光(電磁波)の散乱(1)

　太陽から地球に降り注ぐ"光＝電磁波"が,大気中の空気分子や

雲の水滴などによって散乱され,その光の一部が反射されて宇宙

へ引き返す現象を評価することを目的として,電磁波の散乱を

古典的に解析してみます。

　電磁波が平面波として進行しているとき,その進行方向に

障害物を置いたとします。

このとき,平面波はこの障害物によって散乱されるはずです。

こうした散乱に定量的な評価を与えることを考えます。

この種の問題は,近代物理学において重要な意味を持っています。

まず,真空中の電磁波の示す電場ベクトルＥと磁場ベクトルＢの

６つの成分のうちの１つを取って,それをΦ(ｘ,ｔ)と書くこと

にします。

これは,"障害物＝散乱体"の外部では,"波動方程式

＝d'Alembert方程式":(△－∂²/∂ｔ²)Φ(ｘ,ｔ)＝0

を満たします。

ただし,ｃは真空中の光速を表わしています。

特に,Φ(ｘ,ｔ)が定在波の場合:

つまり時間変動部分が角振動数ωが一定の波に変数分離される

Φ(ｘ,ｔ)＝exp(－iωｔ)ψ(ｘ)なる形の波の場合には,

方程式:(△－∂²/∂ｔ²)Φ(ｘ,ｔ)＝0 は,Helmholtzの方程式:

(△＋ω²/ｃ²)ψ(ｘ)＝0 に帰着します。

これは,ｔを含まず,ｘの未知関数ψ(ｘ)に対する偏微分方程式

です。

当面の課題は,結局のところは,konoHelmholtzの方程式を

電磁波の散乱問題に適した境界条件の下で解くことに帰着する

ので,その準備として,(△＋ω²/ｃ²)ψ(ｘ)＝0 の一般解を

求めておきます。

そのため,Helmholtz方程式:(△＋ω²/ｃ²)ψ(ｘ)＝0 の解ψ(ｘ)を

ψ(ｒ,θ,φ)として方程式を極座標表示で書くと,

[(1/ｒ)(∂²/∂ｒ²)ｒ＋{1/(ｒ²sin²θ)}{∂/∂θ(sinθ∂/∂θ)}

＋{1/(ｒ²sin²θ)}∂²/∂φ²＋ｋ²]ψ(ｒ,θ,φ)＝0 となります。

ただし,ｋ≡ω/ｃと定義しました。

散乱体(障害物)を原点(ｒ＝0)のまわりに置き,ｚ軸方向を極軸

として,その方向に平面波が入射する問題を考えます。

　さらに散乱体はｚ軸のまわりに対称な形をしているとすれば,

ψは角度φには依存しませんから,ψ(ｒ,θ,φ)をψ(ｒ,θ)と

書くと,元のHelmholtz方程式は,

[(1/ｒ)(∂²/∂ｒ²)ｒ＋{1/(ｒ²sin²θ)}{∂/∂θ(sinθ∂/∂θ)}

＋ｋ²]ψ(ｒ,θ)＝0 となります。

これの一般解は,ψ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞Ｒ_l(ｒ)Ｐ_l(cosθ)なる級数で

与えられます。Ｐ_l(ｘ)はｌ次のLegendre多項式です。

ただし,動径ｒの関数:Ｒ_l(ｒ)は常微分方程式:

{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0

の解です。

さらに,Ｒ_l(ｒ)≡ｒ^-1/2ｕ_l(ｒ)とおいて,これを上式に代入すると,

ｄＲ_l/ｄｒ＝ｒ^-1/2ｄｕ_l/ｄｒ－(1/2)ｒ^-3/2ｕ_l,

ｄ²Ｒ_l/ｄｒ²＝ｒ^-1/2ｄ²ｕ_l/ｄｒ²－ｒ^-3/2ｄｕ_l/ｄｒ＋(3/4)ｒ^-5/2ｕ_l

と書けます。

それ故,動径の表わす方程式は,

{ｄ²/ｄｒ²＋(1/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－(ｌ＋1/2)²/ｒ²}ｕ_l(ｒ)＝0

となります。

得られた方程式は,(ｋｒ)を変数としパラメータνが(ｌ＋1/2)

のBesselの微分方程式です。

そこで,その２つの独立な解の１組としてＪ_l+1/2(ｋｒ)(Bessel関数),

およびＮ_l+1/2(ｋｒ)(Neumann関数)を取ることができます。

ただし,Neumann関数はBessel関数を用いて,

Ｎ_n(ｘ)≡{Ｊ_n(ｘ)cos(ｎπ)－Ｊ_-n(ｘ)}/sin(ｎπ)

と表現される関数です。

さらに,Ｒ_l(ｒ)≡ｒ^-1/2ｕ_l(ｒ)において,

ｕ_l(ｒ)＝Ｊ_l+1/2(ｋｒ),およびｕ_l(ｒ)＝Ｎ_l+1/2(ｋｒ)

の場合を考え,改めて２種類の球面Bessel関数:

j_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｊ_l+1/2(ｘ),および

ｎ_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｎ_l+1/2(ｘ)

を定義します。

また,これらの１次結合の,

ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2[Ｊ_l+1/2(ｘ)＋iＮ_l+1/2(ｘ)],

ｈ_l⁽²⁾(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2[Ｊ_l+1/2(ｘ)－iＮ_l+1/2(ｘ)]

で定義される球面Hankel関数を考えます。

そして,これらは,

j_l(ｘ)＝(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l(sinｘ/ｘ),

ｎ_l(ｘ)＝－(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l(cosｘ/ｘ),

ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)＝(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l{exp(iｘ)/ｘ}

と表わされることがわかります。

すなわち,

j₀(ｘ)＝sinｘ/ｘ,j₁(ｘ)＝sinｘ/ｘ²－cosｘ/ｘ,

j₂(ｘ)＝(3/ｘ³－1/ｘ)sinｘ/ｘ²－3cosｘ/ｘ²,..,

ｎ₀(ｘ)＝－cosｘ/ｘ,ｎ₁(ｘ)＝－cosｘ/ｘ²－sinｘ/ｘ,

ｎ₂(ｘ)＝－(3/ｘ³－1/ｘ)cosｘ/ｘ²－3sinｘ/ｘ²,.. 

etc.です。

よってｘ→ 0 のときには,

j_l(ｘ)→{ｘ^l/(2ｌ＋1)!!}[1－ｘ²/{2(2ｌ＋１)}＋..],

ｎ_l(ｘ)→(2ｌ－1)!!/ｘ^l+1であり,

ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)→－i(2ｌ－1)!!/ｘ^l+1,

ｈ_l⁽²⁾(ｘ)＝→i(2ｌ－1)!!/ｘ^l+1

となります。

ここに,(2ｌ＋1)!!≡(2ｌ＋1)(2ｌ－1)(2ｌ－3)..5・3・1,

(2ｌ－1)!!≡(2ｌ－1)(2ｌ－31)(2ｌ－5)..5・3・1です。

このことから,ｎ_l(ｘ)はｘ→ 0 に対して発散する関数であること

がわかります。

一方,ｘが大きいところ,つまりｘ→ ∞での漸近形は,

j_l(ｘ)→sin(ｘ－ｌπ/2)/ｘ,ｎ_l(ｘ)→－cos(ｘ－ｌπ/2)/ｘ,

ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)→(－i)^l+1exp(iｘ)/ｘ,ｈ_l⁽²⁾(ｘ)→i^l+1exp(－iｘ)/ｘ

となります。

そして,ｚ軸のまわりで対称なHelmholtz方程式の一般解は,

ψ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｐ_l(cosθ)

で与えられることがわかります。

ところで,Laplaceの方程式:Δχ(ｒ,θ)＝0 は,Helmholtz方程式:

(Δ＋ｋ²)ψ(ｒ,θ)＝0 で特にｋ²をゼロとしたものですから,解は

χ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lｒ^l＋,Ｂ_lｒ^-(l+1)]Ｐ_l(cosθ)

で与えられます。

逆にいえば,Laplaceの方程式の解:χ(ｒ,θ)で,ｒ^lをj_l(ｋｒ)

に,ｒ^-(l+1)をｎ_l(ｋｒ)に置き換えさえすれば,Helmholtz方程式

の解:ψ(ｒ,θ)が得られます。

特に,ｚ方向へ進む平面波:exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)に

ついては,Rayleighの公式と呼ばれる展開式:

exp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)i^lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)

が成立することが知られています。

念のため,これを証明しておきます。

(証明):平面波ψ(ｒ,θ)＝exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)は

明らかに　Helmholtz方程式(Δ＋ｋ²)ψ(ｒ,θ)＝0 の１つの解

ですから, 

exp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｐ_l(cosθ)

なる形に展開可能です。

　しかも,左辺は原点ｒ＝0でexp(iｋｒcosθ)＝1(有限)

ですから,ｒ＝0では,ｌ≧0でｎ_l(ｋｒ)→(2ｌ－1)!!/(ｋｒ)^l+1

＝∞ より,　全てのＢ_l(ｌ＝0,1,2,..)はゼロでなければ

なりません。

　よって,exp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞Ａ_lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)

　と書けます。

 それ故,

　Σ_l=0^∞(iｋｒcosθ)^l/ｌ!＝Σ_l=0^∞Ａ_lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)

　ですからｒ→ 0 では,

　Σ_l=0^∞(iｋｒcosθ)^l/ｌ!→

　Σ_l=0^∞[Ａ_l{(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!}Ｐ_l(cosθ)と挙動します。

　また,Ｐ_l(ｘ)＝{1/(2^lｌ!)}(ｄ^l/ｄｘ^l)(ｘ²－1)^lです。

　したがってＰ_l(cosθ)における(cosθ)^lの係数は,

　(2ｌ)!/{2^l(ｌ!)²}　です。

 よって,Σ_l=0^∞(iｋｒcosθ)^l/ｌ!

　～Σ_l=0^∞[Ａ_l{(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!}Ｐ_l(cosθ)において,

　(cosθ)^lの項を等置すると,

　(iｋｒcosθ)^l/ｌ!

　＝(2ｌ)!Ａ_l/{2^l(ｌ!)²(2ｌ＋1)!!}(ｋｒcosθ)^l

 となります。

　これから,i^l＝Ａ_l/(2ｌ＋1),すなわちＡ_l＝i^l(2ｌ＋1)

を得ます。　　(証明終わり)

 さて,波動が散乱される現象を記述するには一般に２つの方法が

　考えられます。

 その１つは散乱体に向かって入射する波動を平面波の

重ね合わせの波束であるとして,その波束が散乱体に衝突して

散乱していく様子を時間的に追跡していく方法です。

 これに対して,もう１つの方法は,現象全体を見て,それを

１枚の写真に取って全体の様子を調べる方法です。

　このとき波動の流れが定常的なら,全体の様子はいつ写真

を取るか？という時間には関係しません。

　このような方法を定常的方法といいます。

ここでは,後者の方法を用いて散乱問題を取り扱うことに

します。

波が散乱されていく全体を示す定常波は散乱体がある原点

(ｒ＝0)近傍を除けば,方程式(Δ＋ｋ²)ψ(ｘ)＝0

を満たします。

そこで,軸対称な散乱体による散乱問題は,Helmholtz方程式

の一般解:ψ(ｘ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｐ_l(cosθ)

で,それに適合した境界条件を満たす未定係数Ａ_l,Ｂ_lを決める

問題に帰着します。

"ｚ軸＝極軸"の方向に平面波が入射したとして,それがｒ＝0

にある散乱体によって散乱される様子を１枚の写真に取った

とします。

このときに見られる波動の全体は,散乱体から十分遠方では

入射平面波と外向き球面波の両方の重ね合わせから成って

います。

すなわち,ｒ→ ∞での波動は,

ψ(ｘ)→ exp(iｋｚ)＋ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒ

と表わされるはずです。

ここでｆ(θ)は散乱振幅(scattering amplitude),θは

散乱角(scattering angle)と呼ばれる量に相当します。

問題を解く前に,散乱を調べることによって知ることができる

物理量について知る必要があります。

まず,電磁場のエネルギーの流れ密度を表わす

ポインティングベクトル(Poynting vector)は,Ｓ≡Ｅ×Ｈ

です。

Ｈは磁場の強さ(磁界)であり真空中ではＨ＝Ｂ/μ₀です。

φをスカラーポテンシャル,Ａをベクトルポテンシャルとすれば,

Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａと表現されますが,

真空中の電磁波なら電荷も電流もなく,特に

∇Ｅ＝－∇²φ－∂∇Ａ/∂ｔ＝0 なので

Coulombンゲージ:∇Ａ＝0 を採用すれば,∇Ｅ＝－∇²φ＝0

となります。

そこで,φ＝定数であり特にφ＝0 としてもかまいません。

それ故,Ａだけを用いてＥ＝－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａ

と書きます。

今の場合,電磁波は角振動数ωが一定の定常波ですから

ベクトルポテンシャルは複素表示で,

Ａ(ｘ,ｔ)＝iａ(ｘ)exp(－iωｔ)と書けます。

ここではＥ,Ｂの空間部分が実数になるようにＡの振幅を

純虚数:iａ(ｘ)に取っています。

Ｅ(ｘ,ｔ)＝ωａ(ｘ)exp(－iωｔ),

Ｂ(ｘ,ｔ)＝ω{∇×ａ(ｘ)}exp(－iωｔ)

です。

実際の電場,磁場は実数であって,それぞれ,ReＥ,ReＢ

ですから,そのポインティングベクトルは,

Ｓ＝ReＥ×ReＨ＝ReＥ×ReＢ/μ₀

＝(ω²/μ₀){ａ×(∇×ａ)}cos²(ωｔ)で与えられます。

そこで,エネルギー流の実効値として時間平均を取れば,周期

をＴ＝2π/ωとして,

＜cos²(ωｔ)＞＝(1/Ｔ)∫₀^Tcos²(ωｔ)＝1/2なので,

＜Ｓ＞＝{ω²/(2μ₀)}{ａ×(∇×ａ)}＝(Ｅ×Ｂ^*)/(2μ₀)

です。

ただし,＜　＞は時間平均を示す記号です。

そこで,一般に"エネルギー流束＝(単位時間に単位面積を通過

する平均エネルギー)"は,＜|Ｓ|＞＝＜|Ｅ×Ｂ^*|/(2μ₀)＞

で与えられます。

今,考えている入射平面波:ψ_in(ｘ)≡exp(iｋｚ)は,

電場:Ｅ(ｘ,t)＝ωａ(ｘ)exp(－iωｔ)の空間部分:ωａ(ｘ)

を表わすものと考えます。

つまり,電場Ｅ(ｘ,t)がｘ成分のみを持つように偏光している

として,Ｅ_x(ｘ,t)＝ψ_in(ｘ)exp(－iωｔ)とし,ａ(ｘ)は,

ａ(ｘ)＝(ψ_in(ｘ)/ω,0,0)で与えられるとします。

このとき,ａ(ｘ)＝(exp(iｋｚ)/ω,0,0)で,かつ

Ｂ(ｘ,t)＝ω{∇×ａ(ｘ)}exp(－iωｔ)によって,

磁場Ｂ(ｘ,t)はｙ成分のみを持ち,

ｃＢ_y(ｘ,t)＝ψ_in(ｘ)exp(－iωｔ)となります。

なぜなら,ｋω＝ｃです。

そこで,散乱問題において単位時間に単位面積を通って入射

する電磁波のエネルギー流Ｓを特にＳ_inと書けば,

平均の単位面積を通る入射エネルギーの率は,

＜|Ｓ_in|＞＝＜|Ｅ×Ｂ^*|/(2μ₀)＞＝{1/(2ｃμ₀)}|ψ_in|²

＝1/(2ｃμ₀)です。

これに対して散乱波をψ_sc(ｘ)≡ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒと書き,

単位時間にθ方向の面積要素ｄＳを通って散乱される電磁波

のエネルギーをＳ_scｄＳと書けば,

＜|Ｓ_sc|＞ｄＳ＝{1/(2ｃμ₀)}|ψ_sc|²ｄＳ

＝{1/(2ｃμ₀)}|ｆ(θ)1²ｄＳ/ｒ²

＝{1/(2ｃμ₀)}|ｆ(θ)|²ｄΩです。

ただし,ｄΩ＝ｄθｄφは散乱体の中心からｄＳを見た

立体角です。

そこで,単位時間に単位面積を通って単位エネルギーの

電磁波が入射したとき,立体角ｄΩに散乱されて出てくる

電磁波の単位時間当たりの平均エネルギーは,

σ(θ)ｄΩ≡＜|Ｓ_sc|＞/＜|Ｓ_in|＞ｄＳ＝|ｆ(θ)|²ｄΩ

で与えられます。

上の式の比例係数σ(θ)は面積の単位を持っているので

σ(θ)を散乱の微分断面積(differential cross-section)

と呼びます。

そして,σ≡∫σ(θ)ｄΩを散乱の全断面積

(total cross-section)といいます。

これは単位時間に単位面積を通って単位平均エネルギー

の電磁波が入射したときに,散乱されて出てくる単位時間

当たりの全平均エネルギーです。

全断面積は,直感的には散乱体の幾何学的断面積に相当

するものですが,入射波の波動性のためこれらは一般には

一致しません。

今日はここまでにします。

参考文献：砂川重信著「理論電磁気学」第２版（紀伊国屋書店）

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