電磁波の放射(3)(多重極展開:続き)

　電磁波の放射の続きです。まだ,ｌ＝2 の項の評価が残っています。

まず,φ₂(ｒ,ｔ)＝{1/(12πε₀)}[ｒ(ｄ/ｄｒ)(1/ｒ)(ｄ/ｄｒ){＜ρ_e⁽²⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞/ｒ}]＝{1/(12πε₀)}{3ｒ^-3－2ｒ^-2(ｄ/ｄｒ)＋ｒ^-1(ｄ²/ｄｒ²)}＜ρ_e⁽²⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞＝{1/(12πε₀)}{3ｒ^-3＋2ｃ^-1ｒ^-2(ｄ/ｄｔ)＋ｃ^-2ｒ^-1(ｄ²/ｄｔ²)}＜ρ_e⁽²⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞です。

これを見ると,波動帯に寄与するＯ(1/ｒ)＝Ｏ(ｒ^-1)のオーダーの量はやはり２階時間微分項だけで,そのφ₂はφ₂(ｒ,ｔ) ～ {1/(12πε₀ｃ²ｒ)}(ｄ²/ｄｔ²)}＜ρ_e⁽²⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞で与えられます。

そして,＜ρ_e⁽²⁾(ｔ)＞＝∫ρ_e(ｒ',ｔ)ｒ'²Ｐ₂(cosθ')ｄ³ｒ'＝(1/2)∫ρ_e(ｒ',ｔ))ｒ'²(3cos²θ'－1)ｄ³ｒ'＝(3/2)∫ρ_e(ｒ',ｔ){(ｎｒ')(ｎｒ')－(1/3)ｒ' ²}ｄ³ｒ'＝3Ｑ(ｔ)/2 です。

ただし,ｎ≡ｒ/ｒであり,Ｑ(ｔ)≡∫ρ_e(ｒ',ｔ){(ｎｒ')(ｎｒ')－(1/3)ｒ' ²}ｄ³ｒ'です。

そこで,φ₂(ｒ,ｔ) ～ Ｑ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(8πε₀ｃ²ｒ)を得ます。

一方,Ａ₂(ｒ,ｔ)＝{－μ₀/(4π)}(ｄ/ｄｒ){＜ｊ_e⁽¹⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞/ｒ}＝{μ₀/(4π)} {ｒ^-2＋ｃ^-1ｒ^-1(ｄ/ｄｔ)}＜ｊ_e⁽¹⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞なので,波動帯Ｏ(1/ｒ)に寄与する部分だけで表現すると,Ａ₂(ｒ,ｔ) ～ {μ₀/(4πｃｒ)}(ｄ/ｄｔ)}＜ｊ_e⁽¹⁾(ｔ－ｒ/ｃ)＞です。

そして,＜ｊ_e⁽¹⁾(ｔ)＞＝∫ｊ_e(ｒ',ｔ)ｒ'cosθ'ｄ³ｒ'＝∫ｊ_e(ｒ',ｔ)(ｎｒ')ｄ³ｒ'です。

これに,式:{ｒ'×ｊ_e(ｒ',ｔ)}×ｎ＝ｊ_e(ｒ',ｔ)(ｒ'ｎ)－ｒ'(ｊ_e(ｒ',ｔ)ｎ)を適用すると,＜ｊ_e⁽¹⁾(ｔ)＞＝∫ｊ_e(ｒ',ｔ)(ｎｒ')ｄ³ｒ'＝∫ｒ'×ｊ_e(ｒ',ｔ)}×ｎｄ³ｒ'＋∫ｒ'(ｊ_e(ｒ',ｔ)n)ｄ³ｒ'となります。

　一方,∂_j'{ｘ'_k(ｒ'ｎ)ｊ_ej(ｒ',ｔ)}＝ｘ_k'(ｒ'ｎ)(div'ｊ_e)＋(ｒ'ｎ)ｊ_ek(ｒ',ｔ)＋ｘ_k'(ｊ_e(ｒ',ｔ)ｎ)＝ｊ_ek(ｒ',ｔ)(ｎｒ')＋ｘ_k'(ｊ_e(ｒ',ｔ)ｎ)－ｘ_k'(ｒ'ｎ){∂ρ_e(ｒ',ｔ)/∂ｔ}です。

この両辺を体積積分すると左辺は表面積分となって消えるので,∫ｒ'(ｊ_e(ｒ',ｔ)ｎ)ｄ³ｒ'＝－∫ｊ_e(ｒ',ｔ)(ｎｒ')ｄ³ｒ'＋∫ｒ'(ｒ'ｎ){∂ρ_e(ｒ',ｔ)/∂ｔ}ｄ³ｒ'です。

　故に,∫ｊ_e(ｒ',ｔ)(ｎｒ')ｄ³ｒ'＝(1/2)[∫ｒ'×ｊ_e(ｒ',ｔ)ｄ³ｒ']×ｎ＋(1/2)∫ｒ'(ｒ'ｎ){∂ρ_e(ｒ',ｔ)/∂ｔ}ｄ³ｒ'を得ます。

それ故,Ａ₂(ｒ,ｔ)は磁気双極子モーメント:ｍ(ｔ)≡(1/2)∫{ｒ×ｊ_e(ｒ,ｔ)}ｄ³ｒによりＡ₂(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4πｃｒ)}{ｍ^d(ｔ－ｒ/ｃ)×ｎ＋(1/2)∫ρ_e^2d(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'(ｒ'ｎ)ｄ³ｒ'と表わされます。 

そこで,Ｑ(ｔ)≡∫ρ_e(ｒ',ｔ){ｒ'(ｒ'ｎ)－(1/3)ｎｒ'²}ｄ³ｒ'と定義すれば,Ｑ(ｔ)＝ｎＱ(ｔ)で,右辺最後の積分項は∫ρ_e(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'(ｒ'ｎ)ｄ³ｒ'＝Ｑ(ｔ－ｒ/ｃ)＋(1/3)ｎ∫ρ_e(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'²ｄ³ｒ'の２階微分です。 

　したがって,Ａ₂(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4πｃｒ)}{ｍ^d(ｔ－ｒ/ｃ)×ｎ＋(1/2)Ｑ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)＋(1/6)ｎ∫ρ_e^2d(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'²ｄ³ｒ'}なる表式が得られます。

　上に得られたｌ＝2 の電磁ポテンシャル:φ₂(ｒ,ｔ),Ａ₂(ｒ,ｔ)の波動帯表現から磁気双極子ｍに関わる部分を取り出せば,φ₂^(m)(ｒ,ｔ)＝0,Ａ₂^(m)(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4πｃ)}{ｍ^d(ｔ－ｒ/ｃ)×ｎ}/ｒです。

そこで,波動帯での磁気双極子ｍによる電場,および磁場はＥ₂^(m)(ｒ,ｔ)＝－∂Ａ₂^(m)(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝－{μ₀/(4πｃ)}{ｍ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)×ｎ}/ｒ,およびＢ₂^(m)(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ₂^(m)(ｒ,ｔ)～{μ₀/(4πｃ²)}[{ｍ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)×ｎ}×ｎ]/ｒです。

これを見ると,やはりＥ₂^(m),Ｂ₂^(m),ｎは互いに垂直でこの順に右手系を作り,Ｅ₂^(m),Ｂ₂^(m)は共に横波であると同時に|Ｅ₂^(m)|＝ｃ|Ｂ₂^(m)|を満たしています。

それ故,サイクル平均のエネルギー流束は,＜Ｓ＞＝{ｃ/(2μ₀)}|Ｂ₂^(m)|²ｎとなりますから,単位時間にｎ方向へ出て行くエネルギー密度は＜Ｓ＞ｎ＝{μ₀/(32π²ｃ²ｒ²)}|ｍ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)|²sin²θです。 

そこで,ｍの寄与する全方向への散逸エネルギーはＰ＝∫＜Ｓ＞ｎｄＳ＝{μ₀/(12π²ｃ²)}|ｍ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)|²と評価されます。 

こうした磁気双極子ｍの振動に基づく電磁波の放射を磁気双極子放射(magnetic dipole radiation)といいます。

　一方,電気四重極モーメント:Ｑ,またはＱによる部分はφ₂(ｒ,ｔ) ～ Ｑ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/(8πε₀ｃ²ｒ)と,Ａ₂(ｒ,ｔ)の残りの{μ₀/(4πｃｒ)}{(1/2)Ｑ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)＋(1/6)ｎ∫ρ_e^2d(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'²ｄ³ｒ'}で与えられるはずです。

しかし,元々のφ(ｒ,ｔ)の正確な展開は,φ(ｒ,ｔ)＝Σ_l=0^∞φ_l(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)∫_-∞^∞ｄｔ'{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄωexp{－iω(ｔ－ｔ')}(iω/ｃ)ｈ_l⁽¹⁾(ωｒ/ｃ)∫ｊ_l(ωｒ'/ｃ)Ｐ_l(cosθ')ρ_e(ｒ',ｔ')ｄ³ｒ'です。

前回示したように,今は被積分関数の球面ベッセル関数の因子:j_l(ωｒ'/ｃ)＝(ω/ｃ)^l{ｒ'^l/(2ｌ＋1)!!}[1－(ω/ｃ)²ｒ'²/{2(2ｌ＋3)}＋..]のｒ'～ 0 付近の展開の第１項のみを取る近似をしています。 

この近似からφ(ｒ,ｔ)＝Σ_l=0^∞φ_l(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2ｌ＋1)!!}(－ｒ)^l{(1/ｒ)ｄ/ｄｒ}^l{＜ρ_e^(l)(ｔ－ｒ/ｃ)＞/ｒ};＜ρ_e^(l)(ｔ')＞≡∫ρ_e(ｒ',ｔ')ｒ'^lＰ_l(cosθ')ｄ³ｒ'なる表現式を得たわけです。

そして,特にφ₀(ｒ,ｔ)＝ｑ/(4πε₀ｒ);ｑ≡＜ρ_e^(l)(ｔ－ｒ/ｃ)＞＝∫ρ_e(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｄ³ｒ'なる無関係な静電場を得ました。

しかし,もしも j₀(ωｒ'/ｃ)＝1－(ω/ｃ)²ｒ'²/6＋..の展開の第２項まで取れば,－(ω/ｃ)²ｒ'²/6 のφ₀(ｒ,ｔ)への寄与は第１項のｑ＝＜ρ_e^(l)(ｔ－ｒ/ｃ)＞に比して,(1/6ｃ²)∫ρ_e^2d(ｒ',ｔ－ｒ/c)ｒ'²ｄ³ｒ'を代入したものになります。

この項は,先のＡ₂^(e)(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4πｃｒ)}{(1/2)Ｑ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)＋(1/6)ｎ∫ρ_e^2d(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'²ｄ³ｒ'}の右辺の第２項と同じオーダーですから,これを問題にするなら,上記の項もｌ＝2への寄与と共に考慮する必要があります。

これを考慮すると,φ₂^(e)(ｒ,ｔ)＝{1/(8πε₀ｃ²)}[Ｑ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ＋{1/(3ｒ)}∫ρ_e^2d(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'²ｄ³ｒ’]と書けます。 

一方,Ａ₂^(e)(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(8πｃ)}[Ｑ^2d(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ＋{ｎ/(3ｒ)}∫ρ_e^2d(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'²ｄ³ｒ’]です。

これらから得られる電場は,Ｅ₂^(e)(ｒ,ｔ)＝－∇φ₂^(e)(ｒ,ｔ)－∂Ａ₂^(e)(ｒ,ｔ)/∂ｔですが,これへのφ₂^(e),Ａ₂^(e)の右辺第２項の寄与は{ｎ/(24πε₀ｃ²ｒ²)}∫ρ_e^2d(ｒ',ｔ－ｒ/ｃ)ｒ'²ｄ³ｒ'です。

また,磁場:Ｂ₂^(e)(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ₂^(e)(ｒ,ｔ)へのＡ₂^(e)の右辺第２項の寄与はゼロです。そこで,結局,ポテンシャルφ₂^(e),Ａ₂^(e)の右辺第２項はＯ(1/ｒ)の波動帯には寄与しません。

したがって,波動帯ではポテンシャルφ₂^(e),Ａ₂^(e)のそれぞれ右辺第１項のみを考えればいいことになります。 

すなわち,波動帯ではＥ₂^(e)(ｒ,ｔ)＝－∂Ａ₂^(e)(ｒ,ｔ)/∂ｔ－∇φ₂^(e)(ｒ,ｔ)～{μ₀/(8πｃ)}{－Ｑ^3d(ｔ－ｒ/ｃ)/ｒ＋Ｑ^3d(ｔ－ｒ/ｃ)ｎ/ｒ}＝{μ₀/(8πｃ)}[{Ｑ^3d(ｔ－ｒ/ｃ)×ｎ}×ｎ]/ｒです。

そして,Ｂ₂^(e)(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ₂^(e)(ｒ,ｔ)～{μ₀/(8πｃ)}[{Ｑ^3d(ｔ－ｒ/ｃ)×ｎ}×ｎ]/ｒが得られます。

これらを見れば,Ｅ₂^(e),Ｂ₂^(e)はやはり横波であってＥ₂^(e)＝－ｃｎ×Ｂ₂^(e)であり,|Ｅ₂^(e)|＝ｃ|Ｂ₂^(e)|を得ます。

そこで,双極子放射と同様に＜Ｓ＞ｎ＝{ｃ/(2μ₀)}|Ｂ₂^(e)|²＝{μ₀/(128π²ｃ³ｒ²)}|Ｑ^3d(ｔ－ｒ/ｃ)×ｎ|²です。

全放射エネルギーへの寄与として,Ｐ＝∫＜Ｓ＞ｎｄＳ＝{μ₀/(128π²ｃ³)}∫|Ｑ^3d(ｔ－ｒ/ｃ)×ｎ|²|ｄΩなる評価式を得ます。 

Ｑ^3d(ｔ－ｒ/ｃ)がｎに依存する方向性を持つため,電気四重極子ではその構造を詳しく指定しないと,＜Ｓ＞ｎやＰの具体的な値を得ることができません。 

こうした電気四重極子による放射を電気四重極子放射(electric quadrapole radiation)と呼びます。

　短いですが今日はこのくらいにします。

　次回はちょっと脱線して点電荷による電磁波の放射や制動輻射(Bremsstrahlung)の古典論と量子論？を論じる予定です。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店)