確率と分布関数(3)(確率変数の関数,特殊分布(離散))

　確率と分布関数の続きです。

　Ｘを(Ω,Ｆ,Ｐ)の確率変数とするとき,

∀ｙ∈Ｒに対して{ω∈Ω|ｇ(Ｘ(ω))≦ｙ}∈Ｆが成り立つならば,

Ｙ≡ｇ(Ｘ)もまた確率変数です。

この確率変数Ｘの関数Ｙの確率変数としての分布を考えます。

[例4-1]:Ｘ,Ｙ＝ｇ(Ｘ)の分布関数,および確率密度関数を,

それぞれＦ_X(Ｘ),Ｆ_Y(Ｙ),およびｆ_X(Ｘ),ｆ_Y(Ｙ)とします。

　Ｘの分布:Ｆ_X(Ｘ),ｆ_X(Ｘ)は既知とします。

(ⅰ)ｇ(ｘ)＝ａｘ＋ｂ (ａ≠0)の場合

分布関数はＦ_Y(Ｙ)＝Ｐ(Ｙ≦ｙ)＝Ｐ(ｇ(Ｘ)≦ｙ)

＝Ｐ(ａＸ＋ｂ≦ｙ)です。

そこで,これは

ａ＞0 ならＦ_Y(Ｙ)＝Ｐ(Ｘ≦(ｙ－ｂ)/ａ)＝Ｆ_X((ｙ－ｂ)/ａ),

ａ＜0 ならＦ_Y(Ｙ)＝Ｐ(Ｘ≧(ｙ－ｂ)/ａ)＝1－Ｆ_X((ｙ－ｂ)/ａ)

です。

　密度関数は,ｆ_Y(Ｙ)＝ｄＦ_Y/ｄＹより,

　ａ＞0 ならｆ_Y(Ｙ)＝(1/ａ)ｆ_X((ｙ－ｂ)/ａ),

　ａ＜0ならｆ_Y(Ｙ)＝－(1/ａ)ｆ_X((ｙ－ｂ)/ａ)　です。

(ⅱ)ｇ(ｘ)＝ｘ²,つまりＹ＝Ｘ²の場合

Ｆ_Y(Ｙ)＝Ｐ(Ｘ²≦ｙ)より,分布関数は,　

ｙ≧0 なら,

Ｆ_Y(Ｙ)＝Ｐ(－ｙ^1/2≦Ｘ²≦ｙ^1/2)＝Ｆ_X(ｙ^1/2)－Ｆ_x(－ｙ^1/2),　

ｙ＜0 なら,Ｆ_Y(Ｙ)＝0

となります。

そこで,密度関数は,

ｙ≧0 ならｆ_Y(Ｙ)＝ｄＦ_Y/ｄＹ＝(1/2){ｆ_X(ｙ^1/2)＋ｆ_X(－ｙ^1/2)},

ｙ＜0 ならｆ_Y(Ｙ)＝0 です。

[定理4-2]:ｇが連続関数で狭義単調関数,かつ微分可能なら,

確率変数Ｙ＝ｇ(Ｘ)の確率密度関数(p.d.f.):ｆ_Y(ｙ)は,

ｆ_Y(ｙ)＝ｆ_X(ｇ^-1(ｙ))|ｄｇ^-1(ｙ)/ｄｙ|で与えられる。

(ｙ＝ｇ(ｘ)が狭義単調関数というのは,逆関数の値ｘ＝ｇ^-1(ｙ)が確定しない停留点が存在しないという意味です。)　(証明略)

※(注);先の例のｇ(ｘ)＝ｘ²,つまりＹ＝Ｘ²の場合:

ｇは狭義単調関数ではないので,狭義単調な区間への場合分けが必要でした。※

[例4-3]:Ｘのp.d.f.ｆ_X(ｘ)が,

　0＜ｘ＜∞に対してはｆ_X(ｘ)＝[1/{2^n/2Γ(ｎ/2)}ｘ^n/2-1exp(－ｘ/2),

それ以外のｘに対してはｆ_X(ｘ)＝0 ,つまり,自由度ｎのχ²分布(カイ二乗分布)の場合,

Ｙ＝Ｘ^1/2のp.d.fを求めます。

ｙ＝ｇ(ｘ)＝ｘ^1/2の逆関数はｘ＝ｇ^-1(ｙ)＝ｙ²です。

そしてｄｇ^-1(ｙ)/ｄｙ＝ｄｘ/ｄｙ＝2ｙです。

これをｆ_y(ｙ)＝ｆ_x(ｇ^-1(ｙ))|ｄｇ^-1(ｙ)/ｄｙ|に代入すると,

0＜ｙ＜∞に対してｆ_Y(ｙ)＝[2/{2^n/2Γ(ｎ/2)}ｙ^n-1exp(－ｙ²/2),

それ以外のｙに対してｆ_Y(ｙ)＝0 　です。

[例4-4]:Ｘのp/d.f.がｆ_X(ｘ)＝(2π)^-1/2exp(－ｘ²/2) ])(－∞＜ｘ＜∞) (標準正規分布:Ｎ[0,1])の場合を考えます。

(ⅰ)Ｙ＝Ｘ²のp.d.f.を求める。

ｙ＞0 のときｙ＝ｇ(ｘ)＝ｘ²とおけば,

ｘの区間(－∞,0)に対応するものはｘ＝ｇ^-1(ｙ)＝－ｙ^1/2で,

ｄｘ/ｄｙ＝－(1/2)ｙ^-1/2,

ｘの区間(0,∞)に対応するものはｘ＝ｇ^-1(ｙ)＝ｙ^1/2で,

ｄｘ/ｄｙ＝(1/2)ｙ^-1/2です。

これらは共にｙ～ｙ＋ｄｙに対応する密度関数に寄与するため,両者の寄与の和を取れば,

ｆ_Y(ｙ)＝(2π)^-1/2{|－(1/2)ｙ^-1/2|exp(－ｙ/2)＋|(1/2)ｙ^-1/2|exp(－ｙ/2)}＝(2π)^-1/2ｙ^-1/2exp(－ｙ/2)となります。

ｙ＜0 のときはｆ_Y(ｙ)＝0 です。

また,ｙ＝0 のときは,分布関数がＦ_Y(0)＝Ｐ(Ｘ²≦0)＝0,

そして,Δｙ＞0 ならＦ_Y(Δｙ)＝Ｆ_Y(Δｙ)＝Ｆ_X((Δｙ)^1/2)－Ｆ_X(－(Δｙ)^1/2)＝(2π)^-1/2exp(－Δｙ/2)(Δｙ)^1/2 ～(2π)^-1/2(Δｙ)^1/2

です。

そこで,Ｆ_Y(ｙ)のｙ＝0 における右導関数が存在して,

それは[ｄＦ_Y/ｄｙ]_ｙ=+0＝lim_Δｙ→+0{(2π)^-1/2(Δｙ)^-1/2}_Δｙ＝+0→ ∞

です。一方,左導関数はゼロです。

結局,ｆ_Y(ｙ)＝(2π)^-1/2ｙ^-1/2exp(－ｙ/2)(ｙ＞0),

ｆ_Y(ｙ)＝0 (ｙ＜0)です。

ｙ＝0 では,分布関数はゼロで有限ですが密度関数は定義できません。

これは後述する自由度が１のχ²分布です。

(ⅱ)Ｙ＝|Ｘ|のp.d.f.

ｙ≧0 のとき,ｙ＝ｇ(ｘ)＝|ｘ|とおけば,

ｘの区間(－∞,0)に対応するものは

ｘ＝ｇ^-1(ｙ)＝－ｙで,ｄｘ/ｄｙ＝－1,

ｘの区間[0,∞)に対応するものは

ｘ＝ｇ^-1(ｙ)＝ｙで,ｄｘ/ｄｙ＝1　です。

ｙ ～ｙ＋ｄｙに対応する密度関数への寄与の和として,

ｆ_Y(ｙ)＝2(2π)^-1/2exp(－ｙ²/2)を得ます。

ｙ＜0 のときはｆ_Y(ｙ)＝0 です。

[定理4-6]:同時確率密度関数(j.p.d.f.)としてｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)を持つｎ個の連続確率変数Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n.の関数:Ｙ₁,Ｙ₂,..,Ｙ_n

;Ｙ_j＝ｇ_j(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)(ｊ＝1,2,..,n)

　のj.p.d.f.は,

ｆ_Y1..Yn (ｙ₁,..,ｙ_n)＝ｆ(ｇ₁^-1(ｙ₁,..,ｙ_n),..,ｇ_n^-1(ｙ₁,..,ｙ_n))|Ｊ|によって与えられる。

　ここでＪは次式で定義されるJacobian(ヤコービアン):Ｊ≡det{∂(ｇ₁^-1,ｇ₂^-1,..,ｇ_n^-1)/∂(ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)}である。

※(注):定理はｎ個の連続確率変数Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nのｒ≦ｎ個の関数Ｙ₁,Ｙ₂,..,Ｙ_r;Ｙ_j＝ｇ_j(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)(ｊ＝1,2,..,ｒ)のｒ＝ｎの場合のみに対するものです。

　しかし,もしもｒ＜ｎに対してのj.p.d.f.を求めたい場合には残りの(ｎ－ｒ)個の変数としてＹ_r+1＝Ｘ_r+1,..Ｙ_n＝Ｘ_nを加えてｎ個の変数にすれば上記の定理を使えます。

　すなわち,密度関数はｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_n＝ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n){∂(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)/∂(ｙ₁,ｙ₂^-1,..,ｙ_n)}ｄｙ₂..ｄｙ_n＝ｆ_Y1..Yn(ｙ₁,..,ｙ_n)ｄｙ₁ｄｙ₂..ｄｙ_nを満たします。

ｒ＜ｎでｙ_r+1＝ｘ_r+1,..ｙ_n＝ｘ_nなら,

ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_n＝ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n){∂(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)/∂(ｙ₁,ｙ₂^-1,..,ｙ_n)}ｄｙ₁ｄｙ₂..ｄｙ_rｄｘ_r+1..ｄｘ_nより,

ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_r＝ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n){∂(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)/∂(ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)}ｄｙ₁ｄｙ₂..ｄｙ_r＝ｆ_Y1..Yr(ｙ₁,..,ｙ_r)ｄｙ₁ｄｙ₂..ｄｙ_rです。

このとき,det{∂(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)/∂(ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)}

＝det{∂(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_r)/∂(ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_r)}となります。

(注終わり)※

[例4-7]:Ｘのpd.f.が.偶関数ｆ_X(ｘ)のとき,Ｙ＝ａＸ²(ａ＞0)のp.d.f.ｆ_Y(ｙ)を求めます。

　まず,∀ｘ∈Ｒについてｙ＝ａｘ²≧0 なので,

　ｙ＜0のときｆ_Y(ｙ)＝0です。

そして,ｙ＞0 のとき,

ｆ_X(ｘ)＝ｙとなるｘはｘ＝±(ｙ/ａ)^1/2,ｄｘ/ｄｙ＝±(1/2)(ａｙ)^-1/2 (複号同順)です。

ｘ₁＝－(ｙ/ａ)^1/2,ｘ₂＝(ｙ/ａ)^1/2とおけば,

ｄｘ₁＝－(ａｙ)^-1/2ｄｙ,ｄｘ₂＝(ａy)^-1/2ｄｙより,

ｆ_Y(ｙ)ｄｙ＝ｆ_X(－(ｙ/ａ)^1/2)ｄｘ₁＋ｆ_X((ｙ/ａ)^1/2)ｄｘ₂＝(ａy)^-1/2{ｆ_X(－(ｙ/ａ)^1/2)＋ｆ_X((ｙ/ａ)^1/2)}ｄｙを得ます。

ここではｆ_X(ｘ)が偶関数なのでｆ_Y(ｙ)＝2(ａy)^-1/2{ｆ_X((ｙ/ａ)^1/2)}となります。

[例4-8]:確率変数:Ｘ,Ｙのj.p.d.f.が,

　ｆ(ｘ,y)＝1 (0＜ｘ＜1,0＜ｙ＜1),ｆ(ｘ,y)＝0 (それ以外)のとき,

　Ｚ＝Ｘ＋Ｙのp.d.f.ｆ_Z(ｚ)を求めます。

　そのために,まずＺ＝Ｘ＋Ｙ,Ｔ＝Ｙとおいて,

　ＺとＴのj.p.d.f.ｆ_ZT(ｚ,t)を求めます。

　ｚ＝ｘ＋ｙ,ｔ＝ｙと置けば,ｘ＝ｚ－ｔ,ｙ＝ｔです。

Jacobianは|Ｊ|＝det{∂(ｘ,ｙ)/∂(ｚ,t)}＝1ですから,

　ｆ_zT(ｚ,t)＝ｆ(ｚ－ｔ,ｔ)です。

　そこで,ｆ_ZT(ｚ,t)＝1 (0＜ｔ＜1,0＜ｚ－ｔ＜1),

　ｆ_zT(ｚ,t)＝0 (それ以外)です。

そこで,ｆ_Z(ｚ)＝∫_-∞^∞ｆ_ZT(ｚ,t)ｄｔにより,周辺分布関数としてｆ_Z(ｚ)を得ます。

結局,ｚ≦0,またはｚ≧2ならｆ_Z(ｚ)＝0,

　0≦ｚ≦1ならｆ_Z(ｚ)＝∫₀^zｄｔ＝ｚです。

また,1≦ｚ≦2ならｆ_Z(ｚ)＝∫_z-1¹ｄｔ＝2－ｚです。

さて,よく使われる実用的な特殊確率分布を考察します。

まず,代表的な離散分布を挙げます。

[定義5-1]:超幾何分布(hypergeometric distribution)

　ｐ_x＝Ｐ(Ｘ＝ｘ)＝(_kＣ_x・_N-kＣ_n-x)/(_NＣ_n)(ｘ＝0,1,2,..,min(ｋ,ｎ))なる式で与えられる確率分布を超幾何分布といい,Ｈ(ｘ,ｎ,ｋ,Ｎ)で表わす。

これは,例えば中にｋ個の赤球と(Ｎ－ｋ)個の白球の合計Ｎ個の球が入っている１つの壷からｎ個の球を取り出すとき,その中に含まれる赤球の個数を表わす確率変数をＸとすれば,Ｘ＝ｘである確率ｐ_xが従う確率分布です。

[定理5-2]:超幾何分布:Ｈ(ｘ,ｎ,ｋ,Ｎ)＝(_kＣ_x・_N-kＣ_n-x)/(_NＣ_n)においてｐ≡ｋ/Ｎが一定の要素(例えばＮ個の製品の中にｋ個の不良品がある不良品率:ｐが一定)では,Ｎ→ ∞とすればＨ(ｘ,ｎ,ｋ,Ｎ) → _nＣ_xｐ^x(1－ｐ)^n-x (２項分布)となる。

(証明) Ｈ(ｘ,ｎ,ｋ,Ｎ)＝[ｋ!/{ｘ!(ｋ－ｘ)!}][(Ｎ－ｋ)!/{(ｎ－ｘ)!(Ｎ－ｋ－ｎ＋ｘ)![ｎ!(Ｎ－ｎ)!/Ｎ!]＝_nＣ_x[ｋ(ｋ－1)..(ｋ－ｘ＋1)][(Ｎ－ｋ)(Ｎ－ｋ－1)..(Ｎ－ｋ－ｎ＋ｘ＋1)]/[Ｎ(Ｎ－1)..(Ｎ－ｎ＋1)]です。

右辺は_nＣ_x[ｐ(ｐ－1/Ｎ)..(ｐ－(ｘ－1)/Ｎ)][(1－ｐ)(1－ｐ－1/Ｎ)..(1－ｐ－(ｎ－ｘ＋1)/Ｎ)/[(1－1/Ｎ)..(1－(ｎ－1)/Ｎ)] → _nＣ_xｐ^x(1－ｐ)^n-x as Ｎ → ∞です。(証明終わり)

※ラプラス(Laplace)の近似式:ラプラスによれば離散的な２項分布(以下参照)はΣ_x=a^b _nＣ_xｐ^x(1－ｐ)^n-x ≒(2π)^-1/2∫exp(－ｙ²/2)ｄｙと連続的な正規分布で近似できます。

ただし右辺のｙの積分区間は,(ａ－ｎｐ－1/2)/{ｎｐ(1－ｐ)}^1/2≦ｙ≦(ｂ－ｎｐ＋1/2)/{ｎｐ(1－ｐ)}^1/2で与えられます。※

[定義5-3]:２項分布(binomal distribution)

　確率変数Ｘ'の取り得る値が 0,または 1のみであるとき,ｐ＝Ｐ(Ｘ'＝1),ｑ＝Ｐ(Ｘ'＝0)＝1－ｐとする。

　分布関数はＦ(ｘ)＝0 (ｘ＜0),ｑ (0＜ｘ＜1),1 (ｘ≧1)である。これをベルヌーイ(Beronoulli)分布という。

　例えば硬貨を投げて裏が出ると0,表が出ると1を対応させる関数として上述の確率変数Ｘ'を得る。このように硬貨をｎ回投げるようなゲームの試行をベルヌーイ試行,または独立試行という。

正確なベルヌ－イ試行は次の３つの条件を持つ試行と定義される。

(1)  各試行の結果として排反事象Ｔ,Ｈのどちらか１つが起きる。

(2)  各試行の結果は他のそれと独立である。

(3)  各試行でＨが起こる確率ｐは試行ごとに変わらない。

この試行列の標本空間Ωの元:ωはω＝(ω₁,ω₂,..,ω_n);ω_j＝Ｈ or Ｔ (ｊ＝1,2,..,ｎ)で表現される。

このｎベルヌーイ試行でＨが出る回数をＸと表わせば,ｐ_x≡Ｐ(Ｘ＝ｘ)＝_nＣ_xｐ^xｑ^n-x (ｘ＝0,1,2,..,ｎ;ｑ＝1－ｐ)である。これを２項分布といいｂ(ｘ,ｎ,ｐ)と書く。

これは,確率変数Ｘ＝Ｘ₁'＋Ｘ₂'＋..Ｘ_n'の分布になっている。

[定理5-4]:ｎｐ＝λ(一定)の下でｎ→ ∞(ｐ→ 0)とすれば２項分布ｂ(ｘ,ｎ,ｐ)はＰ(ｘ;λ)＝λ^xexp(－λ)/ｘ! (＝ポアソン(Poisson)分布)に近づく。

(証明) ｂ(ｘ,ｎ,ｐ)＝_nＣ_xｐ^xｑ^n-x＝ｎ(ｎ－1)..(ｎーｘ＋1)(λ/ｎ)^x(1－λ/ｎ)^n-x/ｘ!＝λ^x(1－1/ｎ)..{1－(ｘ－1)/ｎ}(1－λ/ｎ)ⁿ(1－λ/ｎ)^-x/ｘ!→λ^xexp(－λ)/ｘ!(ｎ→∞)です。(証明終わり)

※(注):Σ_x=0^d _nＣ_xｐ^x(1－ｐ)^n-x≒exp(－ｎｐ)Σ_x=0^d(ｎｐ)^x/ｘ!をポアソン近似といいます。

　そこで,ポアソン分布:Ｐ(ｘ;λ)はＨが出る回数の期待値がλ(＝(ｎｐ)_n→∞＝一定)の条件下で,Ｈの出る回数がｘである確率を表わすと考えられます。(注終わり)※

[定理5-5]:時刻ｔ＝1,2,3,..においてそれぞれ１個の硬貨を投げる。各時刻ｔで表(Ｈ),裏(Ｔ)の出る確率をそれぞれｐ,ｑ(ｐ＋ｑ＝1)とし,確率変数Ｙ_tはＨ,Ｔに応じて１,－1を取るとする。すなわち,Ｐ(Ｙ_t＝1)＝ｐ,Ｐ(Ｙ_t＝－1)＝ｑである。

　このとき,Ｘ(ｊ)≡Σ_t=0^jＹ_t＝と置けばＸ(0)＝0 の下でＰ(Ｘ(ｊ)＝ｎ)＝_jＣ_(j+n)/2ｐ^(j+n)/2ｑ^(j-n)/2 (－ｊ≦ｎ≦ｊ)が成り立つ。ただし,(ｊ＋ｎ)が偶数のｎしか実現不可能である。

(証明)このケースでは標本はω＝(ＨＨＴＨＨＨＴＨＴ..)のような形を取ります。Ｘ(ｊ) ≡Σ_t=0^jＹ_t＝ｎのとき,表の回数をｋ,裏の回数をｌとするとｋ＋ｌ＝ｊ,ｋ－ｌ＝ｎです。

そこで,2ｋ＝ｊ＋ｎ,2ｌ＝ｊ－ｎより(ｊ＋ｎ),(ｊ－ｎ)は偶数でｋ＝(ｊ＋ｎ)/2,ｌ＝(ｊ－ｎ)/2です。そこで,Ｐ(Ｘ(ｊ)＝ｎ)＝_jＣ_kｐ^kｑ^l＝_jＣ_(j+n)/2ｐ^(j+n)/2ｑ^(j-n)/2を得ます。(証明終わり)

※この種の現象をランダム・ウォーク(酔歩)といいます。

　つまり,酔っ払いが原点Ｏから右に一歩(＋1)か左に一歩(－1)のどちらかの蛇行を繰り返してｊ歩だけ歩いた後,Ｏから右にｎ歩の位置にいる確率が上記のＰ(Ｘ(ｊ)＝ｎ)です。(2006年９/14のブログ記事「酔歩(ランダム・ウォーク」を参照)※

さて,改めてポアソン分布を次のように定義します。

[定義5-6]:Ｐ(Ｘ＝ｊ)＝λ^jexp(－λ)/ｊ!(ｊ＝0,1,2,..)のときＸはパラメータλのポアソン分布を持つという。

※(注):ポアソン過程によるポアソン分布の導出

　ある事象の発生が時間的にランダムであるとき,一定時間内にそれが発生する個数を考察します。

すなわち,次のような３つの仮定を満たす過程を考察します。これをポアソン過程といいます。

(Ａ1):任意の時間内の発生個数はそれと重ならない時間内の発生個数と独立である。

(Ａ2):微小時間をΔｔとするとＰ({Δｔ内には発生しない})＝1－λΔｔ＋ｏ((Δｔ)²),Ｐ({Δｔ内に１個発生する})＝λΔｔ＋ｏ((Δｔ)²),Ｐ({Δｔ内に２個以上発生する})＝ｏ((Δｔ)²)である。(λ＞0)

(Ａ3):時間間隔(0,ｔ)内にｊ個が発生する確率をＰ_j(ｔ)で表わすとき,ｊ≧0 の全てのｊに関してＰ_j(ｔ)はｔに関して微分可能である。

　以上の仮定の下で,Ｐ_j(ｔ)＝(λｔ)^jexp(－λｔ)/ｊ! (ｊ＝0,1,2,..)が成り立つ

(証明) 0≦ｔ₁＜ｔ₂に対して(ｔ₁,ｔ₂)内にｊ個が発生するという事象をＮ_j(ｔ₁,ｔ₂)で表わします。

　積事象を積で表現すれば,Ｎ₀(0,ｔ＋Δｔ)＝Ｎ₀(0,ｔ)Ｎ₀(ｔ,ｔ＋Δｔ),ｊ≧1ならＮ_j(0,ｔ＋Δｔ)＝Ｎ_j(0,ｔ)Ｎ₀(ｔ,ｔ＋Δｔ)＋Ｎ_j-1(0,ｔ)Ｎ₁(ｔ,ｔ＋Δｔ)＋Σ_k=2^jＮ_j-k(0,ｔ)Ｎ_k(ｔ,ｔ＋Δｔ)です。

　そこで,Ｐ_j(ｔ)＝Ｐ[Ｎ_j(0,ｔ)]ですから確率としては,Ｐ₀(ｔ＋Δｔ)＝Ｐ₀(ｔ){1－λΔｔ＋ｏ((Δｔ)²)},かつＰ_j(ｔ＋Δｔ)＝Ｐ_j(ｔ){1－λΔｔ＋ｏ(((Δｔ)²))＋Ｐ_j-1(ｔ){λΔｔ＋ｏ((Δｔ)²)}＋ｏ((Δｔ)²)(ｊ≧1)です。

　Δｔ→ 0 とするとｄＰ₀/ｄｔ＝－λＰ₀(ｔ),ｄＰ_j/ｄｔ＝－λＰ_j(ｔ)＋λＰ_j-1(ｔ))(ｊ≧1)なる連立１階常微分方程式系を得ます。

　これらを初期条件Ｐ₀(0)＝1,Ｐ_j(0)＝0(ｊ≧1)の下で解けばＰ_j(ｔ)が得られるわけです。

解くべき方程式は定係数の線形方程式で係数が二重対角の三角行列の簡単なものです。計算の詳細は省いて結果だけ書くとＰ_j(ｔ)＝(λｔ)^jexp(－λｔ)/ｊ! !(ｊ＝0,1,2,..)です。(証明終わり)(注終わり)※

[定義5-7]:幾何分布(geometrical distribution)

　無限回のベルヌーイ試行列において初めて裏(Ｔ)が出るまでの試行回数(最後の裏の出た回も含める)をＸと表わせばｊ≧1に対してｐ_j≡Ｐ(Ｘ＝ｊ)＝ｐ^j-1ｑ (ｐ＝Ｐ(Ｈ),ｑ＝1－ｐ＝Ｐ(Ｔ))が成り立つ。

この離散的確率分布{ｐ_j;ｊ＝1,2,..}を幾何分布,またはパスカル(Pascal)分布という。

[定理5-8]:幾何分布{ｐ_j;ｊ≧1}を持つ確率変数Ｘは関係式:Ｐ(Ｘ＝ｎ＋ｊ|Ｘ＞ｎ)＝ｐ_j (ｊ≧1) (＝マルコフ(Markov)性)を満たす。

(証明)Ｐ(Ｘ＝ｎ＋ｊ|Ｘ＞ｎ)＝Ｐ(Ｘ＝ｎ＋ｊかつＸ＞ｎ)/Ｐ(Ｘ＞ｎ)＝Ｐ(Ｘ＝ｎ＋ｊ)/Ｐ(Ｘ＞ｎ)＝ｐ_n+j/(Σ_k=n+1^∞ｐ_k)＝ｐ^n+j-1ｑ/(Σ_k=n+1^∞ｐ^k-1ｑ)＝ｐ^j-1ｑ＝ｐ_jです。(証明終わり)

[定理5-9]:確率分布ｐ_j≡Ｐ(Ｘ＝ｊ)が等式:ｐ_j＝Ｐ(Ｘ＝ｎ＋ｊ|Ｘ＞ｎ) (ｎ,ｊ＝1,2,..)を満たすなら,ｐ_j＝ｐ^j-1ｑ (ｊ＝1,2,..,ｑ＝1－ｐ)である。

(証明)ｐ_j＝ｐ_j+n/(Σ_k=n+1^∞ｐ_k)においてｎ＝1と置けばｐ_j＝ｐ_j+1/(Σ_k=2^∞ｐ_k)です。故にｐ_j+1/ｐ_j＝Σ_k=2^∞ｐ_k＝1－ｐ₁です。

　そこで,ｐ≡1－ｐ₁と置くとｐ_j+1＝ｐｐ_j(等比数列)です。

　したがってｐ_j＝ｐ^j-1ｐ₁＝(1－ｐ)ｐ^j-1＝ｐ^j-1ｑ (ｊ＝1,2,..,ｑ＝1－ｐ)を得ます。(証明終わり)

今日はここで終わります。

次回は特殊な連続確率分布の例に入ります。(つづく)

参考文献:藤沢武久 著「新編 確率・統計」(日本理工出版会)

PS:カナダの冬季オリンピックスピード・スケート500ｍ。。地元のジェレミー・ウォザースプーンは泣いていました。残念でした。

　かつてのアメリカのダン・ジャンセン(最後1000ｍでは勝ったが。。)を思い出してしまいました。。。

　ノルディック複合で当時無敵だった荻原健司も五輪の個人では勝てなかったなあ。。。

　国母くんのことについての私の感想。。中学,高校の髪の毛の色や服装の検査じゃあるまいし。。オリンピックにも校則のようなものがあるんかい？。。ファッションなんて変遷するもんです。