定量的地震学２: TOSHIの宇宙

2009年9月15日 (火)

定量的地震学２

　地震学の続きです。

　媒質は応力が除かれたとき,それが戻る自然な状態(歪みも応力もゼロ)を持つなら弾性的であるといわれます。

　与えられた負荷の影響の下では,応力と歪みは共に変化します。それらの間の関係(構成関係)は媒質の重要な特徴です。

　そして,そうした関係が存在することを,以下で熱力学的議論により証明します。

　自然科学は経験科学ですから,実際の関係そのものについては実験的に決定するのが正しい姿勢です。

Robert Hooke(ロバート・フック)の"弾性物体"の測定は,300年以上も前に応力が歪みに比例するという結論を導きました。

ただし,この事実に関する彼の報告は今日のような応力のテンソルの概念が当時は利用できなかったため,幾分不可解なものでした。

Augstin Cauchyは,19世紀初期に初めて今の応力の近代的考え方の多くを展開しました。今日ではテンソルによってもっと容易に伝達できる多くの結果を彼が理解したのは明らかです。

こうしたテンソル概念は20世紀までは使用されませんでした。

フックの法則の現代的な一般化は,応力テンソルの各成分が歪みテンソルのあらゆる成分の線型結合であるということです。

すなわち,応力テンソルτ_ijと歪みテンソルｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)の間に,関係:τ_ij＝Ｃ_ijpqｅ_pqを与える比例係数Ｃ_ijpqが存在します。この構成関係に従う物体を線型弾性的であるといいます。

量Ｃ_ijpqは４階テンソルの成分で,次の対称性を持っています。

すなわち,τ_ji＝τ_ijによりＣ_jipq＝Ｃ_ijpq,ｅ_qp＝ｅ_pqによりＣ_ijqp＝Ｃ_ijpqです。また,以下に示すように熱力学的論点からＣ_pqij＝Ｃ_ijpqもまた真であることがわかります。

弾性体が表面境界Ｓで囲まれた体積Ｖを占めていると仮定します。

熱力学第１法則によれば物体は内部エネルギーを持ちますが,これは物体の変形と共に変わり,エネルギーのバランスは(受ける力学的仕事率)＋(受ける熱の率)＝[(運動エネルギー＋内部エネルギー)の増加率]で与えられるはずです。

(1)力学的仕事率

ｕ^dot＝ｕ^d≡∂ｕ/∂ｔとおくと,Ｖが受ける力学的仕事率は∫_Vｆｕ^dｄＶ＋∫_SＴｕ^dｄＳです。これはガウスの発散定理を用いると∫_V[ｆ_iｕ_i^d＋(τ_ijｕ_i^d),_j]ｄＶと書けます。

さらに,運動方程式:ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_j,あるいはρｕ_i^2d＝ｆ_i＋τ_ji,_jによってｆ_iｕ_i^d＋(τ_ijｕ_i^d),_j＝ρｕ_i^dｕ_i^2d＋τ_ijｕ_i,_j^d＝(∂/∂ｔ){(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}＋τ_ijｅ_ij^dです。

これを代入すると力学的仕事率の最終形として(∂/∂ｔ)[∫_V{(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}ｄＶ]＋∫_V(τ_ijｅ_ij^d)ｄＶが得られます。

(2)熱の率

ベクトルｈ(ｘ,ｔ)を,時刻ｔにｎを外向き法線とする任意の面素ｄＳに対しｈｎｄＳがｎの向きに通過する熱の率となるような"熱流束＝単位時間に単位面積を通過する熱エネルギー"とします。

また,Ｌ(ｘ,ｔ)を,物体Ｖの有する熱の密度(単位体積当たりの熱量)とします。このとき熱に関するバランス(平衡)から－∫_SｈｎｄＳ＝(∂/∂ｔ)(∫_VＬｄＶ)です。

これはガウスの定理によって,微分形としては"物体が受ける熱の率＝単位時間当たり単位体積当たりの熱エネルギー"がＬ^ｄ＝－∇ｈ＝－ｈ_i,_iで与えられるという形になります。

(3)運動エネルギーの増加率

　運動エネルギーの増加率は明らかに(∂/∂ｔ)[∫_V{(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}ｄＶ]です。

(4)内部エネルギーの増加率

　Ｕ(ｘ,ｔ)を,物体Ｖの有する単位体積当たりの内部エネルギーとします。内部エネルギーの増加率はもちろんＵ^ｄです。

以上,(1)～(4)から(受ける力学的仕事率)＋(受ける熱の率)＝[(運動エネルギー＋内部エネルギー)の増加率]は,(∂/∂ｔ){(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}＋τ_ijｅ_ij^d＋Ｌ^ｄ＝(∂/∂ｔ){(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}＋Ｕ^ｄとなります。ただし,Ｌ^ｄ＝－∇ｈ＝＝－ｈ_i,_iです。

　それ故,Ｕ^ｄ＝Ｌ^ｄ＋τ_ijｅ_ij^d＝－ｈ_i,_i＋τ_ijｅ_ij^dです。

これをＵ,Ｌ,ｅ_ijを熱力学的平衡状態からの微小摂動として表現するなら,ｄＵ＝ｄＬ＋τ_ijｄｅ_ij＝ＴｄＳ＋τ_ijｄｅ_ijです。ここにＴは絶対温度,Ｓは単位体積当たりのエントロピーです。

この表現式から,形式的にτ_ij＝(∂Ｕ/∂ｅ_ij)_Sを得ます。

一方,Ｆをフレドホルムの自由エネルギー(Ｆ≡Ｕ－ＴＳ)とすれば,ｄＦ＝ＳｄＴ＋τ_ijｄｅ_ijより,同じくτ_ij＝(∂Ｆ/∂ｅ_ij)_Tを得ます。

そこで,もしも,変形過程がいくつかの地殻構造過程のように等温的にゆっくりと生じるならτ_ij＝(∂Ｆ/∂ｅ_ij)_Tです。

しかし,変形過程が断熱的でｈ＝0 かつＬ^ｄ＝0 では定エントロピーとなり,その下ではτ_ij＝(∂Ｕ/∂ｅ_ij)_Sです。

すなわち,断熱過程の場合には内部エネルギーＵの変化は歪みの変化だけで決まります。

これらは,ほとんど全ての波長の地震波に対して地震学では全く通常の状況です。　

というのも岩石における熱拡散の時間尺度を示す時間定数＝(距離)²/(速さ)は,地震波の周期＝(波長)/(速さ)よりもはるかに長いので,地震過程は断熱過程,あるいは等温過程で近似できるからです。

そこで断熱過程ではＷ≡Ｕ,等温過程ではＷ≡ＦとしてＷを歪み-エネルギー関数と呼べば,それぞれの過程でτ_ij＝∂Ｗ/∂ｅ_ijです。

したがって,これらをフックの法則:τ_ij＝Ｃ_ijpqｅ_pqと組み合わせると,先述した最後の対称性Ｃ_ijpq＝∂τ_ij/∂ｅ_pq＝∂²Ｗ/(∂ｅ_ij∂ｅ_pq)＝∂τpq/∂ｅ_ij＝Ｃ_pqijが得られます。

そして,歪み-エネルギー関数ＷはＷ＝(1/2)Ｃ_ijklｅ_ijｅ_kl＝(1/2)τ_ijｅ_ijと陽な形式に表現できます。

断熱過程,または等温過程では,歪み-エネルギー関数Ｗ＝Ｕ,またはＦは自然状態を除いて常に正です。そこで,Ｗ＝(1/2)Ｃ_ijklｅ_ijｅ_klの右辺は正値２次形式です。

係数Ｃ_ijklは歪みｅ_ijには依存しないですが,一般には位置ｘの関数です。地震学で用いられる弾性理論では,媒質は不均質ですが到るところ等方的な球対称の媒質という先入観で特徴付けられています。

一般に,係数テンソルＣの3⁴＝81個の成分Ｃ_ijklは,上記の対称性のおかげで独立な成分は21個です。さらに,上記の先入観に根ざした等方性媒質では,Ｃも等方的である必要があり,かなり単純になります。

1972年にはJeffreys and Jeffreysによって,最も一般的な対称４階等方テンソルＣは次の形をとることが示されました。

すなわち,Ｃ_ijkl＝λδ_ijδ_kl＋μ(δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk)です。ただし,２つの独立定数λ,μはLame(ラメ)の定数と呼ばれます。

しかし,こうして得られた結果は応力と歪みが共にゼロの準拠状態から微小摂動だけ離れたケースに限定されていることに着目すべきです。

一方,地球内部内では平衡状態での自己重力が約１メガバール(Mbar)までの圧力の原因をなすことが知られています。

地球物質に対してゼロ応力,ゼロ歪みの準拠状態を仮定しても,上述のフックの法則に関する結果を直接には地震学において適用することはできません。

というのも上記の自己重力にに起因する圧力による歪みが小さくないからです。応力と歪みが共にゼロの準拠状態を用いると応力-歪み関係が非線型な有限歪みの理論を扱う必要があることになります。

しかし,地震に先立つ準拠系として代わりに地球の静的平衡状態を用いることもできます。実はこれが地震学での普通の扱いです。

定義によって,準拠系ではゼロ歪み状態ですが,初期応力の方はゼロではありません。

そして,このときには地震運動は歪みと初期応力からの増分応力との線型関係で表現できます。

かくして,ゼロ歪みでの初期応力をσ⁰とすると,ゼロとは限らない一般の歪みに対する応力はσ⁰＋τ (τ_ij＝Ｃ_ijklｅ_kl)で与えられます。そしてσ⁰の成分σ⁰_ijは係数テンソルの成分Ｃ_ijkl(～１メガバール)と同じオーダーの量です。

しかし,さし当たっては,簡単のため初期応力σ⁰の効果を無視することにします。

この単純化は,後の第８章で正当化されます。そこでは,初期応力σ⁰が正しく考慮され,修正を要する理論の概観について短かいレビューを与えます。そして第８章では自己重力の効果を定量化するためにオイラー的アプローチを採択する予定です。

さて, 運動が設定され得る方法と関わる幾つかの一般的注意と共に,まず表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内でのラグランジュ的変位場ｕ(ｘ,ｔ)についての一意性(uniqueness)の議論を導入することが自然な手続きであると思われます。

変位はＶ内の到るところでρｕ_i^2d＝ｆ_i＋τ_ji,_jを満たすように制約されているので,変位場ｕにはＶにおける実体力ｆと表面Ｓ上の応力τが寄与します。

今から,Ｖ内到るところでの実体力とＳ上全てにわたる応力の明細が既知であれば,与えられた初期条件からＶ内で発展する変位場を一意的に決定するに十分であることを示します。

変位場へのＳの影響を指定する別の方法は,応力の代わりにＳ上の変位自身に対して境界条件を与えることです。

例えば,表面Ｓが剛体的であるというように,一見したところＳ上の応力と変位はＶ内の変位場にとって独立な性質のように見えます。

しかし,これは誤りで以下の直感的理解からＳにわたる応力はＳ上の変位を決定し,その逆も成り立つことを認識することが重要です。

以下に,ある境界条件,初期条件下での変位場の一意性の定理を述べ,これの証明を与えます。

[一意性定理]:表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内の到るところで,与えられた時刻ｔ₀における変位と粒子速度の値(＝初期条件),およびｔ＞ｔ₀における次の境界条件:

(ⅰ)実体力ｆと供給される熱Ｌ,(ⅱ)表面Ｓ＝Ｓ₁＋Ｓ₂の一方の部分Ｓ₁上での応力Π,(ⅲ)残りの部分Ｓ₂上での変位

が与えられたとき,

　時刻ｔ₀より後の時刻ｔおけるＶ内到るところでの変位ｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)は一意的に決定される。

(証明)ｕ₁とｕ₂が同じ初期条件を満足し,定理の境界条件(ⅰ)～(ⅲ)の同じ値で設定される変位ｕの任意の２つの解であると仮定します。

　このとき,Ｕ≡ｕ₁－ｕ₂とおけば,Ｕ(ｘ,ｔ)は初期値が恒等的にＵ(ｘ,ｔ₀)≡0 であるような変位場です。

　そして,Ｕはｔ＞ｔ₀における実体力ｆがゼロ,かつ供給される熱Ｌもゼロ,さらにＳ₁上での応力Ｔ,またはτがゼロ,Ｓ₂上での変位Ｕもゼロの変位場を表わします。

　それ故,一意性定理を証明するには,Ｖ内の到るところでｔ＞ｔ₀でもＵ＝0 であることを示せばよいことになります。

まず,ｔ＞ｔ₀での力学的仕事率を与える式:∫_Vｆｕ^dｄＶ＋∫_SＴｕ^dｄＳ＝∫_V[ρｕ_i^dｕ_i^2d＋τ_ijｕ_i,_j^d]ｄＶにおいて,ｕがＵの場合にはｆ＝Ｔ≡0 ですから,これらは明らかに恒等的にゼロです。

そして,∫_V[ρＵ_i^dＵ_i^2d＋τ_ijＵ_i,_j^d]ｄＶ＝0 を時間ｔについてｔ₀からｔまで積分して,応力-歪み関係式τ_ij＝Ｃ_ijklＵ_i,_jを用いると∫_V[(1/2)ρＵ_i^dＵ_i^d]ｄＶ＋∫_V[(1/2)Ｃ_ijklＵ_i,_jＵ_k,_l]ｄＶ＝0 です。

ところが,右辺の第１項の被積分関数である運動エネルギー密度も第２項の被積分関数である歪みエネルギー密度Ｗ＝(1/2)Ｃ_ijklＵ_i,_jＵ_k,_lも共に正定値な量です。

したがって,これらのＶ全体での総和がゼロということは,Ｖ内では到るところでＵ_i＝Ｕ_i^d＝0 なることを意味します。よって,ｔ＞ｔ₀でも到るところでＵ＝0 です。

以上から,ｕ₁≡ｕ₂が結論されます。(証明終わり)

一方,同じ表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内での一対の変位場ｕ,ｖに対して,相反性(reciprocal relation)と呼ばれる性質があることもわかります。

まず,ｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)は変位場の１つであるとし,ｕは実体力ｆとＳ上の境界条件,そしてｔ＝0 における初期条件によって決まるとします。

一方,ｖ＝ｖ(ｘ,ｔ)も変位場の１つであるとし,ｖは実体力ｇとｕに対するものとは異なるＳ上の境界条件とｔ＝0 における初期条件によって決まるものとします。

これら,２つのケースでｎを法線とする面上の応力を区別するため,変位ｕによる応力をＴ(ｕ,ｎ),変位ｖによる応力をＴ(ｖ,ｎ)と書くことにします。

このとき,次のようなBetti(ベッチ)の定理と呼ばれる相反性定理が成立します。

[ベッチの定理]:上記のような条件の下で,等式∫_V(ｆ－ρｕ^2d)ｖｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｕ,ｎ)ｖ}ｄＳ＝∫_V(ｇ－ρｖ^2d)ｕｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｖ,ｎ)ｕ}ｄＳが成立する。

(証明)左辺＝∫_V(ｆ－ρｕ^2d)ｖｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｕ,ｎ)ｖ}ｄＳ＝－∫_V[{τ_ij,_j(ｕ)ｖ_i}ｄＶ＋∫_S(τ_ijｎ_jｖ_i)ｄＳ＝∫_Vτ_ij(ｕ)ｖ_i,_j]ｄＶ＝∫_VＣ_ij,_klｕ_k,_lｖ_i,_j]ｄＶ＝∫_V(ｇ－ρｖ^2d)ｕｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｖ,ｎ)}ｄＳ＝右辺です。(証明終わり)

さて,ベッチの定理は,ｕ,ｖに関する初期条件を含まないことに注目します。

そこで,ｕ,ｕ^2d,Ｔ(ｕ,ｎ),ｆは時刻ｔ₁で評価され,ｖ,ｖ^2d,Ｔ(ｖ,ｎ),ｇが時刻ｔ₂で評価されるとしても∫_V(ｆ－ρｕ^2d)ｖｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｕ,ｎ)ｖ}ｄＳ＝∫_V(ｇ－ρｖ^2d)ｕｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｖ,ｎ)ｕ}ｄＳなる等式は正しいです。

　一方,ｘを省略して時間ｔで0からτまで積分すると∫₀^τ{ρｕ^2d(ｔ)ｖ(τ－ｔ)－ρｕ (ｔ)ｖ^2d(τ－ｔ)}ｄｔ＝ρ∫₀^τ[(∂/∂ｔ){ｕ^d(ｔ)ｖ(τ－ｔ)＋ｕ(ｔ)ｖ^d(τ－ｔ)}]ｄｔ＝ρ{ｕ^d(τ)ｖ(0)－ｕ^d(0)ｖ(τ)＋ｕ(τ)ｖ^d(0)－ｕ(0)ｖ^d(τ)}が成立します。