光(電磁波)の散乱(4)

　さて,途中になっている電磁波の散乱振幅の計算の続きです。

　前回は,ｒ＝ａで磁場の垂直成分Ｂ_rがゼロであるべき

という境界条件:ｋΠ^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ²}＝0 から,

磁気的波ＴＥ波の散乱波のポテンシャルΠ_sc^Mが,入射平面波

のそれ:Π_in^Mと同じ,Ｐ_l¹(cosθ)sinφの形の項しか持たない

という結論を得ました。

　今日は,他のｒ＝ａでの境界条件:

(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂θ}＋(iω/sinθ)(∂Π^M/∂φ)＝0,

{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ}(1/ｒ)－iω∂Π^M/∂θ＝0

に着目します。

　これらの条件とΠ^Mがsinφに比例するということから,

電気的波ＴＭ波の方のポテンシャルΠ^Eはcosφに比例すること

がわかります。

　そこで,Π^E＝Π_in^E＋Π_sc^Eなる分解をすれば,散乱ＴＥ波

のΠ_sc^MがＰ_l¹(cosθ)sinφの項しか持たないのと同様に,

散乱ＴＭ波のポテンシャルΠ_sc^EはＰ_l¹(cosθ)cosφの形の

項しか持たないことがわかります。

　そこで,Π_sc^E,およびΠ_sc^Mの展開式は,それぞれ,

　Π_sc^E(ｒ,θ,φ)≡(1/ｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^E_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^E_lｎ_l(ｋｒ)}

　Ｐ_l¹(cosθ)cosφ,および,

　Π_sc^M(ｒ,θ,φ)≡{1/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞{Ａ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)}

　Ｐ_l¹(cosθ)sinφ

　と書くことができます。

　ここで,後の便宜上,Π_sc^Eの展開係数:Ａ^E,Ｂ^Eに対応する

　Π_sc^Mの展開係数はＡ^M/ｃ,Ｂ^M/ｃであるとしています。

　また,ｒ→ ∞における散乱境界条件は,

　Π^E(ｒ,θ,φ)→ Π_in^E(ｒ,θ,φ)＋ｆ₁(θ)exp(iｋｒ)cosφ/ｒ,

　Π^M(ｒ,θ,φ)→ Π_in^M(ｒ,θ,φ)＋ｆ₂(θ)exp(iｋｒ)sinφ/ｒ

　と書けます。

　ところで,球面Bessel関数の漸近近似は,

　ｊ_l(ｘ)→ sin(ｘ－ｌπ/2)/ｘ (ｘ→∞) です。

そ　こで,ｒ→∞では,

　Π_in^E(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)

　Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]

　→ (1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{1/(ｋｒ)}

　sin(ｋｒ－ｌπ/2)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]

　と書けます。

　つまり,Π_in^E(ｒ,θ,φ)

　→ －{1/(2ｋ²)}Σ_l=1^∞[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}

　{exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ/ｒ]

　です。

　そこで,ｆ₁(θ)

　＝－{1/(2ｋ²)}Σ_l=1^∞[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}ａ_lＰ_l¹(cosθ)]

　とおけば,

　Π^E(ｒ,θ,φ)

　→ －{1/(2ｋ²)}Σ_l=1^∞[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}

　{(1＋ａ_l)exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ/ｒ]

　と書けます。

　一方,ｘ→∞ での球面Neumann関数の漸近近似は,

　ｎ_l(ｘ)→ －cos(ｘ－ｌπ/2)/ｘ です。

　そこで,Π_sc^E(ｒ,θ,φ)

　＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^E_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^E_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ

　→ｆ₁(θ)exp(iｋｒ)cosφ/ｒ

　における因子:{Ａ^E_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^E_lｎ_l(ｋｒ)}は,ｒ→∞では,

　Ａ^E_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^E_lｎ_l(ｋｒ)

　→{Ａ^E_lsin(ｋｒ－ｌπ/2)－Ｂ^E_lcos(ｋｒ－ｌπ/2)}/(ｋｒ)

　＝{1/(2iｋｒ)}(－i)^l{(Ａ^E_l－iＢ^E_l)exp(iｋｒ)－(－1)^l

　{(Ａ^E_l＋iＢ^E_l)exp(－iｋｒ)}

　なる形で漸近的に挙動します。

　しかし,ｒ→ ∞では,内向き球面波exp(－iｋｒ)/ｒは存在せず,

　その係数はゼロであるはずですからＡ^E_l＋iＢ^E_l＝0,

　つまりＢ^E_l＝iＡ^E_lです。

　それ故,Ａ^E_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^E_lｎ_l(ｋｒ)＝Ａ^E_l{ j_l(ｋｒ)＋iｎ_l(ｋｒ)}

　＝Ａ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)と書けます。

　ただしｈ_l⁽¹⁾は球面Hankel関数の一方です。

　以上から,Π_sc^E(ｒ,θ,φ)

　＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ}

　と書くことができます。

　同様にして,Π_sc^M(ｒ,θ,φ)

　＝{1/(ｃｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ}

　と書けることもわかります。

　ところで,入射平面波については,既に見たように電場は

　Ｅ_rⁱⁿ＝exp(iｋｒcosθ)sinθcosφ

　＝ｋ²Π_in^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^E)/∂²ｒ}

　＝{1/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ

　です。

　そして,Π_in^E(ｒ,θ,φ)

　＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

　j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ,

　Π_in^M(ｒ,θ,φ)

　＝{1/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

　j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ　

　です。

　そこで,Ｅ_θⁱⁿ

＝(1/ｒ)∂Π_in^E/∂θ＋∂²Π_in^E/∂ｒ∂θ＋(iω/sinθ)　　(∂Π_in^M/∂φ)

＝exp(iｋｒcosθ)sinθsinφ

＝(cosφ/ｋ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

[{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)

＋iｋj_l(ｋｒ)π_l(cosθ)] です。

ただし,τ_l(cosθ)≡ｄＰ_l¹(cosθ)/ｄθ

＝－sinθｄＰ_l¹(cosθ)/ｄ(cosθ),

π_l(cosθ)≡Ｐ_l¹(cosθ)/sinθ とおきました。

また,Ｅ_φⁱⁿ

＝{1/(ｒsinθ)}(∂Π_in^E/∂φ)＋(1/sinθ)(∂²Π_in^E/∂ｒ∂φ)

－iω∂Π_in^M/∂θ

＝－¹exp(iｋｒcosθ)sinφ

＝－(sinφ/ｋ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

[{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}π_l(cosθ)＋iｋj_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)]

です。

さらに,磁場は,Ｂ_rⁱⁿ

＝ｃ^-1exp(iｋｒcosθ)sinθsinφ

＝ｋ²Π_in^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^M)/∂ｒ²}

＝{1/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ

です。

また,Ｂ_θⁱⁿ

＝{－iω/(ｃ²sinθ)}(∂Π_in^E/∂φ)＋(1/ｒ)(∂Π_in^E/∂θ)

＋∂²Π_in^E/∂ｒ∂θ

＝{sinφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

[iｋj_l(ｋｒ)π_l(cosθ)]＋{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)]

です。

そして,Ｂ_φⁱⁿ

＝(iω/ｃ²)(∂Π_in^E/∂θ)＋{1/(ｒsinθ)}(∂Π_in^M/∂φ)

＋(1/sinθ)(∂²Π_in^M/∂ｒ∂φ)

＝{cosφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

[iｋj_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}π_l(cosθ)]

となります。

そして,散乱波も同じ方法で計算できて,

Ｅ_r^sc＝ｋ²Π_sc^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_sc^E)/∂²ｒ}

＝{1/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]

です。

また,Ｅ_θ^sc

＝(1/ｒ)∂Π_sc^E/∂θ＋∂²Π_sc^E/∂ｒ∂θ＋(iω/sinθ)(∂Π_ic^E/∂φ)

＝(cosφ/ｋ)Σ_l=1^∞[Ａ^E_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)

＋iｋＡ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)π_l(cosθ)]

です。

同じく,Ｅ_φ^sc

＝{1/(ｒsinθ)}(∂Π_sc^E/∂φ)＋(1/sinθ)(∂²Π_sc^E/∂ｒ∂φ)

－iω∂Π_sc^M/∂θ

＝－(sinφ/ｋ)Σ_l=1^∞[Ａ^E_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}

π_l(cosθ)＋iｋＡ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)τ_l(cosθ)]

です。

同様にして,Ｂ_r^sc

＝{1/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ],

Ｂ_θ^sc

＝{sinφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞[iｋＡ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)π_l(cosθ)＋Ａ^M_l{

ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)＋],

Ｂ_φ^sc＝{cosφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞[iｋＡ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)τ_l(cosθ)

＋Ａ^M_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}π_l(cosθ)]

です。

ここで,η_l(ｋｒ)≡(ｋｒ)ｊ_l(ｋｒ),

ξ_l(ｋｒ)≡(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)とおいて得られた全ての式を

整理します。

まず,電場の動径成分については,

Ｅ_rⁱⁿ＝{1/(ｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ

です。

また,Ｅ_θⁱⁿ

＝{cosφ/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

[η_l'(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋iη_l(ｋｒ)π_l(cosθ)],

Ｅ_φⁱⁿ

＝－{sinφ/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

[η_l'(ｋｒ)π_l(cosθ)＋iη_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)]

とやや簡単な表現になります。

さらに磁場については,まず,Ｂ_rⁱⁿ

＝{1/(ｃｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ

です。

次に,Ｂ_θⁱⁿ＝{sinφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

[ iη_l(ｋｒ)π_l(cosθ)]＋η_l'(ｋｒ)τ_l(cosθ)],および,

Ｂ_φⁱⁿ＝{cosφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}

[iη_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋η_l'(ｋｒ)]π_l(cosθ)]

となります。

散乱波についても全く同様ですが煩雑なので結果だけ列挙します。

まず,電場は,Ｅ_r^sc

＝{1/(ｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ],

Ｅ_θ^sc＝{cosφ/(ｋｒ)Σ_l=1^∞[Ａ^E_lξ_l'(ｋｒ)]τ_l(cosθ)

＋iＡ^M_lξ_l(ｋｒ)π_l(cosθ)},

Ｅ_φ^sc＝－{sinφ/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞[Ａ^E_lξ_l'(ｋｒ)π_l(cosθ)

＋iＡ^M_lξ_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)]

です。

同様に,磁場はＢ_r^sc

＝{1/(ｃｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lξ_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ],

Ｂ_θ^sc＝{sinφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞[iＡ^E_lξ_l(ｋｒ)π_l(cosθ)

＋Ａ^M_lξ_l'(ｋｒ)τ_l(cosθ)],

Ｂ_φ^sc＝{cosφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞[iＡ^E_lξ_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)

＋Ａ^M_lξ_l'(ｋｒ)]π_l(cosθ)]

と書けます。

これに,境界条件:[Ｅ_θⁱⁿ＋Ｅ_θ^sc]_r=a＝0,[Ｅ_φⁱⁿ＋Ｅ_φ^sc]_r=a＝0,

[Ｂ_rⁱⁿ＋Ｂ_r^sc]_r=a＝0 を当てはめると,

(2ｌ＋1)i^l-1η_l'(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l'(ｋａ)＝0,

(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lξ_l(ｋａ)＝0

を得ます。

故に,未知係数は全て陽に決まり,

Ａ^E_l＝i^l-1(2ｌ＋1)η_l'(ｋａ)/{ｌ(ｌ＋1)ξ_l'(ｋａ)},

Ａ^M_l＝i^l-1(2ｌ＋1)η_l(ｋａ)/{ｌ(ｌ＋1)ξ_l(ｋａ)}となって,

解が完全に得られます。

ところで,ｒ→ ∞ のときにはＥ_r^sc,Ｂ_r^sc ∝ξ_l/ｒ² →Ｏ(1/ｒ²),

Ｅ_θ^sc,Ｅ_φ^sc,Ｂ_θ^sc,Ｂ_φ^sc ∝ξ_l/ｒ →Ｏ(1/ｒ)です。

それ故,ｒ→ ∞では散乱波の散乱体球の動径成分(球面波の縦波成分)

Ｅ_r^sc,Ｂ_r^scは,球の接線成分(球面波の横波成分)Ｅ_θ^sc,Ｅ_φ^sc,Ｂ_θ^sc,

Ｂ_φ^scに比べて無視してよいと考えられます。

つまり,ｒ→ ∞での散乱波も入射波と同じく,その球面波の進行方向

に垂直な偏光成分だけを持つ横波となることがわかります。

また,ｒ→∞では,ξ_l(ｋｒ)＝(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)

→ (－i)^l+1exp(iｋｒ), ξ_l'(ｋｒ)→ iｋ(－i)^l+1exp(iｋｒ)

です。

そこで,ξ_l(ｋｒ)ξ_m'(ｋｒ)＝ξ_m'(ｋｒ)ξ_l(ｋｒ)

→ －iｋ(－i)^l+mexp(2iｋｒ)より,ｒ→∞で

Ｅ_θ^scＢ_θ^sc＋Ｅ_φ^scＢ_φ^sc＝0 であり,Ｅ^scＢ^sc＝0 です。

つまり散乱電磁波も電場と磁場が直交して進む横波です。

そして,散乱振幅とそれに基づいた散乱の断面積を計算するため,

ｒ→∞での平均エネルギー密度に関係する量を計算することを考

えます。

まず,ｒ→∞では|Ｅ_θ^sc|²＋|Ｅ_φ^sc|²＝ｃ²(|Ｂ_θ^sc|²＋|Ｂ_φ^sc|²)

＝{1/(ｋ²ｒ²)}(cos²φ|Ｓ_θ|²＋sin²φ|Ｓ_φ|²)と書けます。

ただしＳ_θとＳ_φは次式で定義される量です。

すなわち,Ｓ_θ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^E_lτ_l＋Ａ^M_lπ_l],

Ｓ_φ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^E_lπ_l＋Ａ^M_lτ_l]　とします。

さて,既に以前計算しましたが入射電磁波の平均エネルギー密度は,

複素電磁場の表現では真空中のポインテイングベクトルの時間平均

値として＜|Ｓⁱⁿ|＞＝|Ｅⁱⁿ×Ｂ^in*|/(2μ₀)＝1/(2ｃμ₀)で与えら

れます。

一方,散乱波のそれは,＜|Ｓ^sc|＞²＝|Ｅ^sc×Ｂ^sc*|²/(4μ₀²)

＝(ε_ijkＥ_jＢ_k^*ε_ilmＥ_l^*Ｂ_m)/(4μ₀²)

＝{|Ｅ^sc|²|Ｂ^sc|²－|(Ｅ^scＢ^sc)|²}/(4μ₀²)

→ (|Ｅ^sc|²|Ｂ^sc|²)/(4μ₀²)

です。

それ故,ｒ→ ∞では＜|Ｓ^sc|＞＝|Ｅ^sc|²|Ｂ^sc|/(2μ₀)

＝(|Ｅ_θ^sc|²＋|Ｅ_φ^sc|²)/(2ｃμ₀)

＝{1/(2ｃμ₀ｋ²ｒ²)}(cos²φ|Ｓ_θ|²＋sin²φ|Ｓ_φ|²)

と書けます。

したがって,微小立体角ｄΩ＝ｄ(cosθ)ｄφへの散乱の微分断面積

ｄσは,ｄσ＝(＜|Ｓ^sc|＞/＜|Ｓⁱⁿ|＞)ｒ²ｄΩなる定義によって,

ｄσ/ｄΩ＝(1/ｋ²)(cos²φ|Ｓ_θ|²＋sin²φ|Ｓ_φ|²)となります。

ここで,Ｓ_θ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^E_lτ_l＋Ａ^M_lπ_l],

Ｓ_φ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^E_lπ_l＋Ａ^M_lτ_l]は,

今の場合の係数Ａの陽な表現では,

－iＳ_θ

＝Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}[{η_l'(ｋａ)/ξ_l'(ｋａ)}τ_l(cosθ)

＋{η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)}π_l(cosθ)],

－iＳ_φ＝Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}[{η_l'(ｋａ)/ξ_l'(ｋａ)}

π_l(cosθ)＋{η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)}τ_l(cosθ)]　です。

そして,時間平均として,＜cos²φ＞＝＜sin²φ＞

＝[∫₀^2πcos²φｄφ]/(2π)＝[∫₀^2πsin²φｄφ]/(2π)＝1/2

であることを用いると,

実際の観測にかかる微分断面積は,

ｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)で与えられると結論

されます。

さて,ｘ→ 0 では,η_l(ｘ)＝ｘｊ_l(ｘ)～ ｘ^l+1/(2ｌ＋1)!!,

η_l'(ｘ)～ (ｌ＋1)ｘ^l/(2ｌ＋1)!! です。

また,ξ_l(ｘ)＝ｘｈ_l⁽¹⁾(ｘ)～ －i(2ｌ－1)!!/ｘ^l,

ξ_l'(ｘ)～ iｌ(2ｌ－1)!!/ｘ^l＋1 です。

それ故,η_l'(ｋａ)/ξ_l'(ｋａ)

～ －i(ｌ＋1)(ｋａ)^2l+1/[ｌ(2ｌ＋1){(2ｌ－1)!!}²],

η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)～ －i(ｋａ)^2l+1/[(2ｌ＋1){(2ｌ－1)!!}²]

です。

そこで,以前にも概算したｋａ→ 0,あるいはｋａ＜＜1,つまり.

ａ＜＜λのRaileigh散乱では,上記－iＳ_θと－iＳ_φの右辺の展開

においてｌ＝1の項だけが効いてきます。

そしてｌ＝1ではτ_l(cosθ)＝ｄＰ₁¹(cosθ)/ｄθ＝cosθ,

π₁(cosθ)＝Ｐ₁¹(cosθ)＝1であり,

η₁'(ｋａ)/ξ₁'(ｋａ)～ －2i(ｋａ)³/3,

η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)～－i(ｋａ)³/3 です。

Ｓ_θ～ (ｋａ)³(2cosθ－1)/2,Ｓ_φ～ (ｋａ)³(2－cosθ)/2)より,

|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²～ (ｋａ)⁶(5cos²θ－8cosθ＋5)/4 です。

そこで,ｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)

～ ｋ⁴ａ⁶(5－8cosθ＋5cos²θ)/8∝ｋ⁴ａ⁶

～ ａ⁶/λ⁴,

σ＝2π∫(ｄσ/ｄΩ)ｄ(cosθ)＝10πｋ⁴ａ⁶/3

＝160π⁵ａ⁶/(3λ⁴)です。

したがって,ｋａ＜＜1,つまりａ＜＜λのRayleigh散乱では,微分

断面積ｄσ/ｄΩ,全断面積σは共にｋ⁴に比例しています。

あるいは波長λの４乗に反比例しています。

一方,ｋａ～ 1,つまりａ～λでは,Ｓ_θ,Ｓ_φにおける各項の,

η_l'(ｋａ),ξ_l'(ｋａ),η_l(ｋａ),ξ_l(ｋａ)等のｌ＝1の先頭

項だけではなく,全てのｌの項が効いてきます。

そして,ａ～λの太陽からの可視光線の空気中の水滴やエアロゾルなどによる散乱に相当していて,これをMie散乱と呼びます。

しかし,これまでの議論では散乱体は電気伝導率σ＝∞の完全導体

球であると仮定して球体の半径ｒ＝ａの表面上でＥ_θ＝Ｅ_φ＝0,

Ｂ_r＝0 である,という境界条件を用いました。

ここで,より現実的に考えて,散乱体が球であるという仮定はそのまま

でもいいですが,散乱体は完全導体から成るのではなく,任意の有限な

電気伝導率σから成る物体であるとします。

また,その散乱体球の内部の透磁率は真空と同じくほぼμ₀ですが,

誘電率の方は一般の値εであるとします。

空気分子,水滴などによる光の散乱ではこちらの誘電体というモデル

の方がふさわしいと思います。

すると,この誘電体球の内部での電磁場の運動方程式は,

∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔは真空中と同じですが,

∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔ(i.e.∇×Ｂ＝(1/ｃ²)∂Ｅ/∂ｔ)の方は,

∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔ＋ｉ＝∂Ｄ/∂ｔ＋σＥ,

すなわち∇×Ｂ＝μ₀ε∂Ｅ/∂ｔ＋μ₀σＥ

とすべきです。

そこで,誘電体内部でも外部と同じくＥ,Ｂがexp(－iωｔ)という

定在波としての時間依存因子を持つ波とすれば,

これは∇×Ｂ＝－iμ₀(εω＋iσ)Ｅ　となります。

前の,散乱体が完全導体のときには内部には如何なる電流ｉも存在

できず,元々電流のない球体外部と同様に,内部でも

∇×Ｂ＝(1/ｃ²)∂Ｅ/∂ｔ,∇×Ｂ＝－i(ω/ｃ²)Ｅでした。

そして,ＴＭ波,ＴＥ波に対するポテンシャルは散乱体の外部では,

もちろん,Π^E,Π^Mですが,内部ではχ^E,χ^Mであるとします。

すると,誘電体外部では,

Ｅ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ},

Ｅ^M_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂θ}でしたが,

内部でも,単にＥ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒχ^E)/∂ｒ∂φ},

Ｅ^E_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒχ^E)/∂ｒ∂θ}となります。

しかし,磁場の方は外部での表現:Ｂ^E_φ＝(iω/ｃ²)(∂Π^E/∂θ),

Ｂ^E_θ＝－{iω/(ｃ²sinθ)}{∂(∂Π^E/∂φ)における係数:

ω/ｃ²＝μ₀ε₀ωが,μ₀(εω＋iσ)＝(εω/ε₀＋iσ/ε₀)/ｃ²

に変わるので,

誘電体内部では,

Ｂ^E_φ＝(iω_a/ｃ²)(∂χ^E/∂θ),Ｂ^E_θ

＝－{iω_a/(ｃ²sinθ)}{∂(∂χ^E/∂φ)と書けます。

ここで,広義の複素振動数ω_aを導入して,ω_a≡εω/ε₀＋iσ/ε₀

と定義しました。

さて,球体の外部の真空中ではポテンシャル:Πが従う方程式は,

波動方程式(△－ｃ^-2∂²/∂ｔ²)Π^E＝[△－μ₀ε₀∂²/∂ｔ²]Π^E＝0

において波数ｋ＝2π/λがｋ²≡ω²/ｃ²＝μ₀ε₀ω²と表現される

Helmholtz方程式:(△＋ｋ²)Π^E＝0 でした。

しかし,誘電体中では波動方程式は,

[△－μ₀(ε＋iσ/ω)∂²/∂ｔ²]χ^E＝0 となるので,

これはｋ_a²≡μ₀(ε＋iσ/ω)ω²として(△＋ｋ_a²)χ^E＝0

となります。

複素係数:ε＋iσ/ω＝(ω_a/ω)ε₀はωに依存する複素誘電率と

解釈されます。

そこで,ｋ_a²＝μ₀(εω＋iσ)ω＝ωω_a/ｃ²であって,

Ｅ^E_r＝ｋ_a²χ^E＋(1/ｒ){∂²(ｒχ^E)/∂²ｒ},Ｂ^E_r＝0 です。

ｋ_a＝2π/λ_aです。 

同様に,Ｅ^M_r＝0,Ｅ^M_θ＝(iω_a/sinθ)(∂χ^M/∂φ),

Ｅ^M_φ＝－iω_a∂χ^M/∂θ,

Ｂ^M_r＝ｋ_a²χ^M＋(1/ｒ){∂²(ｒχ^M)/∂²ｒ},

Ｂ^M_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒχ^M)/∂ｒ∂θ},

Ｂ^M_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒχ^M)/∂ｒ∂φ}です。

そして,(△＋ｋ_a²)χ^M＝0 ですね。

これらHelmholtz方程式の解としての誘電体内部のＴＭ波,ＴＥ波

を与えるポテンシャルχ^E,χ^Mは,ｒ＝0 の中心で有限であって,

やはりＳ波(ｌ＝0 の波)はないと考えられます。

それ故,χ^E(ｒ,θ,φ)

≡(1/ｋ_a)Σ_l=1^∞Ｃ^E_lj_l(ｋ_aｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ,

χ^M(ｒ,θ,φ)≡{1/(ｃｋ_a)}Σ_l=1^∞Ｃ^M_lj_l(ｋ_aｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ

と表現することができます。

この場合の境界条件は,全く普通でｒ＝ａの球表面において接線成分

Ｅ_θ,Ｅ_φ,Ｈ_θ,Ｈ_φが連続,そこでμ＝μ₀＝(一定)よりＢ_θ,Ｂ_φが

連続であり,法線成分Ｂ_rとＤ_r＝εＥ_ｒも連続という条件となります。

ただ,今のケースでは電束密度Ｄと電場Ｅの現象論的関係は単純な

実定数誘電率によるＤ＝εＥではなく,Ｄ(ω)＝(ε＋iσ/ω)Ｅ(ω)

＝(ω_a/ω)ε₀Ｅ(ω)＝(ｋ_a²/ｋ²)ε₀Ｅ(ω)

なる関係と考えられます。

そこで,Ｄ_rの連続性については球の外部のＥと内部の(ｋ_a²/ｋ²)Ｅ

の連続性を問題にする必要があります。

故に,この条件からは,

(1/ｋ²)[(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l(ｋａ)]

＝(ｋ_a²/ｋ²)(1/ｋ_a²)ｌ(ｌ＋1)Ｃ^E_lη_l(ｋ_aａ) です。

同様に,Ｂ_rの連続性からは,

{1/(ｃｋ²)}[(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l(ｋａ)]

＝{1/(ｃｋ_a²)}ｌ(ｌ＋1)Ｃ^M_lη_l(ｋ_aａ)　です。

また,Ｅ_θ,Ｅ_φ,Ｂ_θ,Ｂ_φの連続性からは,

(1/ｋ)[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}i^l-1η_l'(ｋａ)＋Ａ^E_lξ_l'(ｋａ)]

＝(1/ｋ_a)Ｃ^E_lη_l'(ｋ_aａ),および,

(1/ｋ)[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}i^l-1η_l'(ｋａ)＋Ａ^M_lξ_l'(ｋａ)]

＝(1/ｋ_a)Ｃ^M_lη_l'(ｋ_aａ)　です。

これらの式からＣ^E_l,Ｃ^M_lを消去すると,

Ａ^E_l＝i^l+1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{ｋ_aη_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)

－ｋη_l'(ｋ_aａ)η_l(ｋａ)}/{ｋ_aξ_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)

－ｋη_l'(ｋ_aａ)ξ_l(ｋａ)},

および,Ａ^M_l＝i^l+1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}

{ｋ_aη_l(ｋａ)η_l'(ｋ_aａ)－ｋη_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)}/

{ｋ_aξ_l(ｋａ)η_l'(ｋ_aａ)－ｋξ_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)}

が得られます。

ここで,後の便宜のために散乱体を構成する誘電体の複素屈折率

をｎ^≡λ/λ_a＝ｋ_a/ｋ＝(ε＋iσ/ω)/ε₀)^1/2で定義しておきます。

例えば,ｋａ＜＜1, or ａ＜＜λの場合なら,

Ａ^E_l～ i^l+1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}(ｌ＋1)ｋ_a^l+2ｋ^l－ｋ_a^lｋ^l+2)

ａ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²

÷[i(ｌｋ_a^l+2ｋ^-(l+1)＋(ｌ＋1)ｋ_a^lｋ^-(l-1))/(2ｌ＋1)]　

～　[i^l/{ｌ(2ｌ＋1)!!}²][(ｎ^²－1)/{ｎ^²＋(l＋1)/ｌ}](ｋａ)^2l+1

です。

同様に,Ａ^M_l

～[i^l/{ｌ(ｌ＋1)(2ｌ＋1)(2ｌ＋3)]/{(2ｌ＋1)!!}²(ｎ^²－1)(ｋａ)^2l+3

です。

それ故,ｋａ～ 0 での通常の弾性散乱では,ＴＭ波のｌ＋1の項の寄与

とＴＥ波のｌ波の寄与が同じオーダーになります。

そこでｋａ＜＜1のRayleigh散乱の場合に実際に効くｌ＝1の最初の

項だけに着目すると,ＴＭ波では(ｋａ)³,ＴＥ波ではｋａ)⁵に比例す

るため,ＴＭ波のみが効くと見ていいでしょう。

そして,ｌ＝1では,Ａ^E₁～i(ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)　です。

これから,特に前のように完全導体の場合ならｎ^→ ∞のため,

Ａ^E₁～i(ｋａ)³となることも確認されます。

τ₁(cosθ)＝cosθ,π₁(cosθ)＝1により,

Ｓ_θ～ (ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)cosθ,

Ｓ_φ～ (ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2) です。

そこで,ｋａ＜＜1のRayleigh散乱の場合の微分断面積は,

ｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)

～ (ｋ⁴ａ⁶/2)(1＋cos²θ)|(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)|²

∝ ｋ⁴ａ⁶ ～ａ⁶/λ⁴ です。

そこで,全断面積はσ＝2π∫_-1¹(ｄσ/ｄΩ)ｄ(cosθ)

＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶|(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)|²

＝(128π⁵/3)(ａ⁶/λ⁴)|(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)|²

となります。

これらは,完全導体:ｎ^→ ∞ の極限では,

ｄσ/ｄΩ＝ｋ⁴ａ⁶(1＋cos²θ),σ＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶

＝(128π⁵/3)ａ⁶/λ⁴です。

これは,先に初めから完全導体球を仮定してその境界条件から計算

したRayleigh散乱の結果:

ｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)

～ ｋ⁴ａ⁶(5－8cosθ＋5cos²θ)/8

∝ｋ⁴ａ⁶～ａ⁶/λ⁴,

σ＝2π∫(ｄσ/ｄΩ)ｄ(cosθ)＝(10π/3)ｋ⁴ａ⁶

＝(160π⁵/3)ａ⁶/λ⁴と微妙に係数だけが違っています。

これは,Ｓ_θ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lτ_l＋Ａ^E_lπ_l],

Ｓ_φ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^E_lπ_l＋Ａ^M_lτ_l]のｌ＝1の項で,

τ₁＝cosθ,π₁＝1,Ａ^E_l～i(ｋａ)³は同じですが,

完全導体境界条件ではＡ^M_l～(－i/2)(ｋａ)³であるのに対して,

誘電体境界条件ではＡ^M_l～ 0 であるからです。

大気中の空気分子による光の散乱では後者の誘電体境界条件を

採用するべきと思われます。

とにかく,空気分子ではｎ^は有限ですから,

Ａ^E₁～i(ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)において完全導体球を仮定して

複素屈折率をｎ^＝∞としたものでなく,係数(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)

を含む式の方を用いるべきです。

複素誘電率がε^で半径がａの小球によるRayleigh散乱の断面積:

σ_Rについて要約すると,

ｄσ_R/ｄΩ＝(ｋ⁴ａ⁶/2)(1＋cos²θ)|(ε_r－1)/(ε_r＋2)|²,

σ_R＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶|(ε_r－1)/(ε_r＋2)|²

となります。

ただし,ε_rは比誘電率で,ε_r≡ε^/ε₀＝ｎ^²です。

今日はここまでにします。

参考文献：砂川重信著「理論電磁気学」第２版(紀伊国屋書店),M.Born,E.Wolf著(草川徹 訳)「光学の原理(3)」(東海大学出版会)

ＰＳ：ノリピーの裁判。。判決には依存ないけど。。。

例によって不可解なことばかり。。

罪というのは薬物に関する法律の違反でしょう？

誰と結婚しようが離婚しようが個人的な問題とは刑法は関係

ないじゃん。。。

マスコミが騒いだせいで世間への影響が大きい割りに刑が軽い？。。

表向きは職業に貴賎なし。。

全ての人間は性別,その生業に関わらず法の下には平等だろう。

利権にからんだ周囲の大騒ぎ,ほとんどは本人の責任じゃない

部分を責めてどうするんだ？。。

問題にすべきは,犯罪当時の被告の責任能力の有無(たとえば幼児

であるとか認知症であるとかなら刑は軽くすべきとか。)

のような問題だろうにね。。。。

まあ,普通の日本の刑事裁判(検事と弁護士の両方がいても公平

であるべき判事が最初から検事９割,弁護士１割程度の予断と

偏見を持っていて,本来５分５分の情況証拠なら"疑わしきは被告

の利益に(＝推定無罪)"の原則のはずなのに実際には真反対で,

しかも世論になびく傾向が大)だから,しょうがないか。。

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