定量的地震学４: TOSHIの宇宙

2009年9月29日 (火)

定量的地震学４

　地震学の続きです。

さて,前回の最後では表示定理の形式として次の３つの異なる表現を得ました。

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)－ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ_kn(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξ・・(1)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^rig_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^rig_kn(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξ ・・(2)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)}ｄＳ_ξ ・・(3)

これらを総見すると,変位ｕ(ｘ,ｔ)はＳ上の変位に依存するのか,応力に依存するのか,それとも両方に依存するのか,ということに関して矛盾を示しているように見えます。

しかし,弾性媒質上では応力と変位は独立には決まらないので矛盾はありません。

表示定理において,その上で応力,または変位の陽な値が要求される表面Ｓとしては,通常Ｖの外側の面を意味します。

この表面Ｓを埋没した断層の相対する面であるような２つの隣り合う内部面として考慮するという課題は,地震源の理論にとって中心的な問題ですが,これは後の章で扱う予定です。

さて,これまではデカルト座標のみを考えてきましたが実際の地震学では個々の問題にとって変位,応力,歪みの成分間の物理的関係が単純に見える一般曲線座標を適用した方が適切なことが多いとわかります。

そこで,弾性理論において必要な通常のベクトルや微分作用素∇(grad,div,rot),∇²等について一般の直交曲線座標における形や性質を求めてみます。

まず,位置ベクトルｘのデカルト座標(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)が別のパラメータ(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)で指定されるとします。すなわち,(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)の各成分が(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)のスカラー関数ｘ_i＝ｘ_i(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)(ｉ＝1,2,3)で与えられるとします。

そして,これらの関数ｘ_iは全て連続な導関数を持ち,常に逆関数ｃ^p＝ｃ^p(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃) or ｃ^p＝ｃ^p(ｘ)(ｐ＝1,2,3)が存在するとします。

そこで,方程式ｃ^p(ｘ)＝(一定)は各ｐについて座標面を作ります。３つの座標面ｃ^p(ｘ)＝(一定)は,それに沿ってｃ¹,ｃ²,ｃ³のうちの１つｃ^pのみが変わるような線素(軸)と交わっています。

ｎ^pをそうしたｃ^p(ｘ)＝(一定)の座標面に垂直な単位法線ベクトルとします。位置ベクトルｘとｘ＋ｄｘが共にｃ^p(ｘ)＝(一定)の同じ座標面にあるとすれば,ｃ^p(ｘ＋ｄｘ)＝ｃ^p(ｘ)です。

そこで,ｄｘ∇ｃ^p＝0 ですがｄｘは面上の任意の線素ですから∇ｃ^pはこの面に垂直なベクトルです。それ故∇ｃ^pはｎ^pに平行です。

そこで1/ｈ^p≡|∇ｃ^p|とおけば,ｎ^p＝ｈ^p∇ｃ^pです。さらに,(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)が(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)と同じく右手系であるとすれば,ｎ^pｎ^q＝δ^pqかつｎ³＝ｎ¹×ｎ²です。

そして,ｘ^_iをデカルト座標の第ｉ軸単位ベクトルとするとｘ＝ｘ_iｘ^_iよりｘ^_i＝∂ｘ/∂ｘ_iです。

そして,ｎ^p_iをｎ^pの第ｉデカルト成分とすればｎ^p＝ｈ^p∇ｃ^pからｎ^p_i＝ｈ^p(∂ｃ^p/∂ｘ_i)です。

それ故,ｎ^p＝ｎ^p_iｘ^_i＝ｎ^p_i(∂ｘ/∂ｘ_i)＝Σ_qｎ^p_i(∂ｘ/∂ｃ^q)(∂ｃ^q/∂ｘ_i)＝Σ_q(ｎ^p_iｎ^q_i/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q)＝Σ_q(δ^pq/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q),すなわち,ｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p),または∂ｘ/∂ｃ^p＝ｈ^pｎ^pという表現式を得ます。

位置ベクトルの微小変化ｄｘはｃ¹,ｃ²,ｃ³の微小変化とはｄｘ＝Σ_p(∂ｘ/∂ｃ^p)ｄｃ^pによって関連付けられるのでｄｓ²≡ｄｘｄｘ＝Σ_p,q(∂ｘ/∂ｃ^p)(∂ｘ/∂ｃ^q)ｄｃ^pｄｃ^q＝Σ_p,qｈ^pｈ^qｎ^pｎ^qｄｃ^pｄｃ^q＝Σ_p(ｈ^pｄｃ^p)²です。

結局,ｄｓ²＝ｄｘ₁²＋ｄｘ₂²＋ｄｘ₃²＝(ｈ¹ｄｃ¹)²＋(ｈ²ｄｃ²)²＋(ｈ³ｄｃ³)²を得ます。すなわち,ｎ¹に沿う増分ｄｃ¹に対するユークリッド距離はｈ¹ｄｃ¹,同様なことはｎ^２,ｎ³に沿う増分ｄｃ^２,ｄｃ³についてもいえます。

後に必要になる∂ｎ^p/∂ｃ^qの形の導関数を法線ｎ^pを微分しない式を求めておきます。

ｎ^pｎ^q＝δ^pq,およびｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p)から,ｎ^p(∂ｎ^q/∂ｃ^r)＋ｎ^q(∂ｎ^p/∂ｃ^r)＝0(18個の方程式),∂(ｈ^pｎ^p)/∂ｃ^q＝∂(ｈ^qｎ^q)/∂ｃ^p(３個の方程式)が得られます。これらは∂ｎ^p/∂ｃ^qの27個の未知成分に対して丁度27個の異なる方程式になっていますから解を決定するのに十分です。

実際,(∂ｘ/∂ｃ^p)(∂ｘ/∂ｃ^q)＝(ｈ^pｎ^p)(ｈ^qｎ^q)＝ｈ^pｈ^qδ^pqより,0＝(∂/∂ｃ¹)(∂ｘ/∂ｃ²)(∂ｘ/∂ｃ³)＋(∂/∂ｃ²)(∂ｘ/∂ｃ³)(∂ｘ/∂ｃ¹)－(∂/∂ｃ³)(∂ｘ/∂ｃ¹)(∂ｘ/∂ｃ²)＝2(∂²ｘ/∂ｃ¹∂ｃ²)(∂ｘ/∂ｃ³)ですから,∂ｘ/∂ｃ^p＝ｈ^pｎ^pによって{∂(ｈ²ｎ²)/∂ｃ¹}ｎ³＝{∂(ｈ¹ｎ¹)/∂ｃ²}ｎ³＝0です。

そこで,∂(ｈ²ｎ²)/∂ｃ¹＝∂(ｈ¹ｎ¹)/∂ｃ²はｎ³と直交しますから,ｎ¹とｎ²の１次結合で表現できます。しかし,∂(ｈ²ｎ²)/∂ｃ¹＝ｈ²(∂ｎ²/∂ｃ¹)＋(∂ｈ²/∂ｃ¹)ｎ²,かつ∂(ｈ¹ｎ¹)/∂ｃ²＝ｈ¹(∂ｎ¹/∂ｃ²)＋(∂ｈ¹/∂ｃ²)ｎ¹より,結局∂ｎ²/∂ｃ¹,∂ｎ¹/∂ｃ²自身がｎ¹とｎ²の１次結合です。

ｎ^p(∂ｎ^q/∂ｃ^r)＋ｎ^q(∂ｎ^p/∂ｃ^r)＝0から,明らかにｎ²(∂ｎ²/∂ｃ¹)＝ｎ¹(∂ｎ¹/∂ｃ²)＝0により∂ｎ²/∂ｃ¹＝Ａ₂₁ｎ¹,∂ｎ¹/∂ｃ²＝Ａ₁₂ｎ²と書けます。

結局,ｈ²Ａ₂₁ｎ¹＋(∂ｈ²/∂ｃ¹)ｎ²＝(∂ｈ¹/∂ｃ²)ｎ¹＋ｈ¹Ａ₁₂ｎ²から∂ｎ²/∂ｃ¹＝(ｎ¹/ｈ²)(∂ｈ¹/∂ｃ²),かつ∂ｎ¹/∂ｃ²＝(ｎ²/ｈ¹)(∂ｈ²/∂ｃ¹)が得られます。

以上から,ｐ≠ｑなら∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)です。

一方,ｎ^p(∂ｎ^q/∂ｃ^r)＋ｎ^q(∂ｎ^p/∂ｃ^r)＝0 からｎ^p(∂ｎ^p/∂ｃ^p)＝0 です。そこで,特に∂ｎ¹/∂ｃ¹はｎ²とｎ³だけの線形和として∂ｎ¹/∂ｃ¹＝Ｂ₁₂ｎ²＋Ｂ₁₃ｎ³と書けます。

そして,ｎ²(∂ｎ¹/∂ｃ¹)＋ｎ¹(∂ｎ²/∂ｃ¹)＝0 よりＢ₁₂＝－(1/ｈ²)(∂ｈ¹/∂ｃ²)です。同様にＢ₁₃＝－(1/ｈ³)(∂ｈ¹/∂ｃ³)なので∂ｎ¹/∂ｃ¹＝－(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ¹/∂ｃ²)－(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ¹/∂ｃ³)です。

以上から,∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)－δ^pq[(ｎ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]なる一般公式が得られました。

この公式に従って通常のデカルト座標での歪み成分ｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)を一般化した歪み成分ｅ^pqと変位成分ｕ^rの関係を求めます。

ここで,ｅ^pqは準拠点で一般直交曲線座標で指定された右手系の方向単位ベクトルｎ¹,ｎ²,ｎ³に取られた局所的な回転デカルト軸で参照される単なるデカルト２階テンソルｅの成分です。

歪みの次元さえ持たない一般のテンソル成分ｅ^pqよりも歪みの物理的成分ｅ_ijを強調したいので当面の問題は,成分ｅ^pqを各点ごとにｎ¹,ｎ²,ｎ³で決められている変位の物理成分による微分係数によって表現することです。

そして,通常の固定でカルト座標とは異なり,点ごとに一定ではない目盛り関数ｈ¹,ｈ²,ｈ³と同じく点ごとに一定でない方向ｎ¹,ｎ²,ｎ³の空間変化のために困難が生じます。

ｎ^pに沿うデカルト軸ｘ^₁,ｘ^₂,ｘ^₃　(ただしｘ^_i＝∂ｘ/∂ｘ_i)に対する方向余弦を(ｎ^p₁,ｎ^p₂,ｎ^p₃)とします。つまり,ｎ^p＝ｎ^p_iｘ^_i,または(ｎ^p,ｘ^_i)＝ｎ^p_iです。

そこで,変位ベクトルｕの成分をｕ＝ｕ_iｘ^_i＝Σ_pｕ^pｎ^pと書けばｕ_i＝Σ_pｕ^pｎ^p_iですが,ｎ^p_iｎ^q_i＝δ^pqなのでｕ^p＝ｎ^p_iｕ_iでもあります。

それ故,ベクトルの直積と同じ変換性を有する２階テンソルｅの成分間の関係はｅ_ij＝Σ_p,qｅ^pqｎ^p_iｎ^q_j,またはｅ^pq＝ｎ^p_iｎ^q_jｅ_ijです。

ところで,すぐ前では同じくｎ^p_iをｎ^pの第ｉデカルト成分とするとｎ^p＝Σ_pｈ^p∇ｃ^pよりｎ^p_i＝ｈ^p(∂ｃ^p/∂ｘ_i)であり,そこでｎ^p＝ｎ^p_iｘ^_i＝ｎ^p_i(∂ｘ/∂ｘ_i)＝Σ_qｎ^p_i(∂ｘ/∂ｃ^q)(∂ｃ^q/∂ｘ_i)＝Σ_q(ｎ^p_iｎ^q_i/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q)＝Σ_q(δ^pq/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q),すなわちｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p)なる表現式を得ました。

したがって,ｅ^pq＝ｎ^p_iｎ^q_jｅ_ij＝{1/(2ｈ^pｈ^q)}(∂ｘ/∂ｃ^p)(∂ｘ/∂ｃ^q)(∂ｕ_i/∂ｘ_j＋∂ｕ_j/∂ｘ_i)＝{1/(2ｈ^pｈ^q)}{(∂ｘ_i/∂ｃ^p)(∂ｕ_i/∂ｃ^q)＋(∂ｘ_i/∂ｃ^q)(∂ｕ_i/∂ｃ^p)}です。

それ故,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}[(∂/∂ｃ^q){(ｕ_i/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p)}－ｕ_i(∂/∂ｃ^q){(1/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p)}]＋{1/(2ｈ^p)}[(∂/∂ｃ^p){(ｕ_i/ｈ^q)(∂ｘ_i/∂ｃ^q)}－ｕ_i(∂/∂ｃ^p){(1/ｈ^q)(∂ｘ_i/∂ｃ^q)}]です。

ここで,ｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p)またはｎ^p_i＝(1/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p),そしてｕ^p＝ｎ^p_iｕ_i＝(ｕ_i/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p)を代入すると,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}(∂ｕ^p/∂ｃ^q)＋{1/(2ｈ^p)}(∂ｕ^q/∂ｃ^p)－(ｕ_i/2){(1/ｈ^p)(∂ｎ^p_i/∂ｃ^q)＋(1/ｈ^q)(∂ｎ^q_i/∂ｃ^p)}です。

結局,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}(∂ｕ^p/∂ｃ^q)＋{1/(2ｈ^p)}(∂ｕ^q/∂ｃ^p)－(ｕ/2){(1/ｈ^p)(∂ｎ^p/∂ｃ^q)＋(1/ｈ^q)(∂ｎ^q/∂ｃ^p)}なる式が得られました。

これの右辺に先に得た公式:∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)－δ^pq[(ｎ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]を代入します。

ｕｎ^p＝ｎ^p_iｕ_i＝ｕ^pなので(1/ｈ^q)(∂ｕ^p/∂ｃ^q)－(ｕｎ^p/ｈ^pｈ^q)(∂ｈ^p/∂ｃ^q)＝(1/ｈ^q)(∂ｕ^p/∂ｃ^q)－(ｕ^p/ｈ^pｈ^q)(∂ｈ^p/∂ｃ^q)＝(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}です。

それ故,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}(∂ｕ^p/∂ｃ^q)＋{1/(2ｈ^p)}(∂ｕ^q/∂ｃ^p)－(ｕ/2){(1/ｈ^p)(∂ｎ^p/∂ｃ^q)＋(1/ｈ^q)(∂ｎ^q/∂ｃ^p)}＝(1/2)[(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}＋(ｈ^q/ｈ^p){∂(ｕ^q/ｈ^q)/∂ｃ^q}]＋(δ^pq/ｈ^q)[(ｕ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｕ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｕ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]です。

こうして最終的にはデカルト座標の添字は全て削除されました。再記するとｅ^pq＝(1/2)[(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}＋(ｈ^q/ｈ^p){∂(ｕ^q/ｈ^q)/∂ｃ^q}]＋(δ^pq/ｈ^q)[(ｕ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｕ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｕ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]です。

ｑ≠ｐのｅ^pqの非対角要素の場合なら右辺第２項がゼロですから,第１項が成分ｅ^pqに一致します。つまり,ｑ≠ｐならｅ^pq＝(1/2)[(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}＋(ｈ^q/ｈ^p){∂(ｕ^q/ｈ^q)/∂ｃ^q}]です。

一方,ｑ＝ｐの対角要素の場合には,(第１項)＝∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｕ^p/∂ｃ^q)－(ｕ^p/ｈ^2p)(∂ｈ^p/∂ｃ^p)ですから,(第２項)＝(1/ｈ^p)[(ｕ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｕ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｕ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]の３項のうち(ｕ^p/ｈ^2p)(∂ｈ^p/∂ｃ^p)に一致する１つの項が(第１項)の－(ｕ^p/ｈ^2p)(∂ｈ^p/∂ｃ^p)と相殺して消えます。

そこで,対角要素はｅ¹¹＝(1/ｈ¹)(∂ｕ¹/∂ｃ¹)＋{ｕ²/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)＋{ｕ³/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ¹/∂ｃ³),ｅ²²＝(1/ｈ²)(∂ｕ²/∂ｃ²)＋{ｕ³/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ²/∂ｃ³)＋{ｕ¹/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ²/∂ｃ¹),ｅ³³＝(1/ｈ³)(∂ｕ³/∂ｃ³) ＋{ｕ¹/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ³/∂ｃ¹)＋{ｕ²/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ³/∂ｃ²)となります。

次にｕとτの一般直交曲線座標成分における応力-変位関係を得るために,前に「定量的地震学１」で固定デカルト座標で運動方程式ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jを導出した際の手順を繰り返します。

すなわち,表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体に対するラグランジュ的記述でのニュートンの運動方程式(∂/∂ｔ)[∫_V{ρ(∂ｕ/∂ｔ)}ｄＶ]＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ｎ)ｄＳの右辺の項∫_SＴ(ｎ)ｄＳに着目します。

Ｔ(ｎ)ｄＳにおけるｄＳの外向き法線ベクトルの記号ｎは今の一般直交座標の方向単位ベクトルｎ¹,ｎ²,ｎ³にと混同されると困るので記号νに変更してＴ(ν)ｄＳとします。

ν＝ν_jｘ^_j＝Σ_pν^pｎ^pであり,ｅ_ij＝Σ_p,qｅ^pqｎ^p_iｎ^q_jと同様τ_ij＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iｎ^q_jですから,Ｔ(ν)ｄＳのｘ^_ｉ軸成分はＴ_i(ν)ｄＳ＝τ_ijν_jｄＳ＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iｎ^q_jν_jｄＳ＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iν^qｄＳです。

ここに,νはｄＳの外向き単位法線ベクトルなのでν^qはｎ^qに沿って分解されたｄＳの法線の成分です。そこでν^qｄＳはｃ^q(ｘ)＝(一定)の座標面へのｄＳの射影です。

それ故,ν¹ｄＳ＝ｈ²ｈ³ｄｃ²ｄｃ³,ν²ｄＳ＝ｈ³ｈ¹ｄｃ³ｄｃ¹,ν³ｄＳ＝ｈ¹ｈ²ｄｃ¹ｄｃ²なる表現を得ます。

したがって,ガウスの定理から∫_SＴ_i(ν)ｄＳ＝Σ_p∫_S[τ^p1ｎ^p_iｈ²ｈ³ｄｃ²ｄｃ³＋τ^p2ｎ^p_iｈ³ｈ¹ｄｃ³ｄｃ¹＋τ^p3ｎ^p_iｈ¹ｈ²ｄｃ¹ｄｃ²]＝Σ_p∫_V[(∂/∂ｃ¹)(τ^p1ｎ^p_iｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ^p2ｎ^p_iｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ^p3ｎ^p_iｈ¹ｈ²)]ｄｃ¹ｄｃ²ｄｃ³です。

ここで以前「定量的地震学１」において,∫_SＴ_j(ν)ｄＳ＝∫_Sτ_jiν_jｄＳ＝∫_V(∂τ_ji/∂ｘ_j)ｄＶと∫_V{ρ(∂²ｕ/∂ｔ²)}ｄＶ＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ν)ｄＳから微分型の運動方程式ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋∂τ_ji/∂ｘ_jを得たことを思い起こします。

今は物理的体積要素は一般座標でｄＶ＝ｈ¹ｈ²ｈ³ｄｃ¹ｄｃ²ｄｃ³ですから,ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_p,q[(∂/∂ｃ^q)(τ^pqｎ^p_iｈ¹ｈ²ｈ³/ｈ^q)]なる方程式を得ます。

これは,ベクトル表記ではρ(∂²ｕ/∂ｔ²)＝ｆ＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_p,q[(∂/∂ｃ^q)(τ^pqｎ^qｈ¹ｈ²ｈ³/ｈ^q)]です。

これは,両辺にｎ^pを掛けてデカルト座標添字を一般座標添字に変換した表示ではρ(∂²ｕ^p/∂ｔ²)＝ｆ^p＋{ｎ^p/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_r,q[(∂/∂ｃ^q)(τ^rqｎ^rｈ¹ｈ²ｈ³/ｈ^q)]です。

特に,ρ(∂²ｕ¹/∂ｔ²)＝ｆ¹＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_r[(∂/∂ｃ¹)(τ¹¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ¹²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ¹³ｈ¹ｈ²)]＋Σ_r[(τ^r1/ｈ¹){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ¹)}＋(τ^r2/ｈ²){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ²)}＋(τ^r3/ｈ³){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ³)}]です。

これに,再び公式∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)－δ^pq[(ｎ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]を代入します。

特に,ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ^q)＝(δ^q1/ｈ^r)(∂ｈ^q/∂ｃ^r)－(δ^rq/ｈ¹)(∂ｈ^r/∂ｃ¹)ですからΣ_r[(τ^r1/ｈ¹){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ¹)}＋(τ^r2/ｈ²){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ²)}＋(τ^r3/ｈ³){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ³)}]＝{τ²¹/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)＋{τ³¹/(ｈ¹ｈ³)}(∂ｈ¹/∂ｃ³)－{τ²²/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ²/∂ｃ¹)－{τ³³/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ³/∂ｃ¹)です。

そこで,運動方程式のｎ¹方向成分はρ(∂²ｕ¹/∂ｔ²)＝ｆ¹＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}[(∂/∂ｃ¹)(τ¹¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ¹²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ¹³ｈ¹ｈ²)]－{τ¹²/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)－{τ¹³/(ｈ¹ｈ³)}(∂ｈ¹/∂ｃ³)－{τ²²/(ｈ²ｈ¹)}(∂ｈ²/∂ｃ¹)－{τ³³/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ³/∂ｃ¹)となります。

同様にしてρ(∂²ｕ²/∂ｔ²)＝ｆ²＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}[(∂/∂ｃ¹)(τ²¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ²²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ²³ｈ¹ｈ²)]－{τ²¹/(ｈ²ｈ¹)(∂ｈ²/∂ｃ¹)－{τ²³/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ²/∂ｃ³)－{τ¹¹/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)－(τ³³/ｈ³ｈ²)(∂ｈ³/∂ｃ²)となります。

ρ(∂²ｕ³/∂ｔ²)＝ｆ³＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}[(∂/∂ｃ¹)(τ³¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ³²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ³³ｈ¹ｈ²)]－{τ³¹/(ｈ³ｈ¹)(∂ｈ³/∂ｃ¹)－{τ³²/(ｈ³ｈ²)}(∂ｈ³/∂ｃ²)－{τ¹¹/(ｈ¹ｈ³)}(∂ｈ¹/∂ｃ³)－{τ²²/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ²/∂ｃ³)となります。

さて,固定デカルト座標では応力-歪み関係はτ_ij＝Ｃ_ijklｅ_klですが「定量的地震学２」で述べたように,等方性媒体中では係数の一般形がＣ_ijkl＝λδ_ijδ_kl＋μ(δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk)なのでτ_ij＝λδ_ijｅ_kk＋2μｅ_ijです。

ラメ(Lame)の係数λ,μは一般には位置の関数です。そしてｅ_kk＝ｅ₁₁＋ｅ₂₂＋ｅ₃₃＝divｕでこれは体積歪みに相当します。

τ_ij＝Ｃ_ijklｅ_klは応力-歪み関係の線形性を示しているので一般座標系でも同じ形の関係τ^pq＝Σ_r,sＣ^pqrsｅ^rsになるはずです。

上述したように応力テンソルと歪みテンソルの変換性はτ_ij＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iｎ^q_j,かつｅ_ij＝Σ_p,qｅ^pqｎ^p_iｎ^q_jです。

故にτ_ij＝Ｃ_ijklｅ_klはΣ_p,qΣ_r,sＣ^pqrsｅ^rsｎ^p_iｎ^q_j＝Ｃ_ijklΣ_r,sｅ^rsｎ^r_kｎ^s_lとなりますから両辺にｎ^t_iｎ^u_jを掛けて縮約するとΣ_r,sＣ^tursｅ^rs＝Ｃ_ijklｎ^t_iｎ^u_jｎ^r_kｎ^s_lｅ^rsです。