確率と分布関数(6)(特性関数,極限定理)

　確率と分布関数の続きです。

　前回の離散変数中心の話題から連続変数を主とする話題に移ります。 

[定義9-1]:確率変数Ｘの積率母関数(moment generating function)を,

　Ｍ_X(θ)≡Ｅ[exp(θＸ)]　で定義する。

　ただし,Ｅ[exp(θＸ)]は∀θ∈Ｒについて常に存在するとは限らないので,この定義は右辺が存在するときに限られる。

　そこで,Ｍ_X(θ)＝Ｅ[exp(θＸ)]においてθをiｔ(ｔ∈Ｒ)に置き換えたもの:Ｘの特性関数(characteristic function)を,

　φ(ｔ)≡Ｅ[exp(iｔＸ)](－∞＜ｔ＜∞)　で定義する。

　ｉは虚数:√－1を表わす。

　この定義では,Ｅ[exp(iｔＸ)]は∀ｔ∈Ｒに対し絶対収束する。

※(注1):特性関数の定義によれば,特にＸが離散確率変数で前記事で定義した確率母関数:Ｇ(ｚ)＝Ｅ[ｚ^X]を持つなら,

　φ(ｔ)＝Ｅ[exp(iｔＸ)]＝Ｅ[exp(iｔ)^X]＝Ｇ(exp(iｔ)) です。

また,Ｘが正値確率変数,つまりｘ＜0 ならＰ(Ｘ≦ｘ)＝0 で,確率密度関数ｆ(ｘ)を持つ連続型変数のとき,

ｆ(ｘ)のLaplace変換は,

Ｌ{ｆ(ｘ)}≡∫₀^∞exp(－ｓｘ)ｆ(ｘ)ｄｘ

で定義されます。

そこで,Ｌ{ｆ(ｘ)}＝Ｅ[exp(－ｓｘ)]ですが,右辺は

Ｅ[exp(－ｓｘ)]＝Σ_j=0^∞{(－ｓ)^j}/ｊ!}Ｅ[Ｘ^j]

のように,ｓのベキ級数に展開されます。

故に,[ｄＬ{ｆ(ｘ)}/ｄｓ]_x=0＝－Ｅ[Ｘ],

　[ｄ²Ｌ{ｆ(ｘ)}/ｄｓ²]_x=0＝Ｅ[Ｘ²],etc.が成立します。

他方,Ｘが正値とは限らず一般の確率密度関数ｆ(ｘ)を持つ連続変数のとき,特性関数は,

φ(ｔ)＝Ｅ[exp(iｔＸ)]＝∫_-∞^∞exp(iｔｘ)ｆ(ｘ)ｄｘ です。

これは,ｆ(ｘ)のFourier変換:Ｆ{ｆ(ｘ)}ですね。私にはこちらの方がLaplace変換より馴染み深いです。※

[例9-2]:確率密度関数(p.d.f)が正規分布:Ｎ[μ,σ²]:

　ｆ(ｘ)＝(2π)^-1/2σ^-1exp{－(ｘ－μ)²/(2σ²)}(－∞＜ｘ＜∞)

のとき,

　Ｅ[exp(－ｓｘ)]＝∫_-∞^∞exp(－ｓｘ)ｆ(ｘ)ｄｘ を求める。

(解): Ｅ[exp(－ｓｘ)]

＝(2π)^-1/2σ^-1∫_-∞^∞exp{－(ｘ－μ)²/(2σ²)－ｓｘ}ｄｘ

＝π^-1/2∫_-∞^∞exp{－(ｕ²＋2^1/2σｓｕ＋μｓ)}ｄｕ

＝π^-1/2exp(σ²ｓ²/2－μｓ)∫_-∞^∞exp{－(ｕ＋2^1/2σｓ/2)²}ｄｕ

＝exp(σ²ｓ²/2－μｓ)

です。

※(注2):Ｅ[exp(－ｓｘ)]＝exp(σ²ｓ²/2－μｓ)に,ｓ＝－iｔを代入するとＥ[exp(iｔＸ)]＝exp(iμｔ－ｔ²σ²/2)を得ます。

　よってＮ[μ,σ²]の特性関数はφ(ｔ)＝exp(iμｔ－ｔ²σ²/2) です。

　特に標準正規分布Ｎ[0,1]ならφ(ｔ)＝exp(－ｔ²/2)です。　※

[定理9-3]:(特性関数の性質)

(1)  φ(0)＝1

(2)|φ(ｔ)|≦1.

(3)φ^(ｋ)(0)＝i^kＥ(Ｘ^k)　

(4)Ｙ＝ａＸ＋ｂの特性関数はexp(iｔｂ)φ(ａｔ)である。

(5)確率密度関数ｆ(ｘ)が存在して偶関数:ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)なら,

　φ(ｔ)は実関数である。

(証明):(1)φ(0)＝Ｅ(1)＝∫_-∞^∞ｄＦ＝1 です。

(2)|φ(ｔ)|＝|Ｅ[exp(iｔＸ)]＝|∫_-∞^∞exp(iｔＸ)ｄＦ|です。

　そして,|∫_-∞^∞exp(iｔＸ)ｄＦ|≦∫_-∞^∞|exp(iｔＸ)|ｄＦ＝∫_-∞^∞ｄＦ＝1 です。

(3)φ(ｔ)＝Ｅ[exp(iｔＸ)]＝Ｅ[Σ_k=0^∞i^kｔ^kＸ^k/ｋ!]＝Σ_k=0^∞i^kｔ^kＥ[Ｘ^k]/ｋ!です。そこで,φ^(ｋ)(0)＝i^kＥ[Ｘ^k]が成立します。

(4)φ_Y(ｔ)＝Ｅ[exp(iｔＹ)]＝Ｅ[exp{iｔ(ａＸ＋ｂ)}]

＝exp(iｔｂ)Ｅ[exp{i(ａｔ)Ｘ}]＝exp(iｔｂ)φ(ａｔ) です。

(5)φ(ｔ)＝Ｅ[exp(iｔＸ)]＝∫_-∞^∞exp(iｔｘ)ｆ(ｘ)ｄｘ

＝(1/2)∫₀^∞{exp(iｔｘ)ｆ(ｘ)＋exp(－iｔｘ)ｆ(－ｘ)}ｄｘです。

　故にｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)なら,φ(ｔ)＝∫₀^∞ｆ(ｘ)[{exp(iｔｘ)ｆ(ｘ)＋exp(－iｔｘ)}/2]ｄｘ＝∫₀^∞ｆ(ｘ)∫₀^∞ｆ(ｘ)cos(ｔｘ)ｄｘです。

　cos(ｔｘ)も密度関数ｆ(ｘ)も実関数ですから,φ(ｔ)も実関数と結論できます。(証明終わり)

※(注3):この定理における性質(3)φ^(ｋ)(0)＝i^kＥ(Ｘ^k)から,

　Ｅ[Ｘ]＝－iφ'(0),Var[Ｘ]＝Ｅ[Ｘ²]－Ｅ[Ｘ]²＝－φ"(0)＋{φ'(0)}²によって特性関数によるＸの平均,分散の表現が得られます。　※

[定理9-4]:確率変数Ｘの分布関数Ｆ(ｘ)は特性関数φ(ｔ)によって一意的に決定される。

(証明)φ(ｔ)≡Ｅ[exp(iｔＸ)]なる定義から,Ｆ(ｘ)＝Ｐ(Ｘ≦ｘ)＝∫_-∞^xｆ(ｘ)ｄｘを満たす確率密度関数ｆ(ｘ)が存在すればφ(ｔ)＝∫_-∞^∞exp(iｔｘ)ｆ(ｘ)ｄｘ＝Ｆ{ｆ(ｘ)}と書けます。

これのFourier逆変換から,逆に特性関数φ(ｔ)が与えられれば密度関数はｆ(ｘ)＝(2π)^-1∫_-∞^∞exp(－iｔｘ)φ(ｔ)ｄｔによって一意的に決まります。

そして,－∞＜ｘ₁＜ｘ₂＜∞なる任意の２実数ｘ₁,ｘ₂に対してＦ(ｘ₂)－Ｆ(ｘ₁)＝Ｐ(ｘ₁＜Ｘ≦ｘ₂)＝∫_x1^x2ｆ(ｘ)ｄｘ＝－(2πi)^-1∫_-∞^∞[{exp(－iｔｘ₂)－exp(－iｔｘ₁)}φ(ｔ)/ｔ]ｄｔと書けます。

証明は省略しますが,密度関数が存在するとは限らない一般のφ(ｔ)＝∫_-∞^∞exp(iｔｘ)ｄＦなる表現の場合でも,

Ｆ(ｘ)の連続点ｘ₁＜ｘ₂においてＦ(ｘ₂)－Ｆ(ｘ₁)＝Ｐ(ｘ₁＜Ｘ≦ｘ₂)＝－(2πi)^-1∫_-∞^∞{φ(ｔ)/ｔ}{exp(－iｔｘ₂)－exp(－iｔｘ₁)}ｄｔが成立します。(証明終わり)

[定義9-5]:ｋ次元確率変数Ｘ＝(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_k)に対して

　Ｘの特性関数を,φ(ｔ)≡Ｅ[exp(iｔＸ)]＝Ｅ[exp(iΣ_j=1^kｔ_jＸ_j)],

　ｔ＝(ｔ₁,ｔ₂,..,ｔ_k)によって定義する。

※(注4):上記のφ(ｔ)に対しても,１変数の式:

Ｐ(ｘ₁＜Ｘ≦ｘ₂)＝－(2πi)^-1∫_-∞^∞{φ(ｔ)/ｔ}{exp(－iｔｘ₂)－exp(－iｔｘ₁)}ｄｔを拡張した,

Ｐ(Ｘ∈Ｉ)＝(－2πi)^-kΠ_j=1^k∫_-∞^∞ｄｔ[{exp(－iｔｂ_j)－exp(－iｔａ_j)}/ｔ_j]φ(ｔ)が成立します。

ここに,Ｉ≡{ｘ＝(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_k)|ａ_j＜ｘ_j≦ｂ_j;1≦ｊ≦ｋ},∫_-∞^∞ｄｔ≡∫_-∞^∞ｄｔ₁∫_-∞^∞ｄｔ₂ｄ..∫_-∞^∞ｄｔ_kです。

特にＸ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_kが全て独立な確率変数で,それぞれ特性関数:

φ_X1(ｔ),φ_X2(ｔ),..,φ_Xk(ｔ)を持つなら,

φ(ｔ)＝φ_X1(ｔ₁)φ_X2(ｔ₂)..φ_Xk(ｔ_k)です。

　逆に,φ(ｔ)＝φ_X1(ｔ₁)φ_X2(ｔ₂)..φ_Xk(ｔ_k)なら,Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_kは独立です。※

[定理9-6]:Ｘ₁,Ｘ₂が独立で共に標準正規分布:Ｎ[0,1]を持つとき,

　Ｙ＝Ｘ₁－Ｘ₂,Ｚ＝Ｘ₁＋Ｘ₂は独立で共に正規分布:Ｎ[0,2]を持つ。

(証明)定義によって(Ｙ,Ｚ)の特性関数は,

φ_(Y,Z)(ｔ₁,ｔ₂)＝Ｅ[exp(iｔ₁Ｙ＋iｔ₂Ｚ)]＝Ｅ[exp{i(ｔ₁＋ｔ₂)Ｘ₁＋(ｔ₁－ｔ₂)Ｘ₂}]です。

ところがＸ₁,Ｘ₂は独立で特性関数は

φ_Xj(ｔ)＝exp(－ｔ²/2)(ｊ＝1,2)ですから,

Ｅ[exp{i(ｔ₁＋ｔ₂)Ｘ₁＋(ｔ₁－ｔ₂)Ｘ₂}]＝Ｅ[exp{i(ｔ₁＋ｔ₂)Ｘ₁}]Ｅ[exp{i(ｔ₁－ｔ₂)Ｘ₂}]です。

そこで,φ_(Y,Z)(ｔ₁,ｔ₂)＝φ_X1(ｔ₁＋ｔ₂)φ_X2(ｔ₁－ｔ₂)＝exp{－(ｔ₁＋ｔ₂)²/2}exp{－(ｔ₁－ｔ₂)²/2}＝exp(－ｔ₁²)exp(－ｔ₂²)です。

つまり,φ_(Y,Z)(ｔ₁,ｔ₂)＝Ｅ[exp(iｔ₁Ｙ＋iｔ₂Ｚ)]＝exp(－ｔ₁²)exp(－ｔ₂²)となりｔ₁だけの関数とｔ₂だけの関数の積に分解されます。

これは,Ｅ[exp(iｔ₁Ｙ＋iｔ₂Ｚ)]＝Ｅ[exp(iｔ₁Ｙ)]Ｅ[exp(iｔ₂Ｚ)]であって,Ｅ[exp(iｔ₁Ｙ)]＝exp(－ｔ₁²),Ｅ[exp(iｔ₂Ｚ)]＝exp(－ｔ₂²)を意味します。

　したがって,Ｙ＝Ｘ₁－Ｘ₂,Ｚ＝Ｘ₁＋Ｘ₂は独立で共に正規分布:Ｎ[0,2]を持つことが示されました。(証明終わり)

※次に極限定理(limit theorem)をいくつか与えます。

[定理9-7]:ベルヌーイの大数の法則(Bernoulli's law of large numbers)

　Ｐ(Ｘ_j＝1)＝ｐ,Ｐ(Ｘ_j＝0)＝ｑ＝1－ｐのベルヌーイ試行(独立試行):Ｘ₁,Ｘ₂,..において,Ｓ_n≡Ｘ₁＋Ｘ₂＋..Ｘ_nとおけば,

　∀ε＞0 に対してlim_n→∞Ｐ(|(Ｓ_n/ｎ)－ｐ|＜ε)＝1が成り立つ。

(証明)この各試行Ｘ_jではＥ[Ｘ_j]＝ｐ,Var[Ｘ_j]＝(1－ｐ)²ｐ＋(0－ｐ)²ｑ＝ｐｑ＝ｐ(1－ｐ)(ｊ＝1,2,..,ｎ)です。

　そして,ベルヌーイ試行＝独立試行ですから

Ｅ[Ｓ_n]＝Ｅ[Ｘ₁＋Ｘ₂＋..Ｘ_n]＝ｎｐ,Var[Ｓ_n]＝Var[Ｘ₁＋Ｘ₂＋..Ｘ_n]＝ｎｐ(1－ｐ)です。

　そこで,Ｅ[Ｓ_n/ｎ]＝Ｅ[(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..Ｘ_n)/ｎ]＝ｐ,

　Var[Ｓ_n/ｎ]＝Var[(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..Ｘ_n)/ｎ]＝ｐ(1－ｐ)/ｎ　です。

先に示したチェビシェフの不等式:　

Ｐ(|Ｘ－μ|≧ｋσ)≦1/ｋ²において,

Ｘ＝Ｓ_n/ｎ,μ＝ｐ,σ＝{ｐ(1－ｐ)/ｎ}^1/2,　

ｋ＝ε/σ＝εｎ^1/2ｐ^-1/2(1－ｐ)^-1/2とすると,

Ｐ(|Ｓ_n/ｎ－ｐ|≧ε)≦ｐ(1－ｐ)/(ｎε²)≦1/(4ｎε²)

　となります。

それ故,lim_n→∞Ｐ(|(Ｓ_n/ｎ)－ｐ|≧ε)＝0,

あるいはlim_n→∞Ｐ(|(Ｓ_n/ｎ)－ｐ|＜ε)＝1－lim_n→∞Ｐ(|(Ｓ_n/ｎ)－ｐ|≧ε)＝1 得ます。(証明終わり)

[定理9-8]:大数の法則(大数の弱法則)(weak law of large numbers)

　{Ｘ_n}_n=1,2,.は互いに独立な確率変数列で各Ｘ_nが有限な分散:σ_n²＝Var[Ｘ_n](ｎ＝1,2,..)を持ち,

lim _n→∞(Σ_j=1ⁿσ_j²/ｎ²)＝0 なら,変数Ｓ_n≡Σ_j=1ⁿＸ_j＝Ｘ₁＋Ｘ₂＋..Ｘ_nに対して,∀ε＞0 について,

lim _n→∞Ｐ(|(Ｓ_n/ｎ)－Ｅ[Ｓ_n/ｎ]|＜ε)＝1 が成り立つ。

(証明) Var[Σ_j=1ⁿＸ_j/ｎ]＝Σ_j=1ⁿσ_j²/ｎ²です。

　そこでチェビシェフの不等式:Ｐ(|Ｘ－μ|≧ｋσ)≦1/ｋ²において,

　Ｘ＝Ｓ_n/ｎ,μ＝Ｅ[Ｓ_n/ｎ],σ＝(Σ_j=1ⁿσ_j²/ｎ²)^1/2,

　ｋ＝ε/σとすると,

　Ｐ(|Ｓ_n/ｎ－Ｅ[Ｓ_n/ｎ]|≧ε)≦(Σ_j=1ⁿσ_j²)/(ｎ²ε²)を得ます。

　そこで,lim _n→∞(Σ_j=1ⁿσ_j²/ｎ²)＝0 なら

　lim _n→∞Ｐ(|(Ｓ_n/ｎ)－Ｅ[Ｓ_n/ｎ]|≧ε)＝0,

　あるいは,

　lim _n→∞Ｐ(|(Ｓ_n/ｎ)－Ｅ[Ｓ_n/ｎ]|＜ε)＝1－lim_n→∞Ｐ(|(Ｓ_n/ｎ)－Ｅ[Ｓ_n/ｎ]|≧ε)＝1 です。(証明終わり)

[定理9-9]:中心極限定理(central limit theorem)

　Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nは,それぞれ分布関数Ｆ₁(ｘ),Ｆ₂(ｘ),..,Ｆ_n(ｘ)を持つ互いに独立な確率変数で,

　有限な平均μ_j＝Ｅ[Ｘ_j],有限な分散σ_j²＝Var[Ｘ_j](ｊ＝1,2,..,ｎ)

　を持つと仮定する。

Ｓ_n²≡Var[Ｘ₁＋Ｘ₂＋..Ｘ_n]＝σ₁²＋σ₂²＋..σ_n² (Ｓ_n＞0)は,

:"ε＞0 に対してlim_n→∞(1/Ｓ_n²)Σ_j=1ⁿ∫_{|x－μj|≧εSn}(ｘ－μ_j)²ｄＦ_j(ｘ)＝0 "

というLindbergの条件を満たすと仮定する。

このとき,Ｙ_n≡{(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..Ｘ_n)－Ｅ[Ｘ₁＋Ｘ₂＋..Ｘ_n]}/Ｓ_nの分布は

ｎ→∞ の極限で正規分布:Ｎ[0,1]に収束する。

(証明) Ｕ_j≡Ｘ_j－Ｅ[Ｘ_j]＝Ｘ_j－μ_jとおけば,

　Ｅ[Ｕ_j]＝0,Var[Ｕ_j]＝σ_j²です。

　以下では,

　Ｕ_jの分布関数をＦ~_j(ｕ)≡Ｆ_j(ｘ－μ_j)と書くことにします。

　さて,Ｙ_n＝{Σ_j=1ⁿＵ_j}/Ｓ_nの特性関数を

　φ_Yn(ｔ)＝Ｅ[exp(iｔＹ_n)]　と書きます。

　Ｕ_j(1≦ｊ≦ｎ)は全て独立なので,φ_Yn(ｔ)はＵ_jの特性関数φ_j(ｔ)＝Ｅ[exp(iｔＵ_j)]の積として

　φ_Yn(ｔ)＝Π_j=1ⁿφ_j(ｔ/Ｓ_n)と書けます。

　対数表現ではlog{φ_Yn(ｔ)}＝Σ_j=1ⁿlog{φ_j(ｔ/Ｓ_n)}です。

　さらに,log{φ_j(ｔ/Ｓ_n)}＝{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}－(1/2){φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}²＋(1/3)){φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}³－..なる級数展開から,

|log{φ_j(ｔ/Ｓ_n)}－{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}|≦(1/2)|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|²/{1－|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|} なる評価式を得ます。

　そこで,|log{φ_Yn(ｔ)}－Σ_j=1ⁿ{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}|

≦(1/2)max_{(1≦ｊ≦n)}|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|/{1－|max_{(1≦ｊ≦n)}|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|}Σ_j=1ⁿ|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1| です。

　ところで,φ_j(ｔ)＝Ｅ[exp(iｔＵ_j)]

　＝∫_-∞^∞exp(iｔｕ)ｄＦ~_j(ｕ)Σ_j=1ⁿ|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|

　＝Σ_j=1ⁿ|∫_-∞^∞{exp(iｔｕ/Ｓ_n)－1}ｄＦ~_j(ｕ)|　です。

　そして,exp(iｔｕ/Ｓ_n)はTaylor展開と平均値の定理から,

　exp(iｔｕ/Ｓ_n)＝1＋iｔｕ/Ｓ_n＋θｔ²ｕ²/(2Ｓ_n²) (|θ|≦1)

　と書けます。

　故に,Σ_j=1ⁿ|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|

＝Σ_j=1ⁿ |(iｔ/Ｓ_n)∫_-∞^∞ｕｄＦ~_j＋ｔ²/(2Ｓ_n²))∫_-∞^∞θｕ²ｄＦ~_j|

≦{ｔ²/(2Ｓ_n²)}Σ_j=1ⁿ∫_-∞^∞ｕ²ｄＦ~_j|≦ｔ²Ｓ_n²/(2Ｓ_n²) です。

　すなわち,Σ_j=1ⁿ|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|≦ｔ²/2です。

　 Lindbergの条件から,ｎ→ ∞の極限で∀ε＞0 に対して

Σ_j=1ⁿ∫_{|x－μj|≧εSn}ｄＦ_j(ｘ)≦{1/(ε²Ｓ_n²)}[Σ_j=1ⁿ∫_|x|≧εSnｘ²ｄＦ_j ] → 0 です。

　つまり,十分大きい正整数ｎ₁を取れば,ｎ≧ｎ₁を満たす正整数ｎに対して,常にΣ_j=1ⁿ∫_{|x－μj|≧εSn}ｄＦ_j(ｘ)＜εが成り立ちます。

これはＵ_jの言葉ではΣ_j=1ⁿ∫_|ｕ|≧εSnｄＦ~_j(ｕ)＜εです。

　また,|exp(iｔｕ/Ｓ_n)－1|≦2,|exp(iｔｕ/Ｓ_n)－1|≦|ｔｕ|/Ｓ_nですから,

|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|≦|∫_|u|＞εSn{exp(iｔｕ/Ｓ_n)－1}ｄＦ~_j(ｕ)|＋|∫_|u|≦εSn{exp(iｔｕ/Ｓ_n)－1}ｄＦ~_j(ｕ)|

≦2∫_|u|＞εSnｄＦ~_j(ｕ)＋(|ｔ|/Ｓ_n|)(εＳ_n)∫_|u|≦εSnｄＦ~_j(ｕ)

　です。

　そこで,ｒ＞0 に対し|ｔ|＜ｒなら

|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|≦2∫_|u|＞εSnｄＦ~_j(ｕ)＋ｒε　が成立します。

　つまり,ｎ≧ｎ₁,かつ|ｔ|＜ｒなら,max_{(1≦ｊ≦n)}|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|＜(2＋ｒ)εです。

　これはｎ→∞ のとき,|ｔ|＜ｒで一様にmax_{(1≦ｊ≦n)}|φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1|→ 0 となることを意味します。

　それ故,ｎ→∞では,log{φ_j(ｔ/Ｓ_n)}→{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1},あるいはlog{φ_Yn(ｔ)}→Σ_j=1ⁿ{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}となることがわかります。　

　さらに,exp(iｔｕ/Ｓ_n)＝1＋iｔｕ/Ｓ_n－ｔ²ｕ²/(2Ｓ_n²)＋θ'ｔ³ｕ³/(6Ｓ_n³)(|θ'|≦1)であり,

　σ_j²＝∫_-∞^∞ｕ²ｄＦ~_j(ｕ)です。

　これと先の２次までの展開近似:

　exp(iｔｕ/Ｓ_n)＝1＋iｔｕ/Ｓ_n－θｔ²ｕ²/(2Ｓ_n²)(|θ|≦1)

　を併用してΣ_j=1ⁿ{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}の極限値を評価します。

　Σ_j=1ⁿ{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}

＝Σ_j=1ⁿ∫_-∞^∞{exp(iｔｕ/Ｓ_n)－1}ｄＦ~_j(ｕ)

＝Σ_j=1ⁿ[－ｔ²σ_j²/(2Ｓ_n²)＋(1－θ)ｔ²/(2Ｓ_n²)∫_|ｕ|＞εSnｕ²ｄＦ~_j(ｕ)＋∫_|ｕ|≦εSn{－ｔ²ｕ²/(2Ｓ_n²)＋θ'ｔ³ｕ³/(6Ｓ_n³)}ｄＦ~_j(ｕ)]

と書けます。

　Lindbergの条件:lim_n→∞(1/Ｓ_n²)Σ_j=1ⁿ∫_|ｕ|＞εSnｕ²ｄＦ~_j(ｕ)＝0 によれば,

　∀ε＞0 に対してｎ≧ｎ₁,かつ|ｔ|＜ｒなら|Σ_j=1ⁿ{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}＋ｔ²/2|＝|Σ_j=1ⁿ{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1＋(ｔ²σ_j²)/(2Ｓ_n²)}|＜εｒ²/2＋ε²ｒ²/2＋ε³ｒ³/6 が成立します。

　ε＞0,ｒ＞0 は任意ですから,ｎ→ ∞で

　Σ_j=1ⁿ{φ_j(ｔ/Ｓ_n)－1}→ (－ｔ²/2)より,

　log{φ_Yn(ｔ)}→ (－ｔ²/2),

　あるいはφ_Yn(ｔ)→ exp(－ｔ²/2)を得ます。

　そして,exp(－ｔ²/2)は標準正規分布:[0,1]の特性関数です。

　以上から,

　分布に対する特性関数の一意性により定理の結論が従います。(証明終わり)

まあ,ここでの確率の母関数とか特性関数とかいうのは,物理学での統計物理学における分配関数,または状態和と呼ばれる関数と同じく,

それ自身の明確な意味はいま一つわからないが,その中に実際上必要な情報がほとんど含まれているようなものですね。

今日はここまでにします。(つづく)

参考文献:藤沢武久 著「新編 確率・統計」(日本理工出版会),

　ヒンチン(河野繁雄 訳)「統計力学の数学的基礎」(東京図書),　

　清水良一 著「中心極限定理」(教育出版)

PS:女子フィギュアのＳＰ見ました。

　キム・ヨナも19歳の割りに色っぽくてよかったけど,私の中ではアメリカの高校生:レイチェル・フラットが最高でした。

　フィギアスケートの演技というよりダンスとして見てました。。。

　真央ちゃんは,まだ親方に連れられた角兵衛獅子？というか子供の軽業師(差別語？)というか？

　まだ大人の女性という感じがしません。

　女子の体操競技であれば,昔の子供だったコマネチのように技術だけあれば十分で芸術という側面は小さいのでしょうが。。。　

↑(何見とるんじゃ？＞エロオヤジ　

　女子フィギュアスケートはストリップ・ショーじゃないぞ。。)

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