定量的地震学６: TOSHIの宇宙

2009年11月30日 (月)

定量的地震学６

　つなぎで地震学の続きを書きます。

前回は内部面上での応力,または変位(歪み)の不連続性で表現される地震源(面源)の体源による等価物の存在を証明しました。

そして,断層面を横切る剪断作用に対する体積力の等価物として次のような表現が得られるという結論で終わりました。

まず,応力の不連続性[Ｔ]がゼロでない場合には,その寄与－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣ_ξは,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξ}Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄＶ_ηで表現できます。

それ故,Σ上の応力不連続性の体積力等価物はｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξで与えられます。

一方,変位の不連続性による寄与∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}は,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V (∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξ)Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)ｄＶ_ηで表現されます。

そこで,Σ上の変位不連続性の体積力等価物はｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξで与えられると考えられます。

ただし,鍵括弧[ ]の量はΣ上の各点での不連続性を表わす量です。

すなわち,[Ｔ(ξ,τ)]≡Ｔ(ξ,τ)|_Σ+－Ｔ(ξ,τ)|_Σ-,かつ[ｕ_i(ξ,τ)]≡ｕ_i(ξ,τ)|_Σ+－ｕ_i(ξ,τ)|_Σ-etc.と定義されています。

という内容のことを書きました。

こうすれば応力,および変位の不連続性はそれぞれ－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣ_ξ＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p^[T](η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η,および∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p^[ｕ](η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_ηと体源で表現できるわけです。

まず,これらについて前回,少し書き残したことを補足することから始めます。

　上記,変位不連続性の表現の被積分関数は,各ｐに対して,添字ｉ,ｊ,ｑのそれぞれが異なる27個の項を含んでいますが,以下では媒質に対称性があって２個か３個を除く全ての項がゼロであるような重要な例を取り上げる予定です。

　しかし,取り合えず上記の恒等式自体は一般的な非均質,非等方媒質に対して成立する式です。

　これらはＶ内の各点における体源応力が断層面の上の弾性媒質の性質のみに依存する表現になっていることは注目すべきことです。

そして,Ｖ内の断層運動は内部プロセス(内力のみの系)なので,全運動量と全角運動量は保存されなければなりません。

すなわち,全てのτに対し∫_Vｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝0,かつ全てのτとη₀に対し∫_V[(η－η₀)×ｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝0 であるべきです。

実際,ｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξですから,ガウスの積分定理によって∫_Vｆ_p^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝－∫_VｄＶ_η∫_ΣｄΣ_ξ{[([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}＝∫_ΣｄΣ_ξ∫_ＳextｄＳ_η[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_jδ³(η－ξ)です。

ところがＳ_extとΣは全く共通点がないので,決してη＝ξとは成り得ず,最右辺は確かに消えます。

一方,∫_V[(η－η₀)×ｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_ηの第ｍ成分は∫_Vε_mnp(η_n－η_0n)ｆ_p^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝－∫_ΣｄΣ_ξ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j∫_VｄＶ_η(ε_mnp(η_n－η_0n){∂δ³(η－ξ)/∂η_q})＝∫_Σ(ε_mqpＣ_ijpq(ξ)ν_j[ｕ_i(ξ,τ)])ｄΣ_ξで与えられます。

ところがＣ_ijpq(ξ)＝Ｃ_ijqp(ξ),かつε_mqp＝ε_mqpなので,これの右辺もゼロになります。

こうして体積力の表現が内力である条件を満たす合理的なものであることを示すことができました。これが前回書き残した補足事項です。

さて,野外の不連続性に等価な体積力の簡単な例として,丁度１点と１方向に加えられた体積力のケースを考えます。

以前の記事「定量的地震学１,３」では次のように瞬間体積力を与えました。

“ｘ＝ξに対する１つの個別粒子に時刻ｔ＝τにｎ方向に瞬時的に加えられる１つの体積力ｆ(ｘ,ｔ)があれば,その成分ｆ_i(ｘ,ｔ)は空間位置を与えるのに３次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,衝撃の時刻を与えるのに１次元のデルタ関数に比例してｆ_i(ｘ,ｔ)＝Ａδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inと表現されます。

ただしＡは衝撃の強さを与える定数です。ｆ_i,δ³(ｘ－ξ),δ(ｔ－τ)の次元がそれぞれ[力/体積]＝ＭＬＴ^-2/Ｌ³,1/Ｌ³,1/Ｔであることに着目するとδ_inは無次元なので,衝撃の強さＡは正しく,”衝撃＝力積”の物理的次元を有することがわかります。”

これは,応力成分の不連続性とみなすこともできます。

ここでは,体積力の応力の不連続性との等価性を見るために,ｘ₃を深さ方向とし,ｘ₃＝ｈの１点(0,0,ｈ)に加わる体積力ですがδ(ｔ－τ)に比例する瞬時的な力ではなく,τ＝0から定常的にｘ₃＝ｈの１点(0,0,ｈ)にＦの大きさの体積力とします。

すなわち,ｆ(η,τ)＝Ｆδ(η₁)δ(η₂)δ(η₃－ｈ)θ(τ),Ｆ≡(0,0,Ｆ)とします。ここでθ(τ)はHeaviside関数(階段関数)です。

これは,平面ξ₃＝ｈ上の１点を横切る応力の不連続性:[Ｔ(ξ,τ)]＝Ｔ(ξ,τ)|_{(ξ1,ξ2,ｈ+)}－Ｔ(ξ,τ)|_{(ξ1,ξ2,ｈ-)}＝－Ｆδ(ξ₁)δ(ξ₂)θ(τ)と同一視できることがわかります。

これは,先に得られた表現:ｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξの右辺において,平面ξ₃＝ｈをΣとして,[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]＝－Ｆδ(ξ₁)δ(ξ₂)θ(τ)を代入すれば,ｆ^[T](η,τ)＝Ｆδ(η₁)δ(η₂)δ(η₃－ｈ)θ(τ)が確かに得られることからわかります。

断層スリップ(地滑り)によって引き起こされる地震波は,モーメントを帳消しにするようなある断層上の力の分布によって引き起こされる地震波と同じです。

問題としている断層スリップに対し,この力の分布は一意的ではありませんが,等方的な媒質内ではそれを常に複数の偶力源の表面分布として選択可能です。

この結論は,地震が単一の偶力源か複数の偶力源のいずれによってモデル化されるかという疑問に関連して長期間論じられた論争の見地からは皮肉な結論です。

単一の偶力源を擁護する人々は地震は断層上のスリップが原因であると強く信じていました。そして彼らは,これが単一の偶力源,すなわち断層の相対する側の運動に対応する２つの力に等価であると直線的に信じました。

しかし,弾性力学では経験上直線的アプローチは危険なことが多いようです。

複数の偶力源を擁護する人々のあるものは,地震が既存の剪断応力下での体積的崩壊であるに違いないと思っていました。

今や,複数の偶力源に等価であると認識されている近年の断層理論は,莫大な距離で観測された放射パターンによる支持のみならず,震源に非常に近いところで得られたデータによる強い支持を得ています。

断層Σは平面ξ₃＝0 上にあるものとします。すると,スリップ[ｕ]はξ₃方向には成分を持たず,ベクトル[ｕ]は平面Σに平行と考えられます。

さらに,平面ξ₃＝0 上でのスリップ[ｕ]の方向をξ₁方向とします。すると,[ｕ₂]＝[ｕ₃]＝0 でありν₁＝ν₂＝0 ,ν₃＝1 です。

そこで,等価体積力の表現:ｆ_p^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξは,ｆ_p^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σ[ｕ₁(ξ,τ)]Ｃ_13pq(ξ){∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄξ₁ｄξ₂となります。　

既述のように,不均質でも等方的な物質では弾性係数Ｃ_ijpqはＣ_ijpq＝λδ_ijδ_pq＋μ(δ_ipδ_jq＋δ_iqδ_jp)なる形をしています。独立定数λ,μはLame(ラメ)の定数と呼ばれます。

よって,今の場合の被積分関数のＣ_13pq(ξ)は,Ｃ₁₃₁₃(ξ)＝Ｃ₁₃₃₁(ξ)＝μ(ξ)を除いて全てゼロです。

それ故,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]δ(η₁－ξ₁)δ(η₂－ξ₂){∂δ(η₃)/∂η₃}ｄξ₁ｄξ₂,ｆ₂^[ｕ](η,τ)＝0,ｆ₃^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]{∂δ(η₁－ξ₁)/∂η₁}δ(η₂－ξ₂)δ(η₃)ｄξ₁ｄξ₂となります。