原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(1)

　原子核のγ崩壊についての記事は私自身の古典電磁気学の復習のために意図していた時期よりも２ヶ月も遅れました。やっと本題に入れます。

　ちなみにα崩壊の話なら,2006年10/４,10/５の記事「原子核のα崩壊の理論(Ⅰ)」,「原子核のα崩壊の理論(Ⅱ)」があります。

　さて,原子核:^Z_AＸ_Nの励起状態|ｉ＞≡|Ｉ_i^πiＭ_i＞がγ線を放出して終状態|ｆ＞≡|Ｉ_f^πfＭ_f＞へ転移(transit)するとします。

ただし,Ｍは"核スピンＩのｚ軸成分＝磁気量子数"です。また,放出γ線のエネルギーをＥ_γ≡ｈ_cω＝ｈ_cｃ|ｋ|とします。ｃは光速,ｋはγ線の波数ベクトルです。ｈ_c≡ｈ/(2π)で,ｈはPlanck定数です。

一定のスピンの偏極(polarization):(Ｍ_i－Ｍ_f)を持つ"γ線の量子＝光子(photon)"が単位時間に波数ベクトルｋの周りの微小立体角ｄΩに放出される確率をｕ(Ｍ_i,Ｍ_f)ｄΩとすると,摂動論からこれはよい近似でｕ(Ｍ_i,Ｍ_f)ｄΩ＝(2π/ｈ_c)|＜ｆ|Ｈ_γ'|ｉ＞|²(ｄｎ/ｄＥ_γ)ｄΩと表わされます。

ここにＨ_γ'は,"電磁場(γ線)と核の相互作用＝電磁相互作用"のハミルトニアン(Hamiltonian)です。これは具体的にはＨ_γ'＝∫ｊ_e^μ(ｒ,ｔ)Ａ_μ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ－∫ｊ_e(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒで与えられます。

ただしｊ_e^μ＝(ｃρ_e,ｊ_e)＝(ｃρ_e,ρ_eｖ),Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)です。ρ_e(ｒ,ｔ)は電荷密度,ｊ_e (ｒ,ｔ)は電流密度です。

ｖを時刻ｔに位置ｒにある電荷の速度とすると,伝導電流が存在しないときにはｊ_e(ｒ,ｔ)＝ρ_e(ｒ,ｔ)ｖと書くことができます。

時刻ｔでの全電荷をｑ(ｔ)＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒとします。また,"全偏極＝電気双極子(electric dipole)"をＰ(ｔ)＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)ｒｄ³ｒで,磁気双極子(magnetic dipole)をμ(ｔ)＝(1/2)∫ｒ×ｊ_e(ｒ,ｔ)ｄ³ｒで表わします。

また,電気四重極子(electric quadrapole)をＱ_ij(ｔ)＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)(3ｘ_iｘ_j－δ_ijｒ²)ｄ³ｒとします。磁気四重極子は通常速度では電気のそれに比べて無視できる量なので詳細な表現は割愛します。

元々,双極子,四重極子etc.の多重極展開(multi-pole expansion)はラプラス方程式(Laplace eq.)やポアソン方程式(Poisson eq.)に従う静電場,または静磁場に適用されたものです。

すなわち,静電場,または静磁場をそれぞれ点電荷の球対称なクーロン電場(Coulomb field)とその微分,または双極子電流によるアンペール(Amprere')やビオ・サバール(Biot-Savart)の磁場とその微分を与える動径関数と球面調和関数(spherical harmonics)の積で表わされる項の和で表現するものです。

静電場,静磁場を与える一般的な電磁ポテンシャルはφ(ｒ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'[ρ_e(ｒ')/|ｒ－ｒ'|],Ａ(ｒ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｊ_e(ｒ')/|ｒ－ｒ'|]です。

この電磁ポテンシャルφ(ｒ),Ａ(ｒ)の４成分のうちの１つをψ(ｒ)と書けば,これはラプラス方程式∇²ψ(ｒ)＝0 を満たします。

ただし,∇²はラプラス演算子(Laplacian)で,∇²≡∂²/∂ｘ²＋∂²/∂ｙ²＋∂²/∂ｚ²で定義される微分演算子です。

ラプラス演算子を極座標で書くと,∇²＝(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²と書けます。ただしＬは軌道角運動量:Ｌ≡ｒ×ｐ＝ｒ×(－iｈ_c∇)です。

軌道角運動量の成分の極座標表示は,Ｌ_x＝－iｈ_c(ｙ∂/∂ｚ－ｚ∂/∂ｙ)＝－iｈ_c{－sinφ(∂/∂θ)－cosθsin^-1θcosφ(∂/∂φ)},Ｌ_y＝－iｈ_c(ｚ∂/∂ｘ－ｘ∂/∂ｚ)＝－iｈ_c{cosφ(∂/∂θ)－cosθsin^-1θsinφ(∂/∂φ)},Ｌ_z＝－iｈ_c(ｘ∂/∂ｙ－ｙ∂/∂ｘ)＝－iｈ_c(∂/∂φ)です。

故に,Ｌ²＝ｈ_c²[sin^-1θ(∂/∂θ)sinθ(∂/∂θ)＋sin^-2θ(∂²/∂φ₂)]となるためにラプラス演算子が∇²＝ｒ^-2(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²と表わされるわけです。

そこで.ラプラス方程式の一般解はψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lＲ_l(ｒ)Ｙ_l^m(Ω)なる多重極展開として表現できます。

Ｙ_l^m(Ω)＝Ｙ_l^m(θ,φ)は球面調和関数です。これは軌道角運動量の固有値方程式:Ｌ²Ｙ_l^m(Ω) ＝ｌ(ｌ＋1)ｈ_c²Ｙ_l^m(Ω),およびＬ_zＹ_l^m(Ω)＝ｍｈ_cＹ_l^m(Ω)を満たします。

一方,動径関数Ｒ_l(ｒ)は常微分方程式:{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0 の解です。

Ｒ_l(ｒ)に対するこの２階方程式の独立な解としてｒ^l,ｒ^-(l+1)を採用すれば,ラプラス方程式の一般解の１表現:ψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[Ａ_lｒ^l＋Ｂ_lｒ^-(l+1)]Ｙ_l^m(Ω)を得ます。

静電磁場ではなく"共変ゲージ＝ローレンツゲージ(Lorenz gauge)":∇Ａ＋ｃ^-2(∂φ/∂ｔ)＝0 を満たす一般の時間に依存する場の電磁ポテンシャルφ,Ａを遅延ポテンシャル(retarded- potential)で表わすと,φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'[ρ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|],Ａ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'[ｊ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|];ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃと書けます。

これらを見ると,電荷分布ρ_e(ｒ,ｔ),電流密度ｊ_e(ｒ,ｔ)の時間ｔへの依存性を除けば電磁ポテンシャルは静場のクーロン電場やアンペール磁場のそれに一致する形をしています。

しかし,静電場,静磁場のポテンシャルφ(ｒ),Ａ(ｒ)がラプラス方程式:∇²φ(ｒ)＝0,∇²Ａ(ｒ)＝0 の解であるのに対し,一般の場は"時間に依存する波動方程式＝ダランベール(D'Alembert)の方程式":□φ(ｒ,ｔ)＝0,□Ａ(ｒ,ｔ)＝0 の解です。

ただし,□はダランベール演算子(D'Alembertian)と呼ばれる微分演算子で,□≡ｃ^-2(∂²/∂ｔ²)－∇²で定義されます。

遅延ポテンシャルはローレンツゲージ∇Ａ＋ｃ^-2(∂φ/∂ｔ)＝0 を満たしていて,かつＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａによって電場Ｅ,磁場Ｂを与えます。

もしも,場が時間ｔによらない静電場,静磁場なら∂φ/∂ｔ＝0,∂Ａ/∂ｔ＝0 なのでローレンツゲージ∇Ａ＋ｃ^-2(∂φ/∂ｔ)＝0 はクーロンゲージ∇Ａ＝0 に帰着します。

また,Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａも静場の場合の電場,磁場の表現Ｅ＝－∇φ,Ｂ＝∇×Ａに帰着します。

さて,静場でない一般的な場の時間依存部分を変数分離してφ(ｒ,ｔ)＝∫φ^(ｒ,ω)exp(－iωｔ)ｄω,Ａ(ｒ,ｔ)＝∫Ａ^(ｒ,ω)exp(－iωｔ)ｄωとフーリエ(Fourier)積分で表現してみます。

すると,φ^(ｒ,ω),Ａ^(ｒ,ω)はヘルムホルツ方程式(Helmholtz eq.)の解です。すなわち,φ^(ｒ,ω),Ａ^(ｒ,ω)の４成分の任意の１つをψ(ｒ,ω)と書けば,これは方程式(∇²＋ｋ²)ψ(ｒ,ω)＝0 を満たします。ただしｋ＝ω/ｃです。

特に,複素表現で場の時間依存性が因子:exp(－iωt)のみに比例する場合,つまり角振動数ωが一定の単色平面波の場合を仮定すれば,電磁ポテンシャルはφ(ｒ,ｔ)＝φ^(ｒ)exp(－iωt),Ａ(ｒ,ｔ)＝Ａ^(ｒ)exp(－iωt)と書けます。

このときのφ^(ｒ),Ａ^(ｒ)の４成分のうちの任意の１つψ(ｒ)ももちろんヘルムホルツ方程式(∇²＋ｋ²)ψ(ｒ)＝0 を満たします。

それ故,静場のラプラス方程式∇²ψ(ｒ)＝0 の一般解と同じく,ヘルムホルツ方程式の一般解もψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lＲ_l(ｒ)Ｙ_l^m(Ω)と多重極展開されます。

動径関数Ｒ_l(ｒ)は静場では{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0 を満たすのに対し,一般の場では{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0 を満たします。

そこで,ヘルムホルツ方程式の一般解としてψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｙ_l^m(Ω)なる展開式を得ます。ただしj_l(ｘ),ｎ_l(ｘ)は球面ベッセル関数(spherical Bessel function)です。

このj_l(ｘ),ｎ_l(ｘ)はベッセル関数Ｊ_l+1/2(ｘ),Ｎ_l+1/2(ｘ)からj_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｊ_l+1/2(ｘ),ｎ_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｎ_l+1/2(ｘ)で定義されます。

これらは,j_l(ｘ)＝(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l(sinｘ/ｘ),ｎ_l(ｘ)＝－(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l(cosｘ/ｘ)なる表現を持ちますからｘ＝0 の近傍ではj_l(ｘ)→{ｘ^l/(2ｌ＋1)!!}[1－ｘ²/{2(2ｌ＋１)}＋..],ｎ_l(ｘ)→－(2ｌ－1)!!/ｘ^l+1と近似できます。

記号(2ｌ＋1)!!は,(2ｌ＋1)!!≡(2ｌ＋1)(2ｌ－1)(2ｌ－3)..5・3・1,(2ｌ－1)!!≡(2ｌ－1)(2ｌ－31)(2ｌ－5)..5・3・1です。

原子核から放射される個々のγ線は単一の角振動数ωを持つことを想定して,φ(ｒ,ｔ)＝φ^(ｒ)exp(－iωt),Ａ(ｒ,ｔ)＝Ａ^(ｒ)exp(－iωt)なる形の単色波を仮定した場合,ローレンツ条件:∇Ａ＋ｃ^-2(∂φ/∂ｔ)＝0 は∇Ａ^－iωｃ^-2φ^＝0に帰着します。

また,電場,磁場の表現:Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×ＡはＥ^＝－∇φ^＋iωＡ^,Ｂ^＝∇×Ａ^に帰着します。

変動の少ない電荷や電流から放射された電磁波であれば,φ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)の形は平面波exp{i(ｋｒ－ωｔ)}に近いと考えられます。そこでローレンツ条件∇Ａ^－iωｃ^-2φ^＝0 はさらにｋＡ^－ωｃ^-2φ^～ 0 と近似されます。

したがって,Ａ^とφ^の大きさを比較すると,ｋ＝|ｋ|＝ω/ｃよりｋ|Ａ^|～ωｃ^-2|φ^|なのでオーダー的には|Ａ^|～|φ^|/ｃです。

以上から,原子核の中心ｒ＝0 に集中した電荷の時間変動が激しくない:∂ρ/∂ｔ～ 0,ω/ｃ＜＜１と見なせる場合は,φ,Ａの１成分ψ(ｒ)の展開:ψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[Ａ_lmj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lmｎ_l(ｋｒ)]Ｙ_l^m(θ,φ)を静場の展開:ψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[Ａ_lmｒ^l＋Ｂ_lmｒ^-(l+1)]Ｙ_l^m(θ,φ)で近似してよいと考えられます。

つまり,電荷の変動が激しくない場合の近似は,j_l(ｋｒ)を(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!で,ｎ_l(ｋｒ)を(ｋｒ)^-(l+1)(2ｌ－1)!!で置き換える近似に相当しています。

こうした近似が有効な場合,電磁相互作用Ｈ_γ'＝∫ρ_e(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ－∫ｊ_e(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒの多重極展開は,次のようなｒによるテイラー(Tayler)展開と同等であると思われます。

まず,φ(ｒ)のテイラー展開:φ(ｒ)＝φ(0)＋ｒ∇φ^＋(1/2)Σ_ijｘ_iｘ_j(∂_i∂_jφ)＋..＝φ(0)－ｒＥ(0)－(1/2)Σ_ijｘ_iｘ_j(∂_iＥ_j)＋..より∫ρ_e(ｒ)φ(ｒ)ｄ³ｒ＝∫ρ_e(ｒ)φ(0)ｄ³ｒ－[∫ρ_e(ｒ)ｒｄ³ｒ]Ｅ(0)－(1/2)Σ_ij[∫ρ_e(ｒ)(ｘ_iｘ_j)ｄ³ｒ](∂_iＥ_j)＋..＝ｑφ(0)－ＰＥ(0)－(1/6)Σ_ijＱ_ij∂_iＥ_j＋(1/2)∇Ｅ∫ρ_e(ｒ)ｒ²ｄ³ｒ＋..を得ます。

しかし,電荷ｑが中心に集中している原子核ならρ_e(ｒ)～ｑδ³(ｒ)ですから,∇Ｅ＝ρ_e(0)/ε₀＝ｑδ³(0)/ε₀,∫ρ_e(ｒ)ｒ²ｄ³ｒ＝ｑ∫δ³(ｒ)ｒ²ｄ³ｒ＝0 より(1/2)∇Ｅ∫ρ_e(ｒ)ｒ²ｄ³ｒ～ｑ²∫{ｒδ³(ｒ)}²ｄ³ｒ＝0 となります。

結局,∫ρ_e(ｒ)φ(ｒ)ｄ³ｒ＝ｑφ(0)－ＰＥ(0)－(1/6)Σ_ijＱ_ij∂_iＥ_j＋..なる展開式が得られます。

一方,－∫ｊ_e(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒは－∫ｊ_e(ｒ)Ａ(ｒ)ｄ³ｒ＝－Σ_k∫ｊ_ek(ｒ){Ａ_k(0)＋ｘ_j∂_jＡ_k＋(1/2)Σ_ijｘ_iｘ_j(∂_i∂_jＡ_k)＋..}ｄ³ｒ＝－[∫ｊ_e(ｒ)ｄ³ｒ]Ａ(0)－Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_iｘ_i∂_iＡ_k]ｄ³ｒ＋..と表わすことができです。

右辺第１項は全空間の総電流がゼロであること:∫ｊ_e(ｒ)ｄ³ｒ＝0 からゼロです。

実は,電荷密度の変動がゼロ:∂ρ_e/∂ｔ＝0 と近似できるときには電荷の保存の方程式が∇ｊ_e(ｒ)＝0 なので∇{ｘ_kｊ_e(ｒ)}＝Σ_i∂_i{ｘ_kｊ_ei(ｒ)}＝ｊ_ek(ｒ)です。そこで,常に∫ｊ_ek(ｒ)ｄ³ｒ＝0 (ｋ＝1,2,3)が成立します。

そして,右辺第２項－Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_iｘ_i∂_iＡ_k]ｄ³ｒを評価するため公式:[Ａ×(∇×Ｂ)]_k＝Σ_ijΣ_lmε_kijＡ_iε_jlm∂_lＢ_m＝Σ_ilm[(δ_klδ_im－δ_kmδ_il)Ａ_i∂_lＢ_m]＝Σ_i[Ａ_i∂_kＢ_i－Ａ_i∂_iＢ_k]＝(Ａ∂_kＢ)－(Ａ∇)Ｂ_k,または－Σ_i(Ａ_i∂_iＢ_k)＝[Ａ×(∇×Ｂ)]_k－(Ａ∂_kＢ)を用います。

この最後の式:－Σ_i(Ａ_i∂_iＢ_k)＝[Ａ×(∇×Ｂ)]_k－(Ａ∂_kＢ)においてＡをｒ,ＢをＡ(ｒ)|_ｒ→0で置き換えると－Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)＝[ｒ×(∇×Ａ)]_k－(ｒ∂_kＡ)を得ます。

Ｂ＝∇×Ａですから,これは－Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)＝(ｒ×Ｂ)_k－(ｒ∂_kＡ)です。さらにｊ_e(ｒ)との積和:Σ_kｊ_ek(ｒ)を取ると－Σ_kｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)＝ｊ_e(ｒ)(ｒ×Ｂ)－Σ_kｊ_ek(ｒ)(ｒ∂_kＡ)＝－[ｒ×ｊ_e(ｒ)]Ｂ－Σ_kｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_kＡ_i)です。

ところが,定常∇ｊ_e(ｒ)＝0 の場合,∇{ｘ_jｘ_kｊ_e(ｒ)}＝Σ_i∂_i{ｘ_jｘ_kｊ_ei(ｒ)}＝ｘ_kｊ_ei(ｒ)＋ｘ_kｊ_ek(ｒ)により,∫{ｘ_kｊ_ei(ｒ)＋ｘ_iｊ_ek(ｒ)}ｄ³ｒ＝0 ですからΣ_kΣ_i[∂_iＡ_k∫{ｘ_iｊ_ek(ｒ)＋ｘ_kｊ_ei(ｒ)}ｄ³ｒ]＝0 となります。

以上から,Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_kＡ_i)]ｄ³ｒ＝－Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)]ｄ³ｒです。

それ故,－2Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)]ｄ³ｒ＝－[∫ｒ×ｊ_e(ｒ)ｄ³ｒ]Ｂ(0)なる等式を得ます。

そこで,磁気双極子モーメントμの環状電流による積分表現μ＝(1/2)∫{ｒ×ｊ_e(ｒ)}ｄ³ｒから,－Σ_k∫[ｊ_ek(ｒ)Σ_i(ｘ_i∂_iＡ_k)]ｄ³ｒ＝－μＢ(0)と書けることがわかります。

結局,－∫ｊ_e(ｒ)Ａ(ｒ)ｄ³ｒ＝－μＢ(0)＋..なる展開を得ます。

磁気四重極子は電気四重極子に比べ無視できる量ですから,静電磁場に近い微小変動の原子核との電磁相互作用を示す摂動Ｈ_γ'は,Ｈ_γ'＝ ∫ｊ^μ_e(ｒ)Ａ_μ(ｒ)ｄ³ｒ＝∫ρ_e(ｒ)φ(ｒ)ｄ³ｒ－∫ｊ_e(ｒ)Ａ(ｒ)ｄ³ｒ＝ｑφ(0)－ＰＥ(0)－μＢ(0)－(1/6)Σ_ijＱ_ij∂_iＥ_j＋..なる展開で表現されることがわかります。

今日はここで終わります。(つづく)

八木浩輔著「原子核物理学」(朝倉書店),八木浩輔 著「原子核と放射」(朝倉書店),砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店)