散乱の伝播関数の理論(2)(Lippman-Schwinger-2)

散乱の伝播関数の理論の続きです。

まず,前回の最後の部分を再掲します。

(※以下再掲記事(少し修正)です。)

Ｔ≡Ｓ－1とすると,Ｔの行列要素はＴ_ba≡－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba;

Ｔ_ba≡＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＝＜Ψ_a^(-)Ｈ₁Φ_b＞と表現できます。

これは,Ｅ_a＝Ｅ_bのエネルギーが等しい状態だけで定義される関連行列要素Ｔによる等価な表現です。

この結果,遷移確率を与える公式：

Ｗ_ba＝4π²[δ(Ｅ_a－Ｅ_b)]²|Ｔ_ba |²が得られます。

　(再掲終わり※)

　さて,前回の続きです。

 [δ(Ｅ_a－Ｅ_b)]²のうち,１つの因子δ(Ｅ_a－Ｅ_b)を時間積分:

δ(Ｅ_a－Ｅ_b)＝(2πｈ_c)^-1∫_-∞^∞exp{i(Ｅ_a－Ｅ_b)ｔ/ｈ_c}

exp(－ε|ｔ|)ｄｔ (ε→＋0) と解釈します。

これと,もう１つのδ(Ｅ_a－Ｅ_b)因子により,Ｅ_a＝Ｅ_bを代入すると,

[δ(Ｅ_a－Ｅ_b)]²＝(2πｈ_c)^-1δ(Ｅ_a－Ｅ_b)∫_-∞^∞ｄｔです。

故にＷ_ba＝(2π/ｈ_c)δ(Ｅ_a－Ｅ_b)|Ｔ_ba |²∫_-∞^∞ｄｔ を得ます。

この式は,遷移が系の２つの成分の等エネルギー状態の間でのみ生じ,

遷移確率の強さは相互作用が有効に効く全時間に比例することを示し

ています。

ε→＋0 の理想的極限では,後者(＝全時間:∫_-∞^∞ｄｔ)は無限大に発散してしまいます。

しかし,この表現:Ｗ_ba＝(2π/ｈ_c)δ(Ｅ_a－Ｅ_b)|Ｔ_ba |²∫_-∞^∞ｄｔは,

単位時間に遷移確率がｗ_ba＝(2π/ｈ_c)δ(Ｅ_a－Ｅ_b)|Ｔ_ba |²の率で増

加すると解釈できます。

上の結果式のより納得できる導出法は,最初に状態ａにあった系が時刻ｔに状態ｂに見出される確率の単位時間当たりの増加率(遷移速度 or 遷移率)を文字通りに表現する式:ｗ_ba＝(∂/∂ｔ)|＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞|²を評価することです。

|＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞|²＝＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞^*＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＝＜Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b＞＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞ですから,

ｗ_ba＝＜{∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}Φ_a|Φ_b ＞＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＋＜Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b＞＜Φ_b{∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ}Φ_a＞です。

右辺第２項は第１項の複素共役(ｃ.ｃ)です。

これは運動方程式ｉｈ_c∂Ｕ₊(ｔ)/∂ｔ＝Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)によって,

ｗ_ba＝(i/ｈ_c)＜Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b ＞＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＋(ｃ.ｃ) となります。(※ c.cは複素共役 complex conjugate の略)

そして,＜Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b＞

＝＜exp(iＨ₀ｔ)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b ＞

＝＜Φ_bexp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞^*

＝exp(－iＥ_bｔ/ｈ_c)＜Φ_bＨ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞^*

＝＜Ｈ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b＞

＝＜exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ)Φ_aＨ₁Φ_b＞　です。

一方,＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞に,

Ｕ₊(ｔ)＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ'Ｈ₁(ｔ')Ｕ₊(ｔ')

＝1－(i/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ'exp(iＨ₀ｔ'/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ'/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ')　を代入します。

ｂ≠ａなら,＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＝(－i/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ'＜Φ_bexp(iＨ₀ｔ'/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ'/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ')Φ_a＞

＝(－i/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ'＜Φ_bＨ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ'/ｈ_c}

Ｕ₊(ｔ')Φ_a＞ となります。

それ故,ｗ_ba＝(i/ｈ_c)＜Ｈ₁(ｔ)Ｕ₊(ｔ)Φ_a|Φ_b ＞＜Φ_bＵ₊(ｔ)Φ_a＞

＋(ｃ.ｃ)＝(1/ｈ_c²)∫_-∞^tｄｔ'＜exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ)Φ_a

Ｈ₁Φ_b＞＜Φ_bＨ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ'/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ')Φ_a＞＋(ｃ.ｃ)

なる式を得ます。

ところで,

Ψ_a⁽⁺⁾(Ｅ)≡∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ)Φ_a,および,Ψ_a^(±)(Ｅ)≡2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Ψ_a^(±)より,

Ψ_a^(＋)(Ｅ)＝∫_-∞^∞ｄｔexp{i(Ｅ－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}exp(－ε|ｔ|/ｈ_c)

Ｕ₊(ｔ)Φ_a＝2πｈ_cδ(Ｅ－Ｅ_a)Ψ_a⁽⁺⁾ が成立します。

これは,exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＝exp(iＥ_aｔ/ｈ_c)Ψ_a⁽⁺⁾なることを意味します。

そして,また我々の理想定常状態のSchroedinger表示の状態ベクトルになっています。

代入すると,ｗ_ba＝(1/ｈ_c²)∫_-∞^tｄｔ'＜exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}

Ｕ₊(ｔ)Φ_aＨ₁Φ_b＞＜Φ_bＨ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ'/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ')Φ_a＞

＋(ｃ.ｃ)＝(1/ｈ_c²)∫_-∞^tｄｔ' exp{i(Ｅ_a－Ｅ_b)(ｔ－ｔ')/ｈ_c}

＜Ψ_a⁽⁺⁾Ｈ₁Φ_b＞＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＋(ｃ.ｃ) となります。

すなわち,

ｗ_ba＝(1/ｈ_c²)|Ｔ_ba|²∫_-∞^tｄｔ'exp{i(Ｅ_a－Ｅ_b)(ｔ－ｔ')/ｈ_c}

＋(ｃ.ｃ)＝(2π/ｈ_c)|Ｔ_ba|²δ(Ｅ_a－Ｅ_b) が導かれました。

そして,演算子Ｔの一般的性質:Ｔ^＋Ｔ＝－(Ｔ＋Ｔ^＋)から始状態からの全遷移速度に対する簡単な表現が得られます。

すなわち,Ｔ^＋Ｔ＝－(Ｔ＋Ｔ^＋)を行列要素で書くと,

Σ_bＴ_ba^*Ｔ_bc＝－(Ｔ_ac＋Ｔ_ca^*)です。

これにＴ_ba＝－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_baを代入すると,

4π²Σ_bδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba^*δ(Ｅ_b－Ｅ_c)Ｔ_bc

＝2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_c)(Ｔ_ac－Ｔ_ca^*) を得ます。

特に,ｃ＝ａとすると両辺のδ(Ｅ_a－Ｅ_c)は相殺されて,

4π²Σ_bδ(Ｅ_a－Ｅ_b)|Ｔ_ba|²δ＝－4πＩm(Ｔ_aa),

つまりΣ_bｗ_ba＝－(2/ｈ_c)Ｉm(Ｔ_aa)が得られます。

(※訳注:↑これは光学定理です。)

この公式の左辺は総和の中にｂ＝ａが含まれているため,正確には状態ａからの全遷移率ではありません。

しかし,こうした総和には単一の状態は寄与しません。

一般に状態のグループが要求されます。

こうしたタイプの関係式は,散乱媒質を通過する平面波の強度の減衰が元の波とその伝播方向に散乱される第二の波の間の破壊的干渉によって説明されるという波動理論において典型的なものです。

Ｔ_baに対する定常表現によって,方程式:

Ψ_a^(±)＝Φ_a＋{1/(Ｅ±iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a^(±)の変分定式化が

得られます。

すなわち,

Ｔ'_ba＝－(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ

[＜exp{i(Ｅ_a－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ_-(ｔ)Φ_b|Ｈ₁Φ_a＞

＋＜Φ_b|Ｈ₁exp{i(Ｅ_b－Ｈ₀)ｔ/ｈ_c}Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞]

＋(i/ｈ_c)∫_-∞^∞ｄｔ

＜exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ_-(ｔ)Φ_b|Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞

＋(i/ｈ_c)²∫_-∞^∞ｄｔ∫_-∞^∞ｄｔ'

＜exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ_-(ｔ)Φ_b|Ｈ₁exp{(－iＨ₀(ｔ－ｔ')/ｈ_c)

Ｈ₁exp(－iＨ₀ｔ'/ｈ_c)Ｕ₊(ｔ)Φ_a＞

なる作用を想定します。

　そして,exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｕ_±(ｔ)Φ_a＝exp(iＥ_aｔ/ｈ_c)Ψ_a^(±)

 なる仮定に従う定常状態の族に限定して考えます。

　積分を実行すると,Ｔ'_ba＝＜Ψ_b^(-)Ｈ₁Φ_a＞＋＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

－＜Ψ_b^(-)Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＋＜Ψ_b^(-)Ｈ₁{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

が得られます。

　ただし,Ｅは状態ａとｂの共通のエネルギーです。

　δＴ'_ba＝＜δΨ_b^(-)Ｈ₁[Φ_a＋{1/(Ｅ＋iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾－Ψ_a⁽⁺⁾]＞

　＋＜[Φ_b＋{1/(Ｅ－iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_b^(-)－Ψ_b^(-)]Ｈ₁δΨ_a⁽⁺⁾＞

　ですから,

δＴ'_baがゼロになるという停留条件より,

　Ψ_a^(±)＝Φ_a＋{1/(Ｅ±iε－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a^(±)を得ます。

　さらに,このときのＴ'_baの停留値は,

　Ｔ_ba≡＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞＝＜Ψ_a^(-)Ｈ₁Φ_b＞ に一致します。

　同様に,Hermite演算子Ｋについても,Ｋ_ba＝2πδ(Ｅ_a－Ｅ_c)Ｋ_ba;

Ｋ_ba≡＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽¹⁾＞＝＜Ψ_a⁽¹⁾Ｈ₁Φ_b＞ と書けます。

ただし,時間に依存しないベクトルΨ_a⁽¹⁾は,

exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｖ(ｔ)Φ_a＝exp(iＥ_aｔ/ｈ_c)Ψ_a⁽¹⁾なる関係を

満たす定常状態であり,方程式:Ψ_a⁽¹⁾＝Φ_a＋Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽¹⁾

に従います。

Ｔと同様に,Ｋの変分定式化の作用は,

Ｋ'_ba＝＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Φ_a＞＋＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽¹⁾＞－＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

＋＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽⁺⁾＞

で与えられます。

そして,Ｔ＝Ｓ－1;Ｓ＝Ｖ(∞)/Ｖ(－∞)＝(1－iＫ/2)/(1＋iＫ/2)よりＴ＝－iＫ/(1＋iＫ/2),つまり,Ｔ＋iＫＴ/2＝－iＫです。

この等式の行列要素にＴ_ba≡－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba,

Ｋ_ba＝2πδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｋ_baを代入します。

－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｔ_ba＋2π²Σ_cδ(Ｅ_b－Ｅ_c)Ｋ_bcδ(Ｅ_a－Ｅ_c)Ｔ_ca

＝－2πiδ(Ｅ_a－Ｅ_b)Ｋ_baですから,等エネルギー状態に限定して,

Ｔ_ba＋πiΣ_cＫ_bcδ(Ｅ_c－Ｅ)Ｔ_ca＝Ｋ_baを得ます。

ただし,Ｅはａとｂの共通エネルギーです。

　この方程式を解く効果的な方法は,固有値方程式:

　Σ_aＫ_baδ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aA＝Ｋ_Aｆ_bAを満たすＫの固有関数を見出す

　ことです。

ＫはHermite行列なので固有値Ｋ_Aは実数で,固有関数ｆ_aAは次のように直交規格化できます。Σ_aｆ_aA^*δ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aB＝δ_ABです。

これを使うと,Ｋの行列要素はＫ_ba＝Σ_Aｆ_bAＫ_Aｆ_aA^*と表わせます。

それ故,Ｔ_A＋πiＫ_AＴ_A＝Ｋ_A orＴ_A＝Ｋ_A/(1＋πiＫ_A)として,

Ｔ_ba＝Σ_Aｆ_bAＴ_Aｆ_aA^*とおけば,

式:Ｔ_ba＋πiΣ_cＫ_bcδ(Ｅ_c－Ｅ)Ｔ_ca＝Ｋ_ba が満たされます。

このことからいえるのは,ＴがＫの関数で同じ固有関数を持ち,その固有値がＫの固有値から決まるということだけです。

そこで,Ｔ_A＝－(1/π)sinδ_Aexp(iδ_A)となるようＫの固有値を

Ｋ_A≡－(1/π)tanδ_Aとして,角度δ_Aを導入した表現が便利です。

遷移速度ｗ_baをこうした表現を使って表わせば

ｗ_ba＝{2/(πｈ_c)}Σ_Asinδ_Aexp(iδ_A)ｆ_bAｆ_aA^* |²δ(Ｅ_a－Ｅ)

となります。

また,Σ_bｗ_ba＝－(2/ｈ_c)Ｉm(Ｔ_aa)より,状態ａからの全遷移速度は

Σ_bｗ_ba＝{2/(πｈ_c)}Σ_Asin²δ_A|ｆ_aA|²と表わされます。

最後にこの全遷移速度の同じエネルギーを持つ全ての始状態にわたる総和はΣ_b,aｗ_baδ(Ｅ_a－Ｅ)＝{2/(πｈ_c)}|Σ_Asin²δ_Aです。

これらの結果は中心力場による粒子の散乱の伝統的位相のずれ

(phase shift)の解析で得られる馴染み深い式の一般化です。

中心力場での散乱では,Ｋの固有関数は対称性の考慮,すなわち始状態

ａと終状態ｂを定義する伝播ベクトルｋ_a,ｋ_bの同時の回転の下での

Ｋ_baの不変性から明らかです。

ｆ_aAは"ｋ_aの向きを決定する角度の関数＝球面関数":ｆ_aA＝ＣＹ_l^m(ｋ_a) (Ａ＝ｌ,ｍ)であると推論されます。

そして,Ｋの固有値Ｋ_Aは球面調和関数の次数,すなわちδ_A≡δ_lにのみ依存します。

定数Ｃは直交規格化条件:Σ_aｆ_aA^*δ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aB＝δ_AB,今の中心力散乱のケースでは|Ｃ|²∫Ｙ_l^m(ｋ)Ｙ_l'^m'(ｋ)ρｄΩ＝δ_ll'δ_mm'によって定めることができます。

ただし,ρｄΩは立体角ｄΩの内部運動に関わるエネルギー値域当たりの状態数です。

これは等エネルギー状態にわたる総和の重み因子として生じます。

つまり,ρｄΩは因子δ(Ｅ_a－Ｅ)によって制限される全ての状態にわたる総和を書き換えたものです。

空間の単位体積を想定してρを陽に表わすと,

ρ＝ｐ²ｄｐ/{(2πｈ_c)³ｄＥ}＝(8π³ｈ_c)^-1(ｋ²/ｖ)です。

２番目の式ではｐを波数ｋと粒子の速さｖで表現しています。

そこで,|Ｃ|²∫Ｙ_l^m(ｋ)Ｙ_l'^m'(ｋ)ρｄΩ＝δ_ll'δ_mm'と規格化されるためには|Ｃ|²＝1/ρ＝8π³ｈ_cｖ/ｋ²が要求されます。

そして,次には粒子がｋ_a方向から方向ｋ_bのまわりの立体角ｄΩに

散乱される単位時間当たりの確率ｗを遷移速度の式:

ｗ_ba＝{2/(πｈ_c)}|Σ_Asinδ_Aexp(iδ_A)ｆ_bAｆ_aA^* |²δ(Ｅ_a－Ｅ)

から計算します。

単純な置換から,ｗ＝{2/(πｈ_c)}|Σ_l,msinδ_lexp(iδ_l)|Ｃ|²

Ｙ_l^m(ｋ_b)Ｙ_l^m (ｋ_a) ^*|²ρｄΩが得られます。

このｗを入射粒子の流束を示すｖで割り|Ｃ|²＝1/ρとすることにより

極角θ方向に散乱される微分断面積のよく知られた表現:

ｄσ(θ)＝(1/ｋ²)|Σ_l(2ｌ＋1)sinδ_lexp(iδ_l)Ｐ_l(cosθ)|²ｄΩ

を得ます。

ここで,球面調和関数についての定理:

Σ_m=-l^lＹ_l^m(ｋ_b)Ｙ_l^m (ｋ_a)^*|＝{(2ｌ＋1)/(4π)}Ｐ_l(cosθ)

を用いました。

θはｋ_aとｋ_bのなす角,Ｐ_l(cosθ)はcosθのｌ次のLegendre多項式

です。

全散乱断面積σもΣ_bｗ_ba＝{2/(πｈ_c)}Σ_Asin²δ_A|ｆ_aA|²に対応して,

σ＝{2/(πｈ_cｖ)}Σ_l,msin²δ_l|Ｃ|²|Ｙ_l^m (ｋ_a)|²

＝(4π/ｋ²)Σ_l(2ｌ＋1)sin²δ_lとなります。

ここでは公式:Σ_m=-l^l|Ｙ_l^m (ｋ_a)|²＝(2ｌ＋1)/(4π)を用いました。

全断面積の式:σ＝(4π/ｋ²)Σ_l(2ｌ＋1)sin²δ_lは,入射ｋ_aの大きさ

ｋだけに依存して方向に依らないので,

Σ_b,aｗ_baδ(Ｅ_a－Ｅ)＝{2/(πｈ_c)}|Σ_Asin²δ_Aと同等な結果も

直ちに得られます。

この節の最後に,中心力場による散乱の一般的性格を持つような問題:

Ｋの固有関数がその対称性から決まり,基本的問題は固有値Ｋ_A,or

位相角δ_Aを得ることであるような問題の変分定式化を考察します。

この目的のため,表現:Ｋ_ba＝Σ_Aｆ_bAＫ_Aｆ_aA^*の逆が,

Σ_b,aｆ_ｂB^*δ(Ｅ_b－Ｅ)Ｋ_baｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ)＝Ｋ_Aδ_ABで与えられること

に着目します。

状態ベクトル;Φ_A≡Σ_aΦ_aｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ),および,

Ψ_A⁽¹⁾≡Σ_aΨ_a⁽¹⁾ｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ)を導入して,先に与えた

Ｋ'_ba＝＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Φ_a＞＋＜Φ_bＨ₁Ψ_a⁽¹⁾＞－＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Ψ_a⁽¹⁾＞

＋＜Ψ_b⁽¹⁾Ｈ₁Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_a⁽¹⁾＞ に代入します。

すると,Ｋ'_Aδ_AB＝－(1/π)tanδ'_Aδ_AB

＝＜Ψ_B⁽¹⁾Ｈ₁Φ_A＞＋＜Φ_BＨ₁Ψ_A⁽¹⁾＞－＜Ψ_B⁽¹⁾Ｈ₁Ψ_A⁽¹⁾＞

＋＜Ψ_B⁽¹⁾Ｈ₁Ｐ{1/(Ｅ－Ｈ₀)}Ｈ₁Ψ_A⁽¹⁾＞ となります。

Φ_Aはより正確にはΦ_A,Eと書かれるべきで,これは,

＜Φ_A,EΦ_B,E'＞＝Σ_aｆ_aA^*δ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aBδ(Ｅ_a－Ｅ')

＝δ(Ｅ－Ｅ')Σ_aｆ_aA^*δ(Ｅ_a－Ｅ)ｆ_aB

＝δ_ABδ(Ｅ－Ｅ')を満たします。

そこで,Φ_A＝Σ_aΦ_aｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ),および,

Ψ_A⁽¹⁾＝Σ_aΨ_a⁽¹⁾ｆ_aAδ(Ｅ_a－Ｅ)の逆は,

Φ_a＝Σ_Aｆ_aA^*Φ_A,およびΨ_a⁽¹⁾＝Σ_Aｆ_aA^*Ψ_A⁽¹⁾となって,

Ｋの固有関数で展開できます。

ちょっと時間がないので,今日はここで終わります。

参考文献:「新編物理学選集32(素粒子理論)」(1961,第2版)

(日本物理学会編 )