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2009年11月

2009年11月30日 (月)

定量的地震学6

 つなぎで地震学の続きを書きます。

前回は内部面上での応力,または変位(歪み)の不連続性で表現される地震源(面源)の体源による等価物の存在を証明しました。

そして,断層面を横切る剪断作用に対する体積力の等価物として次のような表現が得られるという結論で終わりました。 

まず,応力の不連続性[]がゼロでない場合には,その寄与-∫-∞dτ∫Σ[Tp((ξ,τ),ν)]Gnp(ξ,t-τ;,0)}dΣξは,-∫-∞dτ∫V(∫Σ{[Tp((ξ,τ),ν)]δ3(ηξ)dΣξ}Gnp(ξ,t-τ;,0))dVηで表現できます。

それ故,Σ上の応力不連続性の体積力等価物は[T](η,τ)≡-∫Σ[Tp((ξ,τ),ν)]δ3(ηξ)dΣξで与えられます。

一方,変位の不連続性による寄与∫-∞dτ∫Σ[ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq}は,-∫-∞dτ∫V (∫Σ[ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂δ3(ηξ)/∂ηq}dΣξ)Gnp(ξ,t-τ;,0)dVηで表現されます。

そこで,Σ上の変位不連続性の体積力等価物はfp[](η,τ)≡-∫Σ[ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂δ3(ηξ)/∂ηq}dΣξで与えられると考えられます。

ただし,鍵括弧[ ]の量はΣ上の各点での不連続性を表わす量です。

 

すなわち,[(ξ,τ)]≡(ξ,τ)|Σ+(ξ,τ)|Σ-,かつ[ui(ξ,τ)]≡ui(ξ,τ)|Σ+-ui(ξ,τ)|Σ-etc.と定義されています。

 

という内容のことを書きました。

こうすれば応力,および変位の不連続性はそれぞれ-∫-∞dτ∫Σ[Tp((ξ,τ),ν)]Gnp(ξ,t-τ;,0)}dΣξ=∫-∞dτ∫V[fp[T](η,τ)Gnp(,t-τ;η,0)]dVη,および∫-∞dτ∫Σ[ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq}=∫-∞dτ∫V[fp[](η,τ)Gnp(,t-τ;η,0)]dVηと体源で表現できるわけです。

まず,これらについて前回,少し書き残したことを補足することから始めます。

 上記,変位不連続性の表現の被積分関数は,各pに対して,添字i,j,qのそれぞれが異なる27個の項を含んでいますが,以下では媒質に対称性があって2個か3個を除く全ての項がゼロであるような重要な例を取り上げる予定です。

 しかし,取り合えず上記の恒等式自体は一般的な非均質,非等方媒質に対して成立する式です。

 

 これらはV内の各点における体源応力が断層面の上の弾性媒質の性質のみに依存する表現になっていることは注目すべきことです。

そして,V内の断層運動は内部プロセス(内力のみの系)なので,全運動量と全角運動量は保存されなければなりません。

すなわち,全てのτに対し∫V[](η,τ)dVη=0,かつ全てのτとη0に対し∫V[(ηη0[](η,τ)dVη=0 であるべきです。

実際,fp[](η,τ)≡-∫Σ[ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂δ3(ηξ)/∂ηq}dΣξですから,ガウスの積分定理によって∫Vp[](η,τ)dVη=-∫VdVηΣdΣξ{[([ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂δ3(ηξ)/∂ηq}=∫ΣdΣξSextdSη[ui(ξ,τ)]Cijpq(ξjδ3(ηξ)です。

 

ところがSextとΣは全く共通点がないので,決してηξとは成り得ず,最右辺は確かに消えます。

一方,∫V[(ηη0[](η,τ)dVηの第m成分は∫Vεmnpn-η0n)fp[](η,τ)dVη=-∫ΣdΣξ[ui(ξ,τ)]Cijpq(ξjVdVηmnpn-η0n){∂δ3(ηξ)/∂ηq})=∫Σmqpijpq(ξj[ui(ξ,τ)])dΣξで与えられます。

 

ところがCijpq(ξ)ijqp(ξ),かつεmqp=εmqpなので,これの右辺もゼロになります。

こうして体積力の表現が内力である条件を満たす合理的なものであることを示すことができました。これが前回書き残した補足事項です。 

さて,野外の不連続性に等価な体積力の簡単な例として,丁度1点と1方向に加えられた体積力のケースを考えます。

以前の記事「定量的地震学1,3」では次のように瞬間体積力を与えました。

ξに対する1つの個別粒子に時刻t=τにn方向に瞬時的に加えられる1つの体積力(,t)があれば,その成分fi(,t)は空間位置を与えるのに3次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,衝撃の時刻を与えるのに1次元のデルタ関数に比例してfi(,t)=Aδ3(ξ)δ(t-τ)δinと表現されます。

ただしAは衝撃の強さを与える定数です。fi3(ξ),δ(t-τ)の次元がそれぞれ[力/体積]=MLT-2/L3,1/L3,1/Tであることに着目するとδinは無次元なので,衝撃の強さAは正しく,”衝撃=力積”の物理的次元を有することがわかります。”

これは,応力成分の不連続性とみなすこともできます。

ここでは,体積力の応力の不連続性との等価性を見るために,x3を深さ方向とし,x3=hの1点(0,0,h)に加わる体積力ですがδ(t-τ)に比例する瞬時的な力ではなく,τ=0から定常的にx3=hの1点(0,0,h)にFの大きさの体積力とします。

すなわち,(η,τ)=δ(η1)δ(η2)δ(η3-h)θ(τ),≡(0,0,F)とします。ここでθ(τ)はHeaviside関数(階段関数)です。

これは,平面ξ3=h上の1点を横切る応力の不連続性:[(ξ,τ)]=(ξ,τ)|(ξ1,ξ2,h+)(ξ,τ)|(ξ1,ξ2,h-)=-δ(ξ1)δ(ξ2)θ(τ)と同一視できることがわかります。

これは,先に得られた表現:[T](η,τ)≡-∫Σ{[Tp((ξ,τ),ν)]δ3(ηξ)dΣξの右辺において,平面ξ3=hをΣとして,[Tp((ξ,τ),ν)]=-δ(ξ1)δ(ξ2)θ(τ)を代入すれば,[T](η,τ)=δ(η1)δ(η2)δ(η3-h)θ(τ)が確かに得られることからわかります。

断層スリップ(地滑り)によって引き起こされる地震波は,モーメントを帳消しにするようなある断層上の力の分布によって引き起こされる地震波と同じです。

 

問題としている断層スリップに対し,この力の分布は一意的ではありませんが,等方的な媒質内ではそれを常に複数の偶力源の表面分布として選択可能です。

この結論は,地震が単一の偶力源か複数の偶力源のいずれによってモデル化されるかという疑問に関連して長期間論じられた論争の見地からは皮肉な結論です。

単一の偶力源を擁護する人々は地震は断層上のスリップが原因であると強く信じていました。そして彼らは,これが単一の偶力源,すなわち断層の相対する側の運動に対応する2つの力に等価であると直線的に信じました。

しかし,弾性力学では経験上直線的アプローチは危険なことが多いようです。

複数の偶力源を擁護する人々のあるものは,地震が既存の剪断応力下での体積的崩壊であるに違いないと思っていました。 

今や,複数の偶力源に等価であると認識されている近年の断層理論は,莫大な距離で観測された放射パターンによる支持のみならず,震源に非常に近いところで得られたデータによる強い支持を得ています。 

断層Σは平面ξ3=0 上にあるものとします。すると,スリップ[]はξ3方向には成分を持たず,ベクトル[]は平面Σに平行と考えられます。 

さらに,平面ξ3=0 上でのスリップ[]の方向をξ1方向とします。すると,[2]=[3]=0 でありν1=ν2=0 ,ν3=1 です。 

そこで,等価体積力の表現:p[](η,τ)=-∫Σ[ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂δ3(ηξ)/∂ηq}dΣξは,fp[](η,τ)=-∫Σ[u1(ξ,τ)]C13pq(ξ){∂δ3(ηξ)/∂ηq}dξ1dξ2となります。  

 

既述のように,不均質でも等方的な物質では弾性係数CijpqはCijpq=λδijδpq+μ(δipδjq+δiqδjp)なる形をしています。独立定数λ,μはLame(ラメ)の定数と呼ばれます。

 

よって,今の場合の被積分関数のC13pq(ξ)は,C1313(ξ)=C1331(ξ)=μ(ξ)を除いて全てゼロです。

それ故,f1[](η,τ)=-∫Σμ(ξ)[u1(ξ,τ)]δ(η1-ξ1)δ(η2-ξ2){∂δ(η3)/∂η3}dξ1dξ2,f2[](η,τ)=0,f3[](η,τ)=-∫Σμ(ξ)[u1(ξ,τ)]{∂δ(η1-ξ1)/∂η1}δ(η2-ξ2)δ(η3)dξ1dξ2となります。

まず,f1[](η,τ)=-∫Σμ(ξ)[u1(ξ,τ)]δ(η1-ξ1)δ(η2-ξ2){∂δ(η3)/∂η3}dξ1dξ2を見ると,これは±η1方向内の力でη2方向に腕がありη3方向にモーメントを持つΣにわたる単偶力源を示しているとわかります。

実際,積分を実行すると,f1[](η,τ)=-μ(η)[u1(η,τ)]{∂δ(η3)/∂η3}です。

 

これは平面η3=0+上に寄与する点力とη3=0-上に寄与する反対向きの点力のペアであると考えられ,補足事項の最初の式で示したように,内力なのでf1[](η,τ)の合力成分は消えます。

一方,力のモーメントはこの力の成分だけでは消えず,この成分によるη2軸の回りのモーメントは∫Vη31[]dV=-∫Vη3μ(η)[u1(η,τ)]{∂δ(η3)/∂η3}dη1dη2dη3=∫Σμ(ξ)[u1(ξ,τ)]dΣξとなります。

Σにわたるスリップを平均すると,<u(τ)>≡∫Σ[u1(ξ,τ)]dΣξ/Sです。ただし,S≡∫ΣdΣξは断層の全面積です。

そこで,もしも断層域が均質,つまりΣの上でμ(ξ)=μ(一定)なら,η2軸の回りのf1[](η,τ)による全モーメントは,単にη2軸の正の向きに∫Vη31[]dV=∫Σμ(ξ)[u1(ξ,τ)]dΣξ=μS<u(τ)>で与えられます。

体積力には,また3軸成分:f3[](η,τ)=-∫Σμ(ξ)[u1(ξ,τ)]{∂δ(η1-ξ1)/∂η1}δ(η2-ξ2)δ(η3)dξ1dξ2=-∂{μ(η)[u1(η,τ)]/∂η1}δ(η3)があります。

この成分によるη2軸の回りの力のモーメントは-∫Vη13[]dV=∫Vη1{μ(η)[u1(η,τ)]/∂η1}δ(η3)dη1dη2dη3=-∫Σμ(ξ)[u1(ξ,τ)]dΣξです。

 

これについても,もしも媒質が均質でΣの上でμ(ξ)=μ(一定)なら,-μS<u(τ)>です。

よって,均質,不均質いずれにしても全モーメントはゼロです。これも既に,補足事項として一般的な形で証明した事実に一致しています。

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

  

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2009年11月26日 (木)

科学ブログの進行状況

 現在のところ,科学ブログをさぼっているわけではなくて,このところは地球の温度に対する「光=電磁波の散乱」の効果の計算をしています。

 特に,太陽から直接地球表面に得られる全輻射エネルギーのうち,地球の熱収支には寄与せずに反射されてそのまま宇宙に還ってしまう割合,つまりアルベド(albedo:反射能)から具体的に計算しています。

 観測から,アルベドは0.30~0.31であるのはわかっています。この値を与えるメカニズムを正しく評価するために,まず大気層によるレーリー散乱だけあると仮定したモデルでのアルベドであるレーリー・アルベド(Raileigh-albedo)から過去の文献を参考にして計算中です。

 まずは1974年の気象学誌の論文:"A Parametrization for the Absorption of Solar Radiation in the Earth’s Atmosphere"  Andrew A.Lacis and James E.Hansen"を読んでいます。http://pubs.giss.nasa.gov/abstracts/1974/Lacis_Hansen_1.html

 今日は,久しぶりに帝京大病院で放射性物質を造影剤として脳への血流が正常かどうかを調べる核医学検査をしてきました。

 これは「もやもや病」ではないことを念のために確認するためで結果は12/3の脳神経外科の診察で教えてくれるらしいです。

 日中が比較的自由になったので明日(11/27)が同じ帝京大病院で内科(糖尿病),心臓循環器内科の診察,12/3が眼科(糖尿性網膜症)と脳神経外科,12/10が東京医科歯科大での歯科と診察のオンパレードです。

 しかし3~4時間の外出でも非常に疲れやすくて倍くらい安静にしないと元にもどらない身体というのも厄介です。(酒は別ですが。。。)

PS:竜王戦第4局は渡辺明竜王の快勝で4連勝での防衛でした。

PS2:約40年前,大学生になった頃に階級闘争という考え方を教わりました。

 善と悪,あるいは正義と不正というようなのは相対的な価値基準に過ぎない。

 クモは益虫でハエや蚊は害虫ということで納得するかい?クモが生理的に嫌いでない人にとっては,クモは人に害をなすハエや蚊を食べてくれるから益虫とされているよね。

 こんなのは単に人間の都合だよね。

 要するに君は誰の味方なの?あるいは古い言葉でいえば,君はブルジョア階級の味方か,それともプロレタリアート階級の味方か?と問われたのでした。

 まあ,二者択一でなく,どちらの味方でもないと答えることもできますが。。

 つまり,"あなたは本能的にエゴイストたらざるを得ない自分を除いて,プライオリティとして誰の利益を擁護する側の人間なのか?"という類のその時代特有の質問を受けたわけです。

 観念論ですが,ニーチェの英雄道徳を選ぶのか,それともショーペンハウアーの同情道徳に与するのかという二者択一表現もあります。

 "能力(=金を得る能力?)が優れていて,それを生かして努力した方がより多くの見返りを得るのは当然だ。=「自由競争原理」"と"いや,そんなことはない。(それの否定)"という「社会主義的価値判断」があります。

 例えば,生まれたとき既に両親のいない孤児だったとか,生まれつき全盲のようなハンデがある人に「親の因果が子に報いたので自業自得だ。」などと言えるはずはないでしょう。

 こうしたことの二律背反,あるいは葛藤のようなものでしょうか?

 言いたいことは経済的問題でどちらの結論を取るか,またはどちらも取らないかというのは,結局単に個人の価値観の違いであって,どちらかが客観的に正しいというような単純なものではないということです。

 単に,君は誰の利益を代表しているのか?という価値判断だけです。

 これらは40年前に,ガキを脱皮しかかった頃に初めて遭遇した概念でした。

(↑だからどうした? 今もその若気の至り?のままかい?) 

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2009年11月25日 (水)

ヘルパー2級いただきました。

 小中高と大学などの通常の学校の卒業証書以外は運転免許さえもない私が,正式な国家資格ではないけれど「ヘルパー2級」課程の修了証書を昨日11月24日に頂きました。

 年甲斐もなく,10月2日から約2ヶ月西川口の学校の生徒として形だけは実習も含め130時間の課程を受けました。

 講義をする側ではなく受ける側で学生の身分でしたから仕事をするよりは楽なはずですが,かつて強いられて夢を机で削られた?勉強ではなく結構充実感を感じました。

(昨今の巣鴨界隈では,歩いているだけで毎日のように援助対象と思われる人がいて,私的趣味ではありますが資格なし無料のボランティアで結構何らかの介助行動を取ってましたから,盲人の誘導などコミュニケーションだけは慣れてるつもりでした。。) 

 資格ではないけれど心臓疾患で貰った内容4級の東京都の身障者手帳と修了証明書を並べると結構レアものでしょ?(悪趣味かな?) ↓

                                                        

       

 クラスメイトや先生方など,今回お世話になった方々どうもありがとうございました。また新しい一期一会がありました。

PS:科学者としては天才かも知れませんが,社会人としては子供同然のクソバカな?ノーベル賞,フィールズ賞学者の一部が政治に口を出しています。

(確か,昔,湯川秀樹氏も当時東大全共闘議長だった山本義隆氏と政治的問題でケンカしたこととかありましたね。。)

 このスパコンの話では,人間が生きるか死ぬかの100年に1度の経済的危機の時代に,数十年くらい先の歴史的利害を見据えて国家予算を投資するなど,私は愚の骨頂でその見返りに関しての議論には説得力がないと思います。

 私は,むしろ,よく行くところ(=アマサイさんのブログについて語る「アマチュアサイエンティスト応接室」 http://8824.teacup.com/amateurscientist/bbs )でT_NAKAさんがご指摘の早大の大槻義彦教授のブログhttp://ohtsuki-yoshihiko.cocolog-nifty.com/blog/2009/11/post-9808.html の考え方に近いですね。

 とはいっても,決して政治パフォーマンス色の強い民主党政権の仕分け人の貧しい見識に賛成するものではありません。。。

 私は大学生だった頃から「反文明,反科学技術」という思想傾向があって,元々社会思想的には科学信仰的な考えには反対なのです。

 私の実存(生きがい的なもの)と社会に奉仕するという二面性(二枚舌)もそのせいです。

 ともあれ,これは私個人の価値観ですから,1つの意見ですが他人に押し付けようとするものではありません。

 「ノーベル賞という"ある種の権威"やスーパーコンピュータという言葉の響きなどにダマされるなよ。」と感じるだけです。

(将棋も囲碁も,まだまだコンピュータは人間のプロには勝てません。そうそう,関係ないかもしれないけど今日11/26は将棋竜王戦第4局の2日目です。)

 サイエンスとか横文字で述べても,所詮ノーベル賞のノーベルはダイナマイトを発明して莫大な財を得たのですし,コンピュータもロケットも元々は冷戦構造の中での"軍事目的"で発展してきたわけです。

 もっともビデオやネットの普及についても"エロの力"が原動力になったのが歴史ですから,何でもアリですけど。。

 衣食が十分に足りていて,船が沈む心配がないならスパコンでもロケットでも大いにやってください。(てめーら,勝ち組には関係ないだろうが。。。)

 不要だと主張してるのじゃなくて,「食べ物を買う金もなくて飢え死にしそうなときに本を買う私のようなバカを国がやるな。」と述べているだけです。 

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2009年11月21日 (土)

とりあえず日記.

 11月19,20,21日と特養でのヘルパー2級実習です。

 16日の訪問介護と異なり,外でのきつい自転車が無いので天国です。

 排泄介助(オムツ交換),入浴補助(着脱,洗面,洗髪,整髪程度),食事補助(口内洗浄)など現場介護にほんの少しだけ参加させてもらって少し腰が痛かったりもしましたが充実していて,暖房完備の室内で移動無しです。

 母親以上の高齢の利用者様とのお話もとても楽しかったし(短期だけの実習で本質的に責任が無いこともあるのでしょうが)。。天国です。(「カッコーの巣」を連想しながら。。)

 あと1日の21日のデイ・サービスが残っていますが名残り惜しいです。

 今夜中の3時半です。寝坊だけが心配。。。

PS:今,午後9時です。家でくつろいでいます。デイ・サービスは一般的に考えると昨日,一昨日よりも楽なはずでした。もう1人の相棒の韓国人青年は今日の方が楽との感想でした。

 しかし,私は前2日は自分の他にも数人の実習生がいたのに,今日は午前,午後とも実習生は1名だけで他は本職だったので,実習生へのプレッシャー分散が無いため,比較的緊張が多かったと思います。

 (でも,自己紹介もして名札もあるのに最後まで「実習生くん」はないだろ?とちょっとだけムカつきました。利用者様については,おばあちゃんとかおじいちゃんとか呼ばず名前で呼べ と言ってるくせに。。)

 実習自身は実質的にはゲームや歌や踊り,散歩とか談笑ばかりで,キツイことは何も無く,またしても普段一人で遊んでいるよりも楽しかったのですが。。

(しかし,午後の「認知症?組」ではカラオケなしのアカペラで20曲くらい唄ったのですが,こういうのは久しぶりだったですね。。。

 個人的に遊んで楽しんでるだけでいいのでしょうか?とチーフの女性に聞くとデイ・サービスはこれも仕事のうちなのでいいとのことでした。)

 何事も無ければ,後は24日の卒業式を待つだけです。。

PS:谷川先生,「JT将棋日本シリーズ」6回目の優勝おめでとうございます。(「谷川九段応援ページ」より。。)

 ところで,私の「24将棋道場」でのネット将棋の現在のテーマは「自分だけ10秒切れ負けルール」から「無理攻めがどこまで通用するか?」へと,ほんの少しだけ変わりました。

 正しく受けられれば負けるはずですが,前の10秒将棋よりも今のところ勝率がいいです。

 素人は無理でも攻めている方が有利ということでしょうか。もちろん無理といっても私の判断ですし,普通に定跡通りの局面から進んでも,攻めか守りの岐路では必ず攻めを採用するという程度で無茶をするのではなくあとちょっとで勝てそうなら一応勝ちにいきますが。。

 どうせ短時間の遊びですし,ルール違反,マナー違反?でなければ非難さることはないでしょう。。と思います。結局,つい癖でプラス「自分だけ10秒切れ負けルール」も継続していますからダメですね。)  

PS2: ところで,今日11/24(火)は巣鴨は二の酉ですね。。(今年は三の酉はないみたいです。 

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2009年11月17日 (火)

本当にやりたいことと資本主義

 「本当にやりたいことであればお金を払ってでもやりたい。」=「それに費用がかかるならお金を払う。」というのと,「やりがいのある仕事をしてお金をもらう。」というのが矛盾することがあるのが資本主義社会の一面だと思います

 絵を描くのが好きだ。歌を唄うのが好きだ。野球,サッカー,相撲,ゴルフetcが好きだ。じゃあ,お金を払ってもやりたいですか?もちろん, アマチュアのままでいるのなら,別に,問題や矛盾はないでしょう。

 しかし,本当に「好き=生きがい」で努力してプロになった方,またはプロを目指す方が存在します。プロスポーツであれば,「土俵,イヤ野球場にはお金が落ちている。」という人々についてはどうでしょう。

 46歳にして現役選手を続けたいという「工藤投手」,彼の場合,「自由契約=クビ」でもプロとしてであるなら,「お金を払ってでもやりたい。」のではないか?と想像しますが,現実には選手としてそうした身分は許されないでしょうね。

 プロというのはお金をもらうこと,あるいは金が取れることをも意味します。プロスポーツがある場合には,その選手であればプロであることがアマよりも技術,またはパフォーマンスとして上であることを意味するからです。そもそも下手であれば何でお金がもらえるの?とかです。。

 スポーツには限りませんが,これが資本主義社会でしょうね。

 (「俺の芸,俺の技術は売り物じゃねえや」という考え方もあるでしょうが。。) 

 命や心を救うであろう医師や医療技術者,または,まさに看護や介護に従事する人々,そして他人に教える仕事である教師とか,直接,他人を助ける支援する仕事をお金を払ってでもやりたいという方もいるでしょう。

 実際,「ボランティア=無償奉仕?」で人助けをやっておられる人もいるでしょうが,資本主義社会では,逆に「お金をもらわないでやる=プロではない」ということは,彼,彼女には「責任がない(無責任)」=「お金もらってないのだから失敗しても責めるられるいわれがない。」という意味もあります。

 例えば,臨床,医師の資格のない人が,相手を助けたい一心で無料で医療行為を行いたいと言っても良心,やさしい心であっても受け入れられるものではありませんね。好意であっても犯罪行為です。

 それに,無料奉仕では別に生活の糧を得る手段を持っていなければなりません。生きていくのがギリギリの社会ではそもそも「本当に好きなこと」を趣味嗜好でやっている奴なんて「鼻持ちならない奴」ということもあるでしょうね。

 (これは自分の存在自体が他の存在の排斥を意味する「原罪」のようなものでしょうか? 2009年5/24の記事「 カルネアデスの舟板でも書いたように生産性が足りていれば「原罪」に縛られることはないのでしょうが。。

 必ずしも生活の糧の話だけではなく「ナンバー・ワンにならなくてもいい,元々特別なオンリー・ワン」(←盗作)というのと逆の意味で,自分の存在が他の存在意義を排斥することがあるという意味もありますが。。。)

 過去に教師であっても,引退した後はお金を払っても教える対象がいないこともあるでしょう。教えるという行為はそれ自身相手に対してある程度の優越感を感じたり,相手が知識,知恵を得ることで感謝されれば自分も嬉しいというようなお金ではない報酬が得られます。

 上記の人助けに属する仕事は,もしも資格不要で給料も不要な金持ちの道楽であれば,感謝されて嬉しいという報酬=これもエゴが満足されるでしょう。

 私自身が持っている実存と社会性という矛盾=二枚舌を正当化するために現在が理想社会ではないからという意味で社会背景や経済構造を持ってくるのは大げさで僭越だとは思いつつ。。。今日の雑感です。。

 (↑ むずかしげに見えることを書いて気取ってみても,自分が単にエロが好きでスケベな変態ジジィであることを肯定してるだけじゃん。。。)

PS:そうそう,大事な例外?を忘れていました。お金を得ること,あるいは金持ちになること自体が「本当にやりたいこと」であるという場合もありましたね。

  

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定量的地震学5

 1月以上の間があきましたが地震学の続きです。 

 前回は曲線座標変換というやや幾何学的な話に寄り道しましたが,今日は第3章の地震源(震源)の表示に入ります。

 固体地球外部の地震源の例を上げると,風,大洋波浪,隕石衝突,ロケットの打ち上げ,大気中の爆発などがあります。その他,人々の歩行によってさえ地震が生じます。

こうした外部の地震源については,通常単純な地球表面に加えられた時刻変動応力の解析の枠組みの中で処理できます。

 また,多くの実用的目的を有する現象に起因するものや,その他にも火山の噴火,ガス漏れなど比較的規模の大きい爆発,粉砕などもありますが,これも外部ソースであり上記に含まれるでしょう。

 一方,一般的な地震や地下爆発など地球内部のソースに対しては,解析の枠組みはよりむずかしい展開を必要とします。

なぜなら,これまで論じてきた弾性運動を支配する方程式が固体地球内部の到るところで有効というわけではないからです。

この章では内部ソースについてのみ論じます。これは断層源と体源の2つのカテゴリーに分けられます。 

断層源は破砕された平面を通っての"断層=地滑り"のような内部面と関連した事象です。一方,体源は体積的なソース領域における爆発的膨張のような内部体積に関わる事象です。

内部ソースの数学的記述は古典的には異なる2つのラインに沿って追跡されてきました。

 

1つはソースを含む媒質のある要素へ加わる体積力によるライン,もう1つは変位,または歪みの幾つかの不連続性(すなわち,断裂する断層面や体源の表面を通るそれ)によるラインです。

しかし,2番目のアプローチは有効的に1番目のそれに組み込むことが可能です。すなわち,断層面を横切る単純な剪断作用については体積力の等価物が存在します。

 

以下では,こうした体積力の等価物について理論を幾分詳細に展開し,根本的に異なる力の系が正確に同じ変位の不連続性に同等であることを示すことから解析を始めます。 

それから後に,BarridgeとKnopoff(1964)に従って断層源の一般理論を展開し,最後に体源に関する理論を概説する予定です。

一般に,震動図に記載された運動は地震源の効果と伝播の効果の両方の結果です。

 

震動図を理解することを追求してきた主な理由の1つは地震運動から伝播の効果を分離することです。というのは地震源の効果は地球の内部構造に関する情報を携帯しているからです。

最近では,地殻プレートの運動を図示して地震源のプレートがどのように動かされるかを学ぶという目的のために,次震源(震源)のメカニズムが研究されているようです。

現在では,近くの断層の性質と局地的応力の分布に関する地質学的,地球物理学的データに基づいて工学用途の敷地における地震危害の予測を行なうという観点から,こうしたソース(source;震源)の理論が広く展開されているようです。

さて,初めに述べた通り,[内部面における表示定理]="応力と変位における不連続性に対する体積力(実体力)の恒等式(等価物)"を与えるという主題に移ります。

第2章で与えられた表示定理は,表面Sを体積V内部の隣り合う面に選べば震源において強力な助けに成り得ます。

ここでの考察の動機は,H.F.Reidの仕事に起因するものです。

 

彼の1906年のSan Francisco地震前後のSan-Andreas断層の研究は,地震運動が活性化した地質学的断層上の自然発生的地滑りにより放射された波動によるという一般的認識に導きました。

 

我々は,こうしたソースのメカニズムをすぐ後により詳細に論じる予定です。他方,動力学的過程や他のソースのメカニズムについてはずっと後の第15章で述べる予定です。

現在の関心としては,埋没した地滑りのプロセスとそれから放射された波が,既に得られた表示定理からどのようにして自然に解析され得るかということです。 

既に述べたように,表示定理は次の3つの異なる表現を有します。 

n(,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Gin(,t-τ;ξ,0)]dVξ+∫-∞dτ∫S[{Gin(ξ,t-τ;,0)Ti((ξ,τ),)-ui(ξ,τ)Cijkl(ξ)nj{∂Gkn(ξ,τ-t;,0)/∂ξl}}dSξ..(1)

n(,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Grigin(,t-τ;ξ,0)]dVξ-∫-∞dτ∫S[ui(ξ,τ)Cijkl(ξ)nj{∂Grigkn(,τ-t;ξ,0)/∂ξl}]dSξ..(2)

n(x,t)=∫-∞dτ∫V[fi(ξ,τ)Gfreein(,t-τ;ξ,0)]dVξ+∫-∞dτ∫S{Gfreein(,t-τ;ξ,0)Ti((ξ,τ),)}dSξ..(3) です。

そこで述べたように,これらは変位ベクトル(,t)がS上の変位に依存するのか →(2),それとも応力に依存するのか →(3),または両方に依存するのか →(1)という疑問への矛盾を示しているように見えます。

  

しかし,弾性媒質上では応力と変位が独立というわけではないので矛盾はありません。

さて,この表示定理における表面SがVの外部境界面だけでなく埋没した断層の相対する面であるような隣り合う内部面をも含むとする視点は地震源の理論にとって中心的な論点です。

すなわち,S≡Sext+Σに取ってみます。ただし,SextはVの外部表面でありΣ≡Σ++Σ-はV内部の1つの断層の相対する面です。

まず,表示定理で最も一般的な式(1)をun(,t)=∫-∞dτ∫V[fp(ξ,τ)Gnp(,t-τ;ξ,0)]dVξ-∫-∞dτ∫S[ui(ξ,τ)Cijpq(ξ)nj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq}-{Gnp(ξ,t-τ;,0)Tp((ξ,τ),)}]dSξと書き直します。

 Sextは地球全体の表面としてもいいのでそう考えます。

 

 グリーン関数Gがext上で斉次境界条件Ai+γji,j=0,Bi+γji,j=0 を満足していると考えられます。ただし,Ai(,t)≡Gim(,t;ξ11),Bi(,t)≡Gin(,t;ξ2,-τ2)です。

こうすれば,右辺のS=Sext+Σにおける表面積分のうち,外部地球の表面Sextの寄与は無視できます。 

そして,Σ-の外向き法線単位ベクトルをn=νとします。するとΣ+の外向き法線単位ベクトルは明らかにn=-νです。 

また,Vの内部での一般座標をηとし,ξは表面(断面)Σの上の一般座標のみを表わすとします。

さらに,鍵括弧[ ]の中の量はΣ+とΣ-の差を示すとします。例えば,[(ξ,τ)]≡(ξ,τ)|Σ+(ξ,τ)|Σ-と定義されます。

すると,表示定理はun(,t)=∫-∞dτ∫V[fp(η,τ)Gnp(,t-τ;η,0)]dVη+∫-∞dτ∫Σ[ui(ξ,τ)Cijpq(ξj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq}-{Gnp(ξ,t-τ;,0)Tp((ξ,τ),ν)}]dΣ となります。

これが実際的な計算において意味を持つためには,Σ上で何らかの境界条件を与える必要があります。

境界条件のに対する選択は破裂する断層面を横切る応力と変位の現実の性質に従わせる必要がありますが,Gに対する選択は有益な形になるように自由に選ぶことが可能です。

 

変位については,両断層面の上でゼロではないスリップ[]が存在するはずですが,応力については連続性から[(,ν)]=0 と考えられます。

また,Σ上でのGの性質の定義を確立する最も簡単で最も共通に用いられている方法は,Σを横切ってGとその空間微分係数が連続であるように設定することです。 

これは体積Vに対して計算するには最も容易なグリーン関数です。

 

もしも,このに対して体積力がないときにはn(,t)=∫-∞dτ∫Σ([ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq})dΣ となります。

 この表現式は断層上での変位があらゆる場所における変位を決めるのに十分であることを示していますが,これは「定量的地震学2」で述べた"一意性定理"から予測できることです。

 

(↑ 複素関数論のコーシーの積分定理にも似てますね。)

※注:"一意性定理"の内容を再掲します。

[一意性定理]:表面境界Sを持つ体積Vの弾性体内の到るところで,与えられた時刻t0における変位と粒子速度の値,およびt>t0における(ⅰ)体積力と供給される熱,(ⅱ)表面S=S1+S2の一方の部分S1上での応力Π,(ⅲ)残りの部分S2上での変位が既知なら,時刻t0より後の時刻tおける変位(,t)は一意的に決まる。

 

(注終わり※)

 

しかし,一見したところこの表現式においてソースの伝播を記述するグリーン関数についてΣにおける境界条件が与えられていないことは驚くべきことです。

断層上で生じた運動は,それ自身が断層面によってある形式で回折される波を作り上げると予測されますが,この相互作用はスリップ関数[(ξ,τ)]の決定を複雑にはするけれどグリーン関数の決定には入り込まないからですね。

こうして,多くの地震学者はある仮定されたスリップ関数によって作り上げられた運動を記述するために,この公式:un(,t)=∫-∞dτ∫Σ([ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq})dΣを用いてきました。

以下では,たった今記述した直接には如何なる体積力も含んでない地震源の表現の体積力の等価物を求めることを試みます。

 

n(,t)=∫-∞dτ∫Σ([ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq})dΣは,各々が体積力によって作り上げられたグリーン関数にわたって積分することにより,(,t)における変位を与えることを示していると見ることもできます。

 

こうした見方によれば,活断層も体積力の面的寄与と見なせるような意味があるに違いないと確信されます。

この方法で予測されるような体積力の等価物を決定するため,再び元の一般的な表示定理の式(1)の表現から始めます。

すなわち,再掲するとun(,t)=∫-∞dτ∫V[fp(η,τ)Gnp(,t-τ;η,0)]dVη+∫-∞dτ∫Σ[ui(ξ,τ)Cijpq(ξj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq}-{Gnp(ξ,t-τ;,0)Tp((ξ,τ),ν)}]dΣです。

ただし,GはΣに対してなお透明,つまりΣを横切ってGもその空間微分係数も連続とする仮定を採用します。

 

ここで,Σを横切る[],[(,ν)]については,先の境界条件[(,ν)]=0 のような条件を全く仮定せず,応力の不連続性も存在するようなより一般的な状況とします。

 

するとun(,t)=∫-∞dτ∫V[fp(η,τ)Gnp(,t-τ;η,0)]dVη+∫-∞dτ∫Σ([ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq}-[Tp((ξ,τ),ν)]Gnp(ξ,t-τ;,0))dΣと書けます。

 

こで,デルタ関数δ3(ηξ)を用いればΣにおける不連続性はVの中に局在化できることを利用します。

 

例えばΣにおける(応力×面積=力):[]dΣは,体積力としての寄与∫VdV{[3(ηξ)dΣ}を与えます。

したがって,応力の不連続性[]がゼロでない場合,その寄与-∫-∞dτ∫Σ[Tp((ξ,τ),ν)]Gnp(ξ,t-τ;,0)}dΣは-∫-∞dτ∫V(∫Σ{[Tp((ξ,τ),ν)]δ3(ηξ)dΣ}Gnp(ξ,t-τ;,0))dVで表現できます。

それ故,Σ上の応力不連続性の体積力の等価物は[T](η,τ)≡-∫Σ{[Tp((ξ,τ),ν)]δ3(ηξ)dΣで与えられます。

変位の不連続性は応力よりも物理的解釈が困難なのですが,数学的に考えて∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq=-∫V{∂δ3(ηξ)/∂ηq}Gnp(ξ,τ-t;,0)dVなる恒等式を用いれば応力不連続性に等価式に同等な表現を得ます。

すなわち,変位の不連続性による寄与∫-∞dτ∫Σ([ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂Gnp(ξ,τ-t;,0)/∂ξq}は,-∫-∞dτ∫V(∫Σ{([ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂δ3(ηξ)/∂ηq}dΣ)Gnp(ξ,t-τ;,0)}dVと表現されます。

そこで,Σ上の変位不連続性の体積力の等価物はfp[](η,τ)≡-∫Σ{[([ui(ξ,τ)]Cijpq(ξj{∂δ3(ηξ)/∂ηq}dΣで与えられることがわかります。

今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

 

PS:昨日はヘルパーの現場実習の初日として赤羽の訪問介護施設の現役のヘルパーさんに同行して自宅訪問の実習を受けてきました。

 

 実は,実際の利用者様に迷惑をかけてはいけない実習なので,ほとんど見学同然と思ってはいましたが,当初から最も危惧していたのがこの同行訪問実習でした。

 

 というのも,この訪問介護実習で不可避な自転車での移動というのは「糖尿病+心不全+足の動脈硬化」である私にとって可能かどうか?という体力的に最も不安な材料だったからです。

 

 実際,その通りでしたね。

 

 北区の赤羽付近は坂が多く"心臓破りの坂"もあって,心臓+足が動かず,平気を装ってはいましたが一瞬死ぬかとも思うこともありました。

 

 楽な下りがあるということは,帰りは上りですから,動かなくなってしまったら同行者の方に迷惑だと思いましたが,降りて歩いて押していくしかありません。(逆に1人だったら少しは楽だったかも。。。)

 

 利用者様の自宅までの往復と買い物支援,さらに終わって最後に事務所に帰る際,はぐれて道に迷ったのも含め,約2時間も自転車に乗ったのは過去の健康時代を考えても,めったにないことでした。

 

 ともあれ,雨も降らず鬼門の同行訪問実習は無事終了しました。移動以外の実習は体力的には休息時間でしたが,問題ないと思います。

(例によって,何事があっても常にニコニコ笑顔だった(ツモリな)のは,八方美人の性分ですね。)

 

 後の施設実習でも体力は必要でしょうが,まだ給金を頂いて責任を取ることを余儀なくされる本格的な仕事ではなく,学生としての実習だろうし私の最も得意な?他人とのコミュニケーション(=おしゃべり?)の方が主体ではないかとも思い,とにかく少なくとも自転車での移動がないであろうことを考えて楽観しています。

 

 本日は寝て曜日で完全休養日にしよう。アレ?岡山のおフクロの89歳の誕生日は今日17日か21日かどっちだったかな?

 

(↑ イキアタリバッタリで脳天気だなあ。。ウーン,キム・ヨナはいいなあ。。。忘れてた。今日(11/17)は「将棋の日」でもありました。)

  

 (実は,昨日朝は訪問介護事務所の付近まで最近懇意にして頂いている自宅の隣人のMさんに車で送って頂いたのです。Mさんどうもありがとうございました。

 

 しかし,住所だけを頼りにして到着したためか,頂いた矢印付きの地図と写真の通りに徒歩で行けば自然にわかったらしい事務所の入口を間違えてしまって指定時間通りには入ることができず最初から躓きました。

 

 実は私はかなりヒドイ方向音痴です。事務所の担当の方とスクールで対応して頂いた方,ゴメンナサイ。

 

 16年くらい昔は住所だけを頼りに当日自分が交通ガードマンとして立つべき場所を探していたのですから,まるっきりの方向音痴でもないでしょうが。。)

 

 オマケに昼休み近くのコンビニまで往復の際,靴の左側を間違えて履いていって帰ってから気付いて皆様に笑われましたが,靴を間違えてご迷惑かけてゴメンナサイ。

 

 こういうことで笑いを取ってはいけませんね。^^;)

 

PS2:市橋事件について,何日も食事を取っていないなどの報道はどこまで真実なのでしょうか? 取り調べ段階での官憲の守秘義務とマスコミリークとの関係等々についてはよく知りませんが。。。

  

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2009年11月12日 (木)

私の近況

 渡辺明竜王に森内俊之九段(18世名人)が挑戦している将棋竜王戦第3局は11/10,11に京都「東本願寺 渉成園」で行われ後手角換りで渡辺竜王の3連勝でした。第4局は11/25,26下呂「水明館」で行われる予定です。

 これって,まるで単なる将棋ニュースみたいですが,昨日はこれに注目していました。

 世間では市橋容疑者の逮捕とか森繁さんが亡くなった話題などで盛り上がっているようですが,私自身は何故か生活が荒れていて身体,精神共に不安定で,そうした他人のことまで考える余裕はあまりないです。

 市橋氏の逃亡生活はまるで刑務所で禁固刑を受けているようです。この生活を時効まで10年以上続けるとしたら刑務所で服役しているのと比べて,刑死を免れる以外にはほとんどメリットがないように見えます。

 という意味では私には彼が何を拠り所にして逃げていたのか?素朴な疑問を感じます。まあ,逃げている当事者の心理は,冷静客観的ではないのかもしれませんが。。。

 (予めフェリーの出港時間を調べておいて出港直前に姿を現わせばいいことを考えれば,彼はもう逃亡に疲れ切って逮捕されたかったのかも。。。)

 また,今のところ容疑は死体遺棄です。

 実際には殺人事件であって彼が外国人女性を殺害したとしても,それが残虐な意図の事件であったのか,それとも男女関係のもつれでケンカでもして打ち所が悪くて亡くなったかとかの交通事故の過失致死に近いものなのか?もまだ不明なので評価する材料がありません。

(不謹慎だとは思いますがSMプレイで首が絞まって死ぬこもあるらしいです。私などは心臓病持ちなので簡単に腹上(腹下)死?。。。)

 (生い立ちとか何とか話題性があるためか?先走って色々マスコミが騒いでいますが,私は警察の失態のため?に彼が長期逃亡したということを別にすれば,2年7ヶ月前の出来事自体については相手が外国人女性であるということくらいで普通の事故,事件と比較して何ら特殊性を感じませんね。)

 昔のアメリカのTVドラマシリーズで日本でも人気があった「逃亡者」では,主人公は既に死刑が確定していて,真犯人を見つける以外に命が助かる道がないということだったので,拠り所というのははっきりしていましたが。。。

 あるいは公儀から賞金を賭けられて「冥府魔道」を行く子連れ狼のような場合もあるでしょう。これらはお尋ね者の方に理があるとするドラマですね。

 警察権力にとっては既にこうあるべきという結論が先にあって,容疑者が黙秘しようと否認中であろうと,マスコミは世論も後押ししている結論が絶対に正しいという一方的な警察検察側OBなどのゲスト・コメンテータしか呼ばないので我々は自然と洗脳されてしまいがちです。

 まあ,対岸の火事はともあれ,私はといえば2006年3/20から2009年11/7までの合計741記事の投稿日時,記事題名とカテゴリー,およびURLのエクセルへの全入力が昨日終わりました。

 そして,まずは別ファイルにコピーしてバックアップを取りました。

 そして,このブログの目次を作成して検索しやすいように,まずは別々の項目でソートをかけて分類したファイルを作ったり,URLと題名を重ねたりして,整理する作業など,昔どこかの会社していた仕事に似たようなことをしています。

 季節の変わり目と不安定な天気のせいか,偏頭痛などもあって,結構不定愁訴がありますね。(パーキンソン病かなあ?)

 ゼイタクなことですが,普通にサラリーマン的生活をしていた時代の方が少なくとも精神的には安定していました。

 まあ,気分屋だし週末になるとどうせ脳天気になるでしょうが。。

PS:巣鴨は今日は一の酉ですね。明日は13日の金曜日。。。19時頃一人で巣鴨大鳥神社境内に並んでお神酒を一杯頂きましたが寒かったですね。

PS2:激しい反撃によって自身曲げられたり復元したりしながらも,新しい政権がこれまでの政権がずっと敗北してきた歪曲官僚との戦争を必死に闘っているように見えます。。

 当面は野党も含め,暖かくかつ厳しくこの闘いを見守り応援してはいかがでしょうか?。。。結局は,またしても敗北に終わるのかもしれませんが。。。。

 人のエゴ,欲望には限りはなく,"権力を握れば,必ず腐敗する。"としても。。

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2009年11月 7日 (土)

光(電磁波)の散乱(4)

 さて,途中になっている電磁波の散乱振幅の計算の続きです。

 

 前回は,r=aで磁場の垂直成分Brがゼロであるべき

という境界条件:ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2}=0 から,

 

磁気的波TE波波のポテンシャルΠscMが,入射平面波

それ:ΠinMと同じ,l1(cosθ)sinφの形の項しか持たない

という結論を得ました。

 

 今日は,他のr=aでの境界条件:

(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ}+(iω/sinθ)(∂ΠM/∂φ)=0,

{1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ}(1/r)-iω∂ΠM/∂θ=0

に着目します。

 

 これらの条件とΠMsinφに比例するということから,

電気的波TM波の方のポテンシャルΠEはcosφに比例すること

がわかります。

 

 そこで,ΠE=ΠinE+ΠscEなる分解をすれば,散乱TE波

ΠscMl1(cosθ)sinφの項しか持たないのと同様に,

散乱TM波のポテンシャルΠscEはPl1(cosθ)cosφの形の

項しか持たないことがわかります。

 

 そこでscE,およびΠscMの展開式は,それぞれ,

 ΠscE(r,θ,φ)≡(1/k)Σl=1{AEljl(kr)+BEll(kr)}

 Pl1(cosθ)cosφ,および,

 ΠscM(r,θ,φ)≡{1/(ck)}Σl=1{AMljl(kr)+BMll(kr)}

 Pl1(cosθ)sinφ

 と書くことができます。

 

 ここで,後の便宜上,ΠscEの展開係数:AE,BEに対応する

 ΠscMの展開係数はAM/c,BM/cであるとしています。

 

 また,r→ ∞における散乱境界条件は,

 ΠE(r,θ,φ)→ ΠinE(r,θ,φ)+f1(θ)exp(ikr)cosφ/r,

 ΠM(r,θ,φ)→ ΠinM(r,θ,φ)+f2(θ)exp(ikr)sinφ/r

 と書けます。

 

 ところで,球面Bessel関数の漸近近似は,

 jl(x)→ sin(x-lπ/2)/x (x→∞) です。

 

そ こで,r→∞では,

 ΠinE(r,θ,φ)=(1/k)Σl=1[il-1(2l+1)/{l(l+1)}jl(kr)

 Pl1(cosθ)cosφ]

 → (1/k)Σl=1[il-1(2l+1)/{l(l+1)}{1/(kr)}

 sin(kr-lπ/2)Pl1(cosθ)cosφ]

 と書けます。

 

 つまりinE(r,θ,φ)

 → -{1/(2k2)}Σl=1[(2l+1)/{l(l+1)}

 {exp(ikr)-(-1)lexp(-ikr)}Pl1(cosθ)cosφ/r]

 です。

 

 そこで,f1(θ)

 =-{1/(2k2)}Σl=1[(2l+1)/{l(l+1)}all1(cosθ)]

 とおけば,

 

 ΠE(r,θ,φ)

 → -{1/(2k2)}Σl=1[(2l+1)/{l(l+1)}

 {(1+al)exp(ikr)-(-1)lexp(-ikr)}Pl1(cosθ)cosφ/r]

 と書けます。

 

 

 一方,x→∞ での球面Neumann関数の漸近近似は,

 nl(x)→ -cos(x-lπ/2)/x です。

 

 そこでscE(r,θ,φ)

 =(1/k)Σl=1{AEljl(kr)+BEll(kr)}Pl1(cosθ)cosφ

 →f1(θ)exp(ikr)cosφ/r

 における因子:{AEljl(kr)+BEll(kr)}は,r→∞では,

 

 AEljl(kr)+BEll(kr)

 →{AElsin(kr-lπ/2)-BElcos(kr-lπ/2)}/(kr)

 ={1/(2ikr)}(-i)l{(AEl-iBEl)exp(ikr)-(-1)l

 {(AEl+iBEl)exp(-ikr)}

 なる形で漸近的に挙動します。

 

 しかし,r→ ∞では,内向き球面波exp(-ikr)/rは存在せず,

 その係数はゼロであるはずですからAEl+iBEl=0,

 つまりBEl=iAElです。

 

 それ故,AEljl(kr)+BEll(kr)=AEl{ jl(kr)+inl(kr)}

 =AEll(1)(kr)と書けます。

 

 ただしhl(1)は球面Hankel関数の一方です。

 

 以上からscE(r,θ,φ)

 =(1/k)Σl=1{AEll(1)(kr)Pl1(cosθ)cosφ}

 と書くことができます。

 

 同様にして,ΠscM(r,θ,φ)

 ={1/(ck)Σl=1{AMll(1)(kr)Pl1(cosθ)sinφ}

 と書けることもわかります。

 

 ところで,入射平面波については,既に見たように電場は

 Erin=exp(ikrcosθ)sinθcosφ

 =k2ΠinE(1/r){∂2(rΠinE)/∂2r}

 ={1/(kr)}Σl=1(2l+1)il-1jl(kr)Pl1(cosθ)cosφ

 です。

 

 そしてinE(r,θ,φ)

 =(1/k)Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

 jl(kr)Pl1(cosθ)cosφ,

 ΠinM(r,θ,φ)

 ={1/(ck)}Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

 jl(kr)Pl1(cosθ)sinφ 

 です。

 

 そこで,θin

=(1/r)∂ΠinE/∂θ+∂2ΠinE/∂r∂θ+(iω/sinθ)  (∂ΠinM/∂φ)

=exp(ikrcosθ)sinθsinφ

=(cosφ/k)Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

[{jl(kr)/r+kjl'(kr)}τl(cosθ)

+ikjl(kr)πl(cosθ)] です。

 

ただしl(cosθ)≡dPl1(cosθ)/dθ

=-sinθdPl1(cosθ)/d(cosθ),

πl(cosθ)≡Pl1(cosθ)/sinθ とおきました。

 

また,Eφin

={1/(rsinθ)}(∂ΠinE/∂φ)+(1/sinθ)(∂2ΠinE/∂r∂φ)

-iω∂ΠinM/∂θ

=-1exp(ikrcosθ)sinφ

=-(sinφ/k)Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

[{jl(kr)/r+kjl'(kr)}πl(cosθ)+ikjl(kr)τl(cosθ)]

です。

 

さらに,磁場は,rin

=c-1exp(ikrcosθ)sinθsinφ

=k2ΠinM(1/r){∂2(rΠinM)/∂r2}

={1/(ckr)}Σl=1(2l+1)il-1jl(kr)Pl1(cosθ)sinφ

です。

 

また,Bθin

={-iω/(c2sinθ)}(∂ΠinE/∂φ)+(1/r)(∂ΠinE/∂θ)

+∂2ΠinE/∂r∂θ

={sinφ/(ck)}Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

[ikjl(kr)πl(cosθ)]+{jl(kr)/r+kjl'(kr)}τl(cosθ)]

です。

 

そして,Bφin

=(iω/c2)(∂ΠinE/∂θ)+{1/(rsinθ)}(∂ΠinM/∂φ)

+(1/sinθ)(∂2ΠinM/∂r∂φ)

={cosφ/(ck)}Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

[ikjl(kr)τl(cosθ)+{jl(kr)/r+kjl'(kr)}πl(cosθ)]

となります。

 

そして,散乱波も同じ方法で計算できて,

rsc=k2ΠscE(1/r){∂2(rΠscE)/∂2r}

={1/(kr)}Σl=1[l(l+1)AEll(1)(kr)Pl1(cosθ)cosφ]

です。

 

また,Eθsc

(1/r)∂ΠscE/∂θ+∂2ΠscE/∂r∂θ+(iω/sinθ)(∂ΠicE/∂φ)

=(cosφ/k)Σl=1[AEl{hl(1)(kr)/r+khl(1)'(kr)}τl(cosθ)

+ikAMll(1)(kr)πl(cosθ)]

です。

 

同じく,Eφsc

{1/(rsinθ)}(∂ΠscE/∂φ)+(1/sinθ)(∂2ΠscE/∂r∂φ)

-iω∂ΠscM/∂θ

=-(sinφ/k)Σl=1[AEl{hl(1)(kr)/r+khl(1)'(kr)}

πl(cosθ)+ikAMll(1)(kr)τl(cosθ)]

です。

 

同様にして,Brsc

{1/(ckr)}Σl=1[l(l+1)AMll(1)(kr)Pl1(cosθ)sinφ],

 

θsc

={sinφ/(ck)}Σl=1[ikAEll(1)(kr)πl(cosθ)+AMl{

l(1)(kr)/r+khl(1)'(kr)}τl(cosθ)+],

 

φsc={cosφ/(ck)}Σl=1[ikAEll(1)(kr)τl(cosθ)

+AMl{hl(1)(kr)/r+khl(1)'(kr)}πl(cosθ)]

です。

 

ここで,ηl(kr)≡(kr)jl(kr),

ξl(kr)≡(kr)hl(1)(kr)とおいて得られた全ての式を

整理します。

 

まず,電場の動径成分については,

rin{1/(k22)}Σl=1(2l+1)il-1ηl(kr)Pl1(cosθ)cosφ

です。

 

また,Eθin

{cosφ/(kr)}Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

l'(kr)τl(cosθ)+iηl(kr)πl(cosθ)],

 

φin

=-{sinφ/(kr)}Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

l'(kr)πl(cosθ)+iηl(kr)τl(cosθ)]

とやや簡単な表現になります。

 

さらに磁場については,まず,Brin

={1/(ck22)}Σl=1(2l+1)il-1ηl(kr)Pl1(cosθ)sinφ

です。

 

次に,Bθin{sinφ/(ckr)}Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

[ iηl(kr)πl(cosθ)]+ηl'(kr)τl(cosθ)],および,

 

φin={cosφ/(ckr)}Σl=1(2l+1)il-1/{l(l+1)}

[iηl(kr)τl(cosθ)+ηl'(kr)]πl(cosθ)]

となります。

 

散乱波についても全く同様ですが煩雑なので結果だけ列挙します。

 

まず,電場は,Ersc

{1/(k22)}Σl=1[l(l+1)AElξl(kr)Pl1(cosθ)cosφ],

θsc={cosφ/(kr)Σl=1[AElξl'(kr)]τl(cosθ)

+iAMlξl(kr)πl(cosθ)},

φsc=-{sinφ/(kr)}Σl=1[AElξl'(kr)πl(cosθ)

+iAMlξl(kr)τl(cosθ)]

です。

 

同様に,磁場はBrsc

{1/(ck22)}Σl=1[l(l+1)AMlξl(kr)Pl1(cosθ)cosφ],

θsc={sinφ/(ckr)}Σl=1[iAElξl(kr)πl(cosθ)

+AMlξl'(kr)τl(cosθ)],

φsc={cosφ/(ckr)}Σl=1[iAElξl(kr)τl(cosθ)

+AMlξl'(kr)]πl(cosθ)]

と書けます。

 

これに,境界条件:[Eθin+Eθsc]r=a=0,[Eφin+Eφsc]r=a=0,

[Brin+Brsc]r=a=0 を当てはめると,

 

(2l+1)il-1ηl'(ka)+l(l+1)AElξl'(ka)=0,

(2l+1)il-1ηl(ka)+l(l+1)AMlξl(ka)=0

を得ます。

 

故に,未知係数は全て陽に決まり,

El=il-1(2l+1)ηl'(ka)/{l(l+1)ξl'(ka)},

Ml=il-1(2l+1)ηl(ka)/{l(l+1)ξl(ka)}となって,

解が完全に得られます。

 

ところで,r→ ∞ のときにはErsc,Brsc ∝ξl/r2 →O(1/r2),

θsc,Eφsc,Bθsc,Bφsc ∝ξl/r →O(1/r)です。

 

それ故,r→ ∞では散乱波の散乱体球の動径成分(球面波の縦波成分)

rsc,Brscは,球の接線成分(球面波の横波成分)Eθsc,Eφsc,Bθsc,

φscに比べて無視してよいと考えられます。

 

つまり,r→ ∞での散乱波も入射波と同じく,その球面波の進行方向

に垂直な偏光成分だけを持つ横波となることがわかります。

 

また,r→∞では,ξl(kr)=(kr)hl(1)(kr)

→ (-i)l+1exp(ikr), ξl'(kr)→ ik(-i)l+1exp(ikr)

です。

 

そこで,ξl(kr)ξm'(kr)=ξm'(kr)ξl(kr)

→ -ik(-i)l+mexp(2ikr)より,r→∞で

θscθsc+Eφscφsc=0 であり,scsc=0 です。

 

つまり散乱電磁波も電場と磁場が直交して進む横波です。

 

そして,散乱振幅とそれに基づいた散乱の断面積を計算するため,

r→∞での平均エネルギー密度に関係する量を計算することを考

えます。

 

まず,r→∞では|Eθsc|2+|Eφsc|2=c2(|Bθsc|2+|Bφsc|2)

={1/(k22)}(cos2φ|Sθ|2+sin2φ|Sφ|2)と書けます。

 

ただしSθとSφは次式で定義される量です。

 

すなわち,Sθ≡Σl=1(-i)l+1i[AElτl+AMlπl],

φ≡Σl=1(-i)l+1i[AElπl+AMlτl] とします。

 

 

さて,既に以前計算しましたが入射電磁波の平均エネルギー密度は,

複素電磁場の表現では真空中のポインテイングベクトルの時間平均

値として<|in|>=|in×in*|/(2μ0)=1/(2cμ0)で与えら

れます。

 

一方,散乱波のそれは,<|sc|>2=|sc×sc*|2/(4μ02)

=(εijkjk*εilml*m)/(4μ02)

={|sc|2|sc|2-|(scsc)|2}/(4μ02)

→ (|sc|2|sc|2)/(4μ02)

です。

 

それ故,r→ ∞では<|sc|>=|sc|2|sc|/(2μ0)

=(|Eθsc|2+|Eφsc|2)/(2cμ0)

={1/(2cμ022)}(cos2φ|Sθ|2+sin2φ|Sφ|2)

と書けます。

 

したがって,微小立体角dΩ=d(cosθ)dφへの散乱の微分断面積

dσは,dσ=(<|sc|>/<|in|>)r2dΩなる定義によって,

dσ/dΩ=(1/k2)(cos2φ|Sθ|2+sin2φ|Sφ|2)となります。

 

ここで,Sθ≡Σl=1(-i)l+1i[AElτl+AMlπl],

φ≡Σl=1(-i)l+1i[AElπl+AMlτl]は,

今の場合の係数Aの陽な表現では,

 

-iSθ

=Σl=1(2l+1)/{l(l+1)}[{ηl'(ka)/ξl'(ka)}τl(cosθ)

+{ηl(ka)/ξl(ka)}πl(cosθ)],

-iSφ=Σl=1(2l+1)/{l(l+1)}[{ηl'(ka)/ξl'(ka)}

πl(cosθ)+{ηl(ka)/ξl(ka)}τl(cosθ)] です。

 

そして,時間平均として,<cos2φ>=<sin2φ>

=[∫0cos2φdφ]/(2π)=[∫0sin2φdφ]/(2π)=1/2

であることを用いると,

 

実際の観測にかかる微分断面積は,

dσ/dΩ={1/(2k2)}(|Sθ|2+|Sφ|2)で与えられると結論

されます。

 

さて,x→ 0 では,ηl(x)=xjl(x)~ xl+1/(2l+1)!!,

ηl'(x)~ (l+1)xl/(2l+1)!! です。

 

また,ξl(x)=xhl(1)(x)~ -i(2l-1)!!/xl,

ξl'(x)~ il(2l-1)!!/xl+1 です。

  

それ故,ηl'(ka)/ξl'(ka)

~ -i(l+1)(ka)2l+1/[l(2l+1){(2l-1)!!}2],

ηl(ka)/ξl(ka)~ -i(ka)2l+1/[(2l+1){(2l-1)!!}2]

です。

 

そこで,以前にも概算したka→ 0,あるいはka<<1,つまり.

a<<λのRaileigh散乱では,上記-iSθと-iSφの右辺の展開

においてl=1の項だけが効いてきます。

 

そしてl=1ではτl(cosθ)=dP11(cosθ)/dθ=cosθ,

π1(cosθ)=P11(cosθ)=1であり,

η1'(ka)/ξ1'(ka)~ -2i(ka)3/3,

ηl(ka)/ξl(ka)~-i(ka)3/3 です。

 

θ~ (ka)3(2cosθ-1)/2,Sφ~ (ka)3(2-cosθ)/2)より,

|Sθ|2+|Sφ|2~ (ka)6(5cos2θ-8cosθ+5)/4 です。

 

そこで,dσ/dΩ={1/(2k2)}(|Sθ|2+|Sφ|2)

~ k46(5-8cosθ+5cos2θ)/8∝k46

~ a64,

 

σ=2π∫(dσ/dΩ)d(cosθ)=10πk46/3

=160π56/(3λ4)です。

 

したがって,ka<<1,つまりa<<λのRayleigh散乱では,微分

断面積dσ/dΩ,全断面積σは共に4に比例しています。

あるいは波長λの4乗に反比例しています。

 

一方,ka~ 1,つまりa~λでは,Sθ,Sφにおける各項の,

ηl'(ka),ξl'(ka),ηl(ka),ξl(ka)等のl=1の先頭

項だけではなく,全てのlの項が効いてきます。

 

そして,a~λの太陽からの可視光線の空気中の水滴やエアロゾルなどによる散乱に相当していて,これをMie散乱と呼びます。

 

しかし,これまでの議論では散乱体は電気伝導率σ=∞の完全導体

球であると仮定して球体の半径r=aの表面上でEθ=Eφ=0,

r=0 である,という境界条件を用いました。

 

ここで,より現実的に考えて,散乱体が球であるという仮定はそのまま

でもいいですが,散乱体は完全導体から成るのではなく,任意の有限な

電気伝導率σから成る物体であるとします。

  

また,その散乱体球の内部の透磁率は真空と同じくほぼμ0ですが,

誘電率の方は一般の値εであるとします。

 

空気分子,水滴などによる光の散乱ではこちらの誘電体というモデル

の方がふさわしいと思います。

 

すると,この誘電体球の内部での電磁場の運動方程式は,

∇×=-∂/∂tは真空中と同じですが,

 

∇×=∂/∂t(i.e.∇×=(1/c2)∂/∂t)の方は,

∇×=∂/∂t+=∂/∂t+σ,

すなわち∇×=μ0ε∂/∂t+μ0σ

とすべきです。

 

そこで,誘電体内部でも外部と同じく,がexp(-iωt)という

定在波としての時間依存因子を持つ波とすれば,

これは∇×=-iμ0(εω+iσ)E となります。

 

前の,散乱体が完全導体のときには内部には如何なる電流も存在

できず,元々電流のない球体外部と同様に,内部でも

∇×=(1/c2)∂/∂t,∇×=-i(ω/c2)でした。

 

そして,TM波,TE波に対するポテンシャルは散乱体の外部では,

もちろん,ΠEMですが,内部ではχEMであるとします。

 

すると,誘電体外部では,

Eφ={1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ},

Mθ=(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ}でしたが,

 

内部でも,単にEEφ={1/(rsinθ)}{∂2(rχE)/∂r∂φ},

Eθ=(1/r){∂2(rχE)/∂r∂θ}となります。

 

しかし,磁場の方は外部での表現:BEφ=(iω/c2)(∂ΠE/∂θ),

Eθ=-{iω/(c2sinθ)}{∂(∂ΠE/∂φ)における係数:

ω/c2=μ0ε0ωが,μ0(εω+iσ)=(εω/ε0+iσ/ε0)/c2

に変わるので,

 

誘電体内部では,

Eφ=(iωa/c2)(∂χE/∂θ),BEθ

=-{iωa/(c2sinθ)}{∂(∂χE/∂φ)と書けます。

 

ここで,広義の複素振動数ωaを導入して,ωa≡εω/ε0+iσ/ε0

と定義しました。

 

さて,球体の外部の真空中ではポテンシャル:Πが従う方程式は,

波動方程式(△-c-22/∂t2E=[△-μ0ε02/∂t2E=0

において波数k=2π/λが2≡ω2/c2=μ0ε0ω2と表現される

Helmholtz方程式:(△+k2E=0 でした。

 

しかし,誘電体中では波動方程式は,

[△-μ0(ε+iσ/ω)∂2/∂t2E=0 となるので,

これはa2≡μ0(ε+iσ/ω)ω2として(△+ka2E=0

となります。

 

複素係数:ε+iσ/ω=(ωa/ω)ε0はωに依存する複素誘電率と

解釈されます。

 

そこで,ka2=μ0(εω+iσ)ω=ωωa/c2であって,

Er=ka2χE(1/r){∂2(rχE)/∂2r},BEr=0 です。

a=2π/λaです。 

 

同様に,EMr=0,EMθ=(iωa/sinθ)(∂χM/∂φ),

Mφ=-iωa∂χM/∂θ,

Mr=ka2χM(1/r){∂2(rχM)/∂2r},

Mθ=(1/r){∂2(rχM)/∂r∂θ},

Mφ={1/(rsinθ)}{∂2(rχM)/∂r∂φ}です。

 

そして,(△+ka2M=0 ですね。

 

これらHelmholtz方程式の解としての誘電体内部のTM波,TE波

を与えるポテンシャルχEMは,r=0 の中心で有限であって,

やはりS波(l=0 の波)はないと考えられます。

 

それ故,χE(r,θ,φ)

≡(1/kal=1Eljl(kar)Pl1(cosθ)cosφ,

χM(r,θ,φ)≡{1/(cka)}Σl=1Mljl(kar)Pl1(cosθ)sinφ

と表現することができます。

 

この場合の境界条件は,全く普通でr=aの球表面において接線成分

θ,Eφ,Hθ,Hφが連続,そこでμ=μ0=(一定)よりBθ,Bφ

連続であり,法線成分BrとDr=εEも連続という条件となります。

 

ただ,今のケースでは電束密度と電場の現象論的関係は単純な

実定数誘電率による=εではなく,(ω)=(ε+iσ/ω)(ω)

=(ωa/ω)ε0(ω)=(ka2/k20(ω)

なる関係と考えられます。

 

そこで,Drの連続性については球の外部のと内部の(ka2/k2)

の連続性を問題にする必要があります。

 

故に,この条件からは,

(1/k2)[(2l+1)il-1ηl(ka)+l(l+1)AElξl(ka)]

=(ka2/k2)(1/ka2)l(l+1)CElηl(kaa) です。

 

同様に,Brの連続性からは,

{1/(ck2)}[(2l+1)il-1ηl(ka)+l(l+1)AElξl(ka)]

={1/(cka2)}l(l+1)CMlηl(kaa) です。

 

また,Eθ,Eφ,Bθ,Bφの連続性からは,

(1/k)[(2l+1)/{l(l+1)}il-1ηl'(ka)+AElξl'(ka)]

=(1/ka)CElηl'(kaa),および,

(1/k)[(2l+1)/{l(l+1)}il-1ηl'(ka)+AMlξl'(ka)]

=(1/ka)CMlηl'(kaa) です。

 

これらの式からCEl,CMlを消去すると,

El=il+1(2l+1)/{l(l+1)}{kaηl'(ka)ηl(kaa)

-kηl'(kaa)ηl(ka)}/{kaξl'(ka)ηl(kaa)

-kηl'(kaa)ξl(ka)},

 

および,AMl=il+1(2l+1)/{l(l+1)}

{kaηl(ka)ηl'(kaa)-kηl'(ka)ηl(kaa)}/

{kaξl(ka)ηl'(kaa)-kξl'(ka)ηl(kaa)}

が得られます。

 

ここで,後の便宜のために散乱体を構成する誘電体の複素屈折率

をn^≡λ/λa=ka/k=(ε+iσ/ω)/ε0)1/2で定義しておきます。

 

例えば,ka<<1, or a<<λの場合なら,

El~ il+1(2l+1)/{l(l+1)}(l+1)kal+2l-kall+2)

2l+1/{(2l+1)!!}2

÷[i(lkal+2-(l+1)+(l+1)kal-(l-1))/(2l+1)] 

~ [il/{l(2l+1)!!}2][(n^2-1)/{n^2+(l+1)/l}](ka)2l+1

です。

 

同様に,AMl

~[il/{l(l+1)(2l+1)(2l+3)]/{(2l+1)!!}2(n^2-1)(ka)2l+3

です。

 

それ故,ka~ 0 での通常の弾性散乱では,TM波のl+1の項の寄与

とTE波のl波の寄与が同じオーダーになります。

 

そこでka<<1のRayleigh散乱の場合に実際に効くl=1の最初の

項だけに着目すると,TM波では(ka)3,TE波ではka)5に比例す

るため,TM波のみが効くと見ていいでしょう。

 

そして,l=1では,AE1~i(ka)3(n^2-1)/(n^2+2) です。

 

これから,特に前のように完全導体の場合ならn^→ ∞のため,

E1~i(ka)3となることも確認されます。

 

τ1(cosθ)=cosθ,π1(cosθ)=1により,

θ~ (ka)3(n^2-1)/(n^2+2)cosθ,

φ~ (ka)3(n^2-1)/(n^2+2) です。

 

そこで,ka<<1のRayleigh散乱の場合の微分断面積は,

dσ/dΩ={1/(2k2)}(|Sθ|2+|Sφ|2)

~ (k46/2)(1+cos2θ)|(n^2-1)/(n^2+2)|2

∝ k46 ~a64 です。

 

そこで,全断面積はσ=2π∫-11(dσ/dΩ)d(cosθ)

=(8π/3)k46|(n^2-1)/(n^2+2)|2

=(128π5/3)(a64)|(n^2-1)/(n^2+2)|2

となります。

 

これらは,完全導体:n^→ ∞ の極限では,

dσ/dΩ=k46(1+cos2θ),σ=(8π/3)k46

=(128π5/3)a64です。

 

これは,先に初めから完全導体球を仮定してその境界条件から計算

したRayleigh散乱の結果:

dσ/dΩ={1/(2k2)}(|Sθ|2+|Sφ|2)

~ k46(5-8cosθ+5cos2θ)/8

∝k46~a64,

 

σ=2π∫(dσ/dΩ)d(cosθ)=(10π/3)k46

=(160π5/3)a64 と微妙に係数だけが違っています。

 

これは,Sθ≡Σl=1(-i)l+1i[AMlτl+AElπl],

φ≡Σl=1(-i)l+1i[AElπl+AMlτl]のl=1の項で,

τ1=cosθ,π1=1,El~i(ka)3は同じですが,

 

完全導体境界条件ではAMl~(-i/2)(ka)3であるのに対して,

誘電体境界条件ではAMl~ 0 であるからです。

 

大気中の空気分子による光の散乱では後者の誘電体境界条件を

採用するべきと思われます。

 

とにかく,空気分子ではn^は有限ですから,

E1~i(ka)3(n^2-1)/(n^2+2)において完全導体球を仮定して

複素屈折率をn^=∞としたものでなく,係数(n^2-1)/(n^2+2)

を含む式の方を用いるべきです。

 

複素誘電率がε^で半径がaの小球によるRayleigh散乱の断面積:

σRについて要約すると,

dσR/dΩ=(k46/2)(1+cos2θ)|(εr-1)/(εr+2)|2,

σR=(8π/3)k46|(εr-1)/(εr+2)|2

となります。

 

ただし,εrは比誘電率で,εr≡ε^/ε0=n^2です。

 

今日はここまでにします。

 

参考文献:砂川重信著「理論電磁気学」第2版(紀伊国屋書店),M.Born,E.Wolf著(草川徹 訳)「光学の原理(3)」(東海大学出版会)

 

PS:ノリピーの裁判。。判決には依存ないけど。。。

例によって不可解なことばかり。。

 

罪というのは薬物に関する法律の違反でしょう?

誰と結婚しようが離婚しようが個人的な問題とは刑法は関係

ないじゃん。。。

 

マスコミが騒いだせいで世間への影響が大きい割りに刑が軽い?。。

 

表向きは職業に貴賎なし。。

全ての人間は性別,その生業に関わらず法の下には平等だろう。

利権にからんだ周囲の大騒ぎ,ほとんどは本人の責任じゃない

部分を責めてどうするんだ?。。

 

問題にすべきは,犯罪当時の被告の責任能力の有無(たとえば幼児

であるとか認知症であるとかなら刑は軽くすべきとか。)

のような問題だろうにね。。。。

 

まあ,普通の日本の刑事裁判(検事と弁護士の両方がいても公平

であるべき判事が最初から検事9割,弁護士1割程度の予断と

偏見を持っていて,本来5分5分の情況証拠なら"疑わしきは被告

の利益に(=推定無罪)"の原則のはずなのに実際には真反対で,

しかも世論になびく傾向が大)だから,しょうがないか。。

 

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2009年11月 6日 (金)

本田美奈子さんの命日です。

 今日11月6日は生きていれば42歳のはずの「本田美奈子.」さん(本名:工藤美奈子さん)が,白血病のために38歳で亡くなった命日ですね。。。

(PS:マイミクの「みろ」さん誕生日の翌日ですね。)

 生きているうちに,彼女の演じるミュージカル:「ミス・サイゴン」を見たかったし,聴きたかったなあ。。

 (映画やTV番組だったら今でも鑑賞できるのにね。)

 最後に彼女がよく歌っていたらしい「Amaging Grace」は.私も好きだったこともあり,この賛美歌の英語歌詞をほぼ直訳して拙い訳詞を創ってみたこともありました。 (※2006年5/14の記事「 アメイジング・グレイス(我は主を知りぬ) 」)

 カラオケで1番だけはこの日本語で唄うこともよくありますが語呂は合っているようです。。

 「You Tube:本田美奈子:Amazing Grace」← クリックすると彼女の懐かしい映像と唄声が聞けます。(※著作権侵害で削除された模様)

     

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2009年11月 4日 (水)

光(電磁波)の散乱(3)

主として,Mie(ミイ)散乱を対象と考えて計算した過去のノ-トを見

つけたので,改めてその計算をチェックしながら,一般的なRayleigh

散乱とMie散乱の古典電磁波の散乱としての扱いを詳細に記述して

みます。

 

散乱体を完全導体球としたときの正しい境界条件は入射平面波と散

波を重ね合わせた全電磁波の電場,磁場が球の表面上r=a

で,nB=0,tE=0 を満たすことです。 

(※は法線単位ベクトル,は接線単位ベクトル)

 

これは極座標では,r=aで,

r=Bxsinθcosφ+Bysinθ+Bzcosθ=0,

かつ,Eθ=Excosθcosφ+Eycosθsinφ+Ezsinθ=0,

φ=-Exsinφ+Eycosφ=0

なることを意味します。

 

今のケースでは入射波はz方向に進む角振動数がωの単色平面波で

はx方向,はy方向に線偏光していると仮定しています。

 

これまで説明してきたように,散乱を1枚の全体写真として記述する

ため,電磁場の1成分をΦ(,t)=exp(-iωt)ψ()として時間

部分を分離した定在波表現を用います。

 

この表現では,入射波Φin(,t)=exp(-iωt)ψin()の空間成分

はψin()=exp(ikz)=exp(ikrcosθ)ですが,

 

これはin=(ψin,0,0),cin=(0,ψin,0,0),あるいは,

inx=cBiny=exp(ikz),Einy=Einz=Binx=Binz=0 を意味

します。

 

そして,真空中でのHelmholtz方程式よりも基本的なMaxwellの方程式:

=ε0,=μ0,c2=ε0μ0,および,

∇×=-∂/∂t,∇×=∂/∂tから出発して,

消去すると,∇×=iω,∇×=-(iω/c2)

を得ます。

 

方程式の最後の表式を極座標で書くと,

 

-(iω/c2)Er={1/(r2sinθ)}{∂(rsinθBφ)/∂θ

-∂(rBθ)/∂φ},

-(iω/c2)Eθ={1/(rsinθ)}{∂Br/∂φ-∂(rsinθBφ)/∂r},-(iω/c2)Eφ=(1/r){∂(rBθ)/∂r-∂Br/∂θ},および,

 

iωBr={1/(r2sinθ)}{∂(rsinθEφ)/∂θ-∂(rEθ)/∂φ},

iωBθ={1/(rsinθ)}{∂Er/∂φ-∂(rsinθEφ)/∂r},

iωBφ=(1/r){∂(rEθ)/∂r-∂Er/∂θ}

 

です。

 

方程式は線型なので,任意の解,は,

電気的波(E波=TM波;transverse magnetic wave)と,

磁気的波(M波=TE波;transverse electric wave)に

分解できます。

 

すなわち,EM,EM,

(ⅰ)EEr=Er,BEr=0 (TM波),

(ⅱ)EMr=0,BMr=Br (TE波)

と分解されます。

 

これら電気的波:E,E,および磁気的波:M,Mは,それぞれ,

同じ波動方程式を満足するスカラーポテンシャルΠE,およびΠM

から導出できることがわかります。

 

以下,これを示します。

 

(ⅰ)EEr=Er,BEr=0 (TM波=電気的波)の場合:

 iωr2sinθBEr=∂(rsinθEEφ)/∂θ-∂(rEEθ)/∂φ=0

 ですから,rsinθEEφ≡∂U/∂φ,rEEθ≡∂U/∂θ,

 U≡∂(rΠE)/∂rとおくことができます。

 

すなわち,EEφ≡{1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ},

Eθ≡(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ} と書けます。

 

そこで,-(iω/c2)Eθ

={1/(rsinθ)}{∂Br/∂φ-∂(rsinθBφ)/∂r}において,

,E,Eに置き換えてBEr=0 とした式:

-(iω/c2)EEθ={1/(rsinθ)}{-∂(rsinθBEφ)/∂r}は,

 

(iω/c2)(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ}=(1/r){∂(rBEφ)/∂r}

を意味します。

 

また,-(iω/c2)EEφ

=(1/r){∂(rBEθ)/∂r-∂BEr/∂θ}

=(1/r){∂(rBEθ)/∂r}は,

 

-(iω/c2){1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ}

=(1/r){∂(rBEθ)/∂r}

です。

 

よって,無関係の定数を除いて,

Eφ={iω/(c2r)}{∂(rΠE)/∂θ}=(iω/c2)(∂ΠE/∂θ),

Eθ=-{iω/(c2rsinθ)}{∂(rΠE)/∂φ} と書けます。

 

さらに,これらを,

-(iω/c2)EEr

={1/(r2sinθ)}{∂(rsinθ∂BEφ)/∂θ-∂(rBEθ)/∂φ}

に代入すると,

 

Er=-{1/(rsinθ)}[∂{sinθ(∂ΠE/∂θ)/∂θ}

 +(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)] を得ます。

 

そして,得られた結果を,

iωBEθ={1/(rsinθ)}{∂EEr/∂φ-∂(rsinθEEφ)/∂r}

に代入すると,

 

2/c2sinθ)(∂ΠE/∂φ)

={1/(rsinθ)}(∂/∂φ){-1/(rsinθ)}

 ×(∂/∂θ){sinθ(∂ΠE/∂θ)}+(1/sinθ)(∂2ΠM/∂φ2)}

 -{∂2(rΠE)/∂r2}]

です。

 

k=ω/cより,これは,

(∂/∂φ)[k2ΠE+(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}

+{1/(r2sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂ΠE/∂θ)}

+(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)]= 0

を意味します。

 

また,-iωBEφ=(1/r){∂(rEEθ)/∂r-∂EEr/∂θ}

に代入すると,

 

-(ω2r/c2) (∂ΠE/∂θ)

=∂3(rΠE)/∂r2∂θ}

+(1/r2)(∂/∂θ)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂ΠE/∂θ)/∂θ}

+(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)]

です。

 

これから,

(∂/∂θ)[k2ΠE+(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}+{1/(r2sinθ)}

×(∂/∂θ){sinθ(∂ΠE/∂θ)}+(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)]

=0 

を得ます。

 

以上のことから,スカラーポテンシャル:ΠEをHelmholtz方程式:

(△+k2E=0 を満たすように選んでよいことがわかります。

 

そこで,

Er=-{1/(rsinθ)}[∂{sinθ(∂ΠE/∂θ)/∂θ}

+(1/sinθ)(∂2ΠE/∂φ2)]=-△ΠE+(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}

によって,EEr=k2ΠE(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}

が得られます。

 

要約すると,

Er=k2ΠE(1/r){∂2(rΠE)/∂r2},

Eθ=(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ},

Eφ={1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ},および,

 

Er=0,BEθ=-{iω/(c2rsinθ)}{∂(rΠE)/∂φ},

Eφ={iω/(c2r)}{∂(rΠE)/∂θ}=(iω/c2)(∂ΠE/∂θ)

です。

 

そして,(△+k2E=0 です。

 

(ⅱ)EMr=0,BMr=Br(TE波=磁気的波)の場合:

 (iωr2sinθ/c2)EMr

 =∂(rsinθBMφ)/∂θ-∂(rBMθ)/∂φ=0 ですから,

 

 rsinθBMφ≡∂V/∂φ,

 rBMθ≡∂V/∂θ,V≡∂(rΠM)/∂r

 とおきます。

 

すなわち,

Mφ={1/(rsinθ)}{∂2(rΠM)/∂r∂φ},

Mθ=(1/r){∂2(rΠM)/∂r∂θ}

です。

 

Er0 よりiωBMφ=(1/r){∂(rEMθ)/∂r}ですから,

∂(rEMθ)/∂r=(iω/sinθ){∂2(rΠM)/∂r∂φ} です。

  

そこで,定数項を無視して,

Mθ={iω/(rsinθ)}{∂(rΠM)/∂φ}

=(iω/sinθ)(∂ΠM/∂φ) とおくことができます。

 

同様に,iωBMθ={-1/(rsinθ)}{∂(rsinθEMφ)/∂r}より

{∂(rEMφ)/∂r}=-iω∂2(rΠM)/∂r∂θ}なので,

Mφ=-iω∂ΠM/∂θ と書けます。

 

これらのポテンシャルによる表現を,

iωBMr={1/(r2sinθ)}{∂(rsinθEMφ)/∂θ-∂(rEMθ)/∂φ}

に代入すると,

 

Mr={-1/(rsinθ)}{∂(sinθ∂ΠM/∂θ)/∂θ}

を得ます。

 

得られた全てのポテンシャルによる表現を,

(iω/c2)EMθ

={1/(rsinθ)}{∂BMr/∂φ-∂(rsinθBMφ)/∂r},および,

-(iω/c2)EMφ=(1/r){∂(rBMθ)/∂r-∂BMr/∂θ}

に代入すれば,

 

(∂/∂φ){(△+k2M}=0,かつ,

(∂/∂θ){(△+k2M}=0 が得られます。

 

そこで,(△+k2M=0となるようにΠMを選びます。

 

すると,BMr=k2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2}と表わせます。

 

以上を要約すると,

Mr=0,EMθ=(iω/sinθ)(∂ΠM/∂φ),

Mφ=-iω∂ΠM/∂θ,および,

 

Mr=k2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2},

Mθ=(1/r){∂2(rΠM)/∂r∂θ},

Mφ={1/(rsinθ)}{∂2(rΠM)/∂r∂φ}

です。

 

そして(△+k2M=0 です。

 

(ⅰ),(ⅱ)をまとめると,電場については,

r=EEr+EMr=k2ΠE(1/r){∂2(rΠE)/∂r2},

θ=EEθ+EMθ

=(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ}+(iω/sinθ)(∂ΠM/∂φ), 

φ=EEφ+EMφ

={1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ}(1/r)-iω∂ΠM/∂θ

 

となり,

 

磁場については,

r=BEr+BMr=k2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2},

θ=BEθ+BMθ={-iω/(c2rsinθ)}{∂(rΠE)/∂φ}

+(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ},

φ=BEφ+BMφ

=(iω/c2)(∂ΠE/∂θ){1/(rsinθ)}

+{1/(rsinθ)}{∂2(rΠM)/∂r∂φ}

 

となります。

 

ここで,ΠEMは(△+k2)Π=0 の未知関数Πに対する解です。

 

解ΠをΠ(r,θ,φ)≡R(r)Θ(θ)Φ(φ)と変数分離形に書くと,

動径部分:R(r)に対する独立解の組は,

 

{d2/dr2+(2/r)d/dr+k2-l(l+1)/r2}Rl(r)=0

を満たす,Rl(r)={π/(2kr)}1/2l+1/2(kr)

=jl(kr),{π/(2kr)}1/2l+1/2(kr)=nl(kr)

(l=0,1,2,..)で与えられます。(J,NはBessel関数)

 

このとき,同じlに対応するΘ(θ)Φ(φ)の独立解は,

lm(cosθ){amcos(mφ)+bmsin(mφ)}(-l≦m≦l)です。

(PlmはLegendreの陪多項式)

 

それ故,Πの一般解は,Π(r,θ,φ)

=Σl=0Σm=-ll{cll(kr)+dll(kr)}Plm(cosθ)

×{amcos(mφ)+bmsin(mφ)} です。

 

ところで,電場,磁場のデカルト座標の成分と

極座標の成分の関係は,

 

r=Exsinθcosφ+Eysinθ+Ezcosθ,

θ=Excosθcosφ+Eycosθsinφ+Ezsinθ,

φ=-Exsinφ+Eycosφ,および,

  

r=Bxsinθcosφ+Bysinθ+Bzcosθ,

θ=Bxcosθcosφ+Bycosθsinφ+Bzsinθ,

φ=-Bxsinφ+Bycosφ

で与えられます。

 

ここで,入射波の電場:inと磁場:inは,

inx=cBiny=exp(ikz),Einy=Einz=Binx=Binz=0

であると仮定されていたことを思い出します。

 

したがって,入射波の極座標成分は,

inr=exp(ikrcosθ)sinθcosφ,

inθ=exp(ikrcosθ)cosθcosφ,

inφ=-exp(ikrcosθ)sinφ,および,

 

inr=c-1exp(ikrcosθ)sinθsinφ,

inθ=exp(ikrcosθ)cosθsinφ,

φ=exp(ikrcosθ)cosφです。

 

これを用いて入射波に対するポテンシャルΠE=ΠinEM=ΠinM

を求めます。

 

そのために先のEr,Eθ,Eφ,Br,Bθ,Bφに対するポテンシャル

ΠEMによる表現を利用します。

 

式はたくさんありますが,その中の1つの式:

r=EEr+EMr=k2ΠE(1/r){∂2(rΠE)/∂r2}

だけを考えれば十分です。

 

このポテンシャルは合理的に定められているため,

後の式は自然に満たされます。

 

採用した式は,exp(ikrcosθ)sinθcosφ

=k2ΠinE(1/r){∂2(rΠinE)/∂r2} です。

 

一方,exp(ikrcosθ)の展開はRayleighの公式:

exp(ikrcosθ)=Σl=0(2l+1)iljl(kr)Pl(cosθ)

で与えられることを知っています。

 

この両辺をθで微分します。

 

左辺は,∂{exp(ikrcosθ)}/∂θ=-ikrexp(ikrcosθ)sinθ

です。

 

右辺は,∂Pl(cosθ)/∂θ

=-Pl1(cosθ)(l=1),∂Pl(cosθ)/∂θ=0 (l≠1)

です。

 

これから直ちに入射波にはl=0 のS波が無いことがわかります。

 

これは,明らかに電磁波の表わす場がベクトルであってスカラーでは

ないことに起因しています。

 

Rayleighの公式の両辺のθ微分にcosφを掛けて-ikrで割ると,

exp(ikrcosθ)sinθcosφ

=(1/kr)Σl=1(2l+1)il-1jl(kr)Pl1(cosθ)cosφ

=k2ΠinE(1/r){∂2(rΠinE)/∂r2}

を得ます。

 

ここでΠinEの展開式を,

ΠinE(r,θ,φ)≡(1/k)Σl=1αljl(kr)Pl1(cosθ)cosφ

と定義すれば,

 

2(rΠinE)/∂r2+k2rΠinE

=r[∂2ΠinE/∂r2+(2/r)∂ΠinE/∂r+k2ΠinE]から,

 

αl{d2jl(kr)/dr2+(2/r)djl(kr)/dr+k2jl(kr)}

=il-1(2l+1)jl(kr)/r2

なる等式を得ます。

 

そこでl=il-1(2l+1)/{l(l+1)}となることがわかります。

 

よって,陽な展開表現:

ΠinE(r,θ,φ)

=(1/k)Σl=1[il-1(2l+1)/{l(l+1)}jl(kr)Pl1(cosθ)cosφ]

が得られました。

 

同様にしてinM(r,θ,φ)

=(1/k)Σl=1[il-1(2l+1)/{l(l+1)}jl(kr)Pl1(cosθ)sinφ]

も得られます。

 

ここでr=aにおける正しい境界条件:Br=0,かつEθ=Eφ=0

を考慮します。

 

これはr=aで,

2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2}=0,かつ,

(1/r){∂2(rΠE)/∂r∂θ}+(iω/sinθ)(∂ΠM/∂φ)

={1/(rsinθ)}{∂2(rΠE)/∂r∂φ}(1/r)-iω∂ΠM/∂θ=0

を意味します。

 

1番目の条件:k2ΠM(1/r){∂2(rΠM)/∂r2}=0 (r=a)は,

r=aで,∂2(rΠM)/∂2r+k2rΠM

=r[∂2ΠM/∂2r+(2/r)∂ΠM/∂r+k2ΠM]=0 です。

 

ΠMの展開式を,

ΠM(r,θ,φ)

≡Σl=0Σm=-ll{cll(kr)+dll(kr)}Plm(cosθ)

×{amcos(mφ)+bmsin(mφ)}と定義すると,

 

上式は,

Σl=0Σm=-lll(l+1)a-2{cll(ka)+dll(ka)}Plm(cosθ)

×{amcos(mφ)+bmsin(mφ)}=0

を意味します。

 

そこで,TE波のポテンシャル:ΠMは恒等的にゼロである,

あるいは全ての展開係数はゼロであることがわかります。

  

ΠM=ΠinM+ΠscMと書けば,左辺の展開係数が全てゼロなので,

ΠinMがm=1のPl1(cosθ)sinφの項しか持たないことから,

ΠscMもm=1のPl1(cosθ)sinφの形の項しか持たないことが

わかります。

 

途中ですが,計算に疲れたので今日はここまでにします。

 

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第2版)」(紀伊国屋書店),M.Born,E.Wolf 著(草川徹 翻訳)「光学の原理(3)」(東海大学出版会)

 

PS:先日,池袋に大きいヤマダ電機がオープンしたので,これを見に

行った機会に秋葉原まで足をのばして,中古専門のソフマップに行き

PCを中心に色々と見てきました。

 

 そして有名メーカーではなく自作に近くて昔ツクモや石丸で安売

していた中古のデスクトップマシン:2004年製のemachinesのJ4320

(CPUがPentium4:3GHz,HDD:200GB,WindowsXP(Home)入り,ただしメモリ

ーが512MBから1024MBに増設されているもの)が,11300円と意外に安く

売られていたのでつい衝動買いしてしまいました。

 

 ここ数日間は今まで使っていたデスクトップと入れ替えるためのセッ

ティングに夢中になっていました。

 

 今年6月に2004年製のHPパソコンのマザーボードが壊れたため,これ

までは所蔵休眠していた2002年製で富士通のときどき動かなくなる中古

パソコンをだましだましして使っていました。

(※6/12 「PCクラッシュで数日間アクセス不可能でした。」)

 

 新PCは,今のところ重いソフトを使用中に若干音がうるさいのが

気になる程度で他に不満はなく,前の富士通の中古よりも快適,快調

です。

 

 見かけはほぼ新品で(アウトレット?),モニター無し,マウス,キー

ボードが無く,付属ソフトもOS(Windows)とウィルスソフト以外には

無かったのですが,DVD±R(さらにRAM?)ドライブと全カードリ-ダ

ー付き(FDDは無し)で,HDDも200GB実装ですから,コアがDuoではない

けれどスペックとしては十分です。

  

 付属品が何も付いてなくても,これらは全て前のマシンから引き継

げたので私的には全く問題無しです。

 

 日本製の有名メーカー品,とはいっても他のはるかにスペックが低く,

どこかに「難あり品」なのに,この品よりかなり高価な中古品に比べ私

自身は今のところ掘り出し物だと思っています。

  

 結局,後で失敗だとわかったにしても,11300円なら1~2回の飲み代

程度ですから気になりませんね。(さらに送料も値切りました。)

 

 ところで今年は何故か将棋の谷川浩司九段(17世名人)の調子がいいみ

たいで嬉しいです。

  

 谷川さんには久しぶりにタイトルを取ってもらいたいですね。

 

 特に順位戦では今のところ全勝でトップです。

 名人復位を期待しています。

 

  

 北島忠雄六段(現在順位戦はC1で3勝2敗)もカゲながら応援して

います。頑張ってください。

 

 下は7月の「将棋オフ (←7/21の記事)」で私が取った写真です。

(肖像権無視して載せていいのかな?クレイムあれば即削除します。)

 

  

  

 

 PS2:西田房生(フサフサ生える?)さん。。連絡を待つ。

 この記事にメアド入りでコメントを入れてください。すぐに返信後,コメントおよびこのPS2は削除します。

 

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2009年11月 1日 (日)

(続)ヘルパー・スクールへの通学が終わりました。

 今日11月1日の日曜日,とりあえず,1日分だけ残っていた振り替え講義を受けて本当に現場実習以外の課程を終了して先ほど帰宅しました。

 不謹慎なことに授業中隣の初めて会った女性とコソコソしゃべっていたのは,以前から思っていたのですが,講義をされているM先生が何回目かの「暴れん坊将軍」シリーズでめ組の組頭をしていた長次郎(山本譲二)の姉で産婆のおりん役の松金よね子によく似てるなぁ。。ということでした。

(声も演技?の芸風さえよく似ています。)  

       

 それにしても,私の自己紹介は「よろしくお願いします。」で終わればいいのに,いつもいくらでも言いたいことがあって,言い足りなくてまだ続きをしゃべろうかどうか迷っているうち,「ま,いっか」で頭をかきつつ「終わります。」というパターンが多いですね。。。困ったもんだ。。。        

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