積分方程式(1)(導入)

　まず,本記事を書くに至った動機として,これまで書いてきた「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式」(1)～(9)のシリーズ記事の中で,特に「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(1）」の内容を抜粋して要約します。

　※(要約):

　ベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter equation),略してＢ-Ｓ.eq.はａ,ｂ２粒子の散乱の４点グリーン関数Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)φ_a^＋(ｙ_a)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞に対し,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)I(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)で与えられる積分方程式です。

　ただし,⊿_F'(ｘ－ｙ)は修正された(真の)伝播関数(２点グリーン関数)で,一般にスカラー場φ(ｘ)に対しては⊿_F'(ｘ－ｙ)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ^＋(ｙ))|0＞で定義されます。ＴはＴ積(時間順序積)です。

また,Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)は,４点グリーン関数Ｇから４つの"粒子外線＝外部伝播関数"を切り離した"相互作用のblob＝(ａ＋ｂ)中間状態"の中から２つの"内線＝伝播関数"を除くだけでは互いに素な２つの部分に分割不可能な固有グラフ,つまり"２粒子既約部分＝(ａ＋ｂ)-既約な積分核"の部分です。

理論は平行移動不変なので,"平行移動の生成子(generators)＝２粒子ａ,ｂの総４元運動量Ｐ^^μ"が存在して,φ_α(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ_α(0)exp(－iＰ^ｘ),φ_α^＋(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ_α^＋(0)exp(－iＰ^ｘ)(α＝ａ,ｂ),Ｐ^^μ|0＞＝0です。

Ｔ積の性質から,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)はｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,ｘ_a－ｙ_a,ｘ_b－ｙ_b,ｘ_a－ｙ_b,ｘ_b－ｙ_aなる全ての座標の差の関数であることがわかります。これらのうち,独立なものを１次結合で作ります。 

結局,ｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)(η_a,η_bはη_a＋η_b＝1の任意に固定した実定数)で与えられる３つの変数が独立であることがわかります。

そして,Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)もＧと同様ｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)の関数です。

結局,Ｂ-Ｓ.eq.は運動量表示ではＧ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)＋⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ),または[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)となります。

これは,記号的にはＫＧ＝1＋IＧと書けます。

しかし,この簡単な等式が実は"時空座標表示＝ｘ-表示"での積分方程式Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)Ｉ(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)を意味しています。(要約終わり)※

量子論の基本方程式は,定常状態ならハミルトニアンをＨとしてエネルギーの固有値方程式:Ｈ|ψ>＝Ｅ|ψ＞で与えられますが,これはｘ表示ではＨは線形微分作用素(演算子),ψはｘの関数(波動関数)ψ(ｘ)となり,Ｈψ＝Ｅψなる形の微分方程式となります。

つまり,ｘ表示の量子論の方程式は,一般にＬを線形微分作用素,λを固有値とするｘの関数φ＝φ(ｘ)に対する線形微分方程式Ｌφ＝λφの形をしています。

そして,通常のＬの逆作用素Ｌ^-1が存在する場合には,微分方程式:Ｌφ＝λφは形式的に解くことができて,φ＝ｆ＋λＬ^-1φなる形の解を得ることができます。 

Ｌが微分作用素なのでＬ^-1は微分の逆演算である積分作用素です。したがって,φ＝ｆ＋λＬ^-1φは積分方程式(integral equation)です。 

結局,線形微分方程式:Ｌφ＝λφの初期値-境界値問題を解くと,常に積分方程式φ＝ｆ＋λＬ^-1φが得られます。逆に,これを微分すると元の微分方程式を得ます。

すなわち,元々は抽象ヒルベルト空間のべクトルに作用する作用素としての形で表現されたＬ|φ>＝λ|φ＞なる固有値方程式を,位置座標表示や運動量表示など種々の表示で表現したとき,これは微分方程式にも積分方程式にも表現できて,両者は等価です。

(微分方程式と積分方程式の表現は互いに逆問題ともいわれます。)

Ｌは系のある対称性変換に対する不変性に関わるネーター(Noether)保存量であって,この変換の生成子に相当します。

これらは一般に現実の時空の対称性である時間,空間の一様性に関わる平行移動変換群の生成子としてのハミルトニアン(エネルギー)と運動量,また,空間の等方性(回転群)に関わる生成子としての角運動量,

そして,内部空間である荷電空間(アイソスピン空間)の回転群の生成子である電荷(アイソスピン)などのように常に観測可能な物理量(obserbavle)に対応しています。

数学という側面で見ると,結局,"量子論というのは表示と表示の間の変換性がその本質であって表示と変換の理論である。"というように結論して,大風呂敷を広げることもできます。

実際,量子論の基礎を学んでいくと,我々は知らず知らずのうちにヒルベルト空間やバナッハ空間など状態空間を与える線形空間のベクトルとそれに作用する線形作用素に関し,固有ベクトルによるスペクトル展開などの拡張されたフーリエ理論や超関数と関わる関数解析という数学の１分野に慣れ親しむようになっています。

そして,状態空間のベクトルのｘ表示では固有値方程式はシュレーディンガー,ディラック,クライン・ゴルドンなどを含む線形偏微分方程式になり,それらの境界値問題を解くのが量子論の主要問題になります。

そして,線形微分方程式を定める線形微分作用素(線形演算子)の超関数的な逆作用素(逆演算子:inverse)をグリーン関数を積分核(kernel)として積分表現をする手法などに慣らされているので,偏微分方程式と等価に見える積分方程式についても,その基礎理論や解法についてわかっているつもりになっていました。

しかし,最近,Ｂ-Ｓ.eq.やその関連の論文を読む中で,単なる計算式のチェックに何日もかかり遅々として進まないのは,実はVorterra型やFredholm型など積分方程式関連の基本的事項について,私自身が本格的に勉強したことがなく理解できてないことがその原因ではないか？と思い当たる節があったので,少しの間,数学に寄り道をして積分方程式を真剣に学ぼうと思ったわけです。

そこで,積ん読で読んだことがないと記憶していますが比較的物理数学に近くて古い記述の,吉田耕作著の岩波全書「積分方程式の解法」を所持していたことを思い出して自分の本棚を探して見ました。

しかし,どうもこれも古本屋に売ってしまったらしく,取り合えず手元にあった上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版)というやや現代数学的色彩の本を参照することにしました。

まず,積分方程式の起源としてアーベル(Abel)が1823～1826年頃に扱ったという積分方程式から見てみます。

これは,∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ) (ａ＜ｘ＜ｂ)という方程式です。これをアーベルの積分方程式,またはアーベル型の積分方程式といいます。

ただし,方程式の対象である未知関数はφ(ｘ)であり,ｆ(ｘ)は予め与えられた既知の関数です。

また,パラメータαは 0＜α＜1を満たすある定数で,一方ａ,ｂは－∞＜ａ＜ｂ≦∞を満たします。

これは,アーベルに従えば次のようにして解けることがわかります。

まず,∫_a^xｄｙ/(ｘ－ｙ)^α∫_a^yｄｚ{φ(ｚ)/(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}と変形します。

左辺でｙとｚの積分順序を交換すれば,∫_a^xｄｚφ(ｚ)∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となります。

さらに,∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}において積分変数をｙからζ＝(ｙ－ｚ)/(ｘ－ｚ)に置換すると,ｄζ＝ｄｙ/(ｘ－ｚ)であり,ｙのｚ→ｘの変動に対してζは0→1と変動します。

結局,具体的計算結果として∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫₀¹ｄζ/{(1－ζ)^αζ^1-α}＝Β(α,1－α)を得ます。

ここで,Β(ｘ,ｙ)はオイラー(Euler)のベータ関数でΒ(ｘ,ｙ)≡∫₀¹{ｔ^x-1(1－ｔ)^y-1}＝Β(ｙ,ｘ)＝Γ(ｘ)Γ(ｙ)/Γ(ｘ＋ｙ)で定義されます。Γ(ｘ)はオイラーのガンマ関数です。

したがって,元の積分方程式はΒ(α,1－α)∫_a^xｄｚφ(ｚ)＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となります。

すなわち,φ(ｘ)＝{Β(α,1－α)}^-1(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}]となって,解φの表式を得ることができます。

ただし,右辺の積分式とその微分が有限に確定するためにはｆ(ｘ)に何らかの条件が必要です。

ｆが十分滑らかな関数なら,部分積分により(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}]＝ｆ(ａ)/(ｘ－ａ)^α＋∫_a^xｄｙ{ｆ'(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となることが期待されます。ｆ'はｆの導関数(微分係数)です。

以上がアーベルの積分方程式の解法です。 

アーベルにとって,これは次の問題が動機であったらしいです。

すなわち,"ある質点が曲線Ｃに沿って,そのＣ上のある点Ａから定点Ｏまで初速ゼロで重力のみの作用を受けて摩擦なしで滑り降りるときの所要時間Ｔが与えられたとき,この曲線Ｃを決定するにはどうしたらよいか？"という物理学の問題です。

(例えば,曲線Ｃがある角度で傾いた斜面を表わす直線なら,Ｔは高校物理でも習うような斜面を滑り降りる物体が頂上から下に到達する時間だし,また錘を糸の先につけた振り子ならＣは糸の長さＬを半径とする円であって,Ｔは振り子の周期に関係する時間ですね。)

ｙｚ平面(ｚが水平方向,ｙが鉛直高さ方向)の上の曲線Ｃがｚ＝ψ(ｙ)で表わされるとし,点Ａの高さをｘとします。時刻ｔにおいて質量がｍの質点(ｙ(ｔ),ｚ(ｔ))の速度はｖ(ｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ｄｚ/ｄｔ)なので速さはｖ(ｔ)＝{(ｄｙ/ｄｔ)²＋(ｄｚ/ｄｔ)²}^1/2です。

重力加速度をｇとすると,最初の時刻ｔ＝0 ではｙ(ｔ)＝ｘで初速がｖ(ｔ)＝0 なので,この重力による運動でのエネルギーの保存則は(1/2)ｍｖ(ｔ)²＝ｍｇ{ｘ－ｙ(ｔ)}となります。

一方,速度ベクトルは曲線Ｃ:ｚ＝ψ(ｙ)の上ではｖ(ｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ｄｚ/ｄｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ψ'(ｙ)(ｄｙ/ｄｔ))です。

そこで,ｖ(ｔ)²＝(ｄｙ/ｄｔ)²＋(ｄｚ/ｄｔ)²＝{1＋ψ'(ｙ)²}(ｄｙ/ｄｔ)²によって{1＋ψ'(ｙ)²}(ｄｙ/ｄｔ)²＝2ｇ(ｘ－ｙ)です。

それ故,ｄｙ/ｄｔ＝－{2ｇ(ｘ－ｙ)}^1/2/{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2,またはｄｔ＝－[{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/{2ｇ(ｘ－ｙ)}]^1/2ｄｙです。

そこで,到達すべき終点Ｏの高さをａとすると,Ｔ＝∫_a^xｄｙ[{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/{2ｇ(ｘ－ｙ)}]^1/2と書けます。

この式は,始点Ａを曲線Ｃ上の任意の点と考えて所要時間ＴをＡの高さｘの関数ｆ(ｘ)に書き直し,関数φをφ(ｙ)≡{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/(2ｇ)^1/2と定義すれば∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2＝ｆ(ｘ)になります。

こうして結局,アーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)のα＝1/2とした特別な場合に当たることがわかります。

故に,これの解はφ(ｘ)＝{Β(1/2,1/2)}^-1(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}＝π(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}]＝πｆ(ａ)/(ｘ－ａ)^1/2＋π∫_a^xｄｙ{ｆ'(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}ですね。

ただし,ｙｚ平面上の曲線ｚ＝ψ(ｙ)の表現という形式にこだわるなら,ｚ＝φ(ｙ)＝{Β(1/2,1/2)}^-1(ｄ/ｄｙ)[∫_a^yｄｗ{ｆ(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}＝π(ｄ/ｄｙ)[∫_a^yｄｗ{ｆ(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}＝πｆ(ａ)/(ｙ－ａ)^1/2＋π∫_a^yｄｗ{ｆ'(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}と書くべきかも知れません。

物理学では,"時間Ｔ＝ｆ(ｘ)が最小になる曲線Ｃを決定する。"という有名な"最速降下線の問題"があって,設定はアーベルのそれとよく似ていますが,こちらの方は"最小作用の定理"などと同じく変分の問題でラグランジュ方程式を作って解くのと同じような方法で解くことができて,解はサイクロイド(cycloid)曲線になることがわかっています。

ちなみに,極座標での角度がθ＝0 のときの初期高さがＡのサイクロイド曲線はｙｚ平面ではｚ＝Ａ(θ－sinθ),ｙ＝Ａ(1－cosθ)です。

サイクロイド曲線Ｃは,ｚ＝ψ(ｙ)なる表現ではＣ上の各点における勾配がψ'(ｙ)＝ｄｚ/ｄｙ＝(1－cosθ)/sinθを満たしています。

積分方程式の導入(introduction),または考察の動機を述べることが中心の記事ということで今日はここまでにします。

現在Pendingになっているベーテ・サルピーターの方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)関連の話題の続きは積分方程式の話が終わってからにします。

参考文献:上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版),Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation",Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

PS:選挙が終わって民主党大勝の８/31(月)朝の感想です。

　今の,衆議院選挙でのある意味で政権交代が起こりやすく大政党候補者のみに有利な小選挙区に,真逆の,ある意味で投票者の死に票がほとんど生じなくて票が公平に反映されますが小党が乱立当選して議事表決がままならず法案が決まりにくい"大選挙区＝比例代表区"を少し加えたような選挙制で勝ち負けがはっきり決まって,一方的になるというケースを２度続けて見ました。

　しかし,過ぎたるは及ばざるがごとし,いっそのこと元の両方折衷のなつかしい中選挙区だけに戻した方がベターなのじゃないでしょうか？

　もっとも,私の本音は選挙制度を知ったばかりの昔から,その欠点を承知の上で選挙するなら完全な意味での"大選挙区＝比例代表区"だけでいいという思想ですが。。。

　いずれにしろ,水を差すようですが"権力を握ればそれは必ず腐敗する。"(←トロツキーの永久革命論？)ので,長期にならないように交代する,あるいは有権者が交代させることが必要でしょう。

　自民党だって,これほど長期でなければ腐敗とか癒着とかはなかっただろうと思います。

　知事など自治体首長には多選を避けて２期も勤めれば自ら勇退して,次は後進に道を譲るという思想もあるようですが。。。。

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自分の家系(ルーツ)

　1977年に就職のため27歳で東京へ来て後は,2007年大病をするまでは,家族とか血のつながりとは無縁の生活だったのですが,もう先は余り長くないし,ブログネタもないので,それほど興味ないし面白くもないけれど血縁としての自分のルーツを知ってるところはそのまま,知らないところは推測してみます。

　1965年(昭和40年)の父46歳,母44歳のとき,私が15歳で中三から高一になる４月１日に父が病死してしまったため,兄や姉は血縁についてある程度知っていたらしいのですが,私は４人兄弟の末っ子で世間知らずだったため,父方や母方の系累がどうなのか未だに詳しくは知りません。

　私は岡山県倉敷市(旧玉島市)の出身で田辺姓なのですが,父は元々福田姓,母の旧姓は貝谷という珍しいものだったらしく,父は兵庫県は明石出身,母は和歌山市の和歌浦というところの出身で２人とも関西人らしいです。

　田辺という姓は,福田家が貧乏で中学校に行けなかったので父が小学校５年のときに,子供のなかった父の伯母(実母の姉)のところに養子に来たところから始まっているらしいです。

　父は中学校といっても岡山の第一商業学校(現:岡山東商業高校)に入学して卒業したらしいです。ちょうど父の命日昭和40年４月１日に平松投手を擁して母校の岡山東商が春の選抜高校野球で全国優勝したのは奇偶でした。

　卒業後の戦前には大阪の高島屋に就職したらしく,そこに勤めている間に戦争が始まり,その頃に大阪あたりで母と知り合って,父22歳,母20歳のとき長兄を妊娠して,できちゃった結婚？をしたらしいのですね。

　私より８歳上の長兄は父23歳,母21歳の年の３月が誕生日ですから一応勘定は合うようです。

　そして父方の継父の田辺家が公務員や政治家の家系だったらしく高島屋をやめて岡山県に帰りそこの地方公務員になることが結婚の条件だったらしいですね。当時の商業学校が中学と同じく５年制なら17歳か18歳で就職してるはずなので高島屋にいたのは５年くらいでしょうか。。

　昭和40年父が亡くなったときに地方公務員としては勤続24年で退職金が134万円とか云ってましたから,これも勘定が合います。

　最後は第一係長でしたが健在なら４月の人事異動で課長になる予定で,これを楽しみにしているうちに死にました。

　その頃の父の年収は,税込みで77万円というのを死後２,３年前頃に子供ながら源泉徴収で覗き見したような記憶があるので,134万というのは給料の２年足らず分くらい(今で云えば一千万円くらい？)の額なのでしょうね。

　父の死因は肝硬変ですが酒もタバコもまったくやらず仕事人間で晩年は夕食時に「養命酒」を飲んでましたが奈良漬けでも少し赤くなるくらいの下戸だったと記憶しています。

　過労のため持病が再発したとのことで,殉死扱いらしく有志のカンパなのか官庁からの金一封なのか退職金の他に30万円也をもらったらしいです。

　若い頃なぜ肝臓が持病になったかは知りませんが,そのために熱を出したとかの病気が理由で,戦時中徴兵されていた軍隊で最後に撃沈された沖縄に向かう護衛艦から途中の松山で降ろされたせいで生き残り,幸か不幸か戦後私が生まれてきたのですから困ったものです。

　子供ながら,当時から詮索好きだったので,こういうことなどを聞き出して何となく覚えています。

　父は,生きていれば退職後に知事になることが目標だったらしいです。

　実際"父方の継父＝私の祖父"の兄弟で,姓は違うけれど名前が祖父の元三郎と同じく,元の入った元彦おじさん(私の大伯父)は,父が亡くなる前から兵庫県知事でしたし,私が東京に出てきた頃は,彼は大平内閣の長官(大臣)になっていました。

　祖父＝元三郎は幕末には郷士だったらしく,明治になってから武家の商法で造り酒屋を始めたのでしょう。

　私は祖父のことは戦時中に亡くなったとのことで全然知りませんが小作人のいる地主だったらしく戦時中も農家じゃないので米はなかったけど味噌や塩などはヤミで買い出すこともなく逆に近隣に分けたらしいです。

　私の家のお墓に行くと,すぐ隣のお墓の地所が,本家の田辺家の墓ということですから,分家なのでしょうね。

　私の父が亡くなった後は,収入が恩給？だけなので貧乏な母子家庭になり,姉の結婚の際などには,実家の敷地内の土地を売ったりしたらしいですが,それでも,まだ実家の塀で囲まれた裏庭が残っていて,その中だけで犬を散歩させたり,また私が子供の頃自転車に乗る練習したのも,車の来ない庭の中でしたから家屋敷は長い塀で囲まれてかなり広かったです。

　その裏庭でよくかくれんぼや砦ごっこなどで遊んでいました。狭いけど車が通る心配がないので中で野球もしました。柿や石榴の木もあって採って食べたりしましたね。今は一部貸駐車場にしているみたいです。私は財産放棄しているからこれらは全く関係なしですが。。。

　ここは戦時中には小さいけど軍需工場に使われた痕跡もあり,結構色々な塀の出入り口から家に出入りしていましたが今思うと無用心です。

　暮には,よく知らない旧小作人の人が地代とかいって五百円とか千円を持ってきていたみたいだし,まだ,バキュームカーもなかった昔の家の便所の汲み取りに,かつて使用人だった人とか毎月来られていました。

　どこかに家族が誰も知らない山林が登記されているのかも。。固定資産税が高かったみたいだし。。

　なぜか,私が○○オジさんとかいって慕って,その子供さんとも兄弟のように幼い頃から遊んでいた人がいましたが,実はそのオジさんが地主だったころの家の使用人だったとかの理由だと後で知ったりもしました。

　その後,そんなことは関係なく彼とは小学校の同級生としても友達でした。

　父は県の公務員でしたが,私の実家は地元では篠本屋(ササモトヤ)という屋号で呼ばれていて,造り酒屋はやめても酒や味噌,塩を売る権利は残っており,父の公務員の副業として酒類の小売店でした。

　というわけで小学生以下の頃から正月や祭りなど酒少し味見してましたが親兄弟で私以外は酒はほぼ下戸みたいです。

　祖父の名前が元三郎なので,私の次兄の名前は三男でもないのに元三です。三男の私は祖母が俊恵というので,俊のついた名前になりました。末っ子の名前などいい加減なもんです。聞くところによると最後は女を期待してたのに男だったらしいです。

　私は父が亡くなってから奨学金などで大学進学したので,よく知らないのですが上の男二人は親から官僚,公務員または代議士を嘱望されるとかのプレッシャーがあって大学の第一志望は法学部指定だったらしいのですが長兄が受験失敗して教育学部,次兄も失敗して経済学部でした。

　次兄によると元三ではなく元彦という名前を継ぐはずでしたが,ウソかホントか当時のGHQに「彦」という漢字の使用を禁じられたとのことです。

　私は,父が亡くなった後,ほぼ生活費は自力で進学したので上の兄弟とは関係なくひとりだけ我が家では異端の理科系でした。志望は第一も第二も理学部だけですね。第一に受験失敗したけれど結局,理学部でした。

　さて,和歌山の母方の家がまたヤヤこしくて,母の兄弟の母親は芸者出身とかの人も含めて何人もいるらしく,私が知っている母の兄弟は母を含め男２人,女２人の４人です。

　母には両親とも同じ弟(敏オジさん)が唯一人いますが,他の２人の姉と兄？の母は別々の人らしく,私が知っている冠婚葬祭でしか会わなかった母方の祖母はまた後妻で,これら４人の誰の母でもないとのことでした。

　母方の貝谷家の祖父は酒も女も豪快で,何かヤマ師のような人物だったらしく,私が僅かに知っていた当時,母の実家は貝谷商店とかいう名前の文房具屋か駄菓子屋をやってました。

　この祖父は色々な事業に手を出しては失敗？したり,また地方の代議士の選挙に立候補したりという人物であったらしい人です。

　私の血のつながった家系には糖尿病はいなかったということなのですが,この祖父が亡くなったときの病気は当時の田舎の医者では病名が不明だったけど糖尿病も関係してたのでは？と推測されます。

　遺伝が主要な発病因子だという糖尿病は恐らくここがルーツでしょう。

　で,家柄の上下関係からか？父母は結婚を反対されたらしく,結婚は父方の親戚から岡山で家を継ぐ条件つきで許されたできちゃった婚らしいですね。

　何か父方の親戚が母方に優越感,逆に母方は劣等意識があるらしいけれど関係ない話ですね。

　父方には家柄意識がありましたが,母方は関西の商売人的な家系らしく中には金持ちもいるという感じでしょうか。

　実際,もう２人とも亡くなっていますが,"母の腹違いの姉＝私の伯母"の"嫁ぎ先＝伯父"は製材所の社長でそれなりの資産を成していたようです。

　ここの家の"養女＝血のつながりのない私のイトコ"が私の次兄の嫁ですから彼女はイトコであってかつ義姉であり,次兄は養子としてこの家を継いでいますから,ヤヤこしいけど,嫁の継母と夫の実母の父親が共通なのでかろうじて家を継いだのが血縁的に他人ではないことになりますね。

　そろそろやめておきましょう。。

　家柄など上には上,下には下があり,身分差別などの源で百害有って一利も有りません。そもそも太宰治じゃないけれど,私などの変態は家柄なるものが上であればあるほど恥ずかしいものです。

　明け透けに本当の名前や役職を出して書きましたが,素性を知っている人は私のブログなどを真剣に見ていないだろうと思っています。

　もしも何らかの知り合いからクレームついたら,すぐに削除する用意はありますが。でも伝聞がほとんどだけれど自分ではウソを書いてないつもりです。

ＰＳ：今日はお米が切れたけど食パンがあったので,「トースト茶漬け」を食べてみるとおいしかったです。

　また,最近行くようになった裏のお店のチィママに頂いた素麺(揖保の糸)があったので,８/30(日)の午前中は冷蔵庫の残り物でワカメ,ジャガイモ,麩に卵と何でも入りの「味噌素面」を作って食べました。

　鍋もレンジも１個なので味噌汁と素麺を別にやるのが面倒で,しかも麺つゆもほとんど無かったので,一緒に作ってみたら結構おいしかったです。

　次は,肉以外のカレーの材料と固形のカレールウが10人前あるので「カレー素面」でも作ってみよう。

PS2：しかし,「糖尿病」に「虚血性心不全」で「足の動脈硬化(石灰化)」と,新型の豚インフルエンザにかかったら死亡する要因が三拍子揃っているなあ。。

(↑ 三拍子というのはこういう使い方じゃなく,「ハゲ,デブ,チビ」とか「包,短,早」などに使う言葉でしょ？)

　まあ,前から医者に新型でなくてもインフルエンザとか風邪をこじらせて肺炎になるとか,飛行機の座席上とかパソコンで長時間同じ姿勢でいても起こるといわれる「エコノミック症候群(肺血栓？)」になったら,イチコロだと言われてるので,そうなったとしたら交通事故みたいなもんですね。。

　日頃から「永眠したいと望んでいる」と冗談？を言っている身からすると,インフルエンザ予防のワクチンが足りないという現状で,私がそれを所望したら自己矛盾になるでしょうね。

　まあ,優先順位はゼロ歳の赤ちゃんから年齢の若い順がベストでしょう。私のように何の役にも立たず姥捨山に行った方がベターな変態年寄りは万が一残っていたら貰いましょうか。。

　「 カルネアデスの舟板」(2009年５/24の記事) が現実的になっているなぁ。。

　「立てば人樽(ひとだる),座れば盥(たらい),歩く姿はガスタンク」の恋しいネェちゃんたちにも会いたいね。。。

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今朝の朝食

　今朝は,1990年秋に糖尿病で39日間教育入院の時,病院(「九段坂病院」)内の栄養士に指導されて退院後にしばらく実行していた朝食メニュー＝"６枚切りのトースト２枚にトマト1個,目玉焼き２個"でした。

　当時は若かったこともあり,自分の病気に対して今より真面目だったので,指導受けたいくつかのメニューを実行したのでした。

　上のメニューにも,できたらカロリーの高くないスープもあればいいとのことでしたが。。結局,こんな簡単なものでも出勤前に朝食を取ることさえわずらわしくなっていつの間にやらやめていました。

　もう20年近く前で,まだ普通の会社の正社員で木場辺り(「豊洲」付近のマンション)に住んでいた頃ですね。

　今朝,ちょっとこだわったのは自分の好きなコーヒー「マンデリン」を豆からミルで挽いて,本格的にドリップしてカップ２杯飲んだことぐらいです。

　ついでにバックグラウンドミュージックは,ベートーヴェンの「ヴァイオリン・コンチェルト(スターン＆バレンボイム・ニューヨークフィル)」でした。

　お金がないので,ささやかです。このくらいがせいいっぱいだけど,ちょっとだけエレガントな雰囲気を味わいました。

　これで新しい本でもあれば私的には最高のゼイタクなんですけど。。

　実際,今すぐに入手したい本だけでも,新本なら30万円分くらいはあります。

　ＰＣも色んな機能はいらないけど,中古でもいいから,デスクトップでネットが速くて,いつも使うソフトが軽くてイライラしないのが欲しいなあ。。

　もしも,本を買えるだけのお金があれば,食べる方は飢え死にするくらい節約しても本を買ってしまうという性分です。

　他にも電化製品などの買い物中毒ですが,そうしたものは金がなければ借金してまで買わないし,お酒も金なければかつては３年間一滴も飲まなかったという性格なので,本当の中毒ではないのかもしれません。

(むしろ,完全に生活が破滅してしまうほど色々なことにノメリこむ,ある意味で「人間的な弱さ」を露呈して自制の効かない性格であれば,誰か異性に頼らなければ生きていけないようなことになって,逆に人間的な普通の社会生活ができていたかもしれないなあ。。)

　今は100円ショップや99円ショップの買い物で満足しているし。。。

　本,特に専門書を売ればかなりのお金になりますが,本を売るのは自分の体を切り売りするように感じるので今はやっていません。もっともそれをする必要がないほどにはゼイタクな「おボッチャマくん」なのでしょうが。。

　まあ,本ならまた買えるけど自作のノート類は棺おけに入るまでは手放せません。もっとも,こちらの方は売ろうとしても二束三文だろうし,お金にはならず本人だけの宝物ですが。。。 

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束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(9)

　ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

前回は,Wick回転(Wick-rotation)された部分波(partial wave)のＢ-Ｓ.eq.として,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)を求めました。

　Ｑ_l(ｚ)は第２種のルジャンドル(Legendre)関数で,これは第１種のルジャンドル関数Ｐ_l(ｚ)から,Ｑ_l(ｚ)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}で与えられます。

右辺の積分核(kernel)のトレースは有限ですから,この積分方程式には,古典Fredholm理論を適用できます。

　固有値λ_νLl(ｓ)を除く積分核部分のトレースをσ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])と書けば,これは収束する積分として与えられます。

幾つかの操作の後にσ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[ｘ₃'δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃μ²－ｘ₃ｘ₁ｍ_a²－ｘ₂ｘ₃ｍ_b²－ｘ₁ｘ₂ｓ)]を得ます。

これは,ｘ₃'を除けば,正確に三角グラフに対する質量殻の上のFeymanパラメーター積分に対応しています。

この式を証明するために,Feyman積分の公式,(ＡＢＣ)^-1＝2∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂＋Ｃｘ₃)³]を用いて,σ_l(ｓ)＝(4/π)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴[ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}]^-3としました。

右辺の被積分関数の分母の[ ]の中は,ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃/Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))＝ｘ₁(ｍ_a²＋|ｐ|²)＋ｘ₂(ｍ_b²＋|ｐ|²)＋(ｘ₁＋ｘ₂){ｐ⁴－i√ｓ(ｘ₁η_a－ｘ₂η_b)/(ｘ₁＋ｘ₂)}²＋ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}です。

さらに∫_-∞^∞ｄｐ⁴積分を実行してσ_l(ｓ)＝(3/2)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1/2∫₀^∞ｄ|ｐ|{ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)＋(ｘ₁＋ｘ₂)|ｐ|²＋ｘ₃μ²/(2|ｐ|²)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)}^-5/2]としました

そして,∫₀^∞ｄ|ｐ|積分を実行すればσ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1[ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)－{2(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ₃μ²}^1/2]^-2となる。

というところまで書きました。

ここで,行き詰まってPendingになっていたのですが,結局,水曜日(８/18)に永田町の国会図書館に行って,中西さんの1963年の部分波Ｂ-Ｓ.eq.の原論文を参照することにしました。

ところが,午前中に都営三田線内幸町から都バスという障害者無料の都営交通経路で図書館まで行き,当該論文を検索すると東京の図書館が手狭になったため,当該資料の掲載されているPhysical Reviewなど洋雑誌は全て京都の関西館に移管されていて,それを見るには電送でコピー,または郵送で本雑誌を取り寄せるしかないとのことでした。

電送だと即日で午後までには届くということでしたが,コピーされたものが届くまで内容をチェックすることもできず,しかも電送コピーでは普通のコピー(Ａ4だと１枚24円＋消費税)の倍の料金を取られ,最大40ページまでとのことでした。

まあ,この程度の計算を書いた論文が10ページを超えることはめったにないので,それでもよかったのですが,もしかして40ページだと2000円超えるし,これまで国会図書館でやってきたように予め内容を確認して場合によっては必要部分だけのコピーを取りたかったので,土曜日(８/22)に出直すことにしました。

４日遅れましたが同じルートで再び土曜日午前中に国会図書館に出向いて実際に1963年のPhysical Reviewの本文を見るとたった６ページだったので,即日複写で151円の料金を払ってコピーを受け取りました。

というわけで,原論文のコピーを入手したのですが,その日は残暑の中往復しただけで体がすっかり疲れてしまい帰宅して寝てしまいました。

かつて,このシリーズのタネ本である"1969年の中西さんの論文＝ProgressのsupplementのＢ-Ｓ.eq.のレビュー"を最初に読んだ34年前(1975年)の学生の頃にも,確か同じ箇所の計算でつまづいてそれをきっかけに「まあいいや」と読むのをやめた記憶があります。

もしも,その頃ちゃんと読む気になっていれば当時の大学の素粒子や物性理論など理論物理学の研究室のある階の私の部屋の４つくらい右隣の部屋には図書室があり,Phys.Rev,Phys.Rev.Letters,それにNovtiment(Novciment?)やProgressくらいの主だった論文や著書は全て揃っていました。

理論なので,特別な実験環境は不要とはいえ,やはり大学とか研究関係の組織に属していた方が,参考論文などを苦労せずにいくらでもタダで参照できる環境にあるとはいえますね。

もっとも,今回,国会図書館で会員登録(無料)をしてIDとPasswordを作ったので次回からは,有料ですがオンラインで自宅にいながら資料取り寄せることもできるらしいです。

クレジットカードが失効していなければ,以前のように別ルートでネットで気軽に論文をダウンロードする道もあったのですが。。。

というわけで,たった５ページちょっとだし,その論文の記述順序を変更したり,表記を書き直したりして今のブログ本文につなげるのも面倒なので,改めて関連部分を直接要約することにします。

まず,部分波のＢ-Ｓ.eq.ですが,Wick回転した{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)ではなく,回転する前のη_a＝η_b＝1/2のＢ-Ｓ.eq.から出発します。　

すなわち,ｋ＝η_aＰ＝η_bＰ＝Ｐ/2,ｋ⁰＝Ｐ⁰/2＝√ｓ/2で,{ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}ψ_l(|ｐ|,ｐ⁰)＝{2λ/(πi)}∫₀^∞ｄ|ｑ|∫_-∞^∞ｄｑ⁰Ｑ_l[{μ²＋ｐ²＋ｑ²－(ｐ⁰－ｑ⁰)²}/(2|ｐ||ｑ|)]ψ_l(|ｑ|,ｑ⁰)が出発点です。

そして,積分核のトレースもσ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])ではなく,σ_l＝{2/(πi)}∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ^０(Ｑ_l(1＋μ²/(2ｐ²))/[{ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}]{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}])とします。

　ここで,Ｑ_l(β)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(β－ζ)},β≡1＋μ²/(2ｐ²)より,σ_l＝{1/(πi)}∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ^０∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)/[(β－ζ){ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}]です。

Feyman積分の公式,(ＡＢ)^-1＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂[δ(1－ｘ₁－ｘ₂)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂)²]＝∫₀¹ｄｘ₁{Ａｘ₁＋Ｂ(1－ｘ₁)}^-2でｘ₁＝(1＋ｚ)/2とすれば(1/2)∫_-1¹ｄｚ{Ａ(1＋ｚ)/2＋Ｂ(1－ｚ)/2}^-2です。

そこで,∫_-∞^∞ｄｘ(ｘ²＋Ａ²)^-2＝(π/2)Ａ^-3より∫_-∞^∞ｄｐ^０[{ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}])^-1＝(1/2)∫_-∞^∞ｄｐ^０{ｍ_a²(1＋ｚ)/2＋ｍ_b²(1－ｚ)/2＋ｐ²＋(ｐ⁰＋ｋ⁰ｚ)²＋(1－ｚ²)(ｋ⁰)²}^-2＝(πi/4)∫_-1¹ｄｚ{ｐ²＋ρ(ｚ)}^-3/2を得ます。

ρ(ｚ)≡ｍ_a²(1＋ｚ)/2＋ｍ_b²(1－ｚ)/2＋(1－ｚ²)(ｋ⁰)²です。

したがって,σ_l＝(1/2)∫_-1¹ｄｚ∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)∫₀^∞ｄ|ｐ|(ｐ²/[{ｐ²＋ρ(ｚ)}^3/2{μ²＋2ｐ²(1－ζ)}])と書けます。

一方,一般のＢ-Ｓ.eq.はここまで{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[φ_Br(ｑ,Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]と表記してきました。

ここでは,これも上記式中のＢ-Ｓ振幅:φ_Br(ｑ,Ｐ)を,単にｆ(ｑ)と表記して今回得た原論文におけるＢ-Ｓ.eq.の形式:{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{λ/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[ｆ(ｑ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]に変更します。

そして,Ｂ-Ｓ振幅:ｆ(ｐ)の体球関数Ｙ_lm(ｐ)≡|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)による展開係数を積分形にして,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺²)と積分表示できると仮定します。

ここにｓ≡(ｐ＋ｋ)²,ｔ≡(ｐ－ｋ)²です。

ｎは,右辺のFeynman積分が収束するように,つまり(ｎ＋2)＞ｌ/2となるように選択します。また,右辺の積分が意味を持つように,lim_α→∞[φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/αⁿ⁺¹]＝0,φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,－∞)＝0 と仮定します。

そして,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺²)の因子を部分積分します。

∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺²)＝－(ｎ＋1)^-1φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺¹|_-∞^∞＋(ｎ＋1)^-1∫_-∞^∞ｄα({∂φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/∂α}/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺¹)＝(ｎ＋1)^-1∫_-∞^∞ｄα[{∂φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/∂α}/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε]]ⁿ⁺¹]ですね。

これは,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l^(n-1)(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺¹)の因子に一致するはずですから,漸化式φ_l^(n-1)(ｚ,α)＝(ｎ＋1)^-1{∂φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/∂α}を得ます。

さらに,Ｙ_lm(ｐ)≡|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)より,任意関数Ｆに対して両辺の積分が収束するなら,∫ｄｑＦ(ｑ²)Ｙ_lm(ｑ＋ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫ｄｑＦ(ｑ²)が成立することが簡単にわかります。

※(注)簡単にわかると書いてありましたが,私にはなかなかわからないので,この式の証明はPendingです。※)

ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)を{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{λ/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[ｆ(ｑ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]に代入します。

変形していくと,結局ｆ(ｐ)＝{(ｎ＋2)/2}Ｙ_lm(ｐ)λ∫_-1¹ｄｚ'∫_-∞^∞ｄα'φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ',α')∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα∫₀¹ｄｘｘ^l-n-1{ｇ(α',ｚ',ｘ)}^-n-1αⁿ{θ(α)－θ(α－Ｒ(ｚ,ｚ')ｇ(α',ｚ',ｘ))}[α－(1－ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])^-n-3)となります。

ここに,ｇ(α',ｚ',ｘ)≡ｘ^-1{α'＋(1－ｘ)ρ(ｚ')}＋(1－ｘ)^-1μ²,Ｒ(ｚ,ｚ')≡(1―ｚ)/(1－ｚ') (ｚ＞ｚ'),(1＋ｚ)/(1＋ｚ') (ｚ＜ｚ')です。

(証明)ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)(∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)の表式に,漸化式φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)＝(ｎ＋2)^-1{∂φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/∂α}によるφ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)＝(ｎ＋2)∫_-∞^αｄα'φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α')を代入します。

ｆ(ｐ)＝(ｎ＋2)Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄαθ(α)∫_-∞^∞ｄα'φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α')[α－(1－ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])^-n-3)となります。

一方,ｇ(α',ｚ',ｘ)＝ｘ^-1{α'＋(1－ｘ)ρ(ｚ')}＋(1－ｘ)^-1μ²なので,∫₀¹ｄｘｘ^l-n-1{ｇ(α',ｚ',ｘ)}^-n-1＝∫₀¹ｄｘｘ^l[{α'＋(1－ｘ)ρ(ｚ')}＋ｘμ²/(1－ｘ)]^-n-1です。

また,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)を,{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{λ/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[ｆ(ｑ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]の両辺に代入します。

左辺は{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)です。

右辺は{λ/(iπ²)}∫ｄｑ⁰∫ｄｑ[Ｙ_lm(ｑ)/{μ²＋(ｐ－ｑ)²－(ｐ⁰－ｑ⁰)²－iε}]∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³]＝{λ/(iπ²)}∫ｄｑ⁰Ｙ_lm(ｐ)∫ｄｑ[1/{μ²＋ｑ²－(ｐ⁰－ｑ⁰)²－iε}]∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³]です。(Pending)

途中ですが,今日はここで終わります。

　参考文献:(1) Noboru Nakanishi "Partial-Wave Bethe-Salpeter Equation",Physical Review,Vol.130,No.3,pp1230-1235(1963),

(2) Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

ＰＳ:本当に世間では信じられないことをいつまでもやってるなあ。。

　逮捕状が出て逮捕されても,起訴されるかどうかもわからないんだから,裁判の被告でさえないんだよ。

　起訴されて被告となることが確定しても,まだ裁判結果で有罪になるまでは,法律的には犯罪者ではないんだし無罪の可能性もあるんだよ。

　さらに,ついこの前もあったけど,本人が犯行を自供して17年間も服役しても,実は捜査の方が間違いで無罪どころか無実もあるんだよ。

　だから,こんな起訴されるかどうかの本来は秘密であるべき警察という密室の中で行われている捜査段階の情報の垂れ流しは異常だよ。。

　例えば,密室の中では本人が「やってない。」と主張しても警察側が確かな情報としてリークすると,世論にオモねることで金儲けにつながる御用マスコミが大した裏も取らず流すと大体信用してしまう。

　こんなの40年くらい昔の話ですが,東京で16キロもの路上デモの間,ずーっと機動隊にサンドイッチ規制されて,両側の人間はまわりから見えない場所では,こづかれたり蹴られたりされ続け,痛いからこちらが手でよけようとしたら公務執行妨害で逮捕するというような昔からの汚い官憲の手口を知ってれば,全部鵜呑みにする方がオカシイと思う。。

　こちらが,警察に殴られたとか言っても全然通らないし,防御で手を出したのも暴行したことにされるし。。。白も黒になる一方的なデマばっかしだった。。

(体に傷は残らないので物的証拠も残らず,交代で番をして容疑者が眠ったら起こすという眠らせない拷問をやられると,それでやがて死刑になるとしても,その場で眠りたいからやってない殺人でもやったと言ってしまうだろう。。

　戦時中のパルチザンとかレジスタンスとか言っても,拷問に耐え切れず仲間を売ってしまう。後で解放されても裏切り者で仲間にリンチされパージされる。。

　しかし拷問に耐えられなかったからといって誰が非難できるのだろう。。人間なんてそんなに強くない。

　日本の警察じゃないし,一応事実に基づくフィクションということですが,かつて見たイヴ・モンタン主演の仏映画「Ｚ」や,南アフリカのアパルトヘイトが主題の映画「ワールドアパート」でも似たような状況があったと記憶しています。。← また脱線やらかしてる。。)

(後者は,まだ南アが人種差別支持の時代にLDで買って見たものです。そのLDはまだ所持していますが,もう古いしDVDで出てないだろうなあ。破防法で捕まって執行猶予中の友人？に見せたら「どこの国の官憲も同じだなあ。。」と言っていた。。)

　そして,当時の大抵のマスコミはヘルメットかぶってデモする奴の方が悪いという報道(世論)に都合のいいデマゴギーの方だけをそのまま報道するしという時代だった。。

　そもそも,デモンストレーション(示威行動)というのは宣伝してもらいたいから派手にやってるのに,なかなか報道されませんでしたね。。

　逆に,今回の事件はつかまった側が頼んでもいないのに派手に宣伝するからね。。有名人だから普通人以上に悪影響があるって？。。

　それじゃ何でいつまでも派手に報道してるんだよ。え？ きれいごと言うんじゃねえよ。結局はそれでニュースが売れてスポンサー様が喜ぶからだろ。。。

(それが証拠にかわいそうに？一方の押尾君の扱いはかなり小さい。)

　そういうのも,自分が悪いのを他人のせいにする一種の逆恨みっていうやつだよ。。

ＰＳ２:福見ちゃん,前から谷亮子よりカワイかったけど柔道ばっかやってるせいか24歳にもなっても高校生のトキと同じロリ顔ですな。。

　そういえば,去年の北京五輪で唯一私が気に入った銀メダルの塚田真希ちゃんもデブで決して美形とは思わないけど,笑顔と泣き顔は絶品で輝いていましたね。。

(2008年 8/ 15の記事「塚田真希チャン 」参照)

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あるＴＶ政治番組の感想

　いつも思っているのだが,ちょっと,日曜朝にＴＶを見てて,司会の評論家ジャーナリストがあまりにも人民を代表するような顔をして,"どうする？どうする？"などと与党と野党の代表に詰問してるのが,ウザいと思ったのでＴＶ局を変えるか消せばよかったのですが,かなり頭にきたのでちょっと書きます。

　まあ,相手を怒らせて本音を引き出すテクニックの１つかもしれませんが。。。

　誰にとっても解決がむずかしくて即答できないだろう課題について野党が,対策を考慮中で,取り合えず次から次へと思いつきの対策を述べるのに対して,与党がケチつけている。

　じゃ与党は対策あるのか？対案なければどちらも同じだ。。ケチつけてるほうが品性が悪いだけだと思う。。

　もっとおかしいと思ったのが,その司会です。何だ誰もできないんじゃないかと罵倒してるように聞こえる。

　そりゃ,あんたは評論家であって政治家じゃないから,対策をひねり出す責任はないし,ケチつけるだけでいい商売だろうけど,そこまで言うなら無責任じゃなくて自ら責任をかぶってあんたがやれよ。。

　全部が全部すでに立派な政策が決まってるわけじゃなく,選挙が終わって政局がある程度安定してから解決策を考える問題もあるだろうよ。

　それに党首だろうと自分個人の思想やモットーと党の理念やマニフェストとが100％一致するわけじゃないだろうし,また,以前の発言と今のそれが違うといっても,風見鶏じゃ困るけど人間は成長,あるいは退化して変わるものだと思う。。。成長して考えが進化しても前言を翻しちゃいけないのか？

　私事ですが,物理や数学なんかの問題でも,他人と議論していて,自分の方がおかしい,間違っていると思ったとき,本音はくやしいから間違いを認めたくないと感じることがあっても,そもそも,それによって自分の理解度が深まるわけですから誤りを素直に認めることで,考えは正しい方に変わり進化するわけです。

　その時点では,もはや相手に感謝こそすれ,反発を感じることもなく,自己が間違ったおかげで勉強になったと思うわけです。そこから先は相手に協力,あるいは教えてもらって協同作業に変わります。

　しかし,この手の議論でも,プライドの方が先行して結構不毛な意地の張り合いもあるにはあるようですが。。(私自身もかつては多々ありました。。)

　私の場合,物理や数学は先発見の功を争うような仕事じゃなく,単に"自己満足＝マスターベーション"の１種の趣味なので,「自分が偉い,相手の方が下だとか,頭を使う問題なので相手の方が自分より,馬鹿だ」などと自己主張するのが主目的ではなく,経緯はどうあれ最終的に自己が理解して満足することが目的ですから,議論に勝っても得るところは少ないですが,負けたとき,かえって得るところが大きいですね。

　政治の話に戻りますが,むずかしいと思われる国の800兆円を超える負債や郵政や年金の問題なんかを,たった１時間あまりの番組の中の議論や,あと10日間しかない選挙までのアジテーション,プロパガンダのために,選挙用に結局はできるかどうかもわからないだろう"イイカゲンな"その場での思いつきの対策を打ち出して,それを基に投票行動が決まって,後から現実にはできないとわかって公約違反だとか言われるんだよね。。

　そんなこれまで解決できなかった問題が本当に直ちに解決できる万能の特効薬があって,誰から見ても効き目が一目瞭然なら,すでに勝負(選挙結果)は決まってるというか,時間や経費使うだけ無駄で勝負の必要さえもない。。

　そもそもバブルになったり,はじけたり100年に１回もの経済恐慌が起きた原因は上部構造たる政治に全ての責任があるわけじゃない。。

　何も取り合えずの具体的議論などは必要ないから,誰,どの階層(または階級)が自分たち政治家の主人であるか？だけを主張するに留めて,早く選挙終わってしまえよ。。。

　与党と野党の全員が真剣に論じても解決ができないだろう負債などの問題をどっちでもいいから,一緒にない頭しぼって敵味方言わずに専門的分析できる人物も交えて,付け焼刃じゃなく,また国会などで自説の方が上だ下だのパフォーマンス的な議論じゃなく,酒飲んだ席でもいいから本音で真剣に解決法をひねりださんかい。。。

　クソ司会者も他人を批判する暇があったら方策考えるのに協力しろよ。。。

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アクセス数,30万超えたみたい。。。

　気がついたらカウンターが30万を超えているのに気が付きました,今日(８/18)は30万300の時点で121アクセス,昨日(８/17)の総アクセスは359となっていましたから30万に到達したのは昨日(８/17)みたいですね。

　このブログの開始が2006年３/20ですから,昨日の８月17日は,ブログ開始から1246日目(３年５ヶ月)です。最初からの１日平均アクセスは約240です。

　最初の10万アクセス到達が2007年12月26日(ブログ開始から640日)(2007年 12/26 「アクセス数」) で,それから20万への到達が2008年11月13日(開始から962日)(2008年 11/13「 20万アクセス 」) でした。

　ということは,10万アクセスごとに640日,322日,284日の間隔になっていて,初めの１年９ヶ月は155/日で,次は10ヶ月で310/日,最後が９ヶ月余りで352/日です。平均の日当たりアクセス数は,まだ少しずつ増えているようです。

　一方,記事の数は,これが712個目になります。平均で18記事/月ですから２日半に１個,あるいは５日に２個書いてる割合いですが,こちらは次第にズボラになって減っていってます。

　今は４～５日に１個のペースで細々とですね。

　いずれにしても,皆様,来ていただいてありがとうございます。

　まだまだ当分は頑張って書いていくつもりです。

PS：相変わらず,マスコミの馬鹿野郎共は,ニュースとして金になるという理由からだろうけど,他にもポップなニュースがあるのに,毎日毎晩起訴されてさえいない芸能人の人格攻撃を行なっている。

　犯罪者であれば,掌を返して,エクボもアバタというわけだ。。

　出前の容器を返しに行っただと。。アホか,人間なんだから当たり前のことじゃないか。。。自分の子供に優しくしてた？当たり前だって。。

　たとえ,その境遇や性格がひいては薬物犯罪への素因になったかもしれないとしても,それはその人の性格に過ぎない。。。人格は人格だろう。

　他人に気に入らなかったとしても,犯罪行為そのものでないなら,あんたに悪し様に言われる覚えはないし,性格が悪い？大きなお世話だ。

　犯罪とは関係ない人格を報道して面白がるなよ。人格を攻撃するなよな。。犯罪であるにしても法律で禁止されている薬物を使用しただけだろう。。

　彼女は人格やこれまでの業績を全否定されなきゃならない程の,連続殺人鬼のような人非人じゃないぞ。。。

　それに偽装工作のために逃亡していたとしても,酔っ払い運転で事故を起こした人間が,飲んでないと偽装して言い逃れを試みるのよりも,まだ事故を起こしてないだけ,ましな程度の行為だと思うぞ。。

　それにウソや言い逃れをしたとしても,それを追求をするのは警察や司法のやることさ。。。彼らはそれが仕事でそれで給料もらっているんだし。。

　それに,彼女達が,あんたらや一般国民にどんな危害を与えたというんだ？面と向かって罵声の１つでもかけられたかい？それともツバでもひっかけられたかい。？

　人格がイメージと違っていたからといって,それがどうしたというんだ。？

　元々,芸能アイドルはキャンペーンのために"ブリッコ"などという事実とは違うイメージを付けられて売り出されるのが常だと知っているはずなのに。。。

　ちょうど,昔私がイジメでムラハチに会っていた真最中に,すぐ目の前にある建物をワザワザどこにあるか聞かれて普通にここだと答えたら,「何だふつうにしゃべるじゃないか。」といわれて,コノヤローと思ったのと同じだろう。

　(こっちは相手を全く知らないのに,相手はイジメられてる奴だと知ってる。。こういうムラハチで有名になるのはイヤなもんだ。。)

　昔は(今も?),ファンにとってはアイドルはクソも小便もしない。。というような神格化がされていた。。(← それじゃ死んじゃうじゃないか。。)

　イヤ,狂気の状態でも酔っ払っていても,人間の生命活動は普通にやるものなんだ。。。出前くらいはするよ。。だから,テメーら,うざいしうるせーよ。。選挙のことでもセッセと報道してろ。。

　しかし,ウソかホントかもわからないような捜査内容をワザワザいつもリークして垂れ流してる野郎は誰で,そうした世論操作をする意図は何なのだろう。まあわかるけど,金が入るのかい？

　また,60や70を越えたジジィのコメンテーターでクソミソに批判している輩が結構いる。てめえらは,これまでどういう歳の取り方してきたんだよ。

　自分より若い人間を,ただ単に尻馬に乗って批判するなんて,どこかに優しさを置き忘れてムダに歳を重ねてきたのかい？普通は丸くなるもんだ。。

　イタリアのベルルスコーニ首相も言ってるじゃないか。「私は聖人ではない。」って。。これは違うかな？でもあなた方様は信号無視や立小便,買春などの,軽犯罪１つもしない聖人君子なんだろうね。。

　若い者の不始末の責任の一端は,親やその親のてめーら(俺ら)の世代にあるんだよ。。その点,泉谷はやっぱしエライね。。

PS2:今日ニュース見てたら,どこかのジジィが選挙は義務だとかいって行かない奴は政治に文句言うなと抜かしてた。世論が操作してるままじゃないか。。

　選挙は権利であって義務ではないから行かなくても逮捕されることはない。行こうが行くまいが本人の自由だ。政治だろうと何だろうと自分の価値観は自分のものだ。他人に云々される覚えはない。。

　大きな声で政治に文句言う奴も,たとえ投票であろうと一生政治などに関わりたくない奴も,逆に政治の方は等しく面倒を見てやる義務があるはずだ。

　いや,必ずしも政治に関わりたくないから投票しないのじゃなかもしれないぞ。　例えば俺なんかは代議員制度も投票制度も,こうした制度自体があまり好きじゃないし全面的に認めてるわけじゃない。

　しかも,こうした制度は,イヤもオウもなく俺が生まれる前からあったものだ。

　かといって単に私個人の好き嫌いの問題で,制度が嫌いな合理的説明も思いつかないから,自分で積極的にそうした制度を変えろとか主張する気もない。それに俺は気まぐれだから投票に行くときもある。。

　投票したい候補がいないから白票入れる奴は,投票や代議員の制度そのものは認めているんだろうね。

　選挙権は歴史的には闘争の末に得られた立派な権利でもある。そう確かに権利であって義務じゃない。

　どこの国だったかファッシズムの時代の"民主主義"では,投票は義務で,それも投票すべき相手も100％決まっていて,それと違う投票すると投獄されたり殺されたりということもあったらしい。

　いずれにしろ,大きい声で権利を主張する奴の言うことは聞くが,政治的なことには無口で何も主張せず,あるがままの制度に文句いわず受け入れようとする奴なら苦しんでいるところを見ても自業自得で知らんぷりとか,何も主張しない投票しないならそいつの面倒は見てやらないとしたら,それこそ公僕として問題だと思う。

　昔から「声なき声を聞け」というではないか。。。もう１度言う。投票するしないは義務じゃないから自由だよ。

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世間ではお盆だ!!

　私の場合,「貧乏ひまあり」でほとんど年中"ネテヨウビ"なので,暦はあまり関係ないはずなのですが,なぜか世間がノンビリと休日のときは,平日に比べて心が"安心して"休めます。

　昨日は完全にオマケの日,ミソッカスのグータラ日としてゴロゴロしながらケーブルテレビ見ていたら,「うる星やつら」を２,３話まとめてやっていたので,なつかしくて見入ってしまいました。

　(私の今の日々の暮らしがおマケの人生,ミソッカスの日々だなどと書いたら,今日のメシも宿もままならない人々には失礼な話でしょうが。。。

　話は変わりますが,山城新伍氏が亡くなったと聞いて,なぜか麻木久仁子さんを思い出してしまいました。。。そういえば,昔,夏目雅子さんが亡くなったときは宍戸錠氏を連想しました。。）

　「諸星あたる」君というのは,変態でマゾの私の理想とするキャラクターに近く,尊敬している存在です。

　１度でいいから「ラムちゃん」の電撃をもろに浴びてみたいものです。コレ,恐らく全てのマゾ的性質を持つ男の悲しいサガであり夢ですね。。。

(↑ いい歳をしてプライドとかねえのかよ。。何？金もプライドも墓の中まで持っていけない。。？　能書き抜かしてんじゃねえよ。。)

　このアニメにはラムちゃんだけでなく,しのぶやランちゃん,サクラ先生など魅力的なキャラが多く,捨てがたいですね。「ランちゃん」は気に入ってます。

　私としては早い時間である夜中の12時頃にセブンイレブンで仕入れていた350mlで123円の第３のビールを飲んで寝かかっていたところに２人の男から近くで,飲みに来いとお誘いがかかり,例によってタクシー代も含め全く金を使わず朝まで飲んでしまい,先ほど目覚めました。

　仕方ないとはいえ,他人のフンドシで飲んだくれました。最近はお盆の都内でも飲み屋は営業しているみたいですね。

　まあ,いつ永眠するかもしれないので,借金やツケで迷惑かけない限り,せめて命あるうちは,ひと晩(朝？)だけでも目いっぱい楽しむことにしてます。

　昼間を思い出してカラオケで「うる星やつら」の主題歌「ラムの。。。。」？を唄ってしまいました。。ちょっとテンポ合わせるのに苦労しましたね。。

　ところで,初対面の方にこのブログの名称も入った自作の名刺をあげたらブログが「TOSHIの宇宙」というので,科学的な宇宙のことか？と聞かれました。

　そう思われても仕方ありません。元々３年余り前にブログを開始した頃には「TOSHIのひとりごと｝という題名でした。

　あまりにも平凡で当時の検索でも同じ名前の別ブログがいくつもヒットするので後半を「宇宙」という名前に変えたのでした。

　という意味で,宇宙というのは,全てとか総体とかを示すもの,と意識していましたが,もちろん自然科学的な宇宙も含みます。

　というより,実態は初期の意図よりも「科学ブログ」という色彩が強くなってしまっています。しかし,私自身の中では表象としての世界だけでなく,形而上学的意味も含め,あらゆること,私の心の中の宇宙という意味なども含めたものとして用いています。

　早い話が,"ブログ＝日記"という意味に過ぎませんね。

　眠くなったのでまた寝よう。でも飯くらいは食べておこう。。ではまた。。。

PS:クソ暑くて２０世紀製の中古PC使っているせいか,しょっちゅう強制切断しないと暴走フリーズしてしまいます。

　どこかの防衛費のように,相手国の武器のエスカレートに合わせて武器を開発増強していくのと同じで,CPUの能力が大きくなってもそれに合わせるようにOSも含めてソフトが巨大メモリーを消費して重たくなっていくから現今のソフトに対しては旧PCマシンの能力では追いつかないのでしょう。

　軍備拡張も同じじゃないのでしょうか？武器装備の拡張の競争をするよりも核兵器をはじめ全世界の武器をなくす。外交を通じるなどで戦争を減らすことに予算をまわせよ。？(北風と太陽の童話を参照)　

　逆に,死の商人などは殺してしまえ。。。商店の安売り競争なら消費者は大歓迎だが,防衛予算の拡大競争などは歓迎したくない。。。

　(いずれにしても観念論ではなく,"人間の経済活動＝下部構造"に根ざした問題だろうから,戦争反対という観念(イデオロギー)だけでは如何ともしがたい問題だろうけれど。。。

　実際,日露戦争後の経済破綻は第１次大戦のおかげ,第２次大戦後の敗戦不況は朝鮮戦争の特需景気のおかげで,日本の戦後経済は復興したらしい。)

　個人の武器の話なら,アメリカは「銃を乱射する奴がいるから皆が銃を持ってそういう奴から身を守る。」という発想だろうけど,日本は元々「法律で銃を規制すれば,銃を乱射したりする銃犯罪そのものが起きない。」という発想なのに,

　国単位の武器や核武装の話だと,なぜ日本もアメリカと同じく「破壊兵器や軍備で対抗することが必要だ」,となるのだろう。

　ただ１つ心配？なのは,「武器を撲滅した後」には,もしも地球外生物の武力による地球侵略でもあった際には軍事的に対処ができないだろうと想像されることです。？？？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(8)

　色々あって,ずいぶん間が開きましたが,"束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter方程式)＝Ｂ-Ｓ.eq."シリーズの続きです。

§6.ウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky model)の途中から再開継続する予定でしたが,その前に是非必要な中西先生自身のオリジナルとして得られたＢ-Ｓ振幅の積分表示を解説したいと思います。

前記事2009年３/30の「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(7）」では,Ｂ-Ｓ振幅の積分表示式について,根拠を示すことなく論文の内容をそのまま書きました。

　"一般に,Ｂ-Ｓ振幅は∫_-1¹ｄｚ∫₀^∞ｄγ[φ(ｚ,γ,ｐ,Ｐ)/{γ＋(1＋ｚ)(ｍ_a²－ｖ)/2＋(1－ｚ)(ｍ_b²－ｗ)/2－iε}²]と表現されます。ここで,φは多項式的にｐ＝ｐ^μに依存します。 

この積分の被積分関数の分母は,ｐ⁰＝0 で(－iε)を除いて正定値,すなわち,Wick回転の結果,|Ｐ⁰|＜min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|)を満たすなら,如何なる特異点に遭遇することもなくｐ⁰について必要な解析性を得ることができます。 

ここでは,もはやｓ≧0 なる物理的制約もないことがわかります。"

と書きました。ただし,ｖ≡(η_aＰ＋ｐ)²,ｗ≡(η_bＰ－ｐ)²です。 

以下では,これの根拠を示します。

まず,通常のミンコフスキー(Minkowski)空間での束縛状態の"はしご近似(ladder approximation)"でのＢ-Ｓ.eq.:{ｍ_a²－(η_aＰ＋ｐ)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ－ｐ)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]を考えます。

慣性中心系:Ｐ＝0で,ミンコフスキー空間の４元ベクトルｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)をユークリッド空間の４元ベクトルｐ~^μ＝(ｐ,ｐ⁴)etc.で表現すれば,Ｂ-Ｓ.eq.が{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]とユークリッド化されることを見ました。

これが,Wick回転の意味するところです。

さて,2009年２/７の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(4）」では,次のように書きました。

(※再掲開始)

Nakanishi(中西;1965)は,小群(little group)の体調和関数(solid harmonics)の概念を導入しました。

ｎ重に縮退した束縛状態のＢ-Ｓ振幅は,φ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)＝＜0|Ｔ[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞,(ｒ＝1,2,..,ｎ)で与えられますが,これはポアンカレ群,すなわち非斉次ローレンツ群の有限次元表現の表現空間を形成します。

空間反転,時間反転を含む斉次ローレンツ変換の群をＬとします。

ローレンツ変換の部分集合として,Ｐ＝Ｐ^μ＝(Ｐ⁰,Ｐ)を不変に保つ部分群Ｌ(Ｐ)をＬ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}で定義します。Ｌ(Ｐ)は,いわゆるＰに属する小群と呼ばれるもので,ウィグナー(Wigner)の導入したものです。

Ｂ-Ｓ振幅の運動量表示:φ_Br(ｐ,Ｐ_B)はΛＰ_B＝Ｐ_Bを満足するＬ(Ｐ_B)の元Λに対してのみ相互に変換できます。

これは,{φ_Br(ｐ,Ｐ_B)}_r=1ⁿがＬ(Ｐ_B)の表現空間の基底であることを意味します。

Ｌ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}は次のようなＰ依存性を持ちます。(以下では,ｓ＝Ｐ²＝(Ｐ⁰)²－Ｐ²です。) 

[1]Ｐ^μが時間的(time-like):ｓ＞0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(3)です。

(※何故なら,このときはＰ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)と取れば,明らかにＬ(Ｐ)は通常の３次元空間の回転群Ｏ(3)を意味します。)

[2]Ｐ^μが空間的(space-like):ｓ＜0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(2,1)です。

[3]Ｐ^μ≡0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(3,1)＝Ｌ全体です。

[4]Ｐ^μが光的(light-like):ｓ＝0 ならＬ(Ｐ)～Ｅ(2)です。

(※(訳注):光のようにｍ＝0 なら,Ｐ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)とは取れないので,ｓ＝0 を満たすようにＰ^μ≡(1,0,0,1)と取れば,Ｌ(Ｐ)は自由度が２の回転群:Ｅ(2)(２次元ユークリッド群)になります。)

そして,通常の体球関数の定義を一般化することにより,次のようにして小群Ｌ(Ｐ)の体調和関数Ｘ_l(ｐ)を定義します。

Ｘ_l(ｐ)は,(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0,およびＰ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 を同時に満足するｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式とします。

固定されたｌに対して,Ｘ_l(ｐ)の全体はＬ(Ｐ)の有限次元既約表現の空間を張ることが容易にわかります。

ここで,Ｐ^μは反変ベクトル,∂/∂ｐ^μは共変ベクトルです。 

Ｐ^μ∂/∂ｐ^μ≡Ｐ⁰∂/∂ｐ⁰＋ Ｐ¹∂/∂ｐ¹＋Ｐ²∂/∂ｐ²＋Ｐ³∂/∂ｐ³ですが,Ｘ_l(ｐ)はｐ^μのｌ次の同次式です。対称性から,これはｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝ｌＸ_l(ｐ)なる不変な等式を満たします。

まず,特殊なローレンツ系でＸ_l(ｐ)の標準形を求めます。

[1] ｓ＞0 の場合:Ｐ^μ≡(√ｓ, 0)とします。

　このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 から,√ｓ(∂/∂ｐ⁰)Ｘ_l(ｐ)＝0 により,Ｘ_l(ｐ)はｐ⁰に依存しないことがわかります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

そこで,この準拠系では(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0 はラプラス方程式:∇_p²Ｘ_l(ｐ)＝0 になります。故に,Ｘ_l(ｐ)の定義は通常の球関数Ｙ_lm(ｐ)と一致します。

このＹ_lm(ｐ)は,定係数を除いて|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)と同じ関数です。

ここに,θ,φはｐの極座標です。そしてＹ_lm(θ,φ)は通常の球面調和関数(球関数)です。

　このＹ_lm(ｐ)はゲーゲンバウアー(Gegenbauer)多項式:Ｃ_k^α(ｚ)によって表現するのも便利です。

すなわち,Ｙ_lm(ｐ)＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{(4π)(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2(2|ｍ|－1)!!(ｐ¹±iｐ²)^|m||ｐ|^l-mＣ_l-|m|^|m|+1/2(ｐ³/|ｐ|) (ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,..,ｌ)ですね。

ただし,±iはｍ/|ｍ|を意味し(2ｋ－1)!!はΠ_j=1^k(2ｊ－1)によって定義されます。

規格化因子はゲーゲンバウアー多項式の直交性:∫_-1¹ｄｚ(1－ｚ²)^α-1/2Ｃ_k^α(ｚ)Ｃ_k’^α(ｚ)＝πΓ(2α＋ｋ)δ_kk’/{2^2α-1ｋ!(α＋ｋ)Γ(α)²}から計算されます。(再掲終わり※)

　以上から,ｓ＞0 ではＰ^μ≡(√ｓ, 0)におけるユークリッド化された部分波Ｂ-Ｓ振幅を体調和関数としてφ~_νLlm(ｐ~,Ｐ)＝Ｙ_lm(θ,φ)|ｐ|^-1ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)(Ｌ≧ｌ≧|ｍ|)と書けることがわかります。

　このφ~_νLlm(ｐ~,Ｐ)を,先に書いたＢ-Ｓeq:{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]に,両辺のφ~_Br(ｐ~,Ｐ)に代わる因子として代入します。

　すると,部分波のＢ-Ｓeq.として,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)が得られます。

　ここで,Ｑ_l(ｚ)は第２種のルジャンドル(Legendre)関数で,ｚ→∞ではｚ^-l-1のように挙動します。第１種のルジャンドル関数(ルジャンドル多項式)Ｐ_l(ｚ)とはＱ_l(ｚ)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}によって関連付けられます。

(※訳注):右辺のうち,ｐ'空間全体の積分は,∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|²∫_-1¹ｄ(cosθ')∫₀^2πｄφ'Ｙ_lm(θ',φ')|ｐ'|^-1ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)/[μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|{cosθcosθ'＋ sinθsinsθ'cos(φ－φ')}]です。

ここで,具体的に,球関数をＹ_lm(θ,φ)≡Ｃ_lmexp(iｍφ)Ｐ_l^(m)(cosθ)(Ｐ_l^(m)(ｚ)はルジャンドル陪関数,Ｃ_lmは規格化定数)と表現し,また極軸(θ＝0)をｐの向きに取ると,上の積分はＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄ(cosθ')∫₀^2πｄφ'exp(iｍφ')Ｐ_l^(m)(cosθ')/[μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|cosθ']です。

ところが,右辺のｄφ'積分がゼロでない結果を与えるのはｍ＝0 のときのみであり,そのとき,Ｐ_l^(m)(ｚ)は第１種のルジャンドル関数Ｐ_l(ｚ)になります。

そこで,上の積分は,2πＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄζ[Ｐ_l(ζ)/{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|ζ}＝2πＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|(2|ｐ||ｐ'|)^-1ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}＝2πＣ_lm|ｐ|^-1∫₀^∞ｄ|ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)Ｑ_l(ｚ)}に帰着します。

ただし,最後の式ではｚ≡{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)と置きました。

　よって,Ｂ-Ｓ.eq.{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]に代入して,両辺に共通なＣ_lm|ｐ|^-1などの因子を簡約した結果,次式を得ます。 

すなわち,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞∫ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)です。(訳注終わり※)

　さて,積分方程式:{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞∫ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)の右辺の核(kernel)のトレース(trace)は有限です。

　そこで,この積分方程式には,古典Fredholm理論を適用できます。

　実際,固有値λ_νLl(ｓ)を除く積分核の部分のトレースを,σ_l(ｓ)と書けば,これは収束する積分で与えられます。

すなわち,σ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])です。

これから,幾つかの操作の後に,σ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[ｘ₃'δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃μ²－ｘ₃ｘ₁ｍ_a²－ｘ₂ｘ₃ｍ_b²－ｘ₁ｘ₂ｓ)]なる表現式が得られます。

これは,ｘ₃'を除けば,正確に三角グラフに対する質量殻上のFeymanパラメーター積分に対応しています。

(※訳注):Feymanパラメーター積分の公式:(ＡＢＣ)^-1＝2∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂＋Ｃｘ₃)³]から,σ_l(ｓ)＝(4/π)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴[ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}]^-3と書けます。

右辺の被積分関数の分母の[ ]の中は,ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}＝ｘ₁(ｍ_a²＋|ｐ|²)＋ｘ₂(ｍ_b²＋|ｐ|²)＋(ｘ₁＋ｘ₂){ｐ⁴－i√ｓ(ｘ₁η_a－ｘ₂η_b)/(ｘ₁＋ｘ₂)}²－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}です。

そして,定積分の式∫_-∞^∞ｄｘ[(ｘ－ｃ)²＋Ａ²]}^-3＝(3π/8)Ａ^-5を用いて∫_-∞^∞ｄｐ⁴積分を実行すれば,σ_l(ｓ)＝(3/2)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1/2∫₀^∞ｄ|ｐ|[{ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)＋(ｘ₁＋ｘ₂)|ｐ|²＋ｘ₃μ²/(2|ｐ|²)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)}^-5/2]となります。

さらに,∫₀^∞ｄｘ(ａｘ²＋ｂ＋ｃ/ｘ²)^-5/2＝∫₀^∞ｄｘ[ｘ⁵/(ａｘ⁴＋ｂｘ²＋ｃ)^5/2]＝(1/2)∫₀^∞ｄｔ[ｔ²/(ａｔ²＋ｂｔ＋ｃ)^5/2]＝(2/3)ａ^-1/2{ｂ－(4ａｃ)^1/2}^-2を用いて∫₀^∞ｄ|ｐ|積分を実行します。

すると,σ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1[ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)－{2(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ₃μ²}^1/2]^-2が得られます。

因子δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)があるので,被積分関数の中では(ｘ₁＋ｘ₂)を(1－ｘ₃)と同一視することもできます。(Pending)

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

ＰＳ:上の本文で結構苦労して考えている計算も中西さんの1963年のphys.Levの元論文や関連文献のコピーをネットで購入できるお金があればはるかに簡単なのですが。。。

　ワザワザ永田町の国会図書館まで足を運ぶのも面倒だし。。あるいは,知り合いの大学関係者に気軽に研究室の図書館からコピーを頼めればいいのですが。。。

ＰＳ２:今朝(８月10日(月))は,いつもの病院で初めて外科の先生に診てもらいました。(初診のＫ先生は若い頃の将棋の中原名人のようなかわいい顔の人なつこい印象の人でした。)

　２年前の心臓手術当時の,以前の内科の主治医がよく「Ｔさんが思っているのとは違って,本当はいつ逝ってもオカシクない瀬戸際なんですよ。」と言ってたように,私が思っている以上に病気はヒドイというのが真実らしく,今回も動脈硬化の足の血管を外科的に助けようとすると逆に心臓が助からないので奨めないということでした。

　足と心臓のどちらを助けるか選べと言われて,足を取るバカもいないでしょうね。足の方を選んだら命がないのですから。。

　というわけで,血管が細すぎて無理だと言われたカテーテルも含め外科的な方法はあきらめることにしました。

　また,骨髄から取った遺伝子を注射するという白血病で用いるような方法も糖尿性網膜症があるのでできないそうです。(これも失明しても良ければ可能でしょうから,いずれも究極の選択ですね。)

　要するに足が全く無くなるなら別に心臓には負担かからないけれど,足の血流を急に正常にしたなら,それを維持できるほどの心臓のポンプの能力がないので,現状の心臓では耐えられないということです。

　むしろ,今現在は足に血を通わせないおかげで,心臓がポンプとして持っているということらしいです。

　内科的には,現在の薬物投与を効率的な点滴による投薬に変更するために入院する方法はあるけれど,血流を改善するバイパスのような外科手術には耐えられないので,日常的に足が痛いのを我慢してセッセと歩くことで,心臓と共存できる自然な血管細胞の再生を促すという方法があるくらいだそうです。

　私にたくさん蓄えがあるとか身内が裕福とかで,ただ命を永らえる手段だけを模索して,ノンビリ湯治でもできる楽隠居の身分ならいいのですが。。。。

　生憎く私は性格がアリさんでなくキリギリスであったせいで(現在もそうです)日々の生活の糧を得るためには,病気という理由で遊んでいるわけにもいかないので,飯を食べるのにも窮々としています。

　もっとも,楽しいことが全然なくて苦しいだけの生活なら,別に命を永らえる必要もないですがね。。。

　(↑フン,病気になったのも金がないのも自業自得だぜ!!)

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神の摂理か？

　このところ,クソ暑かったり強い俄か雨があったり,変な天候や元々の貧乏性の性格のせいもあるのでしょうが,何か無性に"生き急ぎ"というか,極度にイライラして収拾がつかないアセリの気分に襲われ,いつも追い立てられているような気分です。

　一応,世間的慣習にかこつけて夏休みと称し,このブログが進まないことの言い訳もカムフラージュしています。

　しかし,実際には通常通りブログを書く努力はしていて,ただ行き詰っているだけです。そしてＰＣのマシンが古いためか,しょっちゅう熱暴走するので,一人で腹を立てています。

　科学記事関連は,今は「水の波」シリーズが終わって一段落し,ソリトンと関連して緩和法など発展方程式の数値計算や,くりこみ群などのテーマについての発展構想を推敲していますが記事としてはペンディングにしています。

　取り合えず,まだ終わっていない「ベーテ・サルピーター方程式」の続きを書いているのですが,具体的には「中西の積分表示」の計算がきれいにできず,アセリつつもズーッと停滞しています。

　何につけても,イライラとあせっている割には,やっていることが身になっていません。

　"女性との三角関係,あるいは官憲の陰謀で夭折するに至る決闘前夜に,20歳の天才数学者エヴァリスト・ガロア(Evaliste Galois)が遺稿となる論文の余白に,「もう時間がない。」と書いたという19世紀の故事"を引き合いに出すのは,カッコ良すぎて,ある種おこがましいのですが,

　このように,むやみにアセリが出るのは,私の周りが私のことを,「もう棺おけにほぼ両足を突っ込んでいる」と評しているように,私にも「残り時間が少ない」ことを示唆する「神の摂理？」が働いているのかな？

　などと,後ろ向きな考えが湧いてきます。

　もっとも,比較的ストレスフリーな生活が続いているので,暗い考えが湧くといっても,かつてのような「ウツ症状」ではないようで食欲もあります。

　今はむしろ,どんなことでもプラス思考でサカナにして笑い飛ばすような,「オプティミスト」になっていますね。

　しかし「フーテンの寅さん」のような冗談だと,笑い飛ばすといってもプラス思考とはいえませんね。。

ＰＳ：のりピーは私が大好きな女性でmixiのファンクラブのコミュニティに入っているし,CDも２枚所持しています。

　　　　　　　　　　　　　　　　

　今回の薬物疑惑での逮捕劇では,報道されている事実が真実なら,私の中では,むしろさらに彼女の株が上がりましたね。

　薬物関連の事件は,今までは日本では男性タレントの話がほとんどでした。特に元アイドルのような場合の女性では話題に上ったのは飯島愛さんくらいでしょうか。。。

　しかし,海外では最近ではマイケル・ジャクソン(Michael Jackson)の話がメインですが,古くはチャーリー・パーカー(Charles Parker),女性でもビリー・ホリディ(Billiy Hpliday)やジャニス・ジョプリン(Janis Joplin)など不幸にも薬物で命まで落としてしまいましたが,私がファンである対象の比較的大物のアーティストは,ほとんどがいわゆる禁止薬物常用でしたね。。

            　　　　　　(↓Janis　Joplin)

                    

　もちろん,命を失なう危険なものでしたから賛美はしませんが,その薬物を他人に売買したり強要するのでなく,単に自分で使用するだけなら,法律違反はさておき,いわゆる自己責任に属するものでしょうね。

　アーティストの薬物使用については,マイケル・ジャクソン(MJ)の場合,一方では整形手術の繰り返しもあったように,ある種の「可哀想な」境遇による精神的プレッシャーから逃避する手段の１つであることが多いようです

                  

　映画の撮影のような録画ではなく,ライブでのカメラの前や舞台に立つ場合,私のような凡人が酒に酔っ払ったときくらいしか得られないようなテンションを,タレントは素面の状態で維持する必要がありますね。

　特別にそれが苦にならないようなキャラの人々を除けば,これはかなりのストレスであろうと想像されます。

(だからといって"クスリ"を奨励するわけじゃないです。。。)

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とうとう命運尽きたか？

　ちょっと,「非線形波とソリトン」からインスタントン,線形格子や非線形格子(戸田格子),そしてφ⁴-理論からヒッグス機構との関連や格子の場の理論(格子ゲージ理論),あるいは「くりこみ」における格子正則化などの情報を仕入れたり,関連して,くりこみ群の復習などしていました。

　結局,自分がオリジナルな発想と思っていて,来年,還暦を機に久しぶりにこれらを論文にでもしようか,と考えていたことのほとんどは既に存在しているアイデアであったということに気付いてしまいました。

　舞い上がっていたのは自分ひとりだったようですね。しかし,まあ,考え方の本筋は主流からはずれていなかったわけです。

　というわけで,しらけたこともあり,物理や数学関連の記事については,少しの間勝手に夏休みを頂いています。

　ところで,長い糖尿病のおかげで,両足のふくらはぎから下が壊疽で切断とまではいかないまでも,閉塞性の動脈硬化が進んでいるらしく,検査によると特に右足がひどいということです。

　動脈血管の石灰化が強くなければ,足の付け根から動脈にカテーテルを入れて,動脈血管をバルーンで膨らませ金属のステントを入れる方法とか,バイパス手術をするとかの方法での治療があるらしくそれらの施術,手術は簡単なところでは１日か数日の入院でできるとのことです。

　しかし,これが原因？で下手をすると心筋梗塞を起こすらしいです。

　私の場合は,２年以上前に既に２回心筋梗塞を済ませているし,心臓バイパス手術も終わっているので,それは逆のパターンかもしれません。

　心臓じゃなく足なので,まだましだろうと軽く考えていましたが,ちょっとネットで調べてみると,動脈硬化は大腸がんよりも施術後の延命率が低く,手術後平均２年の命とか,５年後での生存率が44％とか。。。

　これらの数字は,故村田英雄さんのように,壊疽で足を切断した場合のそれじゃないのかなあ？

　いずれにしても,命は10年持てばいいみたいです。

　ただ,遺伝子治療というのがあり,逆に動脈血管の石灰化が強くて手術が不可能な場合などにも,自分の骨髄とか他の内臓細胞を動脈注射して,動脈血管の再生を促す治療もあるらしく,末期がんのワクチンのように延命の特効治療的なものもあるみたいですね。

　まあ,いとしのマリア様からも久しぶりの便りがあったし,そろそろ天国(地獄？)も近づいてるのかもね。。。(永眠したい？)

　少し功徳を積んで,今は博多にあるという「イエスの方舟」でも継ぐかな？。。

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