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2009年9月29日 (火)

定量的地震学4

 地震学の続きです。

さて,前回の最後では表示定理の形式として次の3つの異なる表現を得ました。

n(,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Gin(,t-τ;ξ,0)]dVξ+∫-∞dτ∫S{Gin(ξ,t-τ;,0)Ti((ξ,τ),)-ui(ξ,τ)Cijkl(ξ)nj{∂Gkn(ξ,τ-t;,0)/∂ξl}]dSξ ・・(1)

n(,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Grigin(,t-τ;ξ,0)]dVξ-∫-∞dτ∫S[ui(ξ,τ)Cijkl(ξ)nj{∂Grigkn(,τ-t;ξ,0)/∂ξl}]dSξ ・・(2)

n(x,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Gfreein(,t-τ;ξ,0)]dVξ+∫-∞dτ∫S{Gfreein(,t-τ;ξ,0)Ti((ξ,τ),)}dSξ ・・(3)

これらを総見すると,変位(,t)はS上の変位に依存するのか,応力に依存するのか,それとも両方に依存するのか,ということに関して矛盾を示しているように見えます。

しかし,弾性媒質上では応力と変位は独立には決まらないので矛盾はありません。

表示定理において,その上で応力,または変位の陽な値が要求される表面Sとしては,通常Vの外側の面を意味します。

 

この表面Sを埋没した断層の相対する面であるような2つの隣り合う内部面として考慮するという課題は,地震源の理論にとって中心的な問題ですが,これは後の章で扱う予定です。

さて,これまではデカルト座標のみを考えてきましたが実際の地震学では個々の問題にとって変位,応力,歪みの成分間の物理的関係が単純に見える一般曲線座標を適用した方が適切なことが多いとわかります。

そこで,弾性理論において必要な通常のベクトルや微分作用素∇(grad,div,rot),∇2等について一般の直交曲線座標における形や性質を求めてみます。

まず,位置ベクトルのデカルト座標(x1,x2,x3)が別のパラメータ(c1,c2,c3)で指定されるとします。すなわち,(x1,x2,x3)の各成分が(c1,c2,c3)のスカラー関数xi=xi(c1,c2,c3)(i=1,2,3)で与えられるとします。

そして,これらの関数xiは全て連続な導関数を持ち,常に逆関数cp=cp(x1,x2,x3) or cp=cp()(p=1,2,3)が存在するとします。

そこで,方程式cp()=(一定)は各pについて座標面を作ります。3つの座標面cp()=(一定)は,それに沿ってc1,c2,c3のうちの1つcpのみが変わるような線素(軸)と交わっています。

pをそうしたcp()=(一定)の座標面に垂直な単位法線ベクトルとします。位置ベクトル+dが共にcp()=(一定)の同じ座標面にあるとすれば,cp(+d)=cp()です。

 

そこで,d∇cp=0 ですがdは面上の任意の線素ですから∇cpはこの面に垂直なベクトルです。それ故∇cppに平行です。

そこで1/hp≡|∇cp|とおけば,p=hp∇cpです。さらに,(c1,c2,c3)が(x1,x2,x3)と同じく右手系であるとすれば,pq=δpqかつ31×2です。

そして,^iをデカルト座標の第i軸単位ベクトルとすると=xi^iより^i=∂/∂xiです。

そして,pipの第iデカルト成分とすればp=hp∇cpからnpi=hp(∂cp/∂xi)です。

それ故,p=npi^i=npi(∂/∂xi)=Σqpi(∂/∂cq)(∂cq/∂xi)=Σq(npiqi/hq)(∂/∂cq)=Σqpq/hq)(∂/∂cq),すなわち,p=(1/hp)(∂/∂cp),または∂/∂cp=hppという表現式を得ます。

位置ベクトルの微小変化dはc1,c2,c3の微小変化とはd=Σp(∂/∂cp)dcpによって関連付けられるのでds2≡d=Σp,q(∂/∂cp)(∂/∂cq)dcpdcq=Σp,qpqpqdcpdcq=Σp(hpdcp)2です。

結局,ds2=dx12+dx22+dx32=(h1dc1)2+(h2dc2)2+(h3dc3)2を得ます。すなわち,1に沿う増分dc1に対するユークリッド距離はh1dc1,同様なことは,3に沿う増分dc,dc3についてもいえます。

後に必要になる∂p/∂cqの形の導関数を法線pを微分しない式を求めておきます。

pq=δpq,およびp=(1/hp)(∂/∂cp)から,p(∂q/∂cr)+q(∂p/∂cr)=0(18個の方程式),∂(hpp)/∂cq=∂(hqq)/∂cp(3個の方程式)が得られます。これらは∂p/∂cqの27個の未知成分に対して丁度27個の異なる方程式になっていますから解を決定するのに十分です。

実際,(∂/∂cp)(∂/∂cq)=(hpp)(hqq)=hpqδpqより,0=(∂/∂c1)(∂/∂c2)(∂/∂c3)+(∂/∂c2)(∂/∂c3)(∂/∂c1)-(∂/∂c3)(∂/∂c1)(∂/∂c2)=2(∂2/∂c1∂c2)(∂/∂c3)ですから,∂/∂cp=hppによって{∂(h22)/∂c1}3={∂(h11)/∂c2}3=0です。

そこで,∂(h22)/∂c1=∂(h11)/∂c23と直交しますから,12の1次結合で表現できます。しかし,∂(h22)/∂c1=h2(∂2/∂c1)+(∂h2/∂c1)2,かつ∂(h11)/∂c2=h1(∂1/∂c2)+(∂h1/∂c2)1より,結局∂2/∂c1,∂1/∂c2自身が12の1次結合です。

p(∂q/∂cr)+q(∂p/∂cr)=0から,明らかに2(∂2/∂c1)=1(∂1/∂c2)=0により∂2/∂c1=A211,∂1/∂c2=A122と書けます。

結局,h2211+(∂h2/∂c1)2=(∂h1/∂c2)1+h1122から∂2/∂c1=(1/h2)(∂h1/∂c2),かつ∂1/∂c2=(2/h1)(∂h2/∂c1)が得られます。

以上から,p≠qなら∂p/∂cq=(q/hp)(∂hq/∂cp)です。

一方,p(∂q/∂cr)+q(∂p/∂cr)=0 からp(∂p/∂cp)=0 です。そこで,特に∂1/∂c123だけの線形和として1/∂c1=B122+B133と書けます。

そして,2(∂1/∂c1)+1(∂2/∂c1)=0 よりB12=-(1/h2)(∂h1/∂c2)です。同様にB13=-(1/h3)(∂h1/∂c3)なので∂1/∂c1=-(2/h2)(∂h1/∂c2)-(3/h3)(∂h1/∂c3)です。

以上から,∂p/∂cq=(q/hp)(∂hq/∂cp)-δpq[(1/h1)(∂hp/∂c1)+(2/h2)(∂hp/∂c2)+(3/h3)(∂hp/∂c3)]なる一般公式が得られました。

この公式に従って通常のデカルト座標での歪み成分eij(1/2)(ui,j+uj,i)を一般化した歪み成分epqと変位成分urの関係を求めます。

ここで,epqは準拠点で一般直交曲線座標で指定された右手系の方向単位ベクトル1,2,3に取られた局所的な回転デカルト軸で参照される単なるデカルト2階テンソルの成分です。

歪みの次元さえ持たない一般のテンソル成分epqよりも歪みの物理的成分eijを強調したいので当面の問題は,成分epqを各点ごとに1,2,3で決められている変位の物理成分による微分係数によって表現することです。

そして,通常の固定でカルト座標とは異なり,点ごとに一定ではない目盛り関数h1,h2,h3と同じく点ごとに一定でない方向1,2,3の空間変化のために困難が生じます。

pに沿うデカルト軸^1,^2,^3 (ただし^i=∂/∂xi)に対する方向余弦を(np1,np2,np3)とします。つまり,p=npi^i,または(p,^i)=npiです。

そこで,変位ベクトルの成分を=ui^i=Σpppと書けばui=Σpppiですが,npiqi=δpqなのでup=npiiでもあります。

それ故,ベクトルの直積と同じ変換性を有する2階テンソルの成分間の関係はeij=Σp,qpqpiqj,またはepq=npiqjijです。

ところで,すぐ前では同じくnpipの第iデカルト成分とするとp=Σpp∇cpよりnpi=hp(∂cp/∂xi)であり,そこでp=npi^i=npi(∂/∂xi)=Σqpi(∂/∂cq)(∂cq/∂xi)=Σq(npiqi/hq)(∂/∂cq)=Σqpq/hq)(∂/∂cq),すなわちp=(1/hp)(∂/∂cp) なる表現式を得ました。

したがって,epq=npiqjij={1/(2hpq)}(∂/∂cp)(∂/∂cq)(∂ui/∂xj+∂uj/∂xi)={1/(2hpq)}{(∂xi/∂cp)(∂ui/∂cq)+(∂xi/∂cq)(∂ui/∂cp)}です。

それ故,epq={1/(2hq)}[(∂/∂cq){(ui/hp)(∂xi/∂cp)}-ui(∂/∂cq){(1/hp)(∂xi/∂cp)}]+{1/(2hp)}[(∂/∂cp){(ui/hq)(∂xi/∂cq)}-ui(∂/∂cp){(1/hq)(∂xi/∂cq)}]です。

ここで,p=(1/hp)(∂/∂cp)またはnpi=(1/hp)(∂xi/∂cp),そしてup=npii=(ui/hp)(∂xi/∂cp)を代入すると,epq={1/(2hq)}(∂up/∂cq)+{1/(2hp)}(∂uq/∂cp)-(ui/2){(1/hp)(∂npi/∂cq)+(1/hq)(∂nqi/∂cp)}です。

結局,epq={1/(2hq)}(∂up/∂cq)+{1/(2hp)}(∂uq/∂cp)-(/2){(1/hp)(∂p/∂cq)+(1/hq)(∂q/∂cp)}なる式が得られました。

これの右辺に先に得た公式:∂p/∂cq=(q/hp)(∂hq/∂cp)-δpq[(1/h1)(∂hp/∂c1)+(2/h2)(∂hp/∂c2)+(3/h3)(∂hp/∂c3)]を代入します。

unp=npii=upなので(1/hq)(∂up/∂cq)-(unp/hpq)(∂hp/∂cq)=(1/hq)(∂up/∂cq)-(up/hpq)(∂hp/∂cq)=(hp/hq){∂(up/hp)/∂cq}です。

それ故,epq={1/(2hq)}(∂up/∂cq)+{1/(2hp)}(∂uq/∂cp)-(/2){(1/hp)(∂p/∂cq)+(1/hq)(∂q/∂cp)}=(1/2)[(hp/hq){∂(up/hp)/∂cq}+(hq/hp){∂(uq/hq)/∂cq}]+(δpq/hq)[(u1/h1)(∂hp/∂c1)+(u2/h2)(∂hp/∂c2)+(u3/h3)(∂hp/∂c3)]です。

こうして最終的にはデカルト座標の添字は全て削除されました。再記するとepq(1/2)[(hp/hq){∂(up/hp)/∂cq}+(hq/hp){∂(uq/hq)/∂cq}]+(δpq/hq)[(u1/h1)(∂hp/∂c1)+(u2/h2)(∂hp/∂c2)+(u3/h3)(∂hp/∂c3)]です。

q≠pのepqの非対角要素の場合なら右辺第2項がゼロですから,第1項が成分epqに一致します。つまり,q≠pならepq=(1/2)[(hp/hq){∂(up/hp)/∂cq}+(hq/hp){∂(uq/hq)/∂cq}]です。

一方,q=pの対角要素の場合には,(第1項)=∂(up/hp)/∂cp=(1/hp)(∂up/∂cq)-(up/h2p)(∂hp/∂cp)ですから,(第2項)=(1/hp)[(u1/h1)(∂hp/∂c1)+(u2/h2)(∂hp/∂c2)+(u3/h3)(∂hp/∂c3)]の3項のうち(up/h2p)(∂hp/∂cp)に一致する1つの項が(第1項)の-(up/h2p)(∂hp/∂cp)と相殺して消えます。

そこで,対角要素はe11=(1/h1)(∂u1/∂c1)+{u2/(h12)}(∂h1/∂c2)+{u3/(h31)}(∂h1/∂c3),e22=(1/h2)(∂u2/∂c2)+{u3/(h23)}(∂h2/∂c3)+{u1/(h12)}(∂h2/∂c1),e33=(1/h3)(∂u3/∂c3) +{u1/(h31)}(∂h3/∂c1)+{u2/(h23)}(∂h3/∂c2)となります。

次にτの一般直交曲線座標成分における応力-変位関係を得るために,前に「定量的地震学1」で固定デカルト座標で運動方程式ρ(∂2i/∂t2)=fi+τji,jを導出した際の手順を繰り返します。

すなわち,表面境界Sを持つ体積Vの弾性体に対するラグランジュ的記述でのニュートンの運動方程式(∂/∂t)[∫V{ρ(∂/∂t)}dV]=∫VdV+∫S()dSの右辺の項∫S()dSに着目します。

()dSにおけるdSの外向き法線ベクトルの記号は今の一般直交座標の方向単位ベクトル1,2,3にと混同されると困るので記号νに変更して(ν)dSとします。

ν=νj^j=Σpνppであり,eij=Σp,qpqpiqjと同様τij=Σp,qτpqpiqjですから,(ν)dSの^軸成分はTi(ν)dS=τijνjdS=Σp,qτpqpiqjνjdS=Σp,qτpqpiνqdSです。

ここに,νはdSの外向き単位法線ベクトルなのでνqqに沿って分解されたdSの法線の成分です。そこでνqdSはcq()=(一定)の座標面へのdSの射影です。

それ故1dS=h23dc2dc32dS=h31dc3dc13dS=h12dc1dc2なる表現を得ます。

したがって,ガウスの定理から∫Si(ν)dS=ΣpSp1pi23dc2dc3+τp2pi31dc3dc1+τp3pi12dc1dc2]=ΣpV[(∂/∂c1)(τp1pi23)+(∂/∂c2)(τp2pi31)+(∂/∂c3)(τp3pi12)]dc1dc2dc3です。

ここで以前「定量的地震学1」において,∫Sj(ν)dS=SτjiνjdSV(∂τji/∂xj)dVと∫V{ρ(∂2/∂t2)}dV=∫VdV+∫S(ν)dSから微分型の運動方程式ρ(∂2i/∂t2)=fi+∂τji/∂xjを得たことを思い起こします。

今は物理的体積要素は一般座標でdV=h123dc1dc2dc3ですから,ρ(∂2i/∂t2)=fi+{1/(h123)}Σp,q[(∂/∂cq)(τpqpi123/hq)]なる方程式を得ます。

これは,ベクトル表記ではρ(∂2/∂t2)=+{1/(h123)}Σp,q[(∂/∂cq)(τpqq123/hq)]です。

 

これは,両辺にpを掛けてデカルト座標添字を一般座標添字に変換した表示ではρ(∂2p/∂t2)=fp+{p/(h123)}Σr,q[(∂/∂cq)(τrqr123/hq)]です。

特に,ρ(∂21/∂t2)=f1+{1/(h123)}Σr[(∂/∂c1)(τ1123)+(∂/∂c2)(τ1231)+(∂/∂c3)(τ1312)]+Σr[(τr1/h1){1(∂r/∂c1)}+(τr2/h2){1(∂r/∂c2)}+(τr3/h3){1(∂r/∂c3)}]です。

これに,再び公式∂p/∂cq=(q/hp)(∂hq/∂cp)-δpq[(1/h1)(∂hp/∂c1)+(2/h2)(∂hp/∂c2)+(3/h3)(∂hp/∂c3)]を代入します。

特に,1(∂r/∂cq)=(δq1/hr)(∂hq/∂cr)-(δrq/h1)(∂hr/∂c1)ですからΣr[(τr1/h1){1(∂r/∂c1)}+(τr2/h2){1(∂r/∂c2)}+(τr3/h3){1(∂r/∂c3)}]={τ21/(h12)}(∂h1/∂c2)+{τ31/(h13)}(∂h1/∂c3)-{τ22/(h12)}(∂h2/∂c1)-{τ33/(h31)}(∂h3/∂c1)です。

そこで,運動方程式の1方向成分はρ(∂21/∂t2)=f1+{1/(h123)}[(∂/∂c1)(τ1123)+(∂/∂c2)(τ1231)+(∂/∂c3)(τ1312)]-{τ12/(h12)}(∂h1/∂c2)-{τ13/(h13)}(∂h1/∂c3)-{τ22/(h21)}(∂h2/∂c1)-{τ33/(h31)}(∂h3/∂c1)となります。

同様にしてρ(∂22/∂t2)=f2+{1/(h123)}[(∂/∂c1)(τ2123)+(∂/∂c2)(τ2231)+(∂/∂c3)(τ2312)]-{τ21/(h21)(∂h2/∂c1)-{τ23/(h23)}(∂h2/∂c3)-{τ11/(h12)}(∂h1/∂c2)-(τ33/h32)(∂h3/∂c2)となります。

ρ(∂23/∂t2)=f3+{1/(h123)}[(∂/∂c1)(τ3123)+(∂/∂c2)(τ3231)+(∂/∂c3)(τ3312)]-{τ31/(h31)(∂h3/∂c1)-{τ32/(h32)}(∂h3/∂c2)-{τ11/(h13)}(∂h1/∂c3)-{τ22/(h23)}(∂h2/∂c3)となります。

 

さて,固定デカルト座標では応力-歪み関係はτij=Cijklklですが「定量的地震学2」で述べたように,等方性媒体中では係数の一般形がCijkl=λδijδkl+μ(δikδjl+δilδjk)なのでτij=λδijkk+2μeijです。

 

ラメ(Lame)の係数λ,μは一般には位置の関数です。そしてekk=e11+e22+e33=divでこれは体積歪みに相当します。

 

τij=Cijklklは応力-歪み関係の線形性を示しているので一般座標系でも同じ形の関係τpq=Σr,spqrsrsになるはずです。

 

上述したように応力テンソルと歪みテンソルの変換性はτij=Σp,qτpqpiqj,かつeij=Σp,qpqpiqjです。

  

故にτij=CijklklΣp,qΣr,spqrsrspiqj=CijklΣr,srsrkslとなりますから両辺にntiujを掛けて縮約するとΣr,stursrs=Cijkltiujrkslrsです。

  

それ故,結局Cpqrs=Cijklpiqjrkslを得ます。

 

そこで,等方性媒質Cijkl=λδijδkl+μ(δikδjl+δilδjk)では,Cpqrs=λδpqδrs+μ(δprδqs+δpsδqr)ですからτpq=λδpqΣrrr+2μepqが得られます。

 

特に直交曲線座標が空間極座標(c1,c2,c3)=(r,θ,φ)のときにはh1,h2,h3はそれぞれ1,r,rsinθです。このときには,e12をe,u3をuφetc.と記述します。

 

また,円筒座標(c1,c2,c3)=(r,φ,z)のときにはh1,h2,h3はそれぞれ1,r,1です

 

今日はこれで終わります。

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

 

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