超弦理論(27)(2-16)(no-ghost theorem)

　ずいぶん,久しぶりですが,超弦理論(superstring theory)の続きです。

10年以上前に作った自分のノートを転載しているだけなんですが,ただの単純な書き写しでは却って疲れるので内容を吟味しながら書いています。

すると忘れていたり間違っていたりを発見して思いがけず写すという作業以外に時間を取られたりします。

さて,このシリーズのすぐ前の2009年12/13の記事「超弦理論(26)(2-15)」では,DDF状態|ｆ＞＝Ａ_-n1ⁱ¹Ａ_-n2ⁱ²..Ａ_-nk^ik|0,ｐ₀＞に対して|{λ,μ},|ｆ＞≡Ｌ_-1^λ1Ｌ_-2^λ2..Ｌ_-m^λmＫ_-1^μ1Ｋ_—2^μ2...Ｋ_-n^μn|ｆ＞で定義される状態が26次元フォック空間(Fock space)の基底(basis)をなすという事実を見ました。

今度はこの結果を用いて1つか２つの更なるツールを収集した後,"ゴースト非存在の定理(no ghost theorem)"を証明します。

まず,Ｓ を"擬似状態(spurious state)"の作る空間とします。

2009年４/13の記事「超弦理論(19)(2-8)」で見たように,擬似状態|ｓ＞はある|χ₁＞,|χ₂＞に対して|ｓ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞のように書ける状態と同じです。

これは,|ｓ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ~_-2|χ₂'＞,Ｌ~_-2≡Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²とも表現されます。

※(訳注60):以前の記事「超弦理論(19)(2-8)」では擬似状態の定義を次のように与えました。 

すなわち,任意の状態:|φ＞は,拘束条件としてＬ_m|φ＞＝0 (ｍ＞0),かつ(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0 を満たすなら物理的状態(physical state)であると言われます。

一方,(Ｌ₀－ａ)|ψ＞＝0 に従う状態|ψ＞があらゆる物理的状態|φ＞と直交するとき,すなわち,|ψ＞が全ての物理的状態|φ＞に対して＜φ|ψ＞＝0 を満たすなら|ψ＞は擬似状態であるといわれます。

(訳注終わり)※

|ｓ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ~_-2|χ₂'＞,Ｌ~_-2≡Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²なる型の状態はゼロノルム状態を構成する過程から現われた結合です。

そして,この右辺でＬ_-2の代わりにＬ~_-2を用いることのメリットは後で明らかになります。

さて,擬似状態の作る空間Ｓ に対し,それと直交する空間Ｋ をΠ_n=1^∞Ｋ_-n^μn|ｆ＞の形の状態から作られる空間とします。ここで|ｆ＞はDDF状態です。

「超弦理論(26)(2-15)」で与えた|{λ,μ},|ｆ＞≡Ｌ_-1^λ1Ｌ_-2^λ2..Ｌ_-m^λmＫ_-1^μ1Ｋ_—2^μ2...Ｋ_-n^μn|ｆ＞の型の任意の状態は,右辺の陽な展開の中にいくつかＬを持つ擬似状態か,それとも全くＬを持たずＫ に属するかのいずれかです。

そして,この|{λ,μ},|ｆ＞がフォック空間Ｈ の基底をなすことを前記事で示したので,∀|φ＞∈Ｈ は|φ＞＝|ｓ＞＋|ｋ＞；|ｓ＞∈Ｓ,|ｋ＞∈Ｋ と書けることがわかります。

これは基底の定義によって,任意のＨ の元|φ＞はＳ またはＫ の元である|{λ,μ},|ｆ＞の線形結合で与えられるからです。

|{λ,μ},|ｆ＞は一次独立なのでこの分割表現:|φ＞＝|ｓ＞＋|ｋ＞は一意的(unique)です。それ故,|φ＞がＬ₀の固有状態なら|ｓ＞と|ｋ＞のそれぞれもＬ₀の同じ固有値に属する固有状態です。

特に,もしも(Ｌ₀－1)|φ＞＝0 なら(Ｌ₀－1)|ｓ＞＝0,かつ(Ｌ₀－1)|ｋ＞＝0 です。

※(訳注61):(証明):|φ＞＝|ｓ＞＋|ｋ＞(|ｓ＞∈Ｓ,|ｋ＞∈Ｋ )であって,かつ|φ＞がＬ₀の固有状態,すなわちＬ₀|φ＞＝ｃ|φ＞ならＬ₀|ｓ＞＋Ｌ₀|ｋ＞＝ｃ(|ｓ＞＋|ｋ＞)です。

一方,アノマリーを含むヴィラソロ(Virasoro)代数:[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋(Ｄ/12)(ｍ³－ｍ)δ_m+n,および交換関係:[Ｋ_m,Ｌ_n]＝ｍＫ_m+nから,[Ｌ₀,Ｌ_n]＝－ｎＬ_n,[Ｌ₀,Ｋ_n,]＝－ｎＫ_nなのでＬ₀|ｓ＞∈Ｓ,かつＬ₀|ｋ＞∈Ｋ です。

そこで,Ｌ₀|φ＞＝ｃ|φ＞のＳの元とＫの元への分割表現Ｌ₀|φ＞＝Ｌ₀|ｓ＞＋Ｌ₀|ｋ＞＝ｃ|ｓ＞＋ｃ|ｋ＞の一意性によってＬ₀|ｓ＞＝ｃ|ｓ＞,かつＬ₀|ｋ＞＝ｃ|ｋ＞です。(証明終わり) (訳注終わり)※

さて,|φ＞＝|ｓ＞＋|ｋ＞(|ｓ＞∈Ｓ,|ｋ＞∈Ｋ)が物理的状態であって,それ故,Ｌ_m|φ＞＝0 (ｍ＝1,2,..)を満足するします。また,|φ＞は(Ｌ₀－1)|φ＞＝0 にも従います。(ａ＝１に対応) そこで(Ｌ₀－1)|ｓ＞＝0,かつ(Ｌ₀－1)|ｋ＞＝0 です。

このとき,|ｓ＞と|ｋ＞もまた物理的状態で,Ｌ_m|ｓ＞＝0 かつＬ_m|ｋ＞＝0 (ｍ＝1,2,..)に従うことを証明します。

実はこれは,ｍ＝1とｍ＝2について成立することが示されれば十分です。何故なら,ｍ＞2のＬ_mは全てＬ₁,Ｌ₂の交換子の繰り返しから得られるからです。

※(訳注62):実際,ヴィラソロ代数:[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋(Ｄ/12)(ｍ³－ｍ)δ_m+nによりＬ₃＝[Ｌ₂,Ｌ₁]なので,もしもＬ₁|ｓ＞＝0,Ｌ₂|ｓ＞＝0ならＬ₃|ｓ＞＝[Ｌ₂,Ｌ₁]|ｓ＞＝0 です。

　さらに,Ｌ₄＝2[Ｌ₃,Ｌ₁],＝2[[Ｌ₂,Ｌ₁],Ｌ₁]より,Ｌ₄|ｓ＞＝0,も得られます。以下はこれの繰り返しです。(訳注終わり)※

そしてまた,先に述べたように,任意の擬似状態|ｓ＞∈Ｓ はある|χ₁＞,|χ₂＞に対して|ｓ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ~_-2|χ₂＞,Ｌ~_-2≡Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²と表現されます。

まず,(Ｌ₀－1)|ｓ＞＝0 からＬ₀|χ₁＞＝(Ｌ₀＋1)|χ₂＞＝0 が導かれます。

(訳注63):記事「超弦理論(19)(2-8)」を見ると,次のようなことも書かれています。

　"任意の擬似状態|ψ＞は(Ｌ₀－ａ＋ｎ)|χ_n＞＝0 に従う状態|χ_n＞を用いて|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞と表わすことができます。

　そして,これは(Ｌ₀－ａ＋1)|χ₁＞＝0,(Ｌ₀－ａ＋2)|χ₂＞＝0 に従う状態|χ₁＞,|χ₂＞を用いて|ψ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞の形に表現できます。

　さらに,(Ｌ₀－ａ＋2)|χ₂~＞＝0 を満たす|χ₂~＞を用いて|ψ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ~_-2|χ₂~＞とも表現されます。"

　と書かれています。

今の場合は,ａ＝1としているので,これはＬ₀|χ₁＞＝0,(Ｌ₀＋1)|χ₂＞＝0,かつ|ｓ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ~_-2|χ₂＞を意味します。

それ故,Ｌ₀|χ₁＞＝0 ,(Ｌ₀＋1)|χ₂＞＝0 は最初から仮定されていますから証明の必要なしです。(訳注終わり)※

次に,ｍ＝１に対してＬ_m|ｓ＞＝0 かつＬ_m|ｋ＞＝0 を証明するためにＬ₁|φ＞＝0 からのＬ₁|ｓ＞＋Ｌ₁|ｋ＞＝0 に着目します。

ここで,Ｌ₁|ｓ＞＝Ｌ₁(Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ~_-2|χ₂＞でＬ₁|ｋ＞＝Ｌ₁Π_nＫ_-n^μn|ｆ＞ (|ｆ＞はDDF状態)です。

このとき,Ｌ₁|ｓ＞も擬似状態であり,Ｌ₁|ｓ＞＝Ｌ_-1|η₁＞＋Ｌ~_-2|η₂＞と書けることがわかります。

(訳注64):実際,Ｌ₁Ｌ_-1|χ₁＞＝(2Ｌ₀＋Ｌ_-1Ｌ₁)|χ₁＞＝Ｌ_-1Ｌ₁|χ₁＞,Ｌ₁Ｌ~_-2|χ₂＞＝(3Ｌ_-1＋3Ｌ₀Ｌ_-1＋3Ｌ_-1Ｌ₀＋Ｌ~_-2Ｌ₁)|χ₂＞＝{6Ｌ_-1(Ｌ₀＋1) ＋Ｌ~_-2Ｌ₁}|χ₂＞＝Ｌ~_-2Ｌ₁|χ₂＞です。

そこで,|η₁＞≡Ｌ₁|χ₁＞,|η₂＞≡Ｌ₁|χ₂＞と置けばＬ₁|ｓ＞＝Ｌ_-1|η₁＞＋Ｌ~_-2|η₂＞と書けます。

さらに,Ｌ₀Ｌ₁|ｓ＞＝(－Ｌ₁＋Ｌ₁Ｌ₀)|ｓ＞＝Ｌ₁(Ｌ₀－1)|ｓ＞＝0 よりＬ₁|ｓ＞もＬ₀の固有状態です。(訳注終わり)※

また,Ｌ₁|ｋ＞＝Ｌ₁Π_nＫ_-n^μn|ｆ＞(|ｆ＞はDDF状態)であり,DDF状態は物理的なのでＬ₁|ｆ＞＝0 であること,および交換関係[Ｋ_m,Ｌ_n]＝ｍＫ_m+nを用いると,Ｌ₁|ｋ＞∈Ｋ なることがわかります。

それ故,等式 0＝Ｌ₁|ｓ＞＋Ｌ₁|ｋ＞は 0 のＳとＫへの一意的な分割表現を意味します。そこで,Ｌ₁|ｓ＞＝Ｌ₁|ｋ＞＝0 と結論されます。

後は,Ｌ₂|ｓ＞＝Ｌ₂|ｋ＞＝0,またはＬ~₂|ｓ＞＝Ｌ~₂|ｋ＞＝0 を証明するだけですが,これはＬ₁|ｓ＞＝Ｌ₁|ｋ＞＝0 を得た論旨を一般化すれば得られます。

※(訳注65):(証明)まず,Ｌ~₂|φ＞＝0 から,Ｌ~₂|ｓ＞＋Ｌ~₂|ｋ＞＝0 に着目します。

Ｌ~₂|ｓ＞＝Ｌ~₂(Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ~_-2|χ₂＞で,Ｌ~₂|ｋ＞＝Ｌ~₂Π_nＫ_-n^μn|ｆ＞(|ｆ＞はDDF状態)です。Ｌ₂Ｌ_-1|χ₁＞＝Ｌ_-1Ｌ₂|χ₁＞は容易に得られます。

一方,Ｌ~₂Ｌ~_-2|χ₂＞＝{Ｄ/2＋13Ｌ₀＋18Ｌ₀(Ｌ₀＋1)＋18Ｌ_-1Ｌ₁(Ｌ₀＋1)|χ₂＞＋Ｌ~_-2Ｌ~₂|χ₂＞＝(13Ｌ₀＋Ｄ/2)|χ₂＞＋Ｌ~_-2Ｌ~₂|χ₂＞ですが,Ｄ＝26なのでＬ~₂Ｌ~_-2|χ₂＞＝Ｌ~_-2Ｌ~₂|χ₂＞を得ます。

よって,|η₁＞≡Ｌ~₂|χ₁＞,|η₂＞≡Ｌ~₂|χ₂＞と置けばＬ~₂|ｓ＞＝Ｌ_-1|η₁＞＋Ｌ~_-2|η₂＞と書けます。Ｌ~₂|ｓ＞∈Ｓですね。

また,Ｌ~₂|ｋ＞＝Ｌ~₂Π_nＫ_-n^μn|ｆ＞とＬ~₂||ｆ＞＝0,および交換関係[Ｋ_m,Ｌ_n]＝ｍＫ_m+nから,Ｌ~₂||ｋ＞∈Ｋ なることがわかります。

それ故,結局 0＝Ｌ~₂|ｓ＞＋Ｌ~₂||ｋ＞は 0 のＳとＫへの一意的な分割表現を意味するため,Ｌ~₂|ｓ＞＝Ｌ~₂|ｋ＞＝0 を得ます。(証明;訳注終わり)※

以上から,任意の状態:|φ＞＝|ｓ＞＋|ｋ＞∈Ｈ (|ｓ＞∈Ｓ,|ｋ＞∈Ｋ)について,もし|φ＞が物理的状態なら|ｓ＞は擬似状態であると同時に物理的状態であり,|ｋ＞も物理的状態であることが示されました。

今や"ゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)"は,ほぼ我々の手中にあります。

擬似状態についての以前の論議から物理的かつ擬似である状態はヌル(null)でありあらゆる物理的状態と直交することを知っています。それ故,＜ｓ|ｓ＞＝＜ｓ|ｋ＞＝0 です。

したがって,＜φ|φ＞＝＜ｓ|ｓ＞＋＜ｓ|ｋ＞＋＜ｋ|ｓ＞＋＜ｋ|ｋ＞＝＜ｋ|ｋ＞となります。

ところで,|ｋ＞∈Ｋ のノルムが常に非負であること,すなわち＜ｋ|ｋ＞≧0 であることは容易に示すことができます。

Ｋ の任意の状態|ｋ＞は|ｋ＞＝|ｆ＞＋Σ_αΠ'Ｋ_-n^μnα|ｆ_α＞と書くことができます。ただし|ｆ＞,|ｆ_α＞はDDF状態です。

ここで,積記号:Π'におけるプライム(prime):"'"はＫ_-n^μnα(ｎ＝1,2,..,∞)におけるＫ_-nのべきμ_n^αが全てゼロであるような状態を除くことを意味します。 

この表現式を改めて|ｋ＞＝|ｆ＞＋|ｋ~＞;|ｋ~＞≡Σ_αΠ'Ｋ_-n^μnα|ｆ_α＞と書くと,DDF状態の性質から＜ｋ~|ｋ~＞＝＜f|ｋ~＞＝0 です。

何故なら,前記事で述べたように,|ｆ＞がDDF状態ならｎ＞0 に対してＫ_n|ｆ＞＝0 が成り立ちます。

そして,[Ｋ_m,Ｋ_n]＝0 なので＜ｆ_β|Π'Ｋ_m^μmβΠ'Ｋ_-n^μnα|ｆ_α＞＝＜ｆ_β|Π'Ｋ_-n^μnα,Π'Ｋ_m^μmβ|ｆ_α＞＝0,＜ｆ|Π'Ｋ_-n^μnα|ｆ_α＞＝0 となるからです。

それ故,＜ｋ|ｋ＞＝＜ｆ|ｆ＞≧0 です。ただしDDF状態では＜ｆ|ｆ＞＝0 ⇔ |ｆ＞＝0 です。

既に,＜φ|φ＞＝＜ｋ|ｋ＞なることがわかっているので,これで任意の物理的状態|φ＞が常に非負のノルムを持つことが証明されました。

したがってフォック空間Ｈ の部分空間である物理的ヒルベルト空間(physical Hilbert space)にはゴースト(ghost)は存在しないことが示されました。

実際には,より強い命題をも示すことができます。 

すなわち,"任意の物理的状態:|φ＞はDDF状態|ｆ＞と「擬似物理的状態」:|ｓ＞の和として|φ＞＝|ｆ＞＋|ｓ＞と表現される。"という命題です。 

実際,交換関係:[Ｌ_m,Ｋ_n]＝－ｎＫ_m+n,およびｍ＞0 の全てのＬ_mはDDF状態|ｆ＞,|ｆ_α＞を消滅させるという事実を用いると,|ｋ＞＝|ｆ＞＋|ｋ~＞が物理的なら|ｋ~＞＝0 なので|ｋ＞＝|ｆ＞なることを容易に示すことができます。

※(訳注66):(証明):ｍ＞0 のとき,|ｋ＞＝|ｆ＞＋|ｋ~＞が物理的ならＬ_m|ｋ＞＝0 ,かつＬ_m|ｆ＞＝0 です。

そこで,ｍ＞0 のとき,Ｌ_m|ｋ~＞＝Σ_αΠ'Ｌ_mＫ_-n^μnα|ｆ_α＞＝0 でＬ_mＫ_-n^μnα|ｆ_α＞は１次独立なので,Ｌ_mＫ_-n^μnα|ｆ_α＞＝0 です。

ｍ＝ｎとすると,Ｌ_nＫ_-n^μnα|ｆ_α＞＝ｃ_nαＫ₀^μnα|ｆ_α＞より,Π'Ｌ_n^μnαＫ_-n^μnα|ｆ_α＞＝ｃＫ₀^λ|ｆ_α＞＝0 です。

そして,Ｋ₀＝－ｋ₀α₀＝－ｋ₀ｐ(定数)ですから,任意のαについて|ｆ_α＞＝0 です。したがって,|ｋ~＞＝Σ_αΠ'Ｋ_-n^μnα|ｆ_α＞＝0 が得られます。それ故,|ｋ＞＝|ｆ＞となります。(証明;訳注終わり)※

この|ｋ＞＝|ｆ＞と分解:|φ＞＝|ｓ＞＋|ｋ＞から物理的状態に対して,|φ＞＝|ｆ＞＋|ｓ＞なる表現が得られるわけです。

ここでの余分な擬似物理的状態:|ｓ＞の存在は一見すると厄介なもののように見えます。しかし,実際には弦(ひも)理論が興味深い理由と密接に関係しています。

つまり,変換:|ｆ＞→|ｆ＞＋|ｓ＞がゲージ変換の弦理論におけるアナロジーとなっているからです。

今日は,曲がりなりにもボーズ弦(Bosonic string)のＤ＝26次元の背景空間における"ゴースト-非存在の定理(no-ghost theorem)"の証明が完了したことに満足してここで終わります。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)