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2010年3月30日 (火)

電磁波の放射(2)(多重極展開)

 「電磁波の放射」の続きです。 

静場ではなく一般の時間tに依存する電磁場の展開に移ります。 

無限に拡がった空間の中のある領域に電荷分布ρe(,t)と電流分布e(,t)があるときの電磁場の遅延ポテンシャルは(,t)=0/(4π)}∫d3'e(',t')/|'|,φ(,t)={1/(4πε0)}∫d3e(',t')/|'|で与えられます。

 

ただし,t'≡t-|'|/cです。 

しかし,ここではAμ(,t)=∫A^μ(,ω)exp(-iωt)dω,μ(',t')=μ(',t-|'|/c)=∫s^μ(',ω)exp(-iω(t-|'|/c))dωのAμ,sμを振動数で展開した表現から出発します。

さらに,exp(-iω(t-|'|/c)=exp(iω|'|/c)exp(-iωt)なのでA^μ(,ω)=∫A^inμ(,ω)+{1/(4π)}∫d3's^μ(',ω)exp(iω|'|/c)/|'|と書けます。

また,2009年10/16の記事「光(電磁波)の散乱(1)」で述べたようにz方向へ進む平面波:exp(ikz)=exp(ikrcosθ)はレーリー(Rayleigh)の公式と呼ばれる展開式:exp(ikrcosθ)=Σl=0(2l+1)iljl(kr)Pl(cosθ)で表現されることが知られています。

ただし,jl(x),nl(x)は球面ベッセル(Bessel)関数で,これらはjl(x)≡{π/(2x)}1/2l+1/2(x),nl(x)≡{π/(2x)}1/2l+1/2(x)で定義されます。Jl+1/2(x),Nl+1/2(x)はベッセル関数です。

また,同じベッセルの微分方程式のこれと異なる選択の独立解として球面ハンケル関数(Hankel):hl(1)(x),hl(2)(x)があります。これらはhl(1)(x)≡{π/(2x)}1/2[Jl+1/2(x)+iNl+1/2(x)],hl(2)(x)≡{π/(2x)}1/2[Jl+1/2(x)-iNl+1/2(x)]で定義されます。

x→ ∞でのこれらの漸近形は,それぞれ,jl(x)→ sin(x-lπ/2)/x,nl(x)→ -cos(x-lπ/2)/x,hl(1)(x)→ (-i)l+1exp(ix)/x,hl(2)(x)→ il+1exp(-ix)/xです。

さて,レイリーの公式から,より有用な公式:exp(iω|'|/c)/|'|=(iω/c)Σl=0(2l+1)jl(ωr'/c)hl(1)(ωr/c)Pl(cosχ)(r>r'>0)が得られます。

 

ただし,cosχ≡(rr')/rr'),R≡|'|=(r2+r'2-2rr'cosχ)1/2です。

これを証明します。 

(証明):ψ^(,ω)≡exp(iω|'|/c)/|'|はヘルムホルツ方程式(Helmholtz eq.) (∇2+k2)ψ^0 (k=ω/c)の解でr>>r'のとき外向き球面波になるという境界条件を満たします。

そこで,x→ ∞でのハンケル関数l(1)(x)の漸近形(-i)l+1exp(ix)/xから,exp(iω|'|/c)/|'|=exp(ikR)/R=Σl=0l(kr')hl(1)(k)Pl(cosχ)なる展開形がわかります。

一方,左辺のψ^(,ω)'の関数と見ると'に対するヘルムホルツ方程式:(∇'2+k2)ψ^0 の解でもありますから,原点r'=0 で特異でないという条件から,exp(ikR)/R=Σl=0l(kr)jl(kr')Pl(cosχ)と展開されることがわかります。

同じRにおいて,これら2つの展開表現が両立するためには,exp(ikR)/R=Σl=0ll(kr')hl(1)(kr/c)Pl(cosχ)なる展開形を持つ必要があります。

ところで,r→ ∞では,R=|'|=(r2+r'2―2rr'cosχ)1/2 ~r-r'cosχとなるため,exp(ikR)/R ~ exp{ik(r-r'cosχ)}/rです。

また,l(1)(kr) ~ (-i)l+1exp(ikr)/(kr)ですからr→ ∞ではexp{ik(r-r'cosχ)}/r=Σl=0ll(kr')(-i)l+1exp(ikr)Pl(cosχ)/(kr)が成立します。

 故に,exp(-ikr'cosχ)=Σl=0(2l+1)(-i)l+1ll(kr')/kを得ます。

一方,先のレーリーの公式:exp(ikrcosθ)=Σl=0(2l+1)iljl(kr)Pl(cosθ)においてr=r',θ=π-χを代入した後,Pl(cosθ)=Pl(-cosχ)=(-1)ll(cosχ)なる関係を用いると,exp(-ikr'cosχ)=Σl=0(2l+1)(-i)ljl(kr)Pl(cosχ)となります。

したがって,lik(2l+1),すなわちexp(ik|'|)/|'|=(ik)Σl=0(2l+1)jl(kr')hl(1)(k)Pl(cosχ)なる陽な展開公式が得られます。(証明終わり) 

さて,先にμ(,t)=Ainμ(,t)+{1/(4π)}∫d3'sμ(',t-|'|/c)/|'|をμ(,t)=∫-∞A^μ(,ω)exp(-iωt)dω,またはA^μ(,ω)={1/(2π)}∫-∞μ(,t)exp(iωt)dtなる展開形で書きました。

そしてμ(',t-|'|/c)=∫-∞s^μ(',ω)exp(-iω(t-|'|/c))dω=∫-∞s^μ(',ω)exp(iω|'|/c)exp(-iωt)dω,かつs^μ(,ω)={1/(2π)}∫-∞μ(,t)exp(iωt)dtです。

そこで,無限の過去(t=-∞)にはバックグラウンドの電磁場は存在してなかった:Ainμ(,t)=A^inμ(,ω)=0 という仮定の下で,A^μ(,ω)={1/(4π)}∫d3's^μ(',ω)exp(iω|'|/c)/||と書けます。

μ(,t)=∫-∞dωA^μ(,ω)exp(-iωt)の右辺にA^μ(,ω)の表式を代入し,さらにA^μ(,ω)の表式の右辺にs^μ(',ω)の表式を代入して整理します。

 

すると,μ(,t)={1/(4π)}-∞dt'{1/(2π)}-∞dωexp{-iω(t-t')}∫d3'exp(iω|'|/c)sμ(',t')/|'|]を得ます。

μ(φ/c,),sμ=Jμ/(c2ε0),Jμ=(cρe,e)ですから,馴染み深い形式ではφ(,t)={1/(4πε0)}-∞dt'{1/(2π)}-∞dωexp{-iω(t-t')}∫d3'exp(iω|'|/ce(',t')/|'|],

および,(,t)=01/(4π)}-∞dt'{1/(2π)}-∞dωexp{-iω(t-t')}∫d3'exp(iω|'|/c)e(',t')/|'|]です。

まず,φ(,t)の表式の右辺の被積分関数の因子exp(iω|'|/c)/|'|に,exp(iω|'|/c)/|'|=(iω/c)Σl=0(2l+1)jl(ωr'/c)hl(1)(ωr/c)Pl(cosθ')を代入します。

するとφ(,t)=Σl=0φl(,t)={1/(4πε0)}Σl=0(2l+1)-∞dt'{1/(2π)}-∞dωexp{-iω(t-t')}(iω/c)l(1)(ωr/c)l(ωr'/c)Pl(cosθ')ρe(',t')d3'を得ます。

ρe(,t)の分布領域が半径aの球面より内部に限られていて放射電磁波の角振動数ωがωa/c<<1を満たす,あるいはT=2π/ωなる振動周期Tまたは波長λ=cTがλ>>aを満たすと仮定します。

 

つまり,放射電磁波の波長λは電荷の存在領域:{r≦a}に比べて,はるかに大きいと仮定します。

ここでx~ 0 でのjl(x)=(-x)l{(1/x)d/dx}l(sinx/x)={xl/(2l+1)!!}[1-x2/{2(2l+3)}+..]なる近似展開式,およびhl(1)(x)=(-x)l{(1/x)d/dx}l{exp(ix)/x}を考えます。

すなわち,ωr'/c~ 0 では,jl(ωr'/c)=(ω/c)l{r'l/(2l+1)!!}[1-(ω/c)2r'2/{2(2l+3)}+..]であり,(iω/c)l(1)(ω/c)=(iω/c)(c)l(-r)l{(1/r)d/dr}l{exp(iωr/c)/(iωr/c)}です。

そこで,jl(ωr'/c)の展開の第1項を取ると(iω/c)l(1)(ωr/c)jl(ωr'/c) ~ (-r)l{(1/r)d/dr}l{exp(iωr/c)/}r'l/(2l+1)!!を得ます。

そして,<ρe(l)(t')>≡∫ρe(',t')r'll(cosθ')3'と置けば,φはφ(,t)={1/(4πε0)}Σl=0{(2l+1)/(2l+1)!!}-∞dt'{1/(2π)}-∞dωexp{-iω(t-t')}(-r)l{(1/r)d/dr}l{exp(iωr/c)/}<ρe(l)(t')>と表現できます。 

これはさらに,φ(,t)={1/(4πε0)}Σl=0{(2l+1)/(2l+1)!!}(-r)l{(1/r)d/dr}l-∞dt'δ(t-t'-r/c){<ρe(l)(t')>/r}と変形されます。

結局,最終形としてφ(,t)=Σl=0φl(,t)={1/(4πε0)}Σl=0{(2l+1)/(2l+1)!!}(-r)l{(1/r)d/dr}l{<ρe(l)(t-r/c)>/r};<ρe(l)(t')>≡∫ρe(',t')r'll(cosθ')3'が得られます。 

同様にして,(,t)=Σl=0l(,t)=0/(4π)}Σl=0{(2l+1)/(2l+1)!!}(-r)l{(1/r)d/dr}l{<e(l)(t-r/c)>/r};<e(l)(t')>≡e(',t')r'll(cosθ')3'を得ます。 

ここで,(,t)の展開で後の便宜のために添字をl→l-1(l=1,2,..)とシフトすると,(,t)=Σl=1l(,t)=0/(4π)}Σl=1{(2l-1)/(2l-1)!!}(-r)l-1{(1/r)d/dr}l-1{<e(l-1)(t-r/c)>/r}となります。 

 さて,得られた多重極展開の各項φl(,t),l(,t)を,"lが小さい順=遠方(rが大)での寄与が大きい順"に見てゆきます。

まず,l=0 ではφ0(,t)=<ρe(0)(t-r/c)>/(4πε0),0(,t)=0 です。

  

<ρe(0)(t-r/c)>=∫ρe(,t-r/c)d3は全電荷量qを示しています。そしてdq/dt=∫{∂ρe (,t)/∂t}d3=-∫div{e(,t)}d3=-∫r=∞e(,t)dS=0 なので,全電荷量qは時間的に一定不変です。

そこで,φ0(,t)=q/(4πε0)であり,これは実際上電荷がqの点電荷による静電場に過ぎませんから,電磁波の放射を問題にする今の場合はこの項を考慮する必要がありません。 

 次にl=1 のとき,φ1(,t)={-1/(4πε0)}(/dr){<ρe(1)(t-r/c)>/r}=<ρ(1)(t-r/c)>/(4πε02)+(d/dt)<ρe(1)(t-r/c)>/(4πε0cr)です。

ここで,<ρe(1)(t-r/c)>=∫ρe(',t-r/c)r'cosθ'3'=∫(')ρe(',t-r/c)d3'=np(t-r/c)と書けます。(t)≡∫ρe(,)d3は電気双極子モーメントです。

そこで,時間微分をd≡d/dtと表わせばφ1(,t)={1/(4πε0)}{np(t-r/c)/2npd(t-r/c)/(cr)}です。

 一方,1(,t)=0/(4π)}e(0)(t-r/c)>/r,<e(0)(t)>=e(,t)d3ですが,(t)≡∫ρe(,)d3よりd≡d/dt=∫{∂ρe(,)/∂t}d3=-∫div{e(,)}d3=∫e(,t)d3です。 

したがって,1(,t)=μ0d(t-r/c)/(4πr)と書けます。

 結局,l=1 の寄与は,φ1(,t)={1/(4πε0)}{np(t-r/c)/2npd(t-r/c)/(cr)},および1(,t)=μ0d(t-r/c)/(4πr)と書けます。

  

 この項の全てが電気双極子ベクトルとその時間微分の寄与で表わされるため,l=1の項による放射を電気双極子放射と呼びます。

ただし,先述したように(t-r/c)は原点Oの取り方に依存するのに対し,時間微分d(t-r/c)は原点の取り方には依りません。

次に,電気双極子放射による電場や磁場の具体的表現を得るため,ポテンシャルの空間微分を考えます。

 

まず,∂j{np(t-r/c)/2}=j{rp(t-r/c)/3}=pj(t-r/c)/33xj{rp(t-r/c)}/5-xj{rpd(t-r/c)/(c4)}より∇{np(t-r/c)/2}=(t-r/c)/33{rp(t-r/c)}/5{rpd(t-r/c)/(c4)}です。

同様にして,∇{npd(t-r/c)/(cr)}=d(t-r/c)/(c2)-2{rpd(t-r/c)}/(c4){rp2d(t-r/c)/(c23)}を得ます。

また,1(,t)/∂t={μ0/(4π)}2d(t-r/c)/r={1/(4πε0)}2d(t-r/c)/(c2)です。 

 そこで,電場は1(,t)≡-∇φ1(,t)-∂1(,t)/∂t={1/(4πε0)}[{-(t-r/c)/33{(t-r/c)}/5}+{-d(t-r/c)/(c2)+3(d(t-r/c))/5}+{-(2d(t-r/c))/(c23)+2d(t-r/c)/(c2)}]となります。

一方,磁場は1(,t)=∇×1(,t)={μ0/(4π)}{-×d(t-r/c)/r3×2d(t-r/c)/(cr2)}です。

 電場,磁場はそれぞれ,d,2dに比例する次の上添字が 0,1,2 の3種の部分に分類できます。

 すなわち,1(0)(,t)={1/(4πε0)}{-(t-r/c)/33((t-r/c))/5},1(0)(,t)=0;1(1)(,t)={1/(4πε0)}{-d(t-r/c)/(c2)+3(d(t-r/c))/5},1(1)(,t)={-μ0/(4π)}{×d(t-r/c)/r3};

 

 および,1(2)(,t)={1/(4πε0)}{(2d(t-r/c))/(c23)-2d(t-r/c)/(c2)},1(2)(,t)={-μ0/(4π)}{×2d(t-r/c)/(cr2)}です。

 

 そこで,電気双極子振動の角振動数ω=ck=2πc/λ=2π/T,または周期T=λ/cを用いて,d=-iω,2d=-ω2とし,r>>cT=λ(=2πc/ω)の遠方領域での主要項を評価して見ます。

  

 すると,1/(4πε0)=c2μ0/(4π)なので,1(0)~ -/(4πε03),1(1)/(4πε0cr2),1(1)iω(×)/(4πε023),1(2)~ω2{(pr)-r2}/(4πε023),1(2)~ω2(×)/(4πε032)です。

 

 そこで,大きさのオーダーは|1(0)|=O(1/3),|1(1)|=|c1(1)|=O(1/2),|1(2)|=|c1(2)|=O(1/)となります。

 

 よって,r>>cT=λの非常に遠方の領域では,O(1/)の1(2),1(2)だけが効いてきます。

  

 ところで,単位時間に単位面積を通過する電磁エネルギーは電磁場のポインティングベクトル(Poynting vector):×(×)/μ0で与えられます。

  

 したがって,/rと置くとr>>cT=λでの実質的なエネルギー流密度は(×)/μ01(2)×1(2)/μ0 ~{μ044/(16π2cr2)}|×|2=O(1/2)と評価されます。

このr>>cT=λの領域を波動帯と呼びます。波動帯でのl=1 の全寄与はk=2π/λより(4π2) S 2/λ4×(定数)で有限です。

 

電気双極子の加速度運動を示す2階時間微分2dによる1(2)×1(2)の寄与のみがr→ ∞で有限に留まり他の寄与は全て消えます。

 

さて,1(2)(,t)={1/(4πε0)}{(2d(t-r/c))/(c23)-2d(t-r/c)/(c2)},1(2)(,t)={-μ0/(4π)}{×2d(t-r/c)/(cr2)}を再掲します。

 

これから,1(2)(,t)={×1(2)(,t)}/c,1(2)(,t)=-c×1(2)(,t)が得られます。よって,1(2),1(2),/rは互いに垂直なベクトルで,この順に右手系を作っています。

 

つまり,波動帯における放射電磁波は真空中の自由電磁波と同じく共に横波であると同時に|1(2)|=c|1(2)|を満たしています。

 

そこで,複素表示でのエネルギー流:のサイクル平均は,<>=(1(2)×1(2)*)/(2μ0)=-(c×1(2)×1(2)*)/(2μ0)={c/(2μ0)}|1(2)|2で与えられます。

 

したがって,波動帯では<>={μ0/(32π2cr2)}|×2d(t-r/c)|2なる表式を得ます。特に角振動数がω=ckの双極子なら<>={μ044/(32π2cr2)}|×|2となります。

 

そこで,単位時間当たりに原点を中心とする半径rの球面を通って放射される双極子放射の全平均エネルギーは,P=∫<dS={μ0/(32π2c)}∫|×2d(t-r/c)|2sinθdθdφです。

 

さらに,2dの方向をθ=0 の極軸に取れば,|×2d(t-r/c)|2=|2d(t-r/c)|2sin2θです。

 

故に,<={μ0/(32π2cr2)}|2d(t-r/c)|2sin2θ,およびP={μ0/(12πc)}|2d(t-r/c)|2 なる陽な表式を得ました。特に角振動数がω=ckの双極子ならP=μ0324/(12π)です。

 

これを見ると,放射される電磁エネルギーの方向分布は双極子が加速振動する2dの方向(θ=0)ではゼロで,その垂直方向で最大であることがわかります。これが双極子放射の特徴です。

  

今日はここで終わります。

 

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第2版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店)

 

PS:彼の業績の詳細はわからないけどお金の使い方についてはポール・エルデシュ(Paul Erdos)は理想的で神のような人でしたね。

 

(「放浪の天才数学者エルデシュ」(The Man Who Loved Only Numbers by Paul Hoffman(平石律子 訳)(草思社)より)

 

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