光(電磁波)の散乱(2)

最終的には温室効果の定量的評価を与えることを目的とした光

(電磁波)の散乱の評価の続きです。

前回,定義を与えた散乱断面積を散乱による波の位相のずれ

(phase-shift)によって表現するため,波の ｒ→ ∞ での境界条件

を考えます。

まず,平面波:ψ_in(ｘ)＝exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)の

Raileighの公式による表現を再掲します。

すなわち,exp(iｋｚ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)i^lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)

です。

この式の右辺で,ｒ→ ∞の場合を考えてj_l(ｋｒ)の漸近形:

j_l(ｋｒ)→sin(ｋｒ－ｌπ/2)/(ｋｒ)を代入すると,

exp(iｋｒcosθ)

→Σ_l=0^∞{i^l(2ｌ＋1)/(ｋｒ)}sin(ｋｒ－ｌπ/2)Ｐ_l(cosθ)

＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}{exp(ｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}

Ｐ_l(cosθ)

と書けます。

また,散乱振幅f(θ)をLegendre多項式の完全系:{Ｐ_l(cosθ)}

で展開したものを,

f(θ)＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)ａ_l/(2iｋ)}Ｐ_l(cosθ)

と書いておきます。

ここで,f(θ)が未知量なので,全ての係数ａ_lも未知量です。

これらを,ψ(ｘ)→ψ_in(ｘ)＋ψ_sc(ｘ)

＝exp(iｋｚ)＋ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒ に代入すると,

ψ(ｘ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}

{(1＋ａ_l)exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l(cosθ)

となります。

一方,σ(θ)＝|ｆ(θ)|²

＝ｋ^-2|Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)ａ_l/2}Ｐ_l(cosθ)|²です。

そこで,σ≡∫σ(θ)ｄΩ＝2π∫_-1¹σ(θ)ｄ(cosθ)

＝(2π/ｋ²)[Σ_l,l'=0^∞{(2ｌ＋1)(2ｌ'＋1)ａ_lａ_l'^*/4}

×∫_-1¹Ｐ_l(cosθ)Ｐ_l'(cosθ)ｄ(cosθ)]

＝(π/ｋ²)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)|ａ_l|²となります。

ここで,積分公式:

∫_-1¹Ｐ_l(ｘ)Ｐ_l'(ｘ)ｄｘ＝{2/(2ｌ＋1)}δ_ll'

を用いました。

f(θ)＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)ａ_l/(2iｋ)}Ｐ_l(cosθ)なる表現式

により,前方散乱(散乱角θ＝0)の振幅:ｆ(0)は,

ｆ(0)＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)ａ_l/(2iｋ)} と書けますから,

2iImｆ(0)＝ｆ(0)－ｆ^*(0)

＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)(ａ_l＋ａ_l^*)/(2iｋ)} です。

一方,ｒ→ ∞での漸近形:

ψ(ｘ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}

{(1＋ａ_l)exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l(cosθ)に

戻ると,exp(iｋｒ)/ｒの係数(1＋ａ_l)は外向き球面波:

exp(－iｋｒ)/ｒの振幅を,(－1)^l+1は内向き球面波の振幅を

示していると見えます。

この定常状態の描像で,"光＝電磁波"が散乱体に全く吸収されず

保存される弾性散乱(elastic scattering)なら,各ｌについて外

向き波と内向き波の振幅の絶対値は等しくなければなりません。

すなわち,|1＋ａ_l|＝1なることが要求されますから,

1＋ａ_l＋ａ_l^＊＋ａ_lａ_l^＊＝1,あるいはａ_l＋ａ_l^＊＋|ａ_l|²＝0

です。

そこで,これと表現:

Imｆ(0)＝－Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)(ａ_l＋ａ_l^*)/(4ｋ)},

σ≡∫σ(θ)ｄΩ＝(π/ｋ²)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)|ａ_l|²より,

σ≡∫σ(θ)ｄΩ＝(4π/ｋ)Imｆ(0)

なる等式が得られます。

これを光学定理(optical theorem)といいます。

このような弾性散乱では,|1＋ａ_l|＝1なので,

1＋ａ_l≡exp(2iδ_l)として,ｌごとに実数δ_lを定義

すれば,1＋ａ_l^＊＝exp(－2iδ_l),

|ａ_l|²＝ａ_lａ_l^*＝2{1－cos(2δ_l)}＝4sin²δ_lです。

故に,全断面積σはσ＝(4π/ｋ²)Σ(2ｌ＋1)sin²δ_l

と書けます。

δ_l＝0 ならａ_l＝0 の散乱されない平面波だけしか存在しない

ので,このδ_lを散乱による位相のずれと呼びます。

このように定式化すれば,散乱の問題は全ての部分波ｌ

に対して,位相のずれδ_lを求める問題に帰着するわけです。

δ_lを位相のずれと呼ぶのには,別の理由もあります。

すなわち,1＋ａ_l＝exp(2iδ_l),(－1)^l＝exp(ilπ)を,

ψ(ｘ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}{(1＋ａ_l)exp(iｋｒ)

－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l(cosθ) に代入したときには,

ψ(ｘ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(ｋｒ)}exp(iδ_l)exp(ilπ/2)

sin(ｋｒ－ｌπ/2＋δ_l)Ｐ_l(cosθ) となります。

これを,入射平面波のｒ→ ∞での漸近形の表式:

exp(iｋｒcosθ)

→Σ_l=0^∞{i^l(2ｌ＋1)/(ｋｒ)}sin(ｋｒ－ｌπ/2)

Ｐ_l(cosθ)と比較すると,

散乱波ψ(ｘ)＝ψ(ｒ,θ)の漸近形では正弦関数の位相が

δ_lだけずれているからです。

では,位相のずれδ_lを個々の散乱に対して具体的に決める

には,どうすればいいのでしょうか？

まず,ｒ→∞での漸近形:

j_l(ｋｒ)→sin(ｋｒ－ｌπ/2)/(ｋｒ),

ｎ_l(ｘ)→－cos(ｋｒ－ｌπ/2)/(ｋｒ)　によって,

正確な波:

ψ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｐ_l(cosθ)

の漸近形は,

ψ(ｒ,θ)

→Σ_l=0^∞[Ａ_lsin(ｋｒ－ｌπ/2)－Ｂ_lcos(ｋｒ－ｌπ/2)]

Ｐ_l(cosθ)/(ｋｒ) と書けます。

これと,

ψ(ｒ,θ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}exp(iδ_l)

sin(ｋｒ－ｌπ/2＋δ_l)Ｐ_l(cosθ)

＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(ｋｒ)}exp(iδ_l)ｉ^l

[cosδ_lsin(ｋｒ－ｌπ/2)＋sinδ_lcos(ｋｒ－ｌπ/2)

を比較すると,

Ａ_l＝(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)cosδ_l,

Ｂ_l＝－(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)sinδ_l

なることがわかります。

そこで,一般解はψ(ｒ,θ)

＝Σ_l=0^∞[(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)cosδ_l{j_l(ｋｒ)－tanδ_lｎ_l(ｋｒ)}

Ｐ_l(cosθ)] と書けることがわかりました。

δ_lは散乱体の表面で波動を示すψ(ｒ,θ)が満たすべき境界条件

によって決まるはずです。

具体的な例として,半径がａの完全導体(電気抵抗がゼロ)の球による

電磁波の散乱問題を取り上げます。

完全導体球の表面上で入射平面波と散乱波を重ね合わせた全電磁波

はｎＢ＝0,ｔＥ＝0なる条件を満たす必要があります。

ただしｎは表面の法線単位ベクトル,ｔは接線単位ベクトルです。

これは,次のような理由から得られる条件です。

つまり,境界面の内側の導体部分を領域１,外側の真空中を領域２

として,境界面を含む微小な薄い直方体の中で,方程式:∇Ｂ＝0を

体積積分することから,ｎ(Ｂ₂－Ｂ₁)＝0 を得ます。

一方,方程式∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔを境界面上の長さΔｒの辺から

成る小平面ΔＳ＝ΔｒΔｈにおいて表面積分して得られる

ｔ(Ｅ₂－Ｅ₁)Δｒ＝－(∂Ｂ/∂ｔ)ΔｒΔｈで,Δｈ→0の極限を

取ることから,ｔ(Ｅ₂－Ｅ₁)＝0 を得ます。

そして,導体内部の電場Ｅ₁はゼロですからｔ(Ｅ₂－Ｅ₁)＝0 により,

ｔＥ₂＝0 を得ます。

導体内部では電場Ｅ₁がゼロになるのとほぼ同じ理由で磁場の強さ:

Ｈ₁もゼロですから磁束密度Ｂ₁もゼロです。

これとｎ(Ｂ₂－Ｂ₁)＝0 によってｎＢ₂＝0を得ます。

そこで得られた２つの条件式:ｎＢ₂＝0,ｔＥ₂＝0 から添字２を

除くとｎＢ＝0,ｔＥ＝0 になるわけです。

しかし,ここではこうした条件の代わりに,単に球面境界

ｒ＝ａの上で,ψ(ａ,θ)＝0 なる条件を採用することに

します。

これは電磁波の成分という意味では不正確ですが,位相のずれ

を説明するための例として代用します。

それ故,境界条件は,

ψ(ａ,θ)＝Σ_l=0^∞[(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)cosδ_l

{j_l(ｋａ)－tanδ_lｎ_l(ｋａ)}Ｐ_l(cosθ)]＝0です。

これから,tanδ_l＝j_l(ｋａ)/ｎ_l(ｋａ)

が要求されます。

これを代入し返して,全波動を示す関数として,

ψ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞[(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)cosδ_l

{j_l(ｋｒ)－j_l(ｋａ)/ｎ_l(ｋｒ)/ｎ_l(ｋａ)}Ｐ_l(cosθ)]

が決まりました。

そして,tanδ_l＝j_l(ｋａ)/ｎ_l(ｋａ)から決まるδ_lを,

σ＝(4π/ｋ²)Σ(2ｌ＋1)sin²δ_lに代入すれば,

散乱の全断面積;σ≡∫σ(θ)ｄΩが得られるわけです。

電磁波の波長をλとすると,ｋ＝2π/λなので,波長λが

散乱球の半径ａよりも十分に大きいとき:λ＞＞ａなら

ｋａ＜＜1です。

そこで,例えば10/11の記事「空気分子の大きさ」で書いた

半径:ａ＝ｄ/2が 0.2～0.4μｍ程度の空気分子によって散乱

される波長がλ＝100～1000μｍの可視光を想定するなら,

tanδ_l＝j_l(ｋａ)/ｎ_l(ｋａ)

～ －(ｋａ)^2l+1/[(2ｌ＋1){(2ｌ－1)!!}²] です。

実際の正しい境界条件からは,ｌ＝0 のＳ波は完全に消えます。

そこで最も大きい寄与はｌ＝1のＰ波の項からきます。

したがって,こうした波では,δ_l ∝ (ｋａ)³ です。

(※ 正しい境界条件はｒ＝ａで

Ｂ_r＝Ｂ_xsinθcosφ＋Ｂ_ysinθsinφ＋Ｂ_zcosθ＝0,かつ

Ｅ_θ＝Ｅ_xcosθcosφ＋Ｅ_ycosθsinφ－Ｅ_zsinθ＝0,

Ｅ_φ＝－Ｅ_xsinφ＋Ｅ_ycosφ＝0  です。

また,散乱体の球はもちろん軸対称ですが,正しい散乱波の関数形

は必ずしも,φに依存しないψ(ｒ,θ)ではなく,より一般の形:

ψ(ｒ,θ,φ)になります。

詳細については次の記事で書きます。※)

そこで,σ＝(4π/ｋ²)Σ(2ｌ＋1)sin²δ_l∝ｋ⁴ａ⁶ ∝ ａ⁶/λ⁴

と評価されます。

このような散乱をRayleigh散乱と呼びます。

これは晴れた空が青く見える主要な理由を与えます。

また,ｋａ～１,つまりλ～ａのような散乱をMie散乱,または

エアロゾル(aerosol)散乱と呼びます。

これは雲の水滴による光の散乱に対応しています。

これは雲や曇りの空の色を説明します。

一方,ｋａ＞＞１,つまりλ＜＜ａのような散乱はａを原子半径

とする結晶内の束縛電子によるＸ線散乱があります。

これは,Thomson散乱ですが正しい考察は古典論でなく量子論で

なされるべきです。

束縛電子でなく自由電子による散乱ならCompton散乱ですね。

今日はここまでにします。

参考文献：砂川重信著「理論電磁気学」第２版（紀伊国屋書店）

ＰＳ:さて,通学中のヘルパースクールでは10/21の授業から実習

に 入ります。

 私自身は高齢者の介護の経験はありません。

　私はずっと縁がなくて,おカマではないけど故郷を出てから

40年余り一人暮らしです。

　私の母は故郷の岡山県倉敷市にいて11月には89歳になる予定

ですが,まだ,介護の必要はないようです。

 しかし,"知り合い＝将棋友達や飲み友達"には生来の小児麻痺

など　障がい者も数人いて,中には下肢が不自由な人もいて車椅子

からトイ　レへの移乗,そして用を足した後には逆の移乗に手を

貸す程度なら私も既に数え切れないくらいやったことがあります。

 むしろ,旅行などでは,彼らの足を使わない運転で移動したこと

も多々あります。

　２年前の心筋梗塞が２回あった頃の心臓手術前後のわずかな

入院期　間だけですが,私自身が車椅子で移動したり,上半身が

ままならなくて電動ベッドに頼って起きたり寝たりしたことも

あって,立ち上がるだけとか,ほんの１ｍくらいの移動でさえ

辛いということも少しは理解できるつもりです。

　しかし,無関係の他人の介護は初めてなので,虚心坦懐に実習

を受けたいと思います。

　ある意味,座学の講義よりも実習を受けることが主目的ですから。。

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