電磁波の放射(1)

先日「確率と分布」シリーズを終了させたので,現在は主として次の課題「γ崩壊とメスバウアー効果」に向かっています。

γ崩壊(γ-decay)については,原子核(nucleus) ^Z_AＸ_N の励起状態:|ｉ＞≡|Ｉ_i^πiＭ_i＞がγ線を放出して終状態:|ｆ＞≡|Ｉ_f^πfＭ_f＞へ転移するという現象を考察すればいいだけなのですが,量子論の議論を展開する前に電磁気学の必要な基礎知識を明確にしておかないと不安を感じます。

理論の基礎を明確化するため,まず,2010年２/６に「電磁力学と解析力学」という記事を書きました。

　これに続いて,今回は無限に拡がった空間の中の狭い領域に電荷密度(charge density)ρ_e(ｒ,ｔ),電流密度(current density)ｉ_e(ｒ,ｔ)の分布が与えられていてその時間変動が激しいときに周囲の空間に電磁波が放射される現象を考察します。

　これを双極子放射,四重極放射etc.の重ね合わせとして捉えるため,電磁場(electromagnetic field)の多重極展開(multipole expansion)を詳述したいと思います。

しかし,まずは過去の電磁気学や光学の記事から,このテーマに必要な古典電磁気学の基本知識を抜粋して要約します。

主として,2007年12/６の記事「ヤングの干渉実験(2)(量子論)」と2008年９/27の記事「先進波と負エネルギー,反粒子について」の内容から抜粋コピーしてそれらを適当に修正しました。

電磁場のスカラーポテンシャル(scalar potential)をφ(ｒ,ｔ),ベクトルポテンシャル(vector potential)をＡ(ｒ,ｔ)とすると電磁場の強さ(＝可観測量)である電場Ｅ(ｒ,ｔ),磁場(磁束密度)Ｂ(ｒ,ｔ)はこれらによりＥ(ｒ,ｔ)＝－∇φ(ｒ,ｔ)－∂Ａ(ｒ,ｔ)/∂ｔ,Ｂ(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ(ｒ,ｔ)と表わされます。

以下では,簡単のために引数ｒ,ｔを適宜省略します。

上述のφ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)は電磁ポテンシャル(electromagnetic potential)と呼ばれます。

そして,φ,ＡによるＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａなる場の強さ(field strength)の表現は,任意関数Λ＝Λ(ｒ,ｔ)についてのゲージ変換(gauge)と呼ばれる変換:φ→φ＋∂Λ/∂ｔ,Ａ→Ａ－∇Λに対して不変です。これを電磁場のゲージ不変性といいます。

そして,"電磁場の基本方程式(運動方程式)＝真空中のマクスウェル方程式(Maxwell-eq)"のポテンシャルＡ,φによる表現は∇(∇Ａ)－∇²Ａ＋(1/ｃ²)(∂∇φ/∂ｔ)＋(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)＝μ₀ｊ_e,－ε₀∇²φ－ε₀∇(∂Ａ/∂ｔ)＝ρ_eと書けます。

序文で述べたように,ρ_e(ｒ,ｔ)は電荷密度,ｊ_e(ｒ,ｔ)は電流密度を表わしています。

特に,相対論的に共変な(covariant)ゲージであるロ－レンツ(Lorenz)ゲージ,つまり条件∇Ａ＋(1/ｃ²)(∂φ/∂ｔ)＝0 を満たすようなゲージ関数Λを採用すれば,運動方程式は□Ａ＝(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)－∇²Ａ＝μ₀ｊ_e,□φ＝(1/ｃ²)(∂²φ/∂ｔ²)－∇²φ＝ρ/ε₀となってφとＡについて対称,かつ共変性が明白な形になります。

(上では□≡(1/ｃ²)(∂²/∂ｔ²)－∇²なる微分演算子記号を用いましたが,記号□はダランベルシャン(d'Alembertian)と呼ばれています。)

ところで,これ以外のゲージを採用すると時空座標のローレンツ変換ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^νに伴う４元電磁ポテンシャルＡ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)の変換が,通常のＡ'^μ＝ａ^μ_νＡ^νの他に新しい座標系で同じゲージ条件を満たすようにするため,Ａ'^μ＝ａ^μ_νＡ^ν＋α^μ(ａ)のような余分の補正変換α^μ(ａ)を追加される必要があります。

そこで,こうしたゲージ関数では電磁場:Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)が座標系の取り方に依存する量となって相対論的に正しい共変な４元ベクトルではなくなります。

したがって,非共変ゲージを採用したのでは電磁ポテンシャルは非局所的量(non-local)となります。それ故,これが信号として観測可能な量なら電磁信号が光速を超えて相対論的因果律(causality)を破ることになると考えられます。

しかし,この問題点については以前の2006年10/９の記事「非共変ゲージの非局所性(電磁場)」で論じたように,現実に観測される物理量は場の量Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)ではなく場の強さである電場Ｅと磁場Ｂ,つまりＦ^μν≡∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_νであって,これらはゲージ選択に無関係であることから解決済みです。

つまり,如何なるゲージを選択しようと場の強さは共変ゲージから得られる量と全く一致するため共変であり,そこで局所的なことも明らかですから,現実には相対論を破らないことがわかります。

つまり,"量子論おいて観測されるのは確率であって波動関数ではない。"という話と同じような意味です。

電磁場を示す電磁ポテンシャル:Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)は,量子論なら光子の波動関数に相当するため,これを「物理的実在」と考えないなら何らの矛盾も生じないわけです。

さて,時空座標をｘ^μ＝(ｃｔ,ｒ),電磁ポテンシャルをＡ^μ＝(φ/ｃ,Ａ),電荷,電流をＪ^μ＝(ｃρ_e,ｊ_e)とする４元表記では,ロ－レンツゲージ:∇Ａ＋(1/ｃ²)(∂φ/∂ｔ)＝0 は∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝∂_μＡ^μ＝0 となり,運動方程式:□Ａ＝μ₀ｊ_e,□φ＝ρ_e/ε₀は,□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝ｓ^μとなります。ただしｓ^μ≡Ｊ^μ/(ｃ²ε₀)です。

そして,特に電荷や電流の全くない場合:Ｊ^μ＝(ｃρ_e,ｊ_e)＝0 の真空中の自由電磁場の方程式は,□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝0 です。

Ａ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[Ａ^^μ(ｋ)exp(－iｋｘ)],ｓ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[ｓ^^μ(ｋ)exp(－iｋｘ)として,Ａ^μ,ｓ^μを"平面波の重ね合わせ＝Fourier積分"で表わせば,微分方程式:□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝ｓ^μは代数方程式:ｋ²Ａ^^μ(ｋ)＝－ｓ^^μ(ｋ)に帰着します。

特に,ｓ^μ＝Ｊ^μ/(ｃ²ε₀)＝0 の自由場の方程式:□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝0 はｋ²Ａ^^μ(ｋ)＝0 となりますが,これはｋ²＝ｋ_μｋ^μ＝(ｋ⁰)²－ｋ²＝0 を意味します。

これは量子論で光子(photon)の質量がゼロなることに相当します。

そこで,自由場ではフーリエ積分表示:Ａ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[Ａ^^μ(ｋ)exp(－iｋｘ)]の成分である各平面波:exp(－iｋｘ)＝exp{i(ｋｒ－ωｔ)}の(角)振動数(frequency)ω＝ｃｋ⁰は波数(wave number)ベクトルｋの関数としてω＝ω_k＝ｃ|ｋ|と書けます。

故に,自由場では波数の４元表示ｋ^μ＝(ω/ｃ,ｋ)はｋ^μ＝(ω_k/ｃ,ｋ)となって,exp(－iｋｘ)＝exp{i(ｋｒ－ω_kｔ)},かつexp(iｋｘ)＝exp{－i(ｋｒ－ω_kｔ)}です。

したがって,Ａ^^μ(ｋ)＝θ(ｋ⁰)δ(ｋ²)として自由電磁場をＡ^μ(ｘ)＝{1/(2π)⁴}∫ｄ⁴ｋ[θ(ｋ⁰)δ(ｋ²)exp(－iｋｘ)]と表わせば,Ａ^μ(ｘ)＝Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[ε_k^μａ_kexp{(－i(ｋｒ－ω_kｔ))+ ε_-k^μａ_k^μ*exp{i(ｋｒ－ω_kｔ)}となります。

ただし,ａ_kは定数係数でありε_k^μは偏光(polarization)を表わす単位ベクトルです。つまりε_k²＝ε_kμε_k^μ＝(ε_k⁰)²－ε_k²＝－1ですが,これはローレンツ条件:ｋε_k＝ｋ_με_k^μ＝(ω_k/ｃ)ε_k⁰－ｋε_k＝0 を満たすように与えられます。

次に,一般の４元電流密度ｓ^μに対しローレンツゲージの電磁場の方程式:□Ａ^μ＝∂^ν∂_νＡ^μ＝ｓ^μを解きます。 

□Ａ^μ＝ｓ^μなる形から形式的にＡ^μ＝□^-1ｓ^μと書けるので,ダランベルシァン□の逆演算子(inverse)□^-1が得られればいいと思われます。実は,これは３次元のラプラシアン(Laplacian)△＝∇²の逆演算子△^-1を求めるのと同じ方法で求めることができます。

すなわち,もしも□Ｄ^＝1なるＤ^が見出されれば,□^-1＝Ｄ^よりＡ^μ＝□^-1ｓ^μはＡ^μ＝Ｄ^ｓ^μと書けて形式的に解けます。

そして微分演算子□に対して□Ｄ^＝1を満たす逆演算子Ｄ^＝□^-1は積分演算子ですから,Ｄ^を□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たす関数Ｄ(ｘ)で解Ａ^μ＝□^-1ｓ^μを表現すればＡ^μ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)と書けることになります。

実際には□Ａ₀^μ＝0を満たす積分定数Ａ₀^μをも考慮して,Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)が一般解になります。

一般に,□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たす関数Ｄ(ｘ)は微分演算子□のグリーン関数(Green's function)と呼ばれます。

グリーン関数Ｄ(ｘ)を具体的に求めるため,そのフーリエ積分表示をＤ(ｘ)＝(2π)^-4∫Ｄ^(ｋ)exp(－iｋｘ)ｄ⁴ｋと書けば,デルタ関数の積分表示がδ⁴(ｘ)＝(2π)^-4∫exp(－iｋｘ)ｄ⁴ｋなので,□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)はＤ^(ｋ)＝－1/ｋ²を意味します。

それ故,形式的にはＤ(ｘ)＝(2π)^-4∫Ｄ^(ｋ)exp(－iｋｘ)ｄ⁴ｋ＝－(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/ｋ²]ｄ⁴ｋと書けます。

しかし,Ｄ^(ｋ)＝－1/ｋ²は分母がゼロになる点,つまりｋ²＝(ｋ⁰)²－ｋ²＝0 なる位置に特異点を持ちますから,このままではwell-definedではありません。

逆に,Ｄ^(ｋ)の極(poles)ｋ⁰≡±|ｋ|付近の挙動を適切に定義することで,Ｄ(ｘ)が満たす境界条件を一意に定めることが可能なので,これらの極をどのように回避してwell-definedとするか次第で望ましいＤ(ｘ)を求めることができます。

仮に,Ｄ^(ｋ)≡－1/(ｋ²＋iε)(ε＞0)と選択してＤ(ｘ)≡－lim_ε→＋0(2π)^-4∫[exp(－iｋｘ)/(ｋ²＋iε)]ｄ⁴ｋとして計算してみると,詳細は省略してＤ(ｘ)＝Ｄ(ｒ,ｔ)＝{1/(4π|ｒ|)}[δ(|ｒ|－ｃｔ)－δ(|ｒ|＋ｃｔ)]＝{1/(4πｃ|ｒ|)}[δ(ｔ－|ｒ|/ｃ)－δ(ｔ＋|ｒ|/ｔ)]を得ます。

この関数:Ｄ(ｘ)はｔ→±∞や|ｒ|→∞でゼロとなるという通常の境界条件を確かに満足していますから,これを電磁場を考察する際のダランベルシャン□の基本的なグリーン関数と考えることにします。

慣例に従って,Ｄ(ｘ)をＤ(ｘ)＝Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_ddv(ｘ)と分解してＤ_ret(ｘ)≡Ｄ_ret(ｒ,ｔ)＝θ(ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πｃ|ｒ|)}δ(ｔ－|ｒ|/ｃ),Ｄ_adv(ｘ)≡Ｄ_adv(ｒ,ｔ)＝－θ(－ｔ)Ｄ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πｃ|ｒ|)}δ(ｔ＋|ｒ|/ｃ)と定義します。

Ｄ_ret,Ｄ_advは,それぞれ遅延(retarded)グリーン関数,先進(advanced)グリーン関数と呼ばれています。ｔ＞0 の未来を表わすだけなら,そこではＤ_adv(ｒ,ｔ)＝0 ,Ｄ(ｒ,ｔ)＝Ｄ_ret(ｒ,ｔ)なので当面の問題では遅延グリーン関数Ｄ_ret(ｒ,ｔ)だけ考慮すれば十分です。 

すると,先に書いた一般解の表現Ａ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)は,ｔ＞0 でＡ^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙＤ_ret(ｘ－ｙ)ｓ^μ(ｙ)となります。

あるいは,自由電磁波Ａ₀^μ(ｘ)＝Ａ₀^μ(ｒ,ｔ)を無限の過去ｔ＝－∞ に入射した入射電磁波Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)と考えるなら,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＋ｃ∫_-∞^ｔｄｔ'∫ｄ³ｒ'Ｄ_ret(ｒ－ｒ',ｔ－ｔ')ｓ^μ(ｒ',ｔ')なる表式は,現時刻ｔまでに入射波が散乱され全ての波が重ね合わされた結果を表わす散乱現象の記述と解釈されます。

すなわち,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＋∫ｄ³ｒ'∫_-∞^tｄｔ'{1/(4π|ｒ－ｒ'|)}δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｒ'|/ｃ)ｓ^μ(ｒ',ｔ')＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]です。

一方,ｓ^μをＪ^μ＝ｃ²ε₀ｓ^μに戻し無限の過去には電磁場は存在しなかった場合:Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＝0 を想定すると,φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'[ρ_e(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|],Ａ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｊ_e(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]となります。

通常の状況はこれです。 

上述の意味で,これらのポテンシャルφ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)を遅延ポテンシャル(遅刻ポテンシャル)と呼び,それによる電磁波を遅延波(遅刻波)と呼びます。

これらを(角)振動数ωで展開して,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]をＡ^μ(ｒ,ｔ)＝∫Ａ^^μ(ｒ,ω)exp(－iωｔ)ｄω,またはＡ^^μ(ｒ,ω)＝{1/(2π)}∫Ａ^μ(ｒ,ｔ)exp(iωｔ)ｄｔと表わすこともできます。

すると,他方ｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)＝∫ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(－iω(ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ))ｄω＝∫ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)exp(－iωｔ)ですから,Ａ^^μ(ｒ,ω)＝∫Ａ^_in^μ(ｒ,ω)＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|]と書けます。

したがって,Ｇ_ret(ｒ,ω)＝exp(iωｒ/ｃ)/(4πｒ) (ｒ≡|ｒ|)と置けば,Ａ^^μ(ｒ,ω)＝∫Ａ^_in^μ(ｒ,ω)＋∫ｄ³ｒ'Ｇ_ret(ｒ－ｒ',ω)ｓ^^μ(ｒ',ω)と表現できるためＧ_ret(ｒ,ω)を遅延グリーン関数と呼ぶこともあるようです。 

このＧ_ret(ｒ,ω)はヘルムホルツ方程式(Helmholtz)のグリ－ン関数になっています。つまり,[△＋(ω/ｃ)²]Ｇ_ret(ｒ,ω)＝－δ³(ｒ)を満たしています。 　

以下,遅延波,遅延ポテンシャルのみを考えればよいケースに限定して考察をします。 

次に,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝(φ(ｒ,ｔ)/ｃ,Ａ(ｒ,ｔ))の多重極展開というテーマに向かいますが,まず場が時間ｔに依らない静場(static-field):Ａ^μ(ｒ)＝(φ(ｒ)/ｃ,Ａ(ｒ))における多重極展開を復習します。

まず,ルジャンドル多項式(Legendre polymomials)Ｐ_l(ｚ)の母関数展開:1/(1－2ｔｚ＋ｔ²)^1/2＝Σ_l=0^∞ｔ^lＰ_l(ｚ)から,公式:1/|ｒ－ｒ'|＝1/(ｒ²＋ｒ'²―2ｒｒ'cosθ')^1/2＝Σ_l=0^∞(ｒ^l/ｒ'^l+1)Ｐ_l(cosθ') (ｒ＜ｒ'),Σ_l=0^∞(ｒ'^l/ｒ^l+1)Ｐ_l(cosθ') (ｒ＞ｒ')が得られます。

ただし,cosθ'＝(ｒｒ')/ｒｒ'です。これは導体における鏡像法でよく使用される式です。 

静電ポテンシャル:φ(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'ρ_e(ｒ')/|ｒ－ｒ'|にこの母関数展開を代入すると,ｒ＞ｒ'(帯電領域の外側)ではφ(ｒ)＝Σ_l=0^∞φ_l(ｒ)＝{1/(4πε₀)}Σ_l=0^∞ｒ^-(l+1)∫ρ_e(ｒ')ｒ'^lＰ_l(cosθ')ｄ³ｒ'となります。

　右辺の展開のｌ＝0 の項は,φ₀(ｒ)＝{1/(4πε₀)}ｒ^-1{∫ρ_e(ｒ')ｄ³ｒ'}＝ｑ/(4πε₀ｒ)となります。ただしｑ≡∫ρ_e(ｒ)ｄ³ｒですが,これは全電荷量です。

これは,ｒが十分大きい遠方から見ると,1/ｒ²以上の1/ｒの高次の項は全て消えて,あたかも全電荷が原点に集中しているかに見えることを示しています。

　また,ｌ＝1の項はφ₁(ｒ)＝{1/(4πε₀)}ｒ^-2∫ρ(ｒ')ｒ'cosθ'ｄ³ｒ'＝{1/(4πε₀)}ｒ^-3{∫ρ_e(ｒ')(ｒｒ')ｄ³ｒ'}＝ｎｐ/(4πε₀ｒ²)です。ここでｎ≡ｒ/ｒはｒ方向の単位ベクトルです。

　ｐ≡∫ρ_e(ｒ)ｒｄ³ｒは電気双極子モーメント(electric dipole moment;電気双極子能率)を示しています。

ただし,この式で定義されるｐは座標原点の選び方に依らない本当の意味のベクトル量であるとはいえません。 

　実際,原点Ｏをベクトルａだけ移動したとすればｒ'で指定されていた位置は新原点ではベクトルｒ"＝ｒ'－ａで表現されるので,ｐ≡∫ρ_e(ｒ')ｒ'ｄ³ｒ'＝∫ρ_e(ｒ"＋ａ)ｒ"ｄ³ｒ"＋ａ∫ρ_e(ｒ"＋ａ)ｄ³ｒ"＝ ∫ρ_e~(ｒ")ｒ"ｄ³ｒ"＋ａ∫ρ_e~(ｒ")ｄ³ｒ"＝ｐ~＋ａｑとなります。 

ここで,ρ_e~(ｒ")≡ρ_e(ｒ"＋ａ),ｐ~≡∫ρ_e~(ｒ")ｒ"ｄ³ｒ"と定義しました。ｐ~は新原点での上記定義による双極子モーメントですがｐ~＝ｐ－ａｑですから,明らかに双極子モーメントベクトルは座標原点に依存します。 

　しかし,全電荷ｑがゼロのときにはｐ~＝ｐとなって双極子モーメントは原点の取り方に依らない客観性を持つため,ベクトル的物理量としての意味を持ちます。

　今の多重極展開の場合には,ｐ≡∫ρ_e(ｒ)ｒｄ³ｒは一般に原点の選び方に依らないベクトル量ではありませんが,双極子モーメントの時間微分ｄｐ/ｄｔは如何なるときも座標原点の取り方に依らず客観的意味を持っています。

実際,ｐ＝ｐ~＋ａｑよりｄｐ/ｄｔ＝ｄｐ~/ｄｔ＋ａ(ｄｑ/ｄｔ)ですが,全電荷ｑは時間的に変化しない保存量なのでｄｑ/ｄｔ＝0 です。そこでｄｐ/ｄｔ＝ｄｐ~/ｄｔとなるからです

さらに,ｌ＝2の項はφ₂(ｒ)＝{1/(4πε₀)}ｒ^-3∫ρ_e(ｒ')ｒ'²Ｐ₂(cosθ')ｄ³ｒ'＝{1/(8πε₀)}ｒ^-3∫ρ_e(ｒ')ｒ'²(3cos²θ'－1)ｄ³ｒ'＝{3/(8πε₀)}ｒ^-5[∫ρ_e(ｒ'){(ｒｒ')²－(1/3)ｒ²ｒ'²}ｄ³ｒ']＝Ｑ/(8πε₀ｒ²)と書けます。

ただし,Ｑ≡∫ρ_e(ｒ'){(ｎｒ')(ｎｒ')－(1/3)ｒ'²}ｄ³ｒ'ですが,これをテンソル成分の形で書けばＱ＝Σ_i,j=1³Ｑ_ijｎ_iｎ_j,Ｑ_ij≡∫ρ_e(ｒ){ｘ_iｘ_j－(1/3)δ_ijｒ²}ｄ³ｒです。

Ｑ_ijを成分とする２階テンソル量を電気四重極モーメント(electric quadratic moment)と呼びます。電気四重極モーメントもテンソルとしての客観的意味を持つのは全電荷ｑがゼロで,かつ双極子モーメントｐもゼロのときだけです。 

　いずれにしても,原点ｒ＝0 に近づくにつれて,φ₀からφ₁,φ₂,..という具合に順に電荷分布の構造が全体のφに反映されてきます。

次に,静磁場のベクトルポテンシャルＡ(ｒ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｊ_e(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]の展開ですが,これは静電ポテンシャルφ(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'[ρ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]の展開とほぼ同様に行なうことができます。

すなわち,Ａ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Ａ_l(ｒ)＝{μ₀/(4π)}Σ_l=0^∞ｒ^-(l+1)∫ｊ_e(ｒ')ｒ'^lＰ_l(cosθ')ｄ³ｒ'が直ちに得られます。

そして,まず右辺のｌ＝0 の項を調べるとＡ₀(ｒ)＝{μ₀/(4πｒ)}∫ｊ_e(ｒ')ｄ³ｒ'です。

しかし,ｊ_eに対して式ｊ_ek(ｒ)＝∂_j(ｘ_kｊ_ej)－ｘ_k∂_jｊ_ej,つまりｊ_e(ｒ)＝div(ｒ:ｊ_e)－ｒdivｊ_eが成立します。これと時間に依らない連続の方程式:divｊ_e＝0 を考慮すればｊ_e(ｒ)＝div(ｒ:ｊ_e)を得ます。

そして,電流密度ｊ_e(ｒ)がゼロでない領域が空間の有限部分に限られているため,全電流Ｉはゼロです。つまりＩ＝∫ｊ_e (ｒ)ｄ³ｒ＝0 ですからｌ＝0 のＡ₀(ｒ)＝{μ₀/(4πｒ)}∫ｊ_e(ｒ')ｄ³ｒ'＝0 です。

次に,ｌ＝1の項はＡ₁(ｒ)＝{μ₀/(4π)}ｒ^-2∫ｊ_e(ｒ')ｒ'cosθ'ｄ³ｒ'＝{μ₀/(4π)}ｒ^-3{∫ｊ_e(ｒ')(ｒｒ')ｄ³ｒ'}です。

ここで,{ｒ'×ｊ_e(ｒ')}×ｒ＝ｊ_e(ｒ')(ｒ'ｒ)－ｒ'(ｊ_e(ｒ')ｒ)を用いると,∫ｊ_e(ｒ')(ｒｒ')ｄ³ｒ'＝∫{ｒ'×ｊ_e(ｒ')}×ｒｄ³ｒ'＋∫ｒ'(ｊ_e(ｒ')ｒ)ｄ³ｒ'です。

　一方,∂_j'{ｘ_k'(ｒ'ｒ)ｊ_ej(ｒ')}＝ｘ_k'(ｒ'ｒ)(div'ｊ_e)＋(ｒ'ｒ)ｊ_ek(ｒ')＋ｘ_k'(ｊ_e(ｒ')ｒ)＝ｊ_ek(ｒ')(ｒｒ')＋ｘ_k'(ｊ_e(ｒ')ｒ)ですが,両辺を体積積分すると左辺は表面積分となって消えるため,∫ｒ'(ｊ_e(ｒ')ｒ)ｄ³ｒ'＝－∫ｊ_e(ｒ')(ｒｒ')ｄ³ｒ'です。

　そこで,∫ｊ_e(ｒ')(ｒｒ')ｄ³ｒ'＝(1/2)[∫{ｒ'×ｊ_e(ｒ')}ｄ³ｒ']×ｒを得ます。それ故,ｍ≡(1/2)∫{ｒ×ｊ_e(ｒ)}ｄ³ｒと置くとＡ₁(ｒ)＝μ₀(ｍ×ｒ)/(4πｒ³)と表現できます。

　ｍを磁気双極子モーメント(magnetic dipole moment)と呼びます。 

特に電流が１つの閉曲線Ｃに沿って流れる線状電流なら,原点ＯをＣに囲まれた平面内に取り,電流の強さをＩと書けばｊ_e(ｒ)ｄ³ｒ＝{∫_Sｊ_e(ｒ)ｄＳ}ｄｒ＝Ｉｄｒより,ｍ＝(1/2)∫{ｒ×ｊ_e(ｒ)}ｄ³ｒ＝(I/2)∫_C(ｒ×ｄｒ)です。

ところが,(1/2)∫_C(ｒ×ｄｒ)はＣで囲まれた平面に垂直で電流Iの向きに右ネジを回すとネジの進む向きを持ち,Ｃで囲まれた領域の面積Ｓに等しい大きさを持つベクトルを表わすので,その向きの単位ベクトルをｋと書けばｍ＝ＩＳｋを得ます。

　したがって,こうした線状電流の平面回路は,それが作る磁場に関しては回路を周辺とする板状の面に単位面積あたりIの磁気モーメントを持つ磁石を曲線Ｃの囲む平面Ｓに垂直に敷き詰めたものと同等です。

それ故,回路が十分微小でｒが大きいときにはＡ(ｒ)＝Ａ₁(ｒ)＝μ₀(ｍ×ｒ)/(4πｒ³)と書けます。

　逆に空間内にｍ(ｒ)なる体積密度で磁気双極子が分布しているとし,微小体積内でのその巨視的意味での平均をＭ(ｒ)と書けば,Ａ(ｒ)＝{μ₀/(4π)}∫{Ｍ(ｒ')×(ｒ－ｒ')/|ｒ－ｒ'|³}ｄ³ｒ'です。

　ところが,rot'{Ｍ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|}＝rot'Ｍ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|－Ｍ(ｒ')×(ｒ－ｒ')/|ｒ－ｒ'|³です。そして∫rot'{Ｍ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|}ｄ³ｒ'＝0 です。

　故にＡ(ｒ)＝{μ₀/(4π)}∫[rot'Ｍ(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]ｄ³ｒ'です。

　これをＡ(ｒ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｊ_e(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]なる表式と比較すると,Ｍ(ｒ)なる磁気双極子の空間分布はｉ_m(ｒ)＝rotＭ(ｒ)で与えられる電流ｉ_mの空間分布と見なすことができます。ｉ_mは外部磁場による物質の磁化に基づく磁化電流です。 

ｌ＝2の磁気四重極項:Ａ₂(ｒ)＝{μ₀/(4π)}ｒ^-3∫ｊ_e(ｒ')ｒ'²Ｐ₂(cosθ')ｄ³ｒ'＝{μ₀/(8π)}ｒ^-3∫ｊ_e(ｒ')ｒ'²(3cos²θ'－1)ｄ³ｒ'＝{3μ₀/(8π)}ｒ^-5[∫ｊ_e(ｒ'){(ｒｒ')²－(1/3)ｒ²ｒ'²}ｄ³ｒ']は電気と比較して無視できるオーダーなので磁気四重極子についてこれ以上の詳細な論議は省略します。 

Ａ(ｒ)についても,原点ｒ＝0 に近づくにつれて,Ａ₁を初めとしてＡ₂,Ａ₃,..と電流分布の構造が全体のＡに反映されてゆきます。

長くなったため,ここでひとまず終わりにします。(つづく)

参考文献:砂川重信著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店)