電磁波の放射(2)(多重極展開)

　「電磁波の放射」の続きです。 

静場ではなく一般の時間ｔに依存する電磁場の展開に移ります。 

無限に拡がった空間の中のある領域に電荷分布ρ_e(ｒ,ｔ)と電流分布ｊ_e(ｒ,ｔ)があるときの電磁場の遅延ポテンシャルはＡ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'ｊ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|,φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'ρ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|で与えられます。

ただし,ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃです。 

しかし,ここではＡ^μ(ｒ,ｔ)＝∫Ａ^^μ(ｒ,ω)exp(－iωｔ)ｄω,ｓ^μ(ｒ',ｔ')＝ｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)＝∫ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(－iω(ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ))ｄωのＡ^μ,ｓ^μを振動数で展開した表現から出発します。

さらに,exp(－iω(ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)＝exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)exp(－iωｔ)なのでＡ^^μ(ｒ,ω)＝∫Ａ^_in^μ(ｒ,ω)＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|と書けます。

また,2009年10/16の記事「光(電磁波)の散乱(1)」で述べたようにｚ方向へ進む平面波:exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)はレーリー(Rayleigh)の公式と呼ばれる展開式:exp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)i^lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)で表現されることが知られています。

ただし,j_l(ｘ),ｎ_l(ｘ)は球面ベッセル(Bessel)関数で,これらはj_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｊ_l+1/2(ｘ),ｎ_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｎ_l+1/2(ｘ)で定義されます。Ｊ_l+1/2(ｘ),Ｎ_l+1/2(ｘ)はベッセル関数です。

また,同じベッセルの微分方程式のこれと異なる選択の独立解として球面ハンケル関数(Hankel):ｈ_l⁽¹⁾(ｘ),ｈ_l⁽²⁾(ｘ)があります。これらはｈ_l⁽¹⁾(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2[Ｊ_l+1/2(ｘ)＋iＮ_l+1/2(ｘ)],ｈ_l⁽²⁾(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2[Ｊ_l+1/2(ｘ)－iＮ_l+1/2(ｘ)]で定義されます。

ｘ→ ∞でのこれらの漸近形は,それぞれ,j_l(ｘ)→ sin(ｘ－ｌπ/2)/ｘ,ｎ_l(ｘ)→ －cos(ｘ－ｌπ/2)/ｘ,ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)→ (－i)^l+1exp(iｘ)/ｘ,ｈ_l⁽²⁾(ｘ)→ i^l+1exp(－iｘ)/ｘです。

さて,レイリーの公式から,より有用な公式:exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|＝(iω/ｃ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｊ_l(ωｒ'/ｃ)ｈ_l⁽¹⁾(ωｒ/ｃ)Ｐ_l(cosχ)(ｒ＞ｒ'＞0)が得られます。

ただし,cosχ≡(ｒｒ')/ｒｒ'),Ｒ≡|ｒ－ｒ'|＝(ｒ²＋ｒ'²－2ｒｒ'cosχ)^1/2です。

これを証明します。 

(証明):ψ^(ｒ,ω)≡exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|はヘルムホルツ方程式(Helmholtz eq.) (∇²＋ｋ²)ψ^＝0 (ｋ＝ω/ｃ)の解でｒ＞＞ｒ'のとき外向き球面波になるという境界条件を満たします。

そこで,ｘ→ ∞でのハンケル関数ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)の漸近形(－i)^l+1exp(iｘ)/ｘから,exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|＝exp(iｋＲ)/Ｒ＝Σ_l=0^∞Ａ_l(ｋｒ')ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l(cosχ)なる展開形がわかります。

一方,左辺のψ^(ｒ,ω)をｒ'の関数と見るとｒ'に対するヘルムホルツ方程式:(∇'²＋ｋ²)ψ^＝0 の解でもありますから,原点ｒ'＝0 で特異でないという条件から,exp(iｋＲ)/Ｒ＝Σ_l=0^∞Ｂ_l(ｋｒ)ｊ_l(ｋｒ')Ｐ_l(cosχ)と展開されることがわかります。

同じＲにおいて,これら２つの展開表現が両立するためには,exp(iｋＲ)/Ｒ＝Σ_l=0^∞Ｃ_lｊ_l(ｋｒ')ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ/ｃ)Ｐ_l(cosχ)なる展開形を持つ必要があります。

ところで,ｒ→ ∞では,Ｒ＝|ｒ－ｒ'|＝(ｒ²＋ｒ'²―2ｒｒ'cosχ)^1/2 ～ｒ－ｒ'cosχとなるため,exp(iｋＲ)/Ｒ ～ exp{iｋ(ｒ－ｒ'cosχ)}/ｒです。

また,ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ) ～ (－i)^l+1exp(iｋｒ)/(ｋｒ)ですからｒ→ ∞ではexp{iｋ(ｒ－ｒ'cosχ)}/ｒ＝Σ_l=0^∞Ｃ_lｊ_l(ｋｒ')(－i)^l+1exp(iｋｒ)Ｐ_l(cosχ)/(ｋｒ)が成立します。

　故に,exp(－iｋｒ'cosχ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)(－i)^l+1Ｃ_lｊ_l(ｋｒ')/ｋを得ます。

一方,先のレーリーの公式:exp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)i^lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)においてｒ＝ｒ',θ＝π－χを代入した後,Ｐ_l(cosθ)＝Ｐ_l(－cosχ)＝(－1)^lＰ_l(cosχ)なる関係を用いると,exp(－iｋｒ'cosχ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)(－i)^lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosχ)となります。

したがって,Ｃ_l＝iｋ(2ｌ＋1),すなわちexp(iｋ|ｒ－ｒ'|)/|ｒ－ｒ'|＝(iｋ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｊ_l(ｋｒ')ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l(cosχ)なる陽な展開公式が得られます。(証明終わり) 

さて,先にＡ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＋{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'ｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|をＡ^μ(ｒ,ｔ)＝∫_-∞^∞Ａ^^μ(ｒ,ω)exp(－iωｔ)ｄω,またはＡ^^μ(ｒ,ω)＝{1/(2π)}∫_-∞^∞Ａ^μ(ｒ,ｔ)exp(iωｔ)ｄｔなる展開形で書きました。

そしてｓ^μ(ｒ',ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ)＝∫_-∞^∞ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(－iω(ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ))ｄω＝∫_-∞^∞ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)exp(－iωｔ)ｄω,かつｓ^^μ(ｒ,ω)＝{1/(2π)}∫_-∞^∞ｓ^μ(ｒ,ｔ)exp(iωｔ)ｄｔです。

そこで,無限の過去(ｔ＝－∞)にはバックグラウンドの電磁場は存在してなかった:Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ^_in^μ(ｒ,ω)＝0 という仮定の下で,Ａ^^μ(ｒ,ω)＝{1/(4π)}∫ｄ³ｒ'ｓ^^μ(ｒ',ω)exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ’|と書けます。

Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄωＡ^^μ(ｒ,ω)exp(－iωｔ)の右辺にＡ^^μ(ｒ,ω)の表式を代入し,さらにＡ^^μ(ｒ,ω)の表式の右辺にｓ^^μ(ｒ',ω)の表式を代入して整理します。

すると,Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝{1/(4π)}∫_-∞^∞ｄｔ'{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄωexp{－iω(ｔ－ｔ')}∫ｄ³ｒ'exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)ｓ^μ(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|]を得ます。

Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ),ｓ^μ＝Ｊ^μ/(ｃ²ε₀),Ｊ^μ＝(ｃρ_e,ｊ_e)ですから,馴染み深い形式ではφ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫_-∞^∞ｄｔ'{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄωexp{－iω(ｔ－ｔ')}∫ｄ³ｒ'exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)ρ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|],

および,Ａ(ｒ,ｔ)＝{μ₀1/(4π)}∫_-∞^∞ｄｔ'{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄωexp{－iω(ｔ－ｔ')}∫ｄ³ｒ'exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)ｊ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|]です。

まず,φ(ｒ,ｔ)の表式の右辺の被積分関数の因子exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|に,exp(iω|ｒ－ｒ'|/ｃ)/|ｒ－ｒ'|＝(iω/ｃ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｊ_l(ωｒ'/ｃ)ｈ_l⁽¹⁾(ωｒ/ｃ)Ｐ_l(cosθ')を代入します。

するとφ(ｒ,ｔ)＝Σ_l=0^∞φ_l(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)∫_-∞^∞ｄｔ'{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄωexp{－iω(ｔ－ｔ')}(iω/ｃ)ｈ_l⁽¹⁾(ωｒ/ｃ)∫ｊ_l(ωｒ'/ｃ)Ｐ_l(cosθ')ρ_e(ｒ',ｔ')ｄ³ｒ'を得ます。

ρ_e(ｒ,ｔ)の分布領域が半径ａの球面より内部に限られていて放射電磁波の角振動数ωがωａ/ｃ＜＜1を満たす,あるいはＴ＝2π/ωなる振動周期Ｔまたは波長λ＝ｃＴがλ＞＞ａを満たすと仮定します。

つまり,放射電磁波の波長λは電荷の存在領域:{ｒ≦ａ}に比べて,はるかに大きいと仮定します。

ここでｘ～ 0 でのj_l(ｘ)＝(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l(sinｘ/ｘ)＝{ｘ^l/(2ｌ＋1)!!}[1－ｘ²/{2(2ｌ＋3)}＋..]なる近似展開式,およびｈ_l⁽¹⁾(ｘ)＝(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l{exp(iｘ)/ｘ}を考えます。

すなわち,ωｒ'/ｃ～ 0 では,j_l(ωｒ'/ｃ)＝(ω/ｃ)^l{ｒ'^l/(2ｌ＋1)!!}[1－(ω/ｃ)²ｒ'²/{2(2ｌ＋3)}＋..]であり,(iω/ｃ)ｈ_l⁽¹⁾(ωｒ/ｃ)＝(iω/ｃ)(ｃ/ω)^l(－ｒ)^l{(1/ｒ)ｄ/ｄｒ}^l{exp(iωｒ/ｃ)/(iωｒ/ｃ)}です。

そこで,j_l(ωｒ'/ｃ)の展開の第１項を取ると(iω/ｃ)ｈ_l⁽¹⁾(ωｒ/ｃ)ｊ_l(ωｒ'/ｃ) ～ (－ｒ)^l{(1/ｒ)ｄ/ｄｒ}^l{exp(iωｒ/ｃ)/ｒ}ｒ'^l/(2ｌ＋1)!!を得ます。

そして,＜ρ_e^(l)(ｔ')＞≡∫ρ_e(ｒ',ｔ')ｒ'^lＰ_l(cosθ')ｄ³ｒ'と置けば,φはφ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2ｌ＋1)!!}∫_-∞^∞ｄｔ'{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄωexp{－iω(ｔ－ｔ')}(－ｒ)^l{(1/ｒ)ｄ/ｄｒ}^l{exp(iωｒ/ｃ)/ｒ}＜ρ_e^(l)(ｔ')＞と表現できます。 

これはさらに,φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2ｌ＋1)!!}(－ｒ)^l{(1/ｒ)ｄ/ｄｒ}^l∫_-∞^∞ｄｔ'δ(ｔ－ｔ'－ｒ/ｃ){＜ρ_e^(l)(ｔ')＞/ｒ}と変形されます。

結局,最終形としてφ(ｒ,ｔ)＝Σ_l=0^∞φ_l(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2ｌ＋1)!!}(－ｒ)^l{(1/ｒ)ｄ/ｄｒ}^l{＜ρ_e^(l)(ｔ－ｒ/ｃ)＞/ｒ};＜ρ_e^(l)(ｔ')＞≡∫ρ_e(ｒ',ｔ')ｒ'^lＰ_l(cosθ')ｄ³ｒ'が得られます。 

同様にして,Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_l=0^∞Ａ_l(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2ｌ＋1)!!}(－ｒ)^l{(1/ｒ)ｄ/ｄｒ}^l{＜ｊ_e^(l)(ｔ－ｒ/ｃ)＞/ｒ};＜ｊ_e^(l)(ｔ')＞≡∫ｊ_e(ｒ',ｔ')ｒ'^lＰ_l(cosθ')ｄ³ｒ'を得ます。 

ここで,Ａ(ｒ,ｔ)の展開で後の便宜のために添字をｌ→ｌ－1(ｌ＝1,2,..)とシフトすると,Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_l=1^∞Ａ_l(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}Σ_l=1^∞{(2ｌ－1)/(2ｌ－1)!!}(－ｒ)^l-1{(1/ｒ)ｄ/ｄｒ}^l-1{＜ｊ_e^(l-1)(ｔ－ｒ/ｃ)＞/ｒ}となります。 

　さて,得られた多重極展開の各項φ_l(ｒ,ｔ),Ａ_l(ｒ,ｔ)を,"ｌが小さい順＝遠方(ｒが大)での寄与が大きい順"に見てゆきます。

まず,ｌ＝0 ではφ₀(ｒ,ｔ)＝＜ρ_e⁽⁰⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞/(4πε₀ｒ),Ａ₀(ｒ,ｔ)＝0 です。

＜ρ_e⁽⁰⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞＝∫ρ_e(ｒ,ｔ－ｒ/ｃ)ｄ³ｒは全電荷量ｑを示しています。そしてｄｑ/ｄｔ＝∫{∂ρ_e (ｒ,ｔ)/∂ｔ}ｄ³ｒ＝－∫div{ｊ_e(ｒ,ｔ)}ｄ³ｒ＝－∫_r=∞ｊ_e(ｒ,ｔ)ｄＳ＝0 なので,全電荷量ｑは時間的に一定不変です。

そこで,φ₀(ｒ,ｔ)＝ｑ/(4πε₀ｒ)であり,これは実際上電荷がｑの点電荷による静電場に過ぎませんから,電磁波の放射を問題にする今の場合はこの項を考慮する必要がありません。 

　次にｌ＝1 のとき,φ₁(ｒ,ｔ)＝{－1/(4πε₀)}(ｄ/ｄｒ){＜ρ_e⁽¹⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞/ｒ}＝＜ρ⁽¹⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞/(4πε₀ｒ²)＋(ｄ/ｄｔ)＜ρ_e⁽¹⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞/(4πε₀ｃｒ)です。

ここで,＜ρ_e⁽¹⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞＝∫ρ_e(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'cosθ'ｄ³ｒ'＝∫(ｎｒ')ρ_e(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｄ³ｒ'＝ｎｐ(ｔ－ｒ/ｃ)と書けます。ｐ(ｔ)≡∫ｒρ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒは電気双極子モーメントです。

そこで,時間微分をｐ^d≡ｄｐ/ｄｔと表わせばφ₁(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{ｎｐ(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ²＋ｎｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ)}です。

　一方,Ａ₁(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}＜ｊ_e⁽⁰⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞/ｒ,＜ｊ_e⁽⁰⁾(ｔ)＞＝∫ｊ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒですが,ｐ(ｔ)≡∫ｒρ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒよりｐ^d≡ｄｐ/ｄｔ＝∫ｒ{∂ρ_e(ｒ,ｔ)/∂ｔ}ｄ³ｒ＝－∫ｒdiv{ｊ_e(ｒ,ｔ)}ｄ³ｒ＝∫ｊ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒです。 

したがって,Ａ₁(ｒ,ｔ)＝μ₀ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(4πｒ)と書けます。

　結局,ｌ＝1 の寄与は,φ₁(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{ｎｐ(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ²＋ｎｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ)},およびＡ₁(ｒ,ｔ)＝μ₀ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(4πｒ)と書けます。

　この項の全てが電気双極子ベクトルｐとその時間微分の寄与で表わされるため,ｌ＝1の項による放射を電気双極子放射と呼びます。

ただし,先述したようにｐ(ｔ－ｒ/ｃ)は原点Ｏの取り方に依存するのに対し,時間微分ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)は原点の取り方には依りません。

次に,電気双極子放射による電場Ｅや磁場Ｂの具体的表現を得るため,ポテンシャルの空間微分を考えます。

まず,∂_j{ｎｐ(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ²}＝∂_j{ｒｐ(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ³}＝ｐ_j(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ³－3ｘ_j{ｒｐ(ｔ－ｒ/ｃ)}/ｒ⁵－ｘ_j{ｒｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ⁴)}より∇{ｎｐ(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ²}＝ｐ(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ³－3ｒ{ｒｐ(ｔ－ｒ/ｃ)}/ｒ⁵－ｒ{ｒｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ⁴)}です。

同様にして,∇{ｎｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ)}＝ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ²)－2ｒ{ｒｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)}/(ｃｒ⁴)－ｒ{ｒｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃ²ｒ³)}を得ます。

また,∂Ａ₁(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝{μ₀/(4π)}ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ＝{1/(4πε₀)}ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃ²ｒ)です。 

　そこで,電場はＥ₁(ｒ,ｔ)≡－∇φ₁(ｒ,ｔ)－∂Ａ₁(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝{1/(4πε₀)}[{－ｐ(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ³＋3ｒ{ｐ(ｔ－ｒ/ｃ)ｒ}/ｒ⁵}＋{－ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ²)＋3ｒ(ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)ｒ)/ｒ⁵}＋{－ｒ(ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)ｒ)/(ｃ²ｒ³)＋ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃ²ｒ)}]となります。

一方,磁場はＢ₁(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ₁(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}{－ｒ×ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ³－ｒ×ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ²)}です。

　電場,磁場はそれぞれｐ,ｐ^d,ｐ^2dに比例する次の上添字が 0,1,2 の３種の部分に分類できます。

　すなわち,Ｅ₁⁽⁰⁾(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{－ｐ(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ³＋3ｒ(ｐ(ｔ－ｒ/ｃ)ｒ)/ｒ⁵},Ｂ₁⁽⁰⁾(ｒ,ｔ)＝0；Ｅ₁⁽¹⁾(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{－ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ²)＋3ｒ(ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)ｒ)/ｒ⁵},Ｂ₁⁽¹⁾(ｒ,ｔ)＝{－μ₀/(4π)}{ｒ×ｐ^d(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ³};

　および,Ｅ₁⁽²⁾(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{ｒ(ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)ｒ)/(ｃ²ｒ³)－ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃ²ｒ)},Ｂ₁⁽²⁾(ｒ,ｔ)＝{－μ₀/(4π)}{ｒ×ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ²)}です。

　そこで,電気双極子振動の角振動数ω＝ｃｋ＝2πｃ/λ＝2π/Ｔ,または周期Ｔ＝λ/ｃを用いて,ｐ^d＝-iωｐ,ｐ^2d＝－ω²ｐとし,ｒ＞＞ｃＴ＝λ(＝2πｃ/ω)の遠方領域での主要項を評価して見ます。

　すると,1/(4πε₀)＝ｃ²μ₀/(4π)なので,Ｅ₁⁽⁰⁾～ －ｐ/(4πε₀ｒ³),Ｅ₁⁽¹⁾～ iωｐ/(4πε₀ｃｒ²),Ｂ₁⁽¹⁾～iω(ｒ×ｐ)/(4πε₀ｃ²ｒ³),Ｅ₁⁽²⁾～ω²{ｒ(ｐｒ)－ｒ²ｐ}/(4πε₀ｃ²ｒ³),Ｂ₁⁽²⁾～ω²(ｒ×ｐ)/(4πε₀ｃ³ｒ²)です。

　そこで,大きさのオーダーは|Ｅ₁⁽⁰⁾|＝Ｏ(1/ｒ³),|Ｅ₁⁽¹⁾|＝|ｃＢ₁⁽¹⁾|＝Ｏ(1/ｒ²),|Ｅ₁⁽²⁾|＝|ｃＢ₁⁽²⁾|＝Ｏ(1/ｒ)となります。

　よって,ｒ＞＞ｃＴ＝λの非常に遠方の領域では,Ｏ(1/ｒ)のＥ₁⁽²⁾,Ｂ₁⁽²⁾だけが効いてきます。

　ところで,単位時間に単位面積を通過する電磁エネルギーは電磁場のポインティングベクトル(Poynting vector):Ｓ＝Ｅ×Ｈ＝(Ｅ×Ｂ)/μ₀で与えられます。

　したがって,ｎ≡ｒ/ｒと置くとｒ＞＞ｃＴ＝λでの実質的なエネルギー流密度はＳ＝(Ｅ×Ｂ)/μ₀～Ｅ₁⁽²⁾×Ｂ₁⁽²⁾/μ₀ ～{μ₀ｃ⁴ｋ⁴/(16π²ｃｒ²)}|ｎ×ｐ|²ｎ＝Ｏ(1/ｒ²)と評価されます。

このｒ＞＞ｃＴ＝λの領域を波動帯と呼びます。波動帯でのｌ＝1 の全寄与はｋ＝2π/λより(4πｒ²) Ｓ ～ｐ²/λ⁴×(定数)で有限です。

電気双極子ｐの加速度運動を示す２階時間微分ｐ^2dによるＥ₁⁽²⁾×Ｂ₁⁽²⁾の寄与のみがｒ→ ∞で有限に留まり他の寄与は全て消えます。

さて,Ｅ₁⁽²⁾(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{ｒ(ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)ｒ)/(ｃ²ｒ³)－ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃ²ｒ)},Ｂ₁⁽²⁾(ｒ,ｔ)＝{－μ₀/(4π)}{ｒ×ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(ｃｒ²)}を再掲します。

これから,Ｂ₁⁽²⁾(ｒ,ｔ)＝{ｎ×Ｅ₁⁽²⁾(ｒ,ｔ)}/ｃ,Ｅ₁⁽²⁾(ｒ,ｔ)＝－ｃｎ×Ｂ₁⁽²⁾(ｒ,ｔ)が得られます。よって,Ｅ₁⁽²⁾,Ｂ₁⁽²⁾,ｎ＝ｒ/ｒは互いに垂直なベクトルで,この順に右手系を作っています。

つまり,波動帯における放射電磁波は真空中の自由電磁波と同じく共に横波であると同時に|Ｅ₁⁽²⁾|＝ｃ|Ｂ₁⁽²⁾|を満たしています。

そこで,複素表示でのエネルギー流:Ｓのサイクル平均は,＜Ｓ＞＝(Ｅ₁⁽²⁾×Ｂ₁^(2)*)/(2μ₀)＝－(ｃｎ×Ｂ₁⁽²⁾×Ｂ₁^(2)*)/(2μ₀)＝{ｃ/(2μ₀)}|Ｂ₁⁽²⁾|²ｎで与えられます。

したがって,波動帯では＜Ｓ＞＝{μ₀/(32π²ｃｒ²)}|ｎ×ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)|²ｎなる表式を得ます。特に角振動数がω＝ｃｋの双極子なら＜Ｓ＞＝{μ₀ｃ⁴ｋ⁴/(32π²ｃｒ²)}|ｎ×ｐ|²ｎとなります。

そこで,単位時間当たりに原点を中心とする半径ｒの球面を通って放射される双極子放射の全平均エネルギーは,Ｐ＝∫＜Ｓ＞ｎｄＳ＝{μ₀/(32π²ｃ)}∫|ｎ×ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)|²sinθｄθｄφです。

さらに,ｐ^2dの方向をθ＝0 の極軸に取れば,|ｎ×ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)|²＝|ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)|²sin²θです。

故に,＜Ｓ＞ｎ＝{μ₀/(32π²ｃｒ²)}|ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)|²sin²θ,およびＰ＝{μ₀/(12πｃ)}|ｐ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)|² なる陽な表式を得ました。特に角振動数がω＝ｃｋの双極子ならＰ＝μ₀ｃ³ｐ²ｋ⁴/(12π)です。

これを見ると,放射される電磁エネルギーの方向分布は双極子が加速振動するｐ^2dの方向(θ＝0)ではゼロで,その垂直方向で最大であることがわかります。これが双極子放射の特徴です。

今日はここで終わります。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店)

PS：彼の業績の詳細はわからないけどお金の使い方についてはポール・エルデシュ(Paul Erdos)は理想的で神のような人でしたね。

(「放浪の天才数学者エルデシュ」(The Man Who Loved Only Numbers by Paul Hoffman(平石律子 訳)(草思社)より)