電磁力学と解析力学

１月末にfolomy物理フォーラムでMössbauer(メスバウアー)効果と磁性のZeema効果などとの関連についての質問を受けたのですが,Mössbauer効果の方面については私自身ほとんど考えたり勉強したりしたことがなかったので２月初めにでも詳細にブログに書くと約束しました。

そこで,まずは「γ崩壊とメスバウアー効果」という題目で原稿を書き始め,γ崩壊の摂動Hamiltonianとして"γ線量子＝光子"と原子核との電磁相互作用を考察することから始めました。

すなわち,

摂動HamiltonianＨ'を電磁場(γ線)と核の相互作用＝電磁相互作用HamiltonianとしてＨ'＝∫ｊ^μ(ｒ,ｔ)Ａ_μ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ＝∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ－∫ｊ(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒと表わすことから始めます。

ただし,ｊ^μ＝(ｃρ,ｊ),Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)でρ(ｒ,ｔ)は電荷密度,

ｊ(ｒ,ｔ)は電流密度です。

ｖを時刻ｔに位置ｒにある電荷の速度とすると,伝導電流が存在しないときはｊ(ｒ,ｔ)＝ρ(ｒ,ｔ)ｖと書くことができます。

という文章から書き始めたのでした。

しかし,相互作用を電気双極子,磁気双極子,電気四重極子と多重極展開する際の細かい計算,特にベクトル解析での変換の計算などで２,３日つまづいたりしているうちに,

私の学生時代からの悪い癖ですが,忘れてしまったという意味も含めてはっきりとは理解していない項目があることに気付いて基礎の基礎まで降りて考察したくなってしまいました。

さて,2008年11/２の記事「解析力学の初歩」によれば,電場をＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,磁場をＢ＝∇×Ａとするとき,その中で電荷がｑの荷電粒子が運動するときの粒子の運動エネルギーをＴとすれば,

荷電粒子のLagrangianは,Ｌ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ＝Ｖ(ｒ,ｖ,ｔ)≡ｑφ(ｒ,ｔ)－ｑｖＡ(ｒ,ｔ)で与えられることがわかります。

このとき,ｄＡ/ｄｔ＝∂Ａ/∂ｔ＋(ｖ∇)Ａ,ｖ×Ｂ＝ｖ×(∇×Ａ)＝∇(ｖＡ)－(ｖ∇)Ａなので－∂Ｖ/∂ｒ＋(+ｄ/ｄｔ)(∂Ｖ/∂ｖ)＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ)です。

そこで,Lagrangeの方程式:(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)＝∂Ｌ/∂ｒ,

または(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ)＝－∂Ｖ/∂ｒ＋(ｄ/ｄｔ)(∂Ｖ/∂ｖ)は,

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ)＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ)　となります。

そして,ｐ≡∂Ｌ/∂ｖと定義するとエネルギーを意味するHamiltonianはＨ＝ｐｖ－Ｌ＝ｖ(∂Ｌ/∂ｖ)－Ｌとなります。

今の場合,対象としているのは荷電粒子の運動を与える系ですが,実際にはこれだけでなく電磁場をも含む全体で閉じています。

全体の系は,(自由荷電粒子＋相互作用)の他に,自由電磁場:

Ｈ_M≡∫(ε₀Ｅ²＋Ｂ²/μ₀)ｄ³ｒ＝(ｃ²ε₀/4)∫(Ｆ_μνＦ^μν)ｄ³ｒ

をも加えた総和になります。

ただしＦ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μです。

さて,粒子だけの部分系での考察を続けます。

電磁場がない場合の全くの自由粒子なら正準運動量はｐ≡∂Ｌ/∂ｖ＝∂Ｔ/∂ｖですが,電磁場がある場合はＬ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ＝Ｖ(ｒ,ｖ,ｔ)≡ｑφ(ｒ,ｔ)－ｑｖＡ(ｒ,ｔ)です。

Ｖもｖに陽に依存して,∂Ｖ/∂ｖ＝－ｑＡですから,

ｐ＝∂Ｔ/∂ｖ－∂Ｖ/∂ｖ＝∂Ｔ/∂ｖ＋ｑＡとなります。

よって,運動量ｐは自由粒子の運動量(∂Ｔ/∂ｖ)に電磁場の運動量ｑＡを加えたものとなります。

そこで,"エネルギー＝Hamiltonian"はＨ＝ｐｖ－Ｌ＝ｖ(∂Ｌ/∂ｖ)－Ｌ＝ｖ(∂Ｔ/∂ｖ＋ｑＡ)－Ｔ＋Ｖ＝ｖ(∂Ｔ/∂ｖ)－Ｔ＋ｑφです。

一方,電磁場のない自由粒子のLagrangianをＬ₀,HamiltonianをＨ₀とし,運動量をｐ₀と書けばＬ₀＝Ｔであり,Ｈ₀＝ｐ₀ｖ－Ｌ₀

＝ｖ(∂Ｌ₀/∂ｖ)－Ｌ₀＝ｖ(∂Ｔ/∂ｖ)－Ｔです。

これらを用いると電磁場のある場合の量はｐ＝ｐ₀＋ｑＡ,Ｈ＝Ｈ₀＋ｑφと書けます。そこで,ｐ₀のみの関数という意味で,

自由粒子のHamiltonianをＨ₀＝Ｈ₀(ｐ₀)と表現すれば,

Ｈ＝Ｈ₀(ｐ₀)＋ｑφ＝Ｈ₀(ｐ－ｑＡ)＋ｑφ となります。

あるいは,これは電磁ポテンシャルをＡ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)と４元ベクトル表現すれば,Ｈ/ｃ＝Ｈ₀(ｐ－ｑＡ)/ｃ＋ｑＡ⁰となります。

さらに,エネルギーと運動量も４元ベクトル表現をすると,

ｐ^μ＝(Ｈ/ｃ,ｐ),ｐ₀^μ＝(Ｈ₀/ｃ,ｐ₀)ですから,上式は,

ｐ⁰＝ｐ₀⁰(ｐ－ｑＡ)＋ｑＡ⁰,または,

ｐ⁰－ｑＡ⁰＝ｐ₀⁰(ｐ－ｑＡ)と書き直されます。

つまり,電磁場のないときのHamiltonianがＨ＝ｆ(ｐ),またはｐ⁰＝ｆ(ｐ)というｐの関数の形で与えられるとき,これをｐ⁰－ｑＡ⁰＝ｆ(ｐ－ｑＡ)と書き換えれば電磁相互作用を含む形式に変換されます。

このｐ^μ → ｐ^μ－ｑＡ^μなる置換が,いわゆる電磁場の極小相互作用変換(minimal-coupling transformation)と呼ばれるものです。

ところで,非相対論では速度がｖの自由粒子の運動エネルギーＴはＴ＝ｍｖ²/2で与えられるので,運動量はｐ₀＝∂Ｔ/∂ｖ＝ｍｖです。

それ故,自由粒子HamiltonianはＨ＝ｐ²/(2ｍ)ですから,極小相互作用変換は,Ｈ－ｑφ＝(ｐ－ｑＡ)²/(2ｍ),つまりＨ＝(ｐ－ｑＡ)²/(2ｍ)＋ｑφとなります。

このとき,(Euler-)Laglange方程式と等価なHamiltonの正準方程式は,

ｄｒ/ｄｔ＝∂Ｈ/∂ｐ＝(ｐ－ｑＡ)/ｍ＝ｖ,および

ｄｐ/ｄｔ＝－∂Ｈ/∂ｒ:ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ) です。

したがって,これまでの手続きに従えば荷電粒子に及ぼす電気力や磁場のLorentz力による荷電粒子の正しいNewton力学の運動方程式が得られることが再確認されます。

この定式化では,電磁場があるときのHamiltonianはＨ＝(ｐ－ｑＡ)²/(2ｍ)＋ｑφ＝ｐ²/(2ｍ)－ｑｐＡ/ｍ＋ｑ²Ａ²/(2ｍ)＋ｑφです。

そこで自由粒子のHamiltonianＨ₀≡ｐ²/(2ｍ)に対して相互作用がある場合のHamiltonianをＨ＝Ｈ₀＋Ｈ'と書いて,Ｈ'＝ｑφ－ｑｐＡ/ｍ＋ｑ²Ａ²/(2ｍ)なる摂動があると解釈します。

この摂動Ｈ'はまたＨ'＝ｑφ－ｑ(ｐ－ｑＡ)Ａ/ｍ－ｑ²Ａ²/(2ｍ)＝ｑφ－ｑｖＡ－ｑ²Ａ²/(2ｍ)とも表現できます。

この一体での定式化を質量がｍ_i,電荷がｑ_i(ｉ＝1,2,..,Ｎ)の粒子の多体系に拡張すると,HamiltonianはＨ＝Σ_i=1^N[{ｐ_i－ｑ_iＡ(ｒ_i,ｔ)}²/(2ｍ_i)＋ｑ_iφ(ｒ_i,ｔ)]＝Σ_i=1^N{ｐ_i²/(2ｍ_j)}－Σ_i=1^N[ｑ_iｐ_iＡ(ｒ_i,ｔ)/ｍ_i＋ｑ_i²Ａ(ｒ_i,ｔ)²/(2ｍ_i)＋ｑ_iφ(ｒ_i,ｔ)]になります。

そして,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ'なる表現においてはＨ₀＝Σ_i=1^N{ｐ_i²/(2ｍ_j)},

かつＨ'＝Σ_i=1^N[ｑ_iφ(ｒ_i,ｔ)－ｑ_iｖ_iＡ(ｒ_i,ｔ)－ｑ_i²Ａ(ｒ_i,ｔ)²/(2ｍ_i)} です。

さらに,対象とする帯電体が総電荷がΣ_iｑ＝∫ρｄ³ｒ,総電流がΣ_iｑ_iｖ_i＝∫ｊｄ³ｒで与えられる連続体なら,上記摂動:Ｈ'は

Ｈ'＝∫(ρφ－ｊＡ)ｄ³ｒ－∫{ρ²Ａ²/(2μ)}ｄ³ｒ

＝∫ｊ^μＡ_μｄ³ｒ－∫{ρ²Ａ²/(2μ)}ｄ³ｒとなるはずです。

ここで,μは帯電体の(質量)密度です。 

しかし,そもそも電磁場の真空中のMawell方程式系は相対論を考慮した場合のみが正しい扱いですから,変換の出発点となる自由粒子のLagrangianは相対論的力学でのそれであるＬ＝－ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^1/2とすべきです。

これによれば,ｐ≡∂Ｌ/∂ｖ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2です。

これからＨ＝ｐｖ－Ｌ＝ｍｖ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2＋ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^1/2

＝ｍｃ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2です。

これらは,確かに相対論的力学で与えられる式に一致しています。

これからまた,(Ｈ/ｃ)²－ｐ²＝ｍ²ｃ²,またはｐ_μｐ^μ＝ｐ⁰²－ｐ²＝ｍ²ｃ²,あるいは,Ｈ＝ｃ(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2というよく知られたエネルギー・運動量の不変式の表現を得ます。

古典論の段階では正エネルギーのみで考察してよいので量子論で現われる負エネルギー,または反粒子などの問題は生じません。

そして,(Ｈ/ｃ)²－ｐ²＝ｍ²ｃ²に極小相互作用変換を施せば,(Ｈ－ｑφ)²/ｃ²－(ｐ－ｑＡ)²＝ｍ²ｃ²,あるいはＨ＝ｃ{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2＋ｑφです。

しかし,実はｐ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2＋ｑＡよりｐ－ｑＡ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2,ｃ{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2＝ｃ{ｍ²ｖ²/(1－ｖ²/ｃ²)＋ｍ²ｃ²}^1/2＝ｍｃ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2でＨ－ｑφは自由粒子のエネルギーＨ－ｑφ＝ｍｃ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2です。

そこで,この表式は自由粒子の質量がｍであるという以上の情報を含んではいません。

しかし,このＨ＝ｃ{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2＋ｑφなる表式から正準方程式:ｄｒ/ｄｔ＝∂Ｈ/∂ｐ＝ｖ,ｄｐ/ｄｔ＝－∂Ｈ/∂ｒによって自動的に電磁場の中での荷電粒子の運動方程式が得られます。

方程式:ｄｐ/ｄｔ＝－∂Ｈ/∂ｒの左辺は,ｄｐ/ｄｔ

＝(ｄ/ｄｔ){ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2}＋ｑ(ｄＡ/ｄｔ)

＝(ｄ/ｄｔ){ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2}＋ｑ(∂Ａ/∂ｔ)＋ｑ(ｖ∇)Ａ

と変形されます。

一方,右辺は－∂Ｈ/∂ｒ＝－ｑ∇φ－ｃ{{(ｐ－ｑＡ)∂(ｐ－ｑＡ)/∂ｒ}/{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2で,ｐ－ｑＡ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2,ｃ{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2＝ｍｃ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2により,

－∂Ｈ/∂ｒ＝－ｑ∇φ＋ｑ(ｖ∂Ａ/∂ｒ)と書けます。

故にｖ×Ｂ＝ｖ×(∇×Ａ)＝∇(ｖＡ)－(ｖ∇)Ａを用いれば,(ｄ/ｄｔ){ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2}＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ)を得ます。

これは,確かに先に書いた電磁場の中の荷電粒子に対するNewtonの運動方程式:ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ)を相対論に拡張した運動方程式になっています。

ところで,自由粒子のエネルギー・運動量の不変式:(Ｈ/ｃ)²－ｐ²＝ｍ²ｃ²,またはｐ_μｐ^μ＝ｍ²ｃ²に,Ｈ＝iｈ_c(∂/∂ｔ),ｐ＝－iｈ_c∇,またはｐ^μ＝iｈ_c(∂/∂ｘ_μ)を代入して簡易的に量子化をすると,

波動方程式:{(1/ｃ²)∂²/∂ｔ²－∇²＋(ｍｃ/ｈ_c)²}ψ(ｒ,ｔ)

＝{□＋(ｍｃ/ｈ_c)²}ψ(ｒ,ｔ)＝0 が得られます。

これは,自由粒子の従う相対論的波動方程式の１つであるKlein-Gordon方程式として知られているものです。

ここにψは波動関数または粒子場です。(ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)で,ｈはPlanck定数です。)

しかし,電子や原子核のようなFermi粒子(Fermion)の場合は粒子の波動関数または粒子場ψは古典論のエネルギー・運動量の不変式の平方根を取った等式:Ｈ/ｃ－(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2＝0 を量子化して得られる方程式:

iｈ_c[(1/ｃ)(∂/∂ｔ)－{(－iｈ_c∇)²＋ｍ²ｃ²)}^1/2]ψ(ｒ,ｔ)＝0

に従うことがわかっています。

すなわち,ψは左辺の平方根を行列展開して線形化たDirac方程式:

(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)ψ(ｒ,ｔ)＝0,あるいは

(γ^μｐ_μ－ｍｃ)ψ(ｒ,ｔ)＝0 に従います。

(ψはスピノール(spinor)表現です。)

そして,γ^μｐ_μ－ｍｃに極小相互作用変換を施せば,{γ^μ(ｐ_μ－ｑＡ_μ)－ｍｃ}ψ(ｒ,ｔ)＝0 となります。

そこで,ψ~≡ψ⁺γ⁰として量子論で自由Fermi粒子のLagrangianＬをＬ＝∫Ｌｄ³ｒで与えるLagrangian密度をＬ＝ψ~(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)ψ＝Σ_αβ{ψ~_α(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)_αβψ_β}とすることができます。

すると正準運動量は,π_α≡∂Ｌ/∂(∂ψ_α/∂ｔ)

＝ｃ^-1∂Ｌ/∂(∂₀ψ_α)＝iｃ^-1ｈ_cψ⁺_αです。

それ故,HamiltonianをＨ＝∫Ｈ ｄ³ｒで与えるHamiltonian密度;Ｈ はＨ＝Σ_απ_α(∂ψ_α/∂ｔ)－Ｌ＝iｈ_cψ⁺∂₀ψ－ψ~(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)ψ＝－ψ~(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψです。

運動方程式(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)ψ＝0 によって,－(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψ＝iｈ_cγ⁰∂₀ψですからＨ＝iｈ_cψ⁺∂₀ψとも表現されます。

極小相互作用変換を施したDirac方程式:{γ^μ(ｐ_μ－ｑＡ_μ)－ｍｃ}ψ＝(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)ψ＝0 に対応するLagrangian密度は,

Ｌ＝ψ~(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)ψ＝Σ_αβ[ψ~_α(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)_αβψ_β]です。

そして,正準運動量はπ_α≡∂Ｌ/∂(∂ψ_α/∂ｔ)

＝ｃ^-1∂Ｌ/∂(∂₀ψ_α)＝iｃ^-1ｈ_cψ⁺_αです。

Hamiltonian密度Ｈ はＨ＝Σ_απ_α(∂ψ_α/∂ｔ)－Ｌ

＝iｈ_cψ⁺∂₀ψ_α－ψ~_α(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)ψ

＝－ψ~_α(iｈ_cγ^k∂_k－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)ψ＝－ψ~(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψ＋ｑψ~γ^μＡ_μです。

自由粒子のHamiltonianを,改めてＨ₀＝－∫{ψ~(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψ}ｄ³ｒとおくと,電磁場がある場合には,

Ｈ＝－∫{ψ~(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψ}ｄ³ｒ＋ｑ∫(ψ~γ^μＡ_μψ)ｄ³ｒ

＝Ｈ₀＋ｑ∫(ψ~γ^μＡ_μψ)ｄ³ｒと書けます。

Fermi粒子の４元電流密度は,ｊ^μ＝ｑψ~γ^μψで与えられることがわかっていますから,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ'と書いたときの"摂動＝電磁相互作用"Ｈ'は,

正確にＨ'＝ｑ∫(ψ~γ^μＡ_μψ)ｄ³ｒ＝∫ｊ^μＡ^μｄ³ｒとなります。

以上から,最初に述べたように,"電磁場(γ線)と核の相互作用＝電磁相互作用Hamiltonian"Ｈ'が確かにＨ'＝∫ｊ^μ(ｒ,ｔ)Ａ_μ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ

＝∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ－∫ｊ(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ

と表現されることが明確に示されました。

これは今日の記事の１つの目的です。

しかし,最初の古典論での考察はむしろ自由粒子における運動量がｐ＝∂Ｔ/∂ｖ,で与えられHamiltonianが,Ｈ＝ｖ(∂Ｔ/∂ｖ)－Ｔになるという式から出発しています。

ところが,相対論における運動エネルギーは,Ｔ＝ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2－ｍｃ²となるはずで,運動量をｐ＝∂Ｔ/∂ｖで表現すると,

ｐ＝∂Ｔ/∂ｖ＝ｍｖ(1－ｖ²/ｃ²)^-3/2です。

しかし,これは相対論の自由粒子Lagrangian;Ｌ＝－ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^1/2から求めた正しい運動量:ｐ≡∂Ｌ/∂ｖ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2とは一致しません。

逆に,Ｌ－Ｔを計算するとＬ－Ｔ＝ｍｃ²－ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2＋ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^1/2＝ｍｃ²－ｍｖ²(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2ですから,

Ｌ＝Ｔ－ｍｖ²(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2＋ｍｃ²です。

つまり,相対論力学では本質的でない定数項:ｍｃ²を無視しても自由粒子のLagrangianが運動エネルギーＴと一致しないと結論されます。(ただし,HamiltonianはＴと一致します。)

これで本記事でもう一つの目的としていたことも達成されました。

もう30年以上も前の話ですが,当時の指導教官に「少しぐらいつまづいても細かい事に拘泥していたら学生の数年間では目標分野の最先端まで到達できないぞ。」とか言われても,読書は繰り返しではなく１回精読主義の自分には結局無理で,今もその性格は変わりませんね。

他人に説明しようとして考察しているうちに,自分自身がドツボにはまるようではまだまだですね。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店)

PS:将棋順位戦:Ｂ級１組の渡辺明竜王のＡ級昇級が確定したようです。