原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(2)

原子核のγ崩壊とメスバウアー効果の続きです。

いきなり本題に入ります。

電磁波を与える真空中のマクウェル方程式(Maxwell eq.)は線型なので,電場と磁場の任意の解Ｅ,Ｂは電気的波(Ｅ波＝ＴＭ波;transverse magnetic wave)と磁気的波(Ｍ波＝ＴＥ波;transverse electric wave)に分解できます。

すなわち,Ｅ,ＢはＥ＝Ｅ^E＋Ｅ^M,Ｂ＝Ｂ^E＋Ｂ^M,(ⅰ)Ｅ波＝ＴＭ波:Ｅ^E_r＝Ｅ_r,Ｂ^E_r＝0 (or ｒＥ^E＝ｒＥ,ｒＢ^E＝0 )(ⅱ)Ｍ波＝ＴＥ波:Ｅ^M_r＝0,Ｂ^M_r＝Ｂ_r (or ｒＥ^M＝0,ｒＢ^M＝ｒＢ)の和に分解されます。

(例えば2009年11/７の記事「光(電磁波)の散乱(4)」参照)

一方,前記事で述べたように電磁ポテンシャルφ(ｒ,ｔ)＝φ^(ｒ)exp(－iωｔ),Ａ(ｒ,ｔ)＝Ａ^(ｒ)exp(－iωｔ)の空間部分:φ^(ｒ),Ａ^(ｒ)の任意の１成分ψ(ｒ)はヘルムホルツ方程式(Helmholtz eq.):(∇²＋ｋ²)ψ(ｒ)＝0 の解です。

すなわち,ψ(ｒ)＝ψ(ｒ,θ,φ)は[ｒ^-2(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}＋ｋ²－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²]ψ(ｒ)＝0 を満たします。

そこで,動径関数(radial fuction)因子をｆ_lm(ｋｒ)とすると,ψ(ｒ)は独立な変数分離解の和としてψ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lｆ_lm(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)と多重極(multi-pole)に展開できます。

Ｙ_l^m(Ω)＝Ｙ_l^m(θ,φ)は球面調和関数(spherical harmonics)です。これは軌道角運動量の固有値方程式:Ｌ²Ｙ_l^m(Ω) ＝ｈ_c²ｌ(ｌ＋1),Ｌ_zＹ_l^m(Ω)＝ｍＹ_l^m(Ω)を満たします。

そこで,φ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)の空間微分,時間微分の線形和であるＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａも多重極展開できるはずです。

先出の2009年11/７の記事「光(電磁波)の散乱(4)」でも,M.Born,E.Wolf著(草川徹)「光学の原理」(東海大学出版会)などを参考にして球状散乱体によるレーリー(Raileigh)散乱,ミイ(Mie)散乱の境界条件を満たすＥ^E,Ｂ^E,Ｅ^M,Ｂ^Mの具体的な展開形を与えましたが,ここでは別の一般的方法で多重極展開の具体形を得たいと思います。

まず,マクスウェル方程式(Maxwell eq.):∇Ｄ＝ρ_e,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔ,∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔ＋ｊ_e,および連続方程式:∇ｊ_e＝－∂ρ_e/∂ｔにおいて,Ｅ,Ｂ,Ｄ,Ｈの時間依存性がexp(－iωｔ)のみである角振動数ωの単色波の形式を考えます。

ただし,以下では混乱は生じないと思われるので,例えば電場Ｅ(ｒ,ｔ)＝Ｅ^(ｒ)exp(－iωｔ)の空間部分Ｅ^(ｒ)も,Ｅ(ｒ,ｔ)と同じくＥ(ｒ),あるいは単にＥと表わすことにします。

そして,振動数がωの単色波では上記のマクスウェルの方程式系と連続方程式は∇Ｄ＝ρ_e,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×Ｈ＝－iωＤ＋ｊ_e,および∇ｊ_e＝－∂ρ_e/∂ｔに帰着します。

特に"ρ_e＝ｊ_e＝0 のとき＝真空中"では,この方程式系は∇Ｅ＝0,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×Ｂ＝－iμ₀ε₀ωＥ＝－iωｃ^-2Ｅです。

これらの式から,真空中のＥ,Ｂを具体的に得るには(∇²＋ｋ²)Ｂ＝0,および∇Ｂ＝0 を解いてＥ＝(iｃ/ｋ)∇×Ｂ,Ｂ＝－iω^-1∇×Ｅとすればよいことがわかります。

そこで,まず後の便宜のためベクトルヘルムホルツ方程式:(∇²＋ｋ²)Ｂ＝0 の一般解Ｂ(ｒ)を,動径関数を球面ハンケル(Hankel)関数ｈ_l^(ν)(ｘ)(ν＝1,2)の線形結合とする展開式:Ｂ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[ｂ_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)＋ｂ_lm⁽²⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)]Ｙ_l^m(Ω)で表現します。

球面ハンケル関数ｈ_l⁽¹⁾(ｘ),ｈ_l⁽²⁾(ｘ)というのはヘルムホルツ動径方程式のｊ_l(ｘ),ｎ_l(ｘ)とは異なる選択の独立解:ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)＝ｊ_l(ｘ)＋iｎ_l(ｘ),ｈ_l⁽²⁾(ｘ)＝ｊ_l(ｘ)－iｎ_l(ｘ)です。

さて,Ｂ(ｒ)の多重極展開の表現式を∇Ｂ＝0 に代入するとΣ_l,m∇{ｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)}＝0 (ν＝1,2)を得ます。

ここで,右辺の∇に公式:∇＝(ｒ/ｒ)(∂/∂ｒ)－{i/(ｈ_cｒ²)}(ｒ×Ｌ)を用います。

　一応,この公式を証明しておきます。

(証明):Ｌ＝(－iｈ_c)(ｒ×∇)より,(ｒ×Ｌ)_i/(－iｈ_c)＝(ε_ijkｘ_jＬ_k)/(－iｈ_c)＝ε_ijkε_klmｘ_jｘ_l∂_m＝(δ_ilδ_jm－δ_imδ_jl)ｘ_jｘ_l∂_m＝ｘ_iｘ_j∂_j－ｘ_jｘ_j∂_i＝ｘ_i(ｒ∇)－ｒ²∇_iです。

　つまり,(ｒ×Ｌ)/(－iｈ_c)＝ｒ(ｒ∇)－ｒ²∇なので,∇＝(ｒ/ｒ)(∂/∂ｒ)－{i/(ｈ_cｒ²)}(ｒ×Ｌ)を得ます。(証明終わり)

あるいは,別の極座標を用いた証明もあります。

(別証明):∇＝ｅ_r(∂/∂ｒ)＋ｅ_θｒ^-1(∂/∂θ)＋ｅ_φｒ^-1sin^-1θ(∂/∂φ)であり,ｅ_r＝ｒ/ｒ,ｅ_r×ｅ_r＝0,ｅ_r×ｅ_θ＝ｅ_φ,ｅ_r×ｅ_φ＝－ｅ_θですから,Ｌ＝(－iｈ_c)(ｒ×∇)＝(－iｈ_c){－ｅ_θsin^-1θ(∂/∂φ)ｒ^-1(∂/∂θ)＋ｅ_φ(∂/∂θ)}です。

さらに,ｒ×Ｌ＝(－iｈ_cｒ){ｅ_θ(∂/∂θ) ＋ｅ_φsin^-1θ(∂/∂φ)}が得られます。

そこで,この極座標表現からも公式:∇＝(ｒ/ｒ)(∂/∂ｒ)－{i/(ｈ_cｒ²)}(ｒ×Ｌ)を導くことができました。(証明終わり)

さらに,Ｆ(ｒ)をｒだけの微分可能な任意関数とすれば,{Ｌ/(－iｈ_c)}Ｆ(ｒ)＝(－i)(ｒ×∇)Ｆ(ｒ)＝(－i/ｒ)(ｒ×ｒ)(ｄＦ/ｄｒ)＝0,つまりＬＦ(ｒ)＝0 です。そこでＬはｒだけの関数を素通りします。

以上から,式:∇Ｂ＝0 or Σ_l,m∇{ｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)}＝0 はｒΣ_l[{ｄｈ_l^(ν)(ｋｒ)/ｄｒ}Σ_m{ｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)}－ｈ_c^-1ｒ^-1ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｌ×{Σ_mｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)}]＝0 を意味します。

もしも,Ｂ(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l[ｂ_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)＋ｂ_lm⁽²⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)]Ｙ_l^m(Ω)がＴＭ波(Ｅ波):Ｂ^EであればｒＢ^E＝0より,ｒΣ_m=-l^l[ｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)＝0 ですから,ｒ[Ｌ×{Σ_mｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)}]＝0 を得ます。

ｒΣ_m=-l^l[ｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)＝0,かつｒ[Ｌ×{Σ_mｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)}]＝0 が常に成立するためにはＤ^E_lm^(ν)を定係数として,Σ_mｂ_lm^(ν)Ｙ_l^m(Ω)＝ｈ_c^-1Σ_mＤ^E_lm^(ν)ＬＹ_l^m(Ω)と書ければ十分です。

この表現を採用してＢ^E(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νｂ_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)に代入すると,Ｂ^E(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νＤ^E_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)を得ます。

そして,Ｅ＝(iｃ/ｋ)(∇×Ｂ)より,Ｅ^E(ｒ)＝(iｃ/ｋ)Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νＤ^E_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ){∇×ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)}です。

同様にｒＥ^M＝0 よりＥ^M(ｒ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νＤ^M_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ)ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)です。

そこで,Ｂ＝－iω^-1∇×ＥからＢ^M(ｒ)＝－i(ｃｋ)^-1∇×Ｅ^M(ｒ)＝{－i/(ｃｋ)}Σ_l=0^∞Σ_m=-l^lΣ_νΣ_m=-l^lＤ^M_lm^(ν)ｈ_l^(ν)(ｋｒ){∇×ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)}を得ます。

ここで,∫(Ｘ_l^m(Ω)^*Ｘ_l'^m'(Ω))ｄΩ＝δ_ll'δ_mm'と直交規格化されたベクトル球面調和関数:Ｘ_l^m(Ω)をＸ_l^m(Ω)≡ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)/{l(l＋1)}^1/2＝(－i){ｒ×∇Ｙ_l^m(Ω)}/{l(l＋1)}^1/2で定義して導入します。

また,ｆ^E,M_lm(ｋｒ)≡Ｃ^E,M_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)＋Ｃ^E,M_lm⁽²⁾ｈ_l⁽²⁾(ｋｒ),Ｃ^E,M_lm^(ν)≡{l(l＋1)}^1/2Ｄ^E,M_lm^(ν)と置きます。

すると場はＢ(ｒ)＝Ｂ^E(ｒ)＋Ｂ^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[Ａ^E_lmｆ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)－Ａ^M_lm{i/(ｃｋ)}{∇×{ｆ^M_lm(ｒ)Ｘ_l^m(Ω)}},Ｅ(ｒ)＝Ｅ^E(ｒ)＋Ｅ^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[Ａ^E_lm(iｃ/ｋ){∇×{ｆ^E_lm(ｒ)Ｘ_l^m(Ω)}＋Ａ^M_lmｆ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}と表わすことができます。

これで,真空中の磁場Ｂ(ｒ)と電場Ｅ(ｒ)の多重極展開の具体的な形が得られました。

右辺の級数和:Σ_l=0^∞をｌ＝1から始まるΣ_l=1^∞に書き換えたのはｌ＝0 (球対称なｓ波)なら,ＬＦ(ｒ)＝0 のためＸ_l^m(Ω)＝ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)}/{l(l＋1)}^1/2が存在しないからです。

次に,原子核の中心ｒ＝0 付近の限られた領域を考えると,ここは真空ではなくρ_e(ｒ,ｔ)＝ρ_e(ｒ)exp(－iωｔ),ｊ_e(ｒ,ｔ)＝ｊ_e(ｒ)exp(－iωｔ)なる振動電荷,振動電流が存在します。

そして,物質の電磁気学の現象論からεを核の誘電率,μを核の透磁率としてＤ＝εＥ＝ε₀Ｅ＋Ｐ,Ｈ＝μ^-1Ｂ＝μ₀^-1Ｂ－Ｍと書けます。

ただし,実際には非負電荷のみから成る原子核では電気分極:Ｐはゼロですからε＝ε₀,Ｄ＝ε₀Ｅです。核磁気モーメントＭの方は存在してＭ(ｒ,ｔ)＝Ｍ(ｒ)exp(－iωｔ)と書けます。

そこで,先に与えた単色波のマクスウェル方程式:∇Ｄ＝ρ_e,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×Ｈ＝－iωＤ＋ｊ_e,連続方程式:∇ｊ_e＝iωρ_eに,Ｄ＝ε₀Ｅ,Ｈ＝μ₀^-1Ｂ－Ｍを代入してρ_e＝ｊ_e＝0 の真空のときと同じくＤ,Ｈを消去してみます。

∇Ｅ＝ρ_e/ε₀,∇Ｂ＝0,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iε₀μ₀ωＥ＋μ₀ｊ_e＝－iｃ^-2ωＥ＋μ₀ｊ_e,∇ｊ_e＝iωρ_eですね。

そして∇Ｅ＝ρ_e/ε₀と∇ｊ_e＝iωρ_eから,∇{Ｅ＋i/(ε₀ω)ｊ_e}＝0 となりρ_eを消去できます。

つまり,Ｅ'をＥ'≡Ｅ＋i/(ε₀ω)ｊ_eで定義すれば∇Ｅ'＝0 です。さらに,∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iｃ^-2ωＥ＋μ₀ｊ_eはＥ'を用いると∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iｃ^-2ωＥ'と書き直せます。

そして,発散(divergence)がゼロのＢ,Ｅ'については,∇×(∇×Ｂ)＝∇(∇Ｂ)－∇²Ｂ＝－∇²Ｂ,∇×(∇×Ｅ’)＝∇(∇Ｅ')－∇²Ｅ'＝－∇²Ｅ'が成り立ちます。

　故に,∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iｃ^-2ωＥ'より∇×{∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)}＝－iｃ^-2ω∇×Ｅ'＝－iｃ^-2ω∇×Ｅ＋μ₀∇×ｊ_eですが,∇×Ｅ＝iωＢなので(∇²＋ｋ²)Ｂ＝－μ₀{∇×ｊ_e＋∇×(∇×Ｍ)}を得ます。

また,∇×Ｅ＝iωＢより∇×{Ｅ'－i/(ε₀ω)ｊ_e}＝iωＢですから∇×{∇×{Ｅ'－i/(ε₀ω)ｊ_e}}＝iω∇×Ｂです。

故に,∇×(Ｂ－μ₀Ｍ)＝－iｃ^-2ωＥ'＋μ₀∇×Ｍを用いて－∇²Ｅ'－i/(ε₀ω)∇×(∇×ｊ_e)＝ｋ²Ｅ'＋iμ₀ω∇×Ｍとなります。

　以上から,(∇²＋ｋ²)Ｅ'＝－iｃμ₀ｋ^-1{∇×(∇×ｊ_e)＋ｋ²∇×Ｍ}が得られます。

並べて書くと,(∇²＋ｋ²)Ｂ＝－μ₀{∇×ｊ_e＋∇×(∇×Ｍ)},(∇²＋ｋ²)Ｅ'＝－iμ₀ｋ^-1{ｋ²∇×Ｍ＋∇×(∇×ｊ_e)}です。

式が過剰となりますから整合性が必要ですが,これらと∇Ｂ＝0,∇Ｅ'＝0,∇×Ｂ＝－iｃ^-2ωＥ'＋μ₀∇×Ｍ,および∇×Ｅ'＝iωＢ＋i/(ε₀ω)∇×ｊ_eを組み合わせます。

真空のときと同様,Ｂ＝Ｂ^E＋Ｂ^M,Ｅ'＝Ｅ'^E＋Ｅ'^Mと分割して,∇Ｂ^E＝0,ｒＢ^E＝0,および∇Ｅ'^M＝0,ｒＥ'^M＝0 を同時に満たすＢ^E,Ｅ'^MとしてＢ^E(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω),Ｅ'^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)なる展開形が想定されます。

前と同じく,Ｂ^M＝－iω^-1∇×Ｅ'^MとしてみるとＢ＝Ｂ^E＋Ｂ^M＝－iω^-1∇×Ｅ'＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_eから,Ｂ^E＝－iω^-1∇×Ｅ'^E＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_eとなることが必要です。

また,Ｅ'^E＝(iｃ/ｋ)∇×Ｂ^EとしてみるとＥ'＝Ｅ'^E＋Ｅ'^M＝iｃｋ^-1∇×Ｂ－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍから,Ｅ'^M＝iｃｋ^-1∇×Ｂ^M－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍとなることが必要です。

これで辻褄が合うなら,Ｂ^E(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω),およびＥ'^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)から,動径関数Ｆ^E,M_lm(ｋｒ)だけが真空中のｆ^E,M_lm(ｋｒ)と異なるという形で原子核中心領域の磁場,電場の空間部分が次のように表わされます。

すなわち,Ｂ(ｒ)＝Ｂ^E(ｒ)＋Ｂ^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[Ｆ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)－{i/(ｃｋ)}{∇×{Ｆ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}},Ｅ(ｒ)＝Ｅ^E(ｒ)＋Ｅ^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[(iｃ/ｋ){∇×{Ｆ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}＋Ｆ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}です。

問題はこれで全ての辻褄が合うかどうか?です。

まず,Ｂ^E＝－iω^-1∇×Ｅ'^E＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_eとＥ'^E＝(iｃ/ｋ)∇×Ｂ^Eから,Ｂ^E＝－ｋ^-2∇²Ｂ^E＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_eなので,(∇²＋ｋ²)Ｂ^E＝μ₀∇×ｊ_eです。

同様に,Ｅ'^E＝－ｋ^-2∇²Ｅ'^E＋iｃｋ^-3μ₀∇×(∇×ｊ_e)により,(∇²＋ｋ²)Ｅ'^E＝iμ₀ｃｋ^-1∇×(∇×ｊ_e)です。

また,Ｅ'^M＝iｃｋ^-1∇×Ｂ^M－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍ,Ｂ^M＝－iω^-1∇×Ｅ'^MからＥ'^M＝－ｋ^-2∇²Ｅ'^M－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍにより,(∇²＋ｋ²)Ｅ'^M＝－iμ₀ｃｋ∇×Ｍです。

同様に,Ｂ^M＝－ｋ^-2∇²Ｂ^M＋ｋ^-2μ₀∇×(∇×Ｍ)により,(∇²＋ｋ²)Ｂ^M＝μ₀∇×(∇×Ｍ)が得られます。

これらを通して,Ｂ(ｒ)＝Ｂ^E(ｒ)＋Ｂ^M(ｒ),Ｅ(ｒ)＝Ｅ'^E(ｒ)＋Ｅ'^M(ｒ)は,確かにそれぞれ,方程式:(∇²＋ｋ²)Ｂ＝－μ₀{∇×ｊ_e＋∇×(∇×Ｍ)},(∇²＋ｋ²)Ｅ'＝－iμ₀ｃｋ^-1{∇×(∇×ｊ_e)＋ｋ²∇×Ｍ}を満たしています。

そして,与えた多重極の展開形式は,確かに∇Ｂ^E,M＝∇Ｅ'^E,M＝0,およびｒＢ^E＝ｒＥ'^M＝0 を満たします。

Ｂ^E＝－iω^-1∇×Ｅ'^E＋ｋ^-2μ₀∇×ｊ_e,Ｅ'^M＝iｃｋ^-1∇×Ｂ^M－iｃμ₀ｋ^-1∇×Ｍ,ｒＢ^E＝0,ｒＥ'^M＝0 によりｒ{∇×(Ｅ'^E＋iμ₀ｃｋ^-1ｊ_e)}＝0,ｒ{∇×(Ｂ^N－μ₀Ｍ)}＝0 が要求されます。

しかし,これはＢ＝Ｂ^E＋Ｂ^M,Ｅ＝Ｅ'^E＋Ｅ'^Mの上記分割が妥当でその他全ての式を満たす解であれば,当然,Ｂ^M,Ｅ'^Eが満たすべき条件です。言うなればトートロジーですね。

さて,今得たのは電荷密度,電流密度,磁気モーメントが全て存在する内部領域における解ですがこれらはその境界で領域の外の解に滑らかに接続するはずです。

そして,この境界条件はＦ^E_lm(ｋｒ)→Ａ^E_lmＣ^E_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ),Ｆ^M_lm(ｋｒ)→Ａ^M_lmＣ^M_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)で与えられます。

ここで,ｒ→ ∞での球ハンケル関数の挙動はｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)→(－i)^l+1exp(iｋｒ)/(ｋｒ),ｈ_l⁽²⁾(ｋｒ)→i^l+1exp(－iｋｒ)/(ｋｒ)ですから,原子核中心付近から放射される波には外向き成分しかないとして領域の外の真空中での動径関数ｆ^E,N_lm(ｋｒ)≡Ｃ^E,N_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)＋Ｃ^E,N_lm⁽²⁾ｈ_l⁽²⁾(ｋｒ)でｈ_l⁽²⁾(ｋｒ)の係数Ｃ^E,N_lm⁽²⁾を全てゼロと置きました。

動径関数:Ｆ^E_lm(ｋｒ)を具体的に解くために,Ｂ^E(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)を(∇²＋ｋ²)Ｂ＝－μ₀∇×ｊ_eに代入します。

すると,[ｒ^-2(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}＋ｋ²－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²]Ｂ^E(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^E_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)＝－μ₀∇×ｊ_eです。

　この方程式の両辺の左からＸ_l'^m'(Ω)^*を掛けてｄΩ積分し規格化直交条件を用いると,{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^E_lm(ｋｒ)＝－μ₀∫Ｘ_l^m(Ω)^* {∇×ｊ_e(ｒ)}ｄΩ≡－Ｋ^E(ｒ)です。

　同様に,Ｅ'^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^lＦ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)を(∇²＋ｋ²)Ｅ'^M＝－iμ₀ｃｋ∇×Ｍに代入します。

　すると,[ｒ^-2(∂/∂ｒ){ｒ²(∂/∂ｒ)}＋ｋ²－(Ｌ²/ｈ_c²)/ｒ²]Ｅ'^M(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^M_lm(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)＝－iμ₀ｃｋ∇×Ｍです。

これも左からＸ_l'^m'(Ω)^*を掛けてｄΩ積分し規格化直交条件を用いると,{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^M_lm(ｋｒ)＝－iμ₀ｃｋ∫Ｘ_l^m(Ω)^*{∇×Ｍ(ｒ)}ｄΩ≡－Ｋ^M(ｒ)を得ます。

今日はここで終わります。

いやあ,今回も細かい計算を始めると寝食も忘れてしまいます。こういう習性だけは,体力も精神力も落ちて老眼鏡が不可欠な今も昔と変わりませんね。

この関係の記事を後回しにしていたのは自分の計算に納得できず,いくら検算しても合わないような問題点があったからです。

そしてまだ終わっていません。テーマは古いのですがね。

ただ,別に締め切りも無くて暇があるだけが救いです。

ま,いくら心血を注いでも一銭にもなりませんがね。あ,でも自己満足を得られるからそれで十分かぁ。。。

ゼロからでなく色々と参考書もあるのですが,一度つまずくと細かい式については専門の本も100％は信用できませんから大変かな。。

八木浩輔著「原子核物理学」(朝倉書店),八木浩輔 著「原子核と放射」(朝倉書店),砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン著(西田 稔 訳)「電磁気学」