確率と分布関数(8)(推定1)

　確率と分布関数の続きです。推定(statistical inference)の項目に入ります。

[定義11-1]:母集団の分布ｐ(ｘ;θ)に含まれている未知母数(パラメータ)θを,この母集団から抽出した任意標本(samples):Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nの関数θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)によって推定する方法を点推定法という。

Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nがそれぞれｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_nなる値(標本値)と決まれば,θは1つの実現値θ^*＝θ^(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)を取るので,このθ^*をθの推定値という。また変量θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)を推定量という。

[定義11-2]:未知母数θの推定量θ^がＥ[θ^]＝θを満たすときθ^は不偏性(unbiasedness)を持つといい,このθ^をθの不偏推定量(unbiased estimate)という。

　また,ｂ(θ^)≡Ｅ[θ^]－θを推定量θ^の偏りという。ここで期待値ＥはＸ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nの同時分布にわたって取られる。

[定理11-3]:Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nが母平均μを持つ任意の母集団からの任意標本であるならば,標本平均:＜Ｘ＞≡(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)/ｎ(＝μ^)はμの１つの不偏推定量である。

(証明):Ｅ[Ｘ_j]＝μ (ｊ＝1,2,..,ｎ)よりＥ[＜Ｘ＞]＝(1/ｎ)Σ_j=1ⁿＥ[Ｘ_j]＝μです。(証明終わり)

[例11-4];母集団の分布は 0＜ｘ≦θに対してｐ(ｘ;θ)＝1/θ,それ以外ではｐ(ｘ;θ)＝0 の一様分布とする。

　この一様母集団からの大きさｎの任意標本:Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nに対し,＜Ｘ＞≡(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)/ｎ,Ｘ_(n)≡max(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)とおく。(今の場合,ｐ(ｘ;θ)はｘの確率密度関数である。)

　このとき,θ^₁≡2＜Ｘ＞,θ^₂≡(ｎ＋1)Ｘ_(n)/ｎは共にθの不偏推定量である。

(証明):ｊ＝1,2,..,ｎに対してＥ[Ｘ_j]＝∫₀^θ(ｘ/θ)ｄｘ＝θ/2ですから,Ｅ[θ^₁]＝Ｅ[2＜Ｘ＞]＝θです。

　次に,Ｘ_jの分布関数はｘ＞θならＰ(Ｘ_j≦ｘ)＝1,0＜ｘ≦θならＰ(Ｘ_j≦ｘ)＝ｘ/θ,ｘ≦0 ならＰ(Ｘ_j≦ｘ)＝0 です

　そして,{Ｘ_(n)≦ｘ}＝∩_j=1^∞{Ｘ_j≦ｘ}で,Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nは独立なので,Ｘ_(n)の分布関数はＦ(ｘ)≡Ｐ(Ｘ_(n)≦ｘ)＝Ｐ(∩_j=1^∞{Ｘ_j≦ｘ}＝Π_j=1^∞Ｐ(Ｘ_j≦ｘ)となります。

　そこで,ｘ＞θならＦ(ｘ)＝1,0＜ｘ≦θならＦ(ｘ)＝ｘⁿ/θⁿ,ｘ≦0 ならＦ(ｘ)＝0 です。

　確率密度関数はｆ(ｘ)＝ｄＦ/ｄｘで与えられます。これは,0＜ｘ≦θならｆ(ｘ)＝ｎｘ^n-1/θⁿ,それ以外ではｆ(ｘ)＝ 0です。

　それ故,Ｅ[Ｘ_(n)]＝∫₀^∞ｘｆ(ｘ)ｄｘ＝(ｎ/θⁿ)∫₀^θｘⁿ/ｄｘθⁿ ＝ｎθ/(ｎ＋1)です。故に,Ｅ[θ^₂]＝Ｅ[(ｎ＋1)Ｘ_(n)/ｎ]＝θです。(証明終わり)

[定理11-5]:母集団分布に母分散σ²が存在するとき,分布型に関係なＥ[{Σ_j=1ⁿ(Ｘ_j－＜Ｘ＞)²}/(ｎ－1)]＝σ²が成り立つ。

(証明):母平均をＥ[Ｘ_j]＝μ(ｊ＝1,2,..,ｎ)とすると,Ｘ_j－＜Ｘ＞＝(Ｘ_j－μ)－(＜Ｘ＞－μ)よりＥ[(Ｘ_j－＜Ｘ＞)²]＝Ｅ[(Ｘ_j－μ)²－2(Ｘ_j－μ)(＜Ｘ＞－μ)＋(＜Ｘ＞－μ)²]と書けます。

ところがＥ[(Ｘ_j－μ)²]＝σ²,Ｅ[Σ_j=1ⁿ(Ｘ_j－μ)(＜Ｘ＞－μ)]＝ｎＥ[(＜Ｘ＞－μ)²],また,明らかにＥ[(＜Ｘ＞－μ)²]＝σ²/ｎです。

　それ故,Ｅ[{Σ_j=1ⁿ(Ｘ_j－＜Ｘ＞)²}]＝ｎσ²－2ｎσ²/ｎ＋ｎσ²/ｎ＝(ｎ－1)σ²です。以上から,Ｅ[{Σ_j=1ⁿ(Ｘ_j－＜Ｘ＞)²}/(ｎ－1)]＝σ²が得られます。

※(注):Ｓ₀²≡{Σ_j=1ⁿ(Ｘ_j－＜Ｘ＞)²}/(ｎ－1)を不偏分散(unbiased variance)という。

[定義11-6]:平均がμ,分散がσ²の母集団からの大きさｎの任意標本Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nに対してμの推定量としてμ^≡ｃ₁Ｘ₁＋ｃ₂Ｘ₂＋..＋ｃ_nＸ_nを取る。

　標本の線形関数:μ^がVar[μ^]を最小にする不偏推定量となるように定数ｃ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)を定める。このときのμ^をμの最良線形不偏推定量という。

[例11-7]:μ^≡ｃ₁Ｘ₁＋ｃ₂Ｘ₂＋..＋ｃ_nＸ_nがμの最良線形不偏推定量ならμ^は不偏推定量なのでＥ[μ^]＝Σ_j=1ⁿｃ_jＥ[Ｘ_j]＝μ(Σ_j=1ⁿｃ_j)＝μです。故にΣ_j=1ⁿｃ_j＝1です。

一方,Var[μ^]＝Σ_j=1ⁿｃ_j²Var[Ｘ_j]＝(Σ_j=1ⁿｃ_j²)σ²です。

以上から,最良線形不偏推定量を求めるには,Σ_j=1ⁿｃ_j＝1の下でΣ_j=1ⁿｃ_j²を最小にすればいいことになります。

Σ_j=1ⁿｃ_j＝1,および.Σ_j=1ⁿｃ_j²＝1の微分はそれぞれｄ(Σ_j=1ⁿｃ_j)＝Σ_j=1ⁿｄｃ_j＝0,およびｄ(Σ_j=1ⁿｃ_j²)＝2Σ_j=1ⁿｃ_jｄｃ_j＝0 です。

λをラグランジュの未定係数として,極小条件:Σ_j=1ⁿ(λ＋2ｃ_j)ｄｃ_j＝0 より,ｃ_j＝－λ/2＝(一定)を得られます。

よって,Σ_j=1ⁿｃ_j＝1よりｃ_j＝1/ｎがμ^≡ｃ₁Ｘ₁＋ｃ₂Ｘ₂＋..＋ｃ_nＸ_nの最良線形不偏推定量を与えることがわかります。(証明終わり)

[定義11-8]:θ^₁とθ^₂が共にθの不偏推定量であるとき,Var[θ^₁]＜Var[θ^₂]ならθ^₁の方がθ^₂よりも有効である(efficient)という。

　そして,母数θの全ての不偏推定量のうち最も分散の小さいものを,最も有効な推定量,または最良(best)推定量という。

[定理11-9]:(クラーメル・ラオの不等式(Cramer-Rao inequality),or Ｃ-Ｒ不等式)

　母集団分布ｐ(ｘ；θ)は次の４つの条件:正則条件(1)～(4)満たすとする。(ただし,ここではｐ(ｘ；θ)をｐ.ｄ.ｆ.とみなす。)

(1)－∞＜ｘ＜∞の全てのｘに対して∂ｐ(ｘ；θ)/∂θが存在する。

(2)∫_-∞^∞∫_-∞^∞..∫_-∞^∞Π_j=1ⁿｐ(ｘ_j；θ)ｄｘ₁ｄｘ₂.. ｄｘ_nは積分と微分∂/∂θの順序の交換ができる。

(3)Ｅ[{∂logｐ(Ｘ;θ)/∂θ}²]＜∞

(4)∫_-∞^∞∫_-∞^∞..∫_-∞^∞θ^(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n) Π_j=1ⁿｐ(ｘ_j；θ)ｄｘ₁ｄｘ₂.. ｄｘ_nはθに関して微分可能である。

　この正則条件の下でθの不偏推定量θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)の分散はVar[θ^]≧1/(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;θ)]/∂θ}²])なる不等式を満たす。

等号の成立は,Σ_j=1ⁿ[{∂[logｐ(Ｘ_j;θ)]/∂θ}＝ｋ{θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)－θ}を満たすｎ,θによらない定数ｋが存在するときです。

(証明):θ^が不偏推定量であるという仮定から,θ＝∫_-∞^∞∫_-∞^∞..∫_-∞^∞θ^(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)Π_j=1ⁿｐ(ｘ_j;θ)ｄｘ₁ｄｘ₂.. ｄｘ_nです。

　両辺をθで微分すると,1＝∫_-∞^∞∫_-∞^∞..∫_-∞^∞θ^(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)[Σ_j=1ⁿΠ_k=1,k≠jⁿｐ(ｘ_k；θ){∂ｐ(ｘ_j；θ)/∂θ}]ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_n＝∫_-∞^∞∫_-∞^∞..∫_-∞^∞Π_j=1ⁿθ^(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)[Σ_j=1ⁿΠ_k=1,ⁿｐ(ｘ_k；θ){∂[logｐ(ｘ_j；θ)]/∂θ}]ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_nです。

　よって,1＝Σ_j=1ⁿＥ[θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n){∂{logｐ(ｘ_j;θ)]/∂θ}]が成立します。

　一方,明らかに,1＝∫_-∞^∞∫_-∞^∞..∫_-∞^∞Π_j=1ⁿｐ(ｘ_j;θ)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_nです。

　これも両辺をθで微分すると,上と同様にして 0＝Σ_j=1ⁿＥ[∂[logｐ(Ｘ_j;θ)]/∂θ]を得ます。

　したがって,1＝Ｅ[{θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)－θ}{Σ_j=1ⁿ∂[logｐ(Ｘ_j;θ)]/∂θ}]と書けます。

　これにシュワルツの不等式(Schwarz inequality)を適用すれば1≦Ｅ[{θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)－θ}²]/Ｅ[{Σ_j=1ⁿ∂logｐ(ｘ_j;θ)/∂θ}²]が得られます。

そして,Var(θ^)＝Ｅ[{θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)－θ}²]より,これはVar(θ^)≧1/Ｅ[{Σ_j=1ⁿ∂logｐ(Ｘ_j;θ)/∂θ}²])を満たします。

等号はΣ_j=1ⁿ{∂[logｐ(ｘ_j;θ)]/∂θ}＝ｋ[{θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)－θ}を満たす定数ｋが存在するときに限られます。

なぜなら,一般にシュワルツの不等式は数空間のベクトルｘ,ｙに対して|(ｘｙ)|²≦|ｘ|²|ｙ|²が成立するというもので,等号はｘとｙが同じ方向のベクトルのとき,例えばｙ＝ｋｘと書ける場合だけ成立します。

　さて,∀ｊに対して∫_-∞^∞ｐ(ｘ_j;θ)ｄｘ_j＝1より,∫_-∞^∞{∂logｐ(ｘ_j;θ)/∂θ}ｐ(ｘ_j;θ)ｄｘ_j＝0 です。したがってＥ[∂[logｐ(Ｘ_j;θ)]/∂θ]＝0 です。

それ故,ｊ≠ｋならＥ[{∂[logｐ(Ｘ_j;θ)]/∂θ}{∂[logｐ(Ｘ_k；θ)]/∂θ}]＝∫_-∞^∞∫_-∞^∞..∫_-∞^∞{∂[logｐ(ｘ_j;θ)]/∂θ}{∂[logｐ(ｘ_k；θ)]/∂θ}Π_j=1ⁿｐ(ｘ_j;θ)ｄｘ₁ｄｘ₂.. ｄｘ_n＝Ｅ[∂[logｐ(Ｘ_j;θ)]/∂θ]Ｅ[∂log[ｐ(Ｘ_k;θ)]/∂θ]＝0 です。

　そこでＥ[{Σ_j=1ⁿ∂[logｐ(Ｘ_j;θ)]/∂θ}²]＝Σ_j=1ⁿＥ[{∂[logｐ(Ｘ_j;θ)]/∂θ}²]＝ｎＥ[{∂[logｐ(ｘ;θ)]/∂θ}²]を得ます。故に,Var(θ^)≧1/(ｎＥ[{∂[logｐ(ｘ_j;θ)]/∂θ}²])です。

　これをクラーメル・ラオの不等式(Cramer-Rao inequality),or Ｃ-Ｒ不等式といいます。(証明終わり)

[定義11-10]:Ｃ-Ｒ不等式で等号を成り立たせるθ^,つまりΣ_j=1ⁿ{∂[logｐ(ｘ_j;θ)]/∂θ}＝ｋ[{θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)－θ}を満たすｋが存在するようなθ^を有効推定量,または最小分散不偏推定量(minimum-variance unbiased estimator)という。

[例11-11]:母集団分布がｐ(ｘ;λ)＝λ^x exp(－λ)/ｘ! (ｘ＝0,1,2,..)なる分布のポアソン(Poisson)母集団のパラメータλの有効推定量は＜Ｘ＞＝(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..＋Ｘ_n)/ｎである。

(証明):logｐ(ｘ;λ)＝ｘlogλ－λ－log(ｘ!)ですから,∂[logｐ(ｘ;λ)]/∂λ＝－1＋ｘ/λです。

　故に,ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;θ)]/∂θ}²]＝ｎＥ[(－1＋ｘ/λ)²]＝ｎ{Ｅ[1]－2Ｅ[Ｘ]/λ＋Ｅ[Ｘ²]/λ²}＝ｎ{1＋2λ/λ＋(λ²＋λ)/λ²}＝ｎ/λとなります。

　一方,Var[＜Ｘ＞]＝Σ_j=1ⁿVar[Ｘ_j]/ｎ²＝λ/ｎです。したがって,Var[＜Ｘ＞]＝1/(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ_j;θ)]/∂θ}²])を満たします。

　等号が成り立っていますから,＜Ｘ＞＝(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..＋Ｘ_n)/ｎは有効推定量です。(証明終わり)

[例11-12]:正規母集団Ｎ[μ,σ²]からの任意標本をＸ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nとすれば,標本平均＜Ｘ＞＝(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..＋Ｘ_n)/ｎは母平均μの有効推定量である。

(証明):ｐ(ｘ;μ)＝(2π)^-1/2σ^-1exp{－(ｘ－μ)²/(2σ²)}(－∞＜ｘ＜∞)ですから,∂logｐ(ｘ;μ)/∂μ＝(ｘ－μ)/σ²です。故に,Ｅ[{∂[logｐ(Ｘ；μ)]/∂μ}²]＝Ｅ[(ｘ－μ)]/σ⁴＝1/σ²です。

　そこで,1/(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;μ)]/∂μ}²])＝σ²/ｎです。一方,Var[＜Ｘ＞]＝Σ_j=1ⁿ Var[Ｘ_j]/ｎ²＝σ²/ｎです。故に,＜Ｘ＞は有効推定量です。(証明終わり)

[例11-13]:Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nが次の各確率分布を持つ母集団からの任意標本であるとき,θの有効推定量を求めます。

(1)ｐ(ｘ;θ)＝_NＣ_xθ^x(1－θ)^N-X (ｘ＝0,1,2,..,Ｎ,0＜θ＜1)

(2)ｐ(ｘ;θ)＝{1/(Γ(α)θ^α)}ｘ^α-1exp(－ｘ/θ)(ｘ≧0,αは定数)

(解):(1)logｐ(ｘ;θ)＝log _NＣ_x＋ｘlogθ＋(Ｎ－ｘ)log(1－θ),故に∂[logｐ(ｘ;θ)]/∂θ＝ｘ/θ－(Ｎ－ｘ)/(1－θ)＝(ｘ－Ｎθ)/{θ(1－θ)}です。

　したがって,Ｅ[{∂[logｐ(Ｘ;θ)]/∂θ}²]＝Ｅ[(ｘ－Ｎθ)²]/{θ²(1－θ)²}＝Ｎθ(1－θ)/{θ²(1－θ)²}＝Ｎ/{θ(1－θ)},それ故,1/(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;θ)]/∂θ}²])＝θ(1－θ)/(ｎＮ)です。

　ところで,＜Ｘ＞≡(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..＋Ｘ_n)/ｎと置くとＥ[＜Ｘ＞]＝Ｎθ,Var[＜Ｘ＞]＝Ｎθ(1－θ)/ｎ,すなわち,Var[＜Ｘ＞/Ｎ]＝θ(1－θ)/(ｎＮ)＝1/(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ；θ)]/∂θ}²])です。

　θの有効推定量は＜Ｘ＞/Ｎ＝(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..＋Ｘ_n)/(ｎＮ)です。

(2)logｐ(ｘ;θ)＝－logΓ(α)－αlogθ＋(α－1)logｘ－ｘ/θ,故に∂[logｐ(ｘ;θ)]/∂θ＝－α/θ＋ｘ/θ²＝(ｘ－αθ)/θ²です。

　したがって,Ｅ[{∂[logｐ(Ｘ;θ)]/∂θ}²]＝Ｅ[(ｘ－αθ)²]/θ⁴＝αθ²/θ⁴＝α/θ²,それ故,1/(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;θ)]/∂θ}²])＝θ²/(ｎα)です。

　＜Ｘ＞≡(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..＋Ｘ_n)/ｎと置くと,Ｅ[＜Ｘ＞]＝αθ,Var[＜Ｘ＞]＝αθ²/ｎ,すなわち,Var[＜Ｘ＞/α]＝θ²/(ｎα)＝1/(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ；θ)]/∂θ}²])です。

　θの有効推定量は＜Ｘ＞/α＝(Ｘ₁＋Ｘ₂＋..＋Ｘ_n)/(ｎα)です。

[定義11-14]:サンプル数をｎとするとき,Ｅ[θ^]≠θであるがlim_n→∞Ｅ[θ^]＝θが成立するとき,θ^＝θ^(Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_n)をθの漸近不偏推定量(asymptotic unbiased estimator)という。

[定義11-15]:ｅ[θ^]≡(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;θ)]/∂θ}²]Var[θ^])^-1をθ^の有効性(efficiency)という。

これを用いるとＣ-Ｒ不等式は 0＜ｅ[θ^]≦1と書けます。

[例11-16]:Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nを正規母集団Ｎ[0,σ²]からの任意標本とし,σ²の推定量をσ²^≡Σ_j=1ⁿＸ_j²/ｎとするときｅ[σ²^]を求める。

(解)ｐ(ｘ;σ²)＝(2π)^-1/2σ^-1exp{－ｘ²/(2σ²)}より,logｐ(ｘ;σ²)＝－(1/2)log(2π)－(1/2)logσ²－ｘ²/(2σ²)なので,∂[logｐ(ｘ;σ²)]/∂σ²＝－1/(2σ²)＋ｘ²/{2(σ²)²}となります。

　故に,Ｅ[{∂[logｐ(Ｘ;σ²)]/∂σ²}²]＝(2π)^-1/2σ^-1∫_-∞^∞[－1/(2σ²)＋ｘ²/{2(σ²)²}]²exp{－ｘ²/(2σ²)}ｄｘ＝(2π)^-1/2{1/(4σ⁴)}∫_-∞^∞(1－2ｔ²＋ｔ⁴) ²exp(－ｔ²/2)ｄｔ＝1/(2σ⁴)を得ます。

　それ故,ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;σ²)]/∂σ²}²]＝ｎ/(2σ⁴)です。

　一方,Var[σ²^]＝Var[Σ_j=1ⁿＸ_j²/ｎ]＝Var[Ｘ²]/ｎで,Var[Ｘ²]＝Ｅ[(Ｘ²－Ｅ[Ｘ²])²]＝Ｅ[Ｘ⁴]－Ｅ[Ｘ²]²です。

　Ｅ[Ｘ]＝0 なのでＥ[Ｘ²]＝Var[Ｘ]＝σ²です。また,Ｅ[Ｘ⁴]＝(2π)^-1/2σ^-1∫_-∞^∞ｘ⁴exp{－ｘ²/(2σ²)}ｄｘ＝3σ⁴より,Var[Ｘ²]＝2σ⁴,Var[σ²^]＝2σ⁴/ｎです。

以上から,ｅ[σ²^]＝(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;σ²)]/∂σ²}²]Var[σ²^])^-1＝1です。(終わり)

[例11-17]:Ｘ₁,Ｘ₂,..,Ｘ_nを正規母集団Ｎ[0,σ²]からの任意標本とし,σ²の推定量を不偏分散σ²^≡Σ_j=1ⁿ(Ｘ_j－＜Ｘ＞)²/(ｎ－1)とするとき有効性ｅ[σ²^]を求める。

(解)ｐ(ｘ;σ²)＝(2π)^-1/2σ^-1exp{－ｘ²/(2σ²)}よりｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;σ²)]/∂σ²}²]＝ｎ/(2σ⁴)です。(すぐ前の[例11-16]参照)

　一方,Var[σ²^]＝Var[Σ_j=1ⁿ(Ｘ_j－＜Ｘ＞)²/(ｎ－1)]＝Ｅ[(Σ_j=1ⁿ(Ｘ_j－＜Ｘ＞)²/(ｎ－1)－σ²)²]＝Ｅ[(Σ_j=1ⁿＸ_j²－ｎ＜Ｘ＞²)²]/(ｎ－1)²－σ⁴＝(ｎ²－1)/(ｎ－1)²－σ⁴＝2σ⁴/(ｎ－1)です。(計算略)

したがって,ｅ[σ²^]＝(ｎＥ[{∂[logｐ(Ｘ;σ²)]/∂σ²}²]Var[σ²^])^-1＝(ｎ－1)/ｎ＜1です。(終わり)

途中ですが今日はここまでにします。(つづく)

参考文献:藤沢武久 著「新編 確率・統計」(日本理工出版会),ラダクリシュナ-ラオ著(奥野忠一,篠崎信雄,古河陽子,鷲見泰俊,長田 洋,広崎昭太,矢島敬二 訳)「統計的推測とその応用」(東京図書)

ＰＳ:依然として風邪が治りません。

　以前は市販のカゼ薬を飲んで寝ていれば長くても３日くらいで完治したし,そもそも風邪など５年に１度くらいしか引きませんでした。ずっと臨時雇いだったので本格的に病気になると職を失いますから気を張っていたこともあったでしょうね。

　しかし,2006年暮れから2007年の初めに心臓病のせいで肺に水がたまり,その後２度目の入院で心臓手術して退院した後は,世間の気候の通りに病気になりやすく,最初のうち軽くて治ったかなと思ったときからが長くていつも10日以上もかかります。糖尿病のせいもあるでしょう。

　一人では立ち上がって部屋を出るのさえ苦しいので,医者までたどりつくこともできないし,食欲もないので最低限飲み物だけで２,３日臥せっています。

　３日分の薬もなくなりました。睡眠薬で無理やり寝てますが飯島愛さんの例もあるし,睡眠しているうちに肺炎で死ぬこともありますね。

　高校を出て一人暮らしを始めて以来42年足らず,いわば天涯孤独なので病気で寝込むというのは慣れているはずなのですが,何もする気力がなく無理に動くと苦しくなるので困ることが多いですね。

　41年前,故郷を出てからは,医者とか,看護師とか,お金を払って世話してもらう以外には,看病してもらったのは20代後半の頃,利尻島出身で白山に住んでいたガールフレンドの家で布団に寝て濡れタオルを額に乗せてもらったり,おカユ?(焼きそば？)を作ってもらったという記憶しかないですね。さびしい人生だな。。

　↑ また弱音を吐いて同情でも買おうと考えてる。。自分のことばかりで,お前は他人の看病もしたことないじゃないか。。。

ＰＳ２:このブログを書くために数時間根をつめていたら心持ち症状が軽くなったような気がします。