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2009年10月

2009年10月31日 (土)

求人広告!!(急募:東京巣鴨)

 このブログの趣旨には反しますが,私はこれ以外に広告媒体を持たないのにちょっと近所の知り合いの社長に頼まれたので以下に求人広告を出します。

 応募があって若干名の採用が決まり次第この広告記事自体を削除する予定です。

 最近は法律上は年齢制限などは特別な理由のない限り禁止されているらしいのですが実際には当該年齢以外の応募者があっても恐らく採用されないと思うので,あえて良心的な意味で年齢制限をしています。

 要するに巣鴨の一番街のピンクサロンが連立する中に1件だけピンクでない飲み屋があって,早く言えばそこの店内への案内PRスタッフ(ひょっとしたら店内従業員に採用されるかも)を募集するわけです。

 (私見ですがここのママはいつ見ても歌手の倖田來未さんソックリです。まだ,前の店がなくなって後,経営者も変わり新たに改装開店して2ヶ月くらいだからよく知らないけどママの年齢は最近のこの界隈のスナックには珍しく純日本人なのに20代後半らしいです。。)

 以下,募集広告です。

 応募される方は,詳細に関しては連絡先の社長まで直接電話してください。

 TEL(携帯) 080-1327-4472 小平

 スナック友姫

 男女従業員募集(至急)

 勤務地:東京都豊島区巣鴨1丁目(巣鴨駅南口より徒歩3分)

  職種: 接客PR 勤務形態: 長期アルバイト(夜間)(正社員登用あり)

応募資格:20 ~30代 (学歴・職歴・経験不問)

 給与:月給17万円以上(応相談)+歩合

備考:勤務中の食事支給,アパート有ります。

 

連絡先:東京都文京区千石4-34-10

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2009年10月28日 (水)

ヘルパー・スクールへの通学が終わりました。

 昨日(10/27)で,西川口の介護ヘルパー養成学校の「アイ・ヘルパースクール」での2級ヘルパー短期コース10月生の受講が一応終了しました。

 ただし,私は1日目のガイダンス等の授業を欠席しているので,その振り替え授業がまだ1日だけ11月の初日にあります。 

 また,肝心の11月中旬からの施設等現場での4日間の実習が残っています。順調にいけば,11/24に課程の修了式に出て終わりそうです。
 
 今日は,久しぶりに平日ですが朝から自宅でくつろいでいます。
 
 1ヶ月程度とはいえ,共に学んだ年齢も経歴も違うであろう級友たちとの別れはさびしいものです。
 
 いつまで経っても,「こうした出会いと別れの繰り返しが人生なのですね。」という具合には達観し切れません。
 
 恐らく,11/24には,もう1度会えるのでしょうが。。
 
(実習の一番最後にお互いがモデルになって相手の足を洗ったのは,最後を象徴するようで,新約聖書の「最後の晩餐」の場面を連想してしまいました。
 
 ユダが去った後にイエスは最後に直弟子たち全員の足を洗ったと確か書いてありましたね。(お互いに足を洗ったのだったかな?)
 
 相手の足を洗うという行為は,しもべとして最高の敬意を表わすことです。
 
 それを彼らの師たるイエスが行なったというのは印象的なこととして記憶していました。)
 
 PS:本日(10/29)は早朝からエクセルでこのブログの目次・索引を作りながらネットで「渡辺明竜王vs森内俊之9段」の将棋竜王戦第2局の2日目http://live.shogi.or.jp/ryuou/ をチェックしています。
 
 平日の木曜日なのに,こんなにお気楽なヒマ人で申し訳ないです。
 ※ 速報:竜王戦第2局は,141手まで先手渡辺竜王の勝ちでした。
  

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光子の座標について

 今日は,Yahooブログの fkさんの10/24の記事「光子の座標 」に関わるやりとりを若干修正したものを fkさんの許可を得てほぼそのまま転載します。

 以下, fkさんの書かれたブログ記事「光子の座標」の転載です。

 ちょっと手抜きをして私の注釈付きで記事とコメントの全コピーです。

※このページはパイエルスの『Surprises in Theoretical Physics』の議論を参考にしました。また彼のお友達のランダウの遺産『相対論的量子力学1』の該当箇所もです。

 このページでは光子の座標について云々する。

 そのために,まずAμ = Σ[C^kσAμkσ +C^kσμAμ*kσ]という風に4元ポテンシャルの形に書いてやる。生成消滅演算子の係数が光子の波動関数に対応している。

※(私=TOSHIの注):Aμ=Σ[C^kσAμkσ +C^kσμAμ*kσ]は正確には,Aμ(x,t)=Σσ[∫d3(2π)-3/2(2ωk)-1/2[a^kσexp(-ikx)Aμkσ +a^kσ+exp(ikx)Aμ*kσ],ただしωk=c(2+m22)1/2で,kx=ωkt-kxです。

 そして,波数,スピンσの1光子の消滅演算子,および生成演算子がそれぞれa^kσ,およびa^kσ+です。 (TOSHIの注終わり)※

 光子の座標について何か言うためには波動関数の確率密度を計算しなければならない。

 ファイン:「そういえば☆で確率密度が連続の式に従う話をしたね。」

 あの時は準古典的な波動関数をシュレディンガー方程式に代入した。

 電子のとき確率密度はΨΨ*という量だったから素朴に考えると光子の確率密度はAA*という量を含むだろう。

 そして相対論的に不変な形でないといけないから確率密度は4次元の流れベクトルの時間成分である必要がある。

 レイン;「古典論では4次元の流れベクトルってどうだったかしら?」

 例えば電荷だったら時間成分は電荷密度と光速の積 cρ で空間成分は j = ρv だった。

 4元ポテンシャルは電磁場テンソルを用いてFμν = ∂μAν - ∂νAμと書けた。ゲージをどう取ろうがこの式は成り立つ。

 微分演算子は運動量演算子で表わせたことを思い出すとFμν = -i(kμAν - kνAμ)と書き直せる。

 ファイン「だからAA*を作るためには FF* の形じゃないといけないんだね。」

 でもここまで来てはたと気づく。そんなふうに作った量はベクトルにはなり得ないということに。

 実はね。ここまで話を引っ張っておいて言うのもあれなんだけど,そもそも上の条件を満たす4元ベクトルは作れないんだよね。

 今やったように電磁場を記述する量にはベクトルと2階のテンソルがある。

 それぞれ4元ポテンシャルと電磁場テンソル,或いはそれらの微分量も含まれる。つまり階数が整数のテンソルと言える。

 そいつらの成分の二乗は階数が偶数のテンソルの一部分であってどう頑張っても1階のテンソル、すなわちベクトルにはなり得ない。

※それでも無理矢理ベクトルを作るとどうなるかはランダウの『相対論的量子力学1』4節を。

 レイン「そんなの気付かないわ~」

 僕も(笑)。でもディラックは気付いた。

 だからやつは電子の波動関数は2分の1階のテンソル,すなわち4元スピノルでなければならないと考えた。

 ディラック方程式は4元スピノルの方程式であることを今のうちに言っておく。

※気付くかどうかよりそもそもの問題設定が普通じゃないです。

 つまり相対論的量子力学においては,光子の座標を云々することは不可能であることが判明した。

 光子が座標 r に存在するという言葉は意味を持たない。

※ただ波数表示にした波動関数の絶対値の二乗はその波数を持つ光子の存在確率を表わします。

 ファイン:「それじゃあ例えば古典論で出てくる幾何光学の光線はどう考えればいいの?光線の中に光子があるんじゃないの?」

 光線の中に光子があることは間違いない。

 今の話は光線の中のどこに光子が存在するかを言うことはできないってこと。

 なかなかショッキングな事実だよね。

 確率密度とか連続の式の話はクライン・ゴルドン方程式をやるときにも出てくる。結論を書くけど確率密度が必ずしも正にはならない。

 だから波動関数の確率解釈をする限りはクライン・ゴルドン方程式を用いるのは不安。

 このこともディラックが自分の方程式を作った動機の一つ。詳しくは後で。

 レイン:「・・・ちょっと待って,仮に電子を4元スピノルで表わせたとしてもランダウさんとパイエルスさんの不確定性関係からどのみち座標の正確な測定はできないんじゃない?」

 ファイン:「じゃあ光子とか電子とかに関係なく、相対論的な領域になればどんな素粒子にも座標の概念は無いってこと?」

 そういうことになるよね。

 非相対論的な領域だったらエネルギー密度を静止エネルギーで割ればそれがそのまま存在確率になる。

 レイン:「運動エネルギーは静止エネルギーに比べて無視できるものね。」

 ファイン:「光子は常に相対論的だからそこが電子とは違うんだね。」

 実はこの話はパウリやワイスコップもしてる。

 朝永先生の『スピンはめぐる』でも触れられてるけど相対論的な式としてはクライン・ゴルドン方程式でも大丈夫だということを彼らは示した。

 ディラックに一泡吹かせた感じで書かれてるね。

 詳しく知りたいならR.E.Peierls, Reports on Progress in Physics, 18 471 (1955)を参照するといいみたい。でもちょっと古いか。

 彼らも言ってるけど座標が観測量であることは実は全然当たり前のことじゃなかった。

 量子力学を相対論的にすれば今までの常識を少しずつ捨てていかなければならないみたいだね。
 
 (fkさんの書いた記事本文終了)※
 
 次にこれに対する一連のコメントです顔アイコン

 (コメント1)

 どもTOSHIです。久しぶりに来てみてこの話はちょっと目新しかったです。

 確かに開いて見るとランダウにありました。

 買ったのはウン十年前ですが初めの方にサラッと書いてあるので何も考えず見過ごしていました。

 大貫さんの「ポアンカレ群と波動方程式」がすべて粒子の運動量表示の波動関数から定式化を始めているのも位置座標表示の波動関数からでは不可能な場合があるからかな?    

                   TOSHI  2009/10/26(月) 午前 8:01

 (コメント2)

 こんばんは、fkです。

 箱内電子の話の時はありがとうございました。

 実はまだ自分の中で結論が出ていないのですが、
 記事の生産に明け暮れておりました。

 媒質中の電磁気と一緒に相対論的量子力学を中古で入手できたのは幸運でした。

 光子には座標の概念が無いというのは僕には全く驚きでした。

 大貫先生の本はまだ読んだことがありません。

 ちょっと該当箇所を読んでみようと思います。

 よろしければまたご訪問ください。
      

                         fk 2009/10/26(月) 午後 6:52

(コメント3)

>光子には座標の概念が無いというのは僕には全く驚きでした。

 おそらく光子が1個と個数確定では位相の不確定さが無限大というのと同じく,光子は常に運動量が確定した存在であってそれゆえ位置座標は常に不確定さが無限大ということでしょうか。。。

                  TOSHI 2009/10/26(月) 午後 7:27

(コメント4)

 光子の座標の不確定さが無限大ということはないのではないでしょうか。

 というのも、これもランダウ本の第1節の記述ですが不確定性関係が⊿q ~ ℏ/pなので,ドブロイ波長よりも短いスケールにおいてのみ光子の座標に意味がなくなるということだと思います。

 そうでなければレーザー光線が観測されないことになると思います。

                          fk 2009/10/26(月) 午後 8:15

(コメント5)

 どもTOSHIです。

>⊿q ~ ℏ/pなので、ドブロイ波長よりも短いスケールにおいてのみ光子の座標に意味がなくなるということだと思います。

 ド・ブロイ波長というなら,むしろ⊿q ~ ℏ/Δp ~ ℏ/(mc) において光の質量mはゼロなので,これは正に⊿q ~∞ を意味します。

 通常のシュレーディンガーの波動力学やディラックの相対論的量子力学での波動関数というのは1粒子の確率波を示す関数です。

 光の場合の電磁場を第二量子化した個々の調和振動子を光子という粒子と捉え,それを対象として1粒子量子力学を考えたとしたら,光子の運動方程式は常に質量がゼロで光速cで走る自由粒子の方程式=(m=0のKlein-Gordon方程式)=(Maxwellの波動方程式)です。


 光を1光子ごとに分解すれば,それは単色=エネルギーが確定:E=hν=ℏωで,運動量も大きさがp=hk=E/c=hν/cの確定したベクトル量を取り無限に広がった平面波てしか有り得ません。

 そこで確かに位置の不確定さは⊿q ~∞でいいと思います。。

 ただし,スピンが1/2のニュートリノ(実は質量ゼロではないかも知れない)は普通のDirac粒子として波動関数が定義できます。

 そこで,波動関数を場の演算子とみなして第二量子化して位置演算子をも定義可能です。

 ですから,位置演算子が定義できないのは単に質量がゼロで光速cで走る粒子であるというのが理由ではないでしょう。

 位置が定まらないという理由にとっては,やはりランダウに書かれているように光や重力子のようなゲージ粒子のスピンが整数であることが本質的なのでしょうね


>そうでなければレーザー光線が観測されないことになると思います。

 レーザー光線というのは,量子論で位相φと個数nの不確定性関係の可能な限界までΔφを小さくして位相を揃えたコヒーレントな光子の集まりです。

 これは,そもそも運動量が確定:Δp=0 の単色光ではなく,運動量のゆらぎ:Δpがゼロに近い波束状態です。

 位相が揃うということは個数確定では有り得ないので,レーザーで光子たちが狭い領域に局在しても,前の個々の平面波で位置が完全に不確定というのと矛盾はないと思います。

                        TOSHI 2009/10/27(火) 午前 6:10 

(コメント6)

 クラインゴルドンの質量を0に持って行けばマクスウェル方程式と同じになりますね。あんまり考えたことがありませんでした。

 レーザーについてはその通りですね。
記事でのファインのやり取りは幾何光学の話に変えた方がいいですね。

 最後に、TOSHIさんは光子に対して⊿q ~ ℏ/⊿p ~ ℏ/mcの式を使っていますが、この式は静止している粒子についてのもので静止系が存在しない光子に対してそのままの形で適用してもいいのかどうかわかりません。

 しかし,たしかにTOSHIさんの仰るように光子のエネルギーと運動量は確定していますよね。

 あのランダウの式でちょっと変だと思うのが運動量のところが測定値の揺らぎでなく実際の確定している運動量で置き換えているところです。

 幾何光学との整合性がとれなくなるから仕方なく⊿pをpで書いているのでしょうか。

                          fk 2009/10/27(火) 午後 6:28

 (Yahooブログからの記事転載終了)※

 ここからは新しい内容です。

 実は旧ニフティ「物理フォーラム」時代にも「光子ってなんですか」というツリーで似たような議論がありました。スタッフとして私も関係しています。 http://sci.la.coocan.jp/fphys/log/quantum/104.html

 特に,「若林さん」=現在は「わかさん」のコメントは興味深い内容です。

 Re:光子ってなんですか?((117) Re → 104)

 若林  2005年04月25日(月) 03時43分

 こっちには書かないつもりでしたが,判らない人同士の会話になっているように見えたので,一度だけ書きます。私も光子を媒介として電磁気力を表現する流儀の量子力学の勉強はほとんどしていない上,教科書は一万キロ以上離れたところに置き去りなので説明できません。

>1.光子とは物として実在する粒なのかどうか?
>それとも概念、考え方としての仮想的な粒なのか?という点です。


 光子は実在の粒子ですが,普通の日本語で言う粒子とは定義が違う”粒子”です。光子という概念が必要とされるようになった歴史的なきっかけは光電効果を説明するため,と言うのと,プランクが1900年に突然思いついた,黒体輻射の説明のためです。

 どちらが決定的なのかはよく知りませんが,どちらの説明にも,光子という概念が必要になります。具体的には,振動数νの光はエネルギーhνの塊としてしか周囲とエネルギーのやり取りができない,というものです。

 その後の研究の結果として,最初は仮説だった”光は粒子性を持つ”というのが疑いの余地が無くなっていき,今は光子が実在の物とされています。

 で,ここでいう,日本語と違う意味の”粒子”とは何かを説明します。

 光子は光ですから,振動数νと波数ベクトルkを持ちます。νとkの大きさの間にはもちろん光速cを使って関係があります。これだけです。他の属性はありません。

 つまり,無限に広がった平面波というのが一つの光子の実空間での形です。それが何を意味するかというと,場所がまるで決まらないという事を意味します。これを運動量空間で書くと点になります。

 納得しないかもしれないので念を押します。

 hνがエネルギーでhkが運動量ですから光子は運動量とエネルギーがちゃんと決まっている事になります。不確定性はご存じでしょう。運動量が決まると言うことは位置が決まらないと言うことです。

 (これは全然説明になっていません。むしろ先に書いた方が具体的説明になっています。ただし読み物で物理を眺めた人になじみがある言葉なのはきっとこちらでしょう。どちらで納得しても,私の知ったことではありません)

 上記は数学的に正しく取り扱うとどうなる,というような意味合いの事を書いています。

 ちなみに実際には波長に比べて何桁か大きく空間的に広がっていればほとんど平面波として近似できてしまうので,日常生活ではそんなに悩まなくても良いです。

 悩みたければ止めませんが,私はそんな細かいところに興味はないので助言しません。

 以上,本物の光子についての説明です。電磁気力の説明に出てくる”仮想光子”というのは量子力学の知識のない人に説明するのが困難でして,私にはそこまでかみ砕いた説明をする能力がありません。

                              (引用終わり)

 ほとんど引用だけで記事を構成するというズボラな手抜きが明らかな記事になってしまいました。テーマについての興味が共通だったのと,これ以上付け加える必要を感じなかったので,当面の論議ではこれで十分と思います。

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2009年10月23日 (金)

過去のやさしい科学記事

 このブログの最近の科学記事は結構細かい計算が多く,話題もややマニアックてすがかつては比較的やさしくて取っ付きやすいと思われる入門的な話題も取り上げていました。

 今日は,私自身の休憩(息抜き)とバックナンバーの宣伝を兼ねて過去の記事を2つ再掲します。

 まず,2006年8/16の「台風の進路(コリオリの力) 」です。

※(再掲開始)

 そろそろ台風が頻発する季節になりました。

 今日は,北半球では赤道付近で発生し,海域から多量の水分やエネルギーを吸収しながら発達して北上する台風が,なぜ右(東)の方に進路を変えていくのか?そして,なぜ上空から見て左巻き(反時計回り)の風が吹くのかという,ごくありふれた疑問について解説してみます。

 例として,ちょっと古いけど左回転しているLPレコードがあり,その上に"一寸法師"よりも小さい小人が乗っているという仮想的な状況を考えてみます。(左回転は仮定であって実際のLPレコードは裏から見ない限り右回転(時計回り)です。)

 レコードの中心は地球の北極に相当し,レコードの最大半径の部分は地球の赤道に相当します。 

 まず,レコードの回転している"最大半径=赤道"の上にいる小人が"レコードの中心=北極"めがけて真っ直ぐに小石を投げたとします。

 本人は真っ直ぐ中心に向かって投げたつもりでも,小石が手を離れた瞬間には慣性によって小石はレコードの回転スピードと同じ速度で右に向かう接線速度を持ちますから,実はそれは中心の方向に向かって真っ直ぐに飛ぶのではなくて,次第に右の方に逸れていくということになりますね。

 ↑ここで右というのは,小石を投げた小人にとっての右です。(わかっているとは思いますが念のため))

 次に逆に"中心=北極"の上に小人がいて今度は"最大半径=赤道"めがけてやはり小石を投げたとします。

 今度は北極で小人は自転しているかもしれませんが,スピンの回転半径はゼロなので,その慣性による小石の左右方向への速度はゼロですから確かに"真っ直ぐ"進むはずです。

 ところが,レコードの上,つまり北半球の地球上にいる人は"左から右=西から東"に回転しています。その人から見ると"上=北"から真っ直ぐ飛んでくる小石は"下=南"から見て"左に左に(西に西に)"逸れていくように見えます。

 逆に"小石を投げた方=北"から見ると,見かけ上はやはり右の方に逸れていくわけですね。

 小石を台風だとみなし地球の自転の角速度をΩとすると Ωは"360度=2πラジアン(rad)"を24時間で回転する角速度です。

 地球の半径をRとし,緯度をθとすると,そこでの回転半径はRcosθですから,回転の接線速度はΩRcosθです。

 したがって"赤道"での接線速度は最大速度"ΩR=時速1667km=秒速463m"ですが,日本付近の緯度:θ=35度での接線速度は"ΩRcosθ=秒速379m"で,日本付近では回転速度は赤道より"約2割=秒速80m"くらい減少しています。

 したがって,赤道付近で発生した台風は地球のまさつにより"ΩR=時速1667km=秒速463m"の地球にひきずられて慣性による右向きの速度を持っていて,その右向き速度は北上しても全く変わらないものです。

 しかし,地球自身の回転速度は緯度が上がるにつれて次第に小さくなるものですから,日本付近では1秒間に80mくらいの割合で,右(東)へ右へと逸れていくことになります。

 先にLPレコードの例で述べたように仮に北極で台風が発生して南下したとしてもそれは右に逸れていきます。

 実は北半球ではどこから投げた石も見かけ上,右に逸れていくわけです。

 例えばスナイパー:ゴルゴ13が1km遠方の標的を狙って狙撃しても,弾丸は僅かに右に逸れていくのでそれを勘定に入れて狙う必要があるわけです。

 もしも南半球なら逆に左に逸れるわけですね。

 こうした北半球で右にそれる現象は結局,遠心力などと同じく"見かけの力=慣性力"が働いていると考えることができて,それを発見者の名前にちなんでコリオリ(Coriolis)の力と言います。

 そして北半球での台風を考えると,台風ですから"中心=目の部分"の気圧が最低でまわりの気圧は目の部分のそれより高いわけです。

 風はどのように吹くか,というと水が高いところから低いところへと流れるように,風も気圧の高いところから低いところ目指してその気圧のスロープに沿って吹いていくわけです。

 もしもコリオリの力がなければ,風は"外周部から中心に向かって一直線に進む=落下していく"はずなのですが,コリオリの力によって気圧のスロープも右にねじれてしまっています。

 それ故,風は外周部から中心に向かっていくときに,右にフックして逸れていきながら,最後は中心の気圧最低の目に向かっていくことになり,そのために左巻き(反時計回り)になるのです。

 南半球での台風は逆に右巻き(時計回り)ですね。

 どこかの"バカな大学教授"は,風呂の水が排水口へと流れていき排水されるときに,北半球では左巻き(反時計回り)ですが,赤道を越えて南半球に入ったとたんに右巻き(時計回り)に変わる,などと主張したと聞きましたが,それは誤りですね。

 風呂の水程度の規模では地球自転の影響などは出てきません。

 たまたま排水口付近で左巻きの角運動量を持っていたら左巻きになり,逆なら右巻きになるというだけで,それはカオス現象,つまり偶然の産物でしかありません。

 しかし台風くらいの規模になると地球の自転がもろに効いてきます。

 遠心力の加速度は緯度θでΩ2Rcosθですから,最大でも重力の加速度の0.3%程度です。

 北極で体重100kg重の人が赤道で体重を測っても300g重くらいしか軽くはなりません。一方,コリオリの力の加速度は台風の北上の速度をvとして2Ωsinθ×vです。

 Ω=7,2×10-5/sですから,緯度θが35度で台風の北上速度が100mを10秒で走る程度の時速36km程度なら,加速度a=8.3×10-4m/s2であり,重力g=9.8m/s2の約0.01%程度です。

 そこで,コリオリの力の加速度は最大で重力加速度の0.3%程度しかない遠心力のさらに1/30程度にすぎませんが,台風程度の規模だとそれがかなり効いてきます。

 地球自転の証拠であるとされるフーコー(Foucault)の振り子をこのコリオリ力で説明することもできます。

 ニュートン(Isac Newton)は"慣性系の同等性=ガリレイの相対性原理"は認めても"回転系を含む非慣性系の同等性=マッハ(Mach)原理 → 一般相対性原理"を認めることをあきらめました。

 そして,彼が"絶対座標系=絶対空間"に固執せざるを得なかったのも,こうした"遠心力やコリオリ力の絶対性"を解消する道はない,という考えからだったという話もあります。

 こうした"見かけの力=慣性力"の扱いはとても悩ましいところがあります。

 (再掲終了)※

 そして,前後しますが2006年7/15の「一筆書き(トポロジー入門) 」があります。

※(再び,再掲開始)

 昔,ケーニヒベルクの橋(Königsberg bridge=seven bridge)という数学の問題がありました。

 「大きな河が流れていて,その中に中州のような島が一つあり,そこから少し下流で2本の河に枝分かれして,その間は陸地になっている。

 その島には両岸から2つずつと,枝分かれした2本の河の間の陸地から1つの合計5つの橋がかかっており,分かれた2本の河にもそれぞれ陸地と岸との間に1つずつ橋があって,合計7つの橋がかかっている。

 この7つの橋をちょうど一回ずつわたる道筋があるのかどうだろうか?」という問題でした。(下図)

           

 これはスイスのオイラー(Euler)によってはじめて解かれた問題で,これがトポロジー(位相幾何学)という幾何学の始まりであるとされています。

 まあ,「平たく言えばある図形について一筆書きができるかどうか?」という問題です。

 一般に連結した図形,つまりどこかで必ず線でつながっていてところどころ交差した頂点になっているような図形についてのこうした問題はオイラーによって既に結論が出されています。

 こうした図形のどの頂点にも必ず,それにつながった線が何本かあるわけですが,対象としている図形が一筆書きできるのなら,着目した頂点が出発点でも終点でもない場合は,それに"つながっている線=連結線"の数は必ず偶数になるはずです。こうした頂点を偶頂点と呼びます。

 というのは,一筆書きの途中の頂点では必ず,入ってくる線と出て行く線とがあって,それぞれ1回ずつしか通れないわけですから,それらは同じ本数だけ無ければならないので,その頂点につながっている連結線の合計本数は偶数になるしかないからです。

 しかし,出発点と終点では,それらがもし同じ頂点でないなら,必ず入ってくる線か出て行く線かのどちらかが他方より1本多いわけですから,その頂点につながっている連結線の合計本数は奇数になります。これは奇頂点といいます。

 ところで,出発点,または終点であるような頂点は2つあるか,またはそれらが一致する場合,つまり1つだけあるかのどちらかです。

 もしも,1つだけしかない("出発点=終点"の)場合には,その頂点でも入ってくる線と出て行く線の数は同じですから,つながっている連結線の本数は偶数となり,このときは連結線の本数が奇数の頂点は全く無いことになります。

 というわけで,一筆書きができるかどうかは,「連結線の本数が奇数である頂点=奇頂点」の個数がゼロであるか,2であるかのいずれかである。ということになります。

 今得られたことは,上の条件が一筆書きができるための必要条件であること(つまり"一筆書きができるなら必ずこの条件が満足されなければならないこと”)の証明ですが,これが十分条件であること(=”図形がこの条件を満足するならそれは常に一筆書き可能であること")もほぼ自明です。

 これで,ケーニヒスベルクの橋の場合は奇頂点が4つ,偶頂点がゼロなので一筆書きできないということがわかりました。

 これはオイラーがはじめて証明したことです。(下右図はケーニヒスベルクの橋を模式図にしたものです。)

                         

 これから,オイラー数の公式などに始まるトポロジーという幾何学が生まれ,これはフランスのポアンカレ(Poincare')などによって発展させられていきました。

 最近のトポロジー関連の話題としては,解決した?というニュースもあったと思うのですが,そうなのかどうかはっきりしない有名な「ポアンカレ予想(Poincare' conjecture)」という問題が未解決な問題として残っています。

 ポアンカレ予想とは「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。」というものです。

 多様体というのは通常の我々のユークリッド世界の点,曲線,曲面,立体とかいうものを一般次元でかつ非ユークリッドなものにも拡張したものの総称です。もちろん,我々の目に見える形有る物も全て多様体の一種です。

 同相あるいは同位相というのは,"一方から他方へとある連続写像でお互いに完全に1対1に重なって移すことが可能である",という意味で,合同という概念とは異なって形や大きさにはこだわらないという特殊な幾何学的概念です。

 単連結とは言ってみれば穴が開いてないという意味です。また閉多様体であるとは,いわゆる閉曲面のように閉じているという意味です。

 我々の世界の球面は3次元空間の中に埋め込まれた2次元球面であり,3次元球面というのは4次元以上の「空間=多様体」の中に抽象概念として仮想したものです。

 我々の単連結な2次元閉曲面が普通の2次元球面と同相なのは一見して明らかなことなので,3次元だと何故むずかしいのかについては数学の専門家ではないのでよくわかりません。

参考文献:瀬山士郎 著「トポロジー(柔らかい幾何学)」(日本評論社)

PS:上では未解決と書いた「ポアンカレ予想」はロシアの数学者グレゴリー・ペレルマン(Grigory.Y.Perelman)氏によって2003年に提出されていた証明論文が2006年7月に査読を通過した,ということで解決されました。    

                                     (再掲終了)※

PS:昨日も学校で実習がありました。

 実習では,私は高齢者で要介護などの障がい者のモデルになることが多いのですが,そもそも介護というのは"その方たち=利用者"の気持ちを斟酌することが大切だと思いました。

 例えば右片マヒというのはどういう身体の状態なのか?ということなどを考え過ぎ,役に入り過ぎて本当に右足が動かないつもりになったりして介護役に迷惑をかけたかもしれません。

 おかげで,そうした役で右足と左足を間違えるなどということはありませんでしたが。。。。

 また,外での車椅子での逆に介護役の場合でも,介護相手役( C.I さんでした)の身体が心配で水道栓などデコボコを避けたり,車道側をどうしても保護したいというような気持ちが自然に起きました。。。

PS:先週末の土曜日には,インターネット以前の時代のパソコン通信ニフティサーブのフォーラム時代からの旧知で mixi でもマイミクである「みゅーみゅーさん」が,昨年末に移った関西(大阪)から新宿方面に来られたという情報が入りました。

 ついなつかしくて連絡してしまいましたが,強行日程らしいとのことでした。また後日での出会いを楽しみにしています。

  ← みゅーみゅーさんのホームページです。また,近いうちにOFFをやりたいですね。

 また,翌日曜日にはfolomyの物理フォーラムで私の顔がディラック(Dirac)に似ている?とか何故か褒めて頂いている「like-mjさん」と私の地元の巣鴨で待ち合わせて初めてお会いしました。

 folomyは旧ニフティから有志が一部引き継いでいるコミュニテイです。

 ハンドル「like-mj」の「mj」というのは「マイケル・ジャクソン(Michael  Jackson)」と「ミラ・ジョボビッチ」のイニシャルから取ったのだそうです。

 「ミラ・ジョボビッチ」の方は,所持しているDVDの「ジャンヌ・ダルク」の主役と「フィフス・エレメント」の第5番目のelementとして私も印象に残っています。

 そういえば,「like-mjさんの」プロフィールにそのように書いてあったのを失念していました。

 彼はfolomyでの書き込みから予想したよりもお若い方でしたが,当日は楽しい時間を過ごさせていただきました。1週間遅れですが,色々とありがとうございました。

 ちなみに,私のこのブログのURLの「maldoror-ducasee」は,シュールレアリズムの祖とも言われているロートレアモン伯爵の詩集「マルドロールの歌」と本名の「イジドール・デュカス」から取ったのは皆さんご存知ですよね。

(2006年9/2の「 ロートレアモンとサド 」 ,2007年12/12の「 ロートレアモンとサド(その2) 」参照)

(本当に大切なものは物理とか数学とかじゃなくて,もっと血の通った暖かいものだということが,もうほとんど先に望みのない今になってやっとわかったのかも知れない。) 

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2009年10月20日 (火)

光(電磁波)の散乱(2)

最終的には温室効果の定量的評価を与えることを目的とした光

(電磁波)の散乱の評価の続きです。

 

前回,定義を与えた散乱断面積を散乱による波の位相のずれ

(phase-shift)によって表現するため,波の r→ ∞ での境界条件

を考えます。

 

まず,平面波:ψin()=exp(ikz)=exp(ikrcosθ)の

Raileighの公式による表現を再掲します。

すなわち,exp(ikz)=Σl=0(2l+1)iljl(kr)Pl(cosθ)

です。

 

この式の右辺で,r→ ∞の場合を考えてjl(kr)の漸近形:

jl(kr)→sin(kr-lπ/2)/(kr)を代入すると,

 

exp(ikrcosθ)

→Σl=0{il(2l+1)/(kr)}sin(kr-lπ/2)Pl(cosθ)

=Σl=0{(2l+1)/(2ikr)}{exp(kr)-(-1)lexp(-ikr)}

l(cosθ)

 

と書けます。

 

また,散乱振幅f(θ)をLegendre多項式の完全系:{Pl(cosθ)}

展開したものを,

f(θ)=Σl=0{(2l+1)al/(2ik)}Pl(cosθ)

と書いておきます。

 

ここで,f(θ)が未知量なので,全ての係数alも未知量です。

 

これらを,ψ()→ψin()+ψsc()

=exp(ikz)+f(θ)exp(ikr)/r に代入すると,

 

ψ()→Σl=0{(2l+1)/(2ikr)}

{(1+al)exp(ikr)-(-1)lexp(-ikr)}Pl(cosθ)

となります。

 

一方,σ(θ)=|f(θ)|2

=k-2l=0{(2l+1)al/2}Pl(cosθ)|2です。

 

そこで,σ≡∫σ(θ)dΩ=2π∫-11σ(θ)d(cosθ)

=(2π/k2)[Σl,l'=0{(2l+1)(2l'+1)all'*/4}

×∫-11l(cosθ)Pl'(cosθ)d(cosθ)]

=(π/k2l=0(2l+1)|al|2 となります。

 

ここで,積分公式:

-11l(x)Pl'(x)dx={2/(2l+1)}δll'

を用いました。

 

f(θ)=Σl=0{(2l+1)al/(2ik)}Pl(cosθ)なる表現式

より,前方散乱(散乱角θ=0)の振幅:f(0)は,

 

f(0)=Σl=0{(2l+1)al/(2ik)} と書けますから,

2iImf(0)=f(0)-f*(0)

=Σl=0{(2l+1)(al+al*)/(2ik)} です。

 

一方,r→ ∞での漸近形:

ψ()→Σl=0{(2l+1)/(2ikr)}

{(1+al)exp(ikr)-(-1)lexp(-ikr)}Pl(cosθ)に

戻ると,exp(ikr)/rの係数(1+al)は外向き球面波:

exp(-ikr)/rの振幅を,(-1)l+1は内向き球面波の振幅を

示していると見えます。

 

この定常状態の描像で,"光=電磁波"が散乱体に全く吸収されず

保存される弾性散乱(elastic scattering)なら,各lについて外

向き波と内向き波の振幅の絶対値は等しくなければなりません。

 

すなわち,|1+al|=1なることが要求されますから,

1+al+al+all=1,あるいはal+al+|al|2=0

です。

 

そこで,これと表現:

Imf(0)=-Σl=0{(2l+1)(al+al*)/(4k)},

σ≡∫σ(θ)dΩ=(π/k2l=0(2l+1)|al|2より,

σ≡∫σ(θ)dΩ=(4π/k)Imf(0)

なる等式が得られます。

 

これを光学定理(optical theorem)といいます。

 

このような弾性散乱では,|1+al|=1なので,

1+al≡exp(2iδl)として,lごとに実数δlを定義

すれば,1+al=exp(-2iδl),

|al|2=all*=2{1-cos(2δl)}=4sin2δl です。

 

故に,全断面積σはσ=(4π/k2)Σ(2l+1)sin2δl

と書けます。

 

δl0 ならal=0 の散乱されない平面波だけしか存在しない

ので,このδlを散乱による位相のずれと呼びます。

 

このように定式化すれば,散乱の問題は全ての部分波l

に対して,位相のずれδlを求める問題に帰着するわけです。

 

δlを位相のずれと呼ぶのには,別の理由もあります。

  

すなわち,1+al=exp(2iδl),(-1)l=exp(ilπ)を,

ψ()→Σl=0{(2l+1)/(2ikr)}{(1+al)exp(ikr)

-(-1)lexp(-ikr)}Pl(cosθ) に代入したときには,

 

ψ()→Σl=0{(2l+1)/(kr)}exp(iδl)exp(ilπ/2)

sin(kr-lπ/2+δl)Pl(cosθ) となります。

 

これを,入射平面波のr→ ∞での漸近形の表式:

exp(ikrcosθ)

→Σl=0{il(2l+1)/(kr)}sin(kr-lπ/2)

l(cosθ)と比較すると,

 

散乱波ψ()=ψ(r,θ)の漸近形では正弦関数の位相が

δlだけずれているからです。

 

では,位相のずれδlを個々の散乱に対して具体的に決める

には,どうすればいいのでしょうか?

 

まず,r→∞での漸近形:

jl(kr)→sin(kr-lπ/2)/(kr),

l(x)→-cos(kr-lπ/2)/(kr) によって,

 

正確な波:

ψ(r,θ)=Σl=0[Aljl(kr)+Bll(kr)]Pl(cosθ)

の漸近形は,

 

ψ(r,θ)

Σl=0[Alsin(kr-lπ/2)-Blcos(kr-lπ/2)]

l(cosθ)/(kr) と書けます。

 

これと,

ψ(r,θ)→Σl=0{(2l+1)/(2ikr)}exp(iδl)

sin(kr-lπ/2+δl)Pl(cosθ)

=Σl=0{(2l+1)/(kr)}exp(iδl)il

[cosδlsin(kr-lπ/2)+sinδlcos(kr-lπ/2)

を比較すると,

 

l=(2l+1)ilexp(iδl)cosδl,

l=-(2l+1)ilexp(iδl)sinδl

なることがわかります。

 

そこで,一般解はψ(r,θ)

=Σl=0[(2l+1)ilexp(iδl)cosδl{jl(kr)-tanδll(kr)}

l(cosθ)] と書けることがわかりました。

 

δlは散乱体の表面で波動を示すψ(r,θ)が満たすべき境界条件

によって決まるはずです。

 

具体的な例として,半径がaの完全導体(電気抵抗がゼロ)の球による

電磁波の散乱問題を取り上げます。

 

完全導体球の表面上で入射平面波と散乱波を重ね合わせた全電磁波

nB=0,tE=0なる条件を満たす必要があります。

 

ただしは表面の法線単位ベクトル,は接線単位ベクトルです。

 

これは,次のような理由から得られる条件です。

 

つまり,境界面の内側の導体部分を領域1,外側の真空中を領域2

として,境界面を含む微小な薄い直方体の中で,方程式:∇=0を

体積積分することから,(21)=0 を得ます。

 

一方,方程式∇×=-∂/∂tを境界面上の長さΔrの辺から

成る小平面ΔS=ΔrΔhにおいて表面積分して得られる

(21)Δr=-(∂/∂t)ΔrΔhで,Δh→0の極限を

取ることから,(21)=0 を得ます。

 

そして,導体内部の電場1はゼロですから(21)=0 により,

tE2=0 を得ます。

 

導体内部では電場1がゼロになるのとほぼ同じ理由で磁場の強さ:

1もゼロですから磁束密度1もゼロです。

 

これと(21)=0 によってnB2=0を得ます。

 

そこで得られた2つの条件式:nB2=0,tE2=0 から添字2を

除くとnB=0,tE=0 になるわけです。

 

しかし,ここではこうした条件の代わりに,単に球面境界

r=aの上で,ψ(a,θ)=0 なる条件を採用することに

します。

 

これは電磁波の成分という意味では不正確ですが,位相のずれ

説明するための例として代用します。

 

それ故,境界条件は,

ψ(a,θ)=Σl=0[(2l+1)ilexp(iδl)cosδl

{jl(ka)-tanδll(ka)}Pl(cosθ)]=0です。

 

これから,tanδl=jl(ka)/nl(ka)

が要求されます。

 

これを代入し返して,全波動を示す関数として,

ψ(r,θ)=Σl=0[(2l+1)ilexp(iδl)cosδl

{jl(kr)-jl(ka)/nl(kr)/nl(ka)}Pl(cosθ)]

が決まりました。

 

そして,tanδl=jl(ka)/nl(ka)から決まるδlを,

σ=(4π/k2)Σ(2l+1)sin2δlに代入すれば,

散乱の全断面積;σ≡∫σ(θ)dΩが得られるわけです。

 

電磁波の波長をλとすると,k=2π/λなので,波長λが

散乱球の半径aよりも十分に大きいとき:λ>>aなら

ka<<1です。

 

そこで,例えば10/11の記事「空気分子の大きさ」で書いた

半径:a=d/2が 0.2~0.4μm程度の空気分子によって散乱

される波長がλ=100~1000μmの可視光を想定するなら,

 

tanδl=jl(ka)/nl(ka)

~ -(ka)2l+1/[(2l+1){(2l-1)!!}2] です。

 

実際の正しい境界条件からは,l=0 のS波は完全に消えます。

  

そこで最も大きい寄与はl=1のP波の項からきます。

 

したがって,こうした波では,δl ∝ (ka)3 です。

 

(※ 正しい境界条件はr=aで

r=Bxsinθcosφ+Bysinθsinφ+Bzcosθ=0,かつ

θ=Excosθcosφ+Eycosθsinφ-Ezsinθ=0,

φ=-Exsinφ+Eycosφ=0  です。

 

また,散乱体の球はもちろん軸対称ですが,正しい散乱波の関数形

必ずしも,φに依存しないψ(r,θ)ではなく,より一般の形:

ψ(r,θ,φ)になります。

 

詳細については次の記事で書きます。※)

 

そこで,σ=(4π/k2)Σ(2l+1)sin2δl∝k46 ∝ a64

と評価されます。

 

このような散乱をRayleigh散乱と呼びます。

 

これは晴れた空が青く見える主要な理由を与えます。

 

また,ka~1,つまりλ~aのような散乱をMie散乱,または

エアロゾル(aerosol)散乱と呼びます。

 

これは雲の水滴による光の散乱に対応しています。

 

これは雲や曇りの空の色を説明します。

 

一方,ka>>1,つまりλ<<aのような散乱はaを原子半径

とする結晶内の束縛電子によるX線散乱があります。

 

これは,Thomson散乱ですが正しい考察は古典論でなく量子論で

なされるべきです。

 

束縛電子でなく自由電子による散乱ならCompton散乱ですね。

 

今日はここまでにします。

 

参考文献:砂川重信著「理論電磁気学」第2版(紀伊国屋書店

  

PS:さて,通学中のヘルパースクールでは10/21の授業から実習

 入ります。

 

 私自身は高齢者の介護の経験はありません。

 

 私はずっと縁がなくて,おカマではないけど故郷を出てから

40年余り一人暮らしです。

 

 私の母は故郷の岡山県倉敷市にいて11月には89歳になる予定

ですが,まだ,介護の必要はないようです。

 

 しかし,"知り合い=将棋友達や飲み友達"には生来の小児麻痺

など 障がい者も数人いて,中には下肢が不自由な人もいて車椅子

からトイ レへの移乗,そして用を足した後には逆の移乗に手を

貸す程度なら私も既に数え切れないくらいやったことがあります。

 

 むしろ,旅行などでは,彼らの足を使わない運転で移動したこと

も多々あります。

 

 2年前の心筋梗塞が2回あった頃の心臓手術前後のわずかな

入院期 間だけですが,私自身が車椅子で移動したり,上半身が

ままならなくて電動ベッドに頼って起きたり寝たりしたことも

あって,立ち上がるだけとか,ほんの1mくらいの移動でさえ

辛いということも少しは理解できるつもりです。

 

 しかし,無関係の他人の介護は初めてなので,虚心坦懐に実習

を受けたいと思います。

 

 ある意味,座学の講義よりも実習を受けることが主目的ですから。。

 

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2009年10月17日 (土)

パクリ,ごめん。。。天才ドラマーか?

 あまりにも面白いので,将棋関係のマイミクのグラフィックデザイナー?「とだっち」さんの2008年7月の日記からパクリました。

注意:クリックすると音と映像が出ます。YouTube動画です。  

 うーん。。天才ドラマーか?。。。

PS:日記らしく近況も書いておきます。最近は介護関係の資格を取るための学校に通っています。

 大人しく授業を受けていればタナボタ的に資格をもらえるらしいのですが,性格でしょうか?波風の立たないところにワザワザ波風を立てたりしようとして周りの真面目な方々に嫌われる可能性も模索しています。

 いえ,決して私が不真面目だというわけではなく本音を語っているだけです。キレイゴトを言ってもこの資格を取るのは,ほとんどの理由はおマンマの種を得るためです。

 現在の,ただ寝て起きて飯を食べるという動物的日常がせいいっぱいの収入状況から,このブログ書きも含めお金にはならない自分の実存(生きがい仕事)ではなくて,社会的に少しでも人様のお役に立てる仕事をし,しかもそれで得た収入で,お世話になってきた方々に恩返ししたいというキレイゴトの思いも確かにありますから。。。

 それにしても,2回も同じ1回目の授業をスッポカして代替を受けることになり,周りの方から社会人として失格だとか,何を言っても言い訳云々というお叱りを受けました。

 時間にルーズなことが許されない職業に付く研修を受けるための学校なのでその通りなのでしょうが,一応ここでもう一度言い訳をします。

 しつけの教育をも含む義務教育や,公立学校のように全部または一部を税金など公共料金で賄って教えてもらえる学校以外では,"あちら=講義をする側"ではなく,私を含む講義を受ける学生,生徒の方が顧客であるという思いが無意識のうちにあったために,ついワガママが出たと思います。

 もちろん,私の行為が同じ"顧客=生徒"の皆様にも迷惑かけてる部分があれば,それについては素直に謝罪します。

 昨日の講義で守秘義務という話が出ました。

 オシャベリな私には耳の痛い話ですが,現場でのTPOによっては利用者様の命が優先であるということで,緊急と認めた際には自分の意思でコレを破ってもいいというある意味で当たり前のような話題も出ました。

 不謹慎なのですが,コレを聞いてすぐに"これをテーマに1時間か2時間ドラマができるな"などと考えてしまいました。

 仕事ではあっても,対象としている利用者の生命に関わることで,この守秘義務のような法律を破って,後々断罪され投獄されるような事態になっても,頑として自分の意思を貫く覚悟はあるのか?とかで波風が立つかなと夢想しましたがやめておきました。

 私など,何の苦労も知らず単に頭でっかちなダケの輩が軽々しく言うベキことではないでしょうが,高齢者の介護には「尊厳死=安楽死」のような微妙な問題もあるようです。

 最近の刑事モノのドラマにもあるように,人間の生死に関わるような状況では彼の家宅侵入のような直接,命には関わらない状況での多少の法律は破ってもいいとかの話があります。

 実は後で,その行為が全くピントはずれで逆に法律違反を問われて免職を要求されるというリスクもあるのですが。。。

 まあ,プライオリティ(重要さの順序)なのでしょうね。自分にとって何を優先させるのかということ。。自分の意図で何かを優先させたことに後で責任を取るのは覚悟の上でやるということです。

 まあ,しかしそんなある意味カッコイイ状況を考えるより,目先の相手のオムツ交換のような一般にはイヤがられる仕事を,いかに安全にしかも自分にとって楽しくやるか?ということの方が自分にとっては重要なことなのでしょうが。。。

 なぜか,飲み屋でもドコでも何の腹蔵も意図,脈絡もなくその都度自分の"思ったこと=恐らく本音"をしゃべっているうちに,誤解?されて嫌われているかのような印象を持っています。(単なる被害妄想?)

 まあ,ボーッと過ごすよりも,むしろ波風の種を巻いてかき混ぜることが好きな性分なので,自分としてはいいとしましょう。

 ただ,暇人の道楽で周りの人々には迷惑なコトだろうと自覚していますが。。。(人生高々100年余り。。)

 学校でも,隣の席の中国から帰化したらしい女性から,授業3日目くらいに「きっと何をやっても楽しくて楽しくてしょうがないのでしょうね?」と間単に見破られてしまいました。

(クラスは男7名,女20名です。常識的なモラルを持ち合わせていないので既にイツモのように「裸の王様」になっているかもしれません。昔から上司が何故怒っているのかを最後まで理解できないような部下でしたね。

 しかし,「袖摺りあうのも他生の縁」,自分が嫌われているにしても浮いているにしても,イツモのように近くにいるというだけで皆が好きになってしまったので,このクラスに爆弾が降ってきそうになったら,及ばずながら皆の盾になって爆弾をキャッチするぞ。← フン,言うだけならタダだ。。)

 ある飲み屋では,オバマさんがちょっと演説して貰ったせいか,「おまえも早くノーベル賞を取れ。。」という冗談!。。バカこくなよ。。こんな効率の悪い金儲け方法はないんだぞ。。。

PS2:劇団「銅鑼」 のトモちゃんも今さらながらプロフィール写真見ると少しは年食ってるけどなつかしいなあ。。。

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2009年10月16日 (金)

光(電磁波)の散乱(1)

 太陽から地球に降り注ぐ"光=電磁波"が,大気中の空気分子

雲の水滴などによって散乱され,その光の一部が反射されて宇宙

引き返す現象を評価することを目的として,電磁波の散乱を

古典的に解析してみます。

 

 電磁波が平面波として進行しているとき,その進行方向に

障害物を置いたとします。

 

このとき,平面波はこの障害物によって散乱されるはずです。

こうした散乱に定量的な評価を与えることを考えます。

 

この種の問題は,近代物理学において重要な意味を持っています。

 

まず,真空中の電磁波の示す電場ベクトルと磁場ベクトル

6つの成分のうちの1つを取って,それをΦ(,t)と書くこと

にします。

 

これは,"障害物=散乱体"の外部では,"波動方程式

=d'Alembert方程式":(△-∂2/∂t2)Φ(,t)=0

を満たします。

 

ただし,cは真空中の光速を表わしています。

 

特に,Φ(,t)が定在波の場合:

つまり時間変動部分が角振動数ωが一定の波に変数分離される

Φ(,t)=exp(-iωt)ψ()なる形の波の場合には,

 

方程式:(△-∂2/∂t2)Φ(,t)=0 は,Helmholtzの方程式:

(△+ω2/c2)ψ()=0 に帰着します。

 

これは,tを含まず,の未知関数ψ()に対する偏微分方程式

です。

 

当面の課題は,結局のところは,konoHelmholtzの方程式を

電磁波の散乱問題に適した境界条件の下で解くことに帰着する

ので,その準備として,(△+ω2/c2)ψ()=0 の一般解を

求めておきます。

 

そのため,Helmholtz方程式:(△+ω2/c2)ψ()=0 の解ψ()を

ψ(r,θ,φ)として方程式を極座標表示で書くと,

 

[(1/r)(∂2/∂r2)r+{1/(r2sin2θ)}{∂/∂θ(sinθ∂/∂θ)}

+{1/(r2sin2θ)}∂2/∂φ2+k2]ψ(r,θ,φ)=0 となります。

 

ただし,k≡ω/cと定義しました。

 

散乱体(障害物)を原点(r=0)のまわりに置き,z軸方向を極軸

として,その方向に平面波が入射する問題を考えます。

 

 さらに散乱体はz軸のまわりに対称な形をしているとすれば,

ψは角度φには依存しませんから,ψ(r,θ,φ)をψ(r,θ)と

書くと,元のHelmholtz方程式は,

 

[(1/r)(∂2/∂r2)r+{1/(r2sin2θ)}{∂/∂θ(sinθ∂/∂θ)}

+k2]ψ(r,θ)=0 となります。

 

これの一般解は,ψ(r,θ)=Σl=0l(r)Pl(cosθ)なる級数で

与えられます。Pl(x)はl次のLegendre多項式です。

 

ただし,動径rの関数:Rl(r)は常微分方程式:

{d2/dr2+(2/r)d/dr+k2-l(l+1)/r2}Rl(r)=0

の解です。

 

さらに,Rl(r)≡r-1/2l(r)とおいて,これを上式に代入すると,

dRl/dr=r-1/2dul/dr-(1/2)r-3/2l,

2l/dr2=r-1/22l/dr2-r-3/2dul/dr+(3/4)r-5/2l

と書けます。

 

それ故,動径の表わす方程式は,

{d2/dr2+(1/r)d/dr+k2-(l+1/2)2/r2}ul(r)=0

となります。

 

得られた方程式は,(kr)を変数としパラメータνが(l+1/2)

Besselの微分方程式です。

 

そこで,その2つの独立な解の1組としてJl+1/2(kr)(Bessel関数),

およびNl+1/2(kr)(Neumann関数)を取ることができます。

 

ただし,Neumann関数はBessel関数を用いて,

n(x)≡{Jn(x)cos(nπ)-J-n(x)}/sin(nπ)

と表現される関数です。

 

さらに,Rl(r)≡r-1/2l(r)において,

l(r)=Jl+1/2(kr),およびul(r)=Nl+1/2(kr)

の場合を考え,改めて2種類の球面Bessel関数:

jl(x)≡{π/(2x)}1/2l+1/2(x),および

l(x)≡{π/(2x)}1/2l+1/2(x)

を定義します。

 

また,これらの1次結合の,

l(1)(x)≡{π/(2x)}1/2[Jl+1/2(x)+iNl+1/2(x)],

l(2)(x)≡{π/(2x)}1/2[Jl+1/2(x)-iNl+1/2(x)]

で定義される球面Hankel関数を考えます。

 

そして,これらは,

jl(x)=(-x)l{(1/x)d/dx}l(sinx/x),

l(x)=-(-x)l{(1/x)d/dx}l(cosx/x),

l(1)(x)=(-x)l{(1/x)d/dx}l{exp(ix)/x}

と表わされることがわかります。

 

すなわち,

j0(x)=sinx/x,j1(x)=sinx/x2-cosx/x,

j2(x)=(3/x3-1/x)sinx/x2-3cosx/x2,..,

 

0(x)=-cosx/x,n1(x)=-cosx/x2-sinx/x,

2(x)=-(3/x3-1/x)cosx/x2-3sinx/x2,.. 

etc.です。

 

よってx→ 0 のときには,

jl(x)→{xl/(2l+1)!!}[1-x2/{2(2l+1)}+..],

l(x)→(2l-1)!!/xl+1であり,

l(1)(x)→-i(2l-1)!!/xl+1,

l(2)(x)=→i(2l-1)!!/xl+1

となります。

 

ここに,(2l+1)!!≡(2l+1)(2l-1)(2l-3)..5・3・1,

(2l-1)!!≡(2l-1)(2l-31)(2l-5)..5・3・1です。

 

このことから,nl(x)はx→ 0 に対して発散する関数であること

がわかります。

 

一方,xが大きいところ,つまりx→ ∞での漸近形は,

jl(x)→sin(x-lπ/2)/x,nl(x)→-cos(x-lπ/2)/x,

l(1)(x)→(-i)l+1exp(ix)/x,hl(2)(x)→il+1exp(-ix)/x

となります。

 

そして,z軸のまわりで対称なHelmholtz方程式の一般解は,

ψ(r,θ)=Σl=0[Aljl(kr)+Bll(kr)]Pl(cosθ)

で与えられることがわかります。

 

ところで,Laplaceの方程式:Δχ(r,θ)=0 は,Helmholtz方程式:

(Δ+k2)ψ(r,θ)=0 で特にk2をゼロとしたものですから,解は

χ(r,θ)=Σl=0[All+,Bl-(l+1)]Pl(cosθ)

で与えられます。

 

逆にいえば,Laplaceの方程式の解:χ(r,θ)で,rlをjl(kr)

に,-(l+1)をnl(kr)に置き換えさえすれば,Helmholtz方程式

の解:ψ(r,θ)が得られます。

 

特に,z方向へ進む平面波:exp(ikz)=exp(ikrcosθ)に

ついては,Rayleighの公式と呼ばれる展開式:

exp(ikrcosθ)=Σl=0(2l+1)iljl(kr)Pl(cosθ)

が成立することが知られています。

 

念のため,これを証明しておきます。

 

(証明):平面波ψ(r,θ)=exp(ikz)=exp(ikrcosθ)は

明らかに Helmholtz方程式(Δ+k2)ψ(r,θ)=0 の1つの解

ですから, 

exp(ikrcosθ)=Σl=0[Aljl(kr)+Bll(kr)]Pl(cosθ)

なる形に展開可能です。

 

 しかも,左辺は原点r=0でexp(ikrcosθ)=1(有限)

ですから,r=0では,l≧0でnl(kr)→(2l-1)!!/(kr)l+1

=∞ より, 全てのBl(l=0,1,2,..)はゼロでなければ

なりません。

 

 よって,exp(ikrcosθ)=Σl=0ljl(kr)Pl(cosθ)

 と書けます。

 

 それ故,

 Σl=0(ikrcosθ)l/l!=Σl=0ljl(kr)Pl(cosθ)

 ですからr→ 0 では,

 Σl=0(ikrcosθ)l/l!→

 Σl=0[Al{(kr)l/(2l+1)!!}Pl(cosθ)と挙動します。

 

 また,Pl(x)={1/(2ll!)}(dl/dxl)(x2-1)lです。

 

 したがってPl(cosθ)における(cosθ)lの係数は,

 (2l)!/{2l(l!)2} です。

 

 よってl=0(ikrcosθ)l/l!

 ~Σl=0[Al{(kr)l/(2l+1)!!}Pl(cosθ)において,

 (cosθ)lの項を等置すると,

 

 (ikrcosθ)l/l!

 =(2l)!Al/{2l(l!)2(2l+1)!!}(krcosθ)l

 となります。

 

 これから,il=Al/(2l+1),すなわちAl=il(2l+1)

を得ます。  (証明終わり)

 

 さて,波動が散乱される現象を記述するには一般に2つの方法が

 考えられます。

 

 その1つは散乱体に向かって入射する波動を平面波の

重ね合わせの波束であるとして,その波束が散乱体に衝突して

散乱していく様子を時間的に追跡していく方法です。

 

 これに対して,もう1つの方法は,現象全体を見て,それを

1枚の写真に取って全体の様子を調べる方法です。

 

 このとき波動の流れが定常的なら,全体の様子はいつ写真

を取るか?という時間には関係しません。

 

 このような方法を定常的方法といいます。

 

ここでは,後者の方法を用いて散乱問題を取り扱うことに

します。

 

波が散乱されていく全体を示す定常波は散乱体がある原点

(r=0)近傍を除けば,方程式(Δ+k2)ψ()=0

を満たします。

 

そこで,軸対称な散乱体による散乱問題は,Helmholtz方程式

の一般解:ψ()=Σl=0[Aljl(kr)+Bll(kr)]Pl(cosθ)

で,それに適合した境界条件を満たす未定係数Al,Blを決める

問題に帰着します。

 

"z軸=極軸"の方向に平面波が入射したとして,それがr=0

にある散乱体によって散乱される様子を1枚の写真に取った

とします。

 

このときに見られる波動の全体は,散乱体から十分遠方では

入射平面波と外向き球面波の両方の重ね合わせから成って

います。

 

すなわち,r→ ∞での波動は,

ψ()→ exp(ikz)+f(θ)exp(ikr)/r

と表わされるはずです。

 

ここでf(θ)は散乱振幅(scattering amplitude),θは

散乱角(scattering angle)と呼ばれる量に相当します。

 

問題を解く前に,散乱を調べることによって知ることができる

物理量について知る必要があります。

 

まず,電磁場のエネルギーの流れ密度を表わす

ポインティングベクトル(Poynting vector)は,×

です。

 

は磁場の強さ(磁界)であり真空中では0です。

 

φをスカラーポテンシャル,をベクトルポテンシャルとすれば,

=-∇φ-∂/∂t,B=∇×と表現されますが,

 

真空中の電磁波なら電荷も電流もなく,特に

=-∇2φ-∂∇/∂t=0 なので

Coulombンゲージ:∇=0 を採用すれば,∇=-∇2φ=0

となります。

 

そこで,φ=定数であり特にφ=0 としてもかまいません。

 

それ故,だけを用いて=-∂/∂t,=∇×

と書きます。

 

今の場合,電磁波は角振動数ωが一定の定常波ですから

ベクトルポテンシャルは複素表示で,

(,t)i()exp(-iωt)と書けます。

 

ここでは,の空間部分が実数になるようにの振幅を

純虚数:i()に取っています。

 

(,t)=ω()exp(-iωt),

(,t)=ω{∇×()}exp(-iωt)

です。

 

実際の電場,磁場は実数であって,それぞれ,Re,Re

ですから,そのポインティングベクトルは,

 

=Re×ReRe×Re0

=(ω20){×(∇×)}cos2(ωt)で与えられます。

 

そこで,エネルギー流の実効値として時間平均を取れば,周期

T=2π/ωとして,

 

<cos2(ωt)>=(1/T)∫0Tcos2(ωt)=1/2なので,

>={ω2/(2μ0)}{×(∇×)}=(×*)/(2μ0)

です。

 

ただし,< >は時間平均を示す記号です。

 

そこで,一般に"エネルギー流束=(単位時間に単位面積を通過

する平均エネルギー)"は,<||>=<|×*|/(2μ0)>

で与えられます。

 

,考えている入射平面波:ψin()≡exp(ikz)は,

電場:(,t)=ω()exp(-iωt)の空間部分:ω()

を表わすものと考えます。

 

つまり,電場(,t)がx成分のみを持つように偏光している

として,x(,t)=ψin()exp(-iωt)とし,()は,

()=(ψin()/ω,0,0)で与えられるとします。

 

このとき,()=(exp(ikz)/ω,0,0)で,かつ

(,t)=ω{∇×()}exp(-iωt)によって,

磁場(,t)はy成分のみを持ち,

cBy(,t)=ψin()exp(-iωt)となります。

 

なぜなら,kω=cです。

 

そこで,散乱問題において単位時間に単位面積を通って入射

する電磁波のエネルギー流を特にinと書けば,

 

平均の単位面積を通る入射エネルギーの率は,

<|in|>=<|×*|/(2μ0)>={1/(2cμ0)}|ψin|2

=1/(2cμ0)です。

 

これに対して散乱波をψsc()≡f(θ)exp(ikr)/rと書き,

単位時間にθ方向の面積要素dSを通って散乱される電磁波

エネルギーをscdSと書けば,

 

<|sc|>dS={1/(2cμ0)}|ψsc|2dS

={1/(2cμ0)}|f(θ)12dS/r2

={1/(2cμ0)}|f(θ)|2dΩです。

 

ただし,dΩ=dθdφは散乱体の中心からdSを見た

立体角です。

 

そこで,単位時間に単位面積を通って単位エネルギーの

電磁波が入射したとき,立体角dΩに散乱されて出てくる

電磁波の単位時間当たりの平均エネルギーは,

 

σ(θ)dΩ≡<|sc|>/<|in|>dS=|f(θ)|2dΩ

で与えられます。

 

上の式の比例係数σ(θ)は面積の単位を持っているので

σ(θ)を散乱の微分断面積(differential cross-section)

と呼びます。

 

そして,σ≡∫σ(θ)dΩを散乱の全断面積

(total cross-section)といいます。

 

これは単位時間に単位面積を通って単位平均エネルギー

の電磁波が入射したときに,散乱されて出てくる単位時間

当たりの全平均エネルギーです。

 

全断面積は,直感的には散乱体の幾何学的断面積に相当

するものですが,入射波の波動性のためこれらは一般には

一致しません。

 

今日はここまでにします。

 

参考文献:砂川重信著「理論電磁気学」第2版(紀伊国屋書店)

 

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2009年10月11日 (日)

空気分子の大きさ(アインシュタインとブラウン運動)

 地球大気の温室効果について段階的に論じていこうと思います。

 

 まずは,私自身が"自己満足"して納得するため,2006年11/21の記事「地球の平均気温とステファン・ボルツマンの法則」において,温室効果を無視した地球平均気温(=約-18℃)という定量的評価のための材料とした「太陽からの輻射に対するアルベド(albedo:反射率)が30~31%であること」の理論的根拠などから論じてゆきます。

  

 今日は,まず太陽から地球に放射される光が地球表面で散乱され減衰することと関連して,大気圏での主要な散乱体である"主に窒素と酸素から構成された空気分子"の大きさを評価することから始めます。

 

 そのための方法として植物学者ブラウン(Brown)の「花粉の水中運動の永久性=ブラウン運動"の発見(1829)」に対する「アインシュタイン(Einstein)の解明(1905)」の話から始めようと思います。

 媒質中のブラウン粒子の運動を位置座標のx成分の軌道で代表させると,その運動方程式はu≡dx/dtとしてm(du/dt)=X(t)-u/μで与えられると考えられます。

ここにmは対象粒子の質量,X(t)は媒質からその粒子にかかる力のx成分,μは易動度と呼ばれる量で,u/μが媒質の速度に比例する摩擦力となるようなケースでの比例係数の逆数です。

 

m(du/dt)=X(t)-u/μの左辺がゼロの定常状態に達した場合ならu=μXですが,これが易動度という言葉の意味ですね。

流体力学のストークス(Stokes)の抵抗法則によれば,ブラウン粒子を半径aの球と仮定しηを媒質の粘性率とすると,この程度のレイノルズ数では 1/μ=6πηaと書けるはずです。

ストークスの法則の詳細は,2007年7/27の「遅い粘性流(1)(Stokes近似)」,および2007年7/28の記事「遅い粘性流(2)(Stokes近似)

そして,それに続く2007年7/31の記事「遅い粘性流(5)(Stokes近似)」を参照してください。

ブラウン運動の方程式:m(du/dt)=X(t)-u/μはランジュバン(Langevin)方程式:du/dt=-γu-R(t)/m (R(t)は"ゆらぎ=揺動",または雑音の影響を表わす量)と同じものです。

ランジュバン方程式については非平衡統計力学の線型応答理論に関連した2007年7/20の記事「揺動散逸定理 」を参照してください。

運動方程式:m(du/dt)=X(t)-u/μ (u=dx/dt)の両辺にx=x(t)を掛けてtについて0からtまで積分すると,左辺はm∫0t(xdu/dt)dt=m∫0t(xd2x/dt2)dt=[mxdx/dt]0t-m∫0t(dx/dt)2dtです。

 

一方,右辺は∫0tXxdt-(1/μ)∫0t(xdx/dt)dt=∫0tXxdt-(1/μ)∫0t[d/dt{x2/2}]dt=∫0tXxdt-(1/μ)[x2/2]0tとなります。

したがって,[mxu]0t-m∫0t2dt=∫0tXxdt-(1/μ)[x2/2]0tを得ます。

 

ところが,tが十分長ければ右辺第1項∫0tXxdtはX(t)が正負の全くランダムな値を取るために消えるはずです。

そして,統計力学のエネルギー等分配の法則により長時間平均の意味でm∫0t2dt=(t<mu2>)t→∞=kBTtとなります。ここにkBはボルツマン(Boltzmann)定数,Tは絶対温度です。

そこで,t→ ∞では[mxu]0t-kBTt=-(1/μ)[x2/2]0tです。それ故,大きいtで[mxu]0tが省略できる場合には<x2AV≡([x2]0t)t→∞=2μkBTtとなります。

 

こちらの<x2AVは,前の<mu2>のような長時間平均ではなく時刻tにおける相空間平均(確率平均)です。

実際,<u21/2~ (kBT/m)1/2ですがエルゴード性により時刻tにおける空間平均という意味でもu~ (kBT/m)1/2すから,x ~(2μkBTt)1/2であれば,<mxu>AV=[mxu]0t~kBT(2mμt)1/2となります。

  

そこで,[mxu]0tの値は大きいtに対してt1/2のオーダーですからtと比較して省略できることがわかります。

一方,ブラウン運動を時間τごとに微小長さを進む酔歩の問題と考えると次のように考察されます。

これは私のブログでは既にずいぶん前に考察済みです。

 

2006年9/14のブログ記事「酔歩(ランダム・ウォーク) 」から該当部分を多少修正して再掲します。

(再掲開始)

 

1次元ではx軸の上で左右どちらにも1歩ずつ動くことができて1歩の長さが一定値λであるとします。そして左右どちらかに進む確率は両側共に1/2であるとします。

x軸の原点から出発しててN歩の後にx=nλ(-N≦n≦N)の位置にいる確率をP(n,N)とすると,正の向きにN+,負の向きにN-歩いてxに到達するとした場合の数がN!/(N+!N-!)ですから,P(n,N)={N!/(N+!N-!)}(1/2)Nとなるはずです。

ただし,N++N-=N,+-N-=nなので単純に計算すると+(N+n)/2,-(N-n)/2ですが,N+nとN-nは一方が奇数なら他方も奇数,一方が偶数なら他方も偶数です。これらが偶数でなければ負でない整数なることが必要な+もN-も存在しません。 

したがって,N-nが偶数のときには(n,N)={N!/(N+!N-!)}(1/2)N(N+(N+n)/2,-(N-n)/2)ですが,N-nが奇数のときには(n,N)=0 です。

ここで,nが非常に大きいときのスタ-リングの公式:n!~(2π)1/2exp(-n)n(n+1/2),あるいはlog(n!)~(1/2)log(2π)+(n+1/2)log(n)-nを使用します。

N-nが偶数でNが非常に大きいとすれば,+(N+n)/2,-(N-n)/2も非常に大きいことになってlog{(n,N)}~ -Nlog2+NlogN-N+logN+-N-logN-(1/2)log(2π)+(1/2)(logN-logN+logN-)=(1/2)log{2/(πN)}-(N/2)[{1+(n+1)/N}log{1+(n/N)}+{1+(1-n)/N}log{1-(n/N)}]です。

ここで,n<<Nと考えて上のα=n/Nの対数関数において,αの2次までの近似展開:log(1-α)~ -α-α2/2,log(1+α)~ α-α2/2を利用します。

すると,log{(n,N)}~(1/2)log{2/πN)}-(N/2)(n/N)2より(n,N) ~{2/(πN)}1/2exp{-n2/(2N)}です。

ここで,x=nλ(-N≦n≦N)の酔歩の1歩の長さλは非常に小さいとしてN-nが偶数と奇数の両方の場合を考慮すれば,xがxとx+dxの間にある確率は(x,N)dx=(1/2){2/(πN)}1/2exp{-x2/(2Nλ2)}(dx/λ)(2πNλ2)-1/2exp{-x2/(2Nλ2)}dxです。

これは,Nλ→ ∞,λ→ 0,かつNλ2→σ2(有限)の条件で,xについて積分すると1になるので,確かに確率密度の条件を満たしています。

 一方,2次元での確率密度は,モデルが等方的なので単純に上の1次元の式で2をr2≡x2+y2で置き換えるだけでいいと考えられるところですが,実は1歩の各方向への成分Δx,ΔyがΔx2+Δy2=λ2を満たす必要があるので修正が必要です。

x方向とy方向を対等に扱うと,Δx2=Δy2=λ2/2なのでN歩で位置=(x,y)に到達する確率密度は,全平面で1になるように規格化してP(x,y,N)dxdy=(πNλ2)-1exp{-x2/(Nλ2)}exp{-y2/(Nλ2)}dxdy=(πNλ2)-1exp{-r2/(Nλ2)}2になります。 

同様に,3次元ではr2=x2+y2+z2としてΔx2=Δy2=Δz2=λ2/3により,位置=(x,y,z)に到達する確率は(x,y,z,N)dxdydz={(2/3)πNλ2}-3/2exp[-r2/{(2/3)Nλ2}]3になると考えられます。 

  特に,3次元の一般式でt=Nτ,D=λ2/(6τ)と置けば,4Dt=(2/3)Nλ2となるため,時刻tに位置に存在する確率はP(,t)=(x,y,z,N)=(4πDt)-3/2exp{-r2/(4Dt)}と書けます。

これは,丁度拡散係数がDの拡散方程式∂P/∂t=D∇2Pにおいて初期時刻t=0 に確率密度が原点に集中しているときの解,すなわち,初期値がP(,0)=δ3()のときのP(,t)の一意解に一致しています。(再掲終わり)※

そこで,この確率密度(,t)に基づいて計算すれば,x方向の"ゆらぎ=揺動",つまりt=0 に確率1で原点=0 にあった場合の時刻tでの平均位置(=0)からのずれxの2乗平均値は,<x2AV=∫-∞[x2(,t)]d3(4πDt)-1/2-∞[2exp{-x2/(4Dt)}dx=2Dtとなります。

これを,先にブラウン運動の1次元方程式から求めたxのゆらぎの表現:<x2AV([x2]0t)t→∞=2μkBTtと比較すれば,D=μBT(アインシュタインの関係式)が得られます。

,媒質の粘性率をηとし拡散粒子の半径をaとすれば,先に求めた易動度μに対するストークスの式:1/μ=6πηaから,D=kBT/(6πηa)なる等式が得られます。これをアインシュタイン・ストークスの関係式と呼びます。

ここで理科年表によると,空気の粘性率は温度が常温25℃=298Kでη=18.2×10-3Ns/m2,またkB=R/NA=1.38×10-23J/Kです。R~8.31J/(Kmol)は気体定数,NA~6.02×10-23/molはアヴォガドロ数(ロシュミット数)です。 

また,質量がmの気体分子の速度をとすると,統計力学によって平衡状態での2乗平均の速度は(<2AV)1/2=(3B/m)1/2です。一方,速度の絶対値||の平均は<||>AV={8B/(πm)}1/2です。

 

空気をO2とN2の1:4の混合気体とみると分子質量はm=28.8/NA(g)~ 4.78×10-26(kg)ですから,常温T=298Kでの2乗平均速度は21/2 ~ (3B/m)1/2~ 約508(m/s)です。

 

一方,絶対値平均速度で見ると,<||>AV={8B/(πm)}1/2~ 約468(m/s),ですです。

さて,気体分子を直径がdの剛体球とモデル化すると,2つの気体分子の中心間距離がdになるときにこれらは衝突します。

 

そして,1つの分子が衝突するまでに分子が移動する平均の距離を平均自由行程と呼びます。これは先に述べた酔歩の1歩に相当するので同じ記号λで表わすことにします。

 

1つの気体分子から見るとその中心を底面中心として体積がπd2λの円筒内に他の分子が1個入るという勘定になります。

 

したがって,気体分子数密度をnとするとπd2λn=1ですから平均自由行程はλ=1/(πd2n)と評価されます。

  

さて,速度=(u,v,w)=(vx,vy,vz)の各成分がvx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvzの間にある分子数をf(vx,vy,vz)dvxdvydvz=f()d3とします。

 

全分子数をNとするとf()は全速度空間で積分して∫f()d3=Nとなるように規格化されています。このように定義されるf()=f(vx,vy,vz)を速度の分布関数と呼びます。

 

そして,絶対温度がTの熱平衡状態では,f()がマクスウェル(Maxwell)分布:f()=N{m/(2πkBT)}3/2exp{-m2/(2kBT)}で与えられることがわかっています。

 

分子数密度がn=N/Vの熱平衡状態を仮定します。

 

通常のxyz空間のz=0 の面の単位面積を通って単位時間にz>0 の側からz<0 の側に移動する分子数をI+とすると,I+=n{m/(2πkBT)}3/2-∞dvx-∞dvy0dvzzexp{-m2/(2kBT)}=(n/4){8kBT/(πm)}1/2と計算されます。

 

ところが,先述したように<||>AV={8kBT/(πm)}1/2です。また,対称性からz=0 の単位面積を通ってz<0 の側からz>0 の側に移動する単位時間当たりの分子数をI-にとすると,これはI+は等しいのでI+=I-=(n/4)<||>AVと書けます。

 

そして,巨視的な粘性率を微視的な分子から統計的平均量として見積もるために,z=0 の面を通して下方から上方へと輸送されるx方向の運動量を評価してみます。

 

これは,z=0 の面から平均自由行程程度の下方の運動量が上方に運ばれ,これから下方に運ばれる平均自由行程程度の上方の運動量を引いた差で与えられると考えられます。

 

その平均自由行程程度のz座標を±αλ(0<α<1)とします。

 

まず,z=-αλから入ってくる運動量のx成分はx方向の速度成分をzだけの関数としてu(z)と表わせばI+mu(-αλ)=(mn/4)<||>AV{u(0)-αλ(∂u/∂z)}と見積もられます。

 

同様にz=0 の面を通って上方から下方へと輸送されるx方向の運動量はI-mu(αλ)=(mn/4)<||>AV{u(0)+αλ(∂u/∂z)}と見積もられます。

 

結局,z=0 の面を通って下方から上方へと輸送される正味の運動量のx成分は,I+mu(-αλ)-I-mu(αλ)=-(αλρ/2)<||>AV(∂u/∂z)となります。ただし,ρ≡mnは媒質の気体の密度です。

 

得られた単位時間当たりの輸送量-(αλρ/2)<||>AV(∂u/∂z)が,流体力学における現象論的粘性応力:-η(∂u/∂z)に一致すると考えられるので,粘性率ηに対してη=(αλmn/2){8kBT/(πm)}1/2なる評価式が得られました。

 

 これにλ=1/(πd2n)を代入するとη=(α/d2)(2πmkBT)1/2となります。それ故,D=kBT/(6πηa)={kBTd2/(6πaα)}(2πmkBT)-1/2=(2π)-3/2(kBTd4/m)1/2/(3aα)が得られます。

  

この式によれば,αがわかれば半径aが既知のブラウン粒子の空気中での分子拡散係数Dを測定すれば,空気分子の平均直径dを計算により評価できることがわかります。

 

実験等から得られる空気分子の径の評価値は0.4~0.8μmで可視光線の波長と同程度だそうです。

  

今日はここで終わります。

 

次回は電離層などプラズマの影響,大気層における空気分子や雲(水滴)によるレイリー散乱,ミイ散乱なども考慮して,地球面頂上でのフレネル反射や吸収の寄与による"太陽輻射(太陽定数)の減衰=アルベド(albed)"の定量的評価を論じることを予定しています。

 

参考文献:中村 伝 著「統計力学」(岩波書店),北原和夫 著「非平衡統計力学」(岩波書店),クドリャフツェフ 著(豊田博慈 訳)「熱と分子の物理学」(東京図書)

 

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2009年10月 5日 (月)

中川さん,謎の急死

 ハンサムでお金持ちのボッチャン,頭脳明晰とイケメン(=イケてるメンズ?)の要素が揃っている政治家の中川昭一さんが亡くなられたらしいです。

         

 昔のお父さん(中川一郎氏)の自殺があるので,最初は自殺?と思ったのですがそうではないらしいです。

      ↓ 生前の父親:中川一郎氏

     

 親子そろって実は政治家には向いてなかったのかもしれませんね。。。私は政治家というより人間として好きな方の印象を持っていましたが。。。

(私の2009年2/18の記事「中川さん。。辞任」も参照してください。)

            合掌!!

PS:私の推測では1982年の江利チエミさんの急死に似ているので,誤嚥と同じく吐寫物が気管に詰まって窒息したのも死因の1つではないか?と思います。

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2009年10月 3日 (土)

初日から寝坊で大失敗!!(ヘルパースクール)

 いやー,今日から介護の2級ヘルパーの資格を取るために西川口の学校(全通学制なのに受講料が安い「アイ・ヘルパースクール」)へ通う予定でしたが,朝9時から最初のガイダンスが始まる時間には,まだ巣鴨の自宅ベッドで熟睡していて学校から9時15分頃に忘れているのかという旨の電話があり,結局はお休みして10/15に代替授業を受けることになりました。

 初日からこれでは先が思いやられます。緊張感が足りませんね。。

 第2回目以降は予定通り10/5(月)から受ける予定ですがガイダンスが後というのは自己責任のミスながら??です。

 (↑お前の方が介護受けるべきじゃないの??) 

 実は,10/1(木)には板橋の帝京大學附属病院の脳神経外科で「もやもや病」が専門の先生に,7月末に別の医院で撮ってもらった「脳の輪切り写真=頭のMRI+MRA写真」を持参して,それを診てもらった結果,「もやもや病」であるという疑いは晴れました。

 これで,馬鹿,または"精神(性格)j異常=変態"であるという疑い?以外には脳には病気はないだろうという結論でしたが,一応11月末には脳の血流を調べるため核医学検査というのを受けることになりました。

 これは静脈に微量に放射性物質を注射して流れが擬似定常状態になった後に,それから発せられるガンマ線を測定することによって,その放射性物質が確かに正常な速さで脳内まで到達するか?を調べるというものらしいです。

 そして,元々その翌日の10/2(金)の朝が西川口の学校の短期受講コースの初日だったのですが,既に前回診断の8月初めと9月初めに帝京大病院での心臓血管内科と糖尿病の内科の定期診断を予約してあってそれははずせなかったので,土曜日コース初日の10/3の今朝9時に代替授業を受ける予定だったのでした。

 巣鴨から西川口までは電車だとJR山手線に乗り田端で京浜東北線に乗り換えてそのまま西川口駅まで行くのが最短コースで,乗り換え時間も含め駅前の学校までは約20~30分で行けます。

 そこで,今朝5時半に就寝したのですが3時間くらい眠って8時半に起きれば間に合うという計算だったのですが,どうもつい爆睡してしまったようです。

 大体最近は目覚まし掛けなくてもその時刻に起きるぞと強く思って寝れば3~5時間で自然にさわやかに目覚めるのであまり心配してなかったのですが大失敗してしまいました。

 初日からスッポかすなんて担当者はあきれておられるかも。。。 

 学校というのは教壇で教える方なら最後が池袋の専門学校の平成14年2月で今から7年前ですが,教わる方はそもそもお上から資格をもらうのが嫌いということもありそうした学校にも通ったことがないので,1ヶ月以上の長期の通学受講だと普通の学生の頃から数えて32年ぶりです。

 実は,行きつけの飲み屋の一人で営業していたマスターが病気とわかり,元々検査で入院したのに何故か既に10日以上も経過した挙句,結局,専門の病院に転院したりして休養が長期にわたっています。

 彼はそれ以外には収入の途がなく,自分の入院費なども稼ぐ必要があるという事情があって,できるだけお店は休みたくないというので,ある親切な女性がママとして代わりにほぼ毎日営業しています。

 私は給料をもらうのではなく逆に毎日飲むほど金もないので飲み代のツケがたまるだけの余り役にも立たない「ボディガード兼サクラ」として出勤?して,できる限りお客が全員帰って終わるまでいることにしていますが,昨夜はかき入れ時金曜日ということもあり,かなり盛況でしたね

 しかし明日の学校があるので私は最後までつき合うのは無理だったので,朝5時頃には早退?したのですが,寝ずに学校に行くのが正解でしたね。。。

 というわけで,実は今晩も出勤する?予定なんですが。。。

 別にイヤイヤではなくむしろヨロこんで通ってるのですが,ほぼ座ってるだけとはいえ,3つ以上病気持っているし,さすがに毎晩となるとそろそろ内臓も疲れてきましたね。

 相割らず金欠病で食事代もままならないことが多いのですが酒だけは不自由していません。。 ←オイオイ,コレでいいのか??

PS:介護というのは自分も含めた老人を子供やペットに譬えてはまずいでしょうが愛玩すべき対象であっても生き物ですから食事から下の世話までする必要があります。

 ペットであろうとかわいいかわいいという側面だけでは済まないし,育児ならごく小さい頃であれば油断すると異物を飲み込んだり,その他何があってもおかしくない困った局面,イヤで不快な局面がしょっちゅう生じたり,その上夜泣きなどもあって夜も満足には眠れず,母親がノイローゼになって自殺したり自分の分身ともいうべき存在であろうと,子供を殺したりもする大変なものです。

 肉親や身内であれば煩わしさを補って余りある愛情や見返りが期待できることもあるでしょう。意に反し介護対象の父親や母親に罵られることでさえ彼が自分の親であれば,それは自己に取っては頼られる喜びであったりするという形の見返りであることもあるでしょう。

 が,仕事としての介護であれば,私自身が入院中に仕事とはいえ看護師(看護婦?)たちに対して凄いなあと感じ感謝を覚えた経験なども含め,勤めて客観的に捉えようとしても人間業とは思えないほどの感動を覚えたほどの大変なものです。

 彼女たちにとってはごく簡単なことに属する例なのでしょうが,他人には汚物にも等しいだろう私の洗ってもいない入れ歯(義歯)を素手で平気で扱ったりされるのもかなり驚き感心しましたね。下手をすると自分だけが特別だと勘違いしてストーカーでもやりそうです。

 私はといえば,イヤだとか臭い汚いとか重いとか思ったり,苦しいとか痛いと感じたときでも,吹き出る冷や汗などは如何ともしがたいですが意図的にポーカーフェースを装うことを普段から既に通り越しています。

 苦しくても笑顔を取り繕う,またはもはや自分でも苦しいのかどうか判断できないほど自分の心さえも騙してしまうというマゾ的傾向も助けになって,自分が他人にイヤだと感じていることさえ悟られないほど八方美人化しているつもりですから,その面ではこういう仕事ではましな性格かな?と。。

 しかし,結局は介護を余儀なくされる立場に立たされたこともなくキレイゴトを言ってるだけの甘い奴で,実際の現場に立つと恐らく逃げ出すだろう自分を予想しつつ。。。。。。

 

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