超弦理論(25)(2-14): TOSHIの宇宙

2009年12月13日 (日)

超弦理論(25)(2-14)

　ずいぶん間があきましたが超弦理論(superstring theory)の続きです。

実は記事にも書いたように2009年６/１に最後の投稿をした後,６/８にＰＣがクラッシュしてしまいました。

そこで「超弦理論(25)」の原稿は途中まで出来上がっていましたが,それを含めてマシン上に保存してある(23),(24)の草稿も失いました。

幸いにして(23),(24)は既に投稿済みだったので原稿がブログに残りました。

しかし,(23),(24),(25)はボソン弦の背景空間の次元Ｄが26であるべきことを示すという佳境の部分でもあったので,このクラッシュで何故か続きを書く気力が失せてしまっていました。

まあ,ワープロでなく手書きの元のノートはあるので,久しぶりに弦理論について書きます。ほぼ半年ぶりですね。

古典的レベルでは共変的議論と光錐(光円錐)ゲージ(light-cone gauge)の関係は全く明瞭です。光錐ゲージは共形(conformal)なゲージ選択を十分に指定することで得られます。

しかし,量子的レベルでは２つの定式化の間の関連は明瞭さとは程遠いものです。これを明確にすることが以下の仕事です。

元の共変量子化については本シリーズ記事の「超弦理論(17)(2-6)」から「超弦理論(21)(2-10)」で展開しましたが,そこでは物理的状態が従うべきヴィラソロ条件(Virasoro condition)を定式化しました。

しかし,そのときはこうした条件に従う状態の一般的記述を与えることはできませんでした。

今想定しているゴールは,このギャップを埋めて全ての物理的励起状態を陽に構成することです。

特に,共変定式化が光錐ゲージ定式化と同等であることを明らかにします。既にこれまでの論議で光錐ゲージ定式化はある条件の下でゴースト・フリーであることが示されたので,この定式化の同等性を通して共変定式化に対しての「ゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)」の証明が可能になります。

こうしたアプローチは,Del.Giadice,Di Veccia,Fubini(通称:DDF)によって開拓されました。

彼らは,ヴィラソロ演算子と交換し基底状態に続けて作用させることであらゆる可能な物理的状態を与えることができる演算子のセットを構成しました。これを「DDFの構成」と呼びます。

DDFの構成については以下で詳細に記述する予定ですが,これはスペクトルが生成する演算子のセット:{Ａ_mⁱ}で与えられます。ここで上添字ｉは(Ｄ－2)個の横波添字にわたり下添字ｎは任意の整数です。

こうした演算子はα_m^μの横波成分と１対１対応にあり,弦の横波モードを記述します。

ヴィラソロの拘束は各ｎの値に対して１つの制限を与えます。そこでスペクトルが生成する代数が各ｎの値に対して(Ｄ－1)個の演算子を含む必要があると予期されます。

それ故,失なわれていた縦波演算子Ａ_m^－も理論に入ってきます。

まず,｜0;ｐ₀＞によって運動量ｐ₀^μを持つ開弦のスペクトルのタキオン基底状態を記述します。これはａ＝1と取るとｐ₀²＝－2の状態を意味します。

なぜなら,ヴィラソロ演算子の１つはＬ₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_nですが,ｐ²|0;ｐ₀＞＝ｐ₀²,かつα_n|0;ｐ₀＞＝0により質量殻条件(mass-shell condition):(Ｌ₀－ａ)|0;ｐ₀＞＝0,またはＬ₀＝ａはα'ｐ₀²＝－ａを意味するからです。α'＝1/2です。

このタキオンはｐ₀^＋＝1,ｐ₀^－＝－1,ｐ₀ⁱ＝0 で記述される特別な運動状態にあると仮定します。これは確かにｐ₀²＝2ｐ₀^＋ｐ₀^－－Σ_i=1^D-2ｐ₀ⁱｐ₀ⁱ ＝－2を満足しています。

便宜上,１つのヌルベクトル(null vector)ｋ₀^μをｋ₀^－＝－1,ｋ₀^＋＝ｋ₀ⁱ＝0 で導入します。明らかにｋ₀²＝2ｋ₀^＋ｋ₀^－－Σ_i=1^D-2ｋ₀ⁱｋ₀ⁱ ＝0 を満たしノルムがゼロ(null)なので確かにヌルベクトルです。

そして,ｋ₀ｐ₀＝ｋ₀⁺ｐ₀^-＋ｋ₀^-ｐ₀^＋－Σ_i=1^D-2ｋ₀ⁱｐ₀ⁱ ＝－1です。

Ｍ²≡ｐ²,Ｎ≡Σ_n=1^∞α_-nα_nと置けば,Ｌ₀＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_n＝－α'Ｍ²－Ｎ＝ａ＝1なので,質量Ｍがこれに従ってα'Ｍ²＝Ｎ－1で与えられる場合,その運動量がｐ^μ＝ｐ₀^μ－Ｎｋ₀^μで与えられる状態のみを調べてみます。

ｐ₀^＋＝1,ｐ₀^－＝ｋ₀^―＝－1,ｐ₀ⁱ＝ｋ₀ⁱ＝ｋ₀^＋＝0 なのでｐⁱ＝ｐ₀ⁱ－Ｎｋ₀ⁱ＝0,ｐ^＋＝ｐ₀^＋－Ｎｋ₀^＋＝1,ｐ^－＝ｐ₀^－－Ｎｋ₀^－＝Ｎ－１ですから,ｐ²＝2ｐ^＋ｐ^－＝2(Ｎ－1)です。

それ故,α'＝1/2,Ｍ²＝ｐ²ならｐ^μ＝ｐ₀^μ－Ｎｋ₀^μの粒子状態の質量Ｍは確かにα'Ｍ²＝Ｎ－1を満たします。

そして,ｐ^μ＝0 を除く任意の物理的粒子の運動量状態は条件:ｐ₀^＋＝1,ｐ₀ⁱ＝0 に従う状態へとローレンツ変換され得ます。

すなわち,この条件はｐ₀ⁱ＝0 でかつ,ｐ₀^＋＝(ｐ₀⁰＋ｐ₀^D-1)/2^1/2＝1,ｐ₀^－＝(ｐ₀⁰－ｐ₀^D-1)/2^1/2＝Ｎ－1ですが,後者はｐ₀⁰＝2^-1/2Ｎ,ｐ₀^D-1＝2^-1/2(2－Ｎ)を意味します。

これはエネルギーがゼロでなく,横成分はゼロの粒子という意味ですが４次元空間なら単に粒子の進行方向を３軸とする座標系を取るという意味に過ぎません。エネルギーゼロの状態でない限りこうした座標系選択は常に可能です。

「超弦理論(21)(2-10)」で与えたように,質量がゼロの開弦の頂点演算子:Ｖ_ξ(ｋ,τ)はＶ_ξ(ｋ,τ)≡－ξ_μ(ｄＸ^μ/ｄτ)exp(－iｋＸ)＝－ξＸ^dexp(－iｋＸ)で定義されますがこれはスペクトルが生成する代数の構成に決定的役割を果たします。

この頂点演算子はＸ^μ(0,τ)のモード展開におけるｐ^μτから生じる因子exp(－iｋｐτ)を除けば周期が2πのτの周期関数です。

もし整数ｎに対してｋ^μ＝ｎｋ₀^μを持つ質量ゼロのベクトル頂点のみを扱うなら,許される状態に作用するときには－ｋｐが整数なのでexp(－iｋｐτ)もまた周期が2πのτの周期関数になります。

そうした状況では横偏極に対応する頂点演算子はＶⁱ(ｎｋ₀,τ)＝Ｘ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}(ｉ＝1.2,..Ｄ－2)です。ただしＸ^μ(τ)はＸ^μ(0,τ)の略記でありＸ^id(τ)≡ｄＸⁱ(τ)/ｄτです。

これはヒルベルト空間Ｈの許された部分空間(つまり,{|Ｍ＝0(Ｊ＝1);ｋ,ξ＞:ｋ^μ＝ｎｋ₀^μ}⊂Ｈ)の上ではτについて周期的なので,その部分空間の上では明確にフーリエ(Fourier)成分が定義できます。

すなわち,Ａ_nⁱ≡(2π)^-1∫₀^2πＶⁱ(ｎｋ₀,τ)ｄτ＝(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτと定義してこれを「DDFオペレータ(演算子)」と呼びます。

※(訳注57):特に,光錐ゲージではＸ^＋(τ)＝Ｘ^＋(0,τ)＝Ｘ^＋(σ,τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τで今の場合ｐ^＋＝ｐ₀^＋－Ｎｋ₀^＋＝1 なので,Ｘ^id(τ)＝ｐⁱ＋Σ_m≠0α_mⁱexp(－iｍτ)によりＡ_nⁱ＝(2π)^-1exp(iｎｘ^＋)∫₀^2πＸ^id(τ)exp(iｎτ)＝exp(iｎｘ^＋)α_nⁱです。(α₀ⁱ＝ｐⁱ)

それ故,DDFの定義したＡ_nⁱは光錐ゲージでＶⁱ(τ)＝Σ_-∞^∞α_nⁱ exp(－iｎτ)とフーリエ展開したときの係数＝フーリエ成分の共変ゲージでのアナロジーになっています。※

DDFオペレータは２つの重要な性質を持ちます。それらは第１にはＬ_nと交換するという性質です。そして,もう１つ以下に述べるような単純な代数に従います。

「超弦理論(20)」で紹介した共形次元の定義によれば,任意の演算子Ａ(τ)が次元Ｊを持つための条件は[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)が成立することです。

そこで,Ｖ(τ)がＪ＝1を持てば[Ｌ_m,Ｖ(τ)]＝(－i)(ｄ/ｄτ){exp(iｍτ)Ｖ(τ)}が成立します。

したがって,Ａ_nⁱ≡(2π)^-1∫₀^2πＶⁱ(ｎｋ₀,τ)ｄτの被積分関数が周期的であるような制限下では[Ｌ_m,Ａ_nⁱ]＝－i(2π)^-1∫₀^2π[ｄ/ｄτ{exp(iｍτ)Ｖⁱ(ｎｋ₀,τ)}]ｄτ＝－i(2π)^-1[exp(iｍτ)Ｖⁱ(ｎｋ₀,τ)]₀^2πからＡ_nⁱは第１の条件[Ｌ_m,Ａ_nⁱ]＝0 を満たします。

特に,これのＬ₀条件から得られる系は[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱです。

※(訳注58)[Ｌ₀,Ａ_nⁱ]＝0 ですがＬ₀＝－ｐ²/2＋Σ_n=1^∞α_-nα_n＝－ｐ²/2＋Ｎ＝－ｐ^＋ｐ^－＋ｐⁱｐⁱ/2＋Ｎですから,0＝[Ｌ₀,Ａ_nⁱ]＝[Ｎ,Ａ_nⁱ]－ｐ^＋[ｐ^－,Ａ_nⁱ],つまり[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝ｐ^＋[ｐ^－,Ａ_nⁱ]です。

　そして,既に見たようにｐ^－＝α₀^－＝(1/ｐ^＋){(1/2)Σ_m=-∞^∞:α_mⁱα_-mⁱ:－ａ}でかつＸ^id(τ)＝ｐⁱ＋Σ_n≠0α_nⁱexp(－iｎτ)ですから,[ｐ^－,Ｘ^id(τ)]＝(1/ｐ^＋)[(1/2)Σ_m,n[α_m^jα_-m^j,α_nⁱ]exp(－iｎτ)＝(－1/ｐ^＋)Σ_m≠0ｍα_mⁱexp(－iｍτ)＝(－i/ｐ^＋)ｄＸ^id(τ)/ｄτを得ます。

　Ａ_nⁱ＝(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτですから,ｐ^＋[ｐ^－,Ａ_nⁱ]＝－i(2π)^-1∫₀^2π{ｄＸ^id(τ)/ｄτ}exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτ＝－ｎ(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτ＝－ｎＡ_nⁱです。

　それ故,[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱなる式が得られます。※

これらの条件:[Ｌ_m,Ａ_nⁱ]＝0,[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱから,|ψ＞≡Ａ_-n1ⁱ¹Ａ_-n2ⁱ²..Ａ_-nk^ik|0,ｐ₀＞の形の任意の状態は,ヴィラソロ条件(Ｌ_m－ａδ_m0)|ψ＞＝0 を満たしＮ＝Σ_j=1^kｎ_jを有することがわかります。

Ａ_nⁱの代数を決定するためには非同時のτにおけるＸ^id(τ)の交換子が要求されます。

これについては,モード展開Ｘ^id(τ)=＝ｐⁱ＋Σ_m≠0α_mⁱexp(－iｍτ)＝Σ_-∞^∞α_mⁱexp(－iｍτ)を考えることにより,[Ｘ^id(τ₁),Ｘ^jd(τ₂)]＝2πiδ^ijδ'(τ₁－τ₂)が見出されます。

なぜなら,[Ｘ^id(τ₁),Ｘ^jd(τ₂)]＝δ^ijΣ_-∞^∞[ｍ・exp{iｍ(τ₁－τ₂)}＝iδ^ij[ｄ/ｄτ{Σ_-∞^∞exp(－iｍτ)}_τ=(τ1-τ2)であり,ｎ→∞に対しΣ_ｍ=-nⁿexp(－iｍτ)＝sin{(ｎ＋1)τ/2}]/sin(τ/2)→ 2πδ(τ)となるからです。