原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(2)
原子核のγ崩壊とメスバウアー効果の続きです。
いきなり本題に入ります。
電磁波を与える真空中のマクウェル方程式(Maxwell eq.)は線型なので,電場と磁場の任意の解E,Bは電気的波(E波=TM波;transverse magnetic wave)と磁気的波(M波=TE波;transverse electric wave)に分解できます。
すなわち,E,BはE=EE+EM,B=BE+BM,(ⅰ)E波=TM波:EEr=Er,BEr=0 (or rEE=rE,rBE=0 )(ⅱ)M波=TE波:EMr=0,BMr=Br (or rEM=0,rBM=rB)の和に分解されます。
(例えば2009年11/7の記事「光(電磁波)の散乱(4)」参照)
一方,前記事で述べたように電磁ポテンシャルφ(r,t)=φ^(r)exp(-iωt),A(r,t)=A^(r)exp(-iωt)の空間部分:φ^(r),A^(r)の任意の1成分ψ(r)はヘルムホルツ方程式(Helmholtz eq.):(∇2+k2)ψ(r)=0 の解です。
すなわち,ψ(r)=ψ(r,θ,φ)は[r-2(∂/∂r){r2(∂/∂r)}+k2-(L2/hc2)/r2]ψ(r)=0 を満たします。
そこで,動径関数(radial fuction)因子をflm(kr)とすると,ψ(r)は独立な変数分離解の和としてψ(r)=Σl=0∞Σm=-llflm(kr)Ylm(Ω)と多重極(multi-pole)に展開できます。
Ylm(Ω)=Ylm(θ,φ)は球面調和関数(spherical harmonics)です。これは軌道角運動量の固有値方程式:L2Ylm(Ω) =hc2l(l+1),LzYlm(Ω)=mYlm(Ω)を満たします。
そこで,φ(r,t),A(r,t)の空間微分,時間微分の線形和であるE=-∇φ-∂A/∂t,B=∇×Aも多重極展開できるはずです。
先出の2009年11/7の記事「光(電磁波)の散乱(4)」でも,M.Born,E.Wolf著(草川徹)「光学の原理」(東海大学出版会)などを参考にして球状散乱体によるレーリー(Raileigh)散乱,ミイ(Mie)散乱の境界条件を満たすEE,BE,EM,BMの具体的な展開形を与えましたが,ここでは別の一般的方法で多重極展開の具体形を得たいと思います。
まず,マクスウェル方程式(Maxwell eq.):∇D=ρe,∇B=0,∇×E=-∂B/∂t,∇×H=∂D/∂t+je,および連続方程式:∇je=-∂ρe/∂tにおいて,E,B,D,Hの時間依存性がexp(-iωt)のみである角振動数ωの単色波の形式を考えます。
ただし,以下では混乱は生じないと思われるので,例えば電場E(r,t)=E^(r)exp(-iωt)の空間部分E^(r)も,E(r,t)と同じくE(r),あるいは単にEと表わすことにします。
そして,振動数がωの単色波では上記のマクスウェルの方程式系と連続方程式は∇D=ρe,∇B=0,∇×E=iωB,∇×H=-iωD+je,および∇je=-∂ρe/∂tに帰着します。
特に"ρe=je=0 のとき=真空中"では,この方程式系は∇E=0,∇B=0,∇×E=iωB,∇×B=-iμ0ε0ωE=-iωc-2Eです。
これらの式から,真空中のE,Bを具体的に得るには(∇2+k2)B=0,および∇B=0 を解いてE=(ic/k)∇×B,B=-iω-1∇×Eとすればよいことがわかります。
そこで,まず後の便宜のためベクトルヘルムホルツ方程式:(∇2+k2)B=0 の一般解B(r)を,動径関数を球面ハンケル(Hankel)関数hl(ν)(x)(ν=1,2)の線形結合とする展開式:B(r)=Σl=0∞Σm=-ll[blm(1)hl(1)(kr)+blm(2)hl(1)(kr)]Ylm(Ω)で表現します。
球面ハンケル関数hl(1)(x),hl(2)(x)というのはヘルムホルツ動径方程式のjl(x),nl(x)とは異なる選択の独立解:hl(1)(x)=jl(x)+inl(x),hl(2)(x)=jl(x)-inl(x)です。
さて,B(r)の多重極展開の表現式を∇B=0 に代入するとΣl,m∇{blm(ν)hl(ν)(kr)Ylm(Ω)}=0 (ν=1,2)を得ます。
ここで,右辺の∇に公式:∇=(r/r)(∂/∂r)-{i/(hcr2)}(r×L)を用います。
一応,この公式を証明しておきます。
(証明):L=(-ihc)(r×∇)より,(r×L)i/(-ihc)=(εijkxjLk)/(-ihc)=εijkεklmxjxl∂m=(δilδjm-δimδjl)xjxl∂m=xixj∂j-xjxj∂i=xi(r∇)-r2∇iです。
つまり,(r×L)/(-ihc)=r(r∇)-r2∇なので,∇=(r/r)(∂/∂r)-{i/(hcr2)}(r×L)を得ます。(証明終わり)
あるいは,別の極座標を用いた証明もあります。
(別証明):∇=er(∂/∂r)+eθr-1(∂/∂θ)+eφr-1sin-1θ(∂/∂φ)であり,er=r/r,er×er=0,er×eθ=eφ,er×eφ=-eθですから,L=(-ihc)(r×∇)=(-ihc){-eθsin-1θ(∂/∂φ)r-1(∂/∂θ)+eφ(∂/∂θ)}です。
さらに,r×L=(-ihcr){eθ(∂/∂θ) +eφsin-1θ(∂/∂φ)}が得られます。
そこで,この極座標表現からも公式:∇=(r/r)(∂/∂r)-{i/(hcr2)}(r×L)を導くことができました。(証明終わり)
さらに,F(r)をrだけの微分可能な任意関数とすれば,{L/(-ihc)}F(r)=(-i)(r×∇)F(r)=(-i/r)(r×r)(dF/dr)=0,つまりLF(r)=0 です。そこでLはrだけの関数を素通りします。
以上から,式:∇B=0 or Σl,m∇{blm(ν)hl(ν)(kr)Ylm(Ω)}=0 はrΣl[{dhl(ν)(kr)/dr}Σm{blm(ν)Ylm(Ω)}-hc-1r-1hl(ν)(kr)L×{Σmblm(ν)Ylm(Ω)}]=0 を意味します。
もしも,B(r)=Σl=0∞Σm=-ll[blm(1)hl(1)(kr)+blm(2)hl(1)(kr)]Ylm(Ω)がTM波(E波):BEであればrBE=0より,rΣm=-ll[blm(ν)hl(ν)(kr)Ylm(Ω)=0 ですから,r[L×{Σmblm(ν)Ylm(Ω)}]=0 を得ます。
rΣm=-ll[blm(ν)hl(ν)(kr)Ylm(Ω)=0,かつr[L×{Σmblm(ν)Ylm(Ω)}]=0 が常に成立するためにはDElm(ν)を定係数として,Σmblm(ν)Ylm(Ω)=hc-1ΣmDElm(ν)LYlm(Ω)と書ければ十分です。
この表現を採用してBE(r)=Σl=0∞Σm=-llΣνblm(ν)hl(ν)(kr)Ylm(Ω)に代入すると,BE(r)=Σl=0∞Σm=-llΣνDElm(ν)hl(ν)(kr)hc-1LYlm(Ω)を得ます。
そして,E=(ic/k)(∇×B)より,EE(r)=(ic/k)Σl=0∞Σm=-llΣνDElm(ν)hl(ν)(kr){∇×hc-1LYlm(Ω)}です。
同様にrEM=0 よりEM(r)=Σl=0∞Σm=-llΣνDMlm(ν)hl(ν)(kr)hc-1LYlm(Ω)です。
そこで,B=-iω-1∇×EからBM(r)=-i(ck)-1∇×EM(r)={-i/(ck)}Σl=0∞Σm=-llΣνΣm=-llDMlm(ν)hl(ν)(kr){∇×hc-1LYlm(Ω)}を得ます。
ここで,∫(Xlm(Ω)*Xl'm'(Ω))dΩ=δll'δmm'と直交規格化されたベクトル球面調和関数:Xlm(Ω)をXlm(Ω)≡hc-1LYlm(Ω)/{l(l+1)}1/2=(-i){r×∇Ylm(Ω)}/{l(l+1)}1/2で定義して導入します。
また,fE,Mlm(kr)≡CE,Mlm(1)hl(1)(kr)+CE,Mlm(2)hl(2)(kr),CE,Mlm(ν)≡{l(l+1)}1/2DE,Mlm(ν)と置きます。
すると場はB(r)=BE(r)+BM(r)=Σl=1∞Σm=-ll[AElmfElm(kr)Xlm(Ω)-AMlm{i/(ck)}{∇×{fMlm(r)Xlm(Ω)}},E(r)=EE(r)+EM(r)=Σl=1∞Σm=-ll[AElm(ic/k){∇×{fElm(r)Xlm(Ω)}+AMlmfMlm(kr)Xlm(Ω)}と表わすことができます。
これで,真空中の磁場B(r)と電場E(r)の多重極展開の具体的な形が得られました。
右辺の級数和:Σl=0∞をl=1から始まるΣl=1∞に書き換えたのはl=0 (球対称なs波)なら,LF(r)=0 のためXlm(Ω)=hc-1LYlm(Ω)}/{l(l+1)}1/2が存在しないからです。
次に,原子核の中心r=0 付近の限られた領域を考えると,ここは真空ではなくρe(r,t)=ρe(r)exp(-iωt),je(r,t)=je(r)exp(-iωt)なる振動電荷,振動電流が存在します。
そして,物質の電磁気学の現象論からεを核の誘電率,μを核の透磁率としてD=εE=ε0E+P,H=μ-1B=μ0-1B-Mと書けます。
ただし,実際には非負電荷のみから成る原子核では電気分極:Pはゼロですからε=ε0,D=ε0Eです。核磁気モーメントMの方は存在してM(r,t)=M(r)exp(-iωt)と書けます。
そこで,先に与えた単色波のマクスウェル方程式:∇D=ρe,∇B=0,∇×E=iωB,∇×H=-iωD+je,連続方程式:∇je=iωρeに,D=ε0E,H=μ0-1B-Mを代入してρe=je=0 の真空のときと同じくD,Hを消去してみます。
∇E=ρe/ε0,∇B=0,∇×E=iωB,∇×(B-μ0M)=-iε0μ0ωE+μ0je=-ic-2ωE+μ0je,∇je=iωρeですね。
そして∇E=ρe/ε0と∇je=iωρeから,∇{E+i/(ε0ω)je}=0 となりρeを消去できます。
つまり,E'をE'≡E+i/(ε0ω)jeで定義すれば∇E'=0 です。さらに,∇×(B-μ0M)=-ic-2ωE+μ0jeはE'を用いると∇×(B-μ0M)=-ic-2ωE'と書き直せます。
そして,発散(divergence)がゼロのB,E'については,∇×(∇×B)=∇(∇B)-∇2B=-∇2B,∇×(∇×E’)=∇(∇E')-∇2E'=-∇2E'が成り立ちます。
故に,∇×(B-μ0M)=-ic-2ωE'より∇×{∇×(B-μ0M)}=-ic-2ω∇×E'=-ic-2ω∇×E+μ0∇×jeですが,∇×E=iωBなので(∇2+k2)B=-μ0{∇×je+∇×(∇×M)}を得ます。
また,∇×E=iωBより∇×{E'-i/(ε0ω)je}=iωBですから∇×{∇×{E'-i/(ε0ω)je}}=iω∇×Bです。
故に,∇×(B-μ0M)=-ic-2ωE'+μ0∇×Mを用いて-∇2E'-i/(ε0ω)∇×(∇×je)=k2E'+iμ0ω∇×Mとなります。
以上から,(∇2+k2)E'=-icμ0k-1{∇×(∇×je)+k2∇×M}が得られます。
並べて書くと,(∇2+k2)B=-μ0{∇×je+∇×(∇×M)},(∇2+k2)E'=-iμ0k-1{k2∇×M+∇×(∇×je)}です。
式が過剰となりますから整合性が必要ですが,これらと∇B=0,∇E'=0,∇×B=-ic-2ωE'+μ0∇×M,および∇×E'=iωB+i/(ε0ω)∇×jeを組み合わせます。
真空のときと同様,B=BE+BM,E'=E'E+E'Mと分割して,∇BE=0,rBE=0,および∇E'M=0,rE'M=0 を同時に満たすBE,E'MとしてBE(r)=Σl=1∞Σm=-llFElm(kr)Xlm(Ω),E'M(r)=Σl=1∞Σm=-llFMlm(kr)Xlm(Ω)なる展開形が想定されます。
前と同じく,BM=-iω-1∇×E'MとしてみるとB=BE+BM=-iω-1∇×E'+k-2μ0∇×jeから,BE=-iω-1∇×E'E+k-2μ0∇×jeとなることが必要です。
また,E'E=(ic/k)∇×BEとしてみるとE'=E'E+E'M=ick-1∇×B-icμ0k-1∇×Mから,E'M=ick-1∇×BM-icμ0k-1∇×Mとなることが必要です。
これで辻褄が合うなら,BE(r)=Σl=1∞Σm=-llFElm(kr)Xlm(Ω),およびE'M(r)=Σl=1∞Σm=-llFMlm(kr)Xlm(Ω)から,動径関数FE,Mlm(kr)だけが真空中のfE,Mlm(kr)と異なるという形で原子核中心領域の磁場,電場の空間部分が次のように表わされます。
すなわち,B(r)=BE(r)+BM(r)=Σl=1∞Σm=-ll[FElm(kr)Xlm(Ω)-{i/(ck)}{∇×{FMlm(kr)Xlm(Ω)}},E(r)=EE(r)+EM(r)=Σl=1∞Σm=-ll[(ic/k){∇×{FElm(kr)Xlm(Ω)}+FMlm(kr)Xlm(Ω)}です。
問題はこれで全ての辻褄が合うかどうか?です。
まず,BE=-iω-1∇×E'E+k-2μ0∇×jeとE'E=(ic/k)∇×BEから,BE=-k-2∇2BE+k-2μ0∇×jeなので,(∇2+k2)BE=μ0∇×jeです。
同様に,E'E=-k-2∇2E'E+ick-3μ0∇×(∇×je)により,(∇2+k2)E'E=iμ0ck-1∇×(∇×je)です。
また,E'M=ick-1∇×BM-icμ0k-1∇×M,BM=-iω-1∇×E'MからE'M=-k-2∇2E'M-icμ0k-1∇×Mにより,(∇2+k2)E'M=-iμ0ck∇×Mです。
同様に,BM=-k-2∇2BM+k-2μ0∇×(∇×M)により,(∇2+k2)BM=μ0∇×(∇×M)が得られます。
これらを通して,B(r)=BE(r)+BM(r),E(r)=E'E(r)+E'M(r)は,確かにそれぞれ,方程式:(∇2+k2)B=-μ0{∇×je+∇×(∇×M)},(∇2+k2)E'=-iμ0ck-1{∇×(∇×je)+k2∇×M}を満たしています。
そして,与えた多重極の展開形式は,確かに∇BE,M=∇E'E,M=0,およびrBE=rE'M=0 を満たします。
BE=-iω-1∇×E'E+k-2μ0∇×je,E'M=ick-1∇×BM-icμ0k-1∇×M,rBE=0,rE'M=0 によりr{∇×(E'E+iμ0ck-1je)}=0,r{∇×(BN-μ0M)}=0 が要求されます。
しかし,これはB=BE+BM,E=E'E+E'Mの上記分割が妥当でその他全ての式を満たす解であれば,当然,BM,E'Eが満たすべき条件です。言うなればトートロジーですね。
さて,今得たのは電荷密度,電流密度,磁気モーメントが全て存在する内部領域における解ですがこれらはその境界で領域の外の解に滑らかに接続するはずです。
そして,この境界条件はFElm(kr)→AElmCElm(1)hl(1)(kr),FMlm(kr)→AMlmCMlm(1)hl(1)(kr)で与えられます。
ここで,r→ ∞での球ハンケル関数の挙動はhl(1)(kr)→(-i)l+1exp(ikr)/(kr),hl(2)(kr)→il+1exp(-ikr)/(kr)ですから,原子核中心付近から放射される波には外向き成分しかないとして領域の外の真空中での動径関数fE,Nlm(kr)≡CE,Nlm(1)hl(1)(kr)+CE,Nlm(2)hl(2)(kr)でhl(2)(kr)の係数CE,Nlm(2)を全てゼロと置きました。
動径関数:FElm(kr)を具体的に解くために,BE(r)=Σl=1∞Σm=-llFElm(kr)Xlm(Ω)を(∇2+k2)B=-μ0∇×jeに代入します。
すると,[r-2(∂/∂r){r2(∂/∂r)}+k2-(L2/hc2)/r2]BE(r)=Σl=1∞Σm=-ll{d2/dr2+(2/r)d/dr+k2-l(l+1)/r2}FElm(kr)Xlm(Ω)=-μ0∇×jeです。
この方程式の両辺の左からXl'm'(Ω)*を掛けてdΩ積分し規格化直交条件を用いると,{d2/dr2+(2/r)d/dr+k2-l(l+1)/r2}FElm(kr)=-μ0∫Xlm(Ω)* {∇×je(r)}dΩ≡-KE(r)です。
同様に,E'M(r)=Σl=1∞Σm=-llFMlm(kr)Xlm(Ω)を(∇2+k2)E'M=-iμ0ck∇×Mに代入します。
すると,[r-2(∂/∂r){r2(∂/∂r)}+k2-(L2/hc2)/r2]E'M(r)=Σl=1∞Σm=-ll{d2/dr2+(2/r)d/dr+k2-l(l+1)/r2}FMlm(kr)Xlm(Ω)=-iμ0ck∇×Mです。
これも左からXl'm'(Ω)*を掛けてdΩ積分し規格化直交条件を用いると,{d2/dr2+(2/r)d/dr+k2-l(l+1)/r2}FMlm(kr)=-iμ0ck∫Xlm(Ω)*{∇×M(r)}dΩ≡-KM(r)を得ます。
今日はここで終わります。
いやあ,今回も細かい計算を始めると寝食も忘れてしまいます。こういう習性だけは,体力も精神力も落ちて老眼鏡が不可欠な今も昔と変わりませんね。
この関係の記事を後回しにしていたのは自分の計算に納得できず,いくら検算しても合わないような問題点があったからです。
そしてまだ終わっていません。テーマは古いのですがね。
ただ,別に締め切りも無くて暇があるだけが救いです。
ま,いくら心血を注いでも一銭にもなりませんがね。あ,でも自己満足を得られるからそれで十分かぁ。。。
ゼロからでなく色々と参考書もあるのですが,一度つまずくと細かい式については専門の本も100%は信用できませんから大変かな。。
八木浩輔著「原子核物理学」(朝倉書店),八木浩輔 著「原子核と放射」(朝倉書店),砂川重信 著「理論電磁気学(第2版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン著(西田 稔 訳)「電磁気学」
| 固定リンク
「111. 量子論」カテゴリの記事
- クライン・ゴルドン方程式(8)(2016.09.01)
- クライン・ゴルドン方程式(7)(2016.08.23)
- Dirac方程式の非相対論極限近似(2)(2016.08.14)
- Dirac方程式の非相対論極限近似(1)(2016.08.10)
- クライン・ゴルドン方程式(6)(2016.07.27)
「113. 原子核物理」カテゴリの記事
- 記事リバイバル⑧-2(原子核のα崩壊の理論[Ⅱ])(2019.01.14)
- 記事リバイバル⑧の1(原子核のα崩壊の理論[Ⅰ])(2019.01.14)
- 原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(5)(2010.05.15)
- 原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(4)(2010.05.08)
- 原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(3)(2010.04.25)
この記事へのコメントは終了しました。
コメント