束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(8): TOSHIの宇宙

2009年8月10日 (月)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(8)

　色々あって,ずいぶん間が開きましたが,"束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter方程式)＝Ｂ-Ｓ.eq."シリーズの続きです。

§6.ウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky model)の途中から再開継続する予定でしたが,その前に是非必要な中西先生自身のオリジナルとして得られたＢ-Ｓ振幅の積分表示を解説したいと思います。

前記事2009年３/30の「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(7）」では,Ｂ-Ｓ振幅の積分表示式について,根拠を示すことなく論文の内容をそのまま書きました。

　"一般に,Ｂ-Ｓ振幅は∫_-1¹ｄｚ∫₀^∞ｄγ[φ(ｚ,γ,ｐ,Ｐ)/{γ＋(1＋ｚ)(ｍ_a²－ｖ)/2＋(1－ｚ)(ｍ_b²－ｗ)/2－iε}²]と表現されます。ここで,φは多項式的にｐ＝ｐ^μに依存します。

この積分の被積分関数の分母は,ｐ⁰＝0 で(－iε)を除いて正定値,すなわち,Wick回転の結果,|Ｐ⁰|＜min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|)を満たすなら,如何なる特異点に遭遇することもなくｐ⁰について必要な解析性を得ることができます。

ここでは,もはやｓ≧0 なる物理的制約もないことがわかります。"

と書きました。ただし,ｖ≡(η_aＰ＋ｐ)²,ｗ≡(η_bＰ－ｐ)²です。

以下では,これの根拠を示します。

まず,通常のミンコフスキー(Minkowski)空間での束縛状態の"はしご近似(ladder approximation)"でのＢ-Ｓ.eq.:{ｍ_a²－(η_aＰ＋ｐ)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ－ｐ)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]を考えます。

慣性中心系:Ｐ＝0で,ミンコフスキー空間の４元ベクトルｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)をユークリッド空間の４元ベクトルｐ~^μ＝(ｐ,ｐ⁴)etc.で表現すれば,Ｂ-Ｓ.eq.が{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]とユークリッド化されることを見ました。

これが,Wick回転の意味するところです。

さて,2009年２/７の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(4）」では,次のように書きました。

(※再掲開始)

Nakanishi(中西;1965)は,小群(little group)の体調和関数(solid harmonics)の概念を導入しました。

ｎ重に縮退した束縛状態のＢ-Ｓ振幅は,φ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)＝＜0|Ｔ[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞,(ｒ＝1,2,..,ｎ)で与えられますが,これはポアンカレ群,すなわち非斉次ローレンツ群の有限次元表現の表現空間を形成します。

空間反転,時間反転を含む斉次ローレンツ変換の群をＬとします。

ローレンツ変換の部分集合として,Ｐ＝Ｐ^μ＝(Ｐ⁰,Ｐ)を不変に保つ部分群Ｌ(Ｐ)をＬ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}で定義します。Ｌ(Ｐ)は,いわゆるＰに属する小群と呼ばれるもので,ウィグナー(Wigner)の導入したものです。

Ｂ-Ｓ振幅の運動量表示:φ_Br(ｐ,Ｐ_B)はΛＰ_B＝Ｐ_Bを満足するＬ(Ｐ_B)の元Λに対してのみ相互に変換できます。

これは,{φ_Br(ｐ,Ｐ_B)}_r=1ⁿがＬ(Ｐ_B)の表現空間の基底であることを意味します。

Ｌ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}は次のようなＰ依存性を持ちます。(以下では,ｓ＝Ｐ²＝(Ｐ⁰)²－Ｐ²です。)

[1]Ｐ^μが時間的(time-like):ｓ＞0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(3)です。

(※何故なら,このときはＰ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)と取れば,明らかにＬ(Ｐ)は通常の３次元空間の回転群Ｏ(3)を意味します。)

[2]Ｐ^μが空間的(space-like):ｓ＜0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(2,1)です。

[3]Ｐ^μ≡0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(3,1)＝Ｌ全体です。

[4]Ｐ^μが光的(light-like):ｓ＝0 ならＬ(Ｐ)～Ｅ(2)です。

(※(訳注):光のようにｍ＝0 なら,Ｐ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)とは取れないので,ｓ＝0 を満たすようにＰ^μ≡(1,0,0,1)と取れば,Ｌ(Ｐ)は自由度が２の回転群:Ｅ(2)(２次元ユークリッド群)になります。)

そして,通常の体球関数の定義を一般化することにより,次のようにして小群Ｌ(Ｐ)の体調和関数Ｘ_l(ｐ)を定義します。

Ｘ_l(ｐ)は,(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0,およびＰ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 を同時に満足するｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式とします。

固定されたｌに対して,Ｘ_l(ｐ)の全体はＬ(Ｐ)の有限次元既約表現の空間を張ることが容易にわかります。

ここで,Ｐ^μは反変ベクトル,∂/∂ｐ^μは共変ベクトルです。

Ｐ^μ∂/∂ｐ^μ≡Ｐ⁰∂/∂ｐ⁰＋Ｐ¹∂/∂ｐ¹＋Ｐ²∂/∂ｐ²＋Ｐ³∂/∂ｐ³ですが,Ｘ_l(ｐ)はｐ^μのｌ次の同次式です。対称性から,これはｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝ｌＸ_l(ｐ)なる不変な等式を満たします。

まず,特殊なローレンツ系でＸ_l(ｐ)の標準形を求めます。

[1] ｓ＞0 の場合:Ｐ^μ≡(√ｓ, 0)とします。

　このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 から,√ｓ(∂/∂ｐ⁰)Ｘ_l(ｐ)＝0 により,Ｘ_l(ｐ)はｐ⁰に依存しないことがわかります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

そこで,この準拠系では(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0 はラプラス方程式:∇_p²Ｘ_l(ｐ)＝0 になります。故に,Ｘ_l(ｐ)の定義は通常の球関数Ｙ_lm(ｐ)と一致します。

このＹ_lm(ｐ)は,定係数を除いて|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)と同じ関数です。

ここに,θ,φはｐの極座標です。そしてＹ_lm(θ,φ)は通常の球面調和関数(球関数)です。

　このＹ_lm(ｐ)はゲーゲンバウアー(Gegenbauer)多項式:Ｃ_k^α(ｚ)によって表現するのも便利です。

すなわち,Ｙ_lm(ｐ)＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{(4π)(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2(2|ｍ|－1)!!(ｐ¹±iｐ²)^|m||ｐ|^l-mＣ_l-|m|^|m|+1/2(ｐ³/|ｐ|) (ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,..,ｌ)ですね。

ただし,±iはｍ/|ｍ|を意味し(2ｋ－1)!!はΠ_j=1^k(2ｊ－1)によって定義されます。

規格化因子はゲーゲンバウアー多項式の直交性:∫_-1¹ｄｚ(1－ｚ²)^α-1/2Ｃ_k^α(ｚ)Ｃ_k’^α(ｚ)＝πΓ(2α＋ｋ)δ_kk’/{2^2α-1ｋ!(α＋ｋ)Γ(α)²}から計算されます。(再掲終わり※)

　以上から,ｓ＞0 ではＰ^μ≡(√ｓ, 0)におけるユークリッド化された部分波Ｂ-Ｓ振幅を体調和関数としてφ~_νLlm(ｐ~,Ｐ)＝Ｙ_lm(θ,φ)|ｐ|^-1ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)(Ｌ≧ｌ≧|ｍ|)と書けることがわかります。

　このφ~_νLlm(ｐ~,Ｐ)を,先に書いたＢ-Ｓeq:{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]に,両辺のφ~_Br(ｐ~,Ｐ)に代わる因子として代入します。

　すると,部分波のＢ-Ｓeq.として,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)が得られます。

　ここで,Ｑ_l(ｚ)は第２種のルジャンドル(Legendre)関数で,ｚ→∞ではｚ^-l-1のように挙動します。第１種のルジャンドル関数(ルジャンドル多項式)Ｐ_l(ｚ)とはＱ_l(ｚ)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}によって関連付けられます。

(※訳注):右辺のうち,ｐ'空間全体の積分は,∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|²∫_-1¹ｄ(cosθ')∫₀^2πｄφ'Ｙ_lm(θ',φ')|ｐ'|^-1ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)/[μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|{cosθcosθ'＋ sinθsinsθ'cos(φ－φ')}]です。

ここで,具体的に,球関数をＹ_lm(θ,φ)≡Ｃ_lmexp(iｍφ)Ｐ_l^(m)(cosθ)(Ｐ_l^(m)(ｚ)はルジャンドル陪関数,Ｃ_lmは規格化定数)と表現し,また極軸(θ＝0)をｐの向きに取ると,上の積分はＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄ(cosθ')∫₀^2πｄφ'exp(iｍφ')Ｐ_l^(m)(cosθ')/[μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|cosθ']です。

ところが,右辺のｄφ'積分がゼロでない結果を与えるのはｍ＝0 のときのみであり,そのとき,Ｐ_l^(m)(ｚ)は第１種のルジャンドル関数Ｐ_l(ｚ)になります。

そこで,上の積分は,2πＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄζ[Ｐ_l(ζ)/{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|ζ}＝2πＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|(2|ｐ||ｐ'|)^-1ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}＝2πＣ_lm|ｐ|^-1∫₀^∞ｄ|ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)Ｑ_l(ｚ)}に帰着します。

ただし,最後の式ではｚ≡{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)と置きました。

　よって,Ｂ-Ｓ.eq.{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]に代入して,両辺に共通なＣ_lm|ｐ|^-1などの因子を簡約した結果,次式を得ます。

すなわち,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞∫ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)です。(訳注終わり※)

　さて,積分方程式:{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞∫ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)の右辺の核(kernel)のトレース(trace)は有限です。

　そこで,この積分方程式には,古典Fredholm理論を適用できます。

　実際,固有値λ_νLl(ｓ)を除く積分核の部分のトレースを,σ_l(ｓ)と書けば,これは収束する積分で与えられます。

すなわち,σ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])です。

これから,幾つかの操作の後に,σ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[ｘ₃'δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃μ²－ｘ₃ｘ₁ｍ_a²－ｘ₂ｘ₃ｍ_b²－ｘ₁ｘ₂ｓ)]なる表現式が得られます。

これは,ｘ₃'を除けば,正確に三角グラフに対する質量殻上のFeymanパラメーター積分に対応しています。

(※訳注):Feymanパラメーター積分の公式:(ＡＢＣ)^-1＝2∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂＋Ｃｘ₃)³]から,σ_l(ｓ)＝(4/π)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴[ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}]^-3と書けます。

右辺の被積分関数の分母の[ ]の中は,ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}＝ｘ₁(ｍ_a²＋|ｐ|²)＋ｘ₂(ｍ_b²＋|ｐ|²)＋(ｘ₁＋ｘ₂){ｐ⁴－i√ｓ(ｘ₁η_a－ｘ₂η_b)/(ｘ₁＋ｘ₂)}²－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}です。

そして,定積分の式∫_-∞^∞ｄｘ[(ｘ－ｃ)²＋Ａ²]}^-3＝(3π/8)Ａ^-5を用いて∫_-∞^∞ｄｐ⁴積分を実行すれば,σ_l(ｓ)＝(3/2)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1/2∫₀^∞ｄ|ｐ|[{ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)＋(ｘ₁＋ｘ₂)|ｐ|²＋ｘ₃μ²/(2|ｐ|²)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)}^-5/2]となります。

さらに,∫₀^∞ｄｘ(ａｘ²＋ｂ＋ｃ/ｘ²)^-5/2＝∫₀^∞ｄｘ[ｘ⁵/(ａｘ⁴＋ｂｘ²＋ｃ)^5/2]＝(1/2)∫₀^∞ｄｔ[ｔ²/(ａｔ²＋ｂｔ＋ｃ)^5/2]＝(2/3)ａ^-1/2{ｂ－(4ａｃ)^1/2}^-2を用いて∫₀^∞ｄ|ｐ|積分を実行します。

すると,σ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1[ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)－{2(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ₃μ²}^1/2]^-2が得られます。

因子δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)があるので,被積分関数の中では(ｘ₁＋ｘ₂)を(1－ｘ₃)と同一視することもできます。(Pending)

途中ですが今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

ＰＳ:上の本文で結構苦労して考えている計算も中西さんの1963年のphys.Levの元論文や関連文献のコピーをネットで購入できるお金があればはるかに簡単なのですが。。。

　ワザワザ永田町の国会図書館まで足を運ぶのも面倒だし。。あるいは,知り合いの大学関係者に気軽に研究室の図書館からコピーを頼めればいいのですが。。。

ＰＳ２:今朝(８月10日(月))は,いつもの病院で初めて外科の先生に診てもらいました。(初診のＫ先生は若い頃の将棋の中原名人のようなかわいい顔の人なつこい印象の人でした。)

　２年前の心臓手術当時の,以前の内科の主治医がよく「Ｔさんが思っているのとは違って,本当はいつ逝ってもオカシクない瀬戸際なんですよ。」と言ってたように,私が思っている以上に病気はヒドイというのが真実らしく,今回も動脈硬化の足の血管を外科的に助けようとすると逆に心臓が助からないので奨めないということでした。

　足と心臓のどちらを助けるか選べと言われて,足を取るバカもいないでしょうね。足の方を選んだら命がないのですから。。

　というわけで,血管が細すぎて無理だと言われたカテーテルも含め外科的な方法はあきらめることにしました。

　また,骨髄から取った遺伝子を注射するという白血病で用いるような方法も糖尿性網膜症があるのでできないそうです。(これも失明しても良ければ可能でしょうから,いずれも究極の選択ですね。)

　要するに足が全く無くなるなら別に心臓には負担かからないけれど,足の血流を急に正常にしたなら,それを維持できるほどの心臓のポンプの能力がないので,現状の心臓では耐えられないということです。

　むしろ,今現在は足に血を通わせないおかげで,心臓がポンプとして持っているということらしいです。

　内科的には,現在の薬物投与を効率的な点滴による投薬に変更するために入院する方法はあるけれど,血流を改善するバイパスのような外科手術には耐えられないので,日常的に足が痛いのを我慢してセッセと歩くことで,心臓と共存できる自然な血管細胞の再生を促すという方法があるくらいだそうです。

　私にたくさん蓄えがあるとか身内が裕福とかで,ただ命を永らえる手段だけを模索して,ノンビリ湯治でもできる楽隠居の身分ならいいのですが。。。。

　生憎く私は性格がアリさんでなくキリギリスであったせいで(現在もそうです)日々の生活の糧を得るためには,病気という理由で遊んでいるわけにもいかないので,飯を食べるのにも窮々としています。

　もっとも,楽しいことが全然なくて苦しいだけの生活なら,別に命を永らえる必要もないですがね。。。

　(↑フン,病気になったのも金がないのも自業自得だぜ!!)

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