確率と分布関数(4)(特殊分布(連続))」

　確率と分布関数の続きです。重要な連続確率分布の例を考えます。

[定義6-1]:一様分布(uniform distribution)

　確率密度(ｐ.ｄ,ｆ)がｆ(ｘ)＝1/(ｂ－ａ)(ａ≦ｘ≦ｂ),ｆ(ｘ)＝0 (その他),分布関数(ｄ.ｆ)Ｆ(ｘ)＝∫_-∞^xｆ(ｘ)ｄｘがＦ(ｘ)＝0 (ｘ＜ａ),Ｆ(ｘ)＝(ｘ－ａ)/(ｂ－ａ) (ａ≦ｘ≦ｂ),Ｆ(ｘ)＝1 (ｘ＞ｂ)で与えられる確率分布を一様分布という。

[例6-2]:確率変数Ｘ,Ｙのｊ.ｐ.ｄ.ｆがｆ(ｘ,ｙ)＝1 (0≦ｘ≦1,0≦ｙ≦1),ｆ(ｘ,ｙ)＝0 (それ以外)であるとき,

同時分布関数(ｍ.ｄ.ｆ)はＦ(ｘ,ｙ)＝∫_-∞^xｄｕ∫_-∞^yｄｖｆ(ｕ,ｖ)より,Ｆ(ｘ,ｙ)＝1 (ｘ≧1,ｙ≧1),Ｆ(ｘ,ｙ)＝ｙ (ｘ≧1,0≦ｙ≦1),Ｆ(ｘ,ｙ)＝ｘ (0≦ｘ≦1,ｙ≧1),Ｆ(ｘ,ｙ)＝ｘｙ (0≦ｘ≦1,0≦ｙ≦1), Ｆ(ｘ,ｙ)＝0 (その他)です。

　周辺分布関数はＦ_X(ｘ)＝lim_y→∞Ｆ(ｘ,ｙ),Ｆ_Y(ｙ)＝lim_x→∞Ｆ(ｘ,ｙ)より,Ｆ_X(ｘ)＝1(ｘ≧1),Ｆ_X(ｘ)＝ｘ (0≦ｘ≦1),Ｆ_X(ｘ)＝0 (その他),およびＦ_Y(ｙ)＝1(ｙ≧1),Ｆ_Y (ｙ)＝ｙ (0≦ｘ≦1),Ｆ_Y(ｙ)＝0 (その他)です。

[定義6-3]:正規分布(normal distribution),またはガウス分布(Gaussian distribution)

確率密度(ｐ.ｄ,ｆ)がｆ(ｘ)＝(2π)^-1/2σ^-1exp{－(ｘ－μ)²/(2σ²)}(－∞＜ｘ＜∞,σ＞0 とμは定数)で,分布関数(ｄ.ｆ)がＦ(ｘ)＝(2π)^-1/2σ^-1∫_-∞^xexp{(ｙ－μ)²/(2σ²)}ｄｙで与えられる連続確率分布を正規分布といい,Ｎ[μ,σ²]で表わす。

特にμ＝0,σ²＝1の正規分布:Ｎ[0,1]を標準正規分布という。これのｐ.ｄ,ｆ:φ(ｕ)はφ(ｕ)＝(2π)^-1/2exp(－ｕ²/2)である。

確率変数Ｘが分布Ｎ[μ,σ²]を持つなら,Ｕ≡(Ｘ－μ)/σは分布Ｎ[0,1]を持ちます。

[定理6-4]:ｘ＞0 のとき,標準正規分布関数:Φ(ｘ)＝(2π)^-1/2∫_-∞^xexp(－ｕ²/2)ｄｕは(2π)^-1/2(1/ｘ－1/ｘ³)exp(－ｘ²/2)＜1－Φ(ｘ)＜(2π)^-1/2(1/ｘ)exp(－ｘ²/2)なる不等式を満たす。

(証明) (ｄ/ｄｘ){(1/ｘ)exp(－ｘ²/2)}＝－(1＋1/ｘ²)exp(－ｘ²/2)なので(1/ｘ)exp(－ｘ²/2)＝∫_x^∞(1＋1/ｕ²)exp(－ｕ²/2)ｄｕ＞∫_x^∞exp(－ｕ²/2)ｄｕです。

また,(ｄ/ｄｘ){(1/ｘ³)exp(－ｘ²/2)}＝－(1/ｘ²＋4/ｘ⁴)exp(－ｘ²/2)より,(ｄ/ｄｘ){(1/ｘ－1/ｘ³)exp(－ｘ²/2)}＝－(1－4/ｘ⁴)exp(－ｘ²/2)です。

故に,(1/ｘ－1/ｘ³)exp(－ｘ²/2)＝∫_x^∞(1－4/ｕ⁴)exp(－ｕ²/2)ｄｕ＜∫_x^∞exp(－ｕ²/2)ｄｕです。

(2π)^-1/2∫_x^∞exp(－ｕ²/2)ｄｕ＝1－Φ(ｘ)ですから,(2π)^-1/2(1/ｘ－1/ｘ³)exp(－ｘ²/2)＜1－Φ(ｘ)＜(2π)^-1/2(1/ｘ)exp(－ｘ²/2)が得られます。(証明終わり)

この定理からｘが大きいときには,1－Φ(ｘ)≒(2π)^-1/2(1/ｘ)exp(－ｘ²/2)と近似できることがわかります。

正規分布Ｎ[μ,σ²]では,ｐ.ｄ.ｆが偶関数なのでＰ(－ｕ₀≦Ｕ≦ｕ₀)＝2Ｐ(0≦Ｕ≦ｕ₀)(ｕ₀＞0)です。この式でｕ₀→∞とすると,Ｐ(Ｕ＞0)＝Ｐ(Ｕ≧0)＝1/2を得ます。

一方,総確率が1であるという性質からＰ(Ｕ≦ｕ)＝1－Ｐ(Ｕ＞ｕ)なので,Ｐ(Ｕ≦0)＝1/2も得られます。

そこで,Ｐ(Ｕ≦ｕ₀)＝Ｐ(Ｕ≦0)＋Ｐ(0≦Ｕ≦ｕ₀)＝1/2＋Ｐ(0≦Ｕ≦ｕ₀),すなわちＰ(0≦Ｕ≦ｕ₀)＝Ｐ(Ｕ≦ｕ₀)－1/2です。

標準正規分布Ｎ[0,1]を持つ確率変数(random variable):Ｕに対してはΦ(ｕ₀)＝Ｐ(Ｕ≦ｕ₀)ですから,Ｐ(0≦Ｕ≦ｕ₀)＝(2π)^-1/2∫₀^u0 exp(－ｕ²/2)ｄｕ＝Φ(ｕ⁰)－1/2です。これの近似値を表示したものは正規分布表として種々の資料に載っています。　

それによると,特にＰ(－1≦Ｕ≦1)≒0.683,Ｐ(－2≦Ｕ≦2)≒0.954,Ｐ(－3≦Ｕ≦3)≒0.997であることがわかります。

[定義6-5]:関数:erf(ｘ)≡(2π)^-1/2∫₀^x exp(－ｖ²)ｄｖを誤差関数(error function)という。

erf(ｘ)＝(2π)^-1/2∫₀^x exp(－ｖ²)ｄｖ＝(2π)^-1/22^-1/2∫₀^√2xexp(－ｕ²/2)ｄｕ＝2{Φ(2^1/2ｘ)－1/2}＝2Φ(2^1/2ｘ)－1です。

[定義6-6]:指数分布(exponential distribution)

確率変数:Ｘのｐ.ｄ,ｆがｆ(ｘ)＝λexp(－λｘ)(0≦ｘ＜∞),ｆ(ｘ)＝0 (ｘ≦0)で,ｄ.ｆＦ(ｘ)＝∫_-∞^xｆ(ｔ)ｄｔがＦ(ｘ)＝1－exp(－λｘ)(0≦ｘ＜∞),Ｆ(ｘ)＝0 (ｘ≦0)で与えられるとき,Ｘはパラメータλの指数分布を持つという。

[定理6-7]:確率変数:Ｘが指数分布を持つとき,Ｐ(Ｘ＞(ｘ＋ｙ)|Ｘ＞ｘ)＝Ｐ(Ｘ＞ｙ)(マルコフ(Markov)性)が成り立つ。

(証明)Ｐ(Ｘ＞(ｘ＋ｙ)|Ｘ＞ｘ)＝Ｐ(Ｘ＞(ｘ＋ｙ),Ｘ＞ｘ)/Ｐ(Ｘ＞ｘ)＝Ｐ(Ｘ＞(ｘ＋ｙ))/Ｐ(Ｘ＞ｘ)＝∫_x+y^∞λexp(－λｔ)ｄｔ/∫_x^∞λexp(－λｔ)ｄｔ＝exp{－λ(ｘ＋ｙ)}/ exp(－λｘ)＝exp(－λｙ)＝∫_y^∞λexp(－λｔ)ｄｔ＝Ｐ(Ｘ＞ｙ) (証明終わり)

[定理6-8]:確率変数:Ｔの分布関数:Ｆ(ｔ)＝Ｐ(Ｔ≦ｔ)がＰ(Ｔ＞(ｔ＋ｓ)|Ｔ＞ｓ)＝Ｐ(Ｔ＞ｔ)を満たすなら,ｔ≧0 においてはある定数λ＞0が存在してＦ(ｔ)＝1－exp(－λｔ)である。

(証明) Ｐ(Ｔ＞(ｔ＋ｓ)|Ｔ＞ｓ)＝Ｐ(Ｔ＞ｔ)を分布関数Ｆ(ｔ)で表わすせば1－Ｆ(ｔ＋ｓ)＝{1－Ｆ(ｔ)}{1－Ｆ(ｓ)}です。

ｚ(ｔ)≡log{1－Ｆ(ｔ)}と置けばｚ(0)＝0 でｚ(ｔ＋ｓ)＝ｚ(ｔ)＋ｚ(ｓ)で 0≦Ｆ(ｔ)≦1ですからｚ(ｔ)≦0 です。ｔ≧0 においてこれを満たす連続関数ｚ(ｔ)はｚ(ｔ)＝－λｔ(λ＝－ｚ(1)＞0)だけです。

故にＦ(ｔ)＝1－exp(－λｔ) (λ＞0)が得られます。(証明終わり)

[定理6-9]:確率変数:Ｘがlim_Δx→0Ｐ(ｘ＜Ｘ＜ｘ＋Δｘ|Ｘ＞ｘ)/Δｘ＝η(ｘ),Ｐ(Ｘ＞0)＝1を満たすなら,Ｘの分布関数Ｆ(ｘ)はＦ(ｘ)＝1－exp{－∫₀^xη(ｔ)ｄｔ} (ｘ＞0),Ｆ(ｘ)＝0 (ｘ≦0)である。

(証明)η(ｘ)＝lim_Δx→0[{Ｆ(ｘ＋Δｘ)－Ｆ(ｘ)}/Δｘ]/{1－Ｆ(ｘ)}＝(ｄＦ/ｄｘ)/1－Ｆ(ｘ)}＝－ｄ[log{1－Ｆ(ｘ)}/ｄｘ,そしてＦ(0)＝1－Ｐ(Ｘ＞0)＝0です。

　それ故,log{1－Ｆ(ｘ)}＝－∫₀^xη(ｔ)ｄｔを得ます。したがって,ｘ＞0 のとき,Ｆ(ｘ)＝1－exp{－∫₀^xη(ｔ)ｄｔ}です。(証明終わり)

　上述の確率変数:Ｘを部品の寿命と見なすときにはη(ｘ)を故障率関数と呼びます。η(ｘ)＝ｆ(ｘ)/{1－Ｆ(ｘ)}ですから,Ｘの分布がパラメータλの指数分布ならη(ｘ)＝λ(一定)(ｘ＞0)となります。

[例6-10]:Ｘのｐ.ｄ,ｆとしてｆ(ｘ)＝αλｘ^α-1exp(－λｘ^α) (ｘ＞0,α＞0,λ＞0),ｆ(ｘ)＝0 (その他)を持つ分布をワイブル分布(Weibull distribution)といいます。

これのｄ.ｆはＦ(ｘ)＝∫_-∞^xｆ(ｔ)ｄｔ＝1－exp(－λｘ^α) (ｘ＞0),Ｆ(ｘ)＝0 (ｘ≦0)です。

このワイブル分布では,故障率関数は一般に一定ではなくて,η(ｘ)＝ｆ(ｘ)/1－Ｆ(ｘ)}＝αλｘ^α-1です。

しかし,もしもα＝1ならワイブル分布は指数分布に一致しますから,η(ｘ)＝λ(一定)です。また,α＞1なら故障率η(ｘ)は増加関数で, 0＜α＜1なら減少関数です。

[定理6-11]:ある事象εの発生がパラメータλのポアソン(Poisson)分布(離散分布の１つ)を持つとき,発生間隔Ｔは同じパラメータλの指数分布を持つ。

　(これは単位時間当たりの平均発生個数がλのポアソン過程です。)

(証明)前記事でのポアソン過程の考察において,時刻 0≦ｔ₁＜ｔ₂に対し(ｔ₁,ｔ₂)内にｊ個が発生する事象をＮ_j(ｔ₁,ｔ₂)と定義しました。

　このとき,時間間隔(0,ｔ)内にｊ個が発生する確率はＰ_j(ｔ)＝Ｐ[Ｎ_j(0,ｔ)]であってＰ_j(ｔ)＝(λｔ)^jexp(－λｔ)/ｊ! (ｊ＝0,1,2,..)とポアソン分布で与えられることを見ました。

そこで,発生間隔Ｔがｘより大きい確率はＰ(Ｔ＞ｘ)＝Ｐ(Ｎ₀(0,ｘ))＝Ｐ₀(ｘ)＝exp(－λｘ)となります。

したがって,発生間隔:Ｔのｐ.ｄ.ｆをｆ(ｘ)とすると,ｄ.ｆがＦ(ｘ)＝Ｐ(Ｔ≦ｘ)＝1－Ｐ(Ｔ＞ｘ)＝1－exp(－λｘ)なのでｆ(ｘ)＝ｄＦ/ｄｘ＝λexp(―λｘ)です。(証明終わり)

[定義6-12]:ガンマ分布:γ(ｘ；α,λ)　

　確率変数Ｘのｐ.ｄ,ｆがｆ(ｘ)＝{1/Γ(α)}λ^αｘ^α-1exp(－λｘ) (ｘ＞0,α＞0,λ＞0),ｆ(ｘ)＝0 (その他)で与えられるとき,Ｘはパラメータ(α,λ)のガンマ分布を持つといい, γ(ｘ；α,λ)で表わす。

ここに,Γ(α)はEulerのガンマ関数でΓ(α)≡∫₀^∞exp(－ｔ)ｔ^α-1ｄｔ(α＞0)で定義されます。

ガンマ分布はα＝ｎ/2,λ＝1/2のときは後述する自由度ｎのχ²分布(カイ二乗分布)のｐ.ｄ,ｆになります。

[定理6-13]:Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_αが互いに独立な確率変数であり,これらが共通のパラメータλの指数分布を持つなら,Σ_k=1^αＸ_k＝Ｘ₁＋Ｘ₂＋..＋Ｘ_αはパラメータ(α,λ)のガンマ分布を持つ。

(証明) まず,α＝1のときＸ₁はパラメータλの指数分布を持ちますが,これはパラメータ(1,λ)のガンマ分布です。

　いま,αまで定理が成立するとしてＺ≡Σ_k=1^αＸ_k＋Ｘ_α+1と置き,これのｐ.ｄ.ｆを求めます。Ｘ＝Ｘ_α+1,Ｙ＝Σ_k=1^αＸ_kと置くと仮定によってＹのｐ.ｄ.ｆはｆ_Y(ｙ)＝{1/Γ(α)}λ^αｙ^α-1exp(－λｙ)です。

　Ｚ＝Ｘ＋Ｙ,Ｔ＝ＹとしてＺ,Ｔのｊ.ｐ.ｄ.ｆを求めるとＸ＝Ｚ－Ｔ,Ｙ＝Ｔかつ|Ｊ|＝1であり,ＸとＹは独立なのでｆ_ZT(ｚ,ｔ)＝ｆ_X(ｘ)ｆ_Y(ｙ)＝ｆ_X(ｚ－ｔ)ｆ_Y(ｔ)です。

　そこで,ｆ_Z(ｚ)＝∫_-∞^∞ｆ_X(ｚ－ｔ)ｆ_Y(ｔ)ｄｔです。

これを計算すると,ｆ_Z(ｘ)＝∫₀^xλexp{－λ(ｘ―ｔ)}ｆ_Y(ｔ)ｄｔ＝∫₀^x{1/Γ(α)}λ^α+1ｔ^α-1exp(－λｘ)ｄｔ＝{1/Γ(α＋1)}λ^α+1ｘ^αexp(－λｘ)を得ます。

以上から,帰納法によって全てのαについて定理の結論の成立することが示されました。(証明終わり)

確率変数Ｘがガンマ分布を持つとき,そのｐ.ｄ,ｆはｆ(ｘ)＝{1/Γ(α)}λ^αｘ^α-1exp(－λｘ) (ｘ＞0)です。ｕ＝λｘと置けば確率変数Ｕ＝λｘのｐ.ｄ.ｆはｆ_Ｕ(ｕ)＝{1/Γ(α)}ｕ^α-1exp(－ｕ) ) (ｕ＞0)となります。

[定義6-14]:χ²分布(chi-squared distribution)

　ｐ.ｄ.ｆがｆ(ｘ)＝[1/{2^n/2Γ(ｎ/2)}ｘ^n/2-1exp(－ｘ/2) (ｘ＞0),ｆ(ｘ)＝0 (ｘ≦0)で与えられる連続確率分布を自由度ｎのχ²分布(カイ二乗分布)という。

　これは,先のガンマ分布のｐ.ｄ,ｆ:ｆ(ｘ)＝{1/Γ(α)}λ^αｘ^α-1exp(－λｘ)(ｘ＞0),ｆ(ｘ)＝0 (ｘ≦0)において,α＝ｎ/2,λ＝1/2としたものと同じです。つまりγ(ｘ；ｎ/2,1/2)ですね。

[定理6-15]:Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nが全て標準正規分布を持つｎ個の独立確率変数ならば,χ²≡Σ_j=1ⁿＸ_j²＝Ｘ₁²＋Ｘ₂²＋..＋Ｘ_n²は自由度ｎのχ²分布を持つ。

(証明)Ｘ₁²のｐ.ｄ.ｆをｐ₁(ｙ)と書けば,ｙ＞0 のときはｙ＝ｘ²,ｘ＝±ｙ^1/2,|ｄｘ/ｄｙ|＝1/(2ｙ^1/2)を(2π)^-1/2exp(－ｘ²/2)に代入してｐ₁(ｙ)＝(2π)^-1/2ｙ^-1/2exp(－ｙ/2)(ｙ＞0),ｐ₁(ｙ)＝0 (ｙ≦0)なる陽な表式を得ます。

　Γ(1/2)＝π^1/2によって,これは自由度１のχ²分布です。

　また,Ｘ₁²＋Ｘ₂²のｐ.ｄ.ｆをｐ₂(ｘ)と置けばｐ₂(ｘ)＝∫_-∞^∞ｐ₁(ｘ－ｙ)ｐ₁(ｙ)ｄｙ＝(2π)^-1∫₀^x(ｘ－ｙ)^-1/2exp{－(ｘ－ｙ)/2}ｙ^-1/2exp(－ｙ/2)ｄｙです。

　すなわち,ｐ₂(ｘ)＝(2π)^-1exp(－ｘ/2)∫₀^x(ｘｙ－ｙ²)^-1/2ｄｙです。ところが,∫₀^x(ｘｙ－ｙ²)^-1/2ｄｙ＝∫₀^x{ｘ²/4－(ｙ－ｘ)²}^-1/2ｄｙ＝πです。

　そこで,ｐ₂(ｘ)＝2^-1exp(－ｘ/2) (ｘ＞0),ｐ₁(ｘ)＝0 (ｘ≦0)を得ますが,Γ(1)＝1によりこれは自由度２のχ²分布です。

　次に,(ⅰ)ｎ＝2ｋのとき,ｍ＝1,2,..,ｋについて,ｐ_2m(ｘ)＝[1/{2^mΓ(ｍ)}ｘ^m-1exp(－ｘ/2) (ｘ＞0)が全て成立すると仮定します。

　すると,ｐ_2k+2(ｘ)＝∫_-∞^∞ｐ₂(ｘ－ｙ)ｐ_2k(ｙ)ｄｙ＝[1/{2^k+1Γ(ｋ)}exp(－ｘ/2)∫₀^xｙ^k-1ｄｙ＝[1/{2^k+1Γ(ｋ＋1)}ｘ^kexp(－ｘ/2)(ｘ＞0)を得ます。

　ｍ＝(ｋ＋1)でもｐ_2m(ｘ)＝[1/{2^mΓ(ｍ)}ｘ^m-1exp(－ｘ/2) (ｘ＞0)が示されたわけです。

　一方,(ⅱ)ｎ＝2ｋ-1のときにも,ｍ＝1,2,..,ｋについてｐ_2m-1(ｘ)＝[1/{2^m-1/2Γ(ｍ－1/2)}ｘ^m-3/2exp(－ｘ/2) (ｘ＞0)が成立すると仮定します。

　すると,ｐ_2k+1(ｘ)＝∫_-∞^∞ｐ₂(ｘ－ｙ)ｐ_2k-1(ｙ)ｄｙ＝[1/{2^k+1/2Γ(ｋ－1/2)}exp(－ｘ/2)∫₀^xｙ^k-3/2ｄｙ＝[1/{2^k+1/2Γ(ｋ＋1/2)}ｘ^k-1/2exp(－ｘ/2)(ｘ＞0)を得ます。やはり,帰納法の仮定からｍ＝(ｋ＋1)でも同じ式の成立することが導かれます。(証明終わり)

上記の証明で用いた式ｐ_n(ｘ)＝[1/{2^n/2Γ(ｎ/2)}ｘ^n/2-1exp(－ｘ/2) (ｘ＞0)についてＰ(χ²＞χ_α,n²)＝∫_χα,n^2∞ｐ_n(ｘ)ｄｘ＝αを満たすχ_α,n²の値の数表をχ²分布表といいます。

[定理6-15の系]:Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nが全て正規分布Ｎ[μ,σ²]を持つｎ個の独立確率変数ならばΣ_j=1ⁿ{(Ｘ_j－μ)²/σ²}は自由度ｎのχ²分布を持つ。(証明は略:Ｕ_j≡(Ｘ_j－μ)/σがＮ[0,1]に従うので自明)

[定義6-16]:ｔ分布,またはStudent分布(W.Goset(1908)による)

　ｐ.ｄ.ｆがｆ(ｔ)＝[Γ((ｎ＋1)/2)/{(ｎπ)^1/2Γ(ｎ/2)}](1＋ｔ²/ｎ)^-(n+1)/2 (－∞＜ｔ＜∞)の確率分布を自由度ｎのｔ分布という。

[定理6-17]:確率変数ＸとＹが独立でＸがＮ[0,1],Ｙが自由度ｎのχ²分布を持つならばＴ≡Ｘ/(Ｙ/ｎ)^1/2は自由度ｎのｔ分布を持つ。

(証明)Ｚ≡(Ｙ/ｎ)^1/2と置くとｆ_Y(ｙ)＝[1/{2^n/2Γ(ｎ/2)}]ｙ^n/2-1exp(－ｙ/2) (ｙ＞0)でｚ＝(ｙ/ｎ)^1/2よりｙ＝ｎｚ²,ｄｙ/ｄｚ＝2ｎｚなのでＺのｐ.ｄ.ｆはｆ_Z(ｚ)＝[ｎ^n/2/{2^n/2-1Γ(ｎ/2)}]ｚ^n-1exp(－ｎｚ²/2) (ｚ＞0)となります。

さらにＴ≡Ｘ/ＺよりＷ≡Ｚと置けば(Ｘ,Ｚ)＝(ＷＴ,Ｗ)でＪ≡∂(ｘ,ｚ)/∂(ｔ,ｗ)＝ｗです。

ｆ_ＸＺ(ｘ,ｚ)＝ｆ_Ｘ(ｘ)ｆ_Ｚ(ｚ)＝(2π)^-1/2exp(－ｘ²/2)[ｎ^n/2/{2^n/2-1Γ(ｎ/2)}]ｚ^n-1exp(－ｎｚ²/2) (－∞＜ｘ＜∞,ｚ＞0)ですからｆ_TW(ｔ,ｗ)＝(2π)^-1/2exp{－(ｔｗ)²/2}[ｎ^n/2/{2^n/2-1Γ(ｎ/2)}]ｗⁿexp(－ｎｗ²/2) (－∞＜ｔ＜∞,ｗ＞0)を得ます。

それ故,ｆ_T(ｔ)＝∫₀^∞ (2π)^-1/2exp{－(ｔｗ)²/2}[ｎ^n/2/{2^n/2-1Γ(ｎ/2)}]ｗⁿexp(－ｎｗ²/2)ｄｗ＝[1/{2^(n-1)/2π^1/2Γ(ｎ/2)}]∫₀^∞(ｎ^1/2ｗ)ⁿexp{－ｗ²(ｎ＋ｔ²)/2}ｄｗです。

ｕ＝ｗ²(ｎ＋ｔ²)/2と置換すればｄｕ＝ｗ(ｎ＋ｔ²)ｄｗでｗ＝(2ｕ)^1/2(ｎ＋ｔ²)^-1/2です。ｄｗ＝(2ｕ)^-1/2(ｎ＋ｔ²)^-1/2ｄｕですね。

そこで,ｆ_T(ｔ)＝[1/(ｎπ)^1/2Γ(ｎ/2)]](1＋ｔ²/ｎ)^-(n+1)/2∫₀^∞ｕ^(n+1)/2-1exp(－ｕ)ｄｕ＝[Γ((ｎ＋1)/2)/{(ｎπ)^1/2Γ(ｎ/2)}](1＋ｔ²/ｎ)^-(n+1)/2 (－∞＜ｔ＜∞)を得ます。(証明終わり)

ｔ分布のｐ.ｄ.ｆ:ｆ_T(ｔ)＝[Γ((ｎ＋1)/2)/{(ｎπ)^1/2Γ(ｎ/2)}](1＋ｔ²/ｎ)^-(n+1)/2はオイラーのベータ関数Β(ｐ,ｑ)≡Γ(ｐ)Γ(ｑ)/Γ(ｐ＋ｑ)を用いると,ｆ_T (ｔ)＝ｎ^-1/2Β^-1(1/2,ｎ/2)(1＋ｔ²/ｎ)^-(n+1)/2と表わすこともできます。

ｆ_T(－ｔ)＝ｆ_T(ｔ)(偶関数)ですから,分布関数ではＰ(Ｔ＞－ｔ)＝Ｐ(Ｔ≦ｔ)ですが,Ｐ(Ｔ＞－ｔ)＝1－Ｐ(Ｔ≦－ｔ)ですからＰ(Ｔ≦－ｔ)＝1－Ｐ(Ｔ≦ｔ)です。

そこで,Ｐ(|Ｔ|≦ｔ)＝Ｐ(―ｔ≦Ｔ≦ｔ)＝Ｐ(Ｔ≦ｔ)－Ｐ(Ｔ≦－ｔ)＝2Ｐ(Ｔ≦ｔ)－1です。

通常,資料に載っているｔ分布表では自由度ｎとα＝Ｐ(|Ｔ|＞ｔ^*)を与えたときのｔ^*値が与えられています。

[定義6-18]:ベータ分布:β(ｘ;ｐ,ｑ)

　ｄ.ｆがＦ(ｘ)＝Β^-1(ｐ,ｑ)∫₀^xｕ^p-1(1－ｕ)^q-1ｄｕ (0＜ｘ＜1,ｐ,ｑ＞0),Ｆ(ｘ)＝0 (その他)であるような確率分布をベータ分布といいβ(ｘ;ｐ,ｑ)で表わす。

Β(ｐ,ｑ)はオイラー(Euler)のベータ関数:Β(ｐ,ｑ)≡Γ(ｐ)Γ(ｑ)/Γ(ｐ＋ｑ)ですが,これはΒ(ｐ,ｑ)＝∫₀¹ｕ^p-1(1－ｕ)^q-1ｄｕ (ｐ,ｑ＞0)と表わすこともできます。(証明略)

[定理6-19]:独立な確率変数Ｘ,Ｙがそれぞれｐ.ｄ.ｆとしてパラメータ(ｐ,λ),(ｑ,λ)のベータ分布を持つならＺ≡Ｘ/(Ｘ＋Ｙ)はベータ分布β(ｚ;ｐ,ｑ)を持つ。(証明略)

[定義6-20]:Ｆ分布(スネデカー(Snedecor,G.W)の分布)

確率変数Ｘのｐ.ｄ.ｆがｆ_U(ｘ)＝Β^-1(ｍ/2,ｎ/2)(ｍ/ｎ)^m/2-1ｘ^m/2-1[1＋(ｍ/ｎ)ｘ]^-(m+n)/2 (ｘ＞0),ｆ_U(ｘ)＝0 (ｘ≦0)の場合,この分布を自由度(ｍ,ｎ)のＦ分布という。

[定理6-21]:確率変数Ｘ,Ｙがそれぞれ自由度ｍ,ｎのχ²分布を持てばＵ≡(Ｘ/ｍ)/(Ｙ/ｎ)は自由度(ｍ,ｎ)のＦ分布を持つ。

(証明)ｕ＝(ｘ/ｍ)/(ｙ/ｎ),ｖ＝ｙと置けば(ｘ,ｙ)＝(ｍｕｖ/ｎ,ｖ)であり,∂(ｘ,ｙ)/∂(ｕ,ｖ)＝ｍｖ/ｎです。

　また,ｆ_Ｘ(ｘ)＝[1/{2^m/2Γ(ｍ/2)}]ｘ^m/2-1exp(－ｘ/2) (ｘ＞0),ｆ_Y(ｙ)＝[1/{2^n/2Γ(ｎ/2)}]ｙ^n/2-1exp(－ｙ/2) (ｙ＞0)でｘ＞0,ｙ＞0 はｖ＞0 に対応します。

ＵＶの同時確率密度はｆ_ＵV(ｕ,ｖ)＝ｆ_Ｘ(ｘ)ｆ_Y(ｙ)|∂(ｘ,ｙ)/∂(ｕ,ｖ)|＝[1/{2^(m+n)/2Γ(ｍ/2)Γ(ｎ/2)}](ｍ/ｎ)^m/2-1(ｕｖ)^m/2-1ｖ^n/2-1exp{－ｍｕｖ/(2ｎ)－ｖ/2}(ｍｖ/ｎ) (ｖ＞0)です。

故に,ｆ_Ｕ(ｕ)＝[(ｍ/ｎ)^m/2/{2^(m+n)/2Γ(ｍ/2)Γ(ｎ/2)}ｕ^m/2-1∫₀^∞ｖ^(m+n)/2-1exp{－(1＋ｍｕ/ｎ)ｖ/2}]ｄｖです。

ｔ＝(1＋ｍｕ/ｎ)ｖ/2と置けば,ｄｔ＝(1＋ｍｕ/ｎ)ｄｖ/2です。以下略..でｆ_U(ｕ)＝Β^-1(ｍ/2,ｎ/2)(ｍ/ｎ)^m/2-1ｕ^m/2-1[1＋(ｍ/ｎ)ｕ]^-(m+n)/2 (ｕ＞0)を得ます。(証明終わり)

※Ｆ分布はベータ分布β(ｘ;ｐ,ｑ)＝Β^-1(ｐ,ｑ)ｘ^p-1(1－ｘ)^q-1においてｐ＝ｍ/2,ｑ＝ｎ/2と置いたβ(ｘ;ｍ/2,ｎ/2)＝Β^-1(ｍ/2,ｎ/2)ｘ^m/n-1(1－ｘ)^n/2-1 (ｘ＞0)で,ｕ＝(ｎ/ｍ)ｘ/(1－ｘ) or ｘ＝(ｍ/ｎ)ｕ/{1+(ｍ/ｎ)ｕ}と変換したものに一致します。

また,自由度が１のχ²分布は標準正規分布[0,1]ですから,Ｕ＝(Ｘ/1)/(Ｙ/ｎ)は,[定理6-17]でＸとＹが独立でＸがＮ[0,1],Ｙが自由度ｎのχ²分布を持つならＴ≡Ｘ/(Ｙ/ｎ)^1/2がｔ分布を持つとしたときのＴ²に一致しています。

つまり,Ｔ²＝(Ｘ/1)/(Ｙ/ｎ)ですが,今の定理からこれは自由度(1,ｎ)のＦ分布を持つことがわかります。※

[定理6-22]:確率変数:Ｕが自由度(ｍ,ｎ)のＦ分布を持つなら変数:1/Ｕは自由度(ｎ,ｍ)のＦ分布を持つ。

(証明)Ｕのｐ.ｄ.ｆがｆ_U(ｕ)＝Β^-1(ｍ/2,ｎ/2)(ｍ/ｎ)^m/2-1ｕ^m/2-1[1＋(ｍ/ｎ)ｕ]^-(m+n)/2 (ｕ＞0)のとき,Ｖ≡1/Ｕとおくとｖ＝1/ｕよりｕ＝1/ｖでｄｕ＝ｄｖ/ｖ²です。

　そこで,ｆ_V(ｖ)＝ｆ_U(1/ｖ)/ｖ²＝Β^-1(ｎ/2,ｍ/2)(ｍ/ｎ)^m/2-1ｖ^-m/2-1[1＋ｍ/(ｎｖ)]^-(m+n)/2＝Β^-1(ｎ/2,ｍ/2)(ｎ/ｍ)^m/2-1ｖ^n/2-1[1＋(ｎ/ｍ)ｖ]^-(n+m)/2 (ｖ＞0)を得ます。

　これは自由度(ｎ,ｍ)のＦ分布のｐ.ｄ.ｆです。(証明終わり)

[定理6-22の系]:Ｘ,およびＹがそれぞれ自由度(ｍ,ｎ),および(ｎ,ｍ)のＦ分布を持つとき,任意のｘ＞0 に対してＰ(Ｘ≦ｘ)＝1－Ｐ(Ｙ＜(1/ｘ))が成り立つ。

(証明)Ｙは自由度(ｎ,ｍ)のＦ分布を持つので1/Ｙは自由度(ｍ,ｎ)のＦ分布を持ちます。故にＰ((1/Ｙ)＞ｘ)＝Ｐ(Ｘ＞ｘ)です。したがってＰ(Ｘ≦ｘ) ＝1－Ｐ(Ｘ＞ｘ)＝1－Ｐ(Ｙ＜(1/ｘ))です。(証明終わり)

※Ｆ分布:ｆ_U(ｕ)＝Β^-1(ｍ/2,ｎ/2)(ｍ/ｎ)^m/2-1ｕ^m/2-1[1＋(ｍ/ｎ)ｕ]^-(m+n)/2 (ｕ＞0)において,特にｍ＝1,ｕ＝ｔ²と置けばｄｕ/ｄｔ＝2ｔよりＴのｐ.ｄ.ｆはｆ_Ｔ(ｔ)＝2Β^-1(1/2,ｎ/2)ｎ^1/2(1＋ｔ²/ｎ)^-(n+1)/2とｔ分布になります。

　ただし,ｕ＝ｔ²＞0 にはｔ＝ｕ^1/2＞0 とｔ＝－ｕ^1/2＜0 の２つのｔが対応するため,ｔ＞0 の分布とすれば余分な因子２があります。※

[定理6-23]:自由度ｎのｔ分布のｐ.ｄ.ｆをｆ_n(ｘ)と表わすと,ｎが大きい極限ではlim_n→∞ｆ_n(ｘ)＝(2π)^-1/2exp(－ｘ²/2)(＝標準正規分布Ｎ[0,1])となり,ｔ分布は正規分布Ｎ[0,1]に収束する。(これは中心極限定理の一例です。)

(証明)ｆ_n(ｘ)＝[Γ((ｎ＋1)/2)/{(ｎπ)^1/2Γ(ｎ/2)}](1＋ｘ²/ｎ)^-(n+1)/2＝π^-1/2[Γ((ｎ＋1)/2)/{ｎ^1/2Γ(ｎ/2)}]{(1＋ｘ²/ｎ)^{n/x^2}}^{-(n+1)x^2/(2ｎ)}→π^-1/2exp(－ｘ²/2) as ｎ→∞は明らかです。(証明終わり)

なんかこう教科書を読んで定義,定理,証明とやっていると,行間を埋めながらもブログというより全部書き写しているという感があって大丈夫かな？とも考えます。

しかし,(応用)数学の教科書というのは歴史的に得られた既知の知見の羅列(ある意味ではパクリの連続)であって,それを公開とはいえ個人の日記でかいつまんで紹介しているだけのことですからこれもアリかなと思います。

今日はここで終わります。(つづく)

参考文献:藤沢武久 著「新編 確率・統計」(日本理工出版会)

PS：藤田まことさんが死んだから言うわけじゃないが,地球の大多数の人にとっては明日もまたほぼ確実に太陽が昇って日常が始まるのでしょうが,ある人々にとっては明日はもう太陽は昇らないかも知れません。

　少なくともある程度の未来への展望が開けていて明日もまた太陽が昇ると信じられるからこそ,精神の矜持が保たれるのだと思います。

　これまで続いてきた人生が明日にも突然途絶えるかも知れないという心境であれば,普通人の心境はどうなるのでしょう。もしも病気か寿命でわずかしかない余命をハッキリ宣告されたとしたら,私だったらどういう心境になるでしょうか？

　私事では,不摂生な私への脅かしや冗談もあるのでしょうが,これまで病院へ行って持病の診察を受けるといつ死んでもおかしくない体であると言われたり,入院など医者の勧めを断るとその旨を書いたカルテにサインを要求されたりもしてきています。

　現実には３年前の手術のときから,前記のように明日の太陽が昇るかどうか？が結構気になって,あるかもわからない将来についてあくせく考えることが少なくなり,今日明日の１日や２日の取るに足りない程度のことなら真面目に悩むことも比較的少なくなりました。

　生き物としては生命力の喪失だし悲しいことです。無常ですね。。

　藤田まことさんに。。合掌