電磁波の放射(4)(点電荷による電磁波１)

　「電磁波の放射」の続きです。

　今回は点電荷(point charge)による電磁波の放射です。

　まず,点電荷の軌道(orbital)が予め与えられていると仮定して,それをｚ＝ｚ(ｔ)と記述します。

　点電荷の全電荷(charge)をｅとすると全空間にそれだけしか存在しない場合の電荷密度はρ_e(ｒ,ｔ)＝ｅδ³(ｒ－ｚ(ｔ)),電流密度はｊ_e(ｒ,ｔ)＝ｅｚ^d(ｔ)δ³(ｒ－ｚ(ｔ))です。

　ただし,ｚ^d(ｔ)≡ｄｚ(ｔ)/ｄｔです。

これを,通常の真空中の電磁ポテンシャルである一般的な遅延ポテンシャル(retarded potential)の表式:φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'ρ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|,およびＡ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'ｊ_e(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'|;ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃに代入します。

すると,φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'δ³(ｒ'－ｚ(ｔ'))/|ｒ－ｒ'|,Ａ(ｒ,ｔ)＝{μｅ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'ｚ^d(ｔ')δ³(ｒ'－ｚ(ｔ'))/|ｒ－ｒ'|;ｔ'＝ｔ－|ｒ－ｒ’|/ｃです。

これの空間積分を実行することで,例えばスカラーポテンシャル:φ(ｒ,ｔ)はφ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}{1/|ｒ－ｚ(ｔ')|};ｔ'＝ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃになると考えがちですが,これは明らかに間違いです。

何故なら,空間積分を行なう前の被積分関数のデルタ関数はδ³(ｒ'－ｚ(ｔ'))＝δ³(ｒ'－ｚ(ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃ))であり,ｚの引数:ｔ'＝ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃの中に空間積分の変数ｒ'を含んでいるからです。

　そこで,計算の余計な複雑化を避けるために上記表現を得る前,つまり時間積分∫ｄｔ'を行なう前の表現式:Ａ^μ(ｒ,ｔ)＝Ａ_in^μ(ｒ,ｔ)＋∫ｄ³ｒ'∫_-∞^tｄｔ'{1/(4π|ｒ－ｒ'|)}δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｒ'|/ｃ)ｓ^μ(ｒ',ｔ')まで戻ります。

　すなわち,φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'∫_-∞^tｄｔ'δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｒ'|/ｃ)δ³(ｒ'－ｚ(ｔ'))/|ｒ－ｒ'|,Ａ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'∫_-∞^tｄｔ'δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｒ'|/ｃ)ｚ^d(ｔ')δ³(ｒ'－ｚ(ｔ'))/|ｒ－ｒ'|を出発点にします。

　こうすれば空間積分∫ｄ³ｒ'は直ちに実行できて,φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}∫_-∞^tｄｔ'δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｚ(ｔ')|/ｃ)/|ｒ－ｚ(ｔ')|,Ａ(ｒ,ｔ)＝{μｅ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'∫_-∞^tｄｔ'δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｚ(ｔ')|/ｃ)ｚ^d(ｔ')/|ｒ－ｚ(ｔ')|となります。

　続いて行なうべき時間積分∫_-∞^tｄｔ'は,空間積分の実行よりやや面倒です。そのためｆ(ｔ')≡ｔ'＋|ｒ－ｚ(ｔ')|/ｃと定義すると,上記の電磁ポテンシャルの時間積分表式は∫_-∞^tｄｔ'ｇ(ｔ')δ(ｔ－ｆ(ｔ'))なる形です。

　上の最後の形の積分でｙ＝ｆ(ｔ')と変数を置換します。ｙ＝ｆ(ｔ')がｔ'について,ｔ'＝ｆ^-1(ｙ)≡ｈ(ｙ)のように解けるなら,ｄｔ'＝(ｄｈ/ｄｙ)ｄｙです。

　すると,∫ｄｔ'ｇ(ｔ')δ(ｔ－ｆ(ｔ'))＝∫ｇ(ｈ(ｙ))(ｄｈ/ｄｙ)δ(ｔ－ｙ)ｄｙ＝ｇ(ｈ(ｔ)){ｄｈ(ｔ)/ｄｔ}と書けます。

　それ故,ｙ＝ｆ(ｔ')＝ｔを満たすｔ'をｔ₀'と書けばｔ＝ｆ(ｔ₀'), or ｔ₀'＝ｈ(ｔ)です。

　そこでｄｈ(ｔ)/ｄｔ＝ｄｔ₀'/ｄｔ＝{ｄｆ(ｔ₀')/ｄｔ₀'}^-1ですから,∫ｄｔ'ｇ(ｔ')δ(ｔ－ｆ(ｔ'))＝ｇ(ｈ(ｔ)){ｄｈ(ｔ)/ｄｔ}＝ｇ(ｔ₀'){ｄｆ(ｔ₀')/ｄｔ₀'}^-1なる表現を得ます。

　ｆ(ｔ₀')＝ｔ₀'＋|ｒ－ｚ(ｔ₀')|/ｃなので,ｄｆ(ｔ₀')/ｄｔ₀'＝1－(1/ｃ)[{ｄｚ(ｔ₀')/ｄｔ₀'}{ｒ－ｚ(ｔ₀')}]/|ｒ－ｚ(ｔ₀')|です。

さらに,簡単のためにｎ(ｔ₀')≡{ｒ－ｚ(ｔ₀')}/|ｒ－ｚ(ｔ₀')|,α(ｔ₀')≡ｄｆ(ｔ₀')/ｄｔ₀'と置きます。

このｎ(ｔ₀')は,物理的には時刻ｔ＝ｆ(ｔ₀')＝ｔ₀'＋|ｒ－ｚ(ｔ₀')|/ｃにｒで受信する電磁波の発信時刻ｔ₀'における荷電粒子の位置ｚ(ｔ₀')から受信点ｒに向かう単位ベクトルを表わしています。

　一方,α(ｔ₀')＝ｄｆ(ｔ₀')/ｄｔ₀'の具体的な形は,α(ｔ₀')＝1－(1/ｃ){ｄｚ(ｔ₀')/ｄｔ₀'}{ｒ－ｚ(ｔ₀')}/|ｒ－ｚ(ｔ₀')|＝1－{ｚ^d(ｔ₀')ｎ(ｔ₀')}/ｃ;ｚ^d(ｔ₀')≡ｄｚ(ｔ₀')/ｄｔ₀'です。

　したがって,結局φ(ｒ,ｔ)＝ｇ(ｔ₀'){ｄｆ(ｔ₀')/ｄｔ₀'}^-1＝{ｅ/(4πε₀)}{α(ｔ₀')^-1/|ｒ－ｚ(ｔ₀')|}＝{ｅ/(4πε₀)}[|ｒ－ｚ(ｔ₀')|－ｚ^d(ｔ₀'){ｒ－ｚ(ｔ₀')}/ｃ]^-1,

　および,Ａ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}(ｚ^d(ｔ₀')/[|ｒ－ｚ(ｔ₀')|－ｚ^d(ｔ₀'){ｒ－ｚ(ｔ₀')}/ｃ])を得ます。

ただし,ｔ₀'は位置ｒにおける受信時刻ｔに対して,ｔ₀'＝ｔ－|ｒ－ｚ(ｔ₀')|/ｃの解として得られる発信時刻です。

得られたφ(ｒ,ｔ),Ａ(ｒ,ｔ)の最終表式は,運動する点電荷によって生じる電磁ポテンシャルの一般表式ですが,これらは発見者の名を取ってリエナール・ウィーヘルトのポテンシャル(Lie’nard-Wiechert potential)と呼ばれます。

実際に観測される電場Ｅ,磁場Ｂは,Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａにより電磁ポテンシャル:φ,Ａから得られるので,運動する点電荷によって生じる電場,磁場はリエナール・ウィーヘルトのポテンシャルφ,Ａのｒやｔによる微分を取れば得ることができます。

しかし,ｒによる微分を行うにはｔ₀'＝ｔ－|ｒ－ｚ(ｔ₀')|/ｃの中のｒについての微分も実行する必要があります。これは,またまたかなり面倒な課題です。

そこで,上記リエナール・ウィーヘルトのポテンシャルの導出が無駄なようにも見えますが,再び表式φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}∫ｄ³ｒ'∫_-∞^tｄｔ'δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｒ'|/ｃ)δ³(ｒ'－ｚ(ｔ'))/|ｒ－ｒ'|,

Ａ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}∫ｄ³ｒ'∫_-∞^tｄｔ'δ(ｔ－ｔ'－|ｒ－ｒ'|/ｃ)ｚ^d(ｔ')δ³(ｒ'－ｚ(ｔ'))/|ｒ－ｒ'|に戻ります。

　この表現では,ｒに関する微分は全て被積分関数の中の引数Ｒ≡|ｒ－ｒ'|を通してのみ行なえばいいことがわかります。

　そして,∂Ｒ/∂ｘ＝(ｘ－ｘ')/Ｒ etc.ですから,∇＝{(ｒ－ｒ')/Ｒ}(∂/∂Ｒ)＝ｎ(∂/∂Ｒ),ただしｎ≡(ｒ－ｒ')/|ｒ－ｒ'|＝Ｒ/Ｒ,Ｒ≡ｒ－ｒ'です。

よって,∇φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}∫_-∞^tｄｔ'∫ｄ³ｒ'δ³(ｒ'－ｚ(ｔ'))ｎ(∂/∂Ｒ){δ(ｔ－ｔ'－Ｒ/ｃ)/Ｒ}です。

　さらに,Ｒ(ｔ')≡ｘ－ｚ(ｔ'),Ｒ(ｔ')≡|Ｒ(ｔ')|,ｎ(ｔ')≡Ｒ(ｔ')/Ｒ(ｔ')と置きます。そして,特にｔ'＝ｔ₀'のときｎ(ｔ₀')は前に定義したｎ(ｔ₀')に一致します。

∇φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}∫_-∞^tｄｔ'[－ｎ(ｔ')δ(ｔ－ｔ'－Ｒ(ｔ')/ｃ)/Ｒ²(ｔ')＋ｎ(ｔ'){∂δ(ｔ－ｔ'－Ｒ(ｔ')/ｃ)/∂Ｒ(ｔ')}/Ｒ(ｔ')]です。

　一方,∂Ａ(ｒ,ｔ)/∂ｔ＝{μ₀ｅ/(4π)}∫_-∞^tｄｔ'∫ｄ³ｒ'[{ｚ^d(ｔ')δ³(ｒ'－ｚ(ｔ'))/Ｒ}{∂δ(ｔ－ｔ'－Ｒ/ｃ)/∂ｔ}＝{－μ₀ｅｃ/(4π)}∫_-∞^tｄｔ'[ｚ^d(ｔ'){∂δ(ｔ－ｔ'－Ｒ(ｔ')/ｃ)/∂Ｒ(ｔ')}/Ｒ(ｔ')]です。

　故に,Ｅ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}∫_-∞^tｄｔ'[ｎ(ｔ')δ(ｔ－ｔ'－Ｒ(ｔ')/ｃ)/Ｒ²(ｔ')－{ｎ(ｔ')－ｚ^d(ｔ')/ｃ}{∂δ(ｔ－ｔ'－Ｒ(ｔ')/ｃ)/∂Ｒ(ｔ')}/Ｒ(ｔ')]です。

　∫_-∞^tｄｔ'積分を実行すると右辺第１項は{ｅ/(4πε₀)}[ｎ(ｔ₀')/{Ｒ²(ｔ₀')α(ｔ₀')}]です。

一方,第２項は{－ｅ/(4πε₀ｃ)}∫ｄｙ[(ｄｈ/ｄｙ){ｎ(ｔ')－ｚ^d(ｔ')/ｃ}{∂δ(ｔ－ｙ)/∂ｙ}/Ｒ(ｔ')]＝{ｅ/(4πε₀ｃ)}∫ｄｙδ(ｔ－ｙ)(∂/∂ｙ)[(ｄｈ/ｄｙ){ｎ(ｔ')－ｚ^d(ｔ')/ｃ}/Ｒ(ｔ')]＝{ｅ/(4πε₀ｃ)}(∂/∂ｔ)[(ｄｈ(ｔ)/ｄｔ){ｎ(ｔ₀')－ｚ^d(ｔ₀')/ｃ}/Ｒ(ｔ₀')]です。

したがって,∂/∂ｔ＝α(ｔ₀')^-1(∂/∂ｔ₀'),かつｄｈ(ｔ)/ｄｔ＝α(ｔ₀')^-1よりＥ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}(ｎ(ｔ₀')/{Ｒ²(ｔ₀')α(ｔ₀')}＋{ｃα(ｔ₀')}^-1(∂/∂ｔ₀')[{ｎ(ｔ₀')－ｚ^d(ｔ₀')/ｃ}/{Ｒ(ｔ₀')α(ｔ₀')}])が得られます。

一方,Ｂ(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}∫_-∞^tｄｔ'∫ｄ³ｒ'δ³(ｒ'－ｚ(ｔ')){ｎ×ｚ^d(ｔ')}(∂/∂Ｒ){δ(ｔ－ｔ'－Ｒ/ｃ)/Ｒ}＝{ｅμ₀/(4π)}∫_-∞^tｄｔ'[{ｎ(ｔ')×ｚ^d(ｔ')}{－δ(ｔ－ｔ'－Ｒ(ｔ')/ｃ)/Ｒ²(ｔ')＋{∂δ(ｔ－ｔ'－Ｒ(ｔ')/ｃ)/∂Ｒ(ｔ')}/Ｒ(ｔ')]です。

結局,Ｂ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}({ｚ^d(ｔ₀')×ｎ(ｔ₀')}/{Ｒ²(ｔ₀')α(ｔ₀')}＋{ｃα(ｔ₀')}^-1(∂/∂ｔ₀')[{ｚ^d(ｔ₀')×ｎ(ｔ₀')}/{Ｒ(ｔ₀')α(ｔ₀')}])を得ます。

　ダブリますが見易いように要約すると,Ｅ(ｒ,ｔ) ＝{ｅ/(4πε₀)}(ｎ(ｔ₀')/{Ｒ²(ｔ₀')α(ｔ₀’)}＋{ｃα(ｔ₀')}^-1(∂/∂ｔ₀')[{ｎ(ｔ₀')－ｚ^d(ｔ₀')/ｃ}/{Ｒ(ｔ₀')α(ｔ₀')}]),

　Ｂ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}({ｚ^d(ｔ₀')×ｎ(ｔ₀')}/{Ｒ²(ｔ₀')α(ｔ₀')}＋{ｃα(ｔ₀')}^-1(∂/∂ｔ₀')[{ｚ^d(ｔ₀')×ｎ(ｔ₀')}/{Ｒ(ｔ₀')α(ｔ₀')}])です。

これらの表現式において(∂/∂ｔ₀')の項をさらに具体的に書き下すためｄｎ(ｔ₀')/ｄｔ₀'を計算します。

ｄｎ(ｔ₀')/ｄｔ₀'＝(ｄ/ｄｔ₀')[{ｘ－ｚ(ｔ₀')}/Ｒ(ｔ₀')]]＝－ｚ^d(ｔ₀')/Ｒ(ｔ₀')－[{ｘ－ｚ(ｔ₀')}/Ｒ²(ｔ₀')]・{ｄＲ(ｔ₀')/ｄｔ₀'}＝[－ｚ^d(ｔ₀')＋ｎ(ｔ₀'){ｎ(ｔ₀')ｚ^d(ｔ₀')}]/Ｒ(ｔ₀')です。

　ここで,ｎ×(ｎ×ｚ^d)＝ｎ(ｎｚ^d)－ｚ^d(ｎｎ)＝－ｚ^d＋ｎ(ｎｚ^d)を用いると,ｄｎ(ｔ₀')/ｄｔ₀'＝ｎ(ｔ₀')×{ｎ(ｔ₀')×ｚ^d(ｔ₀')}/Ｒ(ｔ₀')を得ます。

　したがって,電場についてはＥ(ｒ,ｔ) ＝{ｅ/(4πε₀)}[ｎ(ｔ₀')/{Ｒ²(ｔ₀')α(ｔ₀')}＋{ｃα(ｔ₀')}^-1ｎ(ｔ₀')(∂/∂ｔ₀'){Ｒ^-1(ｔ₀')α^-1(ｔ₀')}－ｚ^d(ｔ₀')]/{ｃＲ²(ｔ₀')α²(ｔ₀')}－{ｃ²α(ｔ₀')}^-1(∂/∂ｔ₀'){ｚ^d(ｔ₀')Ｒ^-1(ｔ₀')α^-1(ｔ₀')}]となります。

同様な手順ですが,磁場については最終式だけ書きます。

すなわち,Ｂ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}([ｚ^d(ｔ₀')/{Ｒ²(ｔ₀')α²(ｔ₀')}＋{ｃα(ｔ₀')}^-1(∂/∂ｔ₀'){ｚ^d(ｔ₀')Ｒ^-1(ｔ₀')α^-1(ｔ₀')}]×ｎ(ｔ₀'))です。

これらによると,点電荷による電磁場でもＢ(ｒ,ｔ)＝－ｃ^-1Ｅ(ｒ,ｔ)×ｎ(ｔ₀')なる関係式が成立していることがわかります。よって,Ｅ(ｒ,ｔ)がわかれば自動的にＢ(ｒ,ｔ)がわかることになります。

そこで,さらにＥ(ｒ,ｔ)について残りの(∂/∂ｔ₀')を実行します。

ｄｚ^d(ｔ₀')/ｄｔ₀'＝ｚ^2d(ｔ₀'),およびｄ{Ｒ(ｔ₀')α(ｔ₀')}/ｄｔ₀'＝ｚ^d(ｔ₀')²/ｃ－ｎ(ｔ₀')ｚ^d(ｔ₀')－Ｒ(ｔ₀'){ｎ(ｔ₀')ｚ^2d(ｔ₀')}/ｃを用いて計算します。

本質的ではないので詳細を省略しますが,長い計算の後にＥ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}({ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}{1－β²(ｔ₀')}/{Ｒ²(ｔ₀')α³(ｔ₀')}＋ｃ^-1ｎ(ｔ₀')×[{ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}×β^d(ｔ₀')]/{Ｒ(ｔ₀')α³(ｔ₀')})を得ます。

ただし,β(ｔ₀')≡ｚ^d(ｔ₀')/ｃです。

これから,磁場はＢ(ｒ,ｔ)＝－ｃ^-1Ｅ(ｒ,ｔ)×ｎ(ｔ₀')＝{μ₀ｅｃ/(4π)}({β(ｔ₀')×ｎ(ｔ₀')}{1－β²(ｔ₀')}/{Ｒ²(ｔ₀')α³(ｔ₀')}＋[{ｎ(ｔ₀')×β(ｔ₀')}{ｎ(ｔ₀')β^d(ｔ₀')}＋{β^d(ｔ₀')×ｎ(ｔ₀')}{1－ｎ(ｔ₀')β(ｔ₀')}]/{ｃＲ(ｔ₀')α³(ｔ₀')})となります。

Ｅ(ｒ,ｔ),Ｂ(ｒ,ｔ)の右辺第１項はＲ→ ∞でＯ(Ｒ^-2)のオーダーなので,Ｓ＝(Ｅ×Ｂ)/μ₀にはＯ(Ｒ^-4)の寄与しかしないため,全方向合計では4πＲ²Ｓ＝Ｏ(Ｒ^-2)→ 0となり遠方(波動帯)には寄与しません。

これらの項は,β＝ｚ^d/ｃのみつまり粒子の速度ｚ^dのみを含んでおり,β^d＝ｚ^2d/ｃによる加速度ｚ^2dの項を含んでいません。

　一方,Ｅ(ｒ,ｔ),Ｂ(ｒ,ｔ)の右辺第２項はＲ→ ∞でＯ(Ｒ^-1)のオーダーなので,Ｓ＝(Ｅ×Ｂ)/μ₀にＯ(Ｒ^-2)の寄与をし,全方向合計では4πＲ²Ｓ＝Ｏ(1)で放射電磁波の遠方への伝播(波動帯)に寄与します。

　そして,これらの項には全てβ^d＝ｚ^2d/ｃによる加速度ｚ^2dが因子として含まれています。

　それ故,例えば加速度ｚ^2dがゼロの等速直線運動の電荷から放射される電磁波であれば,電磁場は点電荷の近傍にのみ存在して,かなり遠方にあるアンテナでも受信可能な信号電波(波動帯電磁波)として利用することができないことがわかります。

途中ですが今日はここまでにします。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),ジャクソン 著(西田 稔 訳)「電磁気学(上),(下)」(吉岡書店)

PS:４/７早朝に巨人の木村拓也コーチ(37)が亡くなられたという速報がありました。まだ若いのに神に愛されたのでしょうか？。。　合掌

　ふと掛川にいる友人の千春先生(歯科医)のことを思い出しました。

　十年以上も前,自分の母親のために勉強して健康になるための本を出版した直後に本人が突然クモ膜下出血で倒れられましたけれど復活なさっていると聞いています。

　ただ,後遺症からか記憶が数時間程度しか持たないらしいとのことなので私などはとっくに忘れられているでしょうね。