確率と分布関数(2)(分布関数,密度関数)

　昨日の続きです。

[定義3-5]:Ｘを確率変数とするとき,∀ｘ∈Ｒに対して事象(Ｘ≦ｘ)∈Ｆの確率をＰ(Ｘ≦ｘ)と表わすと,これはｘ∈Ｒの関数となる。

この関数を確率変数Ｘの分布関数,または累積分布関数といい,一般にＦ(ｘ),またはＦ_X(ｘ)と表記する。

すなわち,

Ｆ(ｘ)≡Ｐ(Ｘ≦ｘ)＝Ｐ({ω∈Ω|Ｘ(ω)≦ｘ})(－∞＜ｘ＜∞)

である。

以下では,場合に応じて確率変数Ｘをr.V.Ｘ(random variable),分布関数Ｆ(ｘ)をd.f.Ｆ(ｘ)(distribution function)と記す。

[定理3-6]r.V.Ｘのd.f.Ｆ(ｘ)は次の性質を有する。

(1)  Ｆ(ｘ)は非減少関数である。

(2)  Ｆ(－∞)＝lim_x→-∞Ｆ(ｘ)＝0,Ｆ(∞)＝lim_x→∞Ｆ(ｘ)＝1

(3)  Ｆ(ｘ)は右連続関数である。

(証明)(1),(2)は自明なので(3)だけを証明します。

Ａ_n≡(ｘ＜Ｘ≦ｘ＋1/ｎ)と置けば∩_n=1^∞Ａ_n＝φなので,

lim_n→∞Ｐ(Ａ_n)＝Ｐ(lim_n→∞Ａ_n)＝Ｐ(φ)＝0です。

一方,Ｐ(Ａ_n)＝Ｆ(ｘ＋1/ｎ)－Ｆ(ｘ)なので,

lim_n→∞Ｆ(ｘ＋1/ｎ)＝Ｆ(ｘ)です。

同様にして,上記の特殊な数列:{1/ｎ}に限らず,ｎ→∞でゼロに収束する任意の非増加列:{ε_n}を考えても,lim_n→∞Ｆ(ｘ＋ε_n)＝Ｆ(ｘ)の成立が容易に示せるので,Ｆ(ｘ)は右連続であると結論されます。

(証明終わり)

[定義3-7]:確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)が離散空間の場合,その上の確率変数をＸとするとき,

　ｐ_j≡Ｐ(Ｘ＝ｘ_j)＝Ｐ({ω∈Ω|Ｘ(ω)＝ｘ_j})と定義すれば,Σ_jｐ_j＝1であるが,こうして定義される数列:{ｐ_j:－∞＜ｊ＜∞}をＸの確率分布という。

確率分布はp.d.と略記します。

これは,probability distributionの略です。

[例3-8]:∀ω∈Ωについてr.V.Ｘ＝ａ(一定)のd.f.Ｆ(ｘ)を考えると,ｘ＜ａなら(Ｘ≦ｘ)＝φなのでＦ(ｘ)＝0,ｘ≧ａならＦ(Ｘ≦ｘ)＝ΩなのでＦ(ｘ)＝1です。

これを,Heaviside関数(階段関数)θ(ｘ)(ｘ＜0 ならθ(ｘ)＝0,ｘ＞0 ならθ(ｘ)＝1;ただしθ(0)≡1)で表現するとＦ(ｘ)＝θ(ｘ－ａ)と表現できます。この分布を退化分布といいます。

　。

[例3-9]:既述のようにＡ∈Ｆでｒ.ｖ.ＸがＩ_A (＝Ａの指示関数)のときには,d.f.Ｆ_IA(ｘ)はｘ＜0 ならＦ_IA(ｘ)＝0,0≦ｘ＜1ならＦ_IA(ｘ)＝1－Ｐ(Ａ),ｘ≧1ならＦ_IA(ｘ)＝1です。

[例3-10]:r.V.Ｘがｐ.ｄとしてｐ_j＝Ｐ(Ｘ＝ｘ_j)を持つ離散分布のときのd.f.Ｆ(ｘ)を考えます。

各ｊについて,集合Ａ_j≡(Ｘ＝ｘ_j)＝{ω∈Ω|Ｘ(ω)＝ｘ_j}を定義すると,Ｘ＝Σ_jｘ_jＩ_Ajと表現できます。一方,Ｆ(ｘ)＝Σ_(X≦xj)ｐ_j＝Σ_j{ｐ_jθ(ｘ－ｘ_j)}ですから,結局,Ｆ(ｘ)＝Σ_jＦ_IAj(ｘ)です。

[定義3-11]:同じ確率空間の２個の確率変数Ｘ₁,Ｘ₂の同時分布関数Ｆ(ｘ₁,ｘ₂)を,Ｆ(ｘ₁,ｘ₂)≡Ｐ(Ｘ₁≦ｘ₁,Ｘ₂≦ｘ₂)＝Ｐ(Ａ₁∩Ａ₂)によって定義する。

　Ａ₁≡{ω∈Ω|Ｘ₁(ω)≦ｘ₁},Ａ₂≡{ω∈Ω|Ｘ₂(ω)≦ｘ₂}である。

同時分布関数はj.d.ｆと略記します。

これはjoint distribution functionの略です。

[定義3-12]:∀ｘ₁,ｘ₂∈Ｒについて,

　Ａ₁≡{ω∈Ω|Ｘ₁(ω)≦ｘ₁},Ａ₂≡{ω∈Ω|Ｘ₂(ω)≦ｘ₂}

　が独立であるとき,

　すなわちＰ(Ａ₁∩Ａ₂)＝Ｐ(Ａ₁)Ｐ(Ａ₂)であるとき,

　確率変数Ｘ₁とＸ₂は独立であるという。

　いいかえると,Ｐ(Ｘ₁≦ｘ₁,Ｘ₂≦ｘ₂)＝Ｐ(Ｘ₁≦ｘ₁)Ｐ(Ｘ₂≦ｘ₂),

　あるいは,j.d.ｆが２つの確率変数Ｘ₁とＸ₂のそれぞれのd.f.の積としてＦ(ｘ₁,ｘ₂)＝Ｆ_X1(ｘ₁)Ｆ_X2(ｘ₂)と表わせるとき,

　Ｘ₁とＸ₂は独立であるという。

　そして,この場合,右辺のＦ_X1(ｘ₁),およびＦ_X2(ｘ₂)を

　周辺分布関数(m.d.ｆ＝marginal distribution function)という。

[定理3-13]:r.V.Ｘ₁,Ｘ₂のj.d.f.Ｆ(ｘ₁,ｘ₂)は次の性質を持つ。

(1)  ｘ₁≦ｘ₁',ｘ₂≦ｘ₂'に対してＦ(ｘ₁,ｘ₂)≦Ｆ(ｘ₁',ｘ₂')

(2) lim_x1→∞Ｆ(ｘ₁,ｘ₂)＝Ｆ_X2(ｘ₂),lim_x2→∞Ｆ(ｘ₁,ｘ₂)＝

Ｆ_X1(ｘ₁)である。

(3) lim_x1→-∞Ｆ(ｘ₁,ｘ₂)＝lim_x2→-∞Ｆ(ｘ₁,ｘ₂)＝0

(4) lim_{x1→∞,x2→∞}Ｆ(ｘ₁,ｘ₂)＝1である。

(5)Ｐ(ａ₁＜Ｘ₁≦ｂ₁,ａ₂＜Ｘ₂≦ｂ₂)＝Ｆ(ｂ₁,ｂ₂)－Ｆ(ａ₁,ｂ₂)－Ｆ(ｂ₁,ａ₂)＋Ｆ(ａ₁,ａ₂)が成立する。

(証明)(5)だけ証明します。

(Ｘ₁≦ｂ₁)＝(Ｘ₁≦ａ₁)＋(ａ₁＜Ｘ₁≦ｂ₁),

(Ｘ₂≦ｂ₂)＝(Ｘ₂≦ａ₂)＋(ａ₂＜Ｘ₂≦ｂ₂)ですから,

(Ｘ₁≦ｂ₁)∩(Ｘ₂≦ｂ₂)

＝(Ｘ₁≦ａ₁)∩(Ｘ₂≦ａ₂)＋(Ｘ₁≦ａ₁)∩(ａ₂＜Ｘ₂≦ｂ₂)

＋(ａ₁＜Ｘ₁≦ｂ₁)∩(Ｘ₂≦ａ₂)＋(ａ₁＜Ｘ₁≦ｂ₁)∩(ａ₂＜Ｘ₂≦ｂ₂)

です。

故に,Ｐ(ａ₁＜Ｘ₁≦ｂ₁,ａ₂＜Ｘ₂≦ｂ₂)

＝Ｆ(ｂ₁,ｂ₂)－Ｆ(ａ₁,ａ₂)－Ｐ(Ｘ₁≦ａ₁,ａ₂＜Ｘ₂≦ｂ₂)

－Ｐ(ａ₁＜Ｘ₁≦ｂ₁,Ｘ₂≦ａ₂) です。

そして,Ｐ(Ｘ₁≦ａ₁,ａ₂＜Ｘ₂≦ｂ₂)

＝Ｐ((Ｘ₁≦ａ₁)∩(Ｘ₂≦ｂ₂)－(Ｘ₁≦ａ₁)∩(Ｘ₂≦ａ₂))

＝Ｐ(Ｘ₁≦ａ₁,Ｘ₂≦ｂ₂)－Ｐ(Ｘ₁≦ａ₁,Ｘ₂≦ａ₂)

＝Ｆ(ａ₁,ｂ₂)－Ｆ(ａ₁,ａ₂) です。

同様に,

Ｐ(ａ₁＜Ｘ₁≦ｂ₁,Ｘ₂≦ａ₂)＝Ｆ(ｂ₁,ａ₂)－Ｆ(ａ₁,ａ₂)

ですから,結論を得ます。(証明終わり)

[定義3-14]:確率変数Ｘの取り得る値が高々可算個であるとき,Ｘを離散(型)(discrete)確率変数という。

　これは,Σ_j=1^∞(Ｘ＝ｘ_j)＝Ωを満たす高々可算濃度の集合:{ｘ_j}⊂Ｒが存在することを意味する。

　このとき,ｐ_j≡Ｐ(Ｘ＝ｘ_j)はΣ_j=1^∞ｐ_j＝1なる条件を満たす。

　この{ｐ_j}を離散確率変数Ｘの確率分布(p.d.＝probability distribution)という。

　そして,この場合ｐ(ｘ)≡Ｐ(Ｘ＝ｘ)＝ｐ_j (if ｘ＝ｘ_j),

　ｐ(ｘ)＝0 (if ｘ≠ｘ_j)を離散密度関数,または確率関数と呼ぶ。

この離散確率変数Ｘのd.f.は,前にも述べたようにＦ(ｘ)＝Σ_(X≦xj)ｐ_jで与えられます。

[定義3-15]:同じ確率空間の２個の離散確率変数Ｘ₁,Ｘ₂の取り得る値が{ｘ_1i},{ｘ_2j}であるとき,

　ｐ_ij≡Ｐ(Ｘ₁＝ｘ_1i,Ｘ₂＝ｘ_2j)(ｐ_ij≧0,Σ_i,j=1^∞ｐ_ij＝1)なる{ｐ_ij}を,Ｘ₁,Ｘ₂の同時確率分布(j.p.d.)という。

そして,ｐ_i・≡Ｐ(Ｘ₁＝ｘ_1i)＝Σ_j=1^∞ｐ_ij,およびｐ_・j≡Ｐ(Ｘ₂＝ｘ_2j)＝Σ_i=1^∞ｐ_ijをそれぞれＸ₁の周辺確率分布,Ｘ₂の周辺確率分布(m.p.d.)という。

[定義3-16]:∀ｘ₁,ｘ₂∈ＲについてＡ₁≡{ω∈Ω|Ｘ₁(ω)≦ｘ₁},Ａ₂≡{ω∈Ω|Ｘ₂(ω)≦ｘ₂}が独立であるとき,

すなわちＰ(Ａ₁∩Ａ₂)＝Ｐ(Ａ₁)Ｐ(Ａ₂)のとき,

確率変数Ｘ₁とＸ₂は独立であるという。

[定義3-17]:連続的な分布関数を持つ確率変数を連続(型)(continuous)確率変数という。

連続型変数の場合,確率変数をＸと置くと,

Ｐ(Ｘ＝ｘ)≦Ｐ(ｘ－ｈ＜Ｘ≦ｘ)＝Ｆ(ｘ)－Ｆ(ｘ－ｈ)→0(ｈ→0)

です。

確率は区間の長さ(＝測度)ｈに比例するので,

ｘが連続点である限り１点ｘ(長さｈがゼロ)での確率はゼロです。

[定義3-18]:連続確率変数Ｘについて,∀ａ,ｂ(ａ≦ｂ)に対して,

　Ｐ(ａ＜Ｘ≦ｂ)＝∫_a^bｆ(ｘ)ｄｘを満たすｆ(ｘ)≧0 が存在すれば,

　これをＸの確率密度関数という。

　確率密度関数をp.d.ｆと書きます。これはprobability distribution functionの略です。

密度関数ｆ(ｘ)が存在するとき,

d.f.はＦ(ｘ)＝Ｐ(Ｘ≦ｘ)＝∫_-∞^xｆ(ｔ)ｄｔで与えられますから,

Ｆ(ｘ)が連続であって可算個の点を除いて導関数を持つとき,

連続点ｘではｆ(ｘ)＝ｄＦ(ｘ)/ｄｘです。

すなわち,次式の右辺の極限値が存在するときには

ｆ(ｘ)＝lim_Δx→0{Ｐ(ｘ＜Ｘ≦ｘ＋Δｘ)/Δｘ},

あるいはｆ(ｘ)ｄｘ＝Ｐ(ｘ＜Ｘ≦ｘ＋ｄｘ)です。

[定理3-19]:(確率密度関数の性質)　

　ｆ(ｘ)を確率密度関数とすると,

　(1)ｆ(ｘ)≧0

　(2)∫_-∞^∞ｆ(ｘ)ｄｘ＝1　である。

[補助定義]:(スティルチェス積分の定義)(T.J.Stieltjesによる)

　Ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)を[ａ,ｂ]で定義された実数値関数とする。

　ただし,Ｆ(ｘ)は非減少関数,ｇ(ｘ)は連続関数とする。

閉区間[ａ,ｂ]の任意の分割:ａ＝ｘ₀＜ｘ₁＜ｘ₂＜..＜ｘ_n＝ｂに対して和:Σ_j=0^n-1ｇ(ξ_j){Ｆ(ｘ_j+1)－Ｆ(ｘ_j)};ξ_j∈(ｘ_j,ｘ_j+1)を作る。

この和が,max_{(0≦j≦n-1)}(ｘ_j+1－ｘ_j)→0 に対して一定値に収束するとき,この値をｇ(ｘ)のＦ(ｘ)によるスティルチェス積分といい,

∫_a^bｇ(ｘ)ｄＦ(ｘ)と表わす。

特に,Ｆ(ｘ)＝ｘのときはスティルチェス積分は,リーマン積分(Riemann integral)に一致します。

※(注)スティルチェス積分は測度関数:Ｆ(ｘ)が非減少関数のときだけではなく,有界変動関数のときにも定義できます。

　また,リーマン積分だけでなく,ルベーグ積分(Lebesgue integral)も同じようにスティルチェス積分に拡張されます。

ブラウン運動(Brownian motion)のような場合には,その運動経路の測度(長さ)が有界変動ではないので,こうした通常の積分を定義することは不可能です。　

よって,伊藤積分のような新概念が必要になります。※

さて,分布関数d.f.Ｆ(ｘ)がｘ＝ｘ_jにおいて,

不連続なジャンプ:ｐ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)を持つ非減少関数で,

区間(ｘ_j,ｘ_j+1)ではＦ'(ｘ)＝ｆ_j(ｘ)を満たすとします。

ａ＝ｘ₀,ｂ＝ｘ_n+1でとし,区間(ａ,ｂ)でｇ(ｘ)が連続のときには,

∫_a^bｇ(ｘ)ｄＦ(ｘ)＝Σ_j=0ⁿ∫_xj^xj+1ｇ(ｘ)ｆ_j(ｘ)ｄｘ＋Σ_j=1ⁿｇ(ｘ_j)ｐ_j

と表現可能です。

スティルチェス積分の表記では,確率変数Ｘの分布関数をＦ(ｘ)とすると,Ｆ(ｘ)が連続的か離散的かに関わらず,

式:Ｆ(ｘ)＝∫_-∞^xｄＦ(ｔ)が成立します。

[定義3-20]:同一確率空間上のｎ個の確率変数:Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nの同時分布関数Ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)≡Ｐ(Ｘ₁≦ｘ₁,Ｘ₂≦ｘ₂,..,Ｘ_n≦ｘ_n)に対して,

　Ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)＝∫_-∞^x1∫_-∞^x2..∫_-∞^xnｆ(ｔ₁,ｔ₂,..,ｔ_n)ｄｔ₁ｄｔ₂..ｄｔ_nを満たす関数:つまり密度関数ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)が存在するとき,

　同時分布関数:Ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)は絶対連続であるという。

このとき,ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)をＸ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nの同時確率密度関数(j.p.d.f.)という。

※(注):2007年７/７の記事「条件付確率と条件付期待値」では,逆に絶対連続なら確率密度関数が存在するという内容の「ラドン・ニコディム(Radon Nikodym)の定理」を紹介しました。

　ただ,一見では両者で絶対連続の定義が違うようにも見えます。

すなわち,ラドン・ニコディムの定理は,

"もしもＦ(Ａ)が"絶対連続:Ｅの測度μ(Ｅ)＝0 なら常にＦ(Ｅ)＝0 が成立する。"なら,適当な密度関数f(ｘ)が存在してＦ(Ａ)＝∫_Ａｆ(ｘ)μ(ｄｘ)と表現できる。"

というものです。

より一般には定理の前半として「任意の集合関数は絶対連続な集合関数と特異な(絶対連続でない)集合関数との和に一意的に分解される。」という命題も含まれています。

後者の命題は任意の分布関数は連続分布の部分と離散分布の部分の和に一意的に分割表現できるというような意味でしょう。(注終わり)※

以下では連続な確率変数については基本的に常に確率密度関数が存在するようなあまり特異でない分布のみを考察の対象とします。

さて,同時的確率密度関数の基本性質は,

(1)ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)≧0

(2)∫_-∞^∞∫_-∞^∞..∫_-∞^∞ｆ(ｔ₁,ｔ₂,..,ｔ_n)ｄｔ₁ｄｔ₂..ｄｔ_n＝1

(3)Ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)が微分可能な点(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)では,

ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)＝(∂ⁿ/∂ｘ₁∂ｘ₂,..∂ｘ_n)Ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)

です。

[定義3-21(1)]:簡単のためｎ＝２とする。

　すなわち,確率変数Ｘ₁,Ｘ₂の同時分布関数をＦ(ｘ₁,ｘ₂)≡Ｐ(Ｘ₁≦ｘ₁,Ｘ₂≦ｘ₂)とする。

　このとき,周辺確率密度関数(m.p.d.f.)ｆ_X1,ｆ_X2を,

ｆ_X1(ｘ₁)＝∫_-∞^∞ｆ(ｘ₁,ｘ₂)ｄｘ₂,

ｆ_X2(ｘ₂)＝∫_-∞^∞ｆ(ｘ₁,ｘ₂)ｄｘ₁

によって定義する。

[定義3-21(2)]:ｆ_X2(ｘ₂)＞0 のとき,　

  Ｘ₂＝ｘ₂の下でのＸ₁の条件付確率密度関数を

  ｆ_X1(ｘ₁|Ｘ₂＝ｘ₂)≡ｆ(ｘ₁,ｘ₂)/ｆ_X2(ｘ₂)で,

　同様にｆ_X1(ｘ₁)＞0 のとき,

　Ｘ₁＝ｘ₁の下でのＸ₂の条件付確率密度関数を

　ｆ_X2(ｘ₂|Ｘ₁＝ｘ₁)≡ｆ(ｘ₁,ｘ₂)/ｆ_X1(ｘ₁)

　で定義する。

すると,条件付分布関数は,

Ｆ_X1(ｘ₁|Ｘ₂＝ｘ₂)＝∫_-∞^x1ｆ_X1(τ|Ｘ₂＝ｘ₂)ｄτ＝{1/ｆ_X2(ｘ₂)}∫_-∞^x1ｆ(τ,ｘ₂)ｄτ,

および,Ｆ_X2(ｘ₂|Ｘ₁＝ｘ₁)＝∫_-∞^x2ｆ_X2(τ|Ｘ₁＝ｘ₁)ｄτ＝{1/ｆ_X1(ｘ₁)}∫_-∞^x2ｆ(ｘ₁,τ)ｄτ

になります。

確率変数Ｘ₁,Ｘ₂が独立であるとは,　

Ｆ(ｘ₁,ｘ₂)＝Ｆ_X1(ｘ₁)Ｆ_X2(ｘ₂)(Ｆ_X1(ｘ₁),Ｆ_X2(ｘ₂)は周辺分布関数)が成立することをいいますが,

これは密度関数が存在するときには,

ｆ(ｘ₁,ｘ₂)＝ｆ_X1(ｘ₁)ｆ_X2(ｘ₂)

が成立することに相当します。

このときには,条件付確率密度関数は,

ｆ_X1(ｘ₁|Ｘ₂＝ｘ₂)＝ｆ_X1(ｘ₁),

かつｆ_X2(ｘ₂|Ｘ₁＝ｘ₁)≡ｆ_X2(ｘ₂) となります。

さらに,一般のｎ個の確率変数Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nが独立であるとは,

Ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)＝Π_j=1ⁿＦ_Xj(ｘ_j)成り立つことをいいますが,

これは密度関数の表現では,

ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)＝Π_j=1ⁿｆ_Xj(ｘ_j) です。

[例3-22]:確率変数Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nは全て同じ周辺分布関数Ｆ(ｘ)を持つ独立確率変数であるとします。

(1)  Ｙ≡min(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)の分布関数:Ｆ_Y(ｙ)＝Ｐ(Ｙ≦ｙ)を求めてみます。

Ｐ(Ｙ＞ｙ)＝Ｐ(Ｘ₁＞ｙ,Ｘ₂＞ｙ,..,Ｘ_n＞ｙ)＝Ｐ(Ｘ₁＞ｙ)Ｐ(Ｘ₂＞ｙ)..Ｐ(Ｘ_n＞ｙ)＝{1－Ｆ(ｙ)}ⁿですから,

Ｆ_Y(ｙ)＝Ｐ(Ｙ≦ｙ)＝1－{1－Ｆ(ｙ)}ⁿです。

Ｆ(ｘ)の"導関数＝密度関数"ｆ(ｘ)＝ｄＦ/ｄｘが存在するとき,

Ｙの確率密度関数はｆ_Y(ｙ)＝ｄＦ_Y/ｄｙ＝ｎ{1－Ｆ(ｙ)}^n-1ｆ(ｙ)

です。

(2)  Ｚ≡max(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)の分布関数を求めます。

　(1)と同様にしてＦ_Z(ｚ)＝Ｐ(Ｚ≦ｚ)＝{Ｆ(ｚ)}ⁿです。

　ｆ(ｘ)が存在するとき,

　確率密度関数はｆ_Z(ｚ)＝ｎ{Ｆ(ｚ)}^n-1ｆ(ｚ)です。

(3)ｎ個の確率変数Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nのうちでｘ∈Ｒを超えない確率変数の個数をＮとするとき,Ｎの確率分布Ｐ(Ｎ＝ｋ)を考えます。

　これは,Ｐ(Ｎ＝ｋ)＝_nＣ_k[Ｆ(ｘ)]^k[1－Ｆ(ｘ)]^n-k

で与えられると考えられます。

　ここでまた一休みします。(つづく)

参考文献:藤沢武久 著「新編 確率・統計」(日本理工出版会)