定量的地震学３: TOSHIの宇宙

2009年9月23日 (水)

定量的地震学３

　地震学の続きです。

　今日は,地震学において典型的に生じる変位の形を表示する方法について考察します。

　先の記事では,一意性定理によって初期変位と運動を生ぜしめる要因である実体力,応力を与えれば弾性体における変位はユニークに決まることを見ました。

　しかし,通常の地震の断層による震源は有限体積と有限時間に広がっていて,様々な方向と大きさを持った運動を含むという意味でかなり複雑なものです。

　そこで,現実的な地震をモデル化した震源による変位が最も単純な震源から生じる変位から総合して扱えるような１つの簿記的道具を与えることを考えます。

　ここで,最も単純な震源というのは空間と時間の両方において正確に指定された単一方向の単位衝撃(力積:inpulse)です。こうした単純な震源による変位場は弾性力学のグリーン関数(Green's function)と呼ばれるものです。

　空間位置ｘ＝ξとｔ＝τにおいて単位衝撃がｎ方向に加えられたときの一般座標(ｘ,ｔ)における変位ｕのｉ成分ｕ_iをＧ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)と表わすことにします。

以前の記事「定量的地震学１」では運動方程式がρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jで与えられることを見ました。

右辺のｆ_iは正確にはある時刻ｔにｘにおいて作用する体積力(実体力)ｆ(ｘ,ｔ)の第ｉ成分です。そして,その記事では衝撃Ａと力ｆの関係について次のように書きました。

すなわち,"弾性体を構成する位置ｘ＝ξにおける１つの個別粒子に対し時刻ｔ＝τにｎ方向に瞬時的に加えられる１つの体積力ｆ(ｘ,ｔ)があれば,その成分ｆ_i(ｘ,ｔ)は空間位置を与えるのに３次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,衝撃の時刻を与えるのに１次元のデルタ関数に比例してｆ_i(ｘ,ｔ)＝Ａδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inと表現されます。

Ａは衝撃の強さを与える定数です。ｆ_i,δ³(ｘ－ξ),δ(ｔ－τ)の次元はそれぞれ,[力/体積]＝ＭＬＴ^-2/Ｌ³,1/Ｌ³,1/Ｔであることに着目するとδ_inは無次元なので,衝撃の強さＡは正しく,衝撃＝力積の物理的次元を有することがわかります。"と書きました。

運動方程式ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jにおいて,ｕ_i＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ),ｆ_i(ｘ,ｔ)＝δ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inを代入し,さらに応力テンソルτ_ijとしてフックの法則による表現:τ_ij＝Ｃ_ijklｅ_kl;ｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)＝(1/2)(Ｇ_in,_j＋Ｇ_jn,_i)を代入します。

すると,グリーン関数ｕ_i＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)を定めるための方程式として,ρ(∂²Ｇ_in/∂ｔ²)＝δ_inδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)＋(∂/∂ｘ_j){Ｃ_ijkl(∂Ｇ_kn /∂ｘ_l)}を得ます。

ただし,ｔ≦τ,かつｘ≠ξではＧ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ),∂Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)/∂ｔが全てゼロという初期条件を与えます。

グリーン関数Ｇをユニークに決定するには,さらに境界面Ｓ上の境界条件を指定することが必要です。これには個々の環境に応じて種々の異なる境界条件を使用することで対応します。

Ｓが剛体表面で境界条件が時間に依存しないなら時間の原点はどのようにでもシフトできます。それ故,Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)ですからグリーン関数Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)は時間変数ｔとτについてはｔ－τという組み合わせのみに依存することがわかります。

したがって,Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)＝Ｇ_in(ｘ,－τ;ξ,－ｔ)です。この性質は震源と受信点に関する相反定理と呼ばれるものです。

一方,ベッチ(Betti)の定理の積分形∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[ｕ(ｘ,ｔ)ｇ(ｘ,τ－ｔ)－ｖ(τ－ｔ)ｆ(ｘ,ｔ)]ｄＶ＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{ｖ(ｘ,τ－ｔ)Ｔ(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ(ｘ,ｔ)Ｔ(ｖ(ｘ,τ－ｔ),ｎ)}ｄＳにおいて,ｆ_i(ｘ,ｔ)＝δ_imδ³(ｘ－ξ₁)δ(ｔ－τ₁),ｇ_i(ｘ,ｔ)＝δ_inδ³(ｘ－ξ₂)δ(ｔ＋τ₂),ｕ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁),ｖ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ₂,－τ₂)を代入します。

すると,左辺＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[Ｇ_im(ｘ.ｔ;ξ₁,τ₁)δ_inδ³(ｘ－ξ₂)δ(τ－ｔ＋τ₂)－Ｇ_in(ｘ,τ－ｔ;ξ₂,－τ₂)δ_imδ³(ｘ－ξ₁)δ(ｔ－τ₁)]ｄＶ＝Ｇ_nm(ξ₂,τ＋τ₂;ξ₁,τ₁)－Ｇ_mn(ξ₁,τ－τ₁;ξ₂,－τ₂)です。

そして,右辺＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S[Ｇ_in(ｘ.τ－ｔ;ξ₂,－τ₂)Ｃ_ijklｎ_j{∂Ｇ_km(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁)/∂ｘ_l}－Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁)Ｃ_ijklｎ_j{∂Ｇ_kn(ｘ,τ－ｔ;ξ₂,－τ₂)/∂ｘ_l}]ｄＳです。

ところがｕ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁),ｖ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ₂,－τ₂)がＳ上で斉次境界条件ｕ_i＋γ_jｕ_i,_j＝0,ｖ_i＋γ_jｖ_i,_j＝0 を満足するなら,Ｓの上ではｖ_i(τ－ｔ)Ｃ_ijklｎ_jｕ_k,_l(ｔ)－ｕ_i(ｔ)Ｃ_ijklｎ_jｖ_k,_l(τ－ｔ)＝Ｃ_ijklｎ_j{－γ_pｖ_i,_p(τ－ｔ)ｕ_k,_l(ｔ)＋γ_pｕ_i,_p(ｔ)ｖ_k,_l(τ－ｔ)}＝0 なので,結局,右辺はゼロとなります。

そこで,ＧがＳ上で斉次境界条件を満たす場合には震源と受信点に対しＧ_nm(ξ₂,τ＋τ₂;ξ₁,τ₁)＝Ｇ_mn(ξ₁,τ－τ₁;ξ₂,－τ₂)なる等式で示される重要な相反定理が得られました。

特にτ₁＝τ₂＝0 と選べばＧ_nm(ξ₂,τ₂;ξ₁,0)＝Ｇ_mn(ξ₁,τ;ξ₂,0)を得ますが,これは純粋な空間相反性です。一方,τ＝0とすればＧ_nm(ξ₂,τ₂;ξ₁,τ₁)＝Ｇ_mn(ξ₁,－τ₁;ξ₂,－τ₂)ですが,これは空間・時間相反性を示しています。

弾性力学のグリーン関数を具体的に求めることは,それ自身複雑な問題ですが,この課題については,最も単純な均質で等方的な弾性固体媒質の場合と,震源と受信点の間が不均質で大きく離れている場合について後に扱う予定です。

さし当たってグリーン関数が既知としての議論に集中します。

再びベッチの定理の積分形∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[ｕ(ｘ,ｔ)ｇ(ｘ,τ－ｔ)－ｖ(τ－ｔ)ｆ(ｘ,ｔ)]ｄＶ＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{ｖ(ｘ,τ－ｔ)Ｔ(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ(ｘ,ｔ)Ｔ(ｖ(ｘ,τ－ｔ),ｎ)}ｄＳに,ｇ_i(ｘ,ｔ)＝δ_inδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ),ｖ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,0)を代入します。