超弦理論(26)(2-15)

現在,計算中の問題の解釈等にかなり手間取っているので,ツナギとして超弦理論(superstring theory)の続きを書きます。

Ｄ次元振動子モードα_nによって創られる状態空間全体を物理的空間とすることは望ましくありません。それは負ノルムを持つゴースト状態を含むからです。

そこで,前回は物理的状態の条件を満たす正ノルムの横波状態,すなわちDDF状態を作る方法を紹介しました。

そして,Ａ_mⁱの代数の横波振動子α_mⁱのそれへの同型性から,Ａ_mⁱの作る部分空間の次元が(Ｄ－2)次元振動子に特有のそれであることは既に明らかです。

そこで,次に示すべき仕事は,この部分空間に直交する成分によって張られる状態の性質を明らかにすることです。

実際,以下ではDDF状態が本質的にａ＝1のとき,26次元(Ｄ＝26)で,あらゆる物理的状態を網羅し,それ故,ａ＝1,Ｄ＝26ではそれの作る物理的状態には負ノルムの状態がないことを証明する予定です。

これはBrower,およびGoddard & Thorn によって初めて証明されましたが,以下では最近Thoneによって導入された議論の簡単化をも組み込んだものを論じます。

Ｄ≦26,ａ≦1に対してゴーストがないということはＤ＝26,ａ＝1に対する結果の簡単な系です。例えば26次元の物理的状態の部分空間としての25次元空間にゴーストがないことは明らかです。

DDFオペレータで用いられる運動学的形態の考察を続けます。

もしも,今考察中の"許される状態"の中に全くゴーストが存在しないなら,共変定式化のローレンツ共変性の故に物理的ヒルベルト空間でのゴースト非存在が保証されます。

ＦをDDF状態全体で作られる空間とし任意のDDF状態を|ｆ＞と書くことにします。

そして,オペレータＫ_mをＫ_m≡－ｋ₀α_m＝－ｋ_0μα_m^μで定義します。ただし,ｋ₀はDDF状態を作る際に導入された光的(ｋ₀²＝0)ベクトル:ｋ₀^－＝－1,ｋ₀^＋＝ｋ₀ⁱ＝0 です。

これらのオペレータは交換子代数[Ｋ_m,Ｌ_n]＝ｍＫ_m+n,[Ｋ_m,Ｋ_n]＝0 を満たすことも容易にわかります。

実際,開弦では[α_m^μ,α_n^ν]＝－ｍδ_m+nη^μνで,Ｌ_n＝(－1/2)Σ_k=-∞^∞α_n-k,μα_k^μなので,[Ｋ_m,Ｌ_n]＝(1/2)ｋ_0μ[α_m^μ,Σ_k=-∞^∞α_n-k,να_k^ν]＝－ｍｋ₀α_m+n＝ｍＫ_m+n,[Ｋ_m,Ｋ_n]＝ｋ₀²δ_m+n＝0 です。

そこで,|ｆ＞∈Ｆ,すなわち|ｆ＞がDDF状態ならｎ＞0 に対してＫ_n|ｆ＞＝0 が成り立ちます。

(※:ｎ＝0 のときのＫ₀は,ただのｃ-数でＫ₀＝－ｋ₀α₀＝－ｋ_0μα₀^μ＝－ｋ_0μｐ^μ,かつｐ^μ＝ｐ₀^μ－Ｎｋ₀^μです。

つまり,Ｋ₀|ｆ＞は単に|ｆ＞の定数倍でＫ₀|ｆ＞＝ｋ₀ｐ|ｆ＞＝ｋ₀ｐ₀|ｆ＞＝(－1)|ｆ＞≠0 です。)

※(訳注59):ｎ＞0,ｍ＞0 のとき,Ａ_-mⁱ＝(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{－iｍＸ^＋(τ)}ｄτより,[Ｋ_n,Ａ_-mⁱ]＝－ｋ_0μ(2π)^-1∫₀^2πｄτexp{－iｍＸ^＋(τ)}[α_n^μＸ^id(τ)]です。

Ｘ^id(τ)＝ｐⁱ＋Σ_k≠0α_kⁱexp(－iｋτ)よりｎ＞0 では,α_n^μ,Ｘ^id(τ)]＝－ｎα_-nⁱη^μiexp(iｎτ)でｋ₀ⁱ＝0 ですから,[Ｋ_n,Ａ_-mⁱ]＝－ｎｋ₀ⁱ(2π)^-1∫₀^2πexp{－iｍＸ^＋(τ)＋iｎτ}ｄτ＝0 です。

DDF状態:|ｆ＞は|ｆ＞＝Σ_kΣ_{ｎ1,ｎ2,..ｎk}{ｃ(ｎ₁,ｎ₂,..ｎ_k)Ａ_-n1ⁱ¹Ａ_-n2ⁱ²…Ａ_-nk^ik|0,ｐ₀＞}なる形で与えられますが,ｎ＞0 ではＫ_n|0,ｐ₀＞＝0 なのでＫ_n|ｆ＞＝0 です。※

次にDDF状態:|ｆ＞に一連の演算子Ｋ_-n,Ｌ_-mを作用することによって作られる状態を調べたいと思います。

これらを,|{λ,μ},ｆ＞≡Ｌ_-1^λ1Ｌ_-2^λ2..Ｌ_-m^λmＫ_-1^μ1Ｋ_—2^μ2...Ｋ_-n^μn|ｆ＞と定義します。さらに,後の便宜のためにＰ≡Σ_rｒλ_r＋Σ_ｓｓμ_sなる値を定義しておきます。

|{λ,μ},ｆ＞の表式において演算子Ｌ_-rの順序はｒが左から右に向かって増加するように取ると規定します。

これは任意な選択のうちの１つですが,一般にＬは交換しないので規約を与えて固定することは重要です。

そして全てのＫ_-sはＬ_-rの右に来るように選びました。このとき任意のＰに対して,これらの状態|{λ,μ},ｆ＞は１次独立であることを証明することができます。

以下証明です。

(証明) まず,Thoneによる現代的扱いに従って与えられたＰの値での状態の内積の行列Ｍ ^Pを考えます。

すなわち,各Ｐ値について行列要素がＭ ^P_{{λ,μ};1{λ',μ'}}≡＜ｆ|Ｋ_n^μn..Ｋ₁^μ1Ｌ_m^λm..Ｌ₁^λ1Ｌ_-1^λ1'..Ｌ_-m^λm'Ｋ_-1^μ1'...Ｋ_-n^μn'|ｆ＞で与えられる行列Ｍ^Pを定義します。

ただし,Σ_rｒλ_r＋Σ_ｓｓμ_s＝Σ_rｒλ_r'＋Σ_ｓｓμ_s'＝Ｐです。

これらの行列要素は先に得られている交換関係,[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋Ａ(ｍ)δ_m+nおよび,[Ｋ_m,Ｌ_n]＝ｍＫ_m+n,[Ｋ_m,Ｋ_n]＝0を用いると状態:|ｆ＞についてのＫ₀＝－ｋ₀α₀≠0,およびＬ₀の値のみの関数と考えられます。

この行列Ｍ ^Pの行列式がゼロでないことを示せれば,与えられたＰに対して|{λ,μ},ｆ＞≡Ｌ_-1^λ1Ｌ_-2^λ2..Ｌ_-m^λmＫ_-1^μ1Ｋ_—2^μ2...Ｋ_-n^μn|ｆ＞が１次独立なことが言えます。

例えば,Ｐ＝1に対してはＭ ¹の要素はＭ ¹_{1,0};{1,0}＝＜ｆ|Ｌ₁Ｌ_-1|ｆ＞＝2Ｌ₀,Ｍ ¹_{1,0};{0,1}＝＜ｆ|Ｌ₁Ｋ_-1|ｆ＞＝Ｋ₀＝＜ｆ|Ｋ₁Ｌ_-1|ｆ＞＝Ｍ ¹_{0,1};{1,0},Ｍ ¹_{0,1};{0,1}＝＜ｆ|Ｋ₁Ｋ_-1|ｆ＞＝0です。

そこで,Ｍ ¹の行列式としては,確かにdetＭ ¹＝－Ｋ₀²≠0を得ます。

そして,任意のＰに対してＭ ^Pがゼロでない行列式を持つことの一般的証明はこの行列の右上から左下への対角線の下の要素は全てゼロで対角線に沿ってはゼロでない要素ばかりから成る上三角行列の形に帰するという事実によって示されます。

つまり,Ｍ ^Pの行列式は符号を除けばこの対角線上の要素の積で与えられますから,それが非ゼロとなることがいえるわけです。

そこで,実際に状態の適当な順序付けで行列がこうした上三角行列にできることを示すことができれば,Ｍ ^Pの行列式detＭ ^Pが常に非ゼロであることが証明できます。

Ｐ＝2の場合には,|{λ,μ},ｆ＞における|{λ,μ}の適当な順序は(Ｌ_-1)²,Ｌ_-2,Ｌ_-1Ｋ_-1,Ｋ_-2,(Ｋ_-1)²で与えられます。これらを|ｆ＞に作用させた状態の行列要素を評価するにはＬとＫをお互いに通過させて交換させます。

しかし,[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋Ａ(ｍ)δ_m+n,[Ｋ_m,Ｌ_n]＝ｍＫ_m+n,[Ｋ_m,Ｋ_n]＝0なので,この操作では決してＫの数を減らすことはできません。

ゼロでない行列要素を得るためには,＜ｆ|Ｋ_-n＝0 (ｎ＞0)によりＫが|ｆ＞の共役状態を消すことを防ぐ必要がありますが,これには全てのＫを因子Ｋ₀にするに十分なＬが存在することが必要です。

なぜなら,任意のDDF状態の対:|ｆ＞,|ｆ'＞に対して,もしもｎ₁＝ｎ₂＝..＝ｎ_k＝0でないなら,要素＜ｆ'|Ｋ_n1Ｋ_n2..Ｋ_nk|ｆ＞は必ず消えるからです。

そして,先のＰ＝2の例:(Ｌ_-1)²,Ｌ_-2,Ｌ_-1Ｋ_-1,Ｋ_-2,(Ｋ_-1)²のような配列が上三角行列の一般形を与えるのを見るのは容易ですから詳細は省略します。

これをより高い質量レベルへと一般化するやり方は次の通りです。

まず,最初にＬの連鎖の組{λ}の順序を定義します。

すなわち,(ⅰ)Σｒλ_r＞Σｒλ_r'(ⅱ)Σｒλ_r＝Σｒλ_r'かつλ₁＞λ₁',または(ⅲ)Σｒλ_r＝Σｒλ_r'かつλ₁＝λ₁',λ₂＞λ₂'.etc.なら,{λ}＞{λ'}であると定義します。

同様に,Ｋの連鎖の組{μ}の順序,{μ}＞{μ'}についても同じ定義を与えます。

次に,ＬとＫの結合した連鎖の組{λ,μ}の順序の規則を与えます。

(ⅰ){λ}＜{λ'},または(ⅱ){λ}＝{λ'},かつ,{μ}＞{μ'}なら{λ,μ}＜{λ',μ'}であると定義します。

そして,行列Ｍ ^Pの要素の行と列をこの規則に従って昇順に並べると,右上から左下への対角線の下ではＫを全てＫ₀にするに十分なＬが不足しているので到るところの要素がゼロとなり望ましい上三角行列の形が得られます。

しかも対角線に沿う要素は符号を除いてＫ₀^P≠0 なる行列式を与えることがわかります。

この計算は純粋に代数的でＬ_-mやＫ_-nの形には関係しません。一方,Ｍ ^Pが特異行列でないという事実はＫ_-nの存在に決定的に依存します。

ただし,Ｌ_-mだけで作られる状態に対応する行列では行列式がゼロとなる特異性が生じます。

さらに,|ｆ＞,|ｇ＞を＜ｆ|ｇ＞＝0を満たす任意の２つのＤＤＦ状態とします。また,この|ｆ＞,|ｇ＞は共にＬ₀の固有状態であると仮定します。

そして,|ｆ~＞≡|{λ,μ},|ｆ＞,|ｇ~＞≡|{λ',μ'},|ｇ＞と定義します。すなわち,|ｆ~＞,および|ｇ~＞はそれぞれ|ｆ＞,および|ｇ＞にＬやＫの連鎖を作用させて得られる状態とします。

このとき,＜ｆ|ｇ＞＝0 なら＜ｆ~|ｇ~＞＝0 が成立することを示すことができます。

実際,|ｆ~＞,|ｇ~＞を陽に|ｆ~＞＝Ｌ_-1^λ1Ｌ_-2^λ2..Ｌ_-m^λmＫ_-1^μ1Ｋ_—2^μ2..Ｋ_-n^μn|ｆ＞,|ｇ~＞＝Ｌ_-1^λ1'..Ｌ_-m^λm'Ｋ_-1^μ1'..Ｋ_-n^μn'|ｇ＞と表現して＜ｆ~|ｇ~＞＝＜ｇ|Ｋ_n^μn'..Ｋ₁^μ1'Ｌ_m1^λm'..Ｌ₁^λ1'Ｌ_-1^λ1Ｌ_-2^λ2..Ｌ_-m^λmＫ_-1^μ1Ｋ_—2^μ2..Ｋ_-n^μn|ｆ＞を作ります。

添字ｋが正のＬ_-k,Ｋ_-kを左の方にＬ_k,Ｋ_kを右の方に交換させていくと,結局＜ｆ~|ｇ~＞は単に＜ｆ|ｇ＞の倍数となることがわかります。

そこで,＜ｆ|ｇ＞＝0 の仮定では＜ｆ~|ｇ~＞＝0 がいえます。

こうして直交する|ｆ＞に基づく状態の塔同士が互いに直交することが示されました。

そして,既に,行列Ｍ ^Pの行列式を調べることによって与えられた|ｆ＞に基づく状態の塔は１次独立であることも証明しました。

こうして全てのDDF状態にわたる|ｆ＞と全てのＬとＫの連鎖にわたる{λ,μ}を持つ状態|{λ,μ},|ｆ＞＝Ｌ_-1^λ1Ｌ_-2^λ2..Ｌ_-m^λmＫ_-1^μ1Ｋ_—2^μ2...Ｋ_-n^μn|ｆ＞は,１次独立であることの証明が完了しました。(証明終わり)

状態:|{λ,μ},|ｆ＞が１次独立であるという命題とその証明は幾分技巧的なものですが,結果自体は驚くほど強力な道具になります。

このことから,ボソン弦のフォック空間における任意の状態は,|{λ,μ},|ｆ＞の形の１次結合で表現できることが導かれます。

これを理解することは,単純に状態数の勘定の問題に帰着します。

既に述べたようにフォック空間の任意の状態は振動子演算子αを用いて,Π_n=1^∞Π_ρ=0²⁵(α_-n^ρ)^εn,ρ|0＞の形に表現されます。

フォック空間の状態の総数は無限大ですが,Ｎ＝－Σ_n=1^∞Σ_ρ=0²⁵α_-n^ρα_nρ^ρの与えられた固有値を持つ有限個の状態が存在します。

Π_n=1^∞Π_ρ=0²⁵ (α_-n^ρ)^εn,ρ|0＞の状態は,もちろん１次独立で,固有値:＜Ｎ＞＝Σ_n=1^∞Σ_ρ=0²⁵ｎε_n,ρを有するＮの固有状態です。

一方,あるλ_n,μ_n,β_n,iを使って|{λ,μ},|ｆ＞の1次結合の一般状態をΠ_n=1^∞Ｌ_-n^λnＫ_-n^μnΠ_i=1²⁴(Ａ_-nⁱ)^βn,i|0＞の形に書きます。

これもＮ＝－Σ_n=1^∞Σ_ρ=0²⁵α_-n^ρα_nρ^ρの固有状態で,固有値として＜Ｎ＞＝Σ_n=1^∞{ｎ(λ_n＋μ_n,＋Σ_i=1²⁴β_n,i)を得ます。

なぜなら,[Ｎ,Ａ_-nⁱ]＝ｎＡ_-nⁱ,Ｋ_-n＝-ｋ₀ⁱα_-nより[Ｎ,Ｋ_-n]＝ｎＫ_-n,です。また,[Ｌ₀,Ｌ_-n]＝ｎＫ_-n,Ｌ₀＝－(1/2)α₀²＋Ｎから[Ｎ,Ｌ_-n]＝ｎＬ_-nだからです。

得られた結果:＜Ｎ＞＝Σ_n=1^∞Σ_ρ=0²⁵ｎε_n,ρと＜Ｎ＞＝Σ_n=1^∞{ｎ(λ_n＋μ_n＋Σ_i=1²⁴β_n,i)を比較すると,両方の形で与えられたＮに対する状態数が全く同じであることがわかります。

|{λ,μ},|ｆ＞の形の状態,およびΠ_n=1^∞Π_ρ=0²⁵ (α_-n^ρ)^εn,ρ|0＞の状態は各質量レベルで共に１次独立で数も同じなので同じフォック空間の基底となる必要があります。

今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

PS: オノ・ヨーコ　素晴らしいですね!!

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