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2009年9月

2009年9月29日 (火)

定量的地震学4

 地震学の続きです。

さて,前回の最後では表示定理の形式として次の3つの異なる表現を得ました。

n(,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Gin(,t-τ;ξ,0)]dVξ+∫-∞dτ∫S{Gin(ξ,t-τ;,0)Ti((ξ,τ),)-ui(ξ,τ)Cijkl(ξ)nj{∂Gkn(ξ,τ-t;,0)/∂ξl}]dSξ ・・(1)

n(,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Grigin(,t-τ;ξ,0)]dVξ-∫-∞dτ∫S[ui(ξ,τ)Cijkl(ξ)nj{∂Grigkn(,τ-t;ξ,0)/∂ξl}]dSξ ・・(2)

n(x,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Gfreein(,t-τ;ξ,0)]dVξ+∫-∞dτ∫S{Gfreein(,t-τ;ξ,0)Ti((ξ,τ),)}dSξ ・・(3)

これらを総見すると,変位(,t)はS上の変位に依存するのか,応力に依存するのか,それとも両方に依存するのか,ということに関して矛盾を示しているように見えます。

しかし,弾性媒質上では応力と変位は独立には決まらないので矛盾はありません。

表示定理において,その上で応力,または変位の陽な値が要求される表面Sとしては,通常Vの外側の面を意味します。

 

この表面Sを埋没した断層の相対する面であるような2つの隣り合う内部面として考慮するという課題は,地震源の理論にとって中心的な問題ですが,これは後の章で扱う予定です。

さて,これまではデカルト座標のみを考えてきましたが実際の地震学では個々の問題にとって変位,応力,歪みの成分間の物理的関係が単純に見える一般曲線座標を適用した方が適切なことが多いとわかります。

そこで,弾性理論において必要な通常のベクトルや微分作用素∇(grad,div,rot),∇2等について一般の直交曲線座標における形や性質を求めてみます。

まず,位置ベクトルのデカルト座標(x1,x2,x3)が別のパラメータ(c1,c2,c3)で指定されるとします。すなわち,(x1,x2,x3)の各成分が(c1,c2,c3)のスカラー関数xi=xi(c1,c2,c3)(i=1,2,3)で与えられるとします。

そして,これらの関数xiは全て連続な導関数を持ち,常に逆関数cp=cp(x1,x2,x3) or cp=cp()(p=1,2,3)が存在するとします。

そこで,方程式cp()=(一定)は各pについて座標面を作ります。3つの座標面cp()=(一定)は,それに沿ってc1,c2,c3のうちの1つcpのみが変わるような線素(軸)と交わっています。

pをそうしたcp()=(一定)の座標面に垂直な単位法線ベクトルとします。位置ベクトル+dが共にcp()=(一定)の同じ座標面にあるとすれば,cp(+d)=cp()です。

 

そこで,d∇cp=0 ですがdは面上の任意の線素ですから∇cpはこの面に垂直なベクトルです。それ故∇cppに平行です。

そこで1/hp≡|∇cp|とおけば,p=hp∇cpです。さらに,(c1,c2,c3)が(x1,x2,x3)と同じく右手系であるとすれば,pq=δpqかつ31×2です。

そして,^iをデカルト座標の第i軸単位ベクトルとすると=xi^iより^i=∂/∂xiです。

そして,pipの第iデカルト成分とすればp=hp∇cpからnpi=hp(∂cp/∂xi)です。

それ故,p=npi^i=npi(∂/∂xi)=Σqpi(∂/∂cq)(∂cq/∂xi)=Σq(npiqi/hq)(∂/∂cq)=Σqpq/hq)(∂/∂cq),すなわち,p=(1/hp)(∂/∂cp),または∂/∂cp=hppという表現式を得ます。

位置ベクトルの微小変化dはc1,c2,c3の微小変化とはd=Σp(∂/∂cp)dcpによって関連付けられるのでds2≡d=Σp,q(∂/∂cp)(∂/∂cq)dcpdcq=Σp,qpqpqdcpdcq=Σp(hpdcp)2です。

結局,ds2=dx12+dx22+dx32=(h1dc1)2+(h2dc2)2+(h3dc3)2を得ます。すなわち,1に沿う増分dc1に対するユークリッド距離はh1dc1,同様なことは,3に沿う増分dc,dc3についてもいえます。

後に必要になる∂p/∂cqの形の導関数を法線pを微分しない式を求めておきます。

pq=δpq,およびp=(1/hp)(∂/∂cp)から,p(∂q/∂cr)+q(∂p/∂cr)=0(18個の方程式),∂(hpp)/∂cq=∂(hqq)/∂cp(3個の方程式)が得られます。これらは∂p/∂cqの27個の未知成分に対して丁度27個の異なる方程式になっていますから解を決定するのに十分です。

実際,(∂/∂cp)(∂/∂cq)=(hpp)(hqq)=hpqδpqより,0=(∂/∂c1)(∂/∂c2)(∂/∂c3)+(∂/∂c2)(∂/∂c3)(∂/∂c1)-(∂/∂c3)(∂/∂c1)(∂/∂c2)=2(∂2/∂c1∂c2)(∂/∂c3)ですから,∂/∂cp=hppによって{∂(h22)/∂c1}3={∂(h11)/∂c2}3=0です。

そこで,∂(h22)/∂c1=∂(h11)/∂c23と直交しますから,12の1次結合で表現できます。しかし,∂(h22)/∂c1=h2(∂2/∂c1)+(∂h2/∂c1)2,かつ∂(h11)/∂c2=h1(∂1/∂c2)+(∂h1/∂c2)1より,結局∂2/∂c1,∂1/∂c2自身が12の1次結合です。

p(∂q/∂cr)+q(∂p/∂cr)=0から,明らかに2(∂2/∂c1)=1(∂1/∂c2)=0により∂2/∂c1=A211,∂1/∂c2=A122と書けます。

結局,h2211+(∂h2/∂c1)2=(∂h1/∂c2)1+h1122から∂2/∂c1=(1/h2)(∂h1/∂c2),かつ∂1/∂c2=(2/h1)(∂h2/∂c1)が得られます。

以上から,p≠qなら∂p/∂cq=(q/hp)(∂hq/∂cp)です。

一方,p(∂q/∂cr)+q(∂p/∂cr)=0 からp(∂p/∂cp)=0 です。そこで,特に∂1/∂c123だけの線形和として1/∂c1=B122+B133と書けます。

そして,2(∂1/∂c1)+1(∂2/∂c1)=0 よりB12=-(1/h2)(∂h1/∂c2)です。同様にB13=-(1/h3)(∂h1/∂c3)なので∂1/∂c1=-(2/h2)(∂h1/∂c2)-(3/h3)(∂h1/∂c3)です。

以上から,∂p/∂cq=(q/hp)(∂hq/∂cp)-δpq[(1/h1)(∂hp/∂c1)+(2/h2)(∂hp/∂c2)+(3/h3)(∂hp/∂c3)]なる一般公式が得られました。

この公式に従って通常のデカルト座標での歪み成分eij(1/2)(ui,j+uj,i)を一般化した歪み成分epqと変位成分urの関係を求めます。

ここで,epqは準拠点で一般直交曲線座標で指定された右手系の方向単位ベクトル1,2,3に取られた局所的な回転デカルト軸で参照される単なるデカルト2階テンソルの成分です。

歪みの次元さえ持たない一般のテンソル成分epqよりも歪みの物理的成分eijを強調したいので当面の問題は,成分epqを各点ごとに1,2,3で決められている変位の物理成分による微分係数によって表現することです。

そして,通常の固定でカルト座標とは異なり,点ごとに一定ではない目盛り関数h1,h2,h3と同じく点ごとに一定でない方向1,2,3の空間変化のために困難が生じます。

pに沿うデカルト軸^1,^2,^3 (ただし^i=∂/∂xi)に対する方向余弦を(np1,np2,np3)とします。つまり,p=npi^i,または(p,^i)=npiです。

そこで,変位ベクトルの成分を=ui^i=Σpppと書けばui=Σpppiですが,npiqi=δpqなのでup=npiiでもあります。

それ故,ベクトルの直積と同じ変換性を有する2階テンソルの成分間の関係はeij=Σp,qpqpiqj,またはepq=npiqjijです。

ところで,すぐ前では同じくnpipの第iデカルト成分とするとp=Σpp∇cpよりnpi=hp(∂cp/∂xi)であり,そこでp=npi^i=npi(∂/∂xi)=Σqpi(∂/∂cq)(∂cq/∂xi)=Σq(npiqi/hq)(∂/∂cq)=Σqpq/hq)(∂/∂cq),すなわちp=(1/hp)(∂/∂cp) なる表現式を得ました。

したがって,epq=npiqjij={1/(2hpq)}(∂/∂cp)(∂/∂cq)(∂ui/∂xj+∂uj/∂xi)={1/(2hpq)}{(∂xi/∂cp)(∂ui/∂cq)+(∂xi/∂cq)(∂ui/∂cp)}です。

それ故,epq={1/(2hq)}[(∂/∂cq){(ui/hp)(∂xi/∂cp)}-ui(∂/∂cq){(1/hp)(∂xi/∂cp)}]+{1/(2hp)}[(∂/∂cp){(ui/hq)(∂xi/∂cq)}-ui(∂/∂cp){(1/hq)(∂xi/∂cq)}]です。

ここで,p=(1/hp)(∂/∂cp)またはnpi=(1/hp)(∂xi/∂cp),そしてup=npii=(ui/hp)(∂xi/∂cp)を代入すると,epq={1/(2hq)}(∂up/∂cq)+{1/(2hp)}(∂uq/∂cp)-(ui/2){(1/hp)(∂npi/∂cq)+(1/hq)(∂nqi/∂cp)}です。

結局,epq={1/(2hq)}(∂up/∂cq)+{1/(2hp)}(∂uq/∂cp)-(/2){(1/hp)(∂p/∂cq)+(1/hq)(∂q/∂cp)}なる式が得られました。

これの右辺に先に得た公式:∂p/∂cq=(q/hp)(∂hq/∂cp)-δpq[(1/h1)(∂hp/∂c1)+(2/h2)(∂hp/∂c2)+(3/h3)(∂hp/∂c3)]を代入します。

unp=npii=upなので(1/hq)(∂up/∂cq)-(unp/hpq)(∂hp/∂cq)=(1/hq)(∂up/∂cq)-(up/hpq)(∂hp/∂cq)=(hp/hq){∂(up/hp)/∂cq}です。

それ故,epq={1/(2hq)}(∂up/∂cq)+{1/(2hp)}(∂uq/∂cp)-(/2){(1/hp)(∂p/∂cq)+(1/hq)(∂q/∂cp)}=(1/2)[(hp/hq){∂(up/hp)/∂cq}+(hq/hp){∂(uq/hq)/∂cq}]+(δpq/hq)[(u1/h1)(∂hp/∂c1)+(u2/h2)(∂hp/∂c2)+(u3/h3)(∂hp/∂c3)]です。

こうして最終的にはデカルト座標の添字は全て削除されました。再記するとepq(1/2)[(hp/hq){∂(up/hp)/∂cq}+(hq/hp){∂(uq/hq)/∂cq}]+(δpq/hq)[(u1/h1)(∂hp/∂c1)+(u2/h2)(∂hp/∂c2)+(u3/h3)(∂hp/∂c3)]です。

q≠pのepqの非対角要素の場合なら右辺第2項がゼロですから,第1項が成分epqに一致します。つまり,q≠pならepq=(1/2)[(hp/hq){∂(up/hp)/∂cq}+(hq/hp){∂(uq/hq)/∂cq}]です。

一方,q=pの対角要素の場合には,(第1項)=∂(up/hp)/∂cp=(1/hp)(∂up/∂cq)-(up/h2p)(∂hp/∂cp)ですから,(第2項)=(1/hp)[(u1/h1)(∂hp/∂c1)+(u2/h2)(∂hp/∂c2)+(u3/h3)(∂hp/∂c3)]の3項のうち(up/h2p)(∂hp/∂cp)に一致する1つの項が(第1項)の-(up/h2p)(∂hp/∂cp)と相殺して消えます。

そこで,対角要素はe11=(1/h1)(∂u1/∂c1)+{u2/(h12)}(∂h1/∂c2)+{u3/(h31)}(∂h1/∂c3),e22=(1/h2)(∂u2/∂c2)+{u3/(h23)}(∂h2/∂c3)+{u1/(h12)}(∂h2/∂c1),e33=(1/h3)(∂u3/∂c3) +{u1/(h31)}(∂h3/∂c1)+{u2/(h23)}(∂h3/∂c2)となります。

次にτの一般直交曲線座標成分における応力-変位関係を得るために,前に「定量的地震学1」で固定デカルト座標で運動方程式ρ(∂2i/∂t2)=fi+τji,jを導出した際の手順を繰り返します。

すなわち,表面境界Sを持つ体積Vの弾性体に対するラグランジュ的記述でのニュートンの運動方程式(∂/∂t)[∫V{ρ(∂/∂t)}dV]=∫VdV+∫S()dSの右辺の項∫S()dSに着目します。

()dSにおけるdSの外向き法線ベクトルの記号は今の一般直交座標の方向単位ベクトル1,2,3にと混同されると困るので記号νに変更して(ν)dSとします。

ν=νj^j=Σpνppであり,eij=Σp,qpqpiqjと同様τij=Σp,qτpqpiqjですから,(ν)dSの^軸成分はTi(ν)dS=τijνjdS=Σp,qτpqpiqjνjdS=Σp,qτpqpiνqdSです。

ここに,νはdSの外向き単位法線ベクトルなのでνqqに沿って分解されたdSの法線の成分です。そこでνqdSはcq()=(一定)の座標面へのdSの射影です。

それ故1dS=h23dc2dc32dS=h31dc3dc13dS=h12dc1dc2なる表現を得ます。

したがって,ガウスの定理から∫Si(ν)dS=ΣpSp1pi23dc2dc3+τp2pi31dc3dc1+τp3pi12dc1dc2]=ΣpV[(∂/∂c1)(τp1pi23)+(∂/∂c2)(τp2pi31)+(∂/∂c3)(τp3pi12)]dc1dc2dc3です。

ここで以前「定量的地震学1」において,∫Sj(ν)dS=SτjiνjdSV(∂τji/∂xj)dVと∫V{ρ(∂2/∂t2)}dV=∫VdV+∫S(ν)dSから微分型の運動方程式ρ(∂2i/∂t2)=fi+∂τji/∂xjを得たことを思い起こします。

今は物理的体積要素は一般座標でdV=h123dc1dc2dc3ですから,ρ(∂2i/∂t2)=fi+{1/(h123)}Σp,q[(∂/∂cq)(τpqpi123/hq)]なる方程式を得ます。

これは,ベクトル表記ではρ(∂2/∂t2)=+{1/(h123)}Σp,q[(∂/∂cq)(τpqq123/hq)]です。

 

これは,両辺にpを掛けてデカルト座標添字を一般座標添字に変換した表示ではρ(∂2p/∂t2)=fp+{p/(h123)}Σr,q[(∂/∂cq)(τrqr123/hq)]です。

特に,ρ(∂21/∂t2)=f1+{1/(h123)}Σr[(∂/∂c1)(τ1123)+(∂/∂c2)(τ1231)+(∂/∂c3)(τ1312)]+Σr[(τr1/h1){1(∂r/∂c1)}+(τr2/h2){1(∂r/∂c2)}+(τr3/h3){1(∂r/∂c3)}]です。

これに,再び公式∂p/∂cq=(q/hp)(∂hq/∂cp)-δpq[(1/h1)(∂hp/∂c1)+(2/h2)(∂hp/∂c2)+(3/h3)(∂hp/∂c3)]を代入します。

特に,1(∂r/∂cq)=(δq1/hr)(∂hq/∂cr)-(δrq/h1)(∂hr/∂c1)ですからΣr[(τr1/h1){1(∂r/∂c1)}+(τr2/h2){1(∂r/∂c2)}+(τr3/h3){1(∂r/∂c3)}]={τ21/(h12)}(∂h1/∂c2)+{τ31/(h13)}(∂h1/∂c3)-{τ22/(h12)}(∂h2/∂c1)-{τ33/(h31)}(∂h3/∂c1)です。

そこで,運動方程式の1方向成分はρ(∂21/∂t2)=f1+{1/(h123)}[(∂/∂c1)(τ1123)+(∂/∂c2)(τ1231)+(∂/∂c3)(τ1312)]-{τ12/(h12)}(∂h1/∂c2)-{τ13/(h13)}(∂h1/∂c3)-{τ22/(h21)}(∂h2/∂c1)-{τ33/(h31)}(∂h3/∂c1)となります。

同様にしてρ(∂22/∂t2)=f2+{1/(h123)}[(∂/∂c1)(τ2123)+(∂/∂c2)(τ2231)+(∂/∂c3)(τ2312)]-{τ21/(h21)(∂h2/∂c1)-{τ23/(h23)}(∂h2/∂c3)-{τ11/(h12)}(∂h1/∂c2)-(τ33/h32)(∂h3/∂c2)となります。

ρ(∂23/∂t2)=f3+{1/(h123)}[(∂/∂c1)(τ3123)+(∂/∂c2)(τ3231)+(∂/∂c3)(τ3312)]-{τ31/(h31)(∂h3/∂c1)-{τ32/(h32)}(∂h3/∂c2)-{τ11/(h13)}(∂h1/∂c3)-{τ22/(h23)}(∂h2/∂c3)となります。

 

さて,固定デカルト座標では応力-歪み関係はτij=Cijklklですが「定量的地震学2」で述べたように,等方性媒体中では係数の一般形がCijkl=λδijδkl+μ(δikδjl+δilδjk)なのでτij=λδijkk+2μeijです。

 

ラメ(Lame)の係数λ,μは一般には位置の関数です。そしてekk=e11+e22+e33=divでこれは体積歪みに相当します。

 

τij=Cijklklは応力-歪み関係の線形性を示しているので一般座標系でも同じ形の関係τpq=Σr,spqrsrsになるはずです。

 

上述したように応力テンソルと歪みテンソルの変換性はτij=Σp,qτpqpiqj,かつeij=Σp,qpqpiqjです。

  

故にτij=CijklklΣp,qΣr,spqrsrspiqj=CijklΣr,srsrkslとなりますから両辺にntiujを掛けて縮約するとΣr,stursrs=Cijkltiujrkslrsです。

  

それ故,結局Cpqrs=Cijklpiqjrkslを得ます。

 

そこで,等方性媒質Cijkl=λδijδkl+μ(δikδjl+δilδjk)では,Cpqrs=λδpqδrs+μ(δprδqs+δpsδqr)ですからτpq=λδpqΣrrr+2μepqが得られます。

 

特に直交曲線座標が空間極座標(c1,c2,c3)=(r,θ,φ)のときにはh1,h2,h3はそれぞれ1,r,rsinθです。このときには,e12をe,u3をuφetc.と記述します。

 

また,円筒座標(c1,c2,c3)=(r,φ,z)のときにはh1,h2,h3はそれぞれ1,r,1です

 

今日はこれで終わります。

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

 

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2009年9月28日 (月)

がんばれ!!

 エリカ様も朝青龍もがんばれよ。。。。

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2009年9月23日 (水)

定量的地震学3

 地震学の続きです。

 今日は,地震学において典型的に生じる変位の形を表示する方法について考察します。

 

 先の記事では,一意性定理によって初期変位と運動を生ぜしめる要因である実体力,応力を与えれば弾性体における変位はユニークに決まることを見ました。

 しかし,通常の地震の断層による震源は有限体積と有限時間に広がっていて,様々な方向と大きさを持った運動を含むという意味でかなり複雑なものです。

 

 そこで,現実的な地震をモデル化した震源による変位が最も単純な震源から生じる変位から総合して扱えるような1つの簿記的道具を与えることを考えます。

 ここで,最も単純な震源というのは空間と時間の両方において正確に指定された単一方向の単位衝撃(力積:inpulse)です。こうした単純な震源による変位場は弾性力学のグリーン関数(Green's function)と呼ばれるものです。

 空間位置ξとt=τにおいて単位衝撃がn方向に加えられたときの一般座標(,t)における変位のi成分uiをGin(,t;ξ,τ)と表わすことにします。

以前の記事「定量的地震学1」では運動方程式がρ(∂2i/∂t2)=fi+τji,jで与えられることを見ました。

 

右辺のfiは正確にはある時刻tににおいて作用する体積力(実体力)(,t)の第i成分です。そして,その記事では衝撃Aと力の関係について次のように書きました。

すなわち,"弾性体を構成する位置ξにおける1つの個別粒子に対し時刻t=τにn方向に瞬時的に加えられる1つの体積力(,t)があれば,その成分fi(,t)は空間位置を与えるのに3次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,衝撃の時刻を与えるのに1次元のデルタ関数に比例してfi(,t)=Aδ3(ξ)δ(t-τ)δinと表現されます。

Aは衝撃の強さを与える定数です。fi3(ξ),δ(t-τ)の次元はそれぞれ,[力/体積]=MLT-2/L3,1/L3,1/Tであることに着目するとδinは無次元なので,衝撃の強さAは正しく,衝撃=力積の物理的次元を有することがわかります。"と書きました。

運動方程式ρ(∂2i/∂t2)=fi+τji,jにおいて,ui=Gin(,t;ξ,τ),fi(,t)=δ3(ξ)δ(t-τ)δinを代入し,さらに応力テンソルτijとしてフックの法則による表現:τijijklkl;ij(1/2)(ui,j+uj,i)=(1/2)(Gin,j+Gjn,i)を代入します。

すると,グリーン関数ui=Gin(,t;ξ,τ)を定めるための方程式として,ρ(∂2in/∂t2)=δinδ3(ξ)δ(t-τ)+(∂/∂xj){Cijkl(∂Gkn /∂xl)}を得ます。

ただし,t≦τ,かつξではGin(,t;ξ,τ),∂Gin(,t;ξ,τ)/∂tが全てゼロという初期条件を与えます。

グリーン関数をユニークに決定するには,さらに境界面S上の境界条件を指定することが必要です。これには個々の環境に応じて種々の異なる境界条件を使用することで対応します。

Sが剛体表面で境界条件が時間に依存しないなら時間の原点はどのようにでもシフトできます。それ故,Gin(,t;ξ,τ)=Gin(,t-τ;ξ,0)ですからグリーン関数Gin(,t;ξ,τ)は時間変数tとτについてはt-τという組み合わせのみに依存することがわかります。

したがって,Gin(,t;ξ,τ)=Gin(,t-τ;ξ,0)=Gin(,-τ;ξ,-t)です。この性質は震源と受信点に関する相反定理と呼ばれるものです。

一方,ベッチ(Betti)の定理の積分形∫-∞dt∫V[(,t)(,τ-t)-(τ-t)(,t)]dV=∫-∞dt∫S{(,τ-t)((,t),)-(,t)((,τ-t),)}dSにおいて,fi(,t)=δimδ3(ξ1)δ(t-τ1),gi(,t)=δinδ3(ξ2)δ(t+τ2),ui(,t)=Gim(,t;ξ11),vi(,t)=Gin(,t;ξ2,-τ2)を代入します。

すると,左辺=∫-∞dt∫V[Gim(.t;ξ11inδ3(ξ2)δ(τ-t+τ2)-Gin(,τ-t;ξ2,-τ2imδ3(ξ1)δ(t-τ1)]dV=Gnm(ξ2,τ+τ2;ξ11)-Gmn(ξ1,τ-τ1;ξ2,-τ2)です。

そして,右辺=∫-∞dt∫S[Gin(.τ-t;ξ2,-τ2)Cijklj{∂Gkm(,t;ξ11)/∂xl}-Gim(,t;ξ11)Cijklj{∂Gkn(,τ-t;ξ2,-τ2)/∂xl}]dSです。

ところがi(,t)=Gim(,t;ξ11),vi(,t)=Gin(,t;ξ2,-τ2)がS上で斉次境界条件ui+γji,j=0,vi+γji,j=0 を満足するなら,Sの上ではvi(τ-t)Cijkljk,l(t)-ui(t)Cijkljk,l(τ-t)=Cijklj{-γpi,p(τ-t)uk,l(t)+γpi,p(t)vk,l(τ-t)}=0 なので,結局,右辺はゼロとなります。

そこで,がS上で斉次境界条件を満たす場合には震源と受信点に対しGnm(ξ2,τ+τ2;ξ11)=Gmn(ξ1,τ-τ1;ξ2,-τ2)なる等式で示される重要な相反定理が得られました。

特にτ1τ20 と選べばGnm(ξ22;ξ1,0)=Gmn(ξ1,τ;ξ2,0)を得ますが,これは純粋な空間相反性です。一方,τ=0とすればGnm(ξ22;ξ11)=Gmn(ξ1,-τ1;ξ2,-τ2)ですが,これは空間・時間相反性を示しています。

弾性力学のグリーン関数を具体的に求めることは,それ自身複雑な問題ですが,この課題については,最も単純な均質で等方的な弾性固体媒質の場合と,震源と受信点の間が不均質で大きく離れている場合について後に扱う予定です。

さし当たってグリーン関数が既知としての議論に集中します。

 

再びベッチの定理の積分形∫-∞dt∫V[(,t)(,τ-t)-(τ-t)(,t)]dV=∫-∞dt∫S{(,τ-t)((,t),)-(,t)((,τ-t),)}dSに,gi(,t)=δinδ3(ξ)δ(t),vi(,t)=Gin(,t;ξ,0)を代入します。

 

こうすれば,Vにおける実体力とSにおける変位が既知のときの変位場を得ることができます。

すなわち,un(ξ,τ)=∫-∞dt∫V[i(,t)Gin(,τ-t;ξ,0)]dV+∫-∞dt∫S{Gin(,τ-t;ξ,0)Ti((,t),)-ui(,t)Cijkljkn,l(,τ-t;ξ,0)}dSです。

この式の物理的解釈を行なう前に,記号ξ,およびtとτを交換した方がいいと思われるのでそうします。

 

n(x,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Gin(,t-τ;ξ,0)]dVξ+∫-∞dτ∫S{Gin(ξ,t-τ;,0)Ti((ξ,τ),)-ui(ξ,τ)Cijkl(ξ)njkn,l(ξ,t-τ;,0)}dSξですね。

最後の被積分関数の項の因子kn,l(ξ,t-τ;,0)はξlによる微分∂Gkn,l(ξ,τ-t;,0)/∂ξlを意味することになります。

このように,弾性体における変位を初期変位,および運動を生ぜしめる要因である実体力,応力によって一意的に表わす方法,あるいは表示式を表示の定理と呼びます。

上に得られた最初の表示定理は,ある明確な点での変位がV中の到るところでの実態力による寄与,およびS上の応力(,)と自身による寄与から作り上げられるメカニズムを表現しています。

しかし,これら3つの寄与が重み付けされる方法は一見して不十分なものです。

 

というのは,各々の寄与を与える項はを震源としξを受信点とするグリーン関数を含んでいますが,むしろ,を"観測点=受信点"とするグリーン関数を使用した表現が望ましいと考えられるからです。

 

ξを震源としを受信点とするグリ-ン関数による表現であれば,における変位は各体積要素dVと面積要素dSによるへの変位の寄与の"総和(重ね合わせ)=積分"と見なせる合理的な解釈ができます。

そこで,に対する相反定理を使用すればよいと思われますが,これはグリ-ン関数への余分な条件を要求します。

なぜなら,空間相反性:Gin(ξ,t-τ;,0)=Gni(,t-τ;ξ,0)であれば,これはが境界S上で斉次境界条件を満たすときに限って証明された性質です。一方,上の表示定理の方は(ξ,τ)でのn方向への単位衝撃による任意のグリーン関数に対して正しい公式です。

特に,グリーン関数がS上で斉次境界条件を満たす2つの異なる場合について考察してみます。

まず,がS上で剛体境界条件を満たす場合のグリーン関数であるとします。このときのグリーン関数をrigと書けば,Sが剛体面なのでξ∈SならGrigin(ξ,t-τ;,0)=0です。

こうすれば先の表示公式はun(x,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Grigiin(,t-τ;ξ,0)]dVξ-∫-∞dτ∫S[ui(ξ,τ)Cijkl(ξ)nj{∂Grigkn,l(,τ-t;ξ,0)/∂ξl}]dSξとなります。

もう1つの場合はSが自由境界面の場合でS上では応力がない場合です。例えば真空の宇宙空間での星の表面での応力は圧力Pのみであってゼロであると近似できます。

  

この自由境界条件のグリーン関数をfreeと書けば,ξ∈SならCijkl(ξ)nj{∂Gfreekn,l(ξ,τ-t;,0)/∂ξl}=0 です。

このときの表示公式はn(x,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Gfreein(,t-τ;ξ,0)]dVξ+∫-∞dτ∫S{Gfreein(,t-τ;ξ,0)Ti((ξ,τ),)}dSξとなります。

今日はここで終わります。

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

 

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2009年9月20日 (日)

目次(物理5)

物理5 (記事数:58)

⑯素粒子論全般(7)

 私のライフワーク  ポジトロニウムの安定性

 電子を大きさのない点であると考える背景

 超弦理論テキストにおける計算ミス

 電流によって発生する光子の個数分布

 高密度下でのφメソンの質量減少を確認(KEK)

 中性子の磁気モーメント

⑰S行列とレッジェ理論=前期弦理論? (15)

   (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

  (11) (12)  (13) (14) (15)

⑱束縛状態とベーテ・サルピーター方程式 (9)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

⑲超弦理論 (27

 超弦理論(1)(初期の双対模型(dual model))

 超弦理論(2)(ヴェネツィアノ振幅と双対性)

 超弦理論(3)(双対模型から超弦理論へ)

 超弦理論(4)(点粒子の作用)

 超弦理論(5)(弦の作用(南部・後藤 & Polyakov))

 超弦理論(6)(弦の拘束方程式)

 超弦理論(7)(弦の相互作用と頂点演算子)

 超弦理論(8)(弦の頂点演算子とM点散乱振幅))

 超弦理論(9)(タキオン(続き)と重力子の散乱振幅)

 超弦理論(10)(開弦とチャン・パトン因子)

 超弦理論(11)(開弦の振幅とユニタリ性)

 超弦理論(12)(2-1)   超弦理論(13)(2-2)  超弦理論(14)(2-3)

 超弦理論(15)(2-4)  超弦理論(16)(2-5)  超弦理論(17)(2-6)

 超弦理論(18)(2-7)  超弦理論(19)(2-8)  超弦理論(20)(2-9)

 超弦理論(21)(2-10) 超弦理論(22)(2-11)  超弦理論(23)(2-12)

 超弦理論(24)(2-13)  超弦理論(25)(2-14)   超弦理論(26)(2-15)

  超弦理論(27)(2-16)

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目次(物理4)

物理4 (記事数:47)

⑬光学(古典論,量子論) (22)

 光子の干渉とコヒーレンス  光電効果と光の量子論(1)

 光電効果と光の量子論(2)  ヤングの干渉実験(1)(古典論)

 ヤングの干渉実験(2)(量子論)

 ヤングの干渉実験(3)(量子論)

 ヤングの干渉実験(4)(量子論)

 ヤングの干渉実験(5)(量子論)

 ヤングの干渉実験(6)(量子論)

 ヤングの干渉実験(7)(量子論)

 ヤングの干渉実験(8)(量子論)終わり

 光(電磁波)の散乱(1) 光(電磁波)の散乱(2) 光(電磁波)の散乱(3)

 光(電磁波)の散乱(4)   電磁波の放射(1) 

 電磁波の放射(2)(多重極展開) 電磁波の放射(3)(多重極展開続き) 

 電磁波の放射(4)(点電荷による電磁波1) 

 電磁波の放射(5)(点電荷による電磁波2)

  電磁波の放射(6)(点電荷による電磁波3:散乱)

  電磁波の放射(7)(点電荷による電磁波4:場の反作用)

⑭流体力学(層流から乱流(非線型波・ソリトン)ヘの道) (17)

 流体力学の話  ベナール対流の安定性とレイリー数

 遅い粘性流(1)(Stokes近似) 遅い粘性流(2)(Stokes近似)

 遅い粘性流(3)(Oseen近似) 遅い粘性流(4)(Oseen近似)

 遅い粘性流(5)(Stokes近似)

 ダランベールの背理(D'Alembert's paradox)

 揚力とベルヌーイの定理 水の波(1)(微小振幅波) 

 水の波(2)(浅水波,深水波,表面張力波)

 水の波(3)(定在波,定常波) 水の波(4)(波群,群速度)

 水の波(5)(群速度,波のエネルギー) 

 水の波(6)(有限振幅の波:非線形波1)

 水の波(7)(有限振幅の波:非線形波2)

 水の波(8)(有限振幅の波:非線形波3)

⑮弾性理論,特に地震理論 (8)

 結晶内での弾性波(地震波) 

 定量的地震学1 定量的地震学2 定量的地震学3 

 定量的地震学4 定量的地震学5 定量的地震学6

 震源の探知(大森公式等)

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目次(物理3)

物理3(記事数:147)

⑦量子論Ⅰ(基礎理論) (33)

 黒体輻射(空洞輻射)と空洞の形状  負エネルギー解と相対論的因果律

 スペクトル展開と超関数(量子力学)  エネルギーと時間の不確定性関係

 不確定性,相補性とネーターの定理  パウリのスピンと相対性理論

 プランクの法則と零点エネルギー 磁気単極子(モノポール)

 磁気単極子(モノポール)(補遺)  量子力学の交換関係の問題

 量子力学の交換関係の問題(その2)

 演算子のスペククトル展開の例(空洞光子の量子場)

 電子の自己エネルギーとディラックの海

 先進波と負エネルギー,反粒子について

 再掲「エネルギーと時間の不確定性」

 運動量演算子のシュレーディンガー表現

 有限な1次元空間に限定された運動量演算子

 量子力学の基礎(表示の話)(1)  量子力学の基礎(表示の話)(2)

 無限次元ヒルベルト空間  連続(非可算)固有値と可分性

 有限な1次元空間の運動量演算子の境界条件

 運動量表示による期待値の評価

 箱の中の粒子の運動量について(決着版)

 フーリエ級数のフーリエ積分展開(1) フーリエ級数のフーリエ積分展開(2)

 ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(1)

 ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(2)

 ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(3)

 ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(4)

 ベリーの位相とアハラノフ・ボーム効果(5)

 量子哲学論争??(ネルソン,ボーム)  波束のぼやけ(量子論覚書き)

⑧量子論Ⅱ(原子核:構造,反応) (7)

 原子核α崩壊の理論(Ⅰ)  原子核α崩壊の理論(Ⅱ) 

 原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(1)

 原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(2)

 原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(3)

 原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(4)

 原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(5)

⑨量子論 Ⅲ(散乱理論,QED・場理論) (51)

 くりこみ回避のアイデア  波動関数の位相と電磁場 

 ポアンカレ群と粒子のスピン 赤外発散の問題(エネルギーゼロの光子)

 カルツァ・クラインの5次元統一場理論(1)

 カルツァ・クラインの5次元統一場理論(2)

 カルツァ・クラインの5次元統一場理論(3)

 スピンと統計の関係(微視的因果律) 

 量子化された場と調和振動子(パラ統計)

 場の演算子とリー群(Lie群)の生成子

 真空のゆらぎ,エネルギー  カシミール効果(Casimir effect)

 電磁場の共変的量子化(中西-Lautrap理論)(1)

 電磁場の共変的量子化(2)(中西理論;不変デルタ関数)

 電磁場の共変的量子化(3)(中西-Lautrap理論)

 電磁場の共変的量子化(補遺) 光子の座標について  電磁力学と解析力学

 最近考えていること(場の理論等覚え書き) 散乱の伝播関数の理論(1)

 散乱の伝播関数の理論(2) 散乱の伝播関数の理論(3)

 散乱の伝播関数の理論(4) 散乱の伝播関数の理論(5)

 散乱の伝播関数の理論(6) 散乱の伝播関数の理論(7) 

  散乱の伝播関数の理論(8) 散乱の伝播関数の理論(9) 

 散乱の伝播関数の理論(10)  散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1) 

 散乱の伝播関数の理論(12)(応用1-2)  散乱の伝播関数の理論(13)(応用2-1)

  散乱の伝播関数の理論(14)(応用2-2) 散乱の伝播関数の理論(15)(応用(2-3)   

  散乱の伝播関数の理論(16)(応用3-1)  散乱の伝播関数の理論(17)(応用3-2)

  散乱の伝播関数の理論(18)(応用4) 

  散乱の伝播関数の理論(18-2)(応用4:補遺)

  散乱の伝播関数の理論(19)(応用5)   散乱の伝播関数の理論(20)(応用6) 

 場理論におけるS行列とLSZの公式(1)  

 場理論におけるS行列とLSZの公式(2)  

 場理論におけるS行列とLSZの公式(3)  

 場理論におけるS行列とLSZの公式(4)  

 場理論におけるS行列とLSZの公式(5)   

   赤外発散 の初期論文(1)  赤外発散の初期論文(2) 

   赤外発散の初期論文(3)   場の量子論における摂動論(1) 

   場の量子論における摂動論(2)   場の量子論における摂動論(3)

⑩観測問題・量子もつれ(エンタングルメント)等(12)

 公開キー暗号(神はサイコロ遊びをなさる)

 量子通信(神はサイコロ遊びをなさる「つづき」)

 多世界解釈と超選則  中心極限定理と多世界解釈

 ベルの不等式(量子論と実在)  観測の問題(デコヒーレンス)

 遅延選択実験(タイムマシン?)(1) 遅延選択実験(タイムマシン?)(2)

 遅延選択実験(タイムマシン?)(3) 遅延選択実験(タイムマシン?)(4) 

 遅延選択実験(タイムマシン?)(5)

 量子テレポーテーション(ネルソン方程式テスト)

⑪物性理論Ⅰ(多体問題・フォノン,電気伝導,超伝導;電気回路2題) (22)

 電気伝導(オームの法則) 電気伝導(つづき1) (ジュール熱)

 電気伝導(つづき2) (衝突の正体)

 遮蔽ポテンシャルとブラソフ方程式(クーロン系)

 ブラソフ方程式の解とプラズマ乱流の渦  

 フォノン(1)(静止格子模型の破綻) フォノン(2)(調和結晶の古典理論)

 フォノン(3)(調和結晶の量子論) 

 ハートリー・フォック(Hartree-Fock)近似(1)

 ハートリー・フォック(Hartree-Fock)近似(2)

 ハートリー・フォック(Hartree-Fock)近似(3)

 フォノンによる電子間引力(超伝導の基礎)

 フォノンと多体問題(超伝導の基礎)(1) 

 フォノンと多体問題(超伝導の基礎)(2)

 フォノンと多体問題(超伝導の基礎)(3) 

 フォノンと多体問題(超伝導の基礎)(4)

 超伝導の理論(1)  超伝導の理論(2)  超伝導の理論(3)

 結晶点群の1性質 電気の伝わる速さ(分布定数回路)

 鳳・テブナンの定理(電気回路)

⑫物性理論Ⅱ(原子・分子) (22)

 氷,水,水蒸気の比熱 水素様原子の波動関数 量子力学の変分原理

 多電子原子の構造  多原子系の方法論(分子軌道)(1) 

 多原子系の方法論(分子軌道)(2) 多原子系の方法論(分子軌道)(3) 

 水素分子イオンと水素分子 水素分子イオンと水素分子(補遺) 

 2原子分子イオン再考 電場の中の原子(シュタルク効果) 

 一般の2原子分子(等核,異核)  磁場の中の原子(ゼーマン効果)(1) 

 磁場の中の原子(ゼーマン効果)(2) 磁性の話(キュリーの法則) 

 磁性の話(キュリーの法則)(補遺)  水蒸気の比熱

 対称操作の群とメタンのSP混成軌道  

 分子と点群(1)  分子と点群(2)  分子と点群(3) 磁性の古典論

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目次(物理2)

物理2 (記事数:76)

④電磁気学(古典論) (20)

黒体輻射(キルヒホッフ)  磁石と鉄球の引力(誤解答の例)

ホイヘンスの原理の正当性  非共変ゲージの非局所性(電磁場)

Priestryの実験とCoulombの法則 電場と電束密度,磁場と磁束密度(1)

電場と電束密度,磁場と磁束密度(2) 電場と電束密度,磁場と磁束密度(3)

電場と電束密度,磁場と磁束密度(4) 自己力と自己エネルギー

電磁気学と相対論(1)(特殊相対論の運動学と力学のレヴュー)

電磁気学と相対論(2)(真空中の電磁気学1)(導入)

電磁気学と相対論(3)(真空中の電磁気学2)

電磁気学と相対論(4)(真空中の電磁気学3)

電磁気学と相対論(5)(真空中の電磁気学4)

電磁気学と相対論(5)(真空中の電磁気学4:補遺)

電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学5)

電磁気学と相対論(7)(物質中の電磁気学1)

電磁気学と相対論(8)(物質中の電磁気学2)

ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル

ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル(補遺) 

⑤相対性理論(特殊,一般) (32)

 重力場(ファインマン)  重力場(ファインマン)つづき 

 重力場(ファインマン)つづき,その2

 測地線(双子のパラドックス)   タキオンと因果律  慣性力の反作用

 2台のロケットのパラドックス  慣性質量とエネルギーの等価性

 双子のパラドックス(一般相対論による計算)  同時刻の相対性

 松田卓也先生のこと  ローレンツ多様体上での固有時間

 一般相対論の基礎と回転系  回転系の計量(メトリック)

 遠心力,コリオリ力の相対性(マッハ原理?)

 シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体  ローレンツ変換の導出

 運動物質内の相対論(1)   運動物質内の相対論(2)(角運動量と重心)

 運動物質内の相対論(3)(弾性連続体(1))

 運動物質内の相対論(4)(弾性連続体(2),完全流体)

 運動物質内の相対論(5)(スカラー場,自由電磁場)

 運動物質内の相対論(6)(閉じていない系)

 運動物質内の相対論(7)(電子の古典模型)

 運動物質内の相対論(8)(現象論的電磁場方程式と電子論)

 運動物質内の相対論(9)(電磁場のエネルギー運動量)

 運動物質内の相対論(10)(屈折性物体中の光波)

 運動物質内の相対論(11)(電磁波と光子の屈折)

 運動物質内の相対論(12)(熱力学の法則)

 運動物質内の相対論(13)(物質中の電磁エネルギー運動量:前編)

 運動物質内の相対論(14)(物質中の電磁エネルギー運動量:中篇)

 運動物質内の相対論(15)(物質中の電磁エネルギー運動量;後編)

⑥(続)相対性理論(宇宙物理学) (24)

 宇宙の果て  ブラックホールの形成時間 

 高密度状態での陽子の中性子化(1)

 高密度状態での陽子の中性子化(2)  電離平衡のサハの式

 高温状態での電子対発生 星の重力平衡とエネルギーの流れ 

 星の構造(ポリトロープガス球とエムデン解)

 星の進化とチャンドラセカール質量  惑星と恒星  中性子星の物理

 結合エネルギーが最大の元素(鉄)

 膨張宇宙における赤方偏移1 膨張宇宙における赤方偏移2(視角半径)

 シュヴァルツシルト時空内の測地線(惑星の公転軌道)

 惑星の近日点の移動  光線の湾曲(一般相対論)

 重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察

 球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(1)

 球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(2)

 球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(3)

 球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(4)

 重力崩壊とブラックホール(1)  重力崩壊とブラックホール(2)

※(おまけ):数学項目から

 数理物理学(23) シリーズ相対論の幾何学

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目次(物理1)

物理1(記事数:60)

①物理学,自然科学の基礎+気象・環境 (29)

物理学史覚え書き   基礎科学(工学と理学)   基礎物理学講義①(温度と熱)

基礎物理学講義②(波と音と光)  基礎物理学講義③(力と運動1)

基礎物理学講義④(力と運動2)  基礎物理学講義⑤(力と運動3)

サルにもわかる相対性理論①   サルにもわかる相対性理論②

サルにもわかる相対性理論③   サルにもわかる相対性理論④

サルにもわかる相対性理論⑤  サルにもわかる相対性理論⑥

パチンコ玉でわかる弾性衝突   オゾンホール   オゾンホール(訂正) 

気体の浮力(アルキメデスの原理)  水中の物体(重心と浮心)

スケートの摩擦(圧力融解説は誤り)   空気の質量を測る方法 

2つの物体の温度の接触による交換 台風の進路(コリオリの力)

近眼と老眼   物理的仕事と生理的仕事   過去のやさしい科学記事 

台風の進路(コリオリの力)(再々掲)  プルーム上昇のモデル式(1)   

プルーム上昇のモデル式(2)   プルーム上昇のモデル式(3)

②力学・解析力学 (12) 、

力学的エネルギー保存則  ニュートンの運動の第3法則の重要性

ニュートンの万有引力の法則での疑問点   ケプラー問題(Kepler)

非慣性座標系で現われる慣性力   重力波    負の質量

解析力学の初歩 

WKB近似,ハミルトン・ヤコービ方程式,経路積分

非ネーター保存量   非ネーター保存量(続き)    ネーターの定理と場理論

③熱力学・統計力学 (19)

 空気の重力分離 可逆と不可逆のはざ間(エントロピー増大則)

 二酸化炭素の比熱比(物性)  気液平衡の統計力学 

 エントロピーの定義  音(弾性波)の伝播  空気中での音速 

 ビッグバンとエントロピー増大(時間の向き)

 ボーズ・アインシュタイン凝縮とゼータ関数

 零点エネルギーとファン・デル・ワールス力 

 ファン・デル・ワールスの力と状態方程式

 ボルツマン方程式とH定理  量子的ボルツマン方程式

 地球の平均気温とステファン・ボルツマンの法則

 量子統計とグランドカノニカル分布  揺動散逸定理

 理想気体の圧力と分子運動論

 空気分子の大きさ(アインシュタインとブラウン運動)

※(おまけ):数学からの関連:

 ブラウン運動とフラクタル次元   エルゴード問題と次元

  酔歩(ランダム・ウォーク)   酔歩(ランダム・ウォーク)(訂正)

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目次(数理物理学)

数理物理学(相対論の幾何学,,共形場理論) (記事数:27)

 ①:相対論の幾何学(記事数:23)

 [第Ⅰ部] (12)

 第Ⅰ部-1:平面曲線  第Ⅰ部-2:空間曲線 第Ⅰ部-3:空間曲線(補遺)

 第Ⅰ部-4:空間曲面(1) 第Ⅰ部-5:空間曲面(2) 第Ⅰ部-6:coffee break

 第Ⅰ部-7:空間曲面(3) 第Ⅰ部-8:空間曲面(4)(微分形式)

 第Ⅰ部-9:曲面上の幾何(1) 第Ⅰ部-10:曲面上の幾何(2)

 第Ⅰ部-11:曲面上の幾何(3) 第Ⅰ部-12:ガウス・ボンネの定理

 [第Ⅱ部] (7)

 第Ⅱ部-1:ベクトル空間 第Ⅱ部-2:基本用語(多様体etc.)

 第Ⅱ部-3:多様体上のテンソル場 第Ⅱ部-4:流れとリー微分

 第Ⅱ部-5:多様体と微分形式(1) 第Ⅱ部-6:微分形式(2)

 第Ⅱ部-7:リー群とリー代数

 [第Ⅲ部] (4)

 第Ⅲ部-1:リーマン幾何学(1) 第Ⅲ部-2:リーマン幾何学(2) 

 第Ⅲ部-3:リーマン幾何学(3) 第Ⅲ部-4:coffee-break

 ②共形場理論 (記事数:4)

 共形場理論(1)  共形場理論(2)  共形場理論(3)  共形場理論(4)

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目次(数学3)

数学3 (記事数:30)

⑧ブラウン運動と確率課程 (15)

 ブラウン運動とフラクタル次元   エルゴード問題と次元

  酔歩(ランダム・ウォーク)   酔歩(ランダム・ウォーク)(訂正)

 ブラウン運動と伊藤積分(1)    ブラウン運動と伊藤積分(2)

 ブラウン運動と伊藤積分(3)   ブラウン運動と伊藤積分(4)

 ブラウン運動と伊藤積分(5)   条件付確率と条件付期待値

 ブラウン運動と伊藤積分(6)   ブラウン運動と伊藤積分(7)

 ブラウン運動と伊藤積分(8)   ブラウン運動と伊藤積分(9)

  ブラウン運動と伊藤積分(10)

⑨数値計算・コンピュータ(9)

 低煙源拡散モデル(JEA式)   非線形最小二乗法(JEA式の作成過程)

 線型微分方程式の直接解法(ボックスモデル)

 次元控除法によるポアソン方程式の直接解法(1)

 次元控除法によるポアソン方程式の直接解法(2)

 次元控除法によるポアソン方程式の直接解法(補遺)

 準線形計画法(ネットワーク輸送問題)(1)

 準線形計画法(ネットワーク輸送問題)(2)

 準線形計画法(ネットワーク輸送問題)(3)

⑩その他数学記事 (6)

 人口増加とロジスティック曲線  ホワイトノイズ,1/f ゆらぎ

 大気中の移流拡散方程式  移流拡散方程式を解く

 シャノンのサンプリング定理  折り返しノイズ

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目次(数学2)

数学2 (記事数:64)

④解析学,複素関数論,関数解析・超関数 (12)

 ポアンカレの補題  バナッハ空間における逆写像定理

 バナッハ空間における陰関数定理  解析接続の意味

 微分形式とベクトル解析   デデキントの切断(Dedekind cut)

 デデキントの切断(補遺)   実数から複素数へ  

  コーシーの主値(主値積分) 三角関数を含むある関数の定積分   

  積分方程式(1)(導入) 積分方程式(2)

⑤確率・統計 (21)

 n変数の相加平均と相乗平均 ガンマ関数とスターリングの公式

 ガンマ関数の1公式の証明  算術幾何平均と楕円積分

 再掲「算術幾何平均と楕円積分」  複素数に対する算術幾何平均1

 複素数に対する算術幾何平均2  

 タミフルと異常行動の因果性 タミフルと異常行動の因果性(再掲) 

  確率と分布関数(1)(確率の定義)  確率と分布関数(2)(分布関数,密度関数)  

 確率と分布関数(3)(確率変数の関数,特殊分布(離散))

 確率と分布関数(4)(特殊分布(連続)) 確率と分布関数(5)(積率,母関数) 

 確率と分布関数(6)(特性関数,極限定理) 

 確率と分布関数(7)(極限定理の続き,収束の種類) 

 確率と分布関数(8)(推定1) 確率と分布関数(9)(推定2) 

 確率と分布関数(10)(線形回帰の基礎) 確率と分布関数(11)(区間推定)(終了)

 確率と分布関数(補遺)

⑥常微分方程式(解の存在・一意性,解析性) (14)

 常微分方程式の解の存在定理①(アスコリの定理)

 常微分方程式の解の存在定理②

 常微分方程式の解の存在定理③(一意性,一般解の存在(1))

 常微分方程式の解の存在定理④(連立方程式,高階の方程式)

 常微分方程式の解の存在定理⑤(一般解の存在(2))

 常微分方程式の解の存在定理⑥(一般解の存在(3))

 常微分方程式の解の存在定理⑦(一般解の存在(4))

 ベキ級数解の存在(コワレフスカヤの優級数)(1)

 ベキ級数解の存在(コワレフスカヤの優級数)(2)

 ベキ級数解の存在(コワレフスカヤの優級数)(3)

 クレローの微分方程式1(解の存在定理の応用)

 クレローの微分方程式2(解の存在定理の応用)

 解の一意性のための必要十分条件(1)(岡村博氏による)

 解の一意性のための必要十分条件(2)(岡村博氏による)

⑦常微分方程式とフックス関数(確定特異点・不確定特異点)(17)

 線形常微分方程式の確定特異点と不確定特異点

 n階線形常微分方程式と確定特異点

 n階線形常微分方程式と確定特異点(補遺)

 2階線形常微分方程式と確定特異点

 フックス型微分方程式とガウスの微分方程式

 ガウスと超幾何微分方程式

 超幾何微分方程式とクンマー,リーマン,フックス

 超幾何微分方程式の解と接続公式

 超幾何微分方程式の代数関数解(シュワルツ)(1)

 超幾何微分方程式の代数関数解(シュワルツ)(2)

 超幾何微分方程式の代数関数解(シュワルツ)(3)

 超幾何微分方程式の代数関数解(シュワルツ)(4)

 超幾何微分方程式の代数関数解(シュワルツ)(5)

 有限なモノドロミー群と代数関数解

 ポアンカレに関する1つの挿話

 フックス関数の理論(1) (ポアンカレの登場)

 フックス関数の理論(2) (ポアンカレの理論)

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目次(数学1)

数学1 (記事数:46)

①数学全般 (算数,入試問題,頭の体操.etc.) (12)

  算数の問題(エレガントな解答を求む)     正則関数    正則関数(解答)

  フィボナッチ数列を解く    一筆書き(トポロジー入門)

  集合の濃度(可算,非可算)   数学遍歴について  ガウス賞,フィールズ賞

  群の単位と逆元    算数の問題(再掲)     頭の体操(円周率)

  ベクトルと同値類

②論理学・数学基礎論 (7)

   ゲーデルの不完全性定理  ゲーデルの完全性不完全性

   形式論理学(1)    形式論理学(2)   形式論理学(3)   形式論理学(4)

   形式論理学(5)  

③代数学・数論 (27)

   オイラーの定理とフェルマーの小定理(合同式)

  フェルマーの小定理の別証明 

   数論の演習問題 数論の演習問題(解答)

 素数を分母とする循環小数とその周辺  素数定理への入り口 

  数列の和とベルヌーイ数   ベルヌーイ数とゼータ関数

  ベルヌーイ数とゼータ関数(その2)    数列の和とベルヌーイ多項式

 ガロア理論(1)    ガロア理論(2)     ガロア理論(3)      ガロア理論(4)  

  ガロア理論(5)    ガロア理論(5)補遺    ガロア理論(6)

  1のベキ乗根はベキ根で解けるか?(円分多項式の根)

  円分多項式のガロア群 5次以上の代数方程式の解法

  虚数(複素数)の起源     代数的数と超越数   eとπの超越性

   リーマン予想と素数定理   代数学の基本定理

   フェルマー(Fermat)の定理と類体論(1)

   多項式の判別式と終結式について

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目次(2)物理学

(2)物理学(記事数:388)

 物理1(60) ①物理学,自然科学の基礎+気象・環境②力学・解析力学

              ③熱力学・統計力学    

 物理2(76) ④電磁気学(古典論) ⑤相対性理論(特殊,一般)

             ⑥(続)相対性理論(宇宙物理学) 

 物理3(147) ⑦量子論Ⅰ(基礎理論) ⑧量子論Ⅱ(散乱理論,QED,場理論)

                    ⑨量子論Ⅲ(原子核;構造,反応)

          ⑩観測問題・量子もつれ(エンタングルメント)

         ⑪物性理論Ⅰ(多体問題・フォノン,電気伝導(回路)・超伝導)

         ⑫物性理論Ⅱ(原子・分子.)

 物理4(47)  ⑬光学(古典論,量子論 

          ⑭流体力学(層流から乱流(非線型波・ソリトン)へ)

          ⑮弾性理論,特に地震理論

 物理5(58) ⑯素粒子論全般

           ⑰S行列とレッジェ理論=前期弦理論?

         ⑱束縛状態とベーテ・サルピーター方程式 ⑲超弦理論  

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目次(1)数学

(1)数学(記事数:167) 

 数学1(46)  ①数学全般 ②論理学・数学基礎論

         ③代数学・数論

 数学2(64)  ④解析学,複素関数論,関数解析・超関数⑤確率・統計

         ⑥常微分方程式(存在,一意性)⑦常微分方程式とフックス関数  

 数学3(30)  ⑧ブラウン運動と確率過程⑨数値計算・コンピュータ

         ⑩その他

 数理物理学(27) ①相対論の幾何学 ②共形場入門

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目次(日記6)

日記6 (記事数:41)

⑧文学・音楽・映画(23)

[2010年]

7/10 ゴスペルコンサート(小石川白山教会)

9/18 「アドルフに告ぐ」読了 11/29ソルジャー・ブルー祈念日

[2009年]

3/9 東野圭吾を読む 

[2008年]

5/9 流星の絆(東野圭吾)  7/10 盗作騒動に思う   9/22 宿命(東野圭吾)

11/10 白夜行(東野圭吾)   11/27 「手紙」(東野圭吾)慟哭した。

12/9 「ソルジャー・ブルー」を再び観た。  12/12 「エリノア」谷口ひとみ

12/24 メサイアを聞く夜

[2007年]

11/29 ソルジャー・ブルー再び(映画感想)  12/4 藤沢周平と宮部みゆき

12/12 ロートレアモンとサド(その2)

[2006年]

4/22 音楽遍歴  5/14 アメイジング・グレース  5/29 漫画雑感

6/21 永山則夫「無知の涙」  6/24 永山則夫「無知の涙」(つづき)

8/24 浅川マキ,山崎ハコ(暗い唄)  9/2 ロートレアモンとサド

9/3 歌人:島赤人

⑨演劇・芸能(12)

[2010年]

 1/19 浅川マキ。。。(訃報) 9/12 谷啓さんが亡くなられました。(訃報)  

[2009年]

1/27 イルマーレ(チョン・ジヒョン) 7/20 椿鬼奴!!

[2008年]

1/14 BODY(増谷キートン,椿鬼奴)

10/13 峰岸徹さんが亡くなられました。(肺ガンです。)(訃報)

10/29 泰葉の気持ち(可哀想だ。。うらやましい)

11/14 久しぶりに芝居を観に行きます。 11/28 やった!羽賀研二無罪!!

[2007年]

10/18 木原美智子さん逝く(訃報) 11/12 草薙幸二郎氏逝く(訃報)

12/18 麿赤兒(まろ・あかじ)氏の思い出

⑩宣伝・その他(6)

[2008年]

2/13 商売繁盛(SCS:エスシーエス) 

2/21 生放送による宣伝(SCS:エスシーエス)

2/23 生放送による宣伝(SCS:エスシーエス)続報

11/30 ちょっと商売(,アフィリエイト(Delll100円PC他),アドセンス)

12/13 たまには商売(アフィリエイト)(再掲)

[2007年]

10/30 楽天ショップ開店

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目次(日記5)

日記5(記事数:31)

⑤将棋(17)

[2010年]

 2/4 将棋の順位戦結果 2/10  新女流名人誕生!!

 3/3 将棋A級順位戦一番長い日 

 4/22 甲斐智美女流二段がマイナビ新女王に!!

  6/27  まだまだ羽生天下は続く  7/19 将棋オフに行ってきました。 

 9/15 谷川九段好調な出足(将棋順位戦)

 10/29 里美香奈さん将棋女流プロ三冠獲得!!

 11/11 野田澤彩乃女流が入籍!! オメデトウ

[2009年]

7/21 将棋オフに行ってきました。

[2008年]

6/18 ついに羽生が永世名人に!!   8/11 将棋合宿に行ってきました。

11/17 将棋の日 (今日のテーマ)  11/21 高校生の倉敷藤花誕生!

12/19 将棋竜王戦 

[2006年]

4/4 ネット将棋  4/24関口勝雄六段のこと

⑥スポーツ(10)

[2010年]

5/5 西堀・浦田組優勝(ビーチバレー) 6/12 ワールドカップ開幕 

6/19ゴルフの石川遼くん 6/21今季米ツァー4勝目!!  

6/30日本は負けなかった。(ワールドカップ)  

8/23 宮里藍5勝目(アヤコに迫る.) 

[2009年]

3/13 選抜高校野球  9/15 イチロー快挙!

[2008年]

8/ 15 塚田真希チャン

[2006年]

6/13 ワールドカップ

⑦募金・ボランティア(4)

[2010年] 

1/15  ハイチで大地震 6/16すべての子供に5歳の誕生日を(ユニセフ) 

[2009年] 

1/13  めいちゃんを救う会

[2006年] 

12/12 1988年のオードリー

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目次:(日記4)

:④経済・政治・社会(時事問題)(記事数:55)

[2010年](3) 

3/5 高知:白バイ・スクールバス衝突事件:民事も棄却  5/25 権力のポチ!!

11/2 昨今の政治

[2009年](8) 

1/6  平等と悪平等 2/3 人事院?? 2/25  犯罪は社会の縮図?

3/20  カルトとスピリチュアル(地下鉄サリンから14年)

4/14  天下の悪法 「入管法」  4/22  和歌山カレー裁判について

6/27 TV朝日「朝まで生テレビ」の感想 8/31  あるTV政治番組の感想

[2008年](17) 

2/1 お馬鹿なナショナリズム 姑息な!

2/6 某マスコミ達の暴挙!日常茶飯事

4/25 最近の裁判(山口母子など)に思う。

5/22 最近の社会の動向について  7/14 食品偽装,その他について

7/25 通り魔事件の件数  9/11 今日は記念日

10/16 リーマン破綻の余波!! 10/21 減税?

11/1 大麻は身体にとって危険か? 11/4  またスケープゴート??

11/21  麻生発言の真意 11/24   雑感

12/14  世も末だ?ん21世紀始まったばかりだった。

12/15 公的援助のこと 12/23 今日の一言(その2)

12/31 朝っぱらから大麻論争?

[2007年](7)

5/29 安倍の犠牲者 7/18 目をそらす姑息な手段 

7/19 労働貴族死す 7/30 小田実逝く 7/31 北朝鮮で選挙

8/19 朝鮮人強制連行の記録 9/12  安倍退陣

[2006年](20)

3/20 靖国問題 3/21 棄権権行使のすすめ(選挙) 4/2 戦争,テロ,内政干渉

4/11 経済制裁 4/13 愛国心雑感  4/19 マイナスイオン

4/28 トンデモ理論について思うこと 5/1 靖国問題(つづき)

5/5 民主主義(稚拙な疑問)   6/6 近頃の殺人事件

6/6 村上ファンド,ライブドア  6/10 狭山差別裁判  6/11 拉致問題

7/18 今日の一言 7/25 他人(ひと)の不幸は蜜の味(社会的抹殺)

8/11 長崎原爆祈念式典での小泉君  9/11 記念日

9/19 この国の末路  9/23 安倍政権に思う

10/20 経済制裁という名の宣戦布告

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目次(日記3)

③思想・哲学(心・体)+(宗教・神話+歴史)(記事数:35)

[2010年] 11/6 カルネアデスの舟板。。。再び

[2009年]

3/26  心室細動(松村邦洋)に思う。 5/24  カルネアデスの舟板 

11/17 本当にやりたいことと資本主義

[2008年] 

5/6 エロスとアガペー  6/18 インモラルと人間の解放(再掲記事)

9/6 上品な奴!! 9/19 人を愛するということ 10/6 小池一夫氏の不思議

12/14 私と仕事

[2007年]

3/11 TV朝日「オーラの泉」の流す害毒  10/19 植草事件に思う

10/20 反文明についての雑感  11/6 学問するという贅沢 

11/7 Re:学問するという贅沢

[2006年]

3/24 インモラルと人間の解放 3/24 ダイエットと飢餓(くそくらえ)

4/6 自己韜晦(じことうかい)  4/20 エゴ,自己中(ジコチュウ)と個人主義

4/26 「インテリ=裏切り者」のルーツ 4/27 シスター・コンプレックス 

5/2 歯無しの話と竹内古文書 5/9 ユダはインテリより上だった。

5/13 イジメとノイローゼ  5/19 清潔と日本人 5/28 生きる

6/25 ユダの福音書 6/29 ユートピア=幻想か? 

7/1 ユダの福音書(つづき)  7/25 働くことは美徳か?

7/28 労働価値説と効用価値説 8/7 唯物論  8/18 卑怯ということ

10/6 イジメ自殺に思う

[2010年]

5/20 ドナドナ(Dona dona)  

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目次(日記2)

②回想(記事数:24)

[2009年](3)

1/10 私の保護者 2/18 中川さん。。辞任 8/29 自分の家系(ルーツ)

[2008年](7)

1/19 あれから1年 2/4 飲み屋の遍歴(1) 4/1記念日

4/10 記念日(その2)  6/6 我が半生の回顧

9/14 好美(よしみ)チャンの思い出  12/14 精神神経科病棟の思い出

[2007年](2)

8/1 心臓バイパス手]術の思い出 

12/28 新しいタイプの中間子(谷川先生の思い出)

[2006年](12)

3/29 淡い初恋  4/16 会社員新人時代の思い出  4/19 春雷

5/8 お酒(飲み屋でのお話) 5/15 学生運動の時代

5/18 塾,予備校,専門学校 5/24 小,中,高校時代(その1) 

5/25 小,中,高校時代(その2) 6/1 野球(特に長島,高校野球)とスポーツ観戦

6/14 ガードマンの時代  7/14 花見の思い出 11/5 昔好きだった女性

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目次(日記1)

①日記・つぶやき(記事数:170)

[2010年](51)

1/1 謹賀新年  1/5 こいつは初春(はる)から。。。

1/10 正月から極楽トンボ  1/14 疲れた~。  1/25 日々の雑感

1/30 もうすぐ還暦  2/1 今日は誕生日(60歳です。)  3/8 風邪引きました。

3/15 ニコニコ動画テスト。。柴犬の子供  3/28 お花見をしました。(久しぶり)

4/6  スペースシャトル?  4/10 今日は復活記念日!!

4/17  マシントラブル 4/20 アクセス数新記録  5/1  最近の運転手は

5/9 やっと暖かい春(木の芽ドキ)になりました。(近況報告)

5/16 好き嫌い,趣味嗜好  5/19 手話講習会  5/27  デンマーク 

5/31 またまた犬も食わない自己分析 6/6 普通の日記。。 

6/9 私の本棚の一部です。 6/9 巣鴨一丁目のスナック「若大将」 

6/10 Twitterのユーザー名 6/13 逆恨み?  6/19 ブログ雑感 

6/23 自虐ネタ。。  6/24 多重人格  6/29 アクセス数40万突破!!  

7/2カラオケで歌いまくる。。  7/11 教会に行ってきました。  

7/12 大哺乳類展に行きました。  7/13 幸せの1つに出逢えたかも(天職か?)

7/21 脱水症状?肺水腫?  7/23 近況雑感(天上天下唯我独善!!)  

7/30 デジャブ(既死感?)  8/9 引っ越しました。(ネット未開通) 

8/19読書力の衰え?  8/30 力也。。がんばれ

9/3 PC不調回復(引越し後1月経過)   9/8 手話講習新学期

9/14  現在過去記事を編集中 9/23 PCクラッシュ  10/20 復活?? 

10/24 ブログ休止中の出来事  11/3 秋めいてきました。 

11/14 私の近況!!  11/17 またPCクラッシュ,すぐに復活 

11/25 日々是れしあわせ(夢の途中)  12/3 眼科に行きました。 

[2009年](44)

1/1 明けましておめでとうございます。 1/28 本とお金と私

2/12 顔が数年分若返りました!! 2/13 今日は帝京大病院でした。

2/28 女難? 3/5 久しぶりにカレーを作りました。 

4/2 肉じゃがを作りました。4/30 5月第1週関西に行きます。

5/3 無事?西宮に到着しました。

5/7 明日朝東京に帰ります。(PS:帰京しました) 5/13 私信 

5/25 今日も今日とて無責任な極楽トンボ 6/4 極楽トンボの変態の悪人だ。

6/12 PCクラッシュで数日間アクセス不可能でした。

7/1 自分のブログにアクセスできませんでした。

7/13 ブログ編集作業終了 7/19 湯河原将棋オフから帰ってきました。

7/27 毎年恒例の巣鴨盆踊り  8/2 とうとう命運尽きたか? 

8/8 神の摂理? 8/15 世間ではお盆だ! 

8/18 アクセス数,30万超えたみたい。。。 8/27 今朝の朝食

9/4 短かい日記です。  9/10脳の病気?  9/17 雑感 9/28 がんばれ!!  

10/3 初日から寝坊で大失敗!!(ヘルパースクール) 

10/5 中川さん,謎の急死 10/17パクリ,ごめん。。天才ドラマーか? 

10/28 ヘルパー・スクールへの通学が終わりました。

11/1 (続)ヘルパー・スクールへの通学が終わりました。

11/6  本田美奈子さんの命日です。 11/12 私の近況

11/21 とりあえず日記 11/25 ヘルパー2級いただきました。

11/26 最近の科学ブログの進行状況   12/4 ヘルパー実習のウラ話

12/6 ブログ記事の目次を作りました。 12/13 本年最初の忘年会

12/17 もういくつ寝ると?  12/21 赤星選手引退   12/25 主は来ませり

12/30 今年は終わりです。 

[2008年](35)

1/9正月から飲んだくれました。   2/1 今日は誕生日です。

2/29 がんばれ。。 3/10 また入院か?? 

3/14 引越し,孟母三遷,神の意思  3/18 ネット開通しました! 

3/22不如意ということ  4/13 久しぶりにヤフオク出品 

6/2 生きている観音さま!!  6/12 ただいま旅行中

6/13 (続)ただいま旅行中(帰京しました。)  7/21 頑張れ!!

7/25 トトビッグ(totoBIG)の賞金  7/27 恒例の巣鴨盆踊り 

8/23 盲目の男が運転して実刑  8/24 神に愛されたい 

9/19 金もないのに深酒をしてしまいました。 

9/24 バトンがまわってきました。(mixi) 10/7 禁煙を始めました。

10/8 南部先生おめでとうございます。  10/11 日々の雑感!今日は休日だ

10/23 今日も今日とて無責任な極楽トンボ  10/25 老兵は死なず!

10/26 懲りない奴 11/9 お金もないのにまたタダ酒 

11/13 珍しくもまたタダ酒 11/13 20万アクセス 11/26 スッポン食べてみたい! 

11/29 コンニャクと婚約しました。 12/7 こんなのどかな日に。。。 

12/7 新婚さん,いらっしゃい。 12/8 人間に戻りたい 

12/9 世の中に観音様が実在した。 12/17 日々雑感   12/29 年末だ。。。

[2007年](23)

1/6  ネット復活しました。 1/10 肺気腫ではなく心不全でした。

1/16入院のため一週間お休みします。 1/22退院しました。

2/4死んでました。 2/6最近の日常での出来事  2/11  ノートパソコンと格闘

3/2 貧乏ひま無し 3/20 ブログ1周年記念日 

3/23 明日朝緊急入院します。 3/24 辞世 4/22無事生還しました。 

4/29 1週間ぶりに病院で診察を受けました。 

5/26ジャズライブに行ってきました。 8/5花火大会 9/2最近の私の心境

9/27久しぶりに目から汗が。。。 10/7昼まで飲んでました。

10/17 mixi(ミクシィ)に入会しました。 11/9 今日の雑感 

12/22 醜態 12/26 アクセス数 12/29 勝手に点いたり消えたりするテレビ

[2006年](17)

3/20 自己紹介  3/20 トトと競馬  4/7 朝まで飲んでました。

4/8 きっこのブログ 4/9 昼まで飲んでました。4/30 ヨイトマケとオーラ 

5/5 巣鴨地蔵尊  5/6 前立腺マッサージ   6/6 納涼おやじギャグの嵐

7/2 ある日 7/11 血も涙もない裁判官  8/6 花火大会 

9/8 プロフィール画像 11/9 思い出し泣き 11/22 思い出し泣き(その2)

12/22 肺気腫にかかってしまいました。 12/25 引越し  

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2009年9月17日 (木)

雑感

 政治や政治家が話題の中心になるようでは世の中ダメですね。。

 ミーハー芸能ニュース当たりが世論の中心でなければ。。。

PS:のりピーはとにかく風呂にでも入ってゆっくり眠りなさい。。

(自白等の隠滅可能な情況証拠しかなくて立件がむずかしいことを被告本人の責任にするな。。むしろ公判までの刑確定以前の代用監獄の方が問題だろうと私は思う。)

 自分がウソをつかれたりシカトされたり罵倒されたりしようが,また,だまされたり詐欺に会ったと気づいたり感じたりしようが,そして世間的に犯罪者や悪人であったり差別されたり,軽蔑される職業についていようが,親や家族と犬猿の仲だろうが,自分がその人を好きだという気持ちが風見鶏みたいにコロコロと変わったりするわけはないだろう。。。

 愛されたり,報いを受ける必要など全くないと言ったらウソになるだろうが,愛する対象,守ってあげたい対象がそこに存在すること自体が既に自分にとっての最大の報いなのだ。。

 私の方は好きだし愛しているとしても,自分を愛してもらうことによって相手が不幸になる,または幸せになるのでないなら,むしろ憎んでもらいたい。。。

 ("相手,あるいは相手の愛情を独占しようとする恋愛観=独占欲(嫉妬)を含む「濡れた」感情"の方がむしろ普通の愛情なのかも知れませんが。。。)

 あるいは逆に神の慈愛,博愛のような乾いた頭デッカチなものではなくて,濡れたドロドロした,ある意味で人間味のある愛憎という感情こそが求められているのかも知れませんが。。。)

 恐らくは私の思い上がりでしょうが,余りにも優しい男をずーっと演じていたら最後にはごく親しい友人(と思っていた人)までも何だかジェラシー?

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2009年9月15日 (火)

定量的地震学2

 地震学の続きです。 

 媒質は応力が除かれたとき,それが戻る自然な状態(歪みも応力もゼロ)を持つなら弾性的であるといわれます。

 与えられた負荷の影響の下では,応力と歪みは共に変化します。それらの間の関係(構成関係)は媒質の重要な特徴です。

 そして,そうした関係が存在することを,以下で熱力学的議論により証明します。

 自然科学は経験科学ですから,実際の関係そのものについては実験的に決定するのが正しい姿勢です。 

Robert Hooke(ロバート・フック)の"弾性物体"の測定は,300年以上も前に応力が歪みに比例するという結論を導きました。

 

ただし,この事実に関する彼の報告は今日のような応力のテンソルの概念が当時は利用できなかったため,幾分不可解なものでした。

Augstin Cauchyは,19世紀初期に初めて今の応力の近代的考え方の多くを展開しました。今日ではテンソルによってもっと容易に伝達できる多くの結果を彼が理解したのは明らかです。

 

こうしたテンソル概念は20世紀までは使用されませんでした。

フックの法則の現代的な一般化は,応力テンソルの各成分が歪みテンソルのあらゆる成分の線型結合であるということです。

すなわち,応力テンソルτijと歪みテンソルij(1/2)(ui,j+uj,i)の間に,関係:τijijpqpqを与える比例係数Cijpqが存在します。この構成関係に従う物体を線型弾性的であるといいます。 

量Cijpqは4階テンソルの成分で,次の対称性を持っています。

すなわち,τji=τijによりjipq=Cijpq,eqp=epqによりijqp=Cijpqです。また,以下に示すように熱力学的論点からCpqij=Cijpqもまた真であることがわかります。

弾性体が表面境界Sで囲まれた体積Vを占めていると仮定します。

 

熱力学第1法則によれば物体は内部エネルギーを持ちますが,これは物体の変形と共に変わり,エネルギーのバランスは(受ける力学的仕事率)+(受ける熱の率)=[(運動エネルギー+内部エネルギー)の増加率]で与えられるはずです。

(1)力学的仕事率

dotd≡∂/∂tとおくと,Vが受ける力学的仕事率は∫VfuddV+∫STuddSです。これはガウスの発散定理を用いると∫V[fiid+(τijid),j]dVと書けます。

さらに,運動方程式:ρ(∂2i/∂t2)=fi+τji,j,あるいはρi2d=fi+τji,jによってfiid+(τijid),j=ρuidi2d+τiji,jd=(∂/∂t){(1/2)ρuidid}+τijijdです。

 

これを代入すると力学的仕事率の最終形として(∂/∂t)[∫V{(1/2)ρuidid}dV]+∫Vijijd)dVが得られます。

(2)熱の率

ベクトル(,t)を,時刻tにを外向き法線とする任意の面素dSに対しhndSがの向きに通過する熱の率となるような"熱流束=単位時間に単位面積を通過する熱エネルギー"とします。

また,L(,t)を,物体Vの有する熱の密度(単位体積当たりの熱量)とします。このとき熱に関するバランス(平衡)から-∫ShndS=(∂/∂t)(∫VLdV)です。

 

これはガウスの定理によって,微分形としては"物体が受ける熱の率=単位時間当たり単位体積当たりの熱エネルギー"がL=-∇=-hi,iで与えられるという形になります。

(3)運動エネルギーの増加率

 運動エネルギーの増加率は明らかに(∂/∂t)[∫V{(1/2)ρuidid}dV]です。

(4)内部エネルギーの増加率

 U(,t)を,物体Vの有する単位体積当たりの内部エネルギーとします。内部エネルギーの増加率はもちろんUです。

以上,(1)~(4)から(受ける力学的仕事率)+(受ける熱の率)=[(運動エネルギー+内部エネルギー)の増加率]は,(∂/∂t){(1/2)ρuidid}+τijijd+L=(∂/∂t){(1/2)ρuidid}+Uとなります。ただし,L=-∇==-hi,iです。

 それ故,U=L+τijijd=-hi,i+τijijdです。

これをU,L,eijを熱力学的平衡状態からの微小摂動として表現するなら,dU=dL+τijdeij=TdS+τijdeijです。ここにTは絶対温度,Sは単位体積当たりのエントロピーです。

この表現式から,形式的にτij(∂U/∂eij)Sを得ます。

 

一方,Fをフレドホルムの自由エネルギー(F≡U-TS)とすれば,dF=SdT+τijdeijより,同じくτij=(∂F/∂eij)Tを得ます。

そこで,もしも,変形過程がいくつかの地殻構造過程のように等温的にゆっくりと生じるならτij=(∂F/∂eij)Tです。

しかし,変形過程が断熱的で=0 かつL=0 では定エントロピーとなり,その下ではτij=(∂U/∂eij)Sです。

 

すなわち,断熱過程の場合には内部エネルギーUの変化は歪みの変化だけで決まります。

これらは,ほとんど全ての波長の地震波に対して地震学では全く通常の状況です。  

というのも岩石における熱拡散の時間尺度を示す時間定数=(距離)2/(速さ)は,地震波の周期=(波長)/(速さ)よりもはるかに長いので,地震過程は断熱過程,あるいは等温過程で近似できるからです。

そこで断熱過程ではW≡U,等温過程ではW≡FとしてWを歪み-エネルギー関数と呼べば,それぞれの過程でτij=∂W/∂eijです。

したがって,これらをフックの法則:τijijpqpqと組み合わせると,先述した最後の対称性Cijpq=∂τij/∂epq=∂2/(∂eij∂epq)=∂τpq/∂eij=Cpqijが得られます。

 

そして,歪み-エネルギー関数WはW=(1/2)Cijklijkl=(1/2)τijijと陽な形式に表現できます。

断熱過程,または等温過程では,歪み-エネルギー関数W=U,またはFは自然状態を除いて常に正です。そこで,W=(1/2)Cijklijklの右辺は正値2次形式です。

係数Cijklは歪みeijには依存しないですが,一般には位置の関数です。地震学で用いられる弾性理論では,媒質は不均質ですが到るところ等方的な球対称の媒質という先入観で特徴付けられています。

一般に,係数テンソルの34=81個の成分Cijklは,上記の対称性のおかげで独立な成分は21個です。さらに,上記の先入観に根ざした等方性媒質では,も等方的である必要があり,かなり単純になります。

1972年にはJeffreys and Jeffreysによって,最も一般的な対称4階等方テンソルは次の形をとることが示されました。

すなわち,Cijkl=λδijδkl+μ(δikδjl+δilδjk)です。ただし,2つの独立定数λ,μはLame(ラメ)の定数と呼ばれます。

しかし,こうして得られた結果は応力と歪みが共にゼロの準拠状態から微小摂動だけ離れたケースに限定されていることに着目すべきです。

 

一方,地球内部内では平衡状態での自己重力が約1メガバール(Mbar)までの圧力の原因をなすことが知られています。

地球物質に対してゼロ応力,ゼロ歪みの準拠状態を仮定しても,上述のフックの法則に関する結果を直接には地震学において適用することはできません。

 

というのも上記の自己重力にに起因する圧力による歪みが小さくないからです。応力と歪みが共にゼロの準拠状態を用いると応力-歪み関係が非線型な有限歪みの理論を扱う必要があることになります。

しかし,地震に先立つ準拠系として代わりに地球の静的平衡状態を用いることもできます。実はこれが地震学での普通の扱いです。

 

定義によって,準拠系ではゼロ歪み状態ですが,初期応力の方はゼロではありません。

そして,このときには地震運動は歪みと初期応力からの増分応力との線型関係で表現できます。

 

かくして,ゼロ歪みでの初期応力をσ0とすると,ゼロとは限らない一般の歪みに対する応力はσ0τ ij=Cijklkl)で与えられます。そしてσ0の成分σ0ijは係数テンソルの成分Cijkl(~1メガバール)と同じオーダーの量です。

しかし,さし当たっては,簡単のため初期応力σ0の効果を無視することにします。

この単純化は,後の第8章で正当化されます。そこでは,初期応力σ0が正しく考慮され,修正を要する理論の概観について短かいレビューを与えます。そして第8章では自己重力の効果を定量化するためにオイラー的アプローチを採択する予定です。

さて, 運動が設定され得る方法と関わる幾つかの一般的注意と共に,まず表面境界Sを持つ体積Vの弾性体内でのラグランジュ的変位場(,t)についての一意性(uniqueness)の議論を導入することが自然な手続きであると思われます。

変位はV内の到るところでρi2d=fi+τji,jを満たすように制約されているので,変位場にはVにおける実体力と表面S上の応力τが寄与します。

今から,V内到るところでの実体力とS上全てにわたる応力の明細が既知であれば,与えられた初期条件からV内で発展する変位場を一意的に決定するに十分であることを示します。

変位場へのSの影響を指定する別の方法は,応力の代わりにS上の変位自身に対して境界条件を与えることです。

 

例えば,表面Sが剛体的であるというように,一見したところS上の応力と変位はV内の変位場にとって独立な性質のように見えます。

 

しかし,これは誤りで以下の直感的理解からSにわたる応力はS上の変位を決定し,その逆も成り立つことを認識することが重要です。

 

以下に,ある境界条件,初期条件下での変位場の一意性の定理を述べ,これの証明を与えます。

[一意性定理]:表面境界Sを持つ体積Vの弾性体内の到るところで,与えられた時刻t0における変位と粒子速度の値(=初期条件),およびt>t0における次の境界条件:

 

(ⅰ)実体力と供給される熱L,(ⅱ)表面S=S1+S2の一方の部分S1上での応力Π,(ⅲ)残りの部分S2上での変位

 

が与えられたとき,

 

 時刻t0より後の時刻tおけるV内到るところでの変位(,t)は一意的に決定される。

(証明)12が同じ初期条件を満足し,定理の境界条件(ⅰ)~(ⅲ)の同じ値で設定される変位の任意の2つの解であると仮定します。

 このとき,12とおけば,(,t)は初期値が恒等的に(,t0)≡0 であるような変位場です。

 

 そして,はt>t0における実体力がゼロ,かつ供給される熱Lもゼロ,さらにS1上での応力,またはτがゼロ,S2上での変位もゼロの変位場を表わします。

 それ故,一意性定理を証明するには,V内の到るところでt>t0でも=0 であることを示せばよいことになります。

まず,t>t0での力学的仕事率を与える式:∫VfuddV+∫STuddS=∫V[ρuidi2d+τiji,jd]dVにおいて,の場合には≡0 ですから,これらは明らかに恒等的にゼロです。

そして,∫V[ρUidi2d+τiji,jd]dV=0 を時間tについてt0からtまで積分して,応力-歪み関係式τij=Cijkli,jを用いると∫V[(1/2)ρUidid]dV+∫V[(1/2)Cijkli,jk,l]dV=0 です。

 

ところが,右辺の第1項の被積分関数である運動エネルギー密度も第2項の被積分関数である歪みエネルギー密度W=(1/2)Cijkli,jk,lも共に正定値な量です。

したがって,これらのV全体での総和がゼロということは,V内では到るところでUi=Uid=0 なることを意味します。よって,t>t0でも到るところで=0 です。

 

以上から,12が結論されます。(証明終わり)

一方,同じ表面境界Sを持つ体積Vの弾性体内での一対の変位場,に対して,相反性(reciprocal relation)と呼ばれる性質があることもわかります。

 

まず,(,t)は変位場の1つであるとし,は実体力とS上の境界条件,そしてt=0 における初期条件によって決まるとします。

一方,(,t)も変位場の1つであるとし,は実体力に対するものとは異なるS上の境界条件とt=0 における初期条件によって決まるものとします。

これら,2つのケースでを法線とする面上の応力を区別するため,変位による応力を(,),変位による応力を(,)と書くことにします。

このとき,次のようなBetti(ベッチ)の定理と呼ばれる相反性定理が成立します。 

[ベッチの定理]:上記のような条件の下で,等式∫V(-ρ2d)dV+∫S{(,)}dS=∫V(-ρ2d)dV+∫S{(,)}dSが成立する。

(証明)左辺=∫V(-ρ2d)dV+∫S{(,)}dS=-∫V[{τij,j()vi}dV+∫Sijji)dS=∫Vτij()vi,j]dV=∫Vij,klk,li,j]dV=∫V(-ρ2d)dV+∫S{(,)}dS=右辺です。(証明終わり)

さて,ベッチの定理は,,に関する初期条件を含まないことに注目します。

 

そこで,,2d,(,),は時刻t1で評価され,,2d,(,),が時刻t2で評価されるとしても∫V(-ρ2d)dV+∫S{(,)}dS=∫V(-ρ2d)dV+∫S{(,)}dSなる等式は正しいです。

 一方,を省略して時間tで0からτまで積分すると∫0τ2d(t)(τ-t)-ρ (t)2d(τ-t)}dt=ρ∫0τ[(∂/∂t){d(t)(τ-t)+(t)d(τ-t)}]dt=ρ{d(τ)(0)-d(0)(τ)+(τ)d(0)-(0)d(τ)}が成立します。

 

それ故,t1=t,t2=τ-tと選択して∫0τdt∫{ρ2d(,t)(,τ-t)-ρ (,t)2d(,τ-t)}dV=∫ρ{d(,τ)(,0)-d(,0)(,τ)+(,τ)d(,0)-(,0)d(,τ)}dVです。

したがって,その時刻t=τ0>0 より前にはV上到るところで,がゼロであるようなある時刻τ=τ0があればτ≦τ0ならd(,τ)=d(,τ)=0 です。

 

そこで,その場合には回転項∫-∞dt2d(,t)(,τ-t)-ρ (,t)2d(,τ-t)}dVはゼロです。

それ故,ベッチの定理から,∫-∞dt∫V([(,t)(,τ-t)-(τ-t)(,t)]dV=∫-∞dt∫S{(,τ-t)((,t),)-(,t)((,τ-t),)}dSを得ます。

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

 

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イチロー快挙!!

 イチロー選手の9年連続200安打。すごい記録らしいですね。おめでとうございます。。

 日本人,スポーツ,世界,連続ということで連想すると自転車の中野浩一さんやノルディック複合の荻原健司さんを連想しました。。。

 まあ,オリンピックとか世界選手権なんかでは女子柔道の谷(田村)亮子さんなどもいますが,メジャーの野球でしかも年間を通じての記録の連続ということでは,トーナメントなどの一発勝負とか,野球でも1試合での完全試合などとは,また違う重みを感じます。

 柔道やその他のトーナメントにしても練習期間や国内予選等も含めると結局は常に努力した蓄積の結果という意味では同じような意味があるのでしょうがね。。。。。イヤ,陸上競技で言えば100m,200mとマラソンの違いかな?。。。

   

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2009年9月11日 (金)

積分方程式(2)

 積分方程式の続きです。 

前記事のアーベル(Abel)φの積分方程式に続く話題として,リーマン・リウヴィル(Riemann-Liouville)作用素の話をします。

先に与えたアーベルの積分方程式∫axdy{u(y)/(x-y)1-α}=f(x)(a<x<b)の左辺のuに対する積分を定数Γ(α)で除したものを,(a,b)の上の関数に作用する作用素(operator)と考えこれをaαなる記号で表わすことにします。

つまりaα(x)≡{1/Γ(α)}∫axdy{u(y)/(x-y)1-α}(a<x<b)とします。そして作用素:aαをリーマン・リウヴィルの積分作用素と呼びます。

これが作用する関数空間としては,取り合えず,区間Iの上で可測でIにおける任意の有界閉部分集合の上で可積分な関数全体である1loc(I)を採用することにします。

1loc[a,b)は任意のc∈[a,b)に対して∫ac|u(x)|dx<∞なる関数u(x)全体のことです。

例えば,u(x)≡(x-a)λ-1(λ>0) とするとu(x)∈1loc[a,b)であってΓ(α)aαu(x)=∫axdy/{(x-y)1-α(y-a)1-λ}=Β(α,λ)(x-a)λ+α-1となります。

Β(x,y)はΒ(x,y)≡∫01{tx-1(1-t)y-1}=Β(y,x)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)で定義されるオイラー(Euler)のベータ関数です。

なぜなら,積分変数をyからζ=(y-a)/(x-a)に置換すると,dζ=dy/(x-a)でありyがa→xと動くときζは0→1と動くので,∫zxdy/{(x-y)α(y-z)1-α}=(x-a)λ+α-101dζ/{(1-ζ)αζ1-α}となるからです。

そして,再びΓ(α)aαu(x)=Β(α,λ)(x-a)λ+α-11loc[a,b)です。

一般に,リーマン・リウヴィル積分作用素aαは次の命題で与えられる基本性質を持つことがわかります。

[命題1]:α>0のとき,u∈1loc[a,b]ならaαu∈1loc[a,b)であり,∀α,β>0に対して,aα(aβu)=aα+βuが成立する。

 以下,これの証明です。

(証明) まず,u∈1loc[a,b)なら∀c∈[a,b)について∫ac|aαu(x)|dx≦Γ(α)-1acdx∫axdy{|u(y)|/(x-y)1-α}=Γ(α)-1{∫axdy|u(y)|dy}{∫ac(x-y)α-1dx≦{αΓ(α)}-1(c-a)αaxdy|u(y)|dy<∞より,確かにaα^u∈1loc[a,b)です。

 そして,aα(aβu)=Γ(α)-1Γ(β)-1[∫axdy(x-y)α-1axdz{u(z)/(y-z)1-β}]=Γ(α)-1Γ(β)-1[{∫axu(z)dz}{∫axdy(x-y)α-1(y-z)β-1}]です。

ところが,前にも見たように積分変数をyからζ=(y-z)/(x-z)に置換すれば,∫zxdy(x-y)α-1(y-z)β-1}=(x-z)(α+β)-101dζ(1-ζ)α-1ζβ-1=Β(α,β)(x-z)(α+β)-1となることがわかります。

ただし,Β(α,β)=∫01{tα-1(1-t)β-1}=Β(β,α)=Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)です。

故にΓ(α)-1Γ(β)-1[{∫axdzu(z)∫axdy(x-y)α-1(y-z)β-1}]=Γ(α)-1Γ(β)-1Β(α,β)∫axdz{u(z)(x-z)(α+β)-1}=Γ(α+β)-1axdz{u(z)/(x-z)1-(α+β)}=aα+βuとなることがわかります。

以上でaα(aβu)=aα+βuなる等式の成立が証明されました。(証明終わり)

 上記の[命題1]の結論であるaα(aβu)=aα+βuなる性質によって,以下aα(aβu)を(aαaβ)uと書き,これを記号的に作用素の積としてaαaβaα+βと表現することにします。  

 α=1のときのリーマン・リウヴィル作用素αa1は,a1u=∫axu(y)dyとなります。右辺は単にaを基点とする関数uの1回の積分を意味します。

それ故,上の[命題1]の結論aαaβaα+βから,任意の自然数nに対して,(a1)nanなる式が成立することがわかります。

Γ(n)=(n-1)!ですから,これはuのn回積分:(a1)nuについて,(a1)nu(x)={1/(n-1)!}∫axdy{(x-y)n-1u(y)}の成立を意味します。

しかし,実はuのn回積分が{1/(n-1)!}∫axdy{(x-y)n-1u(y)}と書けることは,∫ax{a1u(y)}dy=∫axdy∫ayu(z)dz=∫axdzu(z)∫zxdy=∫axdz{u(z)(x-z)}etc.など具体的計算から明らかです。

したがって,リーマン・リウヴィル積分作用素aαは,αが自然数nのときにはn回積分を示していることがわかります。

 

そこで,逆に定義aαu(x)≡{1/Γ(α)}∫axdy{u(y)/(x-y)1-α}は,αが自然数nではなく一般の正の数のときのα回の積分への拡張になっていて,積分aα(x)はαが一般の正の数である場合のα回積分と呼ぶにふさわしいものであると考えられます。

そして,もちろん(a1/n)na1なる等式も成立しますから,リーマン・リウヴィル積分作用素aαは分数回積分を表現すると言われることもあるようです。

先のアーベルの積分方程式∫axdy{φ(y)/(x-y)1-α}=f(x)(a<x<b)はf(x)/Γ(α)を改めてf(x)と書けば{1/Γ(α)}∫axdy{φ(y)/(x-y)1-α}=f(x) (a<x<b)ですが,これをリーマン・リウヴィル積分作用素aαを用いて表わせばaαφ=f(a<x<b)と書けます。

そして,前述したアーベルの積分方程式解法は,この方程式:aαφ=fの両辺にa1-αを作用させた後に,それの両辺を微分する方法と解釈されます。  

実際,作用素の積の性質からa1-αaαa1(1回の不定積分)が成立します。

一方,微分するという演算を微分作用素≡d/dxで表現すると,"微分と積分は互いに逆演算である=関数の不定積分の微分は元の関数になる。"という微積分学の基本法則から記号的にDIa1=1 です。

それ故,形式的にaαφ=f⇒a1φ=a1-αf⇒ φ=DIa1-α で表わされるアーベルの積分方程式の解法手順が可能になるわけです。

そこで,リーマン・リウヴィル微分作用素aαというものをaαu≡DIa1-αu={1/Γ(1-α)}∫axdy{u(y)/(x-y)α}によって定義すれば,アーベルの積分方程式aαφ=fの解がφ=aαfになるという意味で,aαaαの逆作用素(aα)-1を与えると解釈されます。

しかし,上記のアーベルの積分方程式を解く手続き,あるいは作用素aαを作用させるという操作aαuが正当化されるためには,aαが如何なる関数u(x)に対して意味を持つかが問題になります。

そのため,まず∀c∈[a,b)に対し[a,c)で絶対連続な関数全体から成る関数空間をAloc[a,b)と書くことにします。

このときラドン・ニコディム(Radon-Nycodim)の定理からu∈Aloc[a,b)なることは,"v∈1loc[a,b)が存在してu(x)=u(a)+∫axv(y)dy(a≦x<b)と書けること"に同値です。

 

(註):本ブログ「TOSHIの宇宙」の2007年7/7の過去記事「条件付確率と条件付期待値」を参照します。

「ラドン・ニコディムの定理」というのはもしも,Φ(A)が"絶対連続:μ(E)=0 E∈⇒Φ(A)=0 "なら,適当な密度関数f(x)が存在してΦ(A)=∫(x)μ(dx)と表現できる。」というものです。(参照終わり)

ただし,σ-有限な測度空間(X,,μ)ではXの部分集合から成る可測集合族であり,μはその上の測度を意味しています。(註終わり)※

 

さらに,部分集合Aloc[a,b)*をAloc[a,b)*≡{u∈Aloc[a,b)|u(a)=0}で定義します

このとき,次の定理が成立します。

[定理2]:0<α<1のとき,アーベル積分方程式aαφ=fが1loc[a,b)で可解であるためには,a1-αf∈Aloc[a,b)*なることが必要十分である。

そして,条件a1-αf∈Aloc[a,b)*の下でアーベル方程式aαφ=fの解は一意的にφ=DIa1-αfと解かれる。

 以下,これの証明です。

(証明)aαφ=fが解φ∈1loc[a,b)を持てば∫axφ(y)dy=a1-αf(x)となり,左辺はx∈[a,b)で絶対連続でa1-αf(a)=0です。それ故,a1-αf∈Aloc[a,b)*です。

 逆にa1-αf∈Aloc[a,b)*を仮定すると,φ≡Da1-αfが存在してa1-αf(x)=∫axφ(y)dyとなります。

 ここで,g≡aαφと置けば[命題1]によってg∈1loc[a,b)でありa1-αg=a1φ(x)=∫axφ(y)dyです。

 そこで,a1-αg=a1-αfが得られました。

 

 これの両辺にaαを作用させると,∫axg(y)dy=∫axf(y)dyですから,両辺を微分して1loc[a,b)においてg≡fを得ます。(証明終わり)

 途中ですが急用を思い出したので今日はここまでにします。

参考文献:上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版)

 

PS:脳血管の「もやもや病」というのはアーティストの「徳永英明」さんが罹ったことで有名になったみたいですね。

 

 そういえば,かなり昔に確か高島兄弟の1人が主演?の弁護士もののドラマのテーマ曲として聴いていたと記憶している「壊れかけのradio」という唄が彼の持ち唄でしたね。

 

 それをカラオケでよく唄っていた頃は,高音部を唄うと首から上の血管が切れそうにな程に辛いことがよくあったのですが,「もやもや病」と何か関係あるのでしょうか?

 

 私の方は歌手ではなくカス?ですが。。。

(今なら昔ほど目一杯大声を張り上げずに唄うので,もっとおだやかな喉への力で唄うことができるかもしれませんね。。)

 

PS2:今日は9月11日ですが「記念日(2006年) 」( 今日は記念日 (2008年)) も風化しつつあるようです。。。

 

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2009年9月10日 (木)

脳の病気?

 7月末に,あるところで受けた"頭のMRIの検査結果=脳の輪切りの写真"の専門家による分析から,正式にではないですが,"もやもや病"の疑いがあるとの連絡を受けました。

 これは,よく知らない病名ですがウィキによると女性では30万人に1人,男性では50万人に1人いる程度の奇病で治療法はあるけれど,原因はよくわからないらしいですね。

 芸能人の徳永英明さんがこの病気であったとか言われているようです。

 まあ,心臓のポンプが末端まで血流を送る能力がない,あるいは能力あっても動脈血管が狭窄で血流が悪いということで,健康な動脈や太い静脈を別のところから持ってきて冠動脈を含め,7本もつなぐ心臓バイパス手術を2年5ヶ月前に受けたときから,

 ガンの転移ほどの危険なものと同じではないでしょうが,心臓病(心不全)と連鎖的に足の動脈硬化(血管の石灰化)や,脳の虚血など末端の血流に異常が有り得るとは想像できたらしいのですね。

 最近亡くなられた大原麗子さんになぞらえるのは厚かましくて失礼でしょうが,私も手術後退院してから,自分の部屋の中でよく転んだりして,平衡感覚を含め運動機能がややおかしく1年半前の引越しのときには特に困りました。

 例えば,カーテンを付けるだけなのにカーテンレールに背伸びをしながらフックを1個ずつ付けるのにも,1個付けるたびに疲れて半日以上ベッドに寝転んで体を休めるという有様でした。このときには一人身はつらいと感じましたね。

 これは低血圧や糖尿病による腎臓機能低下に関連した貧血のためでもあったのでしょうが,でも,もしかして手術の後遺症?と疑ってました。

 まあ,脳梗塞とまではいかなくても,そうした症状があったのは,実はこれが原因かもしれませんね。。

 37~38歳で糖尿病になってからも,20年近く普通に仕事をして生きてきたことを考えると,脳の病気であろうと死ぬほどの発作など起きない限りは,病気とうまく共生して仕事もしていけるのじゃないか?と,脳天気な自分は大したショックもなく安易に考えています。

 (40代から少しずつ頭髪が薄くなっていったのも糖尿病によるものでしょう。)

 どうせ,例によって同情でも買おうというイヤラシイ性格なので,,大したこともないのにバタバタ吹聴してるだけでしょう。こんなことより目先のお金のほうが大事ですね。。。 

PS:後に,診断された時の脳血管網の写真を帝京大病院の脳神経外科に持参して診てもらいました。医師によると,映像は脳への血流が悪くてたくさん生えてきたもやもや毛細血管のように見えるけれど.私の映像はそうではなく何らかの影であり,さらに造影剤を注入して脳血管のγ線写真を撮ってもらいましたが,脳だけはまだ健康ということでした。

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2009年9月 8日 (火)

定量的地震学1

私がサブマネージャーをしているfolomy物理フォーラムで,最近,電磁波の水滴による減衰に関する質問があり,確か20年以上前にボルン-ウォルフ著「光学の原理」を参考にして雲やエアロゾルによる古典電磁波のミイ(Mie)散乱の断面積を計算したことがあるのを思い出し,そのとき作成したノートを探していました。

これが見つかれば,これに便乗して,最近の地球温暖化の原因とされる温室効果ガスの中で,その効果が最も大きいと思われる雲,あるいは水滴の効果を評価したいとも考えていました。

ところが,そのノートは2,3日探しても見つからず,代わりに1991年に,2番目の会社で地震の震源地予測プログラム開発のために国会図書館でコピーした,AkiとRichards著の「Quantitative Seismology」という地震学の本についてまとめた3冊のノートを見つけました。

 

そこで急遽,これを紹介する記事を書こうという気になりました。

(もちろん,曇りの空の色に関係するミイ散乱や,晴れの青い空に関係するレイリー(Rayleigh)散乱などを検討して,電磁波の減衰効果についてもいずれ書こうとは思います。)

英語で書かれている「Quantitative Seismology」については,近年,共著者の安芸氏とは別の日本人によって,安芸敬一,P.G.Richards著「地震学」という大部の翻訳書として出版されているのを知っていますが高価なので,これはまだ,買ってはいません。

もっとも,当時,国分寺の方の会社に委託されて,従来よりも正確かつ迅速に震源地を求めようという試みは挫折しました。

 

地震については2006年11/14の過去記事「結晶内での弾性波(地震波)」 もあります。

 

さて,第1章の序文は省略して第2章の「動力学的弾性体の基礎理論」から始めます。 

地球内の地震運動を研究するための解析的枠組みは少なくとも次の3つの成分を組み込んでいる必要があります。

 

すなわち,震源を記述する方法,地震運動の伝播を支配する運動方程式,そして震源の記述を方程式の個々の解に結合させる理論です。

地震学においては,小さい運動の2つのセットは非線型な形で干渉することはなく重ねあわされるという推測があります。

そして,もう1つの推測として,ある物理的源によって生起された地震運動は震源と波動伝播の媒質の性質を結びつけることによって一意的に決定されるというものです。

こうした推論や地震学者によって一般に真であると仮定されている他の多くの推論は線型応力-歪み関係を有する弾性媒体に対する古典連続体力学の無限小運動の性質であり,これが理論に対する全ての数学的枠組みを提供します。

それでは定式化に向かいます。 

連続体の運動力学を記述するために,2つの異なる方法が広く用いられています。

 

これらの1つは,"ある参照時刻tに初期時刻t0の元の位置で指定された質点の運動を追跡する。"というラグランジュ(Lagrange)的記述と,もう1つは"いかなる質点であろうと指定した空間位置を占めている質点に着目する。"というオイラー(Euler)的記述です。

地震学の大抵の応用では,線型弾性理論をラグランジュ的記述で展開するのが概念的により簡単です。

 

以下では,枠組みとして殆ど常にラグランジュ的記述を採択します。

要するに,震動図は地球の個々の部分における地震計が設置されている質点の運動の記録であり,直接ラグランジュ的運動の記録と考えられるからです。

まず,系はデカルト(Descartes)座標系(直交座標系):=(x1,x2,x3)で扱い,全てのテンソルはデカルトテンソルとします。

変位(displacement)という量を空間と時間tの関数として用いることから始めます。

 

すなわち,ある時刻t0に占めていた空間位置のベクトルから,その質点が時刻tに移動した量としてのベクトルを変位と呼び,それを(,t)と書きます。

このラグランジュ的表記では,時間tが変わってもは不変な独立量なので,粒子(質点)の速度は∂/∂t,加速度は∂2/∂t2です。

固体であれ液体であれ,また弾性的であれ非弾性的であれ,媒質の歪みを解析するためには歪みテンソルを使用します。

最初,位置にあった質点が位置に動かされるなら,そのときの関係()が変位の場を記述するために用いられます。

初期に近傍にある媒質部分の歪みを調べるために,初期位置+δにあった質点の新しい位置を知る必要があります。この新しい位置は+δ(+δ)です。

この変位の変化をδとすれば+δ+δ(+δ)-()です。|δ|は任意の微小量なので,(+δ)=u()+(δ∇)+O(|δ|2)ですから,δ=(δ∇),または,δui=(∂ui/∂xj)δxjです。

しかし,の近傍の真の歪みを指定するのにテンソル:(ui,j)=(∂ui/∂xj)の全ての成分が必要なわけではありません。

 

なぜなら,"運動=変位"の一部は単にの近傍の無限小な剛体回転によるものです。

 

これは恒等式:(ui,j-uj,i)δxj=εijkεjlmm,lδxkからわかります。(つまり,≡rotと置けば,(ui,j-uj,i)δxj=(×δ)iと表現されます。)

それ故,δui=(∂ui/∂xj)δxj=ui,jδxjは,δui=(1/2)(ui,j+uj,i)δxj+(1/2)(rot×δ)Iと書き直せます。

 

剛体回転の総量は(1/2)rotなので,|ui,j|<<1なら全変位を表わす右辺のうち,最後の項を剛体回転として解釈することが可能です。

変位勾配が|ui,j|<<1の意味での無限小でないなら,δにおいて有限な回転の寄与を解析する必要があります。

 

しかし,有限回転は非可換な変動でベクトルでは表現できないので,はるかに困難な事象です。

ここでは|ui,j|<<1と想定し,無限小の歪みテンソルとして,eij≡(1/2)(ui,j+uj,i)なる対称テンソルを定義し,これを任意の線素δxiについて相対位置をeijδxjだけ変える真の歪み効果とします。

回転の方は要素の長さには影響しません。実際,新しい長さは+δ|=(δδ+2δδ)1/2=(δδ+2eijδxiδxj)1/2=|δ|(1+eijνiνj)となります。

 

ただし,νν≡δ/|δ|で定義される単位ベクトルです。

+δ|=|δ|(1+eijνiνj)は,線素のν方向への伸縮歪みがeijνiνjであることを示しています。

連続体内の隣接した粒子間の相互に作用する力を解析するためには,応力テンソルの概念を用います。

 

応力とは連続体内の内部面積当たりに働く力のことです。これは面の一方の側の粒子が他の側の粒子に作用する単位面積当たりの接触力を定量化したベクトル量です。

厳密には,連続体内部の面上の与えられた1点に対し,その点の無限小面素δSを横切って作用する無限小の力δを考え/δSのδS→ 0 の極限で応力を定義します。

面δSに垂直な単位ベクトルに対し,がその内側へと向く側の物質からを外向き法線の単位ベクトルとする側の物質に作用する力としてδを定義します。

δ/δSの極限である応力の大きさと方向は,面δSの向き,つまりにの取り方に依存します。そして一般にに平行ではありません。の関数として()なる形で表現されます。

 

例えば,面に垂直な応力である流体内の圧力であれば,その大きさは-nT()で与えられます。一方,固体物質に対しては,せん断力は面に平行な向きに作用し得ます。

さて,連続物体内の質点(粒子)に作用する力としては,上記の隣接粒子間に働く接触力応力だけではなく,一般には隣接粒子間の相互重力や磁力など古典的な非接触の遠隔作用力もあります。

 

こうした非接触力など外力を実体力と名付けます。そして,初期時刻にある位置にあった物体の別のある時刻tに作用する単位体積当たりの実体力を(,t)と書くことにします。

 

初期位置がξの1つの個別粒子に時刻t=τに瞬時的に加えれる1つの衝撃力という特殊ケースを考えてみます。

 

この力がxn軸方向にあるとき,成分fi(,t)は空間位置を与えるのに3次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,そして衝撃の時刻を与えるのに1次元のデルタ関数に比例し,さらにi≠nについてはfi=0 なる方向性を持つとします。

こうすれば,力の密度はfi(,t)=Aδ3(ξ)δ(t-τ)δinと表現されます。ここにAは衝撃の強さを与える定数です。

i3(ξ),δ(t-τ)の次元がそれぞれ[力/体積]=MLT-2/L3,1/L3,1/Tであることに着目すれば,δinは無次元なので衝撃の強さAは正しく,"衝撃=力積"の物理的次元を持つことがわかります。

こうして,境界面Sを有する体積Vの到るところで加速度,実体力(体積力),応力に対する制約を述べられる位置に到達しました。

さて,ニュートンの運動法則によってVを構成する粒子群の運動量総体の変化率とVの全体に作用する力とを等置すれば,(∂/∂t)[∫V{ρ(∂/∂t)}dV]=∫VdV+∫S()dSとなります。

 

この関係はラグランジュ的記述に基づいており,VとSは粒子と共に動きます。

この描像では,ρdVは時間的に一定なので,左辺は∫V{ρ(∂2/∂t2)}dVと書き直すことができます。

以下,この式を利用して応力()の陽な形を求め,応力テンソルを導入します。

加速度,実体力,応力のどれも特異ではないような媒質中の粒子Pを考えます。そして,点Pを微小体積ΔVで囲み,ΔV→ Pと収縮する極限で∫V{ρ(∂2/∂t2)}dV=∫VdV+∫S()dSの各項のΔVに対する相対的な大きさを評価します。

このとき,被積分関数が特異ではないので両辺の体積積分の項はΔVのオーダーですが,面積積分の項は∫SdSのオーダーであり,(ΔV)2/3のオーダーの量です。

そこで,∫V{ρ(∂2/∂t2)}dV=∫VdV+∫S()dSの両辺を∫SdSで割った式では,ΔV→ 0 に対し,V{ρ(∂2/∂t2)}dV/∫SdS→ 0 ,かつVdV/∫SdS→ 0 です。

仮に,ΔVとして外向き法線と-を持つ相対する平面板とここでは重要ではない側面を持つ直方体を取れば,ΔV→ 0 に対して∫S()dS/∫SdS→ 0 ですから,(-)=-()を得ます。

次に,ΔVを小さな四面体OABCとし,その3つの面⊿OBC,⊿OCA,⊿OABが,それぞれx1軸に垂直な23面,x2軸に垂直な31面,x3軸に垂直な12面の上にあり,残る4番目の面の⊿ABCの外向き法線がであるとします。

 

このとき,∫S()dS/∫SdS→ 0 は,()⊿ABC+(-^1)⊿OBC+(-^2)⊿OCA+(-^3)⊿OAB/∫SdS→ 0 を意味します

ただし,^iはi軸方向の単位ベクトルです。結局,()=(^j)njなる関係式を得ます。

(-)=-(),および()=(^j)njなる等式は,媒質が静止中であろうと運動中であろうと成立します。そこでτjl≡Tl(^j)と置けば,常にTj()=τjijと書けます。

ガウスの定理を用いると∫Sj()dS=SτjijdSVτji,jdVですから,∫V{ρ(∂2/∂t2)}dV=∫VdV+∫S()dSは,∫{ρ(∂2i/∂t2)-fi-τji,j}dV=0 となりますが,Vは任意なので微分型の運動方程式としてρ(∂2i/∂t2)=fi+τji,jが得られます。

運動力学のもう1つの制約式は座標原点の周りのV内の総角運動量の変化率をVにおける力のモーメントに等置することで得られます。 

すなわち,(∂/∂t)[∫V{×ρ(∂/∂t)}dV]=∫V(×)dV+∫S{×()}dSです。ただし,です。

 

/∂t,×(∂/∂t),∂(ρdV)/∂tは全てゼロなので,左辺は∫V{×ρ(∂2/∂t2)}dVと書けます。

そこで,これに運動方程式:ρ(∂2i/∂t2)=fi+τji,j,およびTi()=τjijを代入することにより,∫Vijkj(∂τlk/∂xl)}dV=∫Vijkj{ρ(∂2k/∂t2)-fk}]dV=∫Sijkjk()}dS=∫Sijkjτlkl)dSを得ます。

ところが,ガウスの定理より∫Sijkjτlkl)dS=∫V{(∂/∂xl)(εijkjτlk)}dV=∫Vijk(∂Xj/∂xllk}dV+∫Vijkj(∂τlk/∂xl)}dV=∫Vijkτjk)dV+∫Vijkj(∂τlk/∂xl)}dVです。

したがって,∫Vijkτjk)dV=0 と結論されます。

 

これは,到るところでεijkτjk=0 なること,つまり,応力テンソルが対称であること:τkj:=τjkを意味します。

これらの基本的結果から,応力の成分についての最終的公式を定めることができます。 

すなわち,応力テンソル(τij)は対称であって,応力はTi=τjijで与えられます。さらに,運動方程式はρ(∂2i/∂t2)=fi+τji,jで与えられます。

今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

   

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2009年9月 4日 (金)

短かい日記です。

 今は早朝です。今日は毎月の病院に行く日です。

  

 昨日は,昼間,前の仕事関係の友人に久しぶりに会おうと誘われました。明日は病院に行くと言ったら,死にたいのなら何故病院に行くのか?と詰問されました。

  

 誰にも迷惑かけない方法でサッサと死ねということなんでしょうが,そこまで積極的に自死を望むわけではありません。

 

 正直,人並みに死ぬのは怖いしね。。。

  

 ところで,行きつけのこのブログ:

                      

    

にはコメントを入れるところが,ないんだろうか?

 

 確かに有名人のブログだと気軽には書き込めないところが多いけど。。。

 

 9/2の「ゆかた」記事のの写真.イヤー,彩乃クンのゆかたとメガネのアンバランスがいいですね。。。

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