原子核のγ崩壊とメスバウアー効果(3)

　原子核のγ崩壊とメスバウアー効果の続きです。 

　非斉次方程式:{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^E_lm(ｋｒ)＝－Ｋ^E(ｒ),{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^M_lm(ｋｒ)＝－Ｋ^M(ｒ)を解くためにグリ－ン関数(Green function)の方法を用います。

{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝－ｒ^-2δ(ｒ－ｒ')を満たす関数:ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')を方程式の左辺の微分作用素(演算子)のグリーン関数といいます。

この関数が得られれば,Ｆ^E,M_lm(ｋｒ)＝∫₀^∞ｒ'²ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')Ｋ^E,M(ｒ')ｄｒ'なる式が{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｆ^E,M_lm(ｋｒ)＝－Ｋ^E,M(ｒ)を満たします。

グリ－ン関数もＦ^M_lm(ｋｒ),Ｆ^M_lm(ｋｒ)と同じ境界条件を満たすべきという物理的要請から,ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')は(ⅰ)ｒ＝0 (波源)近傍で有限で(ⅱ)ｒ→ ∞(遠方)で外向き球面波になるという条件を満たします。

ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')の添字の記号(＋)は外向き球面波を意味します。

方程式:{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝－ｒ^-2δ(ｒ－ｒ')はｒ≠ｒ'では斉次式ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝0 になります。

この斉次方程式の条件(ⅰ)を満たす解はｊ_l(ｋｒ)で(ⅱ)を満たす解はｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)で与えられることは既にわかっています。

そこで,ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')はｒ,r'について対称な関数であるとすればｒ＜ｒ'ではｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝Ａｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ'),ｒ＞ｒ'ではｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝Ａｊ_l(ｋｒ')ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)と書けます。

Ａを決めるため,まず{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝－ｒ^-2δ(ｒ－ｒ')を{ｄ/ｄｒ(ｒ²ｄ/ｄｒ)＋ｋ²ｒ²－ｌ(ｌ＋1)}ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝－δ(ｒ－ｒ')と変形してｒ∈[ｒ'－ε,ｒ'＋ε]の区間で積分し,最後にε→ +0 とします。

これから,[ｒ²ｄｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')/ｄｒ]_r'-ε^r'+ε＝－1です。代入するとＡｋ{ｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)－ｊ_l'(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)}＝－1/ｒ²を得ます。

ただし,ｊ_l'(ｋｒ)≡ｄｊ_l(ｋｒ)/ｄ(ｋｒ)＝ｋ^-1ｄｊ_l(ｋｒ)/ｄｒであり,ｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)≡ｄｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｄ(ｋｒ)＝ｋ^-1ｄｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｄｒです。

　ところで,２階斉次線形常微分方程式ｄ²ｙ/ｄｚ²＋ｐ(ｚ)ｄｙ/ｄｚ＋ｑ(ｚ)ｙ＝0 においては,その異なる２つの解ｙ＝ｙ₁,ｙ₂について１次独立性と関わるロンスキー行列式(Wronskian)と呼ばれる特別な式表現:Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]≡ｙ₁(ｄｙ₂/ｄｚ)－(ｄｙ₁/ｄｚ)ｙ₂＝ｙ₁²ｄ(ｙ₂/ｙ₁)があります。

これは,１階線形微分方程式ｄＷ[ｙ₁,ｙ₂]/ｄｚ＝ｙ₁(ｄ²ｙ₂/ｄｚ²)－(ｄ²ｙ₁/ｄｚ²)ｙ₂＝－ｐ(ｚ)Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]を満たすので,Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]＝Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]_z0exp{－∫_z0^zｐ(ｕ)ｄｕ}なる一般形を持ちます。Ｂ＝Ｗ[ｙ₁,ｙ₂]_z0は単なる積分定数です。

そして,上記の定数Ａを決定するための式:Ａｋ{ｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)－ｊ_l'(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)}＝－1/ｒ²は,Ｗ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝ｋ{ｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)－ｊ_l'(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)}なのでＡＷ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝－1/ｒ²と表わされます。

ところで,今の球ベッセル方程式ではｒの１階微分の係数が2/ｒですからＷ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝Ｗ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]_r0exp{－2∫_r0^rｄｒ/ｒ}＝Ｂｒ^-2(Ｂは定数)です。

そして,ｒ～ 0 ではｊ_l(ｋｒ)～(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!,ｄｊ_l(ｋｒ)/ｄｒ～ｋｌ(ｋｒ)^l-1/(2ｌ＋1)!!,ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)}～iｎ_l(ｋｒ)～－i(2ｌ－1)!!(ｋｒ)^-(l+1),ｄｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｄｒ＝iｋ(ｌ＋1)(2ｌ－1)!!,(ｋｒ)^l-1/(2ｌ＋1)!!より,Ｗ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝iｋ(ｋｒ)^-2です。

したがって,ＡＷ[ｊ_l,ｈ_l⁽¹⁾]＝Ａiｋ(ｋｒ)^-2＝－1/ｒ²によってＡ＝iｋを得ます。故に,ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝iｋｊ_l(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ')(ｒ＜ｒ'),ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝iｋｊ_l(ｋｒ')ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)(ｒ＞ｒ')です。

　これでグリーン関数ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')の具体形が得られ,原子核の中心近傍にある放射源の外側ｒ＞ｒ'ではｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')＝iｋｊ_l(ｋｒ')ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)であることがわかりました。

そして,前に書いたようにＦ^E,M_lm(ｋｒ)はグリーン関数ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')によってＦ^E,M_lm(ｋｒ)＝∫₀^∞ｒ'²ｇ_l^(＋)(ｒ,ｒ')Ｋ^E,M(ｒ')ｄｒ'と表わされます。

故に,ｒ＞ｒ'ではＦ^E,M_lm(ｋｒ)＝iｋｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)∫₀^∞ｒ’²ｊ_l(ｋｒ')Ｋ^E,M(ｒ')ｄｒ'です。

これを中心の放射源の外でＦ^E_lm(ｒ)→Ａ^E_lmＣ^E_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ),Ｆ^M_lm(ｒ)→Ａ^M_lmＣ^M_lm⁽¹⁾ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)となるという境界条件と比較すれば,ａ^E_lm≡Ａ^E_lmＣ^E_lm⁽¹⁾＝iｋ∫₀^∞ｒ²ｊ_l(ｋｒ)Ｋ^E(ｒ)ｄｒ＝－iμ₀ｋ∫Ｘ_l^m(Ω)^*ｊ_l(ｋｒ){∇×ｊ_e(ｒ)}ｄｒ,およびａ^M_lm≡Ａ^M_lmＣ^M_lm⁽¹⁾＝－μ₀ｃｋ²∫Ｘ_l^m(Ω)^*ｊ_l(ｋｒ){∇×Ｍ(ｒ)}ｄｒです。

さらに,定義によってＸ_l^m(Ω)≡ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)/{l(l＋1)}^1/2なのでＸ_l^m(Ω)^*＝ｈ_c^-1Ｌ^*Ｙ_l^m(Ω)^*/{l(l＋1)}^1/2です。

∇×ｊ_e(ｒ),∇×Ｍ(ｒ)はｒ→ ∞で1/ｒ²より急激にゼロになるため,Ｌのエルミート性から,ａ^E_lm＝－iμ₀ｋｈ_c^-1{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*Ｌ{∇×ｊ_e(ｒ)}ｄｒ,ａ^M_lm＝－μ₀ｃｋ²ｈ_c^-1{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*Ｌ{∇×Ｍ(ｒ)}ｄｒと書けます。

ところで,ベクトル解析から公式:ｈ_c^-1Ｌ(∇×ａ)＝i(ｒ×∇)(∇×ａ)＝i(ｒ∂/∂ｒ)∇ａ―iｒ∇²ａが成立します。

そこで,ａ＝ｊ_e(ｒ),またはａ＝Ｍ(ｒ)としたこの表現を代入すればａ^E_lm＝－μ₀ｋ{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*{(ｒ∂/∂ｒ)∇ｊ_e(ｒ)－ｒ∇²ｊ_e(ｒ)}ｄｒ,ａ^M_lm＝－iμ₀ｃｋ²ｈ_c^-1{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*{(ｒ∂/∂ｒ)∇Ｍ(ｒ)―ｒ∇²Ｍ(ｒ)}ｄｒを得ます。

さらに,∇²,i(ｒ∂/∂ｒ)はエルミート演算子であり左側の関数に作用するようにできます。そして∇²{ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*}＝－ｋ²ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*,∇ｊ_e＝iｃｋρ_eです。

また,∇Ｂ＝0 ですが,磁性体の中では∇Ｈ≠0 なので∇Ｍは一般にはゼロとは限りません。(2008年５/３の記事「電場と電束密度,磁場と磁束密度(4)」参照)

したがって,ａ^E_lm＝iμ₀ｃｋ²{l(l＋1)}^-1/2∫Ｙ_l^m(Ω)^*[ρ_e(ｒ)∂/∂ｒ{ｒｊ_l(ｋｒ)}＋iｃ^-1ｋ{ｒｊ_e(ｒ)}ｊ_l(ｋｒ)]ｄｒ,ａ^M_lm＝iμ₀ｃｋ²{l(l＋1)}^-1/2∫ｊ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(Ω)^*[∇Ｍ(ｒ)∂/∂ｒ{ｒｊ_l(ｋｒ)}－ｋ²{ｒＭ(ｒ)}ｊ_l(ｋｒ)]ｄｒと書けます。

ここまでは何の近似もしていません。 

ここで,電磁波のソース(source)が半径Ｒの原子核の場合を考えると,電磁波の波長λに対してＲ/λ＝ｋＲ＜＜1の長波長近似が成立してｒ≦Ｒではｊ_l(ｋｒ)～ (ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!です。それ故,(∂/∂ｒ){ｒｊ_l(ｋｒ)}～ (ｌ＋1)(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!です。

故に,Ｑ_lm≡∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*[ρ_e(ｒ)＋{iｋ/ｃ(ｌ＋1)}{ｒｊ_e(ｒ)}]ｄｒと置けばＥ波の係数はａ^E_lm＝iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｑ_lmと書けます。

また,Ｍ波ではＭ_lm≡－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*[∇Ｍ(ｒ)－{ｋ²/(ｌ＋1)}{ｒＭ(ｒ)}]ｄｒと置けばａ^M_lm＝{iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｍ_lmを得ます。

しかし,オーダー的に{ｋ/ｃ(ｌ＋1)}(ｒｊ_e)～ｋ/ｃ(ｌ＋1)}ｒ(ｋｃｒρ)＝(ｋｒ)²ρ/(ｌ＋1)なのでρ_e(ｒ)＋{iｋ/ｃ(ｌ＋1)}{ｒｊ_e(ｒ)}の第２項は無視できてＱ_lm＝∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*ρ_e(ｒ)ｄｒと近似されます。

同様に,Ｍ_lm＝－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*∇Ｍ(ｒ)ｄｒとできます。 

これまでの一連の電磁波放射の記事と同じく,Ｑ_lmを電気多極モ－メント,Ｍ_lmを磁気多極モーメントと呼びます。

　さて,電磁放射の強度分布を求めるには遠方領域(波動帯)において"単位時間に単位面積を通過するエネルギー＝ポインティングベクトル(Poyntung vector)":Ｓ(ｒ,ｔ)≡Ｅ(ｒ,ｔ)×Ｈ(ｒ,ｔ)を求める必要があります。

電磁放射では遠方領域は真空なのでＨ(ｒ,ｔ)＝Ｂ(ｒ,ｔ)/μ₀ですからＳ(ｒ,ｔ)≡Ｅ(ｒ,ｔ)×Ｂ(ｒ,ｔ)/μ₀です。そして複素表現でＥ(ｒ,ｔ)＝Ｅ(ｒ)exp(iωｔ),Ｂ(ｒ,ｔ)＝Ｂ(ｒ)exp(iωｔ)です。

実数表現ではＳ(ｒ,ｔ)＝{Ｅ(ｒ)×Ｂ^*(ｒ)/μ₀}cos²ωtですが,観測に掛かるのはこれのサイクル平均＜Ｓ(ｒ)＞であり,cos²ωtに代わる因子は1/2となるので＜Ｓ(ｒ)＞＝{Ｅ(ｒ)×Ｂ^*(ｒ)}/(2μ₀)です。

　これまでの考察から,ソースの外部領域ではＢ(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l{Ｂ^E_lm(ｒ)＋Ｂ^N_lm(ｒ)}＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[ａ^E_lmｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)－{i/(ｃｋ)}ａ^M_lm∇×{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}]です。

　また,Ｅ(ｒ)＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l{Ｅ^E_lm(ｒ)＋Ｅ^M_lm(ｒ)}＝Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l[(iｃ/ｋ)ａ^E_lm∇×{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}＋ａ^M_lmｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)]です。

　そして,Ｓを計算するにはＢ^E,M_lm,Ｅ^E,M_lmの遠方のｒ→ ∞での挙動を把握すれば十分です。そしてハンケル関数ではｒ→∞での漸近式がｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)→(－i)^l+1exp(iｋｒ)/(ｋｒ)です。

したがって,電気2^l極放射(Ｅ波)ではＢ^E_lm(ｒ)→ ａ^E_lm(－i)^l+1exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω),Ｅ^E_lm(ｒ)→ (iｃ/ｋ)ａ^E_lm(－i)^l+1∇×{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}であり,

磁気2^l極放射(Ｍ波)ではＥ^M_lm(ｒ)→ ａ^M_lm(－i)^l+1exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω),Ｂ^M_lm(ｒ)→ {－i/(ｃｋ)}ａ^M_lm(－i)^l+1∇×{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}です。

　そして,∇×{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)Ｘ_l^m(Ω)}＝∇{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}×Ｘ_l^m(Ω)＋{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}{∇×Ｘ_l^m(Ω)}＝iｋ{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}＋Ｏ(1/(ｋｒ)²です。ｅ_r≡ｒ/ｒです。

　そこで,電気2^l極放射ではＥ^E_lm(ｒ)～ －ｃａ^E_lm(－i)^l+1{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}＝ｃＢ^E_lm(ｒ)×ｅ_r,磁気2^l極放射ではＢ^M_lm(ｒ)～ ｃ^-1ａ^M_lm(－i)^l+1{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}＝ｃ^-1ｅ_r×Ｅ^M_lm(ｒ)を得ます。

　以上をまとめると,遠方領域でＢ(ｒ)＝{exp(iｋｒ)/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(－i)^l+1[ａ^E_lmＸ_l^m(Ω)＋ｃ^-1ａ^M_lm{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}],Ｅ(ｒ)＝ｃＢ(ｒ)×ｅ_rなる具体的な漸近表現を得ます。

　そこで,|Ｂ(ｒ)|＝ｃ^-1|Ｅ(ｒ)|であってｒ,Ｅ,Ｂはこの順に右手直交系を作ります。

　したがって,ベクトルＳ(ｒ)＝μ₀^-1Ｅ(ｒ)×Ｂ(ｒ)はｒ方向を向いていて,これのサイクル平均には因子1/2が掛かって＜Ｓ(ｒ)＞＝(2ｃμ₀)^-1|Ｅ(ｒ)|²ｅ_r＝{ｃ/(2μ₀)}|Ｂ(ｒ)|²ｅ_rです。

　結局,Ω＝(θ,φ)のまわりの微小立体角ｄΩに単位時間に放射される電磁エネルギーをｄＵとすれば,ｄＵ＝|＜Ｓ(ｒ)＞|ｒ²ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀)}|Ｂ(ｒ)|²ｒ²ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀ｋ²)}|Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(－i)^l+1[ａ^E_lmＸ_l^m(Ω)＋ｃ^-1ａ^M_lm{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}]|²ｄΩです。

もしも,γ線放射が純粋な電気(ｌ,ｍ)放射なら,ｄＵ^E_lm＝{ｃ/(2μ₀ｋ²)}|ａ^E_lm|²|Ｘ_l^m(Ω)|²ｄΩであり,純粋な磁気(ｌ,ｍ)放射なら,ｄＵ^M_lm＝{1/(2μ₀ｃｋ²)}|ａ^M_lm|²|Ｘ_l^m(Ω)|²ｄΩです。

これによれば,同じ(ｌ,ｍ)極放射であれば,その放射エネルギー密度は電気型,磁気型を問わず同じ強度角度分布|Ｘ_l^m(Ω)|²を有することがわかります。

　故に,γ線強度の角度分布の測定だけでは放射が電気多極放射か磁気多極放射かを判断することはできません。しかし,放射波の偏極(polarization) or 偏光を調べれば両者を区別できます。

　すなわち,電気多極放射ならその偏光はＸ_l^m(Ω)に平行であり,磁気多重極放射なら偏光はｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)に平行です。

さて,Ｚ_l^m(Ω)≡|Ｘ_l^m(Ω)|²と置けば,角度分布はｄＵ^E_lm/ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀)}Ｚ_l^m(Ω)|ａ^E_lm|²/ｋ²,ｄＵ^M_lm/ｄΩ＝{1/(2ｃμ₀)}Ｚ_l^m(Ω)|ａ^M_m|²/ｋ²です。

具体的にはＸ_l^m(Ω)≡ｈ_c^-1ＬＹ_l^m(Ω)/{l(l＋1)}^1/2でありＹ_l^m(Ω)＝(－1)^m{(2ｌ＋1)/(4π)}^1/2{(ｌ－ｍ)!/(ｌ＋ｍ)!}^1/2Ｐ_l^m(cosθ)exp(iｍφ)です。

ただし,Ｐ_l(ｚ)はルジャンドル多項式(Legendre polynomial):Ｐ_l(ｚ)≡(2^lｌ!)^-1(ｄ^l/ｄｚ^l)(ｚ²－1)^lであり,Ｐ_l^m(ｚ)はルジャンドル陪多項式:Ｐ_l^m(ｚ)≡(ｄ^l/ｄｚ^l)(ｚ²－1)^m/2{ｄ^mＰ_l(ｚ)/ｄｚ^m}(|ｍ|≦ｌ)です。

そして,ｈ_c^-1Ｌ_x＝－i{－sinφ(∂/∂θ)－cosθsin^-1θcosφ(∂/∂φ)},ｈ_c^-1Ｌ_y＝－i{cosφ(∂/∂θ)－cosθsin^-1θsinφ(∂/∂φ)},ｈ_c^-1Ｌ_z＝－i(∂/∂φ)です。

　そこで,例えばｌ＝1のＰ波なら,Ｘ₁⁰(Ω)＝2^-1/2ｈ_c^-1ＬＹ₁⁰＝{3/(8π)}^1/2(sinθsinφ,sinθcosφ,0)よりＺ₁⁰(Ω)＝|Ｘ_l^m(Ω)|²＝{3/(8π)}sin²θであり,Ｚ₁^±1(Ω)＝|Ｘ₁^±1 (Ω)|²＝{3/(16π)}(1＋cos²θ)です。

同様に,ｌ＝2のＤ波ならＺ₂⁰(Ω)＝{15/(8π)}sin²θcos²θ,Ｚ₂^±1(Ω)＝{5/(16π)}(1－5cos²θ＋4 cos⁴θ),Ｚ₂^±2(Ω)＝{5/(16π)}(1－5cos²θ＋4 cos⁴θ)です。

　いずれにしても,あらゆる方向に放射される(ｌ,ｍ)波の総和:Ｕ^E,M_lmはｄＵ^E,M_lm/ｄΩを全立体角で積分すれば得られます。

　ｄΩ積分を実行して規格化直交条件∫(Ｘ_l^m(Ω)^*Ｘ_l'^m'(Ω))ｄΩ＝δ_ll'δ_mm'を用いることにより放射がＥ波ならＵ^E_lm＝∫ｄＵ^E_lm＝{ｃ/(2μ₀)}|ａ^E_lm|²/ｋ²,Ｍ波ならＵ^M_lm＝∫ｄＵ^M_lm＝{1/(2ｃμ₀)}|ａ^M_lm|²/ｋ²を得ます。

一般には全ての(ｌ,ｍ)型のＥ波,Ｍ波の総和として,ｄＵ/ｄΩ＝{ｃ/(2μ₀ｋ²)}|Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(－i)^l+1[ａ^E_lmＸ_l^m(Ω)＋ｃ^-1ａ^N_lm{ｅ_r×Ｘ_l^m(Ω)}]|²より,Ｕ＝∫ｄＵ＝{ｃ/(2μ₀)}Σ_l=1^∞Σ_m=-l^l(|ａ^E_lm|²＋ｃ^-2|ａ^M_lm|²)/ｋ²です。

この式に,先に求めたａ^E_lm＝iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｑ_lm;電気多極放射:Ｑ_lm＝∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*ρ_e(ｒ)ｄｒ,ａ^M_lm＝{iμ₀ｃｋ^l+2/(2ｌ＋1)!!}{(l＋1)/l}^1/2Ｍ_lm;磁気多極放射;Ｍ_lm＝－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*∇Ｍ(ｒ)ｄｒの表現を組み合わせます。

ところで,空間反転ｒ→ －ｒ,つまり(ｒ,θ,φ)→(ｒ,π－θ,π＋φ)なる変換に対して球面調和関数はＹ_l^m(θ－π,π＋φ)＝(－1)^lＹ_l^m(θ,φ)なる性質を持ち符号が(－1)^lだけ変わります。

これを関数Ｙ_l^m(Ω)＝Ｙ_l^m(θ,φ)は(－1)^lのパリティ(parity:偶奇性)を持つといいます。また明らかにｒ^lのパリティは正です。

電荷ρ_e(ｒ)はスカラーなのでパリテイは正です。∇ＭではＭ(ｒ)がパリティ正の軸性ベクトル,∇がパリティ負の極性ベクトルのため,∇Ｍのパリテイは負です。

以上から,Ｑ_lm＝∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*ρ_e(ｒ)ｄｒのパリティは(－1)^l,Ｍ_lm＝－∫ｒ^lＹ_l^m(Ω)^*∇Ｍ(ｒ)ｄｒのパリティは(－1)^l+1です。

さて,原子核の多極モーメントの幾つかの低次の具体的表現を求めてみると次のようになります。

電気多極では,Ｑ₀₀＝(4π)^-1/2∫ρ_e(ｒ)ｄｒ＝(4π)^-1/2ｑ(ｑは核の総電荷),Ｑ₁₀＝{3/(4π)}1^1/2∫ｒρ_e(ｒ)cosθｄｒ＝{3/(4π)}1^1/2∫ｚρ_e(ｒ)ｄｒ(∫ｚρ_e(ｒ)ｄｒは電気双極子モーメント)etc.です。

磁気多極では,Ｍ₀₀＝－(4π)^-1/2∫∇Ｍ(ｒ)ｄｒ＝－(4π)^-1/2∫Ｍ(ｒ)ｎｄＳ＝0,Ｍ₁₀＝－{3/(4π)}1^1/2∫ｚ∇Ｍ(ｒ)ｄｒ＝－{3/(4π)}1^1/2∫Ｍ_z(ｒ)ｄｒetc.です。

　これまでは古典論でしたが,原子核が量子論的状態|Ψ＞にある場合の量子論での話に移行するには,単に古典論での多極モーメントＱ_lm,Ｍ_lmを,それらに対応する線形演算子Ｑ_lm,Ｍ_lmの期待値＜Ψ|Ｑ_lm|Ψ＞,＜Ψ|Ｍ_lm|Ψ＞で置きかえれば十分です。

　例えば,Ｍ_l0を得るなら,Ψ(ｒ)＝＜ｒ|Ψ＞を波動関数としてＭ_l0＝＜Ψ|Ｍ_l0|Ψ＞＝∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0Ψ(ｒ)ｄｒを計算します。

　ところで,Ｍ_l0＝∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0Ψ(ｒ)ｄｒで|Ψ^*Ψ|＝|Ψ|²のパリティ(parity:偶奇性＝空間反転の固有値)は正ですから,Ｍ_l0のパリティはＭ_l0のそれと同じ(－1)^l+1です。

　もしも,Ｍ_l0のパリテイが負なら,それは∫Ψ^*(－ｒ)Ｍ_l0(－ｒ)Ψ(－ｒ)ｄｒ＝－∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒを意味します。

　ところが,左辺は元が右手系なら単に空間軸が反対の左手系に移行しただけです。

　つまり,この積分はｒ'＝－ｒと変数置換しただけなので,これば∫Ψ^*(－ｒ)Ｍ_l0(－ｒ)Ψ(－ｒ)ｄｒ＝－∫'Ψ^*(ｒ')Ｍ_l0(ｒ')Ψ(ｒ')ｄｒ'と書けます。

　ただし,ｒの積分領域とそれに対応する積分変数ｒ'の積分領域の違いを強調するため,ｒ'の積分記号を∫'と書いて区別表記しました。

　一般に,座標積分変数の反転ｘ'＝－ｘに対しては,∫_-∞^∞ｄｘ＝－∫_∞^-∞ｄｘ'＝∫_-∞^∞ｄｘ'なので積分値の符号は代わりません。

　従って,積分区間の変更:∫→∫'のため,∫Ψ^*(－ｒ)Ｍ_l0(－ｒ)Ψ(－ｒ)ｄｒ＝∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒを得ます。

　以上から,Ｍ_l0のパリテイが負なら∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒ＝－∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒが成立するため,∫Ψ^*(ｒ)Ｍ_l0(ｒ)Ψ(ｒ)ｄｒはゼロになります。

　すぐ上で書いたように,Ｍ_l0のパリテイはＭ_l0と同じ(－1)^l+1ですから原子核のｌが偶数(ｌ＝0,2,4,..)の全ての磁気2^l極モーメントの値はゼロとなります。

　同様にＱ_l0のパリテイはＱ_l0と同じ(－1)^lですから原子核のｌが奇数(ｌ＝1,3,5,..)の全ての電気2^l極モーメントの値はゼロとなります。

　原子核では,"電気双極子(electric dipole)＝電気分極ベクトル"Ｐ(ｒ)が存在しないのもこの結果の一例であると考えられます。

　また,角運動量の合成則から核スピンがＩの状態では,ｌ＞(2Ｉ)の次数の電磁2^l極モーメントは存在しません。そこで,特にＩ＝1/2の状態では電気四重極モーメントはゼロです。

　つまり,核スピンがＩの状態では相互作用中の電磁場の角運動量:Ｌ＝ｈ_cｌに対して角運動量の保存則からＩ＝Ｉ＋ｌが成立します。

　一方,角運動量の理論からＩ₂＝Ｉ₁＋ｌが成立するとき,ｌ≡|ｌ|の取り得る値はｌ＝－|Ｉ₁－Ｉ₂|,－|Ｉ₁－Ｉ₂|＋1,..,Ｉ₁＋Ｉ₂で,ｌの取り得る最大値はＩ₁＋Ｉ₂です。

　そこで,Ｉ₁＝Ｉ₂＝Ｉならｌの取り得る最大値が 2Ｉなのでｌ＞(2Ｉ)の次数の電磁2^l極モーメントは存在しないのです。

　特にＩ＝1/2ならｌの取り得る最大値が１なので,ｌ＝２の電気四重極モーメントも存在しませんね。

　切りがいいので今日はここで終わりにします。(つづく)

参考文献:八木浩輔著「原子核と放射」(朝倉書店),八木浩輔 著「原子核物理学」(朝倉書店),砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン著(西田 稔 訳)「電磁気学」