回り(負の向き)にπだけ回る半円経路を加え,さらにεから∞までの直線経路を考えたものとします。

つまり,小半円の経路をγ^-とすると,全経路はＣ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)です。

すると,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚと書けます。

ところが,明らかに∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝i∫_π⁰ｆ(εexp(iθ))ｄθ＝－iπｆ(0)です。

　それ故,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0) なることがわかります。

　被積分関数ｆ(ｚ)/ｚに対し,その特異点であるｚ＝0 付近で上半平面方向に歪めた経路Ｃ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)を取る代わりに,通常の(－∞,∞)の経路のまま,被積分関数の方をｆ(ｚ)/ｚからｆ(ｚ)/(ｚ＋iε)に微修正して,特異点をｚ＝0 から下半平面のｚ＝－iεに移すのは,事実上,同等な操作であり,同じ積分値を与えるはずです。

　すなわち,∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ＋iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0)です。

　同様な考察から∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ－iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋iπｆ(0)も得られます。

　これらの公式を,形式的に1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ), 1/(ｘ－iε)＝Ｐ(1/ｘ)＋iπδ(ｘ)と書きます。

　主値積分については,コーシーの積分定理を意識して,上半平面や下半平面で,半径が∞の半円周を加えた閉じた経路を積分経路Ｃとする説明をよく見かけますが,それは半径が∞の半円周上で積分がゼロになるような特別な被積分関数形を要求します。

　留数などを考慮する必要がある場合なら,その方がいいでしょうが,上の考察では,関数ｆ(ｚ)がｚ→ ∞でゼロに急減衰すべきであるとかの条件は全く必要ないのがミソです。

　今日は記憶に頼った短かい覚え書きなので参考文献はありません。

ＰＳ:２ヶ月ぶりに帝京大病院に診察を受けに行きました。

　これまでは内科診療は心臓や血管が専門の主治医Ｉ先生だけでしたが持病の糖尿病がかなり悪化しているというので今回からＭという糖尿病が専門の女の先生の診療も受けることになりました。

　ところが,先に診察を受けた糖尿病の方で,12時直前に受けた診察で,朝９時半に検査した結果の糖尿病の指標であるヘモグロビン(HbA1C;正常値4.3～5.8）が,前回(５月８日)まで,11くらいもあったのに,8.6と劇的に軽減されていたので,当然インシュリン注射の指導をする予定だったらしい女医が,これまで通りの投薬で様子を見るということになりました。

　空腹時血糖値は200丁度でしたが,これも前回は確か250くらいだったので減っていたし,今日は朝８時頃おにぎりを食べてきたので完全に空腹というわけではありませんでしたた。

　別に何をしたというわけもなく,このところ金がなくて空腹続きだったのが良かったのでしょうか？

　最近,何かしましたか？生活が変わりましたか？等聞かれましたが,相変わらず薬はよく忘れて半分くらいは残っているし,別に,貧乏で肉類が少なく空腹だったくらいです。

　そういえば,先月初め,知り合いに紹介されて面接した秋葉原の「コタラヒムジャパン」http://kothalahim.blog110.fc2.com/blog-entry-9.html という会社が,偶然にも和名「コタラヒム」という名前の糖尿病に効くらしいスリランカの薬草を販売している会社でした。

　そのとき,対面したＳ会長に自分も長年糖尿病である旨を伝えたら,サンプル試供品の「コタラヒム」を20粒程度頂きました。これを思いついたときには食前２錠ずつ飲んでいたのを思い出しました。

　まだ,数粒残っているので,毎日飲んだわけではないようです。

　このことを言ったら,後で診察を受けた糖尿が専門ではない心臓病の主治医は少し興味を持ったようでしたが,糖尿病が専門の医者には「毒かもしれないから,変なものは飲まないように」と言われました。

　私のデータが改善された理由は,十分な比較サンプルもないので,もちろん何の効果かははっきりしないのでしょうが,そもそもインシュリン投与の対症療法しかない糖尿病だし,専門の立場からはイカガわしいもが多いという気持ちはわかりますが,別に私はその会社の回し者ではないので調べるくらいしてもいいのにと思いました。

　(理由は,何でも薬は効きさえすればいいのだと思う。。大きな副作用があれば別ですが。。)

　心臓,血管関係では,２年前のバイパス手術退院当時,上が85～90だった血圧が120と正常になってました。また,退院時52キロだった体重も61キロと戻ってきました。

　しかし,身長が176センチなので,まだまだやせていて太りたいのですが,ここ数年来摂取カロリーが成人標準の半分程度なので,やせるのも仕方ないでしょう。

　だからこそ,食事療法などは無駄だから,インシュリンを投与しろということらしかったのですが。。。

　また,これまで,フラフラして転びやすいのは,主に低血圧のせいと思っていたら,赤血球も正常下限値の８割しかなくて貧血もあるようでした。その他は腎臓が蛋白＋２で少し悪い以外は全て正常値でした。

　念のため,次回はほぼ全部の内臓の超音波(エコー)検査をすることになりました。

　また,４月末にやった両足首の動脈の検査結果から,足の動脈硬化らしいので薬ももらいましたが,来週下半身のＭＲＩ検査をして,場合によっては足の動脈のカテーテルか,バイパス手術もあるらしいです。

　そうだとしても,今度は心臓ではなく足なので危険度ははるかに少ないでしょう。

　糖尿病状態の急激な変化は,たとえ軽癒の場合でも眼底によくないとのことで,同じ日に久しぶりに眼科の診察も受けることになりました。

　こうした検査は人間ドック以上にお金がかかるだろうとはいえ,これまで定期的に受けてきた診察では何もなかったのに５月に病院の建物や施設が新しくなったとたんに,こう色々と出てくるのでは今までは一体何だったんだろう？と思ってしまいます。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。