電磁波の放射(5)(点電荷による電磁波２)

「電磁波の放射(点電荷による電磁波)」の続きです。

　例として,まず等速度運動中の点電荷による電磁場を考察します。

　加速度がゼロ:β^d＝ｚ^2d/ｃ＝0 のため,この場合の電場Ｅ,磁場Ｂは先に求めた点電荷による場の強さの最終表式において,右辺第１項のみで表わされます。

すなわちＥ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}({ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}{1－β²(ｔ₀')}/{Ｒ²(ｔ₀')α³(ｔ₀')},Ｂ(ｒ,ｔ)＝{μ₀ｅｃ/(4π)}{β(ｔ₀')×ｎ(ｔ₀')}{1－β²(ｔ₀')}/{Ｒ²(ｔ₀')α³(ｔ₀')}です。

しかし,ここではリエナール・ウィーヘルトのポテンシャル(Lie'nard-Wiechert potential):φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}[|ｒ－ｚ(ｔ₀')|－ｚ^d(ｔ₀'){ｒ－ｚ(ｔ₀')}/ｃ]^-1,Ａ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}(ｚ^d(ｔ₀')/[|ｒ－ｚ(ｔ₀')|－ｚ^d(ｔ₀'){ｒ－ｚ(ｔ₀')}/ｃ])から,直接これらを求めてみます。

等速度運動をする点電荷の軌道ｚ(ｔ)の詳細ですが,今の場合は電荷ｅを持つ点粒子が時刻ｔ＝0 に原点Ｏにあってｘ軸の正の向きに一定速度ｖ＝(ｖ,0,0)で運動しているとします。

そして,任意時刻ｔにおける点Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)(位置ベクトル:ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ))における場の強さを求めます。

この点電荷が時刻ｔには点Ａにあるとすると,ｔにおいてＰに生じる電磁場は点Ａにある電荷によるのではなくてｔよりも過去の時刻ｔ₀'に別の点Ａ₀'にあった電荷を出発点とする電磁波によるものです。

点Ｐからｘ軸に下ろした垂線の足をＢ(ｘ,0,0)(ｘ＞ 0)とします。するとｘはｔ＝0 に原点Ｏからｘ軸に沿って出発した点電荷が点Ｂに達する時刻ｔ₀とｘ＝ｖｔ₀なる関係にあります。

また,ここでは一般性を失うことなく受信時刻ｔはｔ₀＞ｔ＞ｔ₀'を満たすと仮定します。

このとき,Ａ₀'Ｐ＝Ｒ(ｔ₀')＝ｃ(ｔ－ｔ₀'),Ａ₀'Ｂ＝Ｘ(ｔ₀')＝ｖ(ｔ₀－ｔ₀')です。また,ｂ≡ＢＰと置くとｂ＝(ｙ²＋ｚ²)^1/2でありＲ(ｔ₀')＝{Ｘ²(ｔ₀')＋ｂ²}^1/2です。

等式:ｃ(ｔ－ｔ₀')＝{ｖ²(ｔ₀－ｔ₀')²＋ｂ²}^1/2からｔ₀'に関する２次方程式:(ｃ²－ｖ²)ｔ₀'²－2(ｃ²ｔ－ｖ²ｔ₀)ｔ₀'＋ｃ²ｔ²－ｖ²ｔ₀²－ｂ²＝0 を得ます。

これと,条件ｔ₀＞ｔ＞ｔ₀'によりｔ₀'がｔ₀'＝[(ｃ²ｔ－ｖ²ｔ₀)－{(ｃ²ｖ²)(ｔ₀－ｔ)²＋(ｃ²－ｖ²)ｂ²}^1/2]/(ｃ²－ｖ²)と解けます。

これからＲ(ｔ₀')＝ｃ(ｔ－ｔ₀')＝ｃ[ｖ²(ｔ₀－ｔ)＋{(ｃ²ｖ²)(ｔ₀－ｔ)²＋(ｃ²－ｖ²)ｂ²}^1/2]/(ｃ²－ｖ²),Ｘ(ｔ₀')＝ｖ(ｔ₀－ｔ₀')＝ｖ[ｃ²(ｔ₀－ｔ)＋{(ｃ²ｖ²)(ｔ₀－ｔ)²＋(ｃ²－ｖ²)ｂ²}^1/2]/(ｃ²－ｖ²)です。

φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}[1/{Ｒ(ｔ₀')－ｖＲ(ｔ₀')/ｃ}]＝{ｅ/(4πε₀)}[1/{Ｒ(ｔ₀')－ｖＸ(ｔ₀')/ｃ}],Ａ(ｒ,ｔ)＝{ｅμ₀/(4π)}[ｖ/{Ｒ(ｔ₀')－ｖＸ(ｔ₀')/ｃ}]ですから,まず,φ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}[1/{ｖ²(ｔ₀－ｔ)²＋(1－ｖ²/ｃ²)ｂ²}^1/2]を得ます。

さらに,ｖｔ₀＝ｘ,ｂ＝(ｙ²＋ｚ²)^1/2を代入するとφ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}[ｅ/{(ｘ－ｖｔ)²＋(1－ｖ²/ｃ²)(ｙ²＋ｚ²)}^1/2]です。同様に,Ａ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}[ｅｖ/{(ｘ－ｖｔ)²＋(1－ｖ²/ｃ²)(ｙ²＋ｚ²)}^1/2]と書けます。

Ｒ^*(ｔ)≡Ｒ(ｔ₀')－ｖＸ(ｔ₀')/ｃ＝{(ｘ－ｖｔ)²＋(1－ｖ²/ｃ²)(ｙ²＋ｚ²)}^1/2と置けば,もっと簡単な形になってφ(ｒ,ｔ)＝ｅ/(4πε₀Ｒ^*),かつＡ(ｒ,ｔ)＝μ₀ｅｖ/(4πＲ^*)と表現されます。

後の便宜のために,γ≡(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2と置いてＲ^*(ｔ)≡(Ｒ_x^*(ｔ),Ｒ_y^*(ｔ),Ｒ_z^*(ｔ))＝(ｘ－ｖｔ,ｙ/γ,ｚ/γ)なるベクトルを設定するとＲ^*(ｔ)＝|Ｒ^*(ｔ)|です。

そして,電磁ポテンシャル:φ(ｒ,ｔ)＝ｅ/(4πε₀Ｒ^*),Ａ(ｒ,ｔ)＝μ₀ｅｖ/(4πＲ^*)をｒやｔで微分することで,Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａにより,場の強さＥ,Ｂを得ることができます。

これらの微分は全てＲ^*を通してのみ出現します。そして∂Ｒ^*/∂ｔ＝－ｖ(ｘ－ｖｔ)/Ｒ^*,∂Ｒ^*/∂ｘ＝(ｘ－ｖｔ)/Ｒ^*,∂Ｒ^*/∂ｙ＝(1－ｖ²/ｃ²)ｙ/Ｒ^*,∂Ｒ^*/∂ｚ＝(1－ｖ²/ｃ²)ｚ/Ｒ^*です。

これらを用いた計算の詳細を全て省略して結果だけ書くと,電場はＥ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{ｅ(1－ｖ²/ｃ²)Ｒ(ｔ)/Ｒ^*3}です。ただしＲ(ｔ)≡(ｘ－ｖｔ,ｙ,ｚ)となります。

そして,磁場はＢ(ｒ,ｔ)＝－{μ₀/(4π)}{ｅｖ×∇(1/Ｒ^*)}＝{ｖ×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃ²です。

Ｅ(ｒ,ｔ)＝ｅ(1－ｖ²/ｃ²)Ｒ(ｔ)/Ｒ^*3)は,ベクトルＲ^*(ｔ)を用いるとＥ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}[ｅ(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2Ｒ(ｔ)/{Ｒ_x^*2(ｔ)/(1－ｖ²/ｃ²)＋Ｒ_y^*2(ｔ)＋Ｒ_z^*2(ｔ)}^3/2],またはＥ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}[ｅγＲ(ｔ)/{γ²Ｒ_x^*2(ｔ)＋Ｒ_y^*2(ｔ)＋Ｒ_z^*2(ｔ)}^3/2]と書けます。

磁場は,Ｂ(ｒ,ｔ)＝{ｖ×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃ²です。ここでの話ではこれの具体的形を書き下す必要はありません。

電場Ｅをもっとわかりやすく表現すれば,Ｅ(ｒ,ｔ)＝ｅγ^-2Ｒ(ｔ)/[(4πε₀){(ｘ－ｖｔ)²＋γ^-2(ｙ²＋ｚ²)}^3/2],Ｒ(ｔ)≡(ｘ－ｖｔ,ｙ,ｚ)となります。

そこでｖ→ｃならγ＝(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2→ ∞ (γ^-1→ 0)より,Ｅ(ｒ,ｔ)→ 0 です。すなわち,点電荷が高速に運動する極限では電場はゼロに近づきます。

※(閑話):重力場に関連して電場に類似した考察をしてみます。

ニュートンの万有引力の法則:Ｆ＝－ＧＭｍＲ/Ｒ³と特殊相対論を組み合わせてみると,静止質量がＭの太陽付近を静止質量はｍですが太陽に対して大きい相対速度ｖを持った宇宙船が通過する場合,宇宙船から見た太陽の相対論的質量はγＭです。

また,逆に太陽静止系から見ると宇宙船の相対論的質量はγｍです。そこで,いずれにしても単純に静止質量を相対論的質量に置き換えると万有引力Ｆ＝－ＧＭｍＲ/Ｒ³はＦ'＝－ＧγＭｍＲ/Ｒ³に変わります。

質量とエネルギーの等価性,および慣性質量と重力質量の等価原理に従って実際激しい分子運動のために高温になった物体の静止質量は熱エネルギーの分だけ大きくなって秤で重さを測ると重くなっています。

そして,増加分の熱エネルギーは元々分子の運動エネルギーです。

地球上での重さというのは地球が物体に及ぼす"重力＝引力"に他ならないですから,相対速度が大きくなれば引力ＦがＦ'～γＦとなって重くなるというのは見当違いではないでしょう。

しかし,太陽と宇宙船の相対速度はほとんどゼロなのに,それを見ている観測者が大きな相対速度ｖで運動している場合,観測者にとって太陽と宇宙船双方の相対論的質量がγＭ,γｍとなるため単純代入で万有引力がＦ"＝－Ｇγ²ＭｍＲ/Ｒ³と莫大になるというのは賛同できません。

ここで先に求めた電場の表式に着目すると,等速度運動の点電荷による電場はＥ(ｒ,ｔ)＝ｅγ^-2Ｒ(ｔ)/[(4πε₀){(ｘ－ｖｔ)²＋γ^-2(ｙ²＋ｚ²)}^3/2]です。　

これはｖ＝0 の静電場Ｅ₀に対してＥ～γ^-2Ｅ₀のような形で小さくなっています。

この電場の表式のアナロジーで重力もＦ～γ^-2Ｆ₀のように因子γ^-2で小さくなるのなら,この因子と先に書いた質量増加によるＦ"＝－Ｇγ²ＭｍＲ/Ｒ³～γ²Ｆ₀の増加因子γ²が丁度相殺して準拠系に大して依存しないＦ～Ｆ₀という結果を得ます。

電荷は静止質量と同じく座標変換の不変量(４次元スカラー)ですが,相対論ではエネルギーと質量は等価であり,重力は静止質量だけでなく全体のエネルギー＝"相対論的質量＝(静止質量＋運動エネルギー/ｃ²)"に比例するはずですから,電場における常識とは違います。

そもそも"静止質量＝静止エネルギー/ｃ²"は座標系には無関係なスカラーですが運動エネルギーを含む全エネルギーは座標系の取り方次第で際限もなく増加しますから重力の扱いというのは困ったもんです。

磁場に相当する磁気的重力というものがあるかも知れず,それはどういうもので系の運動と共に増加するのでしょうか？

かつては慣性力の反作用とか,マッハ原理に関連した記事で一般相対論に基づきHenry,Thiringの回転系による重力も計算したましたが。。

2006年６/30の「慣性力の反作用」,および2007年の一連の記事:２/18の「一般相対論の基礎と回転系」２/19の 「回転系の計量(メトリック)」２/21の「遠心力,コリオリ力の相対性(マッハ原理？)」を参照

(閑話終わり)※

点電荷に固定して共に運動する座標系,つまり"点電荷が静止していると見える座標系＝電荷の静止系"ではｖ＝0,かつγ＝1ですから,電場ＥはCoulomb静電場:Ｅ(ｒ,ｔ)＝ｅＲ/(4πε₀Ｒ³)に一致します。

そして,ｖ＝0 により磁場Ｂはゼロ:Ｂ(ｒ,ｔ)＝{ｖ×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃ²＝0 ですから電磁場は静止した点電荷による純粋な静電場です。

しかし,点電荷に対して速度－ｖで慣性運動をする座標系に移ると,その系では点電荷は速度ｖで運動するためｖが大きくなるにつれて電場は減少し,逆にｖが大きくなるため磁場はＢ(ｒ,ｔ)＝{ｖ×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃ²に従って次第に増加すると思われます。

元々静止電荷の静電場のみであったのに,観測者が点電荷の系に対して運動すると共に静止電荷は"運動電荷＝電流"に転化し,ゼロであった磁場が発生して増加していくという描像が具体的に示されました。

これは,磁場と電場が実は同根の作用で磁場は単に電場の相対論的効果であることを示唆する現象の１つです。

この関連については,2006年４/10の記事「重力場(ファインマン)」や2008年５/27の記事「電磁気学と相対論(5)(真空中の電磁気学４:補遺)」も参照してください。

さて,既に述べたように等速度運動をする点電荷から生成される"電磁場のエネルギー流束＝Poyntingベクトル":Ｓ＝(Ｅ×Ｂ)/μ₀ ～Ｏ(Ｒ^-4)によって点電荷を中心とする半径Ｒの球内から外部空間へと飛散するエネルギー総量は,4πＲ²Ｏ(Ｒ^-4)～Ｏ(Ｒ^-2)と評価されます。

そこで,球の半径Ｒを十分大きく取れば等速度運動の電荷から飛散するエネルギー総量はゼロであること,例えば電荷が加速度運動を全くしない定常電流のコイルにより生成される磁場のようなものによってエネルギーが散逸して失われることはないということがわかります。

(導線では,"電気抵抗による散逸＝ジュール(Joule)熱"が存在して電源の起電力と相殺しますがこれは物性と関わる別の話です。)

しかし,電荷が加速度運動している場合にはそれによって生成される電磁波のエネルぎー流束ＳのオーダーはＯ(Ｒ^-2)の波動帯に与するため,運動に伴って電荷の持っていたエネルギーが失われてゆきます。

そこで,次には点電荷がゼロでない加速度β^d＝ｚ^2d/ｃを持って運動する場合を考えます。点電荷が加速されることによって電磁波を放射する現象は制動放射,または制動輻射(Bremsstrahlung)といわれます。

さて,前の記事で与えた一般的な点電荷による電場Ｅ(ｒ,ｔ),磁場Ｂ(ｒ,ｔ)の陽な表式のそれぞれで加速度因子β^d＝ｚ^2d/ｃを持ち,Ｒ^-1(ｔ₀')に比例した大きさを持っていて波動帯に寄与する右辺第２項に着目します。

すなわち,波動帯では,Ｅ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀ｃ)}[{ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀’)}{ｎ(ｔ₀')β^d(ｔ₀')}－β^d(ｔ₀'){1－ｎ(ｔ₀')β^d(ｔ₀')}]＝{ｅ/(4πε₀ｃ)}(ｎ(ｔ₀')×[{ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}×β^d(ｔ₀')]/{Ｒ(ｔ₀')α³(ｔ₀')}),かつＢ(ｒ,ｔ)＝－ｃ^-1Ｅ(ｒ,ｔ)×ｎ(ｔ₀')＝{ｎ(ｔ₀’)×Ｅ(ｒ,ｔ)}/ｃです。

Ｂ(ｒ,ｔ)はＥ(ｒ,ｔ),ｎ(ｔ₀')に垂直ですからｎ(ｔ₀')Ｅ(ｒ,ｔ)＝0 であり,波動帯では点電荷による電磁場は自由電磁波と同じ性質を持っています。

そして,ポインテイング・ベクトルはＳ≡Ｅ×Ｈ＝(Ｅ×Ｂ)/μ₀＝{Ｅ×(ｎ×Ｅ)}/(μ₀ｃ)＝Ｅ²ｎ/(μ₀ｃ)です。

そこで,時刻ｔ₀'に点電荷から放射された電磁波が時刻ｔに点ｒで測定されるとき,単位時間に単位面積を通過するエネルギー流はＳ(ｒ,ｔ)＝Ｅ(ｒ,ｔ)²ｎ(ｔ₀')/(μ₀ｃ)＝{ｅ/(4πε₀)}²{1/(μ₀ｃ³)}{ｎ(ｔ₀')/{Ｒ²(ｔ₀')α⁶(ｔ₀')}(ｎ(ｔ₀')×[{ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}×β^d(ｔ₀')])²となります。

ただし,電場の複素表現を使用する場合はサイクル平均が＜Ｅ(ｒ,ｔ)²＞＝|Ｅ(ｒ,ｔ)|²/2となるため＜Ｓ(ｒ,ｔ)＞＝|Ｅ(ｒ,ｔ)|²ｎ(ｔ₀')/(2μ₀ｃ)です。

ここで注意すべきことはＳ(ｒ,ｔ),または＜Ｓ(ｒ,ｔ)＞は観測点ｒにおける時間ｔに関する単位時間当たりの通過エネルギー量であり,時間ｔ₀'に関する点ｚ(ｔ₀')におけるそれではないということです。

　点電荷は運動しているため,仮に発信時刻ｔ₀'がＴ₁からＴ₂の(Ｔ₂－Ｔ₁)の間だけ電荷が加速されたとすると,ｔ₀'＝ｔ－|ｒ－ｚ(ｔ₀')|/ｃ, or ｔ＝ｔ₀'＋|ｒ－ｚ(ｔ₀’)|/ｃなる関係によって,(Ｔ₁,Ｔ₂)に放射される電磁波は観測点ｒではｔ₁＝Ｔ₁＋|ｒ－ｚ(Ｔ₁)|/ｃからｔ₂＝Ｔ₂＋|ｒ－ｚ(Ｔ₂)|/ｃの間の(ｔ₁,ｔ₂)に観測されます。

　つまり,ｒで受信する時間ｔ₂－ｔ₁＝{Ｔ₂＋|ｒ－ｚ(Ｔ₂)|/ｃ}－{Ｔ₁＋|ｒ－ｚ(Ｔ₁)|/ｃ}は一般に対応する点電荷の加速時間(Ｔ₂－Ｔ₁)とは異なっています。いわゆるドプラー効果(Doppler effect)ですね。

　そこで,ｔ₀'∈(Ｔ₁,Ｔ₂)に放射された電磁波を点ｒで受ける際の単位面積当たりの総エネルギー量ＥはＥ＝∫_t1^ｔ2Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀’)ｄｔで与えられます。

　これはＥ＝∫_T1^T2{Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}(ｄｔ/ｄｔ₀')ｄｔ₀'と書けますから,発信点ｚ(ｔ₀')での時間ｔ₀'に関するエネルギー放射率の式:ｄＥ/ｄｔ₀'＝{Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}(ｄｔ/ｄｔ₀')＝{Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}α(ｔ₀')が得られました。

　そこで,点電荷自身が単位加速時間に放射する全エネルギーｄＷ/ｄｔ₀'は上記ｄＥ/ｄｔ₀'を半径Ｒ(ｔ₀')の球面上で積分した式ｄＷ/ｄｔ₀'＝∫Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}α(ｔ₀')Ｒ²(ｔ₀')ｄΩで与えられます。

ｄΩは点ｒにおける面積要素ｄＳを点電荷から見た立体角です。

既に前に定義した概念なのでさらりと流していますが,半径Ｒ(ｔ₀')の球面というのは時刻ｔにおいて|ｒ－ｚ(ｔ₀')|＝ｃ(ｔ－ｔ₀')を満たす全ての点ｒの集まりであることなども思い出す必要があります。

ｄＷ/ｄｔ₀'＝∫Ｓ(ｒ,ｔ)ｎ(ｔ₀')}α(ｔ₀')Ｒ²(ｔ₀')ｄΩにＳ(ｒ,ｔ)＝{ｅ/(4πε₀)}²{1/(μ₀ｃ³)}{ｎ(ｔ₀')/{Ｒ²(ｔ₀')α⁶(ｔ₀')}(ｎ(ｔ₀')×[{ｎ(ｔ₀')－β(ｔ₀')}×β^d(ｔ₀')])²を代入しｔ₀'をｔと書き換えると次のようになります。

　すなわち,ｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ(ｎ(ｔ)×[{ｎ(ｔ)－β(ｔ)}×β^d(ｔ)])²/{1－ｎ(ｔ)β(ｔ)}⁵です。ここで,α(ｔ)＝1－ｎ(ｔ)β(ｔ)なる陽な等式を用いました。これは正確な式です。

　もしも,β(ｔ)＜＜1,つまり点電荷の速さｖ(ｔ)＝ｚ^d(ｔ)が光速度ｃに比べてごく小さいときには,ｎ(ｔ)＝Ｒ(ｔ)/Ｒ(ｔ)と加速度β^d(ｔ)＝ｚ^2d(ｔ)/ｃのなす角をθとすれば次のようになります。

　ｄＷ/ｄｔ～{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ(ｎ(ｔ)×[{ｎ(ｔ)－β(ｔ)}×β^d(ｔ)])²＝{ｅ²/(16π²ε₀ｃ)}∫ｄΩ[sin²θ{β^d(ｔ)}²]です。

ｄΩ積分を実行するとｄＷ/ｄｔ～ {ｅ²/(6πε₀ｃ³)}{ｖ^d(ｔ)}²を得ます。この放射率の非相対論的近似式をラーモアの公式,またはラーマーの公式(Larmor's formula)といいます。

　この非相対論的近似での放射の角分布:Δ(ｄＷ/ｄｔ)/ΔΩはsin²θに比例するので,これはｌ＝1の電気双極子放射に相当しています。

　単位時間当たりの全平均放射エネルギーＰは,複素表現では＜Ｓ(ｒ,ｔ)＞＝|Ｅ(ｒ,ｔ)|²ｎ(ｔ₀')/(2μ₀ｃ)ですから,Ｐ＝ｄ＜Ｗ＞/ｄｔ＝{ｅ²/(12πε₀ｃ³)}|ｖ^d(ｔ)|²と表わされます。

　例えば質量がｍの点電荷ｅがｚ方向に調和振動をしている場合には,運動方程式ｍｚ^2d＝－ｍω₀²ｚより,ｚ(ｔ)＝ａexp(－iω₀ｔ),ｖ^d(ｔ)＝－ａω₀²exp(－iω₀ｔ)です。

　そこで,ラーモアの公式からこの調和振動子の単位時間当たりの平均放射エネルギーはＰ＝ｄ＜Ｗ＞/ｄｔ＝{ｅ²/(12πε₀ｃ³)}ａ²ω₀⁴で与えられることがわかります。

　次に,正確な相対論的式で特にβとβ^dが平行なときにはｎ×{(ｎ－β)}×β^d}＝ｎ×(ｎ×β^d)となるため,ｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²ｖ^d(ｔ)²/(16π²ε₀ｃ³)}∫ｄΩ[sin²θ/{1－ｖ(ｔ)cosθ/ｃ}⁵]です。

　そこで,β＝ｖ/ｃ→ 1 に近づくにつれて放射の角分布は点電荷の進行方向に鋭く偏ってきます。(β＝1ではθ＝0で最大)

　1911年ラザフォード(Rutherford)は放射性元素から出るα線の原子による散乱実験を行なうに及んで,太陽系型の原子模型を提案し実験結果によく合致する結果を得ました。

(実はこのラザフォード模型は1904年に長岡半太郎が提案した長岡模型と同じ型の模型です。)

　しかし,これまでに示したことから原子核のまわりを回転する電子は加速度を有するため,電磁波を放射して次第にエネルギーを失なうので電子は速やかに原子核に落ち込んでしまい,この古典論の模型では原子は安定に存在することが不可能です。

　以下では,水素原子のラザフォード模型において電子が原子核に落ち込むまでの時間を評価計算します。

　ケプラー(Kepler)の法則に従う一般の楕円軌道を円軌道で特殊化しても結果には無関係なので,簡単のため電子は原子核のまわりを等速円運動しているします。そして電子の回転半径をｒ,速さをｖ,回転角速度をωとします。このときｖ＝ｒωです。

電子の運動方程式はｍｒω²＝ｅ²/(4πε₀ｒ²)ですから加速度はｖ^d＝ｒω²＝ｅ²/(4πε₀ｍｒ²)です。電子の持つエネルギーはＷ＝(1/2)ｍｖ²－ｅ²/(4πε₀ｒ)＝－ｅ²/(8πε₀ｒ)です。

そこでｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²/(8πε₀ｒ²)}(ｄｒ/ｄｔ)です。

一方,ラーモアの公式ｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}{ｖ^d(ｔ)}でＷが減衰するという意味で,(－)符号を取って－ｄＷ/ｄｔ＝{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}{ｖ^d(ｔ)}²とした公式に,ｖ^d＝ｅ²/(4πε₀ｍｒ²)を代入します。

すると,ｄＷ/ｄｔ＝－{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}{ｅ²/(4πε₀ｍｒ²)}²が得られます。

ｄＷ/ｄｔの２つの表現を等置すれば{ｅ²/(8πε₀ｒ²)}(ｄｒ/ｄｔ)＝－{ｅ²/(6πε₀ｃ³)}{ｅ²/(4πε₀ｍｒ²)}²です。これから,ｄｔ＝－{3/(4ｅ⁴)}{(4πε₀)²ｍ²ｃ³ｒ²}ｄｒなる関係式を得ます。

　したがって,ｔ＝0 に電子がｒ＝ａの円周上を回転運動していたとして原子核のあるｒ＝0 に落ち込むまでの時間をτとすると,τ＝∫₀^τｄｔ＝－(3/4){ｅ²/(4πε₀)}^-2ｍ²ｃ³∫_a⁰ｒ²ｄｒ＝(1/4){ｅ²/(4πε₀)}^-2ｍ²ｃ³ａ³となります。

　ボーア(Bohr)の前期量子論の原子模型では水素原子の最小半径はｈをPlanck定数,ｈ_ｃ≡ｈ/(2π)としてボ－ア半径ａ_B＝ｈ_ｃ²/{ｍｅ²/(4πε₀)}＝{ｅ²/(4πε₀ｈ_ｃｃ)}^–1{ｈ_ｃ/(ｍｃ)}で与えられます。

　このａ_Bを式:τ＝(1/4){ｅ²/(4πε₀)}^-2ｍ²ｃ³ａ³の半径ａに代入すると,τ＝(1/4){ｅ²/(4πε₀ｈ_ｃｃ)}^–5{ｈ_ｃ/(ｍｃ²)}＝(1/4)α^-5ｈ_ｃ/(ｍｃ²)となります。

ただしα≡ｅ²/(4πε₀ｈ_ｃｃ)～ 1/137は,微細構造定数(fine-structure constant)と呼ばれる無次元(無単位)の定数です。

これを用いるとボーア半径もａ_B＝α^-1ｈ_ｃ/(ｍｃ)～137ｈ_ｃ/(ｍｃ)と簡単な形で表わされます。

一方,ｈ_ｃ/(ｍｃ)はコンプトン(Compton)波長と呼ばれる長さの次元を持つ量で量子論では質量がｍの粒子の大きさの大体の目安です。

そこで,今の電子の場合のｈ_ｃ/(ｍｃ²)は光が電子を横断するに要する大体の時間であると解釈されます。

ｍを電子の質量としたコンプトン波長はｈ_ｃ/(ｍｃ)～10^-11cmでありｈ_ｃ/(ｍｃ²)～10^-21秒ですから,電子が原子核に落ちこむまでの時間はτ～ 137⁵×10^-21秒 ～ 4.8×10^-11秒と評価されます。

すなわち,古典論では電子はほとんど瞬時に原子核に吸い込まれ原子として安定に存在することは不可能です。

これと関連して,地球のまわりを回る月などが重力波を放射して地球に落ち込まない理由についての簡単な考察などを2006年６/28の記事「重力波」に書いています。興味がお有りなら参照してください。

余談ですが,かつて,2006年４/10の記事「重力場(ファインマン)」やその関連記事で以下のようなファインマンによる？考察を書いたことを思い出しました。それはかなり重要な示唆です。

電場,磁場が線形な作用であって全体の場は多くの電荷による場の重ね合わせで表現できるのに対して重力場は本質的に非線形で全体の重力場が多くの星などの重力源による重力場の"重ね合わせ＝単純和"にならないのは何故かということでした。

つまり,電磁場の実体は電荷を持つ粒子場を媒介する"電磁波＝光子"ですがこれ自身は電荷を持たず電気的に中性なので２次の電磁場の源とは成り得ない故に場の線形性が保たれているわけです。

これに反して,重力は昔から万有引力と呼ばれているように,エネルギーさえ持っていればそれは必ず重力源になるため力を媒介する"重力波＝重力子等"もそれ自身２次の重力源となってさらに３次,４次の重力源を放射するために非線形であるという考察を連想しました。

(弱い重力近似である非相対論のニュートンの万有引力の法則だけを考えるのなら電磁場と同じく線形なのですが。。)

余談も入りましたが今日はここまでにします。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店)