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2009年11月 4日 (水)

光(電磁波)の散乱(3)

主として,Mie(ミイ)散乱を対象と考えて計算した過去のノ-トを見

つけたので,改めてその計算をチェックしながら,一般的なRayleigh

散乱とMie散乱の古典電磁波の散乱としての扱いを詳細に記述して

みます。

 

散乱体を完全導体球としたときの正しい境界条件は入射平面波と散

波を重ね合わせた全電磁波の電場,磁場が球の表面上r=a

で,nB=0,tE=0 を満たすことです。 

(※は法線単位ベクトル,は接線単位ベクトル)

 

これは極座標では,r=aで,

r=Bxsinθcosφ+Bysinθ+Bzcosθ=0,

かつ,Eθ=Excosθcosφ+Eycosθsinφ+Ezsinθ=0,

φ=-Exsinφ+Eycosφ=0

なることを意味します。

 

今のケースでは入射波はz方向に進む角振動数がωの単色平面波で

はx方向,はy方向に線偏光していると仮定しています。

 

これまで説明してきたように,散乱を1枚の全体写真として記述する

ため,電磁場の1成分をΦ(,t)=exp(-iωt)ψ()として時間

部分を分離した定在波表現を用います。

 

この表現では,入射波Φin(,t)=exp(-iωt)ψin()の空間成分

はψin()=exp(ikz)=exp(ikrcosθ)ですが,

 

これはin=(ψin,0,0),cin=(0,ψin,0,0),あるいは,

inx=cBiny=exp(ikz),Einy=Einz=Binx=Binz=0 を意味

します。

 

そして,真空中でのHelmholtz方程式よりも基本的なMaxwellの方程式:

=ε0,=μ0,c2=ε0μ0,および,

∇×=-∂/∂t,∇×=∂/∂tから出発して,

消去すると,∇×=iω,∇×=-(iω/c2)

を得ます。

 

方程式の最後の表式を極座標で書くと,

 

-(iω/c2)Er={1/(r2sinθ)}{∂(rsinθBφ)/∂θ

-∂(rBθ)/∂φ},

-(iω/c2)Eθ={1/(rsinθ)}{∂Br/∂φ-∂(rsinθBφ)/∂r},-(iω/c2)Eφ=(1/r){∂(rBθ)/∂r-∂Br/∂θ},および,

 

iωBr={1/(r2sinθ)}{∂(rsinθEφ)/∂θ-∂(rEθ)/∂φ},

iωBθ={1/(rsinθ)}{∂Er/∂φ-∂(rsinθEφ)/∂r},

iωBφ=(1/r){∂(rEθ)/∂r-∂Er/∂θ}

 

です。

 

方程式は線型なので,任意の解,は,

電気的波(E波=TM波;transverse magnetic wave)と,

磁気的波(M波=TE波;transverse electric wave)に

分解できます。

 

すなわち,EM,EM,

(ⅰ)EEr=Er,BEr=0 (TM波),

(ⅱ)EMr=0,BMr=Br (TE波)

と分解されます。

 

これら電気的波:E,E,および磁気的波:M,Mは,それぞれ,

同じ波動方程式を満足するスカラーポテンシャルΠE,およびΠM

から導出できることがわかります。

 

以下,これを示します。

 

(ⅰ)EEr=Er,BEr=0 (TM波=電気的波)の場合:

 iωr2sinθBEr=∂(rsinθEEφ)/∂θ-∂(rEEθ)/∂φ=0

 ですから,rsinθEEφ≡∂U/∂φ,rEEθ≡∂U/∂θ,

 U≡∂(rΠE)/∂rとおくことができます。

 

すなわち,EEφ≡{1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ},

Eθ≡(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ} と書けます。

 

そこで,-(iω/c2)Eθ

={1/(rsinθ)}{∂Br/∂φ-∂(rsinθBφ)/∂r}において,

,E,Eに置き換えてBEr=0 とした式:

-(iω/c2)EEθ={1/(rsinθ)}{-∂(rsinθBEφ)/∂r}は,

 

(iω/c2)(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ}=(1/r){∂(rBEφ)/∂r}

を意味します。

 

また,-(iω/c2)EEφ

=(1/r){∂(rBEθ)/∂r-∂BEr/∂θ}

=(1/r){∂(rBEθ)/∂r}は,

 

-(iω/c2){1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ}

=(1/r){∂(rBEθ)/∂r}

です。

 

よって,無関係の定数を除いて,

Eφ={iω/(c2r)}{∂(rΠE)/∂θ}=(iω/c2)(∂ΠE/∂θ),

Eθ=-{iω/(c2rsinθ)}{∂(rΠE)/∂φ} と書けます。

 

さらに,これらを,

-(iω/c2)EEr

={1/(r2sinθ)}{∂(rsinθ∂BEφ)/∂θ-∂(rBEθ)/∂φ}

に代入すると,

 

Er=-{1/(rsinθ)}[∂{sinθ(∂ΠE/∂θ)/∂θ}

 +(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)] を得ます。

 

そして,得られた結果を,

iωBEθ={1/(rsinθ)}{∂EEr/∂φ-∂(rsinθEEφ)/∂r}

に代入すると,

 

2/c2sinθ)(∂ΠE/∂φ)

={1/(rsinθ)}(∂/∂φ){-1/(rsinθ)}

 ×(∂/∂θ){sinθ(∂ΠE/∂θ)}+(1/sinθ)(∂2ΠM/∂φ2)}

 -{∂2(rΠE)/∂r2}]

です。

 

k=ω/cより,これは,

(∂/∂φ)[k2ΠE+(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}

+{1/(r2sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂ΠE/∂θ)}

+(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)]= 0

を意味します。

 

また,-iωBEφ=(1/r){∂(rEEθ)/∂r-∂EEr/∂θ}

に代入すると,

 

-(ω2r/c2) (∂ΠE/∂θ)

=∂3(rΠE)/∂r2∂θ}

+(1/r2)(∂/∂θ)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂ΠE/∂θ)/∂θ}

+(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)]

です。

 

これから,

(∂/∂θ)[k2ΠE+(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}+{1/(r2sinθ)}

×(∂/∂θ){sinθ(∂ΠE/∂θ)}+(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)]

=0 

を得ます。

 

以上のことから,スカラーポテンシャル:ΠEをHelmholtz方程式:

(△+k2E=0 を満たすように選んでよいことがわかります。

 

そこで,

Er=-{1/(rsinθ)}[∂{sinθ(∂ΠE/∂θ)/∂θ}

+(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)]=-△ΠE+(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}

によって,EEr=k2ΠE(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}

が得られます。

 

要約すると,

Er=k2ΠE(1/r){∂2(rΠE)/∂r2},

Eθ=(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ},

Eφ={1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ},および,

 

Er=0,BEθ=-{iω/(c2rsinθ)}{∂(rΠE)/∂φ},

Eφ={iω/(c2r)}{∂(rΠE)/∂θ}=(iω/c2)(∂ΠE/∂θ)

です。

 

そして,(△+k2E=0 です。

 

(ⅱ)EMr=0,BMr=Br(TE波=磁気的波)の場合:

 (iωr2sinθ/c2)EMr

 =∂(rsinθBMφ)/∂θ-∂(rBMθ)/∂φ=0 ですから,

 

 rsinθBMφ≡∂V/∂φ,

 rBMθ≡∂V/∂θ,V≡∂(rΠM)/∂r

 とおきます。

 

すなわち,

Mφ={1/(rsinθ)}{∂2(rΠM)/∂r∂φ},

Mθ=(1/r){∂2(rΠM)/∂r∂θ}

です。

 

Er0 よりiωBMφ=(1/r){∂(rEMθ)/∂r}ですから,

∂(rEMθ)/∂r=(iω/sinθ){∂2(rΠM)/∂r∂φ} です。

  

そこで,定数項を無視して,

Mθ={iω/(rsinθ)}{∂(rΠM)/∂φ}

=(iω/sinθ)(∂ΠM/∂φ) とおくことができます。

 

同様に,iωBMθ={-1/(rsinθ)}{∂(rsinθEMφ)/∂r}より

{∂(rEMφ)/∂r}=-iω∂2(rΠM)/∂r∂θ}なので,

Mφ=-iω∂ΠM/∂θ と書けます。

 

これらのポテンシャルによる表現を,

iωBMr={1/(r2sinθ)}{∂(rsinθEMφ)/∂θ-∂(rEMθ)/∂φ}

に代入すると,

 

Mr={-1/(rsinθ)}{∂(sinθ∂ΠM/∂θ)/∂θ}

を得ます。

 

得られた全てのポテンシャルによる表現を,

(iω/c2)EMθ

={1/(rsinθ)}{∂BMr/∂φ-∂(rsinθBMφ)/∂r},および,

-(iω/c2)EMφ=(1/r){∂(rBMθ)/∂r-∂BMr/∂θ}

に代入すれば,

 

(∂/∂φ){(△+k2M}=0,かつ,

(∂/∂θ){(△+k2M}=0 が得られます。

 

そこで,(△+k2M=0となるようにΠMを選びます。

 

すると,BMr=k2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2}と表わせます。

 

以上を要約すると,

Mr=0,EMθ=(iω/sinθ)(∂ΠM/∂φ),

Mφ=-iω∂ΠM/∂θ,および,

 

Mr=k2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2},

Mθ=(1/r){∂2(rΠM)/∂r∂θ},

Mφ={1/(rsinθ)}{∂2(rΠM)/∂r∂φ}

です。

 

そして(△+k2M=0 です。

 

(ⅰ),(ⅱ)をまとめると,電場については,

r=EEr+EMr=k2ΠE(1/r){∂2(rΠE)/∂r2},

θ=EEθ+EMθ

=(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ}+(iω/sinθ)(∂ΠM/∂φ), 

φ=EEφ+EMφ

={1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ}(1/r)-iω∂ΠM/∂θ

 

となり,

 

磁場については,

r=BEr+BMr=k2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2},

θ=BEθ+BMθ={-iω/(c2rsinθ)}{∂(rΠE)/∂φ}

+(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ},

φ=BEφ+BMφ

=(iω/c2)(∂ΠE/∂θ){1/(rsinθ)}

+{1/(rsinθ)}{∂2(rΠM)/∂r∂φ}

 

となります。

 

ここで,ΠEMは(△+k2)Π=0 の未知関数Πに対する解です。

 

解ΠをΠ(r,θ,φ)≡R(r)Θ(θ)Φ(φ)と変数分離形に書くと,

動径部分:R(r)に対する独立解の組は,

 

{d2/dr2+(2/r)d/dr+k2-l(l+1)/r2}Rl(r)=0

を満たす,Rl(r)={π/(2kr)}1/2l+1/2(kr)

=jl(kr),{π/(2kr)}1/2l+1/2(kr)=nl(kr)

(l=0,1,2,..)で与えられます。(J,NはBessel関数)

 

このとき,同じlに対応するΘ(θ)Φ(φ)の独立解は,

lm(cosθ){amcos(mφ)+bmsin(mφ)}(-l≦m≦l)です。

(PlmはLegendreの陪多項式)

 

それ故,Πの一般解は,Π(r,θ,φ)

=Σl=0Σm=-ll{cll(kr)+dll(kr)}Plm(cosθ)

×{amcos(mφ)+bmsin(mφ)} です。

 

ところで,電場,磁場のデカルト座標の成分と

極座標の成分の関係は,

 

r=Exsinθcosφ+Eysinθ+Ezcosθ,

θ=Excosθcosφ+Eycosθsinφ+Ezsinθ,

φ=-Exsinφ+Eycosφ,および,

  

r=Bxsinθcosφ+Bysinθ+Bzcosθ,

θ=Bxcosθcosφ+Bycosθsinφ+Bzsinθ,

φ=-Bxsinφ+Bycosφ

で与えられます。

 

ここで,入射波の電場:inと磁場:inは,

inx=cBiny=exp(ikz),Einy=Einz=Binx=Binz=0

であると仮定されていたことを思い出します。

 

したがって,入射波の極座標成分は,

inr=exp(ikrcosθ)sinθcosφ,

inθ=exp(ikrcosθ)cosθcosφ,

inφ=-exp(ikrcosθ)sinφ,および,

 

inr=c-1exp(ikrcosθ)sinθsinφ,

inθ=exp(ikrcosθ)cosθsinφ,

φ=exp(ikrcosθ)cosφです。

 

これを用いて入射波に対するポテンシャルΠE=ΠinEM=ΠinM

を求めます。

 

そのために先のEr,Eθ,Eφ,Br,Bθ,Bφに対するポテンシャル

ΠEMによる表現を利用します。

 

式はたくさんありますが,その中の1つの式:

r=EEr+EMr=k2ΠE(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}

だけを考えれば十分です。

 

このポテンシャルは合理的に定められているため,

後の式は自然に満たされます。

 

採用した式は,exp(ikrcosθ)sinθcosφ

=k2ΠinE(1/r){∂2(rΠinE)/∂r2} です。

 

一方,exp(ikrcosθ)の展開はRayleighの公式:

exp(ikrcosθ)=Σl=0(2l+1)iljl(kr)Pl(cosθ)

で与えられることを知っています。

 

この両辺をθで微分します。

 

左辺は,∂{exp(ikrcosθ)}/∂θ=-ikrexp(ikrcosθ)sinθ

です。

 

右辺は,∂Pl(cosθ)/∂θ

=-Pl1(cosθ)(l=1),∂Pl(cosθ)/∂θ=0 (l≠1)

です。

 

これから直ちに入射波にはl=0 のS波が無いことがわかります。

 

これは,明らかに電磁波の表わす場がベクトルであってスカラーでは

ないことに起因しています。

 

Rayleighの公式の両辺のθ微分にcosφを掛けて-ikrで割ると,

exp(ikrcosθ)sinθcosφ

=(1/kr)Σl=1(2l+1)il-1jl(kr)Pl1(cosθ)cosφ

=k2ΠinE(1/r){∂2(rΠinE)/∂r2}

を得ます。

 

ここでΠinEの展開式を,

ΠinE(r,θ,φ)≡(1/k)Σl=1αljl(kr)Pl1(cosθ)cosφ

と定義すれば,

 

2(rΠinE)/∂r2+k2rΠinE

=r[∂2ΠinE/∂r2+(2/r)∂ΠinE/∂r+k2ΠinE]から,

 

αl{d2jl(kr)/dr2+(2/r)djl(kr)/dr+k2jl(kr)}

=il-1(2l+1)jl(kr)/r2

なる等式を得ます。

 

そこでl=il-1(2l+1)/{l(l+1)}となることがわかります。

 

よって,陽な展開表現:

ΠinE(r,θ,φ)

=(1/k)Σl=1[il-1(2l+1)/{l(l+1)}jl(kr)Pl1(cosθ)cosφ]

が得られました。

 

同様にしてinM(r,θ,φ)

=(1/k)Σl=1[il-1(2l+1)/{l(l+1)}jl(kr)Pl1(cosθ)sinφ]

も得られます。

 

ここでr=aにおける正しい境界条件:Br=0,かつEθ=Eφ=0

を考慮します。

 

これはr=aで,

2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2}=0,かつ,

(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ}+(iω/sinθ)(∂ΠM/∂φ)

={1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ}(1/r)-iω∂ΠM/∂θ=0

を意味します。

 

1番目の条件:k2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2}=0 (r=a)は,

r=aで,∂2(rΠM)/∂2r+k2rΠM

=r[∂2ΠM/∂2r+(2/r)∂ΠM/∂r+k2ΠM]=0 です。

 

ΠMの展開式を,

ΠM(r,θ,φ)

≡Σl=0Σm=-ll{cll(kr)+dll(kr)}Plm(cosθ)

×{amcos(mφ)+bmsin(mφ)}と定義すると,

 

上式は,

Σl=0Σm=-lll(l+1)a-2{cll(ka)+dll(ka)}Plm(cosθ)

×{amcos(mφ)+bmsin(mφ)}=0

を意味します。

 

そこで,TE波のポテンシャル:ΠMは恒等的にゼロである,

あるいは全ての展開係数はゼロであることがわかります。

  

ΠM=ΠinM+ΠscMと書けば,左辺の展開係数が全てゼロなので,

ΠinMがm=1のPl1(cosθ)sinφの項しか持たないことから,

ΠscMもm=1のPl1(cosθ)sinφの形の項しか持たないことが

わかります。

 

途中ですが,計算に疲れたので今日はここまでにします。

 

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第2版)」(紀伊国屋書店),M.Born,E.Wolf 著(草川徹 翻訳)「光学の原理(3)」(東海大学出版会)

 

PS:先日,池袋に大きいヤマダ電機がオープンしたので,これを見に

行った機会に秋葉原まで足をのばして,中古専門のソフマップに行き

PCを中心に色々と見てきました。

 

 そして有名メーカーではなく自作に近くて昔ツクモや石丸で安売

していた中古のデスクトップマシン:2004年製のemachinesのJ4320

(CPUがPentium4:3GHz,HDD:200GB,WindowsXP(Home)入り,ただしメモリ

ーが512MBから1024MBに増設されているもの)が,11300円と意外に安く

売られていたのでつい衝動買いしてしまいました。

 

 ここ数日間は今まで使っていたデスクトップと入れ替えるためのセッ

ティングに夢中になっていました。

 

 今年6月に2004年製のHPパソコンのマザーボードが壊れたため,これ

までは所蔵休眠していた2002年製で富士通のときどき動かなくなる中古

パソコンをだましだましして使っていました。

(※6/12 「PCクラッシュで数日間アクセス不可能でした。」)

 

 新PCは,今のところ重いソフトを使用中に若干音がうるさいのが

気になる程度で他に不満はなく,前の富士通の中古よりも快適,快調

です。

 

 見かけはほぼ新品で(アウトレット?),モニター無し,マウス,キー

ボードが無く,付属ソフトもOS(Windows)とウィルスソフト以外には

無かったのですが,DVD±R(さらにRAM?)ドライブと全カードリ-ダ

ー付き(FDDは無し)で,HDDも200GB実装ですから,コアがDuoではない

けれどスペックとしては十分です。

  

 付属品が何も付いてなくても,これらは全て前のマシンから引き継

げたので私的には全く問題無しです。

 

 日本製の有名メーカー品,とはいっても他のはるかにスペックが低く,

どこかに「難あり品」なのに,この品よりかなり高価な中古品に比べ私

自身は今のところ掘り出し物だと思っています。

  

 結局,後で失敗だとわかったにしても,11300円なら1~2回の飲み代

程度ですから気になりませんね。(さらに送料も値切りました。)

 

 ところで今年は何故か将棋の谷川浩司九段(17世名人)の調子がいいみ

たいで嬉しいです。

  

 谷川さんには久しぶりにタイトルを取ってもらいたいですね。

 

 特に順位戦では今のところ全勝でトップです。

 名人復位を期待しています。

 

  

 北島忠雄六段(現在順位戦はC1で3勝2敗)もカゲながら応援して

います。頑張ってください。

 

 下は7月の「将棋オフ (←7/21の記事)」で私が取った写真です。

(肖像権無視して載せていいのかな?クレイムあれば即削除します。)

 

  

  

 

 PS2:西田房生(フサフサ生える?)さん。。連絡を待つ。

 この記事にメアド入りでコメントを入れてください。すぐに返信後,コメントおよびこのPS2は削除します。

 

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